Gauss yöntemi evrensel bir formüldür. Ters Gauss yöntemi

Çözülmesi gereken bir lineer cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini bir eşitliğe dönüştüren bilinmeyenlerin хi değerlerini bulun).

Bir lineer cebirsel denklem sisteminin şunları yapabileceğini biliyoruz:

1) Çözüm yok (olmak uyumsuz).
2) Sonsuz sayıda çözüme sahip olun.
3) Benzersiz bir çözüme sahip olun.

Hatırladığımız gibi, Cramer kuralı ve matris yöntemi, sistemin sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Gauss yöntemi – Herhangi bir lineer denklem sistemine çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araç, hangisi her durumda bizi cevaba götür! Her üç durumda da yöntemin algoritması aynı şekilde çalışır. Cramer ve matris yöntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss yönteminin uygulanması yalnızca aritmetik işlemler bilgisini gerektirir, bu da onu ilkokul öğrencileri için bile erişilebilir kılar.

Genişletilmiş matris dönüşümleri ( bu sistemin matrisidir - yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan bir matris ve bir serbest terimler sütunu) Gauss yönteminde lineer cebirsel denklem sistemleri:

1) İle birlikte troky matrisler Yapabilmek yeniden düzenlemek yer.

2) matriste orantılı (özel durum olarak - özdeş) satırlar varsa (veya varsa), o zaman şöyle olur: silmek matristen, biri hariç tüm bu satırlar.

3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satır belirirse, o zaman aşağıdakileri de takip eder: silmek.

4) matrisin satırı çarpmak (bölmek) sıfır dışında herhangi bir sayıya

5) matrisin satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayı ile çarpılan başka bir dize ekleyin, sıfırdan farklı.

Gauss yönteminde, temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez.

Gauss yöntemi iki aşamadan oluşur:

1. "Doğrudan hareket" - temel dönüşümleri kullanarak, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin genişletilmiş matrisini "üçgen" kademeli bir forma getirin: ana köşegenin altında bulunan genişletilmiş matrisin öğeleri sıfıra eşittir (yukarıdan aşağıya hareket ). Örneğin, bu tür için:

Bunu yapmak için aşağıdaki adımları uygulayın:

1) Bir lineer cebirsel denklem sisteminin ilk denklemini ele alalım ve x 1'deki katsayı K'ye eşittir. İkinci, üçüncü, vb. denklemleri şu şekilde dönüştürürüz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenler için katsayılar) her denklemde bulunan bilinmeyen x 1 katsayısına böler ve K ile çarparız. Bundan sonra, ilkini ikinci denklemden çıkarırız ( bilinmeyenler ve serbest terimler için katsayılar). İkinci denklemde x 1'de 0 katsayısını elde ederiz. Üçüncü dönüştürülmüş denklemden birinci denklemi çıkarırız, böylece birincisi hariç, x 1 bilinmeyen tüm denklemlerin katsayısı 0 olmaz.

2) Bir sonraki denkleme geçin. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'deki katsayı M'ye eşittir. Tüm "alt" denklemlerle yukarıda açıklandığı gibi ilerleyeceğiz. Böylece "altında" bilinmeyen tüm denklemlerde x 2 sıfır olacaktır.

3) Bir sonraki denkleme geçiyoruz ve son bir bilinmeyen ve dönüştürülmüş serbest terim kalana kadar böyle devam ediyoruz.

1. Gauss yönteminin "ters hareketi", bir lineer cebirsel denklem sistemine ("aşağıdan yukarıya" hareket) bir çözüm elde etmektir. Son "alt" denklemden bir ilk çözüm elde ederiz - bilinmeyen x n. Bunu yapmak için, A * x n \u003d B temel denklemini çözeriz. Yukarıdaki örnekte, x 3 \u003d 4. Bulunan değeri bir sonraki "üst" denklemde değiştirir ve bir sonraki bilinmeyene göre çözeriz. Örneğin, x 2 - 4 \u003d 1, yani. x 2 \u003d 5. Ve böylece tüm bilinmeyenleri bulana kadar.

Örnek.

Bazı yazarların önerdiği gibi, Gauss yöntemini kullanarak lineer denklem sistemini çözüyoruz:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu kademeli bir forma getirelim:

Sol üst "adım" a bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç kimse yok, bu nedenle satırları yeniden düzenleyerek hiçbir şey çözülemez. Bu gibi durumlarda, birim bir temel dönüşüm kullanılarak düzenlenmelidir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu şöyle yapalım:
1 adım . İlk satıra, ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak -1 ile çarparak birinci ve ikinci satırların toplamasını yaptık, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte "eksi bir", bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyenler ek bir işlem yapabilir: ilk satırı -1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

2 adım . 5 ile çarpılan ilk satır ikinci satıra, 3 ile çarpılan ilk satır üçüncü satıra eklendi.

3 adım . İlk satır -1 ile çarpıldı, prensipte bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adımda istediğimiz birime kavuştuk.

4 adım . Üçüncü satıra, ikinci satırı 2 ile çarparak ekleyin.

5 adım . Üçüncü satır 3'e bölünür.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu gösteren bir işaret (daha az sıklıkla bir yazım hatası) “kötü” bir alt satırdır. Yani, aşağıda (0 0 11 | 23) ve buna göre 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 gibi bir şey varsa, o zaman yüksek bir olasılıkla ilköğretimde bir hata yapıldığını söyleyebiliriz. dönüşümler.

Örneklerin tasarımında ters bir hareket yaparız, sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmaz ve denklemler “doğrudan verilen matristen alınır”. Ters hareket, size hatırlatırım, "aşağıdan yukarıya" çalışır. Bu örnekte, hediye ortaya çıktı:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, dolayısıyla x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Cevap:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Aynı sistemi önerilen algoritmayı kullanarak çözelim. alırız

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

İkinci denklemi 5'e ve üçüncü denklemi 3'e bölün.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

İkinci ve üçüncü denklemleri 4 ile çarpın, şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Birinci denklemi ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarın, elimizde:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Üçüncü denklemi 0,64'e bölün:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Üçüncü denklemi 0,4 ile çarpın

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

İkinci denklemi üçüncü denklemden çıkarın, “adımlı” artırılmış matrisi elde ederiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Böylece, hesaplama sürecinde bir hata biriktiğinden, x 3 \u003d 0.96 veya yaklaşık 1 elde ederiz.

x 2 \u003d 3 ve x 1 \u003d -1.

