Mga pagpipilian sa profile ng Exe. Pagpasa ng grado para sa pangunahing antas ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri sa matematika

Walang mga pagbabago sa Unified State Exam sa matematika sa antas ng profile sa 2019 - ang programa ng pagsusulit, tulad ng mga nakaraang taon, ay binubuo ng mga materyales mula sa mga pangunahing disiplina sa matematika. Maglalaman ang mga tiket ng mga problema sa matematika, geometriko, at algebraic.

Walang mga pagbabago sa KIM Unified State Exam 2019 sa matematika sa antas ng profile.

Mga tampok ng mga gawain ng Pinag-isang Estado sa Pagsusuri sa matematika 2019

• Kapag naghahanda para sa Unified State Exam sa matematika (profile), bigyang-pansin ang mga pangunahing kinakailangan ng programa ng pagsusulit. Ito ay idinisenyo upang subukan ang kaalaman sa isang malalim na programa: vector at mathematical na mga modelo, function at logarithms, algebraic equation at inequalities.
• Hiwalay, magsanay sa paglutas ng mga problema sa .
• Mahalagang magpakita ng makabagong pag-iisip.

Istraktura ng pagsusulit

Pinag-isang State Examination ang mga gawain sa specialized mathematics nahahati sa dalawang bloke.

1. Bahagi - maikling sagot, may kasamang 8 mga problema na sumusubok sa pangunahing paghahanda sa matematika at ang kakayahang ilapat ang kaalaman sa matematika sa pang-araw-araw na buhay.
2. bahagi - maikli at mga detalyadong sagot. Binubuo ito ng 11 mga gawain, 4 sa mga ito ay nangangailangan ng isang maikling sagot, at 7 - isang detalyadong isa na may mga argumento para sa mga aksyon na ginawa.

• Advanced na kahirapan- mga gawain 9-17 ng ikalawang bahagi ng KIM.
• Mataas na antas ng kahirapan- gawain 18-19 –. Ang bahaging ito ng mga gawain sa pagsusulit ay sumusubok hindi lamang sa antas ng kaalaman sa matematika, kundi pati na rin sa pagkakaroon o kawalan ng isang malikhaing diskarte sa paglutas ng mga tuyong "numerical" na gawain, pati na rin ang pagiging epektibo ng kakayahang gumamit ng kaalaman at kasanayan bilang isang propesyonal na tool. .

Mahalaga! Samakatuwid, kapag naghahanda para sa Unified State Exam, palaging suportahan ang iyong teorya sa matematika sa pamamagitan ng paglutas ng mga praktikal na problema.

Paano ipapamahagi ang mga puntos?

Ang mga gawain sa unang bahagi ng KIM sa matematika ay malapit sa pangunahing antas ng mga pagsusulit sa Unified State Exam, kaya imposibleng makakuha ng mataas na marka sa kanila.

Ang mga puntos para sa bawat gawain sa matematika sa antas ng profile ay ipinamahagi bilang mga sumusunod:

• para sa mga tamang sagot sa mga problema Blg. 1-12 - 1 puntos;
• No. 13-15 – 2 bawat isa;
• No. 16-17 – 3 bawat isa;
• No. 18-19 – 4 bawat isa.

Tagal ng pagsusulit at mga tuntunin ng pag-uugali para sa Pinag-isang Estado na Pagsusulit

Para makumpleto ang exam paper -2019 ang mag-aaral ay itinalaga 3 oras 55 minuto(235 minuto).

Sa panahong ito, ang mag-aaral ay hindi dapat:

• kumilos nang maingay;
• gumamit ng mga gadget at iba pang teknikal na paraan;
• isulat;
• subukang tumulong sa iba, o humingi ng tulong para sa iyong sarili.

Para sa mga naturang aksyon, ang examinee ay maaaring paalisin sa silid-aralan.

Para sa pagsusulit ng estado sa matematika pinapayagang magdala Magdala lamang ng ruler; ang natitirang mga materyales ay ibibigay sa iyo kaagad bago ang Unified State Exam. ay ibinibigay sa lugar.

Ang mabisang paghahanda ay ang solusyon sa mga online na pagsusulit sa matematika 2019. Piliin at makuha ang pinakamataas na marka!

