Trigonometric function kung paano lutasin ang mga halimbawa. Pangunahing mga formula ng trigonometrya

Ang konsepto ng paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

• Upang malutas ang isang trigonometric equation, i-convert ito sa isa o higit pang pangunahing trigonometriko equation. Ang paglutas ng trigonometric equation sa huli ay bumababa sa paglutas ng apat na pangunahing trigonometric equation.

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation at equation na bumababa sa quadratic na mga equation. Ang prinsipyo ng matagumpay na solusyon ng bawat isa sa mga nabanggit na gawain ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitatag kung anong uri ng gawain ang nalutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw, ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalulutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito, kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba't ibang sitwasyon ang nangyayari sa trigonometriko equation. Hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Minsan mahirap matukoy ang uri nito sa pamamagitan ng hitsura ng isang equation. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong anggulo";
2. dalhin ang equation sa "parehong mga function";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isipin mo mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2 Maghanap ng argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3 Maghanap ng hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation sa isang algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2 Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3 Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4 Gumawa ng reverse substitution.

Hakbang 5 Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2 ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) kasalanan (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear gamit ang power reduction formula:

kasalanan 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos2x + cos2x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation na ito sa form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2 Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hakbang 3 Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, kaya

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan para sa pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng uri ng trigonometric formula, dalhin ang equation na ito sa isang equation na maaaring malutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng malaking pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at ng guro.

Maraming problema ng stereometry, physics, atbp. ang nauugnay sa solusyon ng mga trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema, kumbaga, ay naglalaman ng maraming kaalaman at kasanayan na nakukuha kapag pinag-aaralan ang mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pagtuturo ng matematika at pag-unlad ng personalidad sa pangkalahatan.

May tanong ka ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Nangangailangan ng kaalaman sa mga pangunahing formula ng trigonometrya - ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine, ang pagpapahayag ng tangent sa pamamagitan ng sine at cosine, at iba pa. Para sa mga nakalimutan o hindi nakakakilala sa kanila, inirerekomenda naming basahin ang artikulong "".
Kaya, alam namin ang mga pangunahing trigonometriko formula, oras na upang maisagawa ang mga ito. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa tamang diskarte, ito ay isang kapana-panabik na aktibidad, tulad ng, halimbawa, paglutas ng isang Rubik's cube.

Batay sa mismong pangalan, malinaw na ang isang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nasa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function.
May mga tinatawag na simpleng trigonometric equation. Ganito ang hitsura nila: sinх = a, cos x = a, tg x = a. isaalang-alang, kung paano lutasin ang gayong mga trigonometric equation, para sa kalinawan, gagamitin namin ang pamilyar na trigonometriko na bilog.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

higaan x = a

Anumang trigonometriko equation ay malulutas sa dalawang yugto: dinadala namin ang equation sa pinakasimpleng anyo at pagkatapos ay lutasin ito bilang pinakasimpleng trigonometric equation.
Mayroong 7 pangunahing pamamaraan kung saan nalulutas ang mga trigonometric equation.

1. Variable substitution at substitution method

Lutasin ang equation na 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Gamit ang mga formula ng pagbabawas na nakukuha natin:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Palitan natin ang cos(x + /6) ng y para sa pagiging simple at makuha ang karaniwang quadratic equation:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Ang mga ugat kung saan y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ngayon ay bumalik tayo

Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga ng y at nakakuha ng dalawang sagot:

2. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa pamamagitan ng factorization

Paano malutas ang equation na sin x + cos x = 1 ?

Ilipat natin ang lahat sa kaliwa upang manatili ang 0 sa kanan:

sin x + cos x - 1 = 0

Ginagamit namin ang mga pagkakakilanlan sa itaas upang gawing simple ang equation:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Gawin natin ang factorization:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kumuha kami ng dalawang equation

3. Pagbawas sa isang homogenous na equation

Ang isang equation ay homogenous na may paggalang sa sine at cosine kung ang lahat ng mga termino nito tungkol sa sine at cosine ay may parehong antas ng parehong anggulo. Upang malutas ang isang homogenous na equation, magpatuloy tulad ng sumusunod:

a) ilipat ang lahat ng mga miyembro nito sa kaliwang bahagi;

b) alisin ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket;

c) ipantay ang lahat ng mga salik at mga bracket sa 0;

d) sa mga panaklong, ang isang homogenous na equation ng isang mas mababang antas ay nakuha, na, sa turn, ay hinati ng isang sine o cosine sa isang mas mataas na antas;

e) lutasin ang nagresultang equation para sa tg.

