Negatif üslü ifadeler nasıl çözülür? Derece - özellikler, kurallar, eylemler ve formüller

Negatif bir güce yükseltmek, cebirsel problemlerin çözümünde sıklıkla karşılaşılan matematiğin temel unsurlarından biridir. Aşağıda ayrıntılı bir talimat bulunmaktadır.

Negatif bir güce nasıl yükseltilir - teori

Bir sayıyı normal kuvvetine aldığımızda, değerini birkaç kez çarpıyoruz. Örneğin, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Negatif bir kesir ile bunun tersi geçerlidir. Formüle göre genel form aşağıdaki gibi olacaktır: a -n = 1/a n . Bu nedenle, bir sayıyı negatif bir kuvvete yükseltmek için, birimi verilen sayıya bölmeniz gerekir, ancak zaten pozitif bir kuvvete.

Negatif bir güce nasıl yükseltilir - sıradan sayılarla ilgili örnekler

Yukarıdaki kuralı göz önünde bulundurarak birkaç örnek çözelim.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Cevap: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Cevap -4 -2 = 1/16'dır.

Ama neden birinci ve ikinci örneklerdeki cevap aynı? Gerçek şu ki, negatif bir sayı çift kuvvete yükseltildiğinde (2, 4, 6, vb.), işaret pozitif olur. Derece eşit olsaydı, eksi korunur:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Negatif güce nasıl yükseltilir - 0'dan 1'e kadar sayılar

0 ile 1 arasındaki bir sayı pozitif bir güce yükseltildiğinde, güç arttıkça değerin azaldığını hatırlayın. Örneğin, 0,5 2 = 0,25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Örnek 3: 0,5 -2 hesaplayın
Çözüm: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Cevap: 0,5 -2 = 4

Ayrıştırma (eylem sırası):

• Ondalık 0,5'i kesirli 1/2'ye dönüştürün. Daha kolay.
  1/2'yi negatif bir güce yükseltin. 1/(2) -2 . 1'i 1/(2) 2'ye bölersek 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 elde ederiz

Örnek 4: 0,5 -3 hesaplayın
Çözüm: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Örnek 5: -0.5 -3 hesaplayın
Çözüm: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Cevap: -0.5 -3 = -8

4. ve 5. örneklere dayanarak, birkaç sonuç çıkaracağız:

• Negatif bir kuvvete yükseltilmiş 0 ile 1 (örnek 4) arasındaki pozitif bir sayı için, kuvvet çift veya tek olsun, ifadenin değeri pozitif olacaktır. Bu durumda, derece ne kadar büyükse, değer de o kadar büyük olur.
• 0 ile 1 arasında bir negatif sayı için (Örnek 5), negatif bir kuvvete yükseltilmiş, kuvvet çift veya tek olsun, ifadenin değeri negatif olacaktır. Bu durumda, derece ne kadar yüksek olursa, değer o kadar düşük olur.

Negatif bir güce nasıl yükseltilir - kesirli bir sayı olarak güç

Bu türden ifadeler şu biçimdedir: a -m/n, burada a sıradan bir sayıdır, m derecenin payıdır, n derecenin paydasıdır.

Bir örnek düşünün:
Hesapla: 8 -1/3

Çözüm (eylem sırası):

• Bir sayıyı negatif bir güce yükseltme kuralını hatırlayın. Şunu elde ederiz: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Paydanın 8 üzeri kesirli bir kuvvet olduğuna dikkat edin. Kesirli bir dereceyi hesaplamanın genel biçimi şu şekildedir: a m/n = n √8 m .
• Böylece 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Sekizin küp kökünü elde ederiz, bu da 2'dir. Buna göre, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Cevap: 8 -1/3 = 2

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Olumsuz göstergeli derece. Problem çözme tanımı ve örnekleri"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

8. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Muravina G.K. Alimova Sh.A.

Negatif bir üs ile dereceyi belirleme

Sıfır gücünün herhangi bir sayısının bire eşit olduğunu iyi biliyoruz. $a^0=1$, $a≠0$.
Soru ortaya çıkıyor, bir sayıyı negatif bir güce yükseltirseniz ne olur? Örneğin, $2^(-2)$ sayısı neye eşit olur?
Bu soruyu soran ilk matematikçiler, tekerleği yeniden icat etmeye değmeyeceğine karar verdiler ve derecelerin tüm özelliklerinin aynı kalması iyi oldu. Yani aynı tabana sahip güçler çarpılırken üsler toplanır.
Şu durumu ele alalım: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Bu tür sayıların çarpımının birlik vermesi gerektiğini anladık. Çarpımdaki birim, karşılıklılıkların çarpılmasıyla elde edilir, yani 2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Böyle bir akıl yürütme aşağıdaki tanıma yol açtı.
Tanım. $n$ bir doğal sayı ve $а≠0$ ise, aşağıdaki eşitlik geçerlidir: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Sık kullanılan önemli bir kimlik: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Özellikle, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Çözüm örnekleri

Çözüm.
Her terimi ayrı ayrı ele alalım.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için kalır: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Cevap: $6\frac(1)(4)$.

Örnek 2
Verilen sayıyı $\frac(1)(729)$ asal sayının kuvveti olarak ifade edin.

Çözüm.
Açıkçası $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Ama 729 9 ile biten bir asal sayı değildir. Bu sayının üçün üssü olduğunu varsayabiliriz. 729'u sırayla 3'e bölelim.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Altı işlem tamamlandı, yani: $729=3^6$.
Görevimiz için:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Cevap: $3^(-6)$.

Örnek 3. İfadeyi bir güç olarak ifade edin: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Çözüm. İlk işlem her zaman parantez içinde yapılır, ardından $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) çarpması yapılır. )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Cevap: $a$.

Örnek 4. Kimliği kanıtlayın:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Çözüm.
Sol tarafta, parantez içindeki her bir faktörü ayrı ayrı düşünün.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Böleceğimiz kesre geçelim.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Bölmeyi yapalım.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Kanıtlanması gereken doğru kimliği elde ettik.

Dersin sonunda, dereceli eylemler için kuralları tekrar yazacağız, burada üs bir tamsayıdır.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Bağımsız çözüm için görevler

İlk seviye

Derece ve özellikleri. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Dereceler neden gereklidir? Onlara nerede ihtiyacın var? Neden onları incelemek için zaman harcamanız gerekiyor?

Dereceler hakkında her şeyi, ne işe yaradıklarını, bilginizi günlük yaşamda nasıl kullanacağınızı öğrenmek için bu makaleyi okuyun.