Pangalawang pangkalahatang edukasyon

Linya ng UMK G. K. Muravin. Algebra at mga prinsipyo ng mathematical analysis (10-11) (in-depth)

Linya ng UMK Merzlyak. Algebra at simula ng pagsusuri (10-11) (U)

Mathematics

Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika (antas ng profile): mga gawain, solusyon at paliwanag

Ang pagsusuri sa antas ng profile ay tumatagal ng 3 oras 55 minuto (235 minuto).

Minimum na threshold- 27 puntos.

Ang papel ng pagsusulit ay binubuo ng dalawang bahagi, na naiiba sa nilalaman, pagiging kumplikado at bilang ng mga gawain.

Ang tampok na pagtukoy ng bawat bahagi ng gawain ay ang anyo ng mga gawain:

• bahagi 1 ay naglalaman ng 8 mga gawain (mga gawain 1-8) na may maikling sagot sa anyo ng isang integer o isang panghuling decimal fraction;
• bahagi 2 ay naglalaman ng 4 na gawain (mga gawain 9-12) na may maikling sagot sa anyo ng isang integer o isang panghuling bahagi ng decimal at 7 mga gawain (mga gawain 13-19) na may isang detalyadong sagot (buong talaan ng desisyon na may katwiran para sa mga aksyon na ginawa).

Panova Svetlana Anatolevna, guro sa matematika ng pinakamataas na kategorya ng paaralan, karanasan sa trabaho 20 taon:

“Upang makakuha ng sertipiko ng paaralan, ang isang nagtapos ay kailangang pumasa sa dalawang mandatoryong pagsusulit sa anyo ng Unified State Examination, isa na rito ang matematika. Alinsunod sa Konsepto para sa Pag-unlad ng Edukasyong Matematika sa Russian Federation, ang Pinag-isang Estado ng Pagsusulit sa matematika ay nahahati sa dalawang antas: pangunahing at dalubhasa. Ngayon ay titingnan natin ang mga opsyon sa antas ng profile.”

Gawain Blg. 1- sinusuri ang kakayahan ng mga kalahok sa USE na ilapat ang mga kasanayang nakuha sa kurso ng 5-9 na grado sa elementarya na matematika sa mga praktikal na aktibidad. Ang kalahok ay dapat magkaroon ng computational skills, marunong gumamit ng mga rational na numero, makapag-round ng decimal fraction, makapag-convert ng isang unit ng measurement sa isa pa.

Halimbawa 1. Sa apartment kung saan nakatira si Petr, isang malamig na metro ng tubig ang na-install. Noong Mayo 1, ang metro ay nagpakita ng pagkonsumo ng 172 cubic meters. m ng tubig, at sa una ng Hunyo - 177 metro kubiko. m. Anong halaga ang dapat bayaran ni Peter para sa malamig na tubig sa Mayo, kung ang presyo ay 1 metro kubiko? m ng malamig na tubig ay 34 rubles 17 kopecks? Ibigay ang iyong sagot sa rubles.

Solusyon:

1) Hanapin ang dami ng tubig na ginagastos bawat buwan:

177 - 172 = 5 (kubiko m)

2) Alamin natin kung magkano ang babayaran nila para sa nasayang na tubig:

34.17 5 = 170.85 (kuskusin)

Sagot: 170,85.

Gawain bilang 2- ay isa sa mga pinakasimpleng gawain sa pagsusulit. Ang karamihan ng mga nagtapos ay matagumpay na nakayanan ito, na nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng kahulugan ng konsepto ng pag-andar. Ang uri ng gawain No. 2 ayon sa mga kinakailangan na codifier ay isang gawain para sa paggamit ng nakuhang kaalaman at kasanayan sa mga praktikal na aktibidad at pang-araw-araw na buhay. Ang Gawain Blg. 2 ay binubuo ng paglalarawan, paggamit ng mga function, iba't ibang tunay na ugnayan sa pagitan ng mga dami at pagbibigay-kahulugan sa kanilang mga graph. Ang gawain bilang 2 ay sumusubok sa kakayahang kunin ang impormasyong ipinakita sa mga talahanayan, diagram, mga graph. Kailangang matukoy ng mga nagtapos ang halaga ng isang function sa pamamagitan ng halaga ng argument na may iba't ibang paraan ng pagtukoy ng function at ilarawan ang pag-uugali at katangian ng function ayon sa graph nito. Kinakailangan din na mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga mula sa function graph at bumuo ng mga graph ng mga pinag-aralan na function. Ang mga pagkakamaling nagawa ay random na kalikasan sa pagbabasa ng mga kondisyon ng problema, pagbabasa ng diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Halimbawa 2. Ipinapakita ng figure ang pagbabago sa halaga ng palitan ng isang bahagi ng isang kumpanya ng pagmimina sa unang kalahati ng Abril 2017. Noong Abril 7, bumili ang negosyante ng 1,000 shares ng kumpanyang ito. Noong Abril 10, ibinenta niya ang tatlong-kapat ng bahaging binili niya, at noong Abril 13, ibinenta niya ang lahat ng natitirang bahagi. Magkano ang nawala sa negosyante bilang resulta ng mga operasyong ito?

