Matematiksel tümevarım dersleri yöntemi. Doğal sayıların bölünebilirliği ile ilgili problemlerin çözümünde matematiksel tümevarım yönteminin uygulanması

Matematiksel tümevarım yöntemi

giriiş

Ana bölüm

Tam ve eksik tümevarım
Matematiksel tümevarım ilkesi
Matematiksel tümevarım yöntemi
Örneklerin çözümü
eşitlik
Sayı bölümü
eşitsizlikler

Çözüm

kullanılmış literatür listesi

giriiş

Tümdengelim ve tümevarım yöntemleri, herhangi bir matematiksel araştırmanın temelidir. Tümdengelimli akıl yürütme yöntemi, genelden özele doğru akıl yürütmedir, yani. başlangıç noktası genel sonuç olan akıl yürütme ve son nokta özel sonuçtur. Tümevarım, belirli sonuçlardan genel sonuçlara geçerken uygulanır, yani. tümdengelim yönteminin tersidir.

Matematiksel tümevarım yöntemi ilerleme ile karşılaştırılabilir. En alttan başlarız, mantıksal düşünmenin bir sonucu olarak en yükseğe geliriz. İnsan her zaman ilerleme için, düşüncesini mantıksal olarak geliştirme yeteneği için çabalamıştır; bu, doğanın kendisinin tümevarımsal olarak düşünmesini mukadder ettiği anlamına gelir.

Matematiksel tümevarım yönteminin uygulama alanı büyümesine rağmen, okul müfredatında çok az zaman verilmektedir. Diyelim ki, beş kelime teori duyduğu, beş ilkel problemi çözdüğü ve sonuç olarak hiçbir şey bilmediği için beş aldığı iki veya üç ders faydalı bir insan getirecek.

Ama bu çok önemli - tümevarımsal düşünebilmek.

Ana bölüm

Orijinal anlamıyla, "tümevarım" kelimesi, bir dizi özel ifadeye dayanarak genel sonuçların elde edildiği akıl yürütmeye uygulanır. Bu türden en basit akıl yürütme yöntemi tam tümevarımdır. İşte böyle bir akıl yürütmenin bir örneği.

4 içindeki her n doğal çift sayısının iki asal sayının toplamı olarak gösterilebileceğini saptamak istensin. Bunu yapmak için, tüm bu sayıları alıyoruz ve karşılık gelen açılımları yazıyoruz:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Bu dokuz eşitlik, ilgilendiğimiz sayıların her birinin aslında iki asal terimin toplamı olarak temsil edildiğini göstermektedir.

Bu nedenle, tam tümevarım, genel ifadenin sonlu sayıda olası durumun her birinde ayrı ayrı kanıtlanmasıdır.

Bazen genel sonuç, hepsini değil de çok sayıda özel durumu (tamamlanmamış tümevarım olarak adlandırılır) değerlendirdikten sonra tahmin edilebilir.

Ancak eksik tümevarımla elde edilen sonuç, tüm özel durumları kapsayan kesin matematiksel akıl yürütmeyle kanıtlanıncaya kadar yalnızca bir hipotez olarak kalır. Başka bir deyişle, matematikte eksik tümevarım, meşru bir kesin ispat yöntemi olarak kabul edilmez, ancak yeni gerçekleri keşfetmek için güçlü bir yöntemdir.

Örneğin, ardışık ilk n tek sayının toplamını bulmamız istensin. Özel durumları düşünün:

1+3+5+7+9=25=5 2

Bu birkaç özel durumu değerlendirdikten sonra, aşağıdaki genel sonuç kendini göstermektedir:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

şunlar. ardışık ilk n tek sayının toplamı n 2

Tabii ki, yapılan gözlem henüz yukarıdaki formülün geçerliliğinin bir kanıtı olamaz.

Tam tümevarım matematikte yalnızca sınırlı uygulamalara sahiptir. Birçok ilginç matematiksel ifade sonsuz sayıda özel durumu kapsar ve sonsuz sayıda durumu test edemeyiz. Eksik indüksiyon genellikle hatalı sonuçlara yol açar.

Çoğu durumda, bu tür bir zorluktan kurtulmanın yolu, matematiksel tümevarım yöntemi adı verilen özel bir akıl yürütme yöntemine başvurmaktır. Aşağıdaki gibidir.