Lutasin ang equation na 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Gamitin natin ang formula na sin 2 x + cos 2 x = 1 at alisin ang bukas na dalawa sa kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Hatiin sa cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Pinapalitan namin ang tg x ng y at kumuha ng quadratic equation:

y 2 + 4y +3 = 0 na ang mga ugat ay y 1 =1, y 2 = 3

Mula dito nakita namin ang dalawang solusyon sa orihinal na equation:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Paglutas ng mga equation, sa pamamagitan ng paglipat sa kalahating anggulo

Lutasin ang equation na 3sin x - 5cos x = 7

Lumipat tayo sa x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Inilipat ang lahat sa kaliwa:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Hatiin sa cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Pagpapakilala ng isang pantulong na anggulo

Para sa pagsasaalang-alang, kunin natin ang isang equation ng form: a sin x + b cos x \u003d c,

kung saan ang a, b, c ay ilang mga arbitrary coefficients at ang x ay isang hindi kilala.

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:



Ngayon ang mga coefficient ng equation, ayon sa trigonometric formula, ay may mga katangian ng sin at cos, ibig sabihin: ang kanilang modulus ay hindi hihigit sa 1 at ang kabuuan ng mga parisukat = 1. Let us decate them respectively as cos and sin, where is the tinatawag na auxiliary angle. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

o sin(x + ) = C

Ang solusyon sa simpleng trigonometric equation na ito ay

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kung saan



Dapat pansinin na ang mga pagtatalaga ng cos at kasalanan ay mapagpapalit.

Lutasin ang equation na sin 3x - cos 3x = 1

Sa equation na ito, ang mga coefficient ay:

a \u003d, b \u003d -1, kaya hinahati namin ang parehong bahagi sa \u003d 2

Aralin ng kumplikadong aplikasyon ng kaalaman.

Mga layunin ng aralin.

1. Isaalang-alang ang iba't ibang paraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
2. Pag-unlad ng mga malikhaing kakayahan ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng paglutas ng mga equation.
3. Hikayatin ang mga mag-aaral na kontrolin ang sarili, kontrol sa isa't isa, pagsusuri sa sarili ng kanilang mga aktibidad na pang-edukasyon.

Kagamitan: screen, projector, reference na materyal.

Sa panahon ng mga klase

Panimulang usapan.

Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko ay ang kanilang pinakasimpleng pagbawas. Sa kasong ito, ang mga karaniwang pamamaraan ay ginagamit, halimbawa, factorization, pati na rin ang mga pamamaraan na ginagamit lamang para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Mayroong napakaraming mga trick na ito, halimbawa, iba't ibang mga pamalit na trigonometriko, mga pagbabagong-anyo ng anggulo, mga pagbabagong-anyo ng mga pag-andar ng trigonometriko. Ang walang pinipiling aplikasyon ng anumang mga pagbabagong trigonometriko ay kadalasang hindi nagpapasimple sa equation, ngunit nagpapalubha nito nang nakapipinsala. Upang bumuo sa pangkalahatang mga termino ng isang plano para sa paglutas ng equation, upang balangkasin ang paraan upang bawasan ang equation sa pinakasimpleng isa, ito ay kinakailangan una sa lahat upang pag-aralan ang mga anggulo - ang mga argumento ng trigonometriko function na kasama sa equation.

Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Ang isang tama na napiling pamamaraan ay kadalasang nagbibigay-daan sa isang makabuluhang pagpapasimple ng solusyon, kaya ang lahat ng mga pamamaraan na aming pinag-aralan ay dapat palaging panatilihin sa zone ng aming pansin upang malutas ang mga trigonometriko equation sa pinaka-angkop na paraan.

II. (Gamit ang isang projector, inuulit namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation.)

1. Isang paraan para sa pagbabawas ng isang trigonometric equation sa isang algebraic.

Ito ay kinakailangan upang ipahayag ang lahat ng trigonometriko function sa pamamagitan ng isa, na may parehong argumento. Magagawa ito gamit ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan at ang mga kaakibat nito. Nakukuha namin ang isang equation na may isang trigonometric function. Isinasaalang-alang ito bilang isang bagong hindi alam, nakakakuha kami ng isang algebraic equation. Nahanap namin ang mga ugat nito at bumalik sa lumang hindi alam, nilulutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

2. Paraan ng factorization.

Upang baguhin ang mga anggulo, ang mga formula ng pagbabawas, mga kabuuan at mga pagkakaiba ng mga argumento, pati na rin ang mga formula para sa pag-convert ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga trigonometriko function sa isang produkto at vice versa ay kadalasang kapaki-pakinabang.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Paraan para sa pagpapakilala ng karagdagang anggulo.

4. Paraan ng paggamit ng universal substitution.

Ang mga equation ng form na F(sinx, cosx, tgx) = 0 ay binabawasan sa algebraic equation gamit ang unibersal na trigonometric substitution

Pagpapahayag ng sine, cosine at tangent sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo. Ang trick na ito ay maaaring humantong sa isang mas mataas na order equation. Ang desisyon kung saan mahirap.