Dihedral açı, düzleme dik. Dihedral açı

BİRİNCİ BÖLÜM HATLAR VE UÇAKLAR

V. DİHEDRAL AÇILAR, DÜZLEM İLE BİR DİK AÇI,
İKİ GEÇİŞ HAKKI AÇISI, ÇOK YÖNLÜ AÇILAR

dihedral açılar

38. Tanımlar. Bir düzlemin, doğrunun bir tarafında bulunan ve o düzlemde kalan kısmına denir. yarı düzlem. Bir düz çizgiden (AB) çıkan iki yarım düzlemin (P ve Q, Şekil 26) oluşturduğu şekle denir. Dihedral açı. AB düz çizgisine denir. kenar, ve yarı düzlemler P ve Q - partiler veya yüzler Dihedral açı.

Böyle bir açı genellikle kenarına yerleştirilmiş iki harfle gösterilir (iki köşeli açı AB). Ancak bir kenarda dihedral açı yoksa, her biri dört harfle gösterilir, bunlardan ikisi ortadaki kenarda ve ikisi uçta olan yüzlerdedir (örneğin, SCDR dihedral açısı) (Şek. 27).

İsteğe bağlı bir D noktasından AB kenarlarını (Şekil 28) kenara dik olarak her bir yüze çizersek, bunların oluşturduğu CDE açısına denir. doğrusal açı Dihedral açı.

Doğrusal bir açının değeri, köşesinin kenardaki konumuna bağlı değildir. Böylece, CDE ve C 1 D 1 E 1 lineer açıları eşittir, çünkü kenarları sırasıyla paralel ve eşit olarak yönlendirilir.

Doğrusal bir açının düzlemi kenara diktir çünkü kendisine dik iki çizgi içerir. Bu nedenle, doğrusal bir açı elde etmek için, belirli bir dihedral açının yüzlerini kenara dik bir düzlemle kesiştirmek ve bu düzlemde elde edilen açıyı dikkate almak yeterlidir.

39. Dihedral açıların eşitliği ve eşitsizliği.İki dihedral açı, iç içe olduklarında birleştirilebiliyorsa eşit kabul edilir; aksi takdirde, dihedral açılardan birinin diğer açının bir parçasını oluşturacak olan daha küçük olduğu kabul edilir.

Planimetrideki açılar gibi, dihedral açılar da olabilir. bitişik, dikey vb.

Bitişik iki dihedral açı birbirine eşitse, her birine denir. sağ dihedral açı.

Teoremler. 1) Eşit dihedral açılar, eşit doğrusal açılara karşılık gelir.

2) Daha büyük bir dihedral açı, daha büyük bir doğrusal açıya karşılık gelir.

PABQ ve P 1 A 1 B 1 Q 1 (Şekil 29) iki dihedral açı olsun. A 1 B 1 açısını AB açısına gömün, böylece A 1 B 1 kenarı AB kenarıyla ve P 1 yüzü P yüzü ile çakışsın.

O zaman bu dihedral açılar eşitse, o zaman Q 1 yüzü Q yüzü ile çakışacaktır; A 1 B 1 açısı AB açısından küçükse, o zaman Q 1 yüzü dihedral açı içinde bir pozisyon alacaktır, örneğin Q 2 .

Bunu fark ederek, ortak bir kenar üzerinde bir B noktası alıyoruz ve bu noktadan, kenara dik bir R düzlemi çiziyoruz. Bu düzlemin dihedral açıların yüzleriyle kesişmesinden doğrusal açılar elde edilir. Dihedral açılar çakışırsa, aynı doğrusal açı CBD'ye sahip olacakları açıktır; dihedral açılar çakışmazsa, örneğin, Q 1 yüzü Q 2 konumunu alırsa, daha büyük dihedral açı daha büyük bir doğrusal açıya sahip olacaktır (yani: / MİA > / C2BD).

40. Ters teoremler. 1) Eşit doğrusal açılar, eşit dihedral açılara karşılık gelir.

2) Daha büyük bir doğrusal açı, daha büyük bir dihedral açıya karşılık gelir .

Bu teoremler çelişki ile kolayca kanıtlanır.

41. Sonuçlar. 1) Bir dik dihedral açı, bir dik doğrusal açıya karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir.

(Şekil 30) PABQ dihedral açısı bir dik açı olsun. Bu, komşu QABP 1 açısına eşit olduğu anlamına gelir. Ancak bu durumda, CDE ve CDE 1 lineer açıları da eşittir; ve bitişik oldukları için her biri düz olmalıdır. Tersine, eğer bitişik lineer açılar CDE ve CDE 1 eşitse, o zaman bitişik dihedral açılar da eşittir, yani her biri doğru olmalıdır.

2) Tüm dik dihedral açılar eşittir, doğrusal açıları eşit olduğu için .

Benzer şekilde, şunu kanıtlamak kolaydır:

3) Dikey dihedral açılar eşittir.

4) Dihedral karşılık gelen paralel ve eşit (veya zıt) yönlendirilmiş yüzleri olan açılar eşittir.

5) Bir doğrusal açı birimine karşılık gelen böyle bir dihedral açıyı bir dihedral açı birimi olarak alırsak, o zaman bir dihedral açının doğrusal açısıyla ölçüldüğünü söyleyebiliriz.

Dersin amacı: dihedral açı kavramının ve lineer açının tanıtılması.

Görevler:

eğitici: bu kavramların uygulanması için görevleri düşünmek, düzlemler arasındaki açıyı bulma konusunda yapıcı bir beceri oluşturmak;

Geliştirme: öğrencilerin yaratıcı düşüncesinin gelişimi, öğrencilerin kişisel gelişimi, öğrencilerin konuşmalarının gelişimi;

eğitici: zihinsel çalışma kültürünün eğitimi, iletişim kültürü, yansıtıcı kültür.

Ders türü: yeni bilgi öğrenmede bir ders

Öğretme teknikleri: açıklayıcı ve açıklayıcı

Teçhizat: bilgisayar, interaktif beyaz tahta.

Edebiyat:

Geometri. 10-11. Sınıflar: ders kitabı. 10-11 hücre için. Genel Eğitim kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [L. S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri] - 18. baskı. - E. : Eğitim, 2009. - 255 s.

Ders planı:

Organizasyon anı (2 dk)

Bilgi güncelleme (5 dk)

Yeni materyal öğrenme (12 dak)

İncelenen materyalin konsolidasyonu (21 dakika)

Ödev (2 dk)

Özetleme (3 dk)

Dersler sırasında:

1. Organizasyonel an.

Sınıf öğretmeninin selamını, ders için odanın hazırlanmasını, devamsızların kontrol edilmesini içerir.

2. Temel bilgilerin gerçekleştirilmesi.

Öğretmen: Son derste bağımsız bir çalışma yazdınız. Genel olarak, eser iyi yazılmıştı. Şimdi biraz tekrar edelim. Düzlemde açıya ne denir?

Öğrenci: Bir düzlemde açı, bir noktadan çıkan iki ışının oluşturduğu bir şekildir.

Öğretmen: Uzayda doğrular arasındaki açıya ne denir?

Öğrenci: Uzayda kesişen iki doğru arasındaki açı, bu doğruların ışınlarının kesiştikleri noktada tepe noktası ile oluşturdukları açıların en küçüğüdür.

Öğrenci: Kesişen çizgiler arasındaki açı, sırasıyla verilere paralel olarak kesişen çizgiler arasındaki açıdır.

Öğretmen: Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıya ne denir?

Öğrenci: Doğru ile düzlem arasındaki açıBir doğru ile bu düzleme izdüşümü arasındaki herhangi bir açıya denir.

3. Yeni malzeme çalışması.

Öğretmen: Stereometride, bu tür açılarla birlikte, başka bir açı türü dikkate alınır - dihedral açılar. Muhtemelen bugünün dersinin konusunun ne olduğunu tahmin etmişsinizdir, bu yüzden defterlerinizi açın, bugünün tarihini ve dersin konusunu yazın.

Tahtaya ve defterlere yazmak:

10.12.14.

Dihedral açı.