Herhangi bir n doğal sayısı için belirli bir ifadenin geçerliliğini kanıtlamak gerekli olsun (örneğin, ilk n tek sayının toplamının n 2'ye eşit olduğunu kanıtlamak gerekir). Doğal sayılar kümesi sonsuz olduğundan, n'nin her değeri için bu ifadenin doğrudan doğrulanması imkansızdır. Bu ifadeyi kanıtlamak için önce n=1 için geçerliliğini kontrol edin. Daha sonra, k'nin herhangi bir doğal değeri için, n=k için incelenen ifadenin geçerliliğinin, n=k+1 için de geçerliliğini ima ettiği kanıtlanır.

Daha sonra iddia tüm n için kanıtlanmış kabul edilir. Gerçekten de, ifade n=1 için doğrudur. Ancak sonraki n=1+1=2 sayısı için de geçerlidir. n=2 için iddianın geçerliliği, n=2+ için geçerliliğini ima eder.

1=3. Bu, n=4 için ifadenin geçerliliğini ima eder, vb. Sonunda herhangi bir doğal sayı n'ye ulaşacağımız açıktır. Bu nedenle, ifade herhangi bir n için doğrudur.

Söylenenleri özetleyerek, aşağıdaki genel prensibi formüle ediyoruz.

Matematiksel tümevarım ilkesi.

Eğer cümle A(n) doğal sayıya bağlı olarakn, için doğrun=1 ve bunun için doğru olduğu gerçeğindenn= k (neredek-herhangi bir doğal sayı), bundan sonraki sayı için de doğru olduğu sonucu çıkar.n= k+1, sonra varsayım A(n) herhangi bir doğal sayı için doğrudurn.

Eğer cümle A(n) için doğrudurn= p ve eğer A(k) Þ ANCAK(k+1) herhangi biri içink> p, sonra cümle A(n) herhangi biri için doğrudurn> p.

Matematiksel tümevarım yöntemiyle ispat aşağıdaki gibi yapılır. İlk olarak, ispatlanacak iddia n=1 için kontrol edilir, yani, A(1) ifadesinin doğruluğu belirlenir. İspatın bu kısmına tümevarım temeli denir. Bunu, tümevarım adımı adı verilen ispatın bir kısmı takip eder. Bu bölümde, n=k+1 için ifadenin geçerliliği, ifadenin n=k için doğru olduğu varsayımı altında (tümevarım varsayımı), yani. A(k)ÞA(k+1) olduğunu kanıtlayın.

ÖRNEK 1

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: 1) n=1=1 2'ye sahibiz. Sonuç olarak,

ifade n=1 için doğrudur, yani. A(1) doğrudur.

2) A(k)ÞA(k+1) olduğunu ispatlayalım.

k herhangi bir doğal sayı olsun ve ifade n=k için doğru olsun, yani.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

O halde iddianın bir sonraki doğal sayı n=k+1 için de doğru olduğunu ispatlayalım. ne

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Aslında,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, A(n) Varsayımının herhangi bir nнN için doğru olduğu sonucuna varırız.

ÖRNEK 2

Kanıtla

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n +1 -1) / (x-1), burada x¹1

Çözüm: 1) n=1 için şunu elde ederiz:

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

bu nedenle, n=1 için formül doğrudur; A(1) doğrudur.

2) k herhangi bir doğal sayı olsun ve formülün n=k için doğru olmasına izin verin, yani.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k +1 -1) / (x-1).

eşitliğini ispatlayalım

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + x k +1 \u003d (x k +2 -1) / (x-1).

Aslında

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k +1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k +1 =

=(x k +1 -1)/(x-1)+x k +1 =(x k +2 -1)/(x-1).

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, formülün herhangi bir doğal sayı n için doğru olduğu sonucuna varıyoruz.

ÖRNEK 3

Bir dışbükey n-genin köşegenlerinin sayısının n(n-3)/2 olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: 1) n=3 için ifade doğrudur

Ve 3 doğru, çünkü bir üçgende

 A3 =3(3-3)/2=0 köşegen;

A 2 A(3) doğrudur.