Ve elbette, dereceleri bilmek sizi OGE veya Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmeye ve hayallerinizdeki üniversiteye girmeye yaklaştıracaktır.

Hadi gidelim, hadi gidelim!)

Önemli Not! Formüller yerine anlamsız sözler görürseniz, önbelleğinizi temizleyin. Bunu yapmak için CTRL+F5 (Windows'ta) veya Cmd+R (Mac'te) tuşlarına basın.

İLK SEVİYE

Üs alma, toplama, çıkarma, çarpma veya bölme ile aynı matematiksel işlemdir.

Şimdi her şeyi çok basit örneklerle insan dilinde anlatacağım. Dikkat olmak. Örnekler temeldir, ancak önemli şeyleri açıklar.

Ekleme ile başlayalım.

Burada açıklanacak bir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsun: sekiz kişiyiz. Her birinde iki şişe kola var. Kola ne kadar? Bu doğru - 16 şişe.

Şimdi çarpma.

Kola ile aynı örnek farklı bir şekilde yazılabilir: . Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ederler ve sonra onları daha hızlı “saymak” için bir yol bulurlar. Bizim durumumuzda, sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik geliştirdiler. Katılıyorum, daha kolay ve daha hızlı olarak kabul edilir.

Bu nedenle, daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için hatırlamanız yeterlidir çarpım tablosu. Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Fakat…

İşte çarpım tablosu. Tekrar et.

Ve daha güzel bir tane daha:

Ve tembel matematikçiler başka hangi zor sayma numaralarını buldular? Doğru şekilde - bir sayıyı bir güce yükseltmek.

Bir sayıyı bir güce yükseltmek

Bir sayıyı kendisi ile beş kez çarpmanız gerekiyorsa, matematikçiler bu sayıyı beşinci güce yükseltmeniz gerektiğini söylüyorlar. Örneğin, . Matematikçiler, ikinin beşinci kuvveti olduğunu hatırlarlar. Ve bu tür sorunları zihinlerinde çözerler - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.

Bunu yapmak için sadece ihtiyacınız sayıların kuvvetleri tablosunda neyin renkli olarak vurgulandığını hatırlayın. İnanın bu hayatınızı çok kolaylaştıracak.

Bu arada, neden ikinci derece denir? Meydan sayılar ve üçüncü küp? Bunun anlamı ne? Çok iyi bir soru. Şimdi hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.

Gerçek hayat örneği #1

Bir sayının karesiyle veya ikinci kuvvetiyle başlayalım.

Metre metre ölçen bir kare havuz hayal edin. Havuz arka bahçenizde. Hava sıcak ve gerçekten yüzmek istiyorum. Ama ... dibi olmayan bir havuz! Havuzun dibini fayanslarla kaplamak gerekir. Kaç karoya ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuzun dip alanını bilmeniz gerekir.

Havuzun dibinin metre metre küpten oluştuğunu parmağınızı sokarak basitçe sayabilirsiniz. Fayanslarınız metre metre ise, parçalara ihtiyacınız olacaktır. Çok kolay... Ama böyle bir karoyu nerede gördün? Karo daha çok cm cm olacak ve sonra “parmağınızla sayarak” eziyet edeceksiniz. O zaman çoğalmalısın. Yani havuzun dibinin bir tarafına fayans (parçalar) ve diğer tarafına da fayans yerleştireceğiz. Çarpma, fayans () elde edersiniz.

Havuzun dibinin alanını belirlemek için aynı sayıyı kendisi ile çarptığımızı fark ettiniz mi? Bunun anlamı ne? Aynı sayı çarpıldığı için üs alma tekniğini kullanabiliriz. (Tabii sadece iki sayınız olduğunda yine de onları çarpmanız veya bir kuvvete yükseltmeniz gerekir. Ama eğer sayı çoksa, o zaman bir kuvvete yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata olur. Sınav için bu çok önemlidir).
Yani, otuz ila ikinci derece () olacaktır. Ya da otuz kare olacak diyebilirsiniz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci kuvveti her zaman bir kare olarak gösterilebilir. Ve tam tersi, bir kare görürseniz, DAİMA bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin bir görüntüsüdür.

Gerçek hayat örneği #2

İşte size bir görev, sayının karesini kullanarak satranç tahtasında kaç kare olduğunu sayın... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını saymak için sekiz ile sekizi çarpmanız gerekir veya ... bir satranç tahtasının kenarlı bir kare olduğunu fark ederseniz, sekizi kare yapabilirsiniz. Hücreleri alın. () Yani?

Gerçek hayat örneği #3

Şimdi bir sayının küpü veya üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökülmesi gerektiğini bulmanız gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekir. (Hacimler ve sıvılar, bu arada metreküp cinsinden ölçülür. Beklenmedik, değil mi?) Bir havuz çizin: bir metre büyüklüğünde ve bir metre derinliğinde bir dip ve havuzunuza kaç metre metre küpün gireceğini hesaplamaya çalışın.

Sadece parmağını göster ve say! Bir, iki, üç, dört… yirmi iki, yirmi üç… Ne kadar oldu? Kaybolmadın mı? Parmağınızla saymak zor mu? Böylece! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeller, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda, havuzun hacmi küplere eşit olacak ... Daha kolay, değil mi?

Şimdi, bunu çok kolaylaştırıyorlarsa, matematikçilerin ne kadar tembel ve kurnaz olduklarını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirdi. Uzunluk, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler... Peki bu ne anlama geliyor? Bu, dereceyi kullanabileceğiniz anlamına gelir. Yani, bir zamanlar parmakla saydıklarını tek bir işlemde yaparlar: bir küpte üç eşittir. Şu şekilde yazılır:

Sadece kalır derece tablosunu ezberle. Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz değilseniz. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.

Sonunda sizi, derecelerin loafer'lar ve kurnaz insanlar tarafından yaşam sorunlarını çözmek için icat edildiğine ve sizin için sorun yaratmadığına ikna etmek için, işte hayattan birkaç örnek daha.

Gerçek hayat örneği #4

Bir milyon rublen var. Her yılın başında, her milyon için bir milyon daha kazanırsınız. Yani, her yılın başında milyonunuzun her biri ikiye katlanır. Yıllar sonra ne kadar paranız olacak? Şimdi oturuyor ve “parmağınızla sayıyorsanız”, o zaman çok çalışkan bir insansınız ve .. aptalsınız. Ama büyük ihtimalle birkaç saniye içinde bir cevap vereceksin, çünkü sen akıllısın! Yani, ilk yılda - iki kere iki ... ikinci yılda - ne oldu, iki tane daha, üçüncü yılda ... Dur! Sayının kendisi ile bir kez çarpıldığını fark ettiniz. Yani iki üzeri beşinci kuvvet bir milyondur! Şimdi bir yarışmanız olduğunu ve daha hızlı hesaplayanın bu milyonları alacağını hayal edin... Sayıların derecelerini hatırlamaya değer mi, ne dersiniz?