Bu şekilde çözerek hesaplamalarda asla kafanız karışmaz ve hesaplama hatalarına rağmen sonuca ulaşırsınız.

Bu lineer cebirsel denklem sistemini çözme yöntemi kolayca programlanabilir ve bilinmeyenler için katsayıların belirli özelliklerini hesaba katmaz, çünkü pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tamsayı olmayan katsayılarla uğraşmak gerekir.

Başarılar dilerim! Sınıfta görüşürüz! Öğretmen Dmitry Aistrakhanov.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Çözülmesi gereken bir lineer cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini bir eşitliğe dönüştüren bilinmeyenlerin хi değerlerini bulun).

Bir lineer cebirsel denklem sisteminin şunları yapabileceğini biliyoruz:

1) Çözüm yok (olmak uyumsuz).
2) Sonsuz sayıda çözüme sahip olun.
3) Benzersiz bir çözüme sahip olun.

Hatırladığımız gibi, Cramer kuralı ve matris yöntemi, sistemin sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Gauss yöntemi – Herhangi bir lineer denklem sistemine çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araç, hangisi her durumda bizi cevaba götür! Her üç durumda da yöntemin algoritması aynı şekilde çalışır. Cramer ve matris yöntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss yönteminin uygulanması yalnızca aritmetik işlemler bilgisini gerektirir, bu da onu ilkokul öğrencileri için bile erişilebilir kılar.

Genişletilmiş matris dönüşümleri ( bu sistemin matrisidir - yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan bir matris ve bir serbest terimler sütunu) Gauss yönteminde lineer cebirsel denklem sistemleri:

1) İle birlikte troky matrisler Yapabilmek yeniden düzenlemek yer.

2) matriste orantılı (özel durum olarak - özdeş) satırlar varsa (veya varsa), o zaman şöyle olur: silmek matristen, biri hariç tüm bu satırlar.

3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satır belirirse, o zaman aşağıdakileri de takip eder: silmek.

4) matrisin satırı çarpmak (bölmek) sıfır dışında herhangi bir sayıya

5) matrisin satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayı ile çarpılan başka bir dize ekleyin, sıfırdan farklı.

Gauss yönteminde, temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez.

Gauss yöntemi iki aşamadan oluşur:

1. "Doğrudan hareket" - temel dönüşümleri kullanarak, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin genişletilmiş matrisini "üçgen" kademeli bir forma getirin: ana köşegenin altında bulunan genişletilmiş matrisin öğeleri sıfıra eşittir (yukarıdan aşağıya hareket ). Örneğin, bu tür için:

Bunu yapmak için aşağıdaki adımları uygulayın:

1) Bir lineer cebirsel denklem sisteminin ilk denklemini ele alalım ve x 1'deki katsayı K'ye eşittir. İkinci, üçüncü, vb. denklemleri şu şekilde dönüştürürüz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenler için katsayılar) her denklemde bulunan bilinmeyen x 1 katsayısına böler ve K ile çarparız. Bundan sonra, ilkini ikinci denklemden çıkarırız ( bilinmeyenler ve serbest terimler için katsayılar). İkinci denklemde x 1'de 0 katsayısını elde ederiz. Üçüncü dönüştürülmüş denklemden birinci denklemi çıkarırız, böylece birincisi hariç, x 1 bilinmeyen tüm denklemlerin katsayısı 0 olmaz.

2) Bir sonraki denkleme geçin. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'deki katsayı M'ye eşittir. Tüm "alt" denklemlerle yukarıda açıklandığı gibi ilerleyeceğiz. Böylece "altında" bilinmeyen tüm denklemlerde x 2 sıfır olacaktır.

3) Bir sonraki denkleme geçiyoruz ve son bir bilinmeyen ve dönüştürülmüş serbest terim kalana kadar böyle devam ediyoruz.

1. Gauss yönteminin "ters hareketi", bir lineer cebirsel denklem sistemine ("aşağıdan yukarıya" hareket) bir çözüm elde etmektir. Son "alt" denklemden bir ilk çözüm elde ederiz - bilinmeyen x n. Bunu yapmak için, A * x n \u003d B temel denklemini çözeriz. Yukarıdaki örnekte, x 3 \u003d 4. Bulunan değeri bir sonraki "üst" denklemde değiştirir ve bir sonraki bilinmeyene göre çözeriz. Örneğin, x 2 - 4 \u003d 1, yani. x 2 \u003d 5. Ve böylece tüm bilinmeyenleri bulana kadar.

Örnek.

Bazı yazarların önerdiği gibi, Gauss yöntemini kullanarak lineer denklem sistemini çözüyoruz:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu kademeli bir forma getirelim:

Sol üst "adım" a bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç kimse yok, bu nedenle satırları yeniden düzenleyerek hiçbir şey çözülemez. Bu gibi durumlarda, birim bir temel dönüşüm kullanılarak düzenlenmelidir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu şöyle yapalım:
1 adım . İlk satıra, ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak -1 ile çarparak birinci ve ikinci satırların toplamasını yaptık, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte "eksi bir", bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyenler ek bir işlem yapabilir: ilk satırı -1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

2 adım . 5 ile çarpılan ilk satır ikinci satıra, 3 ile çarpılan ilk satır üçüncü satıra eklendi.

3 adım . İlk satır -1 ile çarpıldı, prensipte bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adımda istediğimiz birime kavuştuk.

4 adım . Üçüncü satıra, ikinci satırı 2 ile çarparak ekleyin.

5 adım . Üçüncü satır 3'e bölünür.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu gösteren bir işaret (daha az sıklıkla bir yazım hatası) “kötü” bir alt satırdır. Yani, aşağıda (0 0 11 | 23) ve buna göre 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 gibi bir şey varsa, o zaman yüksek bir olasılıkla ilköğretimde bir hata yapıldığını söyleyebiliriz. dönüşümler.

Örneklerin tasarımında ters bir hareket yaparız, sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmaz ve denklemler “doğrudan verilen matristen alınır”. Ters hareket, size hatırlatırım, "aşağıdan yukarıya" çalışır. Bu örnekte, hediye ortaya çıktı:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, dolayısıyla x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Cevap:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Aynı sistemi önerilen algoritmayı kullanarak çözelim. alırız

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

İkinci denklemi 5'e ve üçüncü denklemi 3'e bölün.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

İkinci ve üçüncü denklemleri 4 ile çarpın, şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Birinci denklemi ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarın, elimizde:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Üçüncü denklemi 0,64'e bölün:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Üçüncü denklemi 0,4 ile çarpın

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

İkinci denklemi üçüncü denklemden çıkarın, “adımlı” artırılmış matrisi elde ederiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Böylece, hesaplama sürecinde bir hata biriktiğinden, x 3 \u003d 0.96 veya yaklaşık 1 elde ederiz.

x 2 \u003d 3 ve x 1 \u003d -1.

Bu şekilde çözerek hesaplamalarda asla kafanız karışmaz ve hesaplama hatalarına rağmen sonuca ulaşırsınız.

Bu lineer cebirsel denklem sistemini çözme yöntemi kolayca programlanabilir ve bilinmeyenler için katsayıların belirli özelliklerini hesaba katmaz, çünkü pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tamsayı olmayan katsayılarla uğraşmak gerekir.

Başarılar dilerim! Sınıfta görüşürüz! Özel öğretmen.

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Gauss yönteminin tanımı ve açıklaması

Lineer denklem sistemlerini çözmek için Gauss dönüşümü yöntemi (bir denklem veya matristen bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi olarak da bilinir), bir cebirsel denklem sistemini (SLAE) çözmek için klasik bir yöntemdir. Ayrıca, bu klasik yöntem, ters matrislerin elde edilmesi ve bir matrisin rankının belirlenmesi gibi problemleri çözmek için kullanılır.

Gauss yöntemini kullanan dönüşüm, lineer cebirsel denklemler sisteminde küçük (temel) ardışık değişiklikler yapmaktan oluşur ve buna eşdeğer olan yeni bir üçgen denklem sisteminin oluşumu ile değişkenlerin yukarıdan aşağıya ortadan kaldırılmasına yol açar. orijinal olanı.

tanım 1

Çözümün bu kısmı, tüm süreç yukarıdan aşağıya doğru gerçekleştirildiğinden, Gauss ileri çözümü olarak adlandırılır.

Orijinal denklem sistemini üçgensel bir sisteme getirdikten sonra, sistemin tüm değişkenleri aşağıdan yukarıya doğru bulunur (yani, bulunan ilk değişkenler tam olarak sistemin veya matrisin son satırlarında bulunur). Çözümün bu kısmı ters Gauss çözümü olarak da bilinir. Algoritması aşağıdakilerden oluşur: ilk önce denklem sisteminin veya bir matrisin altına en yakın olan değişkenler hesaplanır, daha sonra elde edilen değerler yukarıda değiştirilir ve böylece başka bir değişken bulunur, vb.

Gauss yöntemi algoritmasının açıklaması

Gauss yöntemiyle denklem sisteminin genel çözümü için eylem dizisi, SLAE'ye dayalı olarak matrise ileri ve geri vuruşların dönüşümlü olarak uygulanmasından oluşur. Orijinal denklem sistemi aşağıdaki forma sahip olsun:

$\begin(durumlar) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(durumlar)$

SLAE'yi Gauss yöntemiyle çözmek için, ilk denklem sistemini bir matris şeklinde yazmak gerekir:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

$A$ matrisine ana matris denir ve sırayla yazılan değişkenlerin katsayılarını temsil eder ve $b$, serbest terimlerinin sütunu olarak adlandırılır. Serbest üyelerden oluşan bir sütun içeren doğru boyunca yazılan $A$ matrisine artırılmış matris denir:

$A = \begin(dizi)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(dizi)$

Şimdi, denklem sistemi üzerinde (veya daha uygun olduğu için matris üzerinde) temel dönüşümleri kullanarak, onu aşağıdaki forma getirmek gerekir:

$\begin(durumlar) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(durumlar)$ (1)

Dönüştürülmüş denklem sisteminin (1) katsayılarından elde edilen matrise adım matrisi denir, adım matrisleri genellikle şöyle görünür:

$A = \begin(dizi)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(dizi)$

Bu matrisler aşağıdaki özelliklerle karakterize edilir:

1. Tüm sıfır satırları sıfır olmayan satırlardan sonra gelir
2. $k$ indeksli matrisin bir satırı sıfır değilse, aynı matrisin önceki satırında $k$ indeksli bu satırdakinden daha az sıfır vardır.

Adım matrisini elde ettikten sonra elde edilen değişkenleri kalan denklemlere (sondan başlayarak) ikame etmek ve değişkenlerin kalan değerlerini elde etmek gerekir.

Gauss yöntemini kullanırken temel kurallar ve izin verilen dönüşümler

Bu yöntemle bir matrisi veya denklem sistemini sadeleştirirken, yalnızca temel dönüşümler kullanılmalıdır.

Bu tür dönüşümler, anlamını değiştirmeden bir matrise veya denklem sistemine uygulanabilen işlemlerdir:

• yerlerde birkaç satırın permütasyonu,
• matrisin bir satırından başka bir satırın eklenmesi veya çıkarılması,
• bir dizeyi sıfıra eşit olmayan bir sabitle çarpma veya bölme,
• sistemin hesaplanması ve basitleştirilmesi sürecinde elde edilen sadece sıfırlardan oluşan bir satır silinmelidir,
• Ayrıca, gereksiz orantı çizgilerini kaldırmanız, sistem için katsayıları daha fazla ve daha fazla hesaplama için daha uygun olan tek çizgiyi seçmeniz gerekir.

Tüm temel dönüşümler geri dönüşümlüdür.

Basit Gauss dönüşümleri yöntemini kullanarak doğrusal denklemleri çözerken ortaya çıkan üç ana durumun analizi

Sistemleri çözmek için Gauss yöntemini kullanırken ortaya çıkan üç durum vardır:

1. Sistem tutarsız olduğunda, yani herhangi bir çözümü yoktur.
2. Denklem sisteminin bir çözümü vardır ve tek çözümdür ve matristeki sıfır olmayan satır ve sütun sayısı birbirine eşittir.
3. Sistemin belirli bir sayıda veya olası çözüm kümesi vardır ve içindeki satır sayısı sütun sayısından azdır.

Tutarsız sistemle çözüm sonucu

Bu varyant için, Gauss yöntemiyle bir matris denklemi çözülürken, eşitliği sağlamanın imkansız olduğu bir çizgi elde etmek tipiktir. Bu nedenle, en az bir yanlış eşitlik oluşursa, elde edilen ve orijinal sistemlerin içerdikleri diğer denklemlerden bağımsız olarak çözümleri yoktur. Tutarsız bir matris örneği:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Son satırda tatmin edilmemiş bir eşitlik belirdi: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Tek çözümü olan bir denklem sistemi

Basamaklı bir matrise indirgendikten ve sıfırlı satırlar silindikten sonra sistemin verileri, ana matriste aynı sayıda satır ve sütuna sahiptir. İşte böyle bir sistemin basit bir örneği:

$\begin(durumlar) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(durumlar)$

Bunu matris şeklinde yazalım:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

İkinci satırın ilk hücresini sıfıra getirmek için üst satırı $-2$ ile çarparız ve matrisin alt satırından çıkarırız ve üst satırı orijinal haliyle bırakırız, sonuç olarak aşağıdakileri elde ederiz. :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Bu örnek bir sistem olarak yazılabilir:

$\begin(durumlar) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(durumlar)$

Aşağıdaki $x$ değeri alt denklemden çıkar: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Bu değeri üst denklemde yerine koyarsak: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ elde ederiz.

Birçok olası çözümü olan bir sistem

Bu sistem, içindeki sütun sayısından daha az sayıda anlamlı satır ile karakterize edilir (ana matrisin satırları dikkate alınır).

Böyle bir sistemdeki değişkenler iki türe ayrılır: temel ve serbest. Böyle bir sistem dönüştürülürken, içerdiği ana değişkenler “=” işaretinden önce sol alanda bırakılmalı ve kalan değişkenler eşitliğin sağ tarafına aktarılmalıdır.

Böyle bir sistemin yalnızca belirli bir genel çözümü vardır.

Aşağıdaki denklem sistemini analiz edelim:

$\begin(durumlar) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(durumlar)$

Bunu matris şeklinde yazalım:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(dizi)$

Görevimiz sisteme genel bir çözüm bulmaktır. Bu matris için temel değişkenler $y_1$ ve $y_3$ olacaktır ($y_1$ için - çünkü ilk sıradadır ve $y_3$ durumunda - sıfırlardan sonra bulunur).

Temel değişkenler olarak, ilk sırada sıfıra eşit olmayanları tam olarak seçiyoruz.

Kalan değişkenlere serbest denir, bunlar aracılığıyla temel olanları ifade etmemiz gerekir.

Ters hareketi kullanarak sistemi aşağıdan yukarıya söküyoruz, bunun için önce sistemin alt satırından $y_3$ ifade ediyoruz:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Şimdi ifade edilen $y_3$'ı sistemin üst denkleminde $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) ile değiştiriyoruz. + y_4 = 1$

$y_1$'ı $y_2$ ve $y_4$ serbest değişkenleri cinsinden ifade ediyoruz:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Çözüm hazır.

örnek 1

Gauss yöntemini kullanarak slough'u çözün. Örnekler. Gauss yöntemini kullanarak 3'e 3'lük bir matrisle verilen bir lineer denklem sistemini çözme örneği

$\begin(durumlar) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(kasalar)$

Sistemimizi artırılmış matris şeklinde yazıyoruz:

$\begin(dizi)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(dizi)$

Şimdi, kolaylık ve pratiklik için, matrisi, son sütunun üst köşesinde $1$ olacak şekilde dönüştürmemiz gerekiyor.

Bunu yapmak için, ortadaki $-1$ ile çarpılan satırı 1. satıra eklememiz ve orta satırın kendisini olduğu gibi yazmamız gerekiyor, ortaya çıkıyor:

$\begin(dizi)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(dizi)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(dizi) $

Üst ve son satırları $-1$ ile çarpın ve son ve orta satırları değiştirin:

$\begin(dizi)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(dizi)$

$\begin(dizi)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(dizi)$

Ve son satırı 3$'a bölün:

$\begin(dizi)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(dizi)$

Orijinaline eşdeğer aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

$\begin(durumlar) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(durumlar)$

Üst denklemden $x_1$ ifade ediyoruz:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$.

Örnek 2

Gauss yöntemi kullanılarak 4'e 4 matris kullanılarak tanımlanan bir sistemi çözme örneği

$\begin(dizi)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(dizi)$.

Başlangıçta, sol üst köşede 1$ elde etmek için onu takip eden üst satırları değiştiriyoruz:

$\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(dizi)$.

Şimdi en üst satırı $-2$ ile çarpalım ve 2'ye ve 3'e ekleyelim. 4. satıra, $-3$ ile çarpılan 1. satırı ekliyoruz:

$\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(dizi)$

Şimdi 3. satıra 4$ ile çarpılan 2. satırı ve 4. satıra da $-1$ ile çarpılan 2. satırı ekliyoruz.

$\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(dizi)$

2. satırı $-1$ ile çarpın, 4. satırı 3$ ile bölün ve 3. satırı değiştirin.

$\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(dizi)$

Şimdi son satıra sondan bir önceki satırı -5$ ile çarparak ekliyoruz.

$\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(dizi)$

Ortaya çıkan denklem sistemini çözüyoruz:

$\begin(durumlar) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(durumlar)$

1. Lineer cebirsel denklemler sistemi

1.1 Lineer cebirsel denklemler sistemi kavramı

Bir denklem sistemi, birkaç değişkene göre birkaç denklemin aynı anda yürütülmesinden oluşan bir durumdur. m denklem ve n bilinmeyen içeren bir lineer cebirsel denklem sistemi (bundan sonra SLAE olarak anılacaktır), şu şekilde bir sistemdir:

a ij sayıları sistemin katsayıları olarak adlandırılırken, b i sayıları serbest üyelerdir, aij ve ben(i=1,…, m; b=1,…, n) bilinen bazı sayılardır ve x 1 ,…, x n- Bilinmeyen. Katsayıların gösteriminde aij ilk indeks i denklemin numarasını, ikinci indeks j ise bu katsayının bulunduğu bilinmeyenin sayısını gösterir. x n sayısını bulmaya tabidir. Böyle bir sistemi kompakt bir matris biçiminde yazmak uygundur: AX=B. Burada A, ana matris olarak adlandırılan sistemin katsayılarının matrisidir;

A * X matrislerinin çarpımı tanımlanır, çünkü A matrisinde X matrisinde ne kadar satır varsa (n adet) sütun vardır.

Sistemin genişletilmiş matrisi, serbest terimler sütunuyla desteklenen sistemin A matrisidir.

1.2 Lineer cebirsel denklemler sisteminin çözümü

Bir denklem sisteminin çözümü, sıralı bir sayı kümesidir (değişkenlerin değerleri), değişkenler yerine bunları değiştirirken, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür.

Sistemin çözümü, sistemin tüm denklemlerinin gerçek eşitliklere dönüştüğü x1=c1, x2=c2,…, xn=cn bilinmeyenlerinin n değeridir. Sistemin herhangi bir çözümü matris-sütun olarak yazılabilir.

Bir denklem sistemine en az bir çözümü varsa tutarlı, çözümü yoksa tutarsız denir.

Ortak bir sisteme, tek bir çözümü varsa kesin, birden fazla çözümü varsa belirsiz denir. İkinci durumda, çözümlerinin her birine sistemin belirli bir çözümü denir. Tüm özel çözümlerin kümesine genel çözüm denir.

Bir sistemi çözmek, onun tutarlı mı yoksa tutarsız mı olduğunu bulmak demektir. Sistem uyumluysa, genel çözümünü bulun.

Aynı genel çözüme sahiplerse iki sistem eşdeğer (eşdeğer) olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, eğer birine verilen her çözüm diğerine bir çözümse ve bunun tersi de sistemler eşdeğerdir.

Uygulanması bir sistemi orijinal sisteme eşdeğer yeni bir sisteme dönüştüren bir dönüşüme eşdeğer veya eşdeğer dönüşüm denir. Aşağıdaki dönüşümler eşdeğer dönüşümlere örnek teşkil edebilir: sistemin iki denkleminin yer değiştirmesi, iki bilinmeyenin tüm denklemlerin katsayılarıyla birlikte yer değiştirmesi, sistemin herhangi bir denkleminin her iki parçasını sıfır olmayan bir sayı ile çarpma.

Tüm serbest terimler sıfıra eşitse, bir lineer denklem sistemine homojen denir:

Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır, çünkü x1=x2=x3=…=xn=0 sistemin bir çözümüdür. Bu çözüme boş veya önemsiz denir.

2. Gauss eleme yöntemi

2.1 Gauss eleme yönteminin özü

Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için klasik yöntem, bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemidir - Gauss yöntemi(Gauss eleme yöntemi olarak da adlandırılır). Bu, temel dönüşümlerin yardımıyla, bir denklem sistemi, diğer tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu kademeli (veya üçgen) bir formun eşdeğer bir sistemine indirgendiğinde, değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması için bir yöntemdir. son (sayıya göre) değişkenler.

Gauss çözüm süreci iki aşamadan oluşur: ileri ve geri hareketler.

1. Doğrudan hareket.

İlk aşamada, sıralar üzerindeki temel dönüşümler yoluyla sistem kademeli veya üçgen bir forma getirildiğinde veya sistemin tutarsız olduğu tespit edildiğinde, sözde doğrudan hareket gerçekleştirilir. Yani, matrisin ilk sütununun elemanları arasından sıfır olmayan bir tane seçilir, satırlar değiştirilerek en üst konuma taşınır ve permütasyondan sonra elde edilen ilk satır, kalan satırlardan çıkarılarak çarpılır. bu satırların her birinin ilk elemanının ilk satırın ilk elemanına oranına eşit bir değer ile, böylece altındaki sütun sıfırlanır.

Belirtilen dönüşümler yapıldıktan sonra, ilk satır ve ilk sütun zihinsel olarak çizilir ve sıfır boyutlu bir matris kalana kadar devam edilir. İlk sütunun öğeleri arasındaki yinelemelerin bazılarında sıfır olmayan bir tane bulunamadıysa, bir sonraki sütuna gidin ve benzer bir işlem yapın.

İlk aşamada (ileri gidiş), sistem kademeli (özellikle üçgen) bir forma indirgenir.

Aşağıdaki sistem adım adımdır:

aii katsayılarına sistemin ana (öncü) elemanları denir.

İlk denklem dışındaki tüm denklemlerde bilinmeyen x1'i ortadan kaldırarak sistemi dönüştürüyoruz (sistemin temel dönüşümlerini kullanarak). Bunu yapmak için, ilk denklemin her iki tarafını ile çarpın.

Bu işleme devam ederek eşdeğer sistemi elde ederiz:

Böylece, ilk adımda, ilk öncü eleman a 11 altındaki tüm katsayılar yok edilir.

Sistemi kademeli bir forma indirgeme sürecinde sıfır denklem ortaya çıkarsa, yani. 0=0 biçimindeki eşitlikler atılır. Formun bir denklemi varsa

Bu, Gauss yönteminin doğrudan seyrini tamamlar.

2. Ters hareket.

İkinci aşamada, özü, ortaya çıkan tüm temel değişkenleri temel olmayanlar cinsinden ifade etmek ve temel bir çözüm sistemi oluşturmak olan veya tüm değişkenler temel ise, sözde ters hareket gerçekleştirilir. daha sonra lineer denklem sisteminin tek çözümünü sayısal olarak ifade edin.

Bu prosedür, karşılık gelen temel değişkenin ifade edildiği (içinde sadece bir tane vardır) ve önceki denklemlere ikame edildiği son denklemle başlar ve "adımlara" çıkarak devam eder.

Her satır tam olarak bir temel değişkene karşılık gelir, bu nedenle son (en üstteki) hariç her adımda durum son satırın durumunu tam olarak tekrarlar.

Not: pratikte, sistemle değil, satırlarında tüm temel dönüşümleri gerçekleştirerek genişletilmiş matrisiyle çalışmak daha uygundur. a11 katsayısının 1'e eşit olması uygundur (denklemleri yeniden düzenleyin veya denklemin her iki tarafını a11'e bölün).

2.2 Gauss yöntemiyle SLAE çözme örnekleri

Bu bölümde, üç farklı örnek kullanarak, Gauss yönteminin SLAE'yi çözmek için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz.

Örnek 1. 3. dereceden SLAE'yi çözün.

Katsayıları sıfıra ayarlayın

Bu makalede, yöntem doğrusal denklem sistemlerini (SLAE) çözmenin bir yolu olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani genel bir çözüm algoritması yazmanıza ve ardından oradaki belirli örneklerden değerleri değiştirmenize izin verir. Matris yönteminin veya Cramer formüllerinin aksine, Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla da çalışabilirsiniz. Ya da hiç sahip değiller.

Gauss'un anlamı nedir?

İlk önce denklem sistemimizi yazmanız gerekiyor Bu şuna benziyor. Sistem alınır:

Katsayılar bir tablo şeklinde ve sağda ayrı bir sütunda ücretsiz üyeler şeklinde yazılır. Serbest üyeli sütun, kolaylık sağlamak için ayrılmıştır.Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.

Ayrıca, katsayılı ana matris, üst üçgen şekle indirgenmelidir. Sistemi Gauss yöntemiyle çözmenin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris şöyle görünmelidir, böylece sol alt kısmında yalnızca sıfırlar bulunur:

Ardından, yeni matrisi tekrar bir denklem sistemi olarak yazarsanız, son satırın zaten köklerden birinin değerini içerdiğini ve daha sonra yukarıdaki denklemde ikame edildiğini, başka bir kökün bulunduğunu ve bu şekilde devam ettiğini fark edeceksiniz.

Bu, en genel terimlerle Gauss yöntemiyle çözümün bir açıklamasıdır. Ve aniden sistem bir çözüme sahip olmazsa ne olur? Yoksa sonsuz sayıda var mı? Bu ve daha pek çok soruyu cevaplamak için Gauss yöntemiyle çözümde kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.

Matrisler, özellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Daha sonraki işlemler için verileri kaydetmenin uygun bir yoludur. Okul çocukları bile onlardan korkmamalı.

Matris her zaman dikdörtgendir, çünkü daha uygundur. Her şeyin üçgen bir matris oluşturmaya indirgendiği Gauss yönteminde bile, girişte, sayıların olmadığı yerde yalnızca sıfırlarla birlikte bir dikdörtgen görünür. Sıfırlar atlanabilir, ancak bunlar ima edilir.

Matrisin bir boyutu vardır. "Genişliği" satır sayısıdır (m), "uzunluğu" sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (belirlemeleri için genellikle büyük Latin harfleri kullanılır) A m×n olarak gösterilecektir. m=n ise, bu matris karedir ve m=n onun sırasıdır. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı satır ve sütun sayısı ile gösterilebilir: a xy ; x - satır numarası, değişiklikler, y - sütun numarası, değişiklikler.

B, çözümün ana noktası değildir. Prensip olarak, tüm işlemler doğrudan denklemlerin kendileriyle gerçekleştirilebilir, ancak gösterim çok daha hantal olacak ve içinde kafa karıştırmak çok daha kolay olacaktır.

determinant

Matrisin de bir determinantı vardır. Bu çok önemli bir özellik. Şimdi anlamını bulmak buna değmez, basitçe nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini belirlediğini söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerden geçer. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinin üzerinde bulunan elemanlar çarpılır ve daha sonra ortaya çıkan ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - "artı" işaretli, sola eğimli - "eksi" işaretli.

Determinantın yalnızca bir kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. Dikdörtgen bir matris için şunları yapabilirsiniz: satır sayısı ve sütun sayısından (k olsun) en küçüğünü seçin ve ardından matriste k sütunu ve k satırı rasgele işaretleyin. Seçilen sütun ve satırların kesişim noktasında bulunan elemanlar yeni bir kare matris oluşturacaktır. Böyle bir matrisin determinantı sıfırdan farklı bir sayı ise, orijinal dikdörtgen matrisin temel minörü olarak adlandırılır.

Gauss yöntemiyle denklem sisteminin çözümüne geçmeden önce determinantı hesaplamaktan zarar gelmez. Sıfır olduğu ortaya çıkarsa, hemen matrisin sonsuz sayıda çözümü olduğunu veya hiç olmadığını söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda, daha ileri gitmeniz ve matrisin sıralamasını öğrenmeniz gerekir.

Sistem sınıflandırması

Matrisin rankı diye bir şey var. Bu, determinantının sıfırdan farklı olan maksimum mertebesidir (taban minörünü hatırlarsak, bir matrisin rankının minör temelin mertebesi olduğunu söyleyebiliriz).

Rütbe ile işlerin nasıl olduğuna göre, SLAE ayrılabilir:

• Bağlantı. saat eklem sistemlerinde, ana matrisin sırası (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş olanın sırası ile (serbest terimler sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir tane olması gerekmez, bu nedenle ortak sistemler ayrıca aşağıdakilere ayrılır:
• - belirli- benzersiz bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde, matrisin rankı ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı şey olan sütunların sayısı) eşittir;
• - belirsiz - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemler için matrislerin sırası, bilinmeyenlerin sayısından daha azdır.
• Uyumsuz. saat bu tür sistemlerde, ana ve genişletilmiş matrislerin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümü yoktur.

Gauss yöntemi, ya sistemin tutarsızlığının açık bir kanıtını (büyük matrislerin determinantlarını hesaplamadan) ya da sonsuz sayıda çözümü olan bir sistem için genel bir çözümü elde etmeye izin vermesi bakımından iyidir.

Temel dönüşümler

Doğrudan sistemin çözümüne geçmeden önce, onu daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirmek mümkündür. Bu, temel dönüşümler yoluyla elde edilir - öyle ki bunların uygulanması nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Yukarıdaki temel dönüşümlerden bazılarının yalnızca kaynağı tam olarak SLAE olan matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:

1. Dize permütasyonu. Sistem kaydındaki denklemlerin sırasını değiştirirsek, bunun çözümü hiçbir şekilde etkilemeyeceği açıktır. Sonuç olarak, elbette, serbest üyeler sütununu unutmadan, bu sistemin matrisindeki satırları değiştirmek de mümkündür.
2. Bir dizenin tüm öğelerini bir faktörle çarpma. Çok kullanışlı! Bununla, matristeki büyük sayıları azaltabilir veya sıfırları kaldırabilirsiniz. Çözüm seti, her zamanki gibi değişmeyecek ve daha fazla işlem yapmak daha uygun hale gelecektir. Ana şey, katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
3. Orantılı katsayılı satırları silin. Bu kısmen önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Matristeki iki veya daha fazla satırın orantılı katsayıları varsa, o zaman satırlardan birini orantı katsayısı ile çarparken / bölerken, iki (veya yine, daha fazla) kesinlikle aynı satır elde edilir ve fazlalıkları kaldırabilir, yalnızca bir.
4. Boş satırı kaldırma. Dönüşümler sırasında, serbest üye de dahil olmak üzere tüm öğelerin sıfır olduğu bir yerde bir dize elde edilirse, böyle bir dize sıfır olarak adlandırılabilir ve matristen atılabilir.
5. Belirli bir katsayı ile çarpılarak bir satırın elemanlarına diğerinin elemanlarının (ilgili sütunlarda) eklenmesi. En belirsiz ve en önemli dönüşüm. Üzerinde daha ayrıntılı olarak durmaya değer.

Bir faktörle çarpılan bir dize ekleme

Anlama kolaylığı için, bu süreci adım adım sökmeye değer. Matristen iki satır alınır:

11 a 12 ... 1n | b1

21 a 22 ... 2n | b2

İlkini ikinciye eklemeniz gerektiğini varsayalım, "-2" katsayısı ile çarpılır.

a" 21 \u003d 21 + -2 × 11

a" 22 \u003d 22 + -2 × 12

a" 2n \u003d bir 2n + -2 × bir 1n

Daha sonra matriste ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.

11 a 12 ... 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Çarpma faktörünün, iki dizenin eklenmesi sonucunda yeni dizenin öğelerinden birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle, sistemde bir bilinmeyenin daha az olacağı bir denklem elde etmek mümkündür. Ve böyle iki denklem alırsanız, işlem tekrar yapılabilir ve zaten iki daha az bilinmeyen içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalinden daha düşük olan tüm satırlar için bir katsayıyı her sıfıra çevirirsek, o zaman adımlar gibi, matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebiliriz. Buna Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. m tane denklemi ve n tane bilinmeyen kökü var. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Ana matris, sistemin katsayılarından derlenir. Genişletilmiş matrise bir serbest üye sütunu eklenir ve kolaylık olması için bir çubukla ayrılır.

• matrisin ilk satırı k = (-a 21 / a 11) katsayısı ile çarpılır;
• matrisin ilk değiştirilmiş satırı ve ikinci satırı eklenir;
• ikinci satır yerine, önceki paragraftan yapılan toplamanın sonucu matrise eklenir;
• şimdi yeni ikinci satırdaki ilk katsayı 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.

Şimdi aynı dönüşüm serisi gerçekleştirilir, yalnızca birinci ve üçüncü satırlar dahil edilir. Buna göre, algoritmanın her adımında, a 21 elemanı bir 31 ile değiştirilir. Sonra her şey 41 , ... a m1 için tekrarlanır. Sonuç, satırlardaki ilk elemanın sıfıra eşit olduğu bir matristir. Şimdi bir numaralı satırı unutup ikinci satırdan başlayarak aynı algoritmayı uygulamamız gerekiyor:

• katsayısı k \u003d (-a 32 / 22);
• ikinci değiştirilmiş satır "geçerli" satıra eklenir;
• eklemenin sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlarda değiştirilirken birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
• matrisin satırlarında, ilk iki eleman zaten sıfıra eşittir.

Algoritma, k = (-a m,m-1 /a mm) katsayısı görünene kadar tekrarlanmalıdır. Bu, algoritmanın en son yalnızca alt denklem için çalıştırıldığı anlamına gelir. Şimdi matris bir üçgen gibi görünüyor veya kademeli bir şekle sahip. Alt satırda a mn × x n = b m eşitliği bulunur. Katsayı ve serbest terim bilinir ve kök bunlar aracılığıyla ifade edilir: x n = b m /a mn. Elde edilen kök, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1'i bulmak için üst sıraya yerleştirilir. Ve benzer şekilde devam eder: sonraki her satırda yeni bir kök vardır ve sistemin "tepesine" ulaştıktan sonra birçok çözüm bulabilirsiniz. Tek olacak.

Çözüm olmadığında

Matris satırlarından birinde serbest terim hariç tüm elemanlar sıfıra eşitse, bu satıra karşılık gelen denklem 0 = b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.

Sonsuz sayıda çözüm olduğunda

İndirgenmiş üçgen matriste, bir elemanlı - denklemin katsayısı ve bir - serbest elemanlı satır olmadığı ortaya çıkabilir. Yalnızca yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem gibi görünen dizeler vardır. Bu, sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Nasıl yapılır?

Matristeki tüm değişkenler temel ve serbest olarak ayrılmıştır. Temel - bunlar, kademeli matristeki satırların "kenarında" duranlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde temel değişkenler serbest olanlar cinsinden yazılır.

Kolaylık sağlamak için, matris önce bir denklem sistemine yeniden yazılır. Daha sonra, tam olarak sadece bir temel değişkenin kaldığı sonuncusunda, bir tarafta kalır ve diğer her şey diğerine aktarılır. Bu, bir temel değişkenli her denklem için yapılır. Daha sonra kalan denklemlerde mümkünse temel değişken yerine onun için elde edilen ifade ikame edilir. Sonuç yine sadece bir temel değişken içeren bir ifade ise, oradan tekrar ifade edilir ve her bir temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu böyle devam eder. Bu, SLAE'nin genel çözümüdür.

Ayrıca sistemin temel çözümünü de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Sonsuz sayıda özel çözüm vardır.

Özel örneklerle çözüm

İşte denklem sistemi.

Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir

Gauss yöntemi ile çözülürken, dönüşümlerin sonunda ilk satıra karşılık gelen denklemin değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst öğesinin en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman işlemlerden sonra kalan satırların ilk öğeleri sıfıra dönecektir. Bu, derlenmiş matriste ikinciyi ilk satırın yerine koymanın avantajlı olacağı anlamına gelir.

ikinci satır: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d 22 + k × bir 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

üçüncü satır: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Şimdi kafa karıştırmamak için dönüşümlerin ara sonuçlarını içeren matrisi yazmak gerekiyor.

Böyle bir matrisin bazı işlemler yardımıyla algıya daha uygun hale getirilebileceği açıktır. Örneğin, her bir elemanı "-1" ile çarparak ikinci satırdaki tüm "eksileri" kaldırabilirsiniz.

Üçüncü satırdaki tüm öğelerin üçün katları olduğunu da belirtmekte fayda var. Ardından, her öğeyi "-1/3" ile çarparak dizeyi bu sayıya kadar azaltabilirsiniz (eksi - aynı zamanda negatif değerleri kaldırmak için).

Çok daha güzel görünüyor. Şimdi ilk satırı yalnız bırakmalı ve ikinci ve üçüncü ile çalışmalıyız. Görev, ikinci satırı üçüncü satıra eklemek, öyle bir katsayı ile çarpılarak a 32'nin sıfıra eşit olması.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 kesirler ve ancak o zaman, cevaplar alındığında, yuvarlayıp başka bir gösterim biçimine çevirmeye karar verin)

a" 32 = 32 + k × 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matris yeni değerlerle tekrar yazılır.

Gördüğünüz gibi, ortaya çıkan matris zaten kademeli bir forma sahip. Bu nedenle, sistemin Gauss yöntemiyle daha fazla dönüştürülmesi gerekli değildir. Burada yapılabilecek şey, üçüncü satırdan "-1/7" genel katsayısını çıkarmaktır.

Şimdi her şey güzel. Nokta küçük - matrisi tekrar bir denklem sistemi şeklinde yazın ve kökleri hesaplayın

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Şimdi köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket denir. Denklem (3) z değerini içerir:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmanızı sağlar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Böyle bir sisteme eklem ve hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olmak deme hakkımız var. Cevap aşağıdaki formda yazılmıştır:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Belirsiz bir sistem örneği

Belirli bir sistemi Gauss yöntemiyle çözmenin varyantı analiz edildi, şimdi sistemin belirsiz olup olmadığını, yani bunun için sonsuz sayıda çözüm bulunabileceğini düşünmek gerekiyor.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Bilinmeyenlerin sayısı n = 5 olduğundan ve sistemin matrisinin sırası zaten bu sayıdan tam olarak daha az olduğundan, sistemin şekli zaten endişe vericidir, çünkü satır sayısı m = 4'tür, yani, kare determinantın en büyük mertebesi 4'tür. Bu, sonsuz sayıda çözüm olduğu ve genel formunun aranması gerektiği anlamına gelir. Lineer denklemler için Gauss yöntemi bunu yapmayı mümkün kılar.

İlk olarak, her zamanki gibi, artırılmış matris derlenir.

İkinci satır: katsayı k = (-a 21 / a 11) = -3. Üçüncü satırda ise ilk eleman dönüşümlerden önce olduğu için hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarının her biri ile çarparak ve istenen satırlara ekleyerek aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:

Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü sıralar birbiriyle orantılı elemanlardan oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, bu nedenle bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalanı "-1" katsayısı ile çarpılır ve satır numarası 3 olur. Ve yine, iki özdeş satırdan birini bırakın.

Böyle bir matris ortaya çıktı. Sistem henüz yazılmadı, burada temel değişkenleri belirlemek gerekiyor - 11 \u003d 1 ve 22 \u003d 1 katsayılarında ve serbest - geri kalan her şey.

İkinci denklemin yalnızca bir temel değişkeni vardır - x 2 . Dolayısıyla, buradan, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 değişkenleri aracılığıyla yazılarak ifade edilebilir.

Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemin yerine koyarız.

Tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklem ortaya çıktı. Aynısını x 2 ile de yapalım.

İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişken cinsinden ifade edilir, şimdi cevabı genel bir biçimde yazabilirsiniz.

Ayrıca sistemin belirli çözümlerinden birini de belirtebilirsiniz. Bu gibi durumlarda, kural olarak, serbest değişkenler için değerler olarak sıfırlar seçilir. O zaman cevap şöyle olacaktır:

16, 23, 0, 0, 0.

Uyumsuz bir sistem örneği

Tutarsız denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümü en hızlı olanıdır. Aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir edilmez sona erer. Yani oldukça uzun ve kasvetli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkar. Aşağıdaki sistem kabul edilir:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi, matris derlenir:

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

İlk dönüşümden sonra, üçüncü satır formun bir denklemini içerir.

çözümü olmayan. Bu nedenle sistem tutarsızdır ve cevap boş kümedir.

Yöntemin avantajları ve dezavantajları

SLAE'yi kağıt üzerinde bir kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede ele alınan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümlerde, determinantı veya karmaşık bir ters matrisi manuel olarak aramanız gerektiğinden, kafanızın karışması çok daha zordur. Bununla birlikte, örneğin elektronik tablolar gibi bu tür verilerle çalışmak için programlar kullanırsanız, bu tür programların zaten matrislerin ana parametrelerini hesaplamak için algoritmalar içerdiği ortaya çıkar - belirleyici, küçükler, ters vb. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve hata yapmayacağından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmak daha uygundur, çünkü uygulamaları determinantların ve ters matrislerin hesaplanmasıyla başlar ve biter.

Başvuru

Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan, programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir kılavuz olarak konumlandırdığından, yöntemi yerleştirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine, bir tabloya matris şeklinde girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak kabul edilecektir. Ve onlarla işlemler için birçok güzel komut vardır: toplama (yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz!), Sayı ile çarpma, matris çarpımı (belirli kısıtlamalarla), ters ve transpoze matrisleri bulma ve en önemlisi , determinantın hesaplanması. Bu zaman alıcı görevin yerini tek bir komut alırsa, matrisin derecesini belirlemek ve dolayısıyla uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlemek çok daha hızlı olur.