2) Diyelim ki herhangi bir

dışbükey k-gon vardır-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 köşegen.

A k Bunu bir dışbükeyde ispatlayalım

(k+1)-gon sayısı

köşegenler A k +1 \u003d (k + 1) (k-2) / 2.

А 1 А 2 А 3 …A k A k +1 -dışbükey (k+1)-köşe olsun. İçine bir A 1 A k köşegeni çizelim. Bu (k + 1)-gon'un toplam köşegen sayısını saymak için, k-gon'daki köşegenlerin sayısını saymanız gerekir A 1 A 2 ...A k , ortaya çıkan sayıya k-2 ekleyin, yani. A k +1 köşesinden gelen (k+1)-gon köşegenlerinin sayısı ve ayrıca A 1 A k köşegeni de dikkate alınmalıdır.

Böylece,

 k +1 =  k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesi nedeniyle, ifade herhangi bir dışbükey n-gon için doğrudur.

ÖRNEK 4

Herhangi bir n için ifadenin doğru olduğunu kanıtlayın:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Çözüm: 1) n=1 olsun, o zaman

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

Dolayısıyla, n=1 için ifade doğrudur.

2) n=k olduğunu varsayalım

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) Bu ifadeyi n=k+1 için düşünün

X k +1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k +1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

n=k+1 için eşitliğin geçerliliğini kanıtladık, bu nedenle matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde ifade herhangi bir doğal n için doğrudur.

ÖRNEK 5

Herhangi bir doğal n için eşitliğin doğru olduğunu kanıtlayın:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Çözüm: 1) n=1 olsun.

O halde X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

n=1 için ifadenin doğru olduğunu görüyoruz.

2) n=k için eşitliğin doğru olduğunu varsayalım

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4.

3) Bu ifadenin doğruluğunu n=k+1 için ispatlayalım, yani.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Yukarıdaki kanıttan, ifadenin n=k+1 için doğru olduğu açıktır, bu nedenle eşitlik herhangi bir doğal n için doğrudur.

ÖRNEK 6

Kanıtla

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), burada n>2.

Çözüm: 1) n=2 için özdeşlik şöyle görünür: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

şunlar. bu doğru.

2) n=k için ifadenin doğru olduğunu varsayalım

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) n=k+1 ifadesinin doğruluğunu ispatlayacağız.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))´(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

n=k+1 için eşitliğin geçerliliğini kanıtladık, bu nedenle, matematiksel tümevarım yöntemi nedeniyle, ifade herhangi bir n>2 için doğrudur.

ÖRNEK 7

Kanıtla

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

herhangi bir doğal n.

Çözüm: 1) n=1 olsun, o zaman

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) n=k olduğunu varsayalım, o zaman

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) Bu ifadenin doğruluğunu n=k+1 için ispatlayalım.

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

n=k+1 için eşitliğin geçerliliği de kanıtlanmıştır, bu nedenle ifade herhangi bir doğal sayı n için doğrudur.

ÖRNEK 8

Kimliğin geçerliliğini kanıtlayın

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

herhangi bir doğal n.

1) n=1 için özdeşlik doğrudur 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) n=k için

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) n=k+1 için özdeşliğin doğru olduğunu kanıtlayalım.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

Yukarıdaki kanıttan, iddianın herhangi bir doğal sayı n için doğru olduğu görülebilir.

ÖRNEK 9

(11 n+2 +12 2n+1) sayısının 133 ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayın.

Çözüm: 1) n=1 olsun, o zaman

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133.

Ancak (23´133) 133'e kalansız bölünebilir, dolayısıyla n=1 için ifade doğrudur; A(1) doğrudur.

2) Diyelim ki (11 k+2 +12 2k+1) 133'e kalansız bölünüyor.

3) Bu durumda ispatlayalım.

(11 k+3 +12 2k+3) 133'e kalansız bölünür. Nitekim, 11 k +3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2 ´12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

Ortaya çıkan toplam 133 ile kalansız bölünebilir, çünkü ilk terimi varsayımla kalansız 133'e bölünebilir ve ikincisinde 133'tür. Yani, А(k)ÞА(k+1). Matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde iddia kanıtlanmıştır.