Öğretmen : Bir dihedral açı kavramını tanıtmak için, belirli bir düzlemde çizilen herhangi bir düz çizginin bu düzlemi iki yarım düzleme böldüğü hatırlanmalıdır.(Şekil 1a)

Öğretmen : Düz bir çizgi boyunca düzlemi büktüğümüzü, böylece sınırı olan iki yarım düzlemin artık aynı düzlemde bulunmadığını düşünelim (Şekil 1, b). Ortaya çıkan şekil dihedral açıdır. Dihedral açı, düz bir çizgi ve aynı düzleme ait olmayan ortak bir sınırı olan iki yarım düzlemden oluşan bir şekildir. Bir dihedral açı oluşturan yarım düzlemlere yüzleri denir. Bir dihedral açının iki yüzü vardır, bu nedenle adı - dihedral açı. Düz çizgi - yarım düzlemlerin ortak sınırı - dihedral açının kenarı olarak adlandırılır. Tanımı defterinize yazın.

Dihedral açı, düz bir çizgi ve aynı düzleme ait olmayan ortak bir sınırı olan iki yarım düzlemden oluşan bir şekildir.

Öğretmen : Günlük yaşamda, genellikle dihedral açı şeklindeki nesnelerle karşılaşırız. Örnekler ver.

Öğrenci : Yarı açık klasör.

Öğrenci : Odanın duvarı zeminle birlikte.

Öğrenci : Binaların beşik çatıları.

Öğretmen : Doğru şekilde. Ve bunun gibi birçok örnek var.

Öğretmen : Bildiğiniz gibi bir düzlemde açılar derece ile ölçülür. Muhtemelen bir sorunuz var, ancak dihedral açılar nasıl ölçülür? Bu, aşağıdaki şekilde yapılır.Dihedral açının kenarında bir noktayı işaretliyoruz ve bu noktadan her yüzde kenara dik bir ışın çiziyoruz. Bu ışınların oluşturduğu açıya dihedral açının lineer açısı denir. Defterlerinize bir çizim yapın.

Tahtaya ve defterlere yazı yazmak.

Ö ∈ bir, AO ⊥ bir, VO ⊥ a, SABD- Dihedral açı,∠ AOBdihedral açının lineer açısıdır.

Öğretmen : Bir dihedral açının tüm lineer açıları eşittir. Kendine böyle bir şey yap.

Öğretmen : Hadi kanıtlayalım. İki doğrusal açıyı AOB vePQR. Işınlar OA veQPaynı yüz üzerinde yalan ve dikOQ, yani hizalanmışlar. Benzer şekilde, OB ışınları veQRbirlikte yönetilir. Anlamına geliyor,∠ AOB= ∠ PQR(eş yönlü kenarları olan açılar gibi).

Öğretmen : Şimdi sorumuzun cevabı dihedral açının nasıl ölçüldüğü.Bir dihedral açının derece ölçüsü, doğrusal açısının derece ölçüsüdür. Sayfa 48'deki ders kitabından bir dar, sağ ve geniş dihedral açının çizimlerini yeniden çizin.

4. Çalışılan materyalin konsolidasyonu.

Öğretmen : Görevler için çizimler yapın.

№ 1 . Verilen: ΔABC, AC = BC, AB düzlemde yer alırα, CD ⊥ a, C∉ a. Dihedral Açının Lineer Açısını OluşturCABD.

Öğrenci : Çözüm:SANTİMETRE ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - İstenen.

№ 2. Verilen: ΔABC, ∠ C= 90°, BC düzlemdedirα, AO⊥ α, A∈ α.

Dihedral Açının Lineer Açısını OluşturAVSO.

Öğrenci : Çözüm:AB ⊥ M.Ö, JSC⊥ Güneş işletim sistemi anlamına gelir⊥ Güneş.∠ ACO - İstenen.

№ 3 . Verilen: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB düzlemde yatıyorα, CD⊥ a, C∉ a. İnşa etmekdoğrusal dihedral açıDABC.

Öğrenci : Çözüm: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,tamam ⊥ AB anlamına gelir∠ DKC - İstenen.

№ 4 . Verilen:DABC- tetrahedron,YAPMAK⊥ ABC.Dihedral açının doğrusal açısını oluşturunABCD.

Öğrenci : Çözüm:DM ⊥ güneş,YAPMAK ⊥ BC, OM anlamına gelir⊥ güneş;∠ OMD - İstenen.

5. Özetlemek.

Öğretmen: Bugün derste yeni ne öğrendin?

öğrenciler : Dihedral açıya ne denir, lineer açı, dihedral açı nasıl ölçülür.

Öğretmen : Neyi tekrarladın?

öğrenciler : Düzlemde açı denilen şey; çizgiler arasındaki açı.

6. Ödev.

Tahtaya ve günlüklere yazmak: madde 22, no. 167, no. 170.

DERSİN METİN AÇIKLAMASI:

Planimetride ana nesneler çizgiler, parçalar, ışınlar ve noktalardır. Bir noktadan yayılan ışınlar geometrik şekillerinden birini oluşturur - bir açı.

Doğrusal bir açının derece ve radyan cinsinden ölçüldüğünü biliyoruz.

Stereometride nesnelere bir düzlem eklenir. Geometride aynı düzleme ait olmayan ve ortak sınırı a olan iki yarım düzlemin düz bir a çizgisi ile oluşturduğu şekle dihedral açı denir. Yarım düzlemler, bir dihedral açının yüzleridir. Düz çizgi a, dihedral açının kenarıdır.

Doğrusal bir açı gibi bir dihedral açı adlandırılabilir, ölçülebilir, oluşturulabilir. Bu derste öğreneceğimiz şey bu.

ABCD tetrahedron modelinde dihedral açıyı bulun.

Kenarı AB olan bir dihedral açıya CABD denir, burada C ve D noktaları açının farklı yüzlerine aittir ve AB kenarı ortadaki olarak adlandırılır.

Çevremizde dihedral açı şeklinde elementlere sahip birçok nesne vardır.

Birçok şehirde, parklara uzlaşma için özel banklar kuruldu. Tezgah, merkeze doğru yakınlaşan iki eğik düzlem şeklinde yapılmıştır.

Evlerin yapımında genellikle üçgen çatı denir. Bu evin çatısı, 90 derecelik bir dihedral açı şeklinde yapılmıştır.

Dihedral açı da derece veya radyan cinsinden ölçülür, ancak nasıl ölçüleceği.

Evlerin çatılarının mertekler üzerinde olması dikkat çekicidir. Ve kirişlerin kasası, belirli bir açıda iki çatı eğimi oluşturur.

Resmi çizime aktaralım. Çizimde, bir dihedral açı bulmak için, B noktası kenarına işaretlenmiştir.Bu noktadan itibaren, açının kenarına dik olan iki BA ve BC kirişi çizilir. Bu ışınların oluşturduğu ABC açısına dihedral açının lineer açısı denir.

Bir dihedral açının derece ölçüsü, doğrusal açısının derece ölçüsüne eşittir.

AOB açısını ölçelim.

Belirli bir dihedral açının derece ölçüsü altmış derecedir.

Bir dihedral açı için doğrusal açılar sonsuz sayıda çizilebilir, hepsinin eşit olduğunu bilmek önemlidir.

AOB ve A1O1B1 olmak üzere iki doğrusal açıyı ele alalım. OA ve O1A1 ışınları aynı yüzde bulunur ve OO1 düz çizgisine diktir, dolayısıyla birlikte yönlendirilirler. Işınları OB ve O1B1 de birlikte yönlendirilir. Bu nedenle, AOB açısı, eş yönlü taraflara sahip açılar olarak A1O1B1 açısına eşittir.

Yani bir dihedral açı doğrusal bir açı ile karakterize edilir ve doğrusal açılar dar, geniş ve diktir. Dihedral açı modellerini düşünün.

Geniş açı, doğrusal açısı 90 ile 180 derece arasında olan bir açıdır.

Doğrusal açısı 90 derece ise bir dik açı.

Doğrusal açısı 0 ile 90 derece arasındaysa dar açı.

Doğrusal bir açının önemli özelliklerinden birini ispatlayalım.

Doğrusal bir açının düzlemi, dihedral açının kenarına diktir.

AOB açısı, verilen dihedral açının lineer açısı olsun. Yapısı gereği, AO ve OB ışınları a düz çizgisine diktir.

AOB düzlemi, teoreme göre kesişen iki AO ve OB doğrusundan geçer: Bir düzlem, kesişen iki çizgiden ve ayrıca sadece bir çizgiden geçer.

a doğrusu, bu düzlemde uzanan iki kesişen doğruya diktir; bu, doğrunun ve düzlemin dikliğinin işaretiyle, a çizgisinin AOB düzlemine dik olduğu anlamına gelir.

Problemleri çözmek için, verilen bir dihedral açının doğrusal bir açısını oluşturabilmek önemlidir. ABCD tetrahedron için AB kenarı ile dihedral açının lineer açısını oluşturun.

İlk olarak AB kenarı, bir yüzü ABD, ikinci yüzü ABC tarafından oluşturulan bir dihedral açıdan bahsediyoruz.

İşte inşa etmenin bir yolu.

D noktasından ABC düzlemine bir dik çizelim, M noktasını dikin tabanı olarak işaretleyelim. Bir tetrahedronda dikeyin tabanının, tetrahedronun tabanındaki yazılı dairenin merkeziyle çakıştığını hatırlayın.

D noktasından AB kenarına dik bir eğim çizin, N noktasını eğimin tabanı olarak işaretleyin.

DMN üçgeninde, NM parçası, eğik DN'nin ABC düzlemi üzerindeki izdüşümleri olacaktır. Üç dik teoremine göre, AB kenarı NM izdüşümüne dik olacaktır.

Bu, DNM açısının kenarlarının AB kenarına dik olduğu anlamına gelir, bu da oluşturulan DNM açısının gerekli doğrusal açı olduğu anlamına gelir.

Dihedral açıyı hesaplama problemini çözmenin bir örneğini düşünün.

ABC ikizkenar üçgeni ve ADB düzgün üçgeni aynı düzlemde yer almaz. CD segmenti ADB düzlemine diktir. AC=CB=2cm, AB=4cm ise DABC dihedral açısını bulun.

DABC dihedral açısı, lineer açısına eşittir. Bu köşeyi yapalım.

AB kenarına dik bir eğik CM çizelim, çünkü ACB üçgeni ikizkenar olduğundan, M noktası AB kenarının orta noktası ile çakışacaktır.

CD çizgisi ADB düzlemine diktir, yani bu düzlemde uzanan DM çizgisine diktir. Ve MD segmenti, eğik SM'nin ADB düzlemine izdüşümüdür.

AB çizgisi yapım gereği eğik CM'ye diktir, bu da üç dik teoremi ile MD izdüşümüne dik olduğu anlamına gelir.

Böylece, AB kenarına iki CM ve DM dikmesi bulunur. Böylece bir dihedral açı DABC'nin doğrusal açısını СMD oluştururlar. Ve onu СDM dik üçgeninden bulmamız için kalır.

SM segmenti ASV ikizkenar üçgeninin medyanı ve yüksekliği olduğundan, Pisagor teoremine göre SM'nin bacağı 4 cm'dir.

Bir dik üçgen DMB'den, Pisagor teoremine göre, bacak DM, üçün iki köküne eşittir.

Bir dik üçgenden bir açının kosinüsü, bitişik bacak MD'nin hipotenüs CM'ye oranına eşittir ve üçe iki üç köke eşittir. Yani CMD açısı 30 derecedir.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

İki farklı düzlem arasındaki açı, düzlemlerin herhangi bir göreli konumu için belirlenebilir.

Önemsiz durum, uçakların paralel olup olmadığıdır. Sonra aralarındaki açı sıfıra eşit kabul edilir.

Uçaklar kesişirse önemsiz bir durum. Bu dava daha fazla tartışma konusudur. İlk önce bir dihedral açı kavramına ihtiyacımız var.

9.1 Dihedral açı

Dihedral açı, ortak bir düz çizgiye sahip iki yarım düzlemdir (buna dihedral açının kenarı denir). Şek. 50, yarım düzlemler tarafından oluşturulan bir dihedral açıyı gösterir ve; bu dihedral açının kenarı, verilen yarım düzlemler için ortak olan a çizgisidir.

Pirinç. 50. Dihedral açı

Dihedral açı, bir kelimede derece veya radyan cinsinden ölçülebilir, dihedral açının açısal değerini girin. Bu, aşağıdaki şekilde yapılır.

Yarım düzlemlerin oluşturduğu dihedral açının kenarında ve keyfi bir M noktası alıyoruz. Sırasıyla bu yarım düzlemlerde yatan ve kenara dik olan MA ve MB ışınlarını çizelim (Şekil 51).

Pirinç. 51. Doğrusal açı dihedral açı

Ortaya çıkan AMB açısı, dihedral açının doğrusal açısıdır. " = \AMB açısı, tam olarak dihedral açımızın açısal değeridir.

Tanım. Bir dihedral açının açısal büyüklüğü, belirli bir dihedral açının lineer açısının büyüklüğüdür.

Bir dihedral açının tüm doğrusal açıları birbirine eşittir (sonuçta, birbirlerinden paralel bir kayma ile elde edilirler). Bu nedenle, bu tanım doğrudur: "değeri, dihedral açının kenarında M noktasının özel seçimine bağlı değildir.

9.2 Düzlemler arasındaki açının belirlenmesi

İki düzlem kesiştiğinde dört dihedral açı elde edilir. Hepsi aynı değere sahipse (her biri 90), o zaman düzlemlere dik denir; o zaman düzlemler arasındaki açı 90'dır.

Tüm dihedral açılar aynı değilse (yani, iki dar ve iki geniş vardır), o zaman düzlemler arasındaki açı, dar dihedral açının değeridir (Şekil 52).

Pirinç. 52. Düzlemler arasındaki açı

9.3 Problem çözme örnekleri

Üç görevi ele alalım. Birincisi basit, ikincisi ve üçüncüsü matematik sınavında yaklaşık olarak C2 seviyesinde.

Görev 1. Normal bir tetrahedronun iki yüzü arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. ABCD düzgün bir dörtyüzlü olsun. Karşılık gelen yüzlerin medyan AM ve DM'lerini ve ayrıca tetrahedron DH'nin yüksekliğini çizelim (Şekil 53).

Pirinç. 53. 1. soruna

Medyanlar olan AM ve DM aynı zamanda ABC ve DBC eşkenar üçgenlerinin yükseklikleridir. Bu nedenle, " = \AMD açısı, ABC ve DBC yüzlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bunu DHM üçgeninden buluyoruz:

Cevap: arccos 1 3 .

Problem 2. Düzenli bir dörtgen piramit SABCD'de (köşe S ile), yan kenar tabanın kenarına eşittir. K noktası SA kenarının orta noktasıdır. Uçaklar arasındaki açıyı bulun

Çözüm. BC doğrusu AD'ye paraleldir ve dolayısıyla ADS düzlemine paraleldir. Bu nedenle, KBC düzlemi, BC'ye paralel KL düz çizgisi boyunca ADS düzlemini keser (Şekil 54).

Pirinç. 54. Sorun 2

Bu durumda KL, AD doğrusuna da paralel olacaktır; dolayısıyla KL, ADS üçgeninin orta çizgisidir ve L noktası, DS'nin orta noktasıdır.

SO piramidinin yüksekliğini çizin. DO'nun orta noktası N olsun. O zaman LN, DOS üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla LN k SO'dur. Yani LN, ABC düzlemine diktir.

N noktasından NM dikini BC çizgisine bırakıyoruz. Düz çizgi NM, eğik LM'nin ABC düzlemine izdüşümü olacaktır. Daha sonra üç dik teoremden LM'nin BC'ye de dik olduğu sonucu çıkar.

Böylece, " = \LMN açısı, KBC ve ABC yarım düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının lineer açısıdır. Bu açıyı LMN dik üçgeninden arayacağız.

Piramidin kenarı a olsun. İlk önce piramidin yüksekliğini bulun:

Çözüm. A1 K ve AB doğrularının kesişim noktası L olsun. Daha sonra A1 KC düzlemi ABC düzlemini CL düz çizgisi boyunca keser (Şek.55).

A C

Pirinç. 55. Sorun 3

A1 B1 K ve KBL üçgenleri bacak ve dar açı bakımından eşittir. Dolayısıyla diğer bacaklar da eşittir: A1 B1 = BL.

ACL üçgenini düşünün. İçinde BA = BC = BL. CBL açısı 120'dir; yani \BCL = 30 . Ayrıca, \BCA = 60 . Bu nedenle \ACL = \BCA + \BCL = 90.

Yani LC? AC. Ama AC doğrusu, A1 C doğrusunun ABC düzlemine izdüşümüdür. Üç dik teoremi ile LC ? A1C.

Böylece, A1 CA açısı, A1 KC ve ABC yarım düzlemleri tarafından oluşturulan dihedral açının lineer açısıdır. Bu gerekli açıdır. İkizkenardan A1 AC dik üçgeninin 45'e eşit olduğunu görüyoruz.