Vektörlerin lineer bağımlılığı ve lineer bağımsızlığı. vektör tabanı

İzin vermek L- keyfi lineer uzay, a i Î Löğeleridir (vektörler).

Tanım 3.3.1.İfade , nerede , - doğrusal kombinasyon adı verilen keyfi gerçek sayılar vektörler bir 1 , bir 2 ,…, bir n.

eğer vektör R = , o zaman diyorlar R vektörlere ayrıştırılmış bir 1 , bir 2 ,…, bir n.

Tanım 3.3.2. Vektörlerin doğrusal bir kombinasyonuna denir. önemsiz, sayılar arasında sıfır dışında en az bir tane varsa. Aksi takdirde, doğrusal kombinasyon denir önemsiz.

tanım 3.3.3 . Vektörler a 1 , a 2 ,…, a n bunların önemsiz olmayan bir lineer kombinasyonu varsa, lineer bağımlı olarak adlandırılırlar.

= 0 .

tanım 3.3.4. Vektörler a 1 ,a 2 ,…,a n eşitlik ise lineer bağımsız olarak adlandırılır. = 0 ancak tüm sayılar mümkünse ben 1, ben 2,…, ben aynı anda sıfırdır.

Herhangi bir sıfır olmayan eleman a 1 lineer bağımsız bir sistem olarak kabul edilebilir, çünkü eşitlik ben 1 = 0 sadece koşul altında mümkün ben= 0.

Teorem 3.3.1. Doğrusal bir bağımlılık için gerekli ve yeterli bir koşul a 1 , a 2 ,…, a n bu unsurlardan en az birinin geri kalanına ayrıştırılması olasılığıdır.

Kanıt. İhtiyaç. a 1 , a 2 ,…, a öğelerine izin verin n lineer bağımlı. Demek oluyor = 0 ve sayılardan en az biri ben 1, ben 2,…, ben sıfırdan farklıdır. Kesinlik için izin ver ben 1 ¹ 0. Sonra

yani a 1 öğesi, a 2 , a 3 , …, a öğelerine ayrıştırılır n.

Yeterlilik a 1 öğesinin a 2 , a 3 , …, a öğelerine ayrıştırılmasına izin verin n, yani 1 = . O zamanlar = 0 , bu nedenle, a 1 , a 2 ,…, a vektörlerinin önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır. n eşittir 0 , bu yüzden lineer bağımlıdırlar .

Teorem 3.3.2. a 1 , a 2 ,…, a öğelerinden en az biri n sıfır, o zaman bu vektörler lineer bağımlıdır.

Kanıt . İzin vermek a n= 0 , sonra = 0 , bu, belirtilen öğelerin doğrusal bağımlılığı anlamına gelir.

Teorem 3.3.3. n vektör arasında herhangi bir p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Kanıt. Kesinlik için, a 1 , a 2 ,…, a öğelerine izin verin p lineer bağımlı. Bu, önemsiz olmayan bir lineer kombinasyon olduğu anlamına gelir. = 0 . Öğeyi her iki parçasına da eklersek, belirtilen eşitlik korunacaktır. O zamanlar + = 0 , sayılardan en az biri ben 1, ben 2,…, lp sıfırdan farklıdır. Bu nedenle, a 1 , a 2 ,…, a vektörleri n lineer bağımlıdır.

Sonuç 3.3.1. Eğer n eleman lineer olarak bağımsız ise, o zaman herhangi bir k elemanı lineer olarak bağımsızdır (k< n).

Teorem 3.3.4. vektörler ise bir 1 , bir 2 ,…, bir n- 1 lineer bağımsızdır ve elemanlar bir 1 , bir 2 ,…, bir n- 1 A n lineer olarak bağımlıysa, vektör a n vektörlere ayrıştırılabilir bir 1 , bir 2 ,…, bir n- 1 .

Kanıt. a 1 , a koşuluna göre 2 ,…, a n- 1 A n doğrusal olarak bağımlıysa, bunların önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır. = 0 , ve (aksi takdirde, a 1 , a 2 ,…, a vektörleri n- bir). Ama sonra vektör

,

Q.E.D.

Vektörler sistemi denir lineer bağımlı, aralarında en az birinin sıfırdan farklı olduğu sayılar varsa, eşitlik https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Bu eşitlik sadece all ise geçerliyse, vektörler sistemine denir. Doğrusal bağımsız.

Teorem. Vektörler sistemi lineer bağımlı ancak ve ancak vektörlerinden en az birinin diğerlerinin doğrusal bir birleşimi olması durumunda.

örnek 1 Polinom polinomların doğrusal bir birleşimidir https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomlar doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturur, çünkü https polinomu: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Örnek 2 Matris sistemi , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> lineer olarak bağımsızdır, çünkü lineer kombinasyon şuna eşittir: sıfır matris yalnızca https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ olduğunda 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> doğrusal bağımlı.

Çözüm.

Bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu oluşturun https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Eşit vektörlerin aynı adlı koordinatlarını eşitleyerek, https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> elde ederiz.

Sonunda anladık

ve

Sistemin benzersiz bir önemsiz çözümü vardır, bu nedenle bu vektörlerin doğrusal kombinasyonu, yalnızca tüm katsayılar sıfırsa sıfırdır. Bu nedenle, bu vektör sistemi lineer olarak bağımsızdır.

Örnek 4 Vektörler lineer bağımsızdır. Vektör sistemleri ne olacak

a).;

b).?

Çözüm.

a). Doğrusal bir kombinasyon oluşturun ve sıfıra eşitleyin

Doğrusal bir uzayda vektörlerle işlemlerin özelliklerini kullanarak, formdaki son eşitliği yeniden yazarız.

Vektörler doğrusal olarak bağımsız olduğundan, katsayıları sıfıra eşit olmalıdır, yani.gif" width="12" height="23 src=">

Ortaya çıkan denklem sistemi benzersiz bir önemsiz çözüme sahiptir. .

eşitlikten beri (*) yalnızca https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> adresinde yürütülür – doğrusal olarak bağımsız;

b). Eşitliği oluşturun https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Benzer bir mantık yürütürsek,

Gauss yöntemiyle denklem sistemini çözerek, elde ederiz

veya

Son sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. eşitliğinin sağlandığı sıfır katsayılar kümesi (**) . Bu nedenle, vektörler sistemi lineer bağımlıdır.

Örnek 5 Vektör sistemi lineer olarak bağımsızdır ve vektör sistemi lineer olarak bağımlıdır..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

eşitlikte (***) . Gerçekten de, için sistem lineer bağımlı olacaktır.

ilişkiden (***) alırız veya belirtmek .

Almak

Bağımsız çözüm için görevler (sınıfta)

1. Sıfır vektörü içeren bir sistem lineer bağımlıdır.

2. Tek vektör sistemi a, lineer bağımlıdır ancak ve ancak, a=0.

3. İki vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak vektörler orantılıysa (yani biri diğerinden bir sayı ile çarpılarak elde edilirse) lineer bağımlıdır.

4. Doğrusal bağımlı bir sisteme bir vektör eklenirse, doğrusal bağımlı bir sistem elde edilir.

5. Bir vektör, doğrusal olarak bağımsız bir sistemden çıkarılırsa, elde edilen vektörler sistemi doğrusal olarak bağımsızdır.

6. eğer sistem S lineer bağımsız, ancak bir vektör eklendiğinde lineer bağımlı hale gelir b, sonra vektör b sistemin vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir S.

c).İkinci mertebeden matrislerin uzayında matrisler sistemi.

10. Vektörler sistemi olsun a,b,c vektör uzayı lineer bağımsızdır. Aşağıdaki vektör sistemlerinin lineer bağımsızlığını kanıtlayın:

a).bir+b, b, c.

b).bir+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– Rasgele sayı

c).bir+b, a+c, b+c.

11. İzin vermek a,b,c düzlemde bir üçgen oluşturmak için kullanılabilecek üç vektördür. Bu vektörler lineer bağımlı mı olacak?

12. Verilen iki vektör a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). İki tane daha 4D vektör al a3 vea4 böylece sistem a1,a2,a3,a4 lineer bağımsızdı .

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Çözüm. Denklem sistemine genel bir çözüm arıyoruz

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauss yöntemi. Bunu yapmak için, bu homojen sistemi koordinatlarda yazıyoruz:

Sistem Matrisi

İzin verilen sistem şöyle görünür: (r bir = 2, n= 3). Sistem tutarlı ve tanımsızdır. Genel çözümü ( x 2 - serbest değişken): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Sıfır olmayan bir özel çözümün varlığı, örneğin, vektörlerin a 1 , a 2 , a 3 lineer bağımlı.

Örnek 2

Verilen vektör sisteminin lineer bağımlı mı yoksa lineer bağımsız mı olduğunu öğrenin:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Çözüm. Homojen denklem sistemini düşünün a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

veya genişletilmiş (koordinatlara göre)

Sistem homojendir. Dejenere değilse, benzersiz bir çözümü vardır. Homojen bir sistem durumunda, sıfır (önemsiz) çözüm. Dolayısıyla, bu durumda vektörler sistemi bağımsızdır. Sistem dejenere ise, sıfırdan farklı çözümlere sahiptir ve bu nedenle bağımlıdır.

Sistemin dejenerasyon açısından kontrol edilmesi:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem dejenere değildir ve bu nedenle vektörler a 1 , a 2 , a 3 lineer bağımsızdır.

Görevler. Verilen vektör sisteminin lineer bağımlı mı yoksa lineer bağımsız mı olduğunu öğrenin:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Bir vektör sisteminin aşağıdakileri içermesi durumunda lineer bağımlı olacağını kanıtlayın:

a) iki eşit vektör;

b) iki orantılı vektör.

Vektörlerin lineer bağımlılığı ve lineer bağımsızlığı.
Vektörlerin temeli. afin koordinat sistemi

Seyircide çikolatalı bir araba var ve bugün her ziyaretçi tatlı bir çift alacak - lineer cebirli analitik geometri. Bu makale aynı anda yüksek matematiğin iki bölümüne değinecek ve bunların nasıl bir araya geldiğini tek bir pakette göreceğiz. Mola verin, Twix yiyin! ... kahretsin, şey, saçma sapan tartışma. Tamam, puan almayacağım, sonuçta, çalışmak için olumlu bir tutum olmalı.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı, vektörlerin doğrusal bağımsızlığı, vektör tabanı ve diğer terimlerin yalnızca geometrik bir yorumu değil, her şeyden önce cebirsel bir anlamı vardır. Lineer cebir açısından "vektör" kavramı, her zaman bir düzlemde veya uzayda tasvir edebileceğimiz "sıradan" vektörden uzaktır. Kanıt için uzaklara bakmanıza gerek yok, beş boyutlu uzay vektörü çizmeyi deneyin. . Veya Gismeteo'ya az önce gittiğim hava durumu vektörü: - sırasıyla sıcaklık ve atmosfer basıncı. Örnek, elbette, vektör uzayının özellikleri açısından yanlıştır, ancak yine de hiç kimse bu parametreleri bir vektör olarak resmileştirmeyi yasaklamaz. Sonbaharın nefesi...

Hayır, sizi teori, lineer vektör uzayları ile sıkmayacağım, görev anlamak tanımlar ve teoremler. Yeni terimler (doğrusal bağımlılık, bağımsızlık, doğrusal kombinasyon, taban vb.) cebirsel bir bakış açısıyla tüm vektörlere uygulanabilir, ancak örnekler geometrik olarak verilecektir. Böylece her şey basit, erişilebilir ve görseldir. Analitik geometri problemlerine ek olarak, cebirin bazı tipik görevlerini de ele alacağız. Materyalde ustalaşmak için derslere aşina olmanız önerilir. Aptallar için vektörler ve Determinant nasıl hesaplanır?

Düzlem vektörlerin lineer bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Düzlem tabanlı ve afin koordinat sistemi

Bilgisayar masanızın düzlemini düşünün (sadece bir masa, komodin, zemin, tavan, ne isterseniz). Görev aşağıdaki eylemlerden oluşacaktır:

1) Düzlem tabanını seçin. Kabaca söylemek gerekirse, masa tablasının bir uzunluğu ve genişliği vardır, bu nedenle temeli oluşturmak için iki vektörün gerekli olduğu sezgisel olarak açıktır. Bir vektör açıkça yeterli değil, üç vektör çok fazla.

2) Seçilen esasa göre koordinat sistemini ayarla(koordinat ızgarası) tablodaki tüm öğelere koordinat atamak için.

Şaşırmayın, ilk başta açıklamalar parmaklarda olacak. Üstelik seninkinde. lütfen yerleştirin sol elin işaret parmağı monitöre bakması için masanın kenarına. Bu bir vektör olacak. Şimdi yer sağ elin küçük parmağı aynı şekilde masanın kenarına yerleştirin - böylece monitör ekranına yönlendirilir. Bu bir vektör olacak. Gülümse, harika görünüyorsun! Vektörler hakkında ne söylenebilir? Veri Vektörleri doğrusal, bu şu anlama gelir lineer olarak birbirleri aracılığıyla ifade edilir:
, peki ya da tam tersi: , sıfır olmayan bir sayı nerede.

Bu eylemin bir resmini derste görebilirsiniz. Aptallar için vektörler, burada bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralını açıkladım.

Parmaklarınız bilgisayar masasının düzleminde temel oluşturacak mı? Belli ki değil. Doğrusal vektörler ileri geri hareket eder. yalnız yön, bir düzlemin bir uzunluğu ve genişliği vardır.

Böyle vektörlere denir lineer bağımlı.

Referans: "Doğrusal", "doğrusal" kelimeleri, matematiksel denklemlerde, ifadelerde kareler, küpler, diğer kuvvetler, logaritmalar, sinüsler vb. olmadığı gerçeğini ifade eder. Yalnızca doğrusal (1. derece) ifadeler ve bağımlılıklar vardır.

İki düzlem vektörleri lineer bağımlı eğer ve sadece onlar eşdoğrusal iseler.

Parmaklarınızı, aralarında 0 veya 180 derece dışında herhangi bir açı olacak şekilde masanın üzerinde çaprazlayın. İki düzlem vektörlerilineer olarak olumsuzluk ancak ve ancak eşdoğrusal değillerse bağımlıdırlar. Böylece, temel alınır. Temelin, çeşitli uzunluklarda dik olmayan vektörlerle "eğik" olduğu ortaya çıktığından utanmaya gerek yok. Çok yakında, sadece 90 derecelik bir açının inşası için uygun olmadığını ve yalnızca eşit uzunluktaki birim vektörlerin olmadığını göreceğiz.

Hiç uçak vektörü tek yol temel olarak genişletilmiştir:
, gerçek sayılar nerede . numaralar denir vektör koordinatları bu temelde.

Bunu da söylüyorlar vektörformda sunulan doğrusal kombinasyon temel vektörler. Yani, ifade denir vektör ayrıştırmatemel veya doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Örneğin, bir vektörün düzlemin ortonormal bazında genişletildiği veya vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edildiği söylenebilir.

formüle edelim temel tanım resmen: düzlem temel doğrusal olarak bağımsız (doğrusal olmayan) bir vektör çiftidir, , burada hiç düzlem vektör, temel vektörlerin doğrusal bir birleşimidir.

Tanımın esas noktası, vektörlerin alınmış olmasıdır. belirli bir sırayla. bazlar Bunlar tamamen farklı iki temel! Dedikleri gibi, sol elin serçe parmağı sağ elin serçe parmağının yerine hareket ettirilemez.

Temelini belirledik, ancak bilgisayar masanızdaki her bir öğeye koordinat ızgarasını ayarlamak ve koordinatları atamak yeterli değil. Neden yeterli değil? Vektörler serbesttir ve tüm düzlem üzerinde dolaşırlar. Peki, çılgın bir hafta sonundan kalan o küçük kirli masa noktalarına koordinatları nasıl atarsınız? Bir başlangıç ​​noktası gereklidir. Ve böyle bir referans noktası, herkese tanıdık gelen bir noktadır - koordinatların kökeni. Koordinat sistemini anlama:

"Okul" sistemiyle başlayacağım. Zaten giriş dersinde Aptallar için vektörler Dikdörtgen koordinat sistemi ile ortonormal taban arasındaki bazı farklılıkları vurguladım. İşte standart resim:

hakkında konuşurken dikdörtgen koordinat sistemi, o zaman çoğu zaman orijin, koordinat eksenleri ve eksenler boyunca ölçek anlamına gelirler. Arama motoruna “dikdörtgen koordinat sistemi” yazmayı deneyin, birçok kaynağın size 5-6. sınıftan aşina olduğunuz koordinat eksenlerini ve bir düzlemde noktaların nasıl çizileceğini anlatacağını göreceksiniz.

Öte yandan, dikdörtgen bir koordinat sisteminin bir ortonormal taban açısından iyi tanımlanabileceği izlenimi edinilir. Ve neredeyse öyle. İfade şöyle gider:

Menşei, ve ortonormal temel küme Düzlemin kartezyen koordinat sistemi . Yani, dikdörtgen bir koordinat sistemi kesinlikle tek bir nokta ve iki birim dik vektör ile tanımlanır. Bu yüzden yukarıda verdiğim çizimi görüyorsunuz - geometrik problemlerde hem vektörler hem de koordinat eksenleri sıklıkla (ama her zaman olmaktan uzak) çizilir.

Sanırım herkes bunu bir nokta (köken) ve ortonormal bir temel yardımıyla anlıyor. düzlemin HERHANGİ BİR NOKTASI ve düzlemin HERHANGİ BİR VEKTÖRÜ koordinatlar atanabilir. Mecazi olarak konuşursak, "uçaktaki her şey numaralandırılabilir."

Koordinat vektörleri birim olmak zorunda mı? Hayır, isteğe bağlı olarak sıfır olmayan bir uzunluğa sahip olabilirler. Bir nokta ve rastgele sıfır olmayan uzunlukta iki ortogonal vektör düşünün:

Böyle bir temel denir dikey. Vektörlerle koordinatların orijini, koordinat ızgarasını tanımlar ve düzlemin herhangi bir noktası, herhangi bir vektör, verilen temelde kendi koordinatlarına sahiptir. Örneğin, veya. Bariz rahatsızlık, koordinat vektörlerinin Genel olarak birlik dışında farklı uzunluklara sahiptir. Uzunluklar bire eşitse, normal ortonormal taban elde edilir.

! Not : ortogonal temelde ve ayrıca düzlemin ve uzayın afin tabanlarında aşağıda olduğu gibi, eksenler boyunca birimler dikkate alınır. ŞARTLI. Örneğin, apsis boyunca bir birim 4 cm, ordinat boyunca bir birim 2 cm içerir Bu bilgi, gerekirse “standart dışı” koordinatları “normal santimetremize” dönüştürmek için yeterlidir.

Ve aslında zaten cevaplanmış olan ikinci soru - temel vektörler arasındaki açı mutlaka 90 dereceye eşit midir? Değil! Tanımın dediği gibi, temel vektörler sadece doğrusal olmayan. Buna göre açı 0 ve 180 derece dışında herhangi bir şey olabilir.

denilen uçakta bir nokta Menşei, ve doğrusal olmayan vektörler , , Ayarlamak düzlemin afin koordinat sistemi :

Bazen bu koordinat sistemi denir eğik sistem. Noktalar ve vektörler çizimde örnek olarak gösterilmiştir:

Anladığınız gibi, afin koordinat sistemi daha da az uygundur, dersin ikinci bölümünde ele aldığımız vektörlerin ve bölümlerin uzunlukları için formüller içinde çalışmaz. Aptallar için vektörler, ile ilgili birçok lezzetli formül vektörlerin skaler çarpımı. Ancak vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralları geçerlidir, bu bağlamda bir segmenti bölme formülleri ve yakında ele alacağımız diğer bazı problem türleri.

Ve sonuç, bir afin koordinat sisteminin en uygun özel durumunun Kartezyen dikdörtgen sistemi olduğudur. Bu nedenle, kendisinin, en sık görülmesi gerekir. ... Bununla birlikte, bu hayattaki her şey görecelidir - eğik (veya başka bir şey, örneğin,) sahip olmanın uygun olduğu birçok durum vardır. kutupsal) koordinat sistemi. Evet ve insansı bu tür sistemlerin tadı gelebilir =)

Pratik kısma geçelim. Bu dersteki tüm problemler hem dikdörtgen koordinat sistemi hem de genel afin durumu için geçerlidir. Burada karmaşık bir şey yok, tüm materyaller bir okul çocuğu için bile mevcut.

Düzlem vektörlerinin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Tipik bir şey. İki düzlem vektör için doğrusaldır, ilgili koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir..Aslında, bu, bariz ilişkinin koordinat bazında inceltilmesidir.

örnek 1

a) Vektörlerin doğrusal olup olmadığını kontrol edin .
b) Vektörler bir temel oluşturur mu? ?

Çözüm:
a) Vektörlerin olup olmadığını öğrenin orantılılık katsayısı, öyle ki eşitlikler sağlanır:

Bu kuralın uygulanmasının pratikte oldukça işe yarayan “aptalca” versiyonundan kesinlikle bahsedeceğim. Buradaki fikir, hemen bir orantı oluşturmak ve doğru olup olmadığını görmek:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının oranlarından bir orantı yapalım:

kısaltıyoruz:
, dolayısıyla karşılık gelen koordinatlar orantılıdır, bu nedenle,

İlişki yapılabilir ve bunun tersi de yapılabilir, bu eşdeğer bir seçenektir:

Kendi kendini test etmek için, eşdoğrusal vektörlerin birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği gerçeği kullanılabilir. Bu durumda eşitlikler . Geçerlilikleri, vektörlerle yapılan temel işlemlerle kolayca kontrol edilebilir:

b) Doğrusal (doğrusal bağımsız) değillerse, iki düzlem vektör bir temel oluşturur. Doğrusallık için vektörleri inceliyoruz . Bir sistem oluşturalım:

İlk denklemden şu sonucu çıkar, ikinci denklemden şunu takip eder, yani, sistem tutarsız(çözüm yok). Bu nedenle, vektörlerin karşılık gelen koordinatları orantılı değildir.

Çözüm: vektörler lineer bağımsızdır ve bir temel oluşturur.

Çözümün basitleştirilmiş bir versiyonu şöyle görünür:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarından orantı oluşturun :
, dolayısıyla, bu vektörler lineer olarak bağımsızdır ve bir temel oluşturur.

Genellikle gözden geçirenler bu seçeneği reddetmez, ancak bazı koordinatların sıfıra eşit olduğu durumlarda bir sorun ortaya çıkar. Bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Buradaki orantı nasıl işlenir? (Gerçekten, sıfıra bölemezsiniz). Bu nedenle basitleştirilmiş çözümü "züppe" olarak adlandırdım.

Cevap: a) , b) formu.

Bağımsız bir çözüm için küçük bir yaratıcı örnek:

Örnek 2

Parametre vektörlerinin hangi değerinde doğrusal olacak mı?

Örnek çözümde parametre orantı yoluyla bulunur.

Vektörleri eşdoğrusallık için kontrol etmenin zarif bir cebirsel yolu var.Bilgimizi sistematize edelim ve bunu beşinci nokta olarak ekleyelim:

İki düzlem vektör için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler doğrusal değildir;

+ 5) bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfır değildir.

Sırasıyla, aşağıdaki zıt ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler lineer bağımlıdır;
2) vektörler bir temel oluşturmaz;
3) vektörler doğrusaldır;
4) vektörler birbirleri üzerinden lineer olarak ifade edilebilirler;
+ 5) bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfıra eşittir.

Gerçekten, gerçekten, şu anda karşınıza çıkan tüm terimleri ve ifadeleri zaten anladığınızı umuyorum.

Yeni, beşinci noktaya daha yakından bakalım: iki düzlem vektörleri ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eşdoğrusaldır.:. Bu özelliği kullanmak için, elbette, şunları yapabilmeniz gerekir: belirleyicileri bul.

Karar vereceğizİkinci şekilde Örnek 1:

a) Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayın :
, yani bu vektörler doğrusaldır.

b) Doğrusal (doğrusal bağımsız) değillerse, iki düzlem vektör bir temel oluşturur. Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım. :
, dolayısıyla vektörler lineer olarak bağımsızdır ve bir temel oluşturur.

Cevap: a) , b) formu.

Orantılı çözümden çok daha kompakt ve güzel görünüyor.

Ele alınan malzemenin yardımıyla, sadece vektörlerin doğrusallığını kurmak değil, aynı zamanda segmentlerin, düz çizgilerin paralelliğini kanıtlamak da mümkündür. Belirli geometrik şekillerle ilgili birkaç problem düşünün.

Örnek 3

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayın.

Kanıt: Çözüm tamamen analitik olacağı için problemde çizim oluşturmaya gerek yoktur. Paralelkenarın tanımını hatırlayın:
Paralelkenar Karşılıklı kenarların paralel olduğu dörtgen denir.

Bu nedenle, kanıtlamak gerekir:
1) karşı tarafların paralelliği ve;
2) zıt tarafların paralelliği ve .

Kanıtlıyoruz:

1) Vektörleri bulun:

2) Vektörleri bulun:

Sonuç aynı vektördür (“okula göre” - eşit vektörler). Doğrusallık oldukça açıktır, ancak düzenleme ile kararı doğru bir şekilde vermek daha iyidir. Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayın:
, yani bu vektörler eşdoğrusaldır ve .

Çözüm: Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çift olarak paraleldir, bu nedenle tanım gereği bir paralelkenardır. Q.E.D..

Daha iyi ve farklı rakamlar:

Örnek 4

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin bir yamuk olduğunu kanıtlayın.

İspatın daha titiz bir formülasyonu için, elbette, bir yamuğun tanımını almak daha iyidir, ancak sadece neye benzediğini hatırlamak yeterlidir.

Bu bağımsız karar verme görevidir. Dersin sonunda tam çözüm.

Ve şimdi yavaş yavaş uçaktan uzaya geçme zamanı:

Uzay vektörlerinin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Kural çok benzer. İki uzay vektörünün eşdoğrusal olması için, karşılık gelen koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir..

Örnek 5

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını öğrenin:

a) ;
b)
içinde)

Çözüm:
a) Vektörlerin karşılık gelen koordinatları için bir orantı katsayısı olup olmadığını kontrol edin:

Sistemin çözümü yoktur, bu da vektörlerin doğrusal olmadığı anlamına gelir.

"Basitleştirilmiş", orantı kontrol edilerek yapılır. Bu durumda:
– karşılık gelen koordinatlar orantılı değildir, bu da vektörlerin doğrusal olmadığı anlamına gelir.

Cevap: vektörler doğrusal değildir.

b-c) Bunlar bağımsız karar noktalarıdır. İki şekilde deneyin.

Uzamsal vektörleri eşdoğrusallık için kontrol etmek için bir yöntem vardır ve üçüncü dereceden bir determinant aracılığıyla bu yöntem makalede ele alınmıştır. Vektörlerin çapraz çarpımı.

Düzlem durumuna benzer şekilde, ele alınan araçlar, uzamsal segmentlerin ve çizgilerin paralelliğini incelemek için kullanılabilir.

İkinci bölüme hoş geldiniz:

Üç boyutlu uzay vektörlerinin lineer bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Mekansal temel ve afin koordinat sistemi

Uçakta ele aldığımız birçok düzenlilik uzay için de geçerli olacaktır. Bilginin aslan payı zaten çiğnendiği için teorinin özetini en aza indirmeye çalıştım. Yine de yeni terimler ve kavramlar ortaya çıkacağı için giriş kısmını dikkatlice okumanızı tavsiye ederim.

Şimdi bilgisayar masasının düzlemi yerine üç boyutlu uzayı inceleyelim. İlk önce, temelini oluşturalım. Biri içeride, biri dışarıda ama her halükarda üç boyuttan kurtulamayız: genişlik, uzunluk ve yükseklik. Bu nedenle, temeli oluşturmak için üç uzaysal vektör gereklidir. Bir veya iki vektör yeterli değil, dördüncüsü gereksiz.

Ve yine parmaklarda ısınıyoruz. Lütfen elinizi kaldırın ve farklı yönlere yayın. başparmak, işaret parmağı ve orta parmak. Bunlar vektörler olacak, farklı yönlere bakıyorlar, farklı uzunluklara sahipler ve kendi aralarında farklı açılara sahipler. Tebrikler, üç boyutlu uzayın temeli hazır! Bu arada bunu öğretmenlere göstermenize gerek yok, parmaklarınızı ne kadar kıvırırsanız kıvırsanız da tanımlardan kaçamıyorsunuz =)

Sonra, önemli bir soru soruyoruz, herhangi üç vektörün üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturup oluşturmadığı? Lütfen bilgisayar masasının üstüne üç parmağınızla sıkıca bastırın. Ne oldu? Aynı düzlemde üç vektör bulunur ve kabaca konuşursak, ölçümlerden birini - yüksekliği - kaybettik. Bu tür vektörler aynı düzlemde ve oldukça açık bir şekilde, üç boyutlu uzayın temeli oluşturulmamıştır.

Unutulmamalıdır ki, eş düzlemli vektörler aynı düzlemde olmak zorunda değildir, paralel düzlemlerde olabilirler (bunu parmaklarınızla yapmayın, sadece Salvador Dali böyle çıktı =)).

Tanım: vektörler denir aynı düzlemde paralel oldukları bir düzlem varsa. Burada, böyle bir düzlem yoksa, vektörlerin eş düzlemli olmayacağını eklemek mantıklıdır.

Üç eş düzlemli vektör her zaman lineer bağımlıdır yani, birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilirler. Kolaylık olması açısından, bunların aynı düzlemde olduğunu tekrar hayal edin. İlk olarak, vektörler sadece eş düzlemli değil, aynı zamanda eşdoğrusal da olabilirler, daha sonra herhangi bir vektör herhangi bir vektör aracılığıyla ifade edilebilir. İkinci durumda, örneğin vektörler eşdoğrusal değilse, üçüncü vektör onlar aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilir: (ve neden önceki bölümün materyallerinden tahmin etmek kolaydır).

Bunun tersi de doğrudur: üç eş düzlemsel olmayan vektör her zaman doğrusal olarak bağımsızdır, yani hiçbir şekilde birbirleri aracılığıyla ifade edilmezler. Ve açıkçası, yalnızca bu tür vektörler üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturabilir.

Tanım: Üç boyutlu uzayın temeli doğrusal olarak bağımsız (eş düzlemli olmayan) vektörlerin üçlüsü olarak adlandırılır, belirli bir sırayla alınır, uzayın herhangi bir vektörü iken tek yol verilen bazda genişler, verilen bazda vektörün koordinatları nerede

Hatırlatma olarak, bir vektörün şu şekilde temsil edildiğini de söyleyebilirsiniz. doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Bir koordinat sistemi kavramı, düzlem durumuyla tamamen aynı şekilde tanıtılır, bir nokta ve herhangi üç lineer bağımsız vektör yeterlidir:

Menşei, ve eş düzlemli olmayan vektörler , belirli bir sırayla alınır, Ayarlamak üç boyutlu uzayın afin koordinat sistemi :

Elbette, koordinat ızgarası "eğik" ve elverişsizdir, ancak yine de oluşturulan koordinat sistemi, kesinlikle herhangi bir vektörün koordinatlarını ve uzaydaki herhangi bir noktanın koordinatlarını belirleyin. Uçağa benzer şekilde uzayın afin koordinat sisteminde daha önce bahsettiğim bazı formüller çalışmayacaktır.

Bir afin koordinat sisteminin en tanıdık ve uygun özel durumu, herkesin tahmin edebileceği gibi, dikdörtgen uzay koordinat sistemi:

uzayda nokta denilen Menşei, ve ortonormal temel küme Uzayın Kartezyen koordinat sistemi . tanıdık resim:

Pratik görevlere geçmeden önce bilgileri tekrar sistematize ediyoruz:

Üç uzay vektörü için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler lineer olarak bağımsızdır;
2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler eş düzlemli değildir;
4) vektörler birbirleri üzerinden doğrusal olarak ifade edilemezler;
5) bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfırdan farklıdır.

Zıt ifadeler bence anlaşılabilir.

Uzay vektörlerinin doğrusal bağımlılığı / bağımsızlığı, geleneksel olarak determinant (madde 5) kullanılarak kontrol edilir. Kalan pratik görevler belirgin bir cebirsel nitelikte olacaktır. Bir çiviye geometrik bir çubuk asmanın ve lineer bir cebir beysbol sopası kullanmanın zamanı geldi:

Üç uzay vektörü ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfıra eşitse eş düzlemlidir: .

Dikkatinizi küçük bir teknik nüansa çekiyorum: vektörlerin koordinatları sadece sütunlarda değil, satırlarda da yazılabilir (determinantın değeri bundan değişmeyecek - determinantların özelliklerine bakın). Ancak bazı pratik problemleri çözmek için daha faydalı olduğu için sütunlarda çok daha iyidir.

Belirleyicileri hesaplama yöntemlerini biraz unutmuş veya belki de hiç yönlendirmemiş olan okuyucular için en eski derslerimden birini öneriyorum: Determinant nasıl hesaplanır?

Örnek 6

Aşağıdaki vektörlerin üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturup oluşturmadığını kontrol edin:

Çözüm: Aslında, tüm çözüm determinantın hesaplanmasına geliyor.

a) Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayın (determinant ilk satırda genişletilir):

, bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu (eş düzlemli değil) ve üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturduğu anlamına gelir.

Cevap: bu vektörler temeli oluşturur

b) Bu bağımsız karar için bir noktadır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Yaratıcı görevler de vardır:

Örnek 7

Vektörler parametrenin hangi değerinde eş düzlemli olacak?

Çözüm: Vektörler, ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eş düzlemlidir:

Esasen, bir determinantlı bir denklemi çözmek gerekir. Uçurtmalar gibi jerboalara sıfırlara uçuyoruz - ikinci satırda determinantı açmak ve eksilerden hemen kurtulmak en karlı olanıdır:

Daha fazla sadeleştirme yapıyoruz ve konuyu en basit lineer denkleme indirgiyoruz:

Cevap:

Burada kontrol etmek kolaydır, bunun için ortaya çıkan değeri orijinal determinantın yerine koymanız ve emin olmanız gerekir. yeniden açarak.

Sonuç olarak, daha çok cebirsel bir yapıya sahip olan ve geleneksel olarak lineer cebir dersinde yer alan başka bir tipik problemi ele alalım. O kadar yaygın ki ayrı bir konuyu hak ediyor:

3 vektörün üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturduğunu kanıtlayın
ve verilen temelde 4. vektörün koordinatlarını bulun

Örnek 8

Vektörler verilir. Vektörlerin üç boyutlu uzayın bir tabanını oluşturduğunu gösteriniz ve bu temelde vektörün koordinatlarını bulunuz.

Çözüm: Önce durumu ele alalım. Koşul olarak, dört vektör verilir ve gördüğünüz gibi, bazı temelde koordinatları zaten vardır. Temel nedir - ilgilenmiyoruz. Ve şu ilginçtir: üç vektör pekala yeni bir temel oluşturabilir. Ve ilk adım, Örnek 6'nın çözümüyle tamamen aynı, vektörlerin gerçekten lineer bağımsız olup olmadığını kontrol etmek gerekiyor:

Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayın:

, dolayısıyla vektörler lineer olarak bağımsızdır ve üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturur.

! Önemli : vektör koordinatları mutlaka yazmak sütunlara belirleyicidir, diziler değil. Aksi takdirde, sonraki çözüm algoritmasında karışıklık olacaktır.

Görev 1. Vektörler sisteminin lineer bağımsız olup olmadığını öğrenin. Vektörler sistemi, sütunları vektörlerin koordinatlarından oluşan sistemin matrisi tarafından tanımlanacaktır.

.

Çözüm. Doğrusal kombinasyon olsun sıfıra eşittir. Bu eşitliği koordinatlarda yazdıktan sonra aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

.

Böyle bir denklem sistemine üçgen denir. Tek çaresi var. . Bu nedenle vektörler lineer bağımsızdır.

Görev 2. Vektörler sisteminin lineer bağımsız olup olmadığını öğrenin.

.

Çözüm. vektörler lineer bağımsızdır (bkz. Problem 1). Vektörün, vektörlerin lineer bir bileşimi olduğunu kanıtlayalım. . Vektör genişleme katsayıları denklem sisteminden belirlenir

.

Bu sistem, üçgen bir sistem gibi, benzersiz bir çözüme sahiptir.

Bu nedenle, vektörler sistemi lineer bağımlı.

Yorum. 1. problemdeki gibi matrisler denir üçgensel , ve problem 2'de – kademeli üçgen . Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı sorunu, bu vektörlerin koordinatlarından oluşan matris adım adım üçgen ise kolayca çözülür. Matrisin özel bir formu yoksa, o zaman temel dizi dönüşümleri sütunlar arasındaki doğrusal ilişkileri koruyarak, kademeli bir üçgen forma indirgenebilir.

Temel dize dönüşümleri matrisler (EPS), matris üzerinde aşağıdaki işlemler olarak adlandırılır:

1) çizgilerin permütasyonu;

2) bir dizgeyi sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak;

3) isteğe bağlı bir sayı ile çarpılarak dizeye başka bir dize eklemek.

Görev 3. Maksimum lineer bağımsız alt sistemi bulun ve vektörler sisteminin sırasını hesaplayın

.

Çözüm. EPS yardımıyla sistemin matrisini basamaklı üçgen bir forma indirelim. Prosedürü açıklamak için, dönüştürülecek matrisin numarasını içeren satır sembolü ile gösterilecektir. Oktan sonraki sütun, yeni matrisin satırlarını elde etmek için dönüştürülen matrisin satırlarında gerçekleştirilecek eylemleri gösterir.

.

Açıkçası, sonuçtaki matrisin ilk iki sütunu lineer olarak bağımsızdır, üçüncü kolon onların lineer birleşimidir ve dördüncüsü ilk ikisine bağlı değildir. vektörler temel denir. Sistemin maksimum lineer bağımsız alt sistemini oluştururlar. , ve sistemin sıralaması üçtür.

Temel, koordinatlar

Görev 4. Koordinatları koşulu sağlayan geometrik vektörler kümesinde bu temelde vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun. .

Çözüm. Küme orijinden geçen bir düzlemdir. Düzlemdeki keyfi bir temel, doğrusal olmayan iki vektörden oluşur. Seçilen bazdaki vektörlerin koordinatları, karşılık gelen lineer denklem sistemi çözülerek belirlenir.

Koordinatlarla temeli bulabildiğinizde bu sorunu çözmenin başka bir yolu daha var.

koordinatlar uzaylar düzlemde koordinatlar değildir, çünkü bunlar ilişki ile ilişkilidir. yani bağımsız değiller. Bağımsız değişkenler ve (serbest olarak adlandırılırlar) düzlemdeki vektörü benzersiz olarak belirlerler ve bu nedenle içinde koordinatlar olarak seçilebilirler. Daha sonra temel serbest değişken kümelerinde yatan ve bunlara karşılık gelen vektörlerden oluşur ve , yani .

Görev 5. Tek koordinatları birbirine eşit olan uzaydaki tüm vektörlerin kümesinde bu temeldeki vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun.

Çözüm. Önceki problemde olduğu gibi uzayda koordinatları seçiyoruz.

Çünkü , sonra serbest değişkenler bir vektörü benzersiz olarak tanımlar ve bu nedenle koordinatlardır. Karşılık gelen temel vektörlerden oluşur.

Görev 6. Formun tüm matrislerinin kümesinde bu temelde vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun , nerede keyfi sayılardır.

Çözüm. Her bir matris benzersiz bir şekilde şu şekilde temsil edilebilir:

Bu bağıntı, vektörün tabana göre genişlemesidir.
koordinatlarla .

Görev 7. Bir vektörler sisteminin lineer açıklığının boyutunu ve tabanını bulun

.

Çözüm. EPS'yi kullanarak, matrisi sistem vektörlerinin koordinatlarından kademeli üçgen forma dönüştürüyoruz.

.

sütunlar son matrisin lineer bağımsızdır ve sütunlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Bu nedenle vektörler temeli oluşturmak , ve .

Yorum. temel belirsiz bir şekilde seçilmiştir. Örneğin, vektörler ayrıca temeli oluşturur .