ÖRNEK 10

Herhangi bir n 7 için n -1'in 6'ya kalansız bölünebildiğini kanıtlayın.

Çözüm: 1) n=1 olsun, X 1 =7 1 -1=6 6'ya kalansız bölünür. Yani n=1 için ifade doğrudur.

2) n=k için

7 k -1, 6'ya kalansız bölünür.

3) İfadenin n=k+1 için doğru olduğunu ispatlayalım.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

İlk terim 6'ya bölünebilir, çünkü 7 k -1 varsayımla 6'ya bölünebilir ve ikinci terim 6'dır. Dolayısıyla 7 n -1, herhangi bir doğal n için 6'nın katıdır. Matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde iddia kanıtlanmıştır.

ÖRNEK 11

Rasgele doğal n için 3 3n-1 +2 4n-3'ün 11'e bölünebildiğini kanıtlayın.
Çözüm: 1) n=1 olsun, o zaman

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11, kalansız 11'e bölünür. Dolayısıyla, n=1 için ifade doğrudur.

2) n=k için

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 kalansız 11'e bölünebilir.

3) İfadenin n=k+1 için doğru olduğunu ispatlayalım.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ´3 3k-1 +2 4 ´2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k -1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

İlk terim 11'e kalansız bölünür, çünkü 3 3 k-1 +2 4k-3 varsayımla 11'e bölünebilir, ikincisi 11'e bölünebilir, çünkü çarpanlarından biri 11'dir. 11 ile bölünebilir herhangi bir doğal n için kalansız. Matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde iddia kanıtlanmıştır.

ÖRNEK 12

Rasgele bir pozitif tamsayı n için 11 2n -1'in 6'ya kalansız bölünebildiğini kanıtlayın.

Çözüm: 1) n=1 olsun, 11 2 -1=120 6 ile kalansız bölünebilir. Yani n=1 için ifade doğrudur.

2) n=k için

11 2 k -1 6'ya kalansız bölünür.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

Her iki terim de 6'ya kalansız bölünebilir: ilki 6'nın 120'nin bir katını içerir ve ikincisi varsayımla 6'ya kalansız bölünebilir. Yani toplam 6'ya kalansız bölünür. Matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde iddia kanıtlanmıştır.

ÖRNEK 13

Rasgele bir pozitif n tamsayı için 3 3 n+3 -26n-27'nin 26 2 (676) ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayın.

Çözüm: Önce 3 3 n+3 -1'in 26 ile kalansız bölünebildiğini ispatlayalım.

n=0 için

3 3 -1=26 26 ile tam bölünür

n=k için

3 3k+3 -1 26 ile tam bölünür

ifadesini kanıtlayalım.

n=k+1 için doğrudur.

3 3 k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3 k +3 -1) - 26 ile bölünebilir

Şimdi problem koşulunda formüle edilen iddiayı kanıtlayalım.

1) n=1 için ifadenin doğru olduğu açıktır.

3 3+3 -26-27=676

2) n=k için

3 3 k+3 -26k-27 ifadesi 26 2 ile kalansız bölünebilir.

3) İfadenin n=k+1 için doğru olduğunu ispatlayalım.

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

Her iki terim de 26 2 ile bölünebilir; ilki 26 2 ile bölünebilir çünkü parantez içindeki ifadenin 26 ile bölünebildiğini ve ikincisinin tümevarım hipotezi ile bölünebildiğini kanıtladık. Matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde iddia kanıtlanmıştır.

ÖRNEK 14

n>2 ve x>0 ise eşitsizliğin olduğunu kanıtlayın

(1+x) n >1+n´x.

Çözüm: 1) n=2 için eşitsizlik doğrudur, çünkü

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

O halde A(2) doğrudur.

2) k> 2 ise A(k)ÞA(k+1) olduğunu ispatlayalım.

(1+x) k >1+k´x. (3)

O halde A(k+1)'in de doğru olduğunu ispatlayalım, yani eşitsizliğin

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Aslında, (3) eşitsizliğinin her iki tarafını da pozitif 1+x sayısıyla çarparsak, şunu elde ederiz:

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

Son eşitsizliğin sağ tarafını düşünün

stva; sahibiz

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

Sonuç olarak şunu anlıyoruz

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, Bernoulli'nin eşitsizliğinin herhangi bir durum için geçerli olduğu iddia edilebilir.

