Logic equation. Mga sistema ng lohikal na equation sa mga gawain ng pagsusulit sa computer science

Pagtatalaga ng serbisyo. Ang online na calculator ay idinisenyo para sa pagbuo ng talahanayan ng katotohanan para sa isang lohikal na pagpapahayag.
Talahanayan ng katotohanan - isang talahanayan na naglalaman ng lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga variable ng input at ang kanilang mga katumbas na halaga ng output.
Ang talahanayan ng katotohanan ay naglalaman ng 2n row, kung saan ang n ay ang bilang ng mga variable ng input, at ang n+m ay mga column, kung saan ang m ay ang mga output variable.

Pagtuturo. Kapag pumapasok mula sa keyboard, gamitin ang mga sumusunod na convention:

Halimbawa, ang lohikal na expression na abc+ab~c+a~bc ay dapat na ipasok tulad nito: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Upang magpasok ng data sa anyo ng isang lohikal na diagram, gamitin ang serbisyong ito.

Mga panuntunan sa pag-input ng logic function

Gamitin ang + sign sa halip na v (disjunction, OR).
Bago ang lohikal na pag-andar, hindi mo kailangang tukuyin ang pagtatalaga ng function. Halimbawa, sa halip na F(x,y)=(x|y)=(x^y) ay i-type mo lang ang (x|y)=(x^y) .
Ang maximum na bilang ng mga variable ay 10 .

Ang disenyo at pagsusuri ng mga computer logic circuit ay isinasagawa sa tulong ng isang espesyal na seksyon ng matematika - ang algebra ng lohika. Sa algebra ng lohika, tatlong pangunahing lohikal na pag-andar ang maaaring makilala: "HINDI" (negation), "AND" (conjunction), "OR" (disjunction).
Upang lumikha ng anumang lohikal na aparato, kinakailangan upang matukoy ang pag-asa ng bawat isa sa mga variable ng output sa kasalukuyang mga variable ng input, ang naturang dependence ay tinatawag na switching function o isang function ng logic algebra.
Ang isang logic algebra function ay tinatawag na ganap na tinukoy kung ang lahat ng 2 n ng mga halaga nito ay ibinigay, kung saan ang n ay ang bilang ng mga variable ng output.
Kung hindi lahat ng mga halaga ay tinukoy, ang function ay tinatawag na bahagyang tinukoy.
Ang isang aparato ay tinatawag na lohikal kung ang estado nito ay inilalarawan gamit ang isang function ng algebra ng logic.
Ang mga sumusunod na pamamaraan ay ginagamit upang kumatawan sa logic algebra function:
Sa algebraic form, posible na bumuo ng isang diagram ng isang lohikal na aparato gamit ang mga lohikal na elemento.

Figure 1 - Diagram ng isang lohikal na aparato

Ang lahat ng mga operasyon ng algebra ng lohika ay tinukoy mga talahanayan ng katotohanan mga halaga. Tinutukoy ng talahanayan ng katotohanan ang resulta ng pagsasagawa ng operasyon para sa lahat posible x mga lohikal na halaga ng orihinal na mga pahayag. Ang bilang ng mga opsyon na sumasalamin sa resulta ng paglalapat ng mga operasyon ay depende sa bilang ng mga pahayag sa lohikal na expression. Kung ang bilang ng mga pahayag sa lohikal na expression ay N, ang talahanayan ng katotohanan ay maglalaman ng 2 N row, dahil mayroong 2 N magkakaibang kumbinasyon ng mga posibleng halaga ng argumento.

Operation NOT - logical negation (inversion)

Ang lohikal na operasyon ay HINDI inilalapat sa iisang argumento, na maaaring maging simple o kumplikadong lohikal na pagpapahayag. Ang resulta ng operasyon ay HINDI ang sumusunod:

kung totoo ang orihinal na expression, mali ang resulta ng negasyon nito;
kung mali ang orihinal na expression, magiging totoo ang resulta ng negasyon nito.