Gerçek hayat örneği #5

Bir milyonun var. Her yılın başında, her milyon için iki tane daha kazanırsınız. Harika değil mi? Her milyon üç katına çıkıyor. Bir yılda ne kadar paranız olacak? Sayalım. İlk yıl - çarpın, sonra sonuç bir başkasıyla ... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç, kendisiyle çarpılır. Yani dördüncü kuvvet bir milyondur. Sadece üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız gerekir.

Artık bir sayıyı bir güce yükselterek hayatınızı çok daha kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve onlar hakkında bilmeniz gerekenlere daha yakından bakalım.

Terimler ve kavramlar ... karıştırılmaması için

O halde önce kavramları tanımlayalım. Ne düşünüyorsun, üs nedir? Çok basit - bu, sayının gücünün "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil, net ve akılda kalıcı...

Peki, aynı zamanda, ne böyle bir derece temeli? Daha da basit olanı, en alttaki, tabandaki sayıdır.

İşte emin olmanız için bir resim.

Eh, genel olarak, genelleme yapmak ve daha iyi hatırlamak için ... Tabanı "" ve "" göstergesi olan bir derece "derecede" olarak okunur ve şöyle yazılır:

Doğal üslü bir sayının gücü

Muhtemelen zaten tahmin etmişsinizdir: çünkü üs doğal bir sayıdır. evet ama ne var doğal sayı? İlkokul! Doğal sayılar, öğeleri listelerken saymada kullanılanlardır: bir, iki, üç ... Öğeleri saydığımızda, “eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” demeyiz. Biz de "üçte bir" veya "sıfır nokta beş onda" demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Sizce bu rakamlar nedir?

"Eksi beş", "eksi altı", "eksi yedi" gibi sayılar, tüm sayılar. Genel olarak tam sayılar, tüm doğal sayıları, doğal sayıların karşısındaki sayıları (yani eksi işaretiyle alınan) ve bir sayıyı içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır - bu, hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Ve negatif ("eksi") sayılar ne anlama geliyor? Ancak öncelikle borçları belirtmek için icat edildiler: telefonunuzda ruble cinsinden bir bakiyeniz varsa, bu, operatöre ruble borcunuz olduğu anlamına gelir.

Bütün kesirler rasyonel sayılardır. Sizce nasıl ortaya çıktılar? Çok basit. Birkaç bin yıl önce atalarımız uzunluk, ağırlık, alan vb. ölçmek için yeterli doğal sayıların olmadığını keşfettiler. Ve onlar geldi rasyonel sayılar… İlginç, değil mi?

İrrasyonel sayılar da vardır. Bu sayılar nedir? Kısacası, sonsuz bir ondalık kesir. Örneğin, bir dairenin çevresini çapına bölerseniz, irrasyonel bir sayı elde edersiniz.

Özet:

Üssü bir doğal sayı (yani tamsayı ve pozitif) olan derece kavramını tanımlayalım.

1. Birinci kuvvetin herhangi bir sayısı kendisine eşittir:
2. Bir sayının karesini almak onu kendisiyle çarpmaktır:
3. Bir sayının küpünü almak, onu kendisiyle üç kez çarpmaktır:

Tanım. Bir sayıyı doğal bir güce yükseltmek, sayıyı kendisiyle çarpmaktır:
.

Derece özellikleri

Bu özellikler nereden geldi? Şimdi sana göstereceğim.

bakalım ne var ve ?

Tanım olarak:

Toplamda kaç çarpan var?

Çok basit: Faktörlere faktörler ekledik ve sonuç faktörler.

Ancak tanım gereği, bu, ispatlanması gereken, üslü bir sayının derecesidir, yani: .

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm:

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm: Kuralımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebep olmalı!
Bu nedenle, dereceleri tabanla birleştiririz, ancak ayrı bir faktör olarak kalırız:

sadece güçlerin ürünleri için!

Hiçbir durumda bunu yazmamalısın.

2. yani -bir sayının kuvveti

Önceki özellikte olduğu gibi, derecenin tanımına dönelim:

İfadenin bir kez kendisiyle çarpıldığı ortaya çıktı, yani tanıma göre, bu sayının inci gücü:

Aslında buna "göstergeyi parantez içine alma" denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız:

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik?

Ama bu doğru değil, gerçekten.

Negatif tabanlı derece

Buraya kadar sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.

Ama temel ne olmalı?

derece cinsinden doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara. Aslında, pozitif, negatif veya çift olsun, herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz.

Hangi işaretlerin (" " veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin, sayı pozitif mi yoksa negatif mi olacak? ANCAK? ? Birincisi ile her şey açıktır: birbirimizle ne kadar pozitif sayı çarparsak çarpalım, sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. Ne de olsa 6. sınıftan basit bir kuralı hatırlıyoruz: “eksi çarpı eksi artı verir.” Yani, veya. Ama bununla çarparsak, ortaya çıkıyor.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

Becerebildin mi?

İşte cevaplar: İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakarız ve uygun kuralı uygularız.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Örnek 5), her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece eşittir, bu da sonucun her zaman olumlu olacağı anlamına gelir.

Eh, üssün sıfır olduğu zamanlar hariç. Temel aynı değil, değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil!

6 uygulama örneği

Çözümün analizi 6 örnek

Sekizinci dereceye dikkat etmezsek burada ne görüyoruz? 7. sınıf programına bir göz atalım. Hatırla? Bu kısaltılmış çarpma formülüdür, yani karelerin farkı! Alırız:

Paydaya dikkatlice bakıyoruz. Pay faktörlerinden birine çok benziyor, ama sorun ne? Terimlerin yanlış sırası. Değiştirilirlerse, kural geçerli olabilir.

Ama bunu nasıl yapmalı? Çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Terimler sihirli bir şekilde yerleri değiştirdi. Bu "fenomen" herhangi bir ifade için eşit derecede geçerlidir: parantez içindeki işaretleri serbestçe değiştirebiliriz.

Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

tüm doğal sayıları, karşıtlarını (yani "" işaretiyle alınan) ve sayıyı adlandırırız.

pozitif tamsayı ve doğaldan farklı değil, o zaman her şey önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi yeni vakalara bakalım. Eşit bir gösterge ile başlayalım.