ÖRNEK 15

Eşitsizliğin doğru olduğunu kanıtlayın

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 için a> 0.

Çözüm: 1) m=1 için

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 her iki kısım da eşittir.

2) m=k için

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) m=k+1 için eşitliksizliğin doğru olduğunu ispatlayalım

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

m=k+1 için eşitsizliğin geçerliliğini kanıtladık, bu nedenle matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde eşitsizlik herhangi bir doğal m için doğrudur.

ÖRNEK 16

n>6 için eşitsizliği kanıtlayın

Çözüm: Eşitsizliği formda yeniden yazalım

n=7 için

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

eşitsizlik doğrudur.

n=k için

3) n=k+1 için eşitsizliğin doğruluğunu ispatlayalım.

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

k>7 olduğundan, son eşitsizlik açıktır.

Matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde eşitsizlik herhangi bir doğal n için geçerlidir.

ÖRNEK 17

n>2 için eşitsizliği kanıtlayın

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)

Çözüm: 1) n=3 için eşitsizlik doğrudur

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180

n=k için

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) Olmayanların geçerliliğini kanıtlayacağız.

n=k+1 için eşitlikler

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2) olduğunu ispatlayalım.

Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)Ûk(k+2)

İkincisi açıktır ve bu nedenle

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)

Matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde eşitliğin olmadığı kanıtlanmıştır.

Çözüm

Özellikle, matematiksel tümevarım yöntemini inceledikten sonra, bu matematik alanındaki bilgimi arttırdım ve daha önce gücümün ötesinde olan problemlerin nasıl çözüleceğini de öğrendim.

Temel olarak, bunlar mantıklı ve eğlenceli görevlerdi, yani. sadece bir bilim olarak matematiğin kendisine olan ilgiyi artıranlar. Bu tür problemlerin çözümü eğlenceli bir aktivite haline gelir ve giderek daha fazla meraklı insanı matematiksel labirentlere çekebilir. Benim düşünceme göre, bu herhangi bir bilimin temelidir.

Matematiksel tümevarım yöntemini incelemeye devam ederek, onu sadece matematikte değil, aynı zamanda fizik, kimya ve yaşamın kendisindeki problemlerin çözümünde de nasıl uygulayacağımı öğrenmeye çalışacağım.

MATEMATİK:

DERSLER, GÖREVLER, ÇÖZÜMLER

Ders Kitabı / V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunin. Potpuri LLC 1996.

CEBİR VE ANALİZİN İLKELERİ

Ders Kitabı / I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits. "Aydınlanma" 1975.

Tümevarım, belirli gözlemlerden genel bir ifade elde etme yöntemidir. Matematiksel bir ifadenin sınırlı sayıda nesneyle ilgili olduğu durumda, her nesne için kontrol edilerek kanıtlanabilir. Örneğin, "Her iki basamaklı çift sayı, iki asal sayının toplamıdır" ifadesi, kurulması oldukça gerçekçi olan bir dizi eşitlikten gelir:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

Bir ifadenin tüm olasılıkları tüketerek sınırlı sayıda durum için doğrulandığı ispat yöntemine tam tümevarım denir. Bu yöntem nispeten nadiren uygulanabilir, çünkü matematiksel ifadeler kural olarak sonlu değil, sonsuz nesne kümeleriyle ilgilidir. Örneğin, yukarıda tam tümevarımla ispatlanan iki basamaklı sayılarla ilgili ifade, teoremin yalnızca özel bir halidir: "Herhangi bir çift sayı, iki asal sayının toplamıdır." Bu teorem henüz kanıtlanmadı veya reddedilmedi.

Matematiksel tümevarım, matematiksel tümevarım ilkesine dayalı olarak herhangi bir doğal n için belirli bir ifadeyi kanıtlama yöntemidir: “Eğer bir ifade n=1 için doğruysa ve n=k için geçerliliğinden, bu ifadenin n= için doğru olduğu sonucu çıkar. k+1, o zaman tüm n " için doğrudur. Matematiksel tümevarımla ispat yöntemi aşağıdaki gibidir:

1) tümevarım temeli: n=1 (bazen n=0 veya n=n 0) için ifadenin geçerliliğini kanıtlayın veya doğrudan doğrulayın;

2) tümevarım adımı (geçiş): bazı doğal n=k için ifadenin geçerliliğini varsayarlar ve bu varsayıma dayanarak, n=k+1 için ifadenin geçerliliğini kanıtlarlar.