Ang mga sumusunod na convention ay HINDI tinatanggap para sa negation operation:
hindi A, Ā, hindi A, ¬A, !A
Ang resulta ng operasyon ng negation ay HINDI tinutukoy ng sumusunod na talahanayan ng katotohanan:

A	hindi A
0	1
1	0

Ang resulta ng pagpapatakbo ng negation ay totoo kapag ang orihinal na pahayag ay mali, at vice versa.

Operation OR - lohikal na karagdagan (disjunction, unyon)

Ang lohikal na OR na operasyon ay gumaganap ng function ng pagsasama-sama ng dalawang pahayag, na maaaring maging simple o kumplikadong lohikal na pagpapahayag. Ang mga pahayag na inisyal para sa isang lohikal na operasyon ay tinatawag na mga argumento. Ang resulta ng operasyong OR ay isang expression na magiging totoo kung at kung hindi bababa sa isa sa mga orihinal na expression ay totoo.
Ginamit na mga pagtatalaga: A o B, A V B, A o B, A||B.
Ang resulta ng operasyong OR ay tinutukoy ng sumusunod na talahanayan ng katotohanan:
Ang resulta ng operasyong OR ay totoo kapag ang A ay totoo, o ang B ay totoo, o ang parehong A at B ay totoo, at mali kapag ang parehong A at B ay mali.

Operasyon AT - lohikal na pagpaparami (conjunction)

Ang lohikal na operasyon AT gumaganap ng function ng intersection ng dalawang pahayag (argument), na maaaring maging alinman sa isang simple o isang kumplikadong lohikal na expression. Ang resulta ng operasyong AND ay isang expression na totoo kung at kung ang parehong orihinal na expression ay totoo.
Mga ginamit na simbolo: A at B, A Λ B, A & B, A at B.
Ang resulta ng operasyong AND ay tinutukoy ng sumusunod na talahanayan ng katotohanan:

A	B	A at B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Ang resulta ng operasyong AT ay totoo kung at kung ang mga pahayag na A at B ay parehong totoo, at mali sa lahat ng iba pang mga kaso.

Operation "IF-THEN" - lohikal na kahihinatnan (implikasyon)

Ang operasyong ito ay nag-uugnay sa dalawang simpleng lohikal na expression, kung saan ang una ay isang kundisyon, at ang pangalawa ay bunga ng kundisyong ito.
Inilapat na mga pagtatalaga:
kung A, pagkatapos B; Inaakit ni A si B; kung A pagkatapos B; A → B.
Talahanayan ng katotohanan:

A	B	A→B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Ang resulta ng operasyon ng kinahinatnan (implikasyon) ay mali lamang kapag ang premise A ay totoo at ang konklusyon B (kinahinatnan) ay mali.

Operation "A kung at kung B lang" (katumbas, katumbas)

Naaangkop na pagtatalaga: A ↔ B, A ~ B.
Talahanayan ng katotohanan:

A	B	A↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Pagpapatakbo ng pagdaragdag ng Modulo 2 (XOR, eksklusibo o, mahigpit na disjunction)

Ginamit ang notasyon: A XOR B, A ⊕ B.
Talahanayan ng katotohanan:

A	B	A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Ang resulta ng isang equivalence operation ay totoo lamang kung ang parehong A at B ay parehong totoo o parehong mali.

Nangunguna sa mga lohikal na operasyon

Mga aksyon sa mga bracket
Pagbabaligtad
Pang-ugnay (&)
Disjunction (V), Eksklusibo O (XOR), modulo 2 sum
Implikasyon (→)
Pagkakatumbas (↔)

Perpektong disjunctive normal na anyo

Perpektong disjunctive normal na anyo ng isang formula(SDNF) ay isang pormula na katumbas nito, na isang disjunction ng elementarya na mga pangatnig, na may mga sumusunod na katangian:

Ang bawat lohikal na termino ng formula ay naglalaman ng lahat ng mga variable na kasama sa function na F(x 1 ,x 2 ,...x n).
Ang lahat ng mga lohikal na termino ng formula ay iba.
Walang lohikal na termino ang naglalaman ng variable at ang negasyon nito.
Walang lohikal na termino sa isang formula na naglalaman ng parehong variable nang dalawang beses.

Maaaring makuha ang SDNF gamit ang mga talahanayan ng katotohanan o gamit ang mga katumbas na pagbabago.
Para sa bawat function, ang SDNF at SKNF ay natatanging tinukoy hanggang sa isang permutation.

Perpektong conjunctive normal na anyo

Perfect conjunctive normal form of a formula (SKNF) ay isang formula na katumbas nito, na isang conjunction ng elementarya na disjunctions na nakakatugon sa mga sumusunod na katangian:

Ang lahat ng elementarya na disjunction ay naglalaman ng lahat ng mga variable na kasama sa function na F(x 1 ,x 2 ,...x n).
Ang lahat ng elementarya na disjunction ay iba.
Ang bawat elementary disjunction ay naglalaman ng variable nang isang beses.
Walang elementarya na disjunction ang naglalaman ng variable at ang negasyon nito.

Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Ang mga equation ay ginagamit ng tao mula pa noong unang panahon at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Sa matematika, may ilang mga gawain na nakatuon sa lohika ng mga proposisyon. Upang malutas ang ganitong uri ng equation, dapat kang magkaroon ng isang tiyak na dami ng kaalaman: kaalaman sa mga batas ng propositional logic, kaalaman sa mga talahanayan ng katotohanan ng mga lohikal na pag-andar ng 1 o 2 variable, mga pamamaraan para sa pagbabago ng mga lohikal na expression. Bilang karagdagan, kailangan mong malaman ang mga sumusunod na katangian ng mga lohikal na operasyon: conjunctions, disjunctions, inversions, implications at equivalence.

Anumang lohikal na pag-andar mula sa \ mga variable - \ ay maaaring tukuyin ng isang talahanayan ng katotohanan.

Lutasin natin ang ilang lohikal na equation:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Simulan natin ang solusyon sa \[X1\] at tukuyin kung anong mga halaga ang maaaring tumagal ng variable na ito: 0 at 1. Susunod, isaalang-alang ang bawat isa sa mga halaga sa itaas at tingnan kung ano ang \[X2.\] maaaring sa kasong ito

Tulad ng makikita mula sa talahanayan, ang aming lohikal na equation ay may 11 solusyon.

Saan ko malulutas ang isang lohikal na equation online?

Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https: // site. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang online na equation ng anumang kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring panoorin ang pagtuturo ng video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming Vkontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.

Mayroong iba't ibang mga paraan upang malutas ang mga sistema ng mga lohikal na equation. Ito ay isang pagbawas sa isang equation, ang pagbuo ng isang talahanayan ng katotohanan at agnas.

Gawain: Lutasin ang isang sistema ng mga lohikal na equation:

Isipin mo paraan ng pagbabawas sa isang equation . Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng pagbabago ng mga lohikal na equation, upang ang kanilang kanang bahagi ay katumbas ng halaga ng katotohanan (iyon ay, 1). Upang gawin ito, gamitin ang pagpapatakbo ng lohikal na negation. Pagkatapos, kung may mga kumplikadong lohikal na operasyon sa mga equation, pinapalitan namin ang mga ito ng mga pangunahing: "AT", "O", "HINDI". Ang susunod na hakbang ay upang pagsamahin ang mga equation sa isa, katumbas ng system, gamit ang lohikal na operasyon na "AT". Pagkatapos nito, dapat kang gumawa ng mga pagbabago sa resultang equation batay sa mga batas ng algebra ng lohika at kumuha ng isang tiyak na solusyon sa system.

Solusyon 1: Ilapat ang inversion sa magkabilang panig ng unang equation:

Katawanin natin ang implikasyon sa pamamagitan ng mga pangunahing operasyong "O", "HINDI":

Dahil ang mga kaliwang bahagi ng mga equation ay katumbas ng 1, maaari mong pagsamahin ang mga ito gamit ang "AT" na operasyon sa isang equation na katumbas ng orihinal na sistema:

Binuksan namin ang unang bracket ayon sa batas ni de Morgan at binago namin ang resulta:

Ang resultang equation ay may isang solusyon: A=0, B=0 at C=1.

Ang susunod na paraan ay pagbuo ng mga talahanayan ng katotohanan . Dahil ang mga lohikal na halaga ay may dalawang halaga lamang, maaari mo lamang na dumaan sa lahat ng mga pagpipilian at hanapin kasama ng mga ito ang mga kung saan ang ibinigay na sistema ng mga equation ay nasiyahan. Iyon ay, bumuo kami ng isang karaniwang talahanayan ng katotohanan para sa lahat ng mga equation ng system at makahanap ng isang linya na may mga nais na halaga.

Solusyon 2: Gumawa tayo ng talahanayan ng katotohanan para sa system:








0	0	1	1	0	1

Bold ang linya kung saan natutugunan ang mga kondisyon ng problema. Kaya A=0, B=0 at C=1.

Paraan pagkabulok . Ang ideya ay upang ayusin ang halaga ng isa sa mga variable (ilagay ito katumbas ng 0 o 1) at sa gayon ay gawing simple ang mga equation. Pagkatapos ay maaari mong ayusin ang halaga ng pangalawang variable, at iba pa.

Solusyon 3: Hayaan ang A = 0, pagkatapos ay:

Mula sa unang equation nakukuha natin ang B = 0, at mula sa pangalawa - С=1. Solusyon ng system: A = 0, B = 0 at C = 1.

Sa USE sa computer science, madalas na kinakailangan upang matukoy ang bilang ng mga solusyon sa isang sistema ng mga lohikal na equation, nang hindi nahahanap ang mga solusyon sa kanilang sarili, mayroon ding ilang mga pamamaraan para dito. Ang pangunahing paraan upang mahanap ang bilang ng mga solusyon sa isang sistema ng mga lohikal na equation aypagbabago ng mga variable. Una, kinakailangan na gawing simple ang bawat isa sa mga equation hangga't maaari batay sa mga batas ng algebra ng lohika, at pagkatapos ay palitan ang mga kumplikadong bahagi ng mga equation ng mga bagong variable at matukoy ang bilang ng mga solusyon sa bagong sistema. Pagkatapos ay bumalik sa kapalit at tukuyin ang bilang ng mga solusyon para dito.

Gawain: Ilang solusyon mayroon ang equation (A → B ) + (C → D ) = 1? Kung saan ang A, B, C, D ay mga boolean variable.

Solusyon: Ipakilala natin ang mga bagong variable: X = A → B at Y = C → D . Isinasaalang-alang ang mga bagong variable, ang equation ay isusulat sa anyo: X + Y = 1.

Ang disjunction ay totoo sa tatlong kaso: (0;1), (1;0) at (1;1), habang ang X at Y ay isang implikasyon, iyon ay, ito ay totoo sa tatlong kaso at mali sa isa. Samakatuwid, ang kaso (0;1) ay tumutugma sa tatlong posibleng kumbinasyon ng mga parameter. Case (1;1) - ay tumutugma sa siyam na posibleng kumbinasyon ng mga parameter ng orihinal na equation. Kaya, mayroong 3+9=15 posibleng solusyon ng equation na ito.

Ang sumusunod na paraan upang matukoy ang bilang ng mga solusyon sa isang sistema ng mga lohikal na equation ay − binary tree. Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito sa isang halimbawa.

Gawain: Ilang magkakaibang solusyon mayroon ang sistema ng mga lohikal na equation:

Ang ibinigay na sistema ng mga equation ay katumbas ng equation:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(x m -1 → x m) = 1.

Magpanggap na tayo x 1 ay totoo, pagkatapos ay mula sa unang equation makuha namin iyon x 2 totoo rin, mula sa pangalawa - x 3 =1, at iba pa hanggang x m= 1. Nangangahulugan ito na ang set (1; 1; …; 1) ng m unit ay ang solusyon ng system. Hayaan mo na x 1 =0, pagkatapos ay mula sa unang equation na mayroon kami x 2 =0 o x 2 =1.

Kailan x 2 totoo, nakuha natin na ang iba pang mga variable ay totoo rin, iyon ay, ang set (0; 1; ...; 1) ay ang solusyon ng system. Sa x 2 =0 makuha natin iyan x 3 =0 o x 3 =, at iba pa. Ang pagpapatuloy sa huling variable, nakuha namin na ang mga solusyon ng equation ay ang mga sumusunod na hanay ng mga variable (m + 1 solusyon, ang bawat solusyon ay may m mga halaga ng mga variable):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Ang diskarte na ito ay mahusay na inilarawan sa pamamagitan ng pagbuo ng isang binary tree. Ang bilang ng mga posibleng solusyon ay ang bilang ng iba't ibang sanga ng itinayong puno. Madaling makita na ito ay katumbas ng m + 1.

	Puno	Bilang ng mga desisyon
x 1
x2
x 3
		…

Sa kaso ng mga kahirapan sa pangangatwiran niyah at construction dedagundong ng mga solusyon, maaari kang maghanap ng solusyon gamit ang gamit mga talahanayan ng katotohanan, para sa isa o dalawang equation.

Muli naming isinusulat ang sistema ng mga equation sa anyo:

At gumawa tayo ng talahanayan ng katotohanan nang hiwalay para sa isang equation:

x 1	x2	(x 1 → x 2)

Gumawa tayo ng talahanayan ng katotohanan para sa dalawang equation:

x 1	x2	x 3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

Paksa ng aralin: Paglutas ng mga lohikal na equation

Pang-edukasyon - pag-aaral kung paano lutasin ang mga lohikal na equation, ang pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan para sa paglutas ng mga lohikal na equation at pagbuo ng lohikal na pagpapahayag ayon sa talahanayan ng katotohanan;

Pang-edukasyon - lumikha ng mga kondisyon para sa pagbuo ng nagbibigay-malay na interes ng mga mag-aaral, itaguyod ang pag-unlad ng memorya, atensyon, lohikal na pag-iisip;

Pang-edukasyon : mag-ambag sa edukasyon ng kakayahang makinig sa mga opinyon ng iba, edukasyon ng kalooban at tiyaga upang makamit ang mga huling resulta.

Uri ng aralin: pinagsamang aralin

Kagamitan: kompyuter, multimedia projector, presentasyon 6.

Sa panahon ng mga klase

Pag-uulit at pag-update ng mga pangunahing kaalaman. Pagsusuri ng takdang-aralin (10 minuto)

Sa nakaraang mga aralin, nakilala namin ang mga pangunahing batas ng algebra ng lohika, natutunan kung paano gamitin ang mga batas na ito upang gawing simple ang mga lohikal na expression.

Suriin natin ang araling-bahay sa pagpapasimple ng mga lohikal na expression:

1. Alin sa mga sumusunod na salita ang nakakatugon sa lohikal na kondisyon:

(unang katinig → pangalawang katinig)٨ (huling titik patinig → penultimate titik patinig)? Kung mayroong ilang mga ganoong salita, ipahiwatig ang pinakamaliit sa mga ito.

1) ANNA 2) MARIA 3) OLEG 4) STEPAN

Ipakilala natin ang notasyon:

Ang A ay ang unang titik ng isang katinig

Ang B ay ang pangalawang titik ng isang katinig

S ang huling patinig

D - penultimate na patinig

Gumawa tayo ng expression:

Gumawa tayo ng talahanayan:

2. Ipahiwatig kung aling lohikal na expression ang katumbas ng expression

Pasimplehin natin ang pagsulat ng orihinal na expression at ang mga iminungkahing opsyon:

3. Ang isang fragment ng talahanayan ng katotohanan ng expression F ay ibinigay:

Anong expression ang tumutugma sa F?

Tukuyin natin ang mga halaga ng mga expression na ito para sa tinukoy na mga halaga ng mga argumento:

Pagkilala sa paksa ng aralin, paglalahad ng bagong materyal (30 minuto)

Patuloy nating pinag-aaralan ang mga pangunahing kaalaman sa lohika at ang paksa ng ating aralin ngayon na "Paglutas ng mga lohikal na equation." Pagkatapos pag-aralan ang paksang ito, matututunan mo ang mga pangunahing paraan upang malutas ang mga lohikal na equation, makakuha ng mga kasanayan upang malutas ang mga equation na ito sa pamamagitan ng paggamit ng wika ng logic algebra at ang kakayahang bumuo ng lohikal na pagpapahayag sa talahanayan ng katotohanan.

1. Lutasin ang lohikal na equation

(¬K M) → (¬L M N)=0

Isulat ang iyong sagot bilang isang string ng apat na character: ang mga halaga ng mga variable na K, L, M, at N (sa ganoong pagkakasunud-sunod). Kaya, halimbawa, ang linya 1101 ay tumutugma sa K=1, L=1, M=0, N=1.

Solusyon:

Ibahin natin ang ekspresyon(¬K  M) → (¬L  M  N)

Mali ang expression kapag mali ang parehong termino. Ang pangalawang termino ay katumbas ng 0 kung M=0, N=0, L=1. Sa unang termino, K = 0, dahil M = 0, at
.

Sagot: 0100

2. Ilang solusyon mayroon ang equation (isaad lamang ang numero sa iyong sagot)?

Solusyon: baguhin ang expression

(A+B)*(C+D)=1

A+B=1 at C+D=1

Paraan 2: pag-compile ng talahanayan ng katotohanan

3 paraan: pagbuo ng SDNF - isang perpektong disjunctive normal na anyo para sa isang function - isang disjunction ng kumpletong regular na elementarya conjunctions.

Ibahin natin ang orihinal na expression, buksan ang mga bracket upang makuha ang disjunction ng mga conjunction:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Dagdagan natin ang mga pang-ugnay upang makumpleto ang mga pang-ugnay (ang produkto ng lahat ng mga argumento), buksan ang mga bracket:

Isaalang-alang ang parehong mga pang-ugnay:

Bilang resulta, nakakakuha kami ng SDNF na naglalaman ng 9 na mga conjunction. Samakatuwid, ang talahanayan ng katotohanan para sa function na ito ay may halaga na 1 sa 9 na hanay sa 2 4 =16 na hanay ng mga variable na halaga.

3. Ilang solusyon mayroon ang equation (isaad lamang ang numero sa iyong sagot)?

Pasimplehin natin ang expression:

3 paraan: pagtatayo ng SDNF

Isaalang-alang ang parehong mga pang-ugnay:

Bilang resulta, nakakakuha kami ng SDNF na naglalaman ng 5 pang-ugnay. Samakatuwid, ang talahanayan ng katotohanan para sa function na ito ay may value na 1 sa 5 row ng 2 4 =16 set ng variable value.

Pagbuo ng lohikal na pagpapahayag ayon sa talahanayan ng katotohanan:

para sa bawat hilera ng talahanayan ng katotohanan na naglalaman ng 1, binubuo namin ang produkto ng mga argumento, at ang mga variable na katumbas ng 0 ay kasama sa produkto na may negation, at ang mga variable na katumbas ng 1 - nang walang negation. Ang nais na ekspresyong F ay bubuuin ng kabuuan ng mga produktong nakuha. Pagkatapos, kung maaari, ang expression na ito ay dapat na pasimplehin.

Halimbawa: ang talahanayan ng katotohanan ng isang expression ay ibinigay. Bumuo ng lohikal na pagpapahayag.

Solusyon:

3. Takdang-Aralin (5 minuto)

Lutasin ang equation:

Gaano karaming mga solusyon ang mayroon ang equation (sagutin lamang ang numero)?

Ayon sa ibinigay na talahanayan ng katotohanan, gumawa ng lohikal na pagpapahayag at

pasimplehin ito.