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir:

Her zaman olduğu gibi kendimize soruyoruz: Bu neden böyle?

Tabanlı bir güç düşünün. Örneğin alın ve şununla çarpın:

Böylece sayıyı çarpıp - olduğu gibi elde ettik. Hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayı ile çarpılmalıdır? Bu doğru, devam. Anlamına geliyor.

Aynısını rastgele bir sayıyla da yapabiliriz:

Kuralı tekrarlayalım:

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da var - bu bir sayıdır (taban olarak).

Bir yandan, herhangi bir dereceye eşit olmalıdır - sıfırı kendisiyle ne kadar çarparsanız çarparsanız, yine de sıfır alırsınız, bu açıktır. Ama öte yandan, sıfır dereceye kadar herhangi bir sayı gibi, eşit olmalıdır. Peki bunun gerçeği nedir? Matematikçiler karışmamaya karar verdiler ve sıfırı sıfıra yükseltmeyi reddettiler. Yani, şimdi sadece sıfıra bölmekle kalmıyor, aynı zamanda onu sıfıra yükseltiyoruz.

Daha ileri gidelim. Doğal sayılar ve sayılara ek olarak, tam sayılar negatif sayılar içerir. Negatif derecenin ne olduğunu anlamak için, geçen seferkinin aynısını yapalım: bazı normal sayıları negatif derecede aynı ile çarpıyoruz:

Buradan isteneni ifade etmek zaten çok kolay:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletiyoruz:

Öyleyse kuralı formüle edelim:

Bir sayının negatif kuvveti, aynı sayının pozitif kuvvetinin tersidir. Ama aynı zamanda taban boş olamaz:(çünkü bölmek imkansızdır).

Özetleyelim:

I. Durumda ifade tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

II. Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir: .

III. Negatif bir kuvvete sıfıra eşit olmayan bir sayı, aynı sayının pozitif bir kuvvetin tersidir: .

Bağımsız çözüm için görevler:

Eh, her zamanki gibi, bağımsız bir çözüm için örnekler:

Bağımsız çözüm için görevlerin analizi:

Biliyorum, biliyorum, rakamlar korkutucu ama sınavda her şeye hazır olmalısın! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini analiz edin ve sınavda bunlarla nasıl kolayca başa çıkacağınızı öğreneceksiniz!

Üs olarak "uygun" sayı çemberini genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünün rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Kesir olarak temsil edilebilecek her şey, burada ve tamsayılar, ayrıca.

ne olduğunu anlamak için "fraksiyonel derece" Bir kesir düşünelim:

Denklemin her iki tarafını da bir kuvvete yükseltelim:

Şimdi kuralı hatırla "derece derece":

Almak için hangi sayının bir güce yükseltilmesi gerekir?

Bu formülasyon, inci derecenin kökünün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, inci derecenin kökü, üs almanın ters işlemidir: .

Şekline dönüştü. Açıkçası, bu özel durum genişletilebilir: .

Şimdi payı ekleyin: nedir? Güç-güç kuralıyla yanıt almak kolaydır:

Ama taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta, kök tüm sayılardan çıkarılamaz.

Hiçbiri!

Kuralı hatırlayın: çift kuvvete yükseltilmiş herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani, negatif sayılardan çift dereceli kökler çıkarmak imkansızdır!

Ve bu, bu tür sayıların eşit bir payda ile kesirli bir güce yükseltilemeyeceği, yani ifadenin mantıklı olmadığı anlamına gelir.

Peki ya ifade?

Ama burada bir sorun ortaya çıkıyor.

Sayı, örneğin veya gibi diğer indirgenmiş kesirler olarak temsil edilebilir.

Ve onun var olduğu ama var olmadığı ortaya çıktı ve bunlar sadece aynı sayının iki farklı kaydı.

Veya başka bir örnek: bir kez, sonra yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı bir şekilde yazar yazmaz yine sorun yaşıyoruz: (yani tamamen farklı bir sonuç elde ettik!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için kesirli üslü sadece pozitif taban üssü.

Yani:

• - doğal sayı;
• bir tamsayıdır;

Örnekler:

Rasyonel üslü kuvvetler, kökleri olan ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

5 uygulama örneği

Eğitim için 5 örneğin analizi

Peki, şimdi - en zoru. Şimdi analiz edeceğiz irrasyonel üslü derece.

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, aşağıdakiler dışında, rasyonel üslü derecelerle tamamen aynıdır.

Aslında, tanım gereği, irrasyonel sayılar, tamsayı olan bir kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır (yani, irrasyonel sayılar, rasyonel olanlar dışındaki tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayı ve rasyonel bir göstergeyle dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir “imaj”, “analoji” veya açıklama oluşturduk.

Örneğin, doğal bir üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sıfır güç- bu, deyim yerindeyse, kendisi ile bir kez çarpılan bir sayıdır, yani henüz çarpılmaya başlamamıştır, yani sayının kendisi henüz ortaya çıkmamıştır - bu nedenle, sonuç yalnızca belirli bir “hazırlıktır”. bir sayı”, yani bir sayı;

...negatif tamsayı üssü- sanki belirli bir “ters işlem” gerçekleşmiş, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

Bu arada, bilim genellikle karmaşık bir üslü bir derece kullanır, yani bir üs gerçek bir sayı bile değildir.

Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatınız olacak.

GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ YERLER! (bu tür örnekleri nasıl çözeceğinizi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendin için karar ver:

Çözümlerin analizi:

1. Bir dereceyi bir dereceye yükseltmek için zaten bilinen kuralla başlayalım:

Şimdi skora bakın. Sana bir şey hatırlatıyor mu? Kareler farkının kısaltılmış çarpımı için formülü hatırlıyoruz:

Bu durumda,

Şekline dönüştü:

Cevap: .

2. Üslerdeki kesirleri aynı forma getiriyoruz: ya ondalık ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunları elde ederiz:

Cevap: 16

3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini uyguluyoruz:

İLERİ DÜZEY

derece tanımı

Derece, şu formun bir ifadesidir: , burada:

• — derece temeli;
• - üs.

Doğal üslü derece (n = 1, 2, 3,...)

Bir sayıyı n doğal kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisiyle çarpmak anlamına gelir:

Tamsayı üslü güç (0, ±1, ±2,...)

üs ise pozitif tamsayı sayı:

ereksiyon sıfır güce:

İfade belirsizdir, çünkü bir yandan herhangi bir dereceye kadar bu ve diğer yandan, herhangi bir sayı inci dereceye kadardır.

üs ise tamsayı negatif sayı:

(çünkü bölmek imkansızdır).

Boş değerler hakkında bir kez daha: ifade durumda tanımlanmadı. Eğer öyleyse.

Örnekler:

Rasyonel üslü derece

• - doğal sayı;
• bir tamsayıdır;

Örnekler:

Derece özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için anlamaya çalışalım: bu özellikler nereden geldi? Onları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

Tanım olarak:

Böylece, bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki ürün elde edilir:

Ancak tanım gereği, bu, üslü bir sayının kuvvetidir, yani:

Q.E.D.

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : .

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : Dikkat etmemiz gereken husus, kuralımızda mutlaka aynı temele sahip olmalıdır. Bu nedenle, dereceleri tabanla birleştiririz, ancak ayrı bir faktör olarak kalırız:

Bir başka önemli not: bu kural - sadece güçlerin ürünleri için!

Hiçbir durumda bunu yazmamalıyım.

Önceki özellikte olduğu gibi, derecenin tanımına dönelim:

Bunu şu şekilde yeniden düzenleyelim:

İfadenin bir kez kendisiyle çarpıldığı ortaya çıktı, yani tanıma göre, bu sayının -inci gücü:

Aslında buna "göstergeyi parantez içine alma" denilebilir. Ama bunu asla toplamda yapamazsınız:!

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama bu doğru değil, gerçekten.

Negatif tabanlı güç.

Bu noktaya kadar sadece olması gerekenleri tartıştık. dizin derece. Ama temel ne olmalı? derece cinsinden doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara .

Aslında, pozitif, negatif veya çift olsun, herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin (" " veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin, sayı pozitif mi yoksa negatif mi olacak? ANCAK? ?

Birincisi ile her şey açıktır: birbirimizle ne kadar pozitif sayı çarparsak çarpalım, sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. Ne de olsa 6. sınıftan basit bir kuralı hatırlıyoruz: “eksi çarpı eksi artı verir.” Yani, veya. Ama () ile çarparsak - alırız.

Ve sonsuza kadar böyle devam eder: sonraki her çarpma ile işaret değişecektir. Bu basit kuralları formüle edebilirsiniz:

1. Bile derece, - sayı pozitif.
2. Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
3. Herhangi bir kuvvete göre pozitif bir sayı, pozitif bir sayıdır.
4. Herhangi bir güce sıfır sıfıra eşittir.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

Becerebildin mi? İşte cevaplar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte, umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakarız ve uygun kuralı uygularız.

Örnek 5), her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece eşittir, bu da sonucun her zaman olumlu olacağı anlamına gelir. Eh, üssün sıfır olduğu zamanlar hariç. Temel aynı değil, değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsanız, bu, tabanın sıfırdan küçük olduğu anlamına gelir. Yani kural 2'yi uygularız: sonuç olumsuz olur.

Ve yine derece tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıp birbirine böldük, çiftlere böldük ve şunu elde ettik:

Son kuralı analiz etmeden önce birkaç örnek çözelim.

İfadelerin değerlerini hesaplayın:

Çözümler :

Sekizinci dereceye dikkat etmezsek burada ne görüyoruz? 7. sınıf programına bir göz atalım. Hatırla? Bu kısaltılmış çarpma formülüdür, yani karelerin farkı!

Alırız:

Paydaya dikkatlice bakıyoruz. Pay faktörlerinden birine çok benziyor, ama sorun ne? Terimlerin yanlış sırası. Tersine çevrilmiş olsaydı, kural 3 uygulanabilirdi ama bu nasıl yapılır? Çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Bununla çarparsan hiçbir şey değişmez, değil mi? Ama şimdi şöyle görünüyor:

Terimler sihirli bir şekilde yerleri değiştirdi. Bu "fenomen" herhangi bir ifade için eşit derecede geçerlidir: parantez içindeki işaretleri serbestçe değiştirebiliriz. Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir! Sadece bir sakıncalı eksi bize değiştirilerek değiştirilemez!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Nasıl kanıtlayacağız? Tabii ki, her zamanki gibi: hadi derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Kaç harf olacak? çarpanlarla kez - neye benziyor? Bu bir operasyonun tanımından başka bir şey değil çarpma işlemi: toplam çarpanlar çıktı. Yani, tanımı gereği, üslü bir sayının kuvvetidir:

Örnek:

İrrasyonel üslü derece

Ortalama seviye için dereceler hakkında bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir gösterge ile analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, istisna dışında, rasyonel bir üslü bir derece ile tamamen aynıdır - sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar bir kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır, burada ve tam sayılardır (yani , irrasyonel sayılar, rasyonel olanlar hariç tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayı ve rasyonel bir göstergeyle dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir “imaj”, “analoji” veya açıklama oluşturduk. Örneğin, doğal bir üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır dereceye kadar bir sayı, kendisi ile bir kez çarpılan bir sayıdır, yani henüz çarpılmaya başlamamıştır, bu da sayının kendisinin henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç sadece bir belirli bir “sayı hazırlığı”, yani bir sayı; tamsayı negatif göstergeli bir derece - sanki belirli bir “ters süreç” meydana gelmiş, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibidir.

İrrasyonel bir üslü bir derece hayal etmek son derece zordur (4 boyutlu bir uzay hayal etmek zor olduğu gibi). Daha ziyade, matematikçilerin bir derece kavramını tüm sayılar uzayına genişletmek için yarattıkları tamamen matematiksel bir nesnedir.

Bu arada, bilim genellikle karmaşık bir üslü bir derece kullanır, yani bir üs gerçek bir sayı bile değildir. Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatınız olacak.

Peki irrasyonel bir üs görürsek ne yaparız? Ondan kurtulmak için elimizden geleni yapıyoruz! :)

Örneğin:

Kendin için karar ver:

Yanıtlar:

1. Kareler formülünün farkını hatırlayın. Cevap: .
2. Kesirleri aynı forma getiriyoruz: ya her iki ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunları elde ederiz: .
3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini uyguluyoruz:

BÖLÜM ÖZETİ VE TEMEL FORMÜL

Derece formun ifadesi olarak adlandırılır: , burada:

Tamsayı üslü derece

Üssü bir doğal sayı olan derece (yani tamsayı ve pozitif).

Rasyonel üslü derece

göstergesi negatif ve kesirli sayılar olan derece.

İrrasyonel üslü derece

üssü sonsuz bir ondalık kesir veya kök olan üs.

Derece özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi Bile derece, - sayı pozitif.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
• Herhangi bir kuvvete göre pozitif bir sayı, pozitif bir sayıdır.
• Sıfır herhangi bir güce eşittir.
• Herhangi bir sayının sıfır kuvveti eşittir.

ŞİMDİ BİR SÖZÜNÜZ VAR...

Makaleyi nasıl buldunuz? Beğenip beğenmediğinizi aşağıdaki yorumlarda bana bildirin.

Güç özellikleriyle ilgili deneyiminizi bize anlatın.

Belki sorularınız var. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarında iyi şanslar!

Bu materyal çerçevesinde bir sayının kuvvetinin ne olduğunu analiz edeceğiz. Temel tanımlara ek olarak, doğal, tamsayı, rasyonel ve irrasyonel üslerle derecelerin ne olduğunu formüle edeceğiz. Her zaman olduğu gibi, tüm kavramlar görev örnekleri ile gösterilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İlk olarak, bir derecenin temel tanımını doğal bir üsle formüle ederiz. Bunu yapmak için, çarpmanın temel kurallarını hatırlamamız gerekir. Şimdilik gerçek bir sayıyı temel olarak (bunu a harfi ile gösterelim) ve bir gösterge olarak - doğal bir sayı (n harfi ile gösterilir) alacağımızı önceden açıklığa kavuşturalım.

tanım 1

a'nın doğal üslü n kuvveti, her biri a sayısına eşit olan n'inci faktör sayısının çarpımıdır. Derece şöyle yazılır: bir, ve bir formül şeklinde, bileşimi aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Örneğin, üs 1 ve taban a ise, a'nın ilk kuvveti şu şekilde yazılır: 1. a'nın faktörün değeri ve 1'in faktör sayısı olduğu göz önüne alındığında, şu sonuca varabiliriz: 1 = bir.

Genel olarak, derecenin çok sayıda eşit faktör yazmanın uygun bir şekli olduğunu söyleyebiliriz. Yani, formun bir kaydı 8 8 8 8 azaltılabilir 8 4 . Aynı şekilde, ürün çok sayıda terim yazmaktan kaçınmamıza yardımcı olur (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Bunu, doğal sayıların çarpımına ayrılmış makalede zaten analiz etmiştik.

Derecenin kaydı nasıl doğru okunur? Genel olarak kabul edilen seçenek "a üzeri n"dir. Veya "a'nın n. kuvveti" veya "n. kuvveti" diyebilirsiniz. Diyelim ki, örnekte bir giriş varsa 8 12 , "8 üzeri 12'nin kuvveti", "8 üzeri 12'nin kuvveti" veya "8'in 12. kuvveti" diye okuyabiliriz.

Sayının ikinci ve üçüncü derecelerinin kendi köklü adları vardır: kare ve küp. Örneğin 7 (7 2) sayısının ikinci kuvvetini görürsek, "7'nin karesi" veya "7 sayısının karesi" diyebiliriz. Benzer şekilde, üçüncü derece şöyle okunur: 5 3 "5 sayısının küpü" veya "5 küptür". Ancak “ikinci/üçüncü derecede” standart ifadesini kullanmak da mümkündür, bu bir hata olmayacaktır.

örnek 1

Doğal göstergeli bir derece örneğine bakalım: 5 7 beş temel olacak ve yedi gösterge olacaktır.

Tabanın bir tamsayı olması gerekmez: derece için (4 , 32) 9 taban bir kesir 4, 32 olacak ve üs dokuz olacak. Parantezlere dikkat edin: böyle bir gösterim, tabanları doğal sayılardan farklı olan tüm dereceler için yapılır.

Örneğin: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Parantezler ne için? Hesaplamalarda hatalardan kaçınmaya yardımcı olurlar. Diyelim ki iki girdimiz var: (− 2) 3 ve − 2 3 . Bunlardan ilki, üçün doğal üssü olan bir kuvvete yükseltilmiş eksi iki eksi bir sayı anlamına gelir; ikincisi, derecenin zıt değerine karşılık gelen sayıdır. 2 3 .

Bazen kitaplarda bir sayının derecesinin biraz farklı yazılışını bulabilirsiniz - bir^n(burada a taban ve n üsdür). Yani 4^9 ile aynıdır 4 9 . n çok basamaklı bir sayı ise parantez içine alınır. Örneğin, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ama notasyonu kullanacağız bir olarak daha yaygın.

Bir derecenin değerini doğal bir üsle nasıl hesaplayacağınızı tanımından tahmin etmek kolaydır: sadece n'inci bir sayıyı çarpmanız gerekir. Bu konuda daha fazlasını başka bir makalede yazdık.

Derece kavramı, başka bir matematiksel kavramın zıttıdır - bir sayının kökü. Üs ve üssün değerini biliyorsak tabanını hesaplayabiliriz. Derecenin, ayrı bir materyalde analiz ettiğimiz sorunları çözmek için yararlı olan bazı belirli özellikleri vardır.

Üsler yalnızca doğal sayıları değil, aynı zamanda tamsayılar kümesine ait olduklarından, genel olarak negatif birler ve sıfırlar da dahil olmak üzere herhangi bir tam sayı değeri içerebilir.

tanım 2

Pozitif tamsayı üslü bir sayının derecesi formül olarak görüntülenebilir: .

Ayrıca, n herhangi bir pozitif tamsayıdır.

Sıfır derece kavramıyla ilgilenelim. Bunu yapmak için, eşit tabanlı kuvvetler için bölümün özelliğini hesaba katan bir yaklaşım kullanıyoruz. Bu şekilde formüle edilmiştir:

tanım 3

eşitlik bir m: bir n = bir m - n aşağıdaki koşullar altında doğru olacaktır: m ve n doğal sayılardır, m< n , a ≠ 0 .

Son koşul önemlidir çünkü sıfıra bölmeyi önler. m ve n değerleri eşitse, aşağıdaki sonucu alırız: bir n: bir n = bir n - n = bir 0

Ama aynı zamanda a n: a n = 1 - eşit sayıların bölümü bir ve bir. Sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfır derecesinin bire eşit olduğu ortaya çıktı.

Ancak böyle bir ispat sıfırdan kuvvet sıfıra uygun değildir. Bunu yapmak için, güçlerin başka bir özelliğine ihtiyacımız var - eşit temellere sahip güçlerin ürünlerinin özelliği. Şuna benziyor: bir m bir n = bir m + n .

n 0 ise, o zaman bir m ve 0 = bir m(bu eşitlik bize şunu da kanıtlıyor: 0 = 1). Ama ve aynı zamanda sıfıra eşitse, eşitliğimiz şu şekli alır: 0 m 0 0 = 0 m, n'nin herhangi bir doğal değeri için doğru olacaktır ve derecenin değerinin tam olarak ne olduğu önemli değildir. 0 0 yani herhangi bir sayıya eşit olabilir ve bu eşitliğin geçerliliğini etkilemeyecektir. Bu nedenle, formun bir kaydı 0 0 kendine ait özel bir anlamı yoktur ve ona atfetmeyeceğiz.

İstenirse, bunu kontrol etmek kolaydır 0 = 1 derece özelliği ile yakınsar (bir m) n = bir m n derecenin tabanının sıfıra eşit olmaması şartıyla. Bu nedenle, sıfır üslü sıfır olmayan herhangi bir sayının derecesi bire eşittir.

Örnek 2

Belirli sayılarla bir örneğe bakalım: Yani, 5 0 - birim, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ve değer 0 0 Tanımsız.

Sıfır dereceden sonra, negatif derecenin ne olduğunu bulmak bize kalır. Bunu yapmak için, yukarıda zaten kullandığımız, eşit tabanlı kuvvetler çarpımının aynı özelliğine ihtiyacımız var: a m · a n = a m + n.

Şu koşulu getiriyoruz: m = − n , o zaman a sıfıra eşit olmamalıdır. Bunu takip ediyor bir - n bir n = bir - n + n = bir 0 = 1. Görünüşe göre bir n ve bir karşılıklı sayılara sahibiz.

Sonuç olarak, a'nın negatif bir tamsayı kuvveti, 1 a n kesirinden başka bir şey değildir.

Bu formülasyon, negatif tamsayı üslü bir derece için, doğal üslü bir derecenin sahip olduğu tüm özelliklerin geçerli olduğunu doğrular (tabanın sıfıra eşit olmaması şartıyla).

Örnek 3

Negatif bir n tamsayılı a kuvveti, 1a n kesri olarak temsil edilebilir. Böylece, a - n = 1 a n koşulu altında bir ≠ 0 ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Fikrimizi belirli örneklerle açıklayalım:

Örnek 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paragrafın son bölümünde, söylenen her şeyi tek bir formülde açıkça göstermeye çalışacağız:

Tanım 4

a'nın doğal üslü z kuvveti: a z = a z , e c ve z pozitif bir tamsayıdır 1 , z = 0 ve a ≠ 0 , (z = 0 ve a = 0 ise 0 0 alırız, değerleri 0 0 ifadesi belirlenmemiştir)   1 a z , z negatif bir tam sayı ve a ≠ 0 ise ( z negatif bir tam sayı ve a = 0 ise 0 z alırız, bu bir n d e n t i o n )

Rasyonel üslü dereceler nelerdir

Üsün bir tamsayı olduğu durumları analiz ettik. Bununla birlikte, üssü kesirli bir sayı olduğunda bir sayıyı bir kuvvete yükseltebilirsiniz. Buna rasyonel üslü bir derece denir. Bu alt bölümde diğer güçlerle aynı özelliklere sahip olduğunu kanıtlayacağız.

Rasyonel sayılar nelerdir? Kümeleri hem tamsayı hem de kesirli sayıları içerirken, kesirli sayılar sıradan kesirler (hem pozitif hem de negatif) olarak temsil edilebilir. Bir a sayısının derecesinin tanımını, n'nin doğal bir sayı ve m'nin bir tam sayı olduğu kesirli bir üs m / n ile formüle ediyoruz.

a m n kesirli bir üslü bir dereceye sahibiz. Güç özelliğinin bir dereceye kadar geçerli olması için, a m n n = a m n · n = a m eşitliği doğru olmalıdır.

Bir n'inci kökün tanımı ve a m n n = a m olduğu göz önüne alındığında, verilen m , n ve a değerleri için a m n anlamlıysa, a m n = a m n koşulunu kabul edebiliriz.

Bir tamsayı üslü derecenin yukarıdaki özellikleri, a m n = a m n koşulu altında doğru olacaktır.

Akıl yürütmemizden çıkan ana sonuç şu şekildedir: kesirli üs m / n ile bazı a sayısının derecesi, a sayısından m kuvvetine kadar n'inci derecenin köküdür. Bu, verilen m, n ve a değerleri için a m n ifadesi anlamlıysa doğrudur.

1. Derecenin tabanının değerini sınırlayabiliriz: m'nin pozitif değerleri için 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak ve negatif değerler için kesinlikle daha az olacak olan a alın (çünkü m ≤ için 0 alıyoruz 0 m, ancak bu derece tanımlanmamıştır). Bu durumda, derecenin kesirli üslü tanımı şöyle görünecektir:

Bazı pozitif a sayısı için kesirli üs m/n, m kuvvetine yükseltilmiş a'nın n'inci köküdür. Bir formül şeklinde, bu aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Tabanı sıfır olan bir derece için bu hüküm de uygundur, ancak yalnızca üssü pozitif bir sayıysa.

Tabanı sıfır ve pozitif kesirli üslü m/n olan bir güç şu şekilde ifade edilebilir:

0 m n = 0 m n = 0, pozitif tamsayı m ve doğal n koşulu altında.

Negatif oranlı m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir noktayı not edelim. a'nın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu koşulunu getirdiğimiz için bazı durumları attık.

a m n ifadesi bazen a'nın bazı negatif değerleri ve m'nin bazı negatif değerleri için hala anlamlıdır. Bu nedenle, girişler doğrudur (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , burada taban negatiftir.

2. İkinci yaklaşım, a m n kökünü çift ve tek üslerle ayrı ayrı ele almaktır. O zaman bir koşul daha eklememiz gerekiyor: üssünde indirgenebilir bir adi kesir bulunan a derecesi, üssünde karşılık gelen indirgenemez kesrin bulunduğu a derecesi olarak kabul edilir. Daha sonra bu duruma neden ihtiyacımız olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu açıklayacağız. Böylece, a m · k n · k kaydımız varsa, onu a m n'ye indirgeyebilir ve hesaplamaları basitleştirebiliriz.

n tek bir sayıysa ve m pozitifse ve a negatif olmayan herhangi bir sayıysa, o zaman a m n anlamlıdır. Negatif olmayan bir a için koşul gereklidir, çünkü çift derecenin kökü negatif bir sayıdan çıkarılmaz. m'nin değeri pozitifse, a hem negatif hem de sıfır olabilir, çünkü Herhangi bir gerçek sayıdan tek bir kök alınabilir.

Tanımın üzerindeki tüm verileri tek bir girişte birleştirelim:

Burada m/n indirgenemez bir kesir anlamına gelir, m herhangi bir tam sayıdır ve n herhangi bir doğal sayıdır.

tanım 5

Herhangi bir sıradan indirgenmiş kesir m · k n · k için, derece a m n ile değiştirilebilir.

İndirgenemez kesirli üs m / n ile a derecesi - aşağıdaki durumlarda a m n olarak ifade edilebilir: - herhangi bir gerçek a için , pozitif tamsayı değerleri m ve tek doğal değerler n . Örnek: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Sıfır olmayan herhangi bir gerçek a için, m'nin negatif tamsayı değerleri ve n'nin tek değerleri, örneğin, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Herhangi bir negatif olmayan a için, m ve hatta n'nin pozitif tamsayı değerleri, örneğin, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18.

Herhangi bir pozitif a , negatif tamsayı için m ve hatta n , örneğin, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Diğer değerler durumunda, kesirli üslü derece belirlenmez. Bu tür yetkilere örnekler: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Şimdi yukarıda belirtilen koşulun önemini açıklayalım: Bir kesrin indirgenemez üslü bir kesri neden indirgenemez bir üsle değiştirelim. Bunu yapmasaydık, o zaman bu tür durumlar ortaya çıkacaktı, diyelim ki 6/10 = 3/5. O zaman (- 1) 6 10 = - 1 3 5 doğru olmalı, ancak - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ve (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

İlk olarak verdiğimiz kesirli üslü derece tanımı pratikte ikinciye göre daha uygundur, bu yüzden kullanmaya devam edeceğiz.

tanım 6

Böylece, m / n kesirli üslü pozitif bir a sayısının gücü 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır. olumsuz olması durumunda a a m n gösterimi anlamsızdır. Pozitif Kesirli Üsler için Sıfır Derecesi ay/n 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır, negatif kesirli üsler için sıfır derecesini tanımlamayız.

Sonuçlarda, herhangi bir kesirli göstergenin hem karışık sayı hem de ondalık kesir olarak yazılabileceğini not ediyoruz: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Hesaplarken, üssü sıradan bir kesirle değiştirmek ve ardından derecenin tanımını kesirli bir üsle kullanmak daha iyidir. Yukarıdaki örnekler için şunu elde ederiz:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

İrrasyonel ve gerçek üslü dereceler nelerdir?

Gerçek sayılar nelerdir? Kümeleri hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir. Bu nedenle, gerçek üslü bir derecenin ne olduğunu anlamak için, dereceleri rasyonel ve irrasyonel üslerle tanımlamamız gerekir. Rasyonel hakkında, yukarıda zaten bahsettik. İrrasyonel göstergelerle adım adım ilgilenelim.

Örnek 5

Bir irrasyonel sayı a ve ondalık yaklaşımları a 0 , a 1 , a 2 , dizimiz olduğunu varsayalım. . . . Örneğin, a = 1 , 67175331 değerini alalım. . . , sonra

a 0 = 1 , 6 , bir 1 = 1 , 67 , bir 2 = 1 , 671 , . . . , 0 = 1 , 67 , 1 = 1 , 6717 , 2 = 1 , 671753 , . . .

Yaklaşım dizilerini a a 0 , a 1 , a a 2 , kuvvetleri dizisiyle ilişkilendirebiliriz. . . . Daha önce sayıları rasyonel bir güce yükseltmek hakkında konuştuklarımızı hatırlarsak, o zaman bu güçlerin değerlerini kendimiz hesaplayabiliriz.

örneğin al bir = 3, sonra a 0 = 3 1 , 67 , a 1 = 3 1 , 6717 , a 2 = 3 1 , 671753 , . . . vb.

Derecelerin sırası, a tabanı ve irrasyonel üs a ile derecenin değeri olacak bir sayıya indirgenebilir. Sonuç olarak: 3 1 , 67175331 biçiminde irrasyonel bir üslü bir derece. . 6, 27 sayısına indirgenebilir.

Tanım 7

İrrasyonel üslü a pozitif bir sayının kuvveti a olarak yazılır. Değeri a a 0 , a 1 , a 2 , dizisinin limitidir. . . , burada 0 , 1 , 2 , . . . a irrasyonel sayısının ardışık ondalık yaklaşımlarıdır. Pozitif irrasyonel üsler için sıfır tabanlı bir derece de tanımlanabilir, 0 a \u003d 0 Yani, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Ve negatif olanlar için bu yapılamaz, çünkü örneğin 0 - 5, 0 - 2 π değeri tanımlanmamıştır. Herhangi bir irrasyonel güce yükseltilmiş bir birim, örneğin bir birim olarak kalır ve 2'de 1 2, 1 5 ve 1 - 5, 1'e eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Güç formülleri denklemleri ve eşitsizlikleri çözmede karmaşık ifadeleri azaltma ve basitleştirme sürecinde kullanılır.

Sayı c dır-dir n-bir sayının kuvveti a ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Dereceleri aynı tabanla çarparak göstergeleri toplanır:

bir mbir n = bir m + n .

2. Aynı tabana sahip derecelerin bölünmesinde göstergeleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, şu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = bir n b n c n …

4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = bir n / bn .

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükselterek, üsler çarpılır:

(am) n = bir mn .

Yukarıdaki her formül, soldan sağa ve tam tersi yönde doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklerle işlemler.

1. Birkaç faktörün ürününün kökü, bu faktörlerin köklerinin ürününe eşittir:

2. Oranın kökü, temettü oranına ve köklerin bölenine eşittir:

3. Bir kökü bir güce yükseltirken, kök sayısını bu güce yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsak n bir kez ve aynı anda yükseltmek n th güç bir kök sayıdır, o zaman kökün değeri değişmez:

5. Kökün derecesini azaltırsak n aynı anda kök n radikal sayıdan th derece, o zaman kökün değeri değişmeyecek:

Negatif üslü derece. Pozitif olmayan (tamsayı) üslü belirli bir sayının derecesi, pozitif olmayan üssün mutlak değerine eşit bir üsle aynı sayının derecesine bölünmesiyle tanımlanır:

formül bir m:bir n = bir m - n sadece için kullanılamaz m> n, ama aynı zamanda m< n.

Örneğin. a4:a 7 = bir 4 - 7 = bir -3.

formüle bir m:bir n = bir m - n adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığına ihtiyacınız var.

Sıfır üslü derece. Sıfır üssü ile sıfır olmayan herhangi bir sayının gücü bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü bir derece. Gerçek bir sayı yükseltmek için a bir dereceye kadar ay/n, kökü çıkarmanız gerekiyor n derece m bu sayının kuvveti a.