Çözümlerle ilgili sorunlar

1. Herhangi bir doğal n için 3 2n+1 +2 n+2 sayısının 7'ye bölünebildiğini kanıtlayın.

A(n)=3 2n+1 +2 n+2'yi belirtin.

indüksiyon temeli. Eğer n=1 ise, A(1)=3 3 +2 3 =35 ve 7 ile bölünebilir.

Tümevarım hipotezi. A(k) 7 ile bölünebilir olsun.

endüktif geçiş. A(k+1)'in 7'ye bölünebildiğini, yani n=k için problemin ifadesinin geçerliliğini ispatlayalım.

А(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 3 2 +2 k+2 2 1 =3 2k+1 9+2 k+2 2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2 .

Son sayı 7'ye bölünebilir, çünkü 7'ye bölünebilen iki tamsayının farkıdır. Bu nedenle, 3 2n+1 +2 n+2, herhangi bir doğal n için 7'ye bölünebilir.

2. Herhangi bir n pozitif tamsayı için 2 3 n +1 sayısının 3 n+1 ile bölünebildiğini ve 3 n+2 ile bölünemeyeceğini kanıtlayın.

Şimdi gösterimi tanıtalım: a i =2 3 i +1.

n=1 için elimizde 1 =2 3 +1=9 var. Yani 1, 3 2 ile bölünebilir ve 3 3 ile bölünemez.

n=k için a k sayısı 3 k+1 ile bölünebilir ve 3 k+2 ile bölünemez, yani a k =2 3 k +1=3 k+1 m, burada m 3'e bölünemez.

ve k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k+1)(2 3 k 2 –2 3 k+1)=3 k+1 m m ((2 3 k+1) 2 –3 2 3 k)=3 k+1 m ((3 k+1 m) 2 –3 2 3 k)=

3 k+2 m (3 2k+1 m 2 –2 3 k).

Açıkçası, bir k+1 3 k+2 ile bölünebilir ve 3 k+3 ile bölünemez.

Bu nedenle, iddia herhangi bir doğal n için kanıtlanmıştır.

3. x+1/x'in bir tam sayı olduğu bilinmektedir. х n +1/х n'nin herhangi bir n tamsayısı için de bir tam sayı olduğunu kanıtlayın.

Notasyonu tanıtalım: a i \u003d x ben +1 / x i ve hemen not edin ki a i \u003d a -i, bu yüzden doğal endeksler hakkında konuşmaya devam edeceğiz.

Not: ve 1, koşula göre bir tamsayıdır; a 2 bir tamsayıdır, çünkü a 2 \u003d (a 1) 2 -2; ve 0=2.

a k'nin, n'yi aşmayan herhangi bir k pozitif tamsayı için bir tam sayı olduğunu varsayalım. O halde a 1 ·a n bir tamsayıdır, ancak a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 ve a n+1 =a 1 ·a n –a n–1'dir. Ancak, ve n–1 tümevarım hipotezine göre bir tamsayıdır. Dolayısıyla, а n+1 de bir tamsayıdır. Bu nedenle, х n +1/х n, ispatlanacak olan herhangi bir n tamsayısının bir tamsayıdır.

4. 1'den büyük herhangi bir n pozitif tamsayı için çift eşitsizliğin olduğunu kanıtlayın.

5. Doğal n > 1 ve |x|

(1–x)n +(1+x)n

n=2 için eşitsizlik doğrudur. Yok canım,

(1–x) 2 + (1 + x) 2 \u003d 2 + 2 x 2

n=k için eşitsizlik doğruysa, o zaman n=k+1 için

(1–x)k+1 +(1+x)k+1

n > 1 herhangi bir doğal sayı için eşitsizlik ispatlanır.

6. Düzlemde n tane daire var. Bu dairelerin herhangi bir düzenlemesi için, bunların oluşturduğu haritanın iki renkle doğru şekilde renklendirilebileceğini kanıtlayın.