Solusyon:

2) 1000 · 3/4 = 750 (shares) - bumubuo ng 3/4 ng lahat ng share na binili.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rub) - ang negosyante ay nakatanggap ng 1000 na pagbabahagi pagkatapos ibenta.

7) 340,000 – 325,000 = 15,000 (rub) - natalo ang negosyante bilang resulta ng lahat ng operasyon.

Sagot: 15000.

Gawain Blg. 3- ay isang pangunahing antas ng gawain ng unang bahagi, sumusubok sa kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na numero ayon sa nilalaman ng kursong Planimetry. Sinusuri ng Gawain 3 ang kakayahang kalkulahin ang lugar ng isang figure sa checkered na papel, ang kakayahang kalkulahin ang mga sukat ng antas ng mga anggulo, kalkulahin ang mga perimeter, atbp.

Halimbawa 3. Hanapin ang lugar ng isang parihaba na iginuhit sa checkered na papel na may sukat ng cell na 1 cm sa 1 cm (tingnan ang figure). Ibigay ang iyong sagot sa square centimeters.

Solusyon: Upang makalkula ang lugar ng isang naibigay na figure, maaari mong gamitin ang Peak formula:

Upang kalkulahin ang lugar ng isang parihaba, ginagamit namin ang formula ng Peak:

Halimbawa 4. May 5 pula at 1 asul na tuldok na minarkahan sa bilog. Tukuyin kung aling mga polygon ang mas malaki: yaong may lahat ng vertices na pula, o yaong may isa sa mga vertices na asul. Sa iyong sagot, ipahiwatig kung ilan ang mas marami kaysa sa iba.

Solusyon: 1) Gamitin natin ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ng n mga elemento sa pamamagitan ng k:

na ang mga vertex ay pula lahat.

3) Isang pentagon na may pulang lahat ng vertex.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygon na may lahat ng pulang vertices.

na may pulang tuktok o may isang asul na tuktok.

na may pulang tuktok o may isang asul na tuktok.

8) Isang hexagon na may pulang vertex at isang asul na vertex.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygon na may lahat ng pulang vertex o isang asul na vertex.

10) 42 – 16 = 26 polygon gamit ang asul na tuldok.

11) 26 – 16 = 10 polygons – ilang polygons kung saan ang isa sa mga vertices ay isang asul na tuldok ang naroroon kaysa sa mga polygon kung saan ang lahat ng vertices ay pula lamang.

Sagot: 10.

Gawain Blg. 5- ang pangunahing antas ng unang bahagi ay sumusubok sa kakayahang malutas ang mga simpleng equation (hindi makatwiran, exponential, trigonometric, logarithmic).

Halimbawa 5. Lutasin ang equation 2 3 + x= 0.4 5 3 + x .

Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 3 + X≠ 0, nakukuha namin

kung saan ito sumusunod na 3 + x = 1, x = –2.

Sagot: –2.

Gawain Blg. 6 sa planimetry upang makahanap ng mga geometric na dami (mga haba, anggulo, mga lugar), pagmomodelo ng mga totoong sitwasyon sa wika ng geometry. Pag-aaral ng mga itinayong modelo gamit ang mga geometric na konsepto at teorema. Ang pinagmumulan ng mga paghihirap ay, bilang panuntunan, kamangmangan o hindi tamang aplikasyon ng mga kinakailangang theorems ng planimetry.

Lugar ng isang tatsulok ABC katumbas ng 129. DE– midline parallel sa gilid AB. Hanapin ang lugar ng trapezoid ISANG KAMA.

Solusyon. Tatsulok CDE katulad ng isang tatsulok CAB sa dalawang anggulo, dahil ang anggulo sa vertex C pangkalahatan, anggulo СDE katumbas ng anggulo CAB bilang ang mga kaukulang anggulo sa DE || AB secant A.C.. kasi DE ay ang gitnang linya ng isang tatsulok ayon sa kundisyon, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pag-aari ng gitnang linya | DE = (1/2)AB. Nangangahulugan ito na ang koepisyent ng pagkakatulad ay 0.5. Ang mga lugar ng magkatulad na mga numero ay nauugnay bilang parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad, samakatuwid

Kaya naman, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Gawain Blg. 7- sinusuri ang aplikasyon ng derivative sa pag-aaral ng isang function. Ang matagumpay na pagpapatupad ay nangangailangan ng makabuluhan, hindi pormal na kaalaman sa konsepto ng derivative.

Halimbawa 7 Sa graph ng function y = f(x) sa punto ng abscissa x 0 ang isang tangent ay iginuhit na patayo sa linyang dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; –1) ng graph na ito. Hanapin f′( x 0).

Solusyon. 1) Gamitin natin ang equation ng isang linyang dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos at hanapin ang equation ng isang linyang dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4.

2) Hanapin ang slope ng tangent k 2, na patayo sa linya y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4, ayon sa formula:

3) Ang tangent angle ay ang derivative ng function sa punto ng tangency. Ibig sabihin, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Sagot: –0,25.

Gawain bilang 8- sinusubok ang kaalaman ng mga kalahok sa pagsusulit sa elementarya na stereometry, ang kakayahang mag-aplay ng mga formula para sa paghahanap ng mga surface area at volume ng figure, dihedral angles, ihambing ang mga volume ng magkatulad na figure, magagawang magsagawa ng mga aksyon gamit ang geometric figure, coordinate at vectors, atbp.

Ang volume ng isang cube na nakapaligid sa isang sphere ay 216. Hanapin ang radius ng sphere.

Solusyon. 1) V kubo = a 3 (saan A– haba ng gilid ng kubo), samakatuwid

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Dahil ang globo ay nakasulat sa isang kubo, nangangahulugan ito na ang haba ng diameter ng globo ay katumbas ng haba ng gilid ng kubo, samakatuwid d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Gawain bilang 9- nangangailangan ang nagtapos na magkaroon ng mga kasanayan sa pagbabago at pasimplehin ang mga algebraic na expression. Gawain Blg. 9 ng tumaas na antas ng kahirapan na may maikling sagot. Ang mga gawain mula sa seksyong "Mga Pagkalkula at Pagbabago" sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado ay nahahati sa ilang uri:

pagbabago ng numerical rational expression;

pag-convert ng mga algebraic na expression at fraction;

conversion ng mga numeric/letter na hindi makatwiran na expression;

mga aksyon na may mga degree;

pag-convert ng logarithmic expression;

1. pag-convert ng numeric/letter na trigonometric na expression.

Halimbawa 9. Kalkulahin ang tanα kung alam na cos2α = 0.6 at

Solusyon. 1) Gamitin natin ang double argument formula: cos2α = 2 cos 2 α – 1 at hanapin

Nangangahulugan ito ng tan 2 α = ± 0.5.

3) Ayon sa kondisyon

nangangahulugan ito na ang α ay ang anggulo ng ikalawang quarter at tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Sagot: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Gawain Blg. 10- sinusubok ang kakayahan ng mga mag-aaral na gamitin ang nakuhang maagang kaalaman at kasanayan sa mga praktikal na gawain at pang-araw-araw na buhay. Maaari nating sabihin na ang mga ito ay mga problema sa pisika, at hindi sa matematika, ngunit ang lahat ng kinakailangang mga formula at dami ay ibinibigay sa kondisyon. Ang mga problema ay bumulusok sa paglutas ng isang linear o quadratic equation, o isang linear o quadratic inequality. Samakatuwid, kinakailangan upang malutas ang mga naturang equation at hindi pagkakapantay-pantay at matukoy ang sagot. Ang sagot ay dapat ibigay bilang isang buong numero o isang finite decimal fraction.

Dalawang katawan ng masa m= 2 kg bawat isa, gumagalaw sa parehong bilis v= 10 m/s sa isang anggulo na 2α sa bawat isa. Ang enerhiya (sa joules) na inilabas sa panahon ng kanilang ganap na hindi nababanat na banggaan ay tinutukoy ng expression Q = mv 2 kasalanan 2 α. Sa anong pinakamaliit na anggulo 2α (sa digri) dapat gumalaw ang mga katawan upang hindi bababa sa 50 joule ang mailabas bilang resulta ng banggaan?
Solusyon. Upang malutas ang problema, kailangan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay Q ≥ 50, sa pagitan ng 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Dahil α ∈ (0°; 90°), malulutas lamang natin

Ibigay natin sa graphical na paraan ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay:

Dahil sa pamamagitan ng kundisyon α ∈ (0°; 90°), nangangahulugan ito ng 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Gawain bilang 11- ay tipikal, ngunit lumalabas na mahirap para sa mga mag-aaral. Ang pangunahing pinagmumulan ng kahirapan ay ang pagbuo ng isang modelo ng matematika (pagguhit ng isang equation). Ang Gawain Blg. 11 ay sumusubok sa kakayahang lutasin ang mga problema sa salita.

Halimbawa 11. Sa panahon ng spring break, ang 11-grader na si Vasya ay kailangang lutasin ang 560 mga problema sa pagsasanay upang maghanda para sa Unified State Exam. Noong Marso 18, sa huling araw ng paaralan, nalutas ni Vasya ang 5 mga problema. Pagkatapos araw-araw ay nalutas niya ang parehong bilang ng mga problema nang higit pa kaysa sa nakaraang araw. Tukuyin kung gaano karaming mga problema ang nalutas ni Vasya noong Abril 2, ang huling araw ng mga pista opisyal.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Sagot: 65.

Gawain Blg. 12- sinusubok nila ang kakayahan ng mga mag-aaral na magsagawa ng mga operasyon na may mga function, at upang mailapat ang derivative sa pag-aaral ng isang function.

Hanapin ang pinakamataas na punto ng isang function y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Solusyon: 1) Hanapin ang domain ng kahulugan ng function: x + 9 > 0, x> –9, ibig sabihin, x ∈ (–9; ∞).

2) Hanapin ang derivative ng function:

4) Ang nahanap na punto ay kabilang sa pagitan (–9; ∞). Tukuyin natin ang mga palatandaan ng derivative ng function at ilarawan ang pag-uugali ng function sa figure:

Ang nais na pinakamataas na punto x = –8.

a) Lutasin ang equation na 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment.

Solusyon: a) Hayaan ang log 3 (2cos x) = t, pagkatapos 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Hanapin ang mga ugat na nakahiga sa segment .

Ipinapakita ng figure na ang mga ugat ng ibinigay na segment ay nabibilang sa

Ang diameter ng bilog ng base ng cylinder ay 20, ang generatrix ng cylinder ay 28. Ang eroplano ay nag-intersect sa base nito kasama ang mga chord na may haba na 12 at 16. Ang distansya sa pagitan ng mga chords ay 2√197.

a) Patunayan na ang mga sentro ng mga base ng silindro ay nasa isang gilid ng eroplanong ito.

b) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng eroplanong ito at ng eroplano ng base ng silindro.

Solusyon: a) Ang isang chord na may haba na 12 ay nasa layo na = 8 mula sa gitna ng base na bilog, at isang chord na may haba na 16, na katulad nito, ay nasa layo na 6. Samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng kanilang mga projection papunta sa isang eroplanong kahanay ng Ang mga base ng mga silindro ay alinman sa 8 + 6 = 14, o 8 − 6 = 2.

Kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga chord ay alinman

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ayon sa kondisyon, ang pangalawang kaso ay natanto, kung saan ang mga projection ng chords ay namamalagi sa isang gilid ng cylinder axis. Nangangahulugan ito na ang axis ay hindi bumalandra sa eroplanong ito sa loob ng silindro, iyon ay, ang mga base ay nasa isang gilid nito. Ano ang kailangang patunayan.

b) Tukuyin natin ang mga sentro ng mga base bilang O 1 at O ​​2. Gumuhit tayo mula sa gitna ng base na may chord na may haba na 12 ng isang patayong bisector sa chord na ito (ito ay may haba na 8, gaya ng nabanggit na) at mula sa gitna ng kabilang base hanggang sa kabilang chord. Nakahiga sila sa parehong eroplanong β patayo sa mga chord na ito. Tawagan natin ang midpoint ng mas maliit na chord B, ang mas malaking chord A at ang projection ng A sa pangalawang base - H (H ∈ β). Pagkatapos AB,AH ∈ β at samakatuwid AB,AH ay patayo sa chord, iyon ay, ang tuwid na linya ng intersection ng base sa ibinigay na eroplano.

Nangangahulugan ito na ang kinakailangang anggulo ay katumbas ng

Gawain Blg. 15- nadagdagan ang antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot, sumusubok sa kakayahang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, na pinakamatagumpay na nalutas sa mga gawain na may isang detalyadong sagot ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado.

Halimbawa 15. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Solusyon: Ang domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang pagitan (–1; +∞). Isaalang-alang ang tatlong kaso nang hiwalay:

1) Hayaan x 2 – 3x= 0, ibig sabihin. X= 0 o X= 3. Sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging totoo, samakatuwid, ang mga halagang ito ay kasama sa solusyon.

2) Hayaan ngayon x 2 – 3x> 0, ibig sabihin. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa anyo ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 at hatiin sa pamamagitan ng isang positibong expression x 2 – 3x. Nakakuha kami ng log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 –1 o x≤ –0.5. Isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan, mayroon tayo x ∈ (–1; –0,5].

3) Panghuli, isaalang-alang x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Sa kasong ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat sa anyo (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Pagkatapos hatiin sa pamamagitan ng positibong ekspresyon 3 x – x 2 , nakakakuha tayo ng log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Isinasaalang-alang ang rehiyon, mayroon tayo x ∈ (0; 1].

Ang pagsasama-sama ng mga solusyon na nakuha, nakuha namin x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Sagot: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Gawain Blg. 16- ang advanced na antas ay tumutukoy sa mga gawain sa ikalawang bahagi na may detalyadong sagot. Ang gawain ay sumusubok sa kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na hugis, coordinate at vectors. Ang gawain ay naglalaman ng dalawang puntos. Sa unang punto, ang gawain ay dapat na mapatunayan, at sa pangalawang punto, kalkulahin.

Sa isang isosceles triangle ABC na may anggulo na 120°, ang bisector BD ay iginuhit sa vertex A. Ang rectangle DEFH ay nakasulat sa tatsulok na ABC upang ang gilid ng FH ay nasa segment BC, at ang vertex E ay nasa segment AB. a) Patunayan na ang FH = 2DH. b) Hanapin ang lugar ng rectangle DEFH kung AB = 4.

Solusyon: A)

1) ΔBEF – hugis-parihaba, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, pagkatapos ay EF = BE sa pamamagitan ng pag-aari ng binti na nakahiga sa tapat ng anggulo ng 30°.

2) Hayaan ang EF = DH = x, pagkatapos BE = 2 x, BF = x√3 ng Pythagorean theorem.

3) Dahil ang ΔABC ay isosceles, ibig sabihin ay ∠B = ∠C = 30˚.

Ang BD ay ang bisector ng ∠B, na nangangahulugang ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Isaalang-alang ang ΔDBH - hugis-parihaba, dahil DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Sagot: 24 – 12√3.

Halimbawa 17. Ang isang deposito na 20 milyong rubles ay binalak na buksan sa loob ng apat na taon. Sa katapusan ng bawat taon, tinataasan ng bangko ang deposito ng 10% kumpara sa laki nito sa simula ng taon. Bilang karagdagan, sa simula ng ikatlo at ikaapat na taon, taunang pinupunan ng mamumuhunan ang deposito sa pamamagitan ng X milyong rubles, kung saan X - buo numero. Hanapin ang pinakamalaking halaga X, kung saan ang bangko ay makakaipon ng mas mababa sa 17 milyong rubles sa deposito sa loob ng apat na taon.

Solusyon: Sa pagtatapos ng unang taon, ang kontribusyon ay magiging 20 + 20 · 0.1 = 22 milyong rubles, at sa pagtatapos ng pangalawa - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 milyong rubles. Sa simula ng ikatlong taon, ang kontribusyon (sa milyong rubles) ay magiging (24.2 + X), at sa dulo - (24.2 + X) + (24,2 + X)· 0.1 = (26.62 + 1.1 X). Sa simula ng ikaapat na taon ang kontribusyon ay magiging (26.62 + 2.1 X), at sa dulo - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0.1 = (29.282 + 2.31 X). Sa pamamagitan ng kundisyon, kailangan mong hanapin ang pinakamalaking integer x kung saan hawak ang hindi pagkakapantay-pantay

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Ang pinakamalaking integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang numero 24.

Sagot: 24.

sa ano a sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

may eksaktong dalawang solusyon?

Solusyon: Ang sistemang ito ay maaaring muling isulat bilang

Kung iguguhit natin sa eroplano ang hanay ng mga solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay, makukuha natin ang loob ng isang bilog (na may hangganan) ng radius 1 na may sentro sa punto (0, A). Ang hanay ng mga solusyon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay ang bahagi ng eroplano na nasa ilalim ng graph ng function. y = | x| – a, at ang huli ay ang graph ng function
y = | x| , inilipat pababa ng A. Ang solusyon sa sistemang ito ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon sa bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Dahil dito, ang sistemang ito ay magkakaroon lamang ng dalawang solusyon sa kaso na ipinapakita sa Fig. 1.

Ang mga punto ng contact sa pagitan ng bilog at ng mga linya ay ang dalawang solusyon ng system. Ang bawat isa sa mga tuwid na linya ay nakahilig sa mga palakol sa isang anggulo na 45°. Kaya ito ay isang tatsulok PQR- hugis-parihaba isosceles. Dot Q may mga coordinate (0, A), at ang punto R– mga coordinate (0, – A). Bilang karagdagan, ang mga segment PR At PQ ay katumbas ng radius ng bilog na katumbas ng 1. Samakatuwid,

Hayaan Si Sn sum P miyembro ng isang arithmetic progression ( isang p). Ito ay kilala na S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Ibigay ang formula P ika-taon ng pag-unlad na ito.

b) Hanapin ang pinakamaliit na modulo sum S n.

c) Hanapin ang pinakamaliit P, Kung saan S n ay magiging parisukat ng isang integer.

Solusyon: a) Ito ay malinaw na isang n = S n – S n- 1 . Gamit ang formula na ito, nakukuha natin ang:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Ibig sabihin, isang n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Mula noon S n = 2n 2 – 25n, pagkatapos ay isaalang-alang ang function S(x) = | 2x 2 – 25x|. Ang kanyang graph ay makikita sa figure.

Malinaw, ang pinakamaliit na halaga ay nakakamit sa mga integer point na pinakamalapit sa mga zero ng function. Malinaw na ito ay mga punto X= 1, X= 12 at X= 13. Dahil, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, kung gayon ang pinakamaliit na halaga ay 12.

c) Mula sa nakaraang talata ito ay sumusunod na Si Sn positibo mula noon n= 13. Dahil S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), kung gayon ang malinaw na kaso, kapag ang ekspresyong ito ay isang perpektong parisukat, ay natanto kung kailan n = 2n– 25, ibig sabihin, sa P= 25.

Ito ay nananatiling suriin ang mga halaga mula 13 hanggang 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Lumalabas na para sa mas maliliit na halaga P hindi nakakamit ang buong parisukat.

Sagot: A) isang n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Mula noong Mayo 2017, ang nagkakaisang pangkat ng paglalathala na "DROFA-VENTANA" ay naging bahagi ng korporasyon ng Russian Textbook. Kasama rin sa korporasyon ang Astrel publishing house at ang LECTA digital educational platform. Alexander Brychkin, isang nagtapos ng Financial Academy sa ilalim ng Pamahalaan ng Russian Federation, Kandidato ng Economic Sciences, pinuno ng mga makabagong proyekto ng DROFA publishing house sa larangan ng digital na edukasyon (mga elektronikong anyo ng mga aklat-aralin, Russian Electronic School, digital educational platform LECTA) ay hinirang na Pangkalahatang Direktor. Bago sumali sa DROFA publishing house, hinawakan niya ang posisyon ng vice president para sa strategic development at investments ng publishing na may hawak na EKSMO-AST. Ngayon, ang korporasyon ng pag-publish na "Russian Textbook" ay may pinakamalaking portfolio ng mga aklat-aralin na kasama sa Listahan ng Pederal - 485 na mga pamagat (humigit-kumulang 40%, hindi kasama ang mga aklat-aralin para sa mga espesyal na paaralan). Ang mga bahay sa pag-publish ng korporasyon ay nagmamay-ari ng pinakasikat na hanay ng mga aklat-aralin sa mga paaralang Ruso sa pisika, pagguhit, biology, kimika, teknolohiya, heograpiya, astronomiya - mga lugar ng kaalaman na kinakailangan para sa pagpapaunlad ng produktibong potensyal ng bansa. Kasama sa portfolio ng korporasyon ang mga aklat-aralin at mga pantulong sa pagtuturo para sa mga elementarya, na ginawaran ng Presidential Award sa larangan ng edukasyon. Ang mga ito ay mga aklat-aralin at manwal sa mga paksa na kinakailangan para sa pagbuo ng potensyal na pang-agham, teknikal at produksyon ng Russia.

Pagsusuri

dalawang bahagi, kasama ang 19 na gawain. Bahagi 1 Bahagi 2

3 oras 55 minuto(235 minuto).

Mga sagot

Pero kaya mo gumawa ng compass Mga Calculator sa pagsusulit hindi ginagamit.

pasaporte), pumasa at capillary o! Pinapayagan na kumuha kasama ang sarili ko tubig(sa isang transparent na bote) at pupunta ako

Ang pagsusulit na papel ay binubuo ng dalawang bahagi, kasama ang 19 na gawain. Bahagi 1 naglalaman ng 8 mga gawain ng isang pangunahing antas ng kahirapan na may maikling sagot. Bahagi 2 naglalaman ng 4 na gawain ng mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may maikling sagot at 7 mga gawain ng isang mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot.

Ang gawain sa pagsusulit sa matematika ay inilaan 3 oras 55 minuto(235 minuto).

Mga sagot para sa mga gawain 1–12 ay isinulat bilang isang buong numero o finite decimal fraction. Isulat ang mga numero sa mga patlang ng sagot sa teksto ng trabaho, at pagkatapos ay ilipat ang mga ito upang sagutin ang form No. 1, na ibinigay sa panahon ng pagsusulit!

Kapag gumaganap ng trabaho, maaari mong gamitin ang mga ibinigay kasama ng trabaho. Isang ruler lang ang pinapayagan, ngunit ito ay posible gumawa ng compass gamit ang iyong sariling mga kamay. Huwag gumamit ng mga instrumento na may mga reference na materyales na naka-print sa kanila. Mga Calculator sa pagsusulit hindi ginagamit.

Dapat ay may dala kang dokumentong pagkakakilanlan sa panahon ng pagsusulit ( pasaporte), pumasa at maliliit na ugat o gel pen na may itim na tinta! Pinapayagan na kumuha kasama ang sarili ko tubig(sa isang transparent na bote) at pupunta ako(prutas, tsokolate, buns, sandwich), ngunit maaari nilang hilingin sa iyo na iwanan ang mga ito sa koridor.

Pagsusuri

dalawang bahagi, kasama ang 19 na gawain. Bahagi 1 Bahagi 2

3 oras 55 minuto(235 minuto).

Mga sagot

Pero kaya mo gumawa ng compass Mga Calculator sa pagsusulit hindi ginagamit.

pasaporte), pumasa at capillary o! Pinapayagan na kumuha kasama ang sarili ko tubig(sa isang transparent na bote) at pupunta ako

Ang pagsusulit na papel ay binubuo ng dalawang bahagi, kasama ang 19 na gawain. Bahagi 1 naglalaman ng 8 mga gawain ng isang pangunahing antas ng kahirapan na may maikling sagot. Bahagi 2 naglalaman ng 4 na gawain ng mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may maikling sagot at 7 mga gawain ng isang mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot.

Ang gawain sa pagsusulit sa matematika ay inilaan 3 oras 55 minuto(235 minuto).

Mga sagot para sa mga gawain 1–12 ay isinulat bilang isang buong numero o finite decimal fraction. Isulat ang mga numero sa mga patlang ng sagot sa teksto ng trabaho, at pagkatapos ay ilipat ang mga ito upang sagutin ang form No. 1, na ibinigay sa panahon ng pagsusulit!

Kapag gumaganap ng trabaho, maaari mong gamitin ang mga ibinigay kasama ng trabaho. Isang ruler lang ang pinapayagan, ngunit ito ay posible gumawa ng compass gamit ang iyong sariling mga kamay. Huwag gumamit ng mga instrumento na may mga reference na materyales na naka-print sa kanila. Mga Calculator sa pagsusulit hindi ginagamit.

Dapat ay may dala kang dokumentong pagkakakilanlan sa panahon ng pagsusulit ( pasaporte), pumasa at maliliit na ugat o gel pen na may itim na tinta! Pinapayagan na kumuha kasama ang sarili ko tubig(sa isang transparent na bote) at pupunta ako(prutas, tsokolate, buns, sandwich), ngunit maaari nilang hilingin sa iyo na iwanan ang mga ito sa koridor.