Matematiksel tümevarım yöntemini kullanalım.

n=1 için iddia açıktır.

Bu ifadenin n daire tarafından oluşturulan herhangi bir harita için doğru olduğunu varsayalım ve düzlemde n + 1 daire verilsin. Bu dairelerden birini silerek, yapılan varsayım sayesinde iki renkle doğru bir şekilde renklendirilebilen bir harita elde ederiz (aşağıdaki ilk şekle bakınız).

Daha sonra atılan daireyi eski haline getiriyoruz ve bir tarafında, örneğin içeride, her alanın rengini tersine değiştiriyoruz (ikinci resme bakın). Bu durumda iki renkle doğru bir şekilde renklendirilmiş bir harita elde ettiğimizi görmek kolaydır, ancak şimdi kanıtlanması gereken n + 1 daire ile.

7. Aşağıdaki koşullar karşılanıyorsa, dışbükey çokgene “güzel” diyeceğiz:

1) köşelerinin her biri üç renkten biriyle boyanmıştır;

2) herhangi iki komşu köşe farklı renklerde boyanmıştır;

3) Çokgenin en az bir köşesi üç rengin her birinde renklendirilir.

Herhangi bir güzel n-gon'un kesişmeyen köşegenlerle "güzel" üçgenlere kesilebileceğini kanıtlayın.

Matematiksel tümevarım yöntemini kullanalım.

indüksiyon temeli. Mümkün olan en az n=3 için, sorunun ifadesi açıktır: "güzel" üçgenin köşeleri üç farklı renkte boyanmıştır ve kesmeye gerek yoktur.

Tümevarım hipotezi. Sorunun ifadesinin herhangi bir "güzel" n-gon için doğru olduğunu varsayalım.

indüksiyon adımı. Keyfi bir "güzel" (n + 1)-gon düşünün ve endüktif varsayımı kullanarak, bunun bazı köşegenler tarafından "güzel" üçgenlere kesilebileceğini kanıtlayın. A 1 , А 2 , А 3 , … А n , А n+1 – (n+1)-gon'un ardışık köşeleri ile gösterin. (n + 1)-gon'un sadece bir köşesi üç renkten herhangi birinde renklendirilmişse, bu köşeyi köşegenlerle bitişik olmayan tüm köşelere bağlayarak, (n + 1)-'nin gerekli bölümünü elde ederiz. "güzel" üçgenlere girer.

Üç rengin her birinde bir (n + 1)-gon'un en az iki köşesi boyanırsa, o zaman A 1 köşesinin rengini 1 sayısı ve A 2 köşesinin rengini 2 sayısı ile gösteririz. . A k tepe noktası üçüncü renkte boyanacak en küçük sayı olsun. Açıktır ki k > 2. (n+1)-gon'dan А k–2 А k–1 А k üçgenini А k–2 А k köşegeniyle keselim. k sayısının seçimine göre bu üçgenin tüm köşeleri üç farklı renge boyanmıştır yani bu üçgen "güzel"dir. Dışbükey n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... Geriye kalan A n+1 , tümevarım varsayımı nedeniyle de “güzel” olacaktır, yani kanıtlanması gereken “güzel” üçgenlere bölünmüştür.

8. Bir dışbükey n-gon'da, herhangi ikisinin ortak bir noktası olması için n'den fazla köşegen seçmenin imkansız olduğunu kanıtlayın.

İspatı matematiksel tümevarım yöntemiyle yapalım.

Daha genel bir ifadeyi ispatlayalım: bir dışbükey n-gon'da, herhangi ikisinin ortak bir noktası olması için n'den fazla kenar ve köşegen seçmek imkansızdır. n = 3 için iddia açıktır. Bu iddianın keyfi bir n-gon için doğru olduğunu varsayalım ve bunu kullanarak, keyfi bir (n + 1)-gon için geçerliliğini kanıtlayalım.

Bir (n + 1)-gon için bu ifadenin doğru olmadığını varsayalım. Bir (n+1)-gon'un her bir köşesinden ikiden fazla seçilmiş kenar veya köşegen çıkmıyorsa, bunlardan en fazla n+1 tanesi seçilmiştir. Bu nedenle, seçilen en az üç kenar veya AB, AC, AD köşegenleri bir A köşesinden çıkar. AC, AB ile AD arasında olsun. C'den CA dışında çıkan herhangi bir kenar veya köşegen aynı anda AB ve AD'yi geçemeyeceğinden, C'den sadece bir seçilmiş köşegen CA çıkar.

C noktasını köşegen CA ile birlikte atarak, herhangi ikisinin ortak bir noktası olan n'den fazla kenarın ve köşegenlerin seçildiği dışbükey bir n-gon elde ederiz. Böylece, iddianın keyfi bir dışbükey n-gon için doğru olduğu varsayımıyla bir çelişkiye varırız.

Yani, bir (n + 1)-gon için ifade doğrudur. Matematiksel tümevarım ilkesine göre, ifade herhangi bir dışbükey n-gon için doğrudur.

9. Düzlemde çizilmiş, ikisi paralel olmayan, üçü de aynı noktadan geçmeyen n tane doğru vardır. Bu doğrular düzlemi kaç parçaya böler?

Temel çizimler yardımıyla, bir düz çizginin düzlemi 2 parçaya, iki düz çizginin 4 parçaya, üç düz çizginin 7 parçaya ve dört düz çizginin 11 parçaya bölündüğünden emin olmak kolaydır.

Düzlemi n doğrunun böldüğü parça sayısını N(n) ile gösteriniz. Görülebilir ki

N(2)=N(1)+2=2+2,

N(3)=N(2)+3=2+2+3,

N(4)=N(3)+4=2+2+3+4.

olduğunu varsaymak doğaldır.

N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

veya, kurulması kolay olduğu gibi, bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı için formülü kullanarak,

N(n)=1+n(n+1)/2.

Bu formülün geçerliliğini matematiksel tümevarım yöntemiyle kanıtlayalım.

n=1 için formül zaten doğrulanmıştır.

Endüktif varsayımı yaptıktan sonra, problemin koşulunu sağlayan k + 1 doğrularını düşünün. Onlardan keyfi olarak k düz çizgi seçiyoruz. Endüktif hipotez ile düzlemi 1+ k(k+1)/2 parçaya bölerler. Kalan (k + 1) -inci çizgi, seçilen k çizgilerle k + 1 parçaya bölünecek ve bu nedenle, düzlemin zaten bölünmüş olduğu (k + 1) - bölümünden geçecek ve her biri bu parçalar 2 parçaya bölünecek yani k+1 parça daha eklenecek. Yani,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

Q.E.D.

10. x 1: x 2: ...: x n ifadesinde, eylemlerin sırasını belirtmek için parantezler yerleştirilir ve sonuç kesir olarak yazılır:

(bu durumda, x 1, x 2, ..., x n harflerinin her biri ya kesrin payında ya da paydasındadır). Tüm olası parantez düzenleme yolları ile bu şekilde kaç farklı ifade elde edilebilir?

Her şeyden önce, ortaya çıkan kesirde x 1'in payda olacağı açıktır. Herhangi bir parantez düzenlemesi için x 2'nin paydada olacağı hemen hemen aynı derecede açıktır (x 2'den önceki bölme işareti ya x 2'nin kendisine ya da payda x 2 içeren herhangi bir ifadeye atıfta bulunur).

Diğer tüm x 3 , x 4 , ... , x n harflerinin pay veya paydaya tamamen keyfi bir şekilde yerleştirilebileceği varsayılabilir. Toplamda 2 n-2 kesir elde edebileceğinizi takip eder: n-2 harflerinin her biri x 3, x 4, ..., x n, pay veya paydadaki diğerlerinden bağımsız olabilir.

Bu iddiamızı tümevarımla ispatlayalım.

n=3 ile 2 kesir elde edebilirsiniz:

yani ifade doğrudur.

n=k için geçerli olduğunu varsayıyoruz ve n=k+1 için ispatlıyoruz.

x 1: x 2: ...: x k ifadesi, köşeli parantezlerin düzenlenmesinden sonra, bir Q kesri olarak yazılsın. Bu ifadede x k yerine x k: x k+1 yerine yazılırsa, x k, Q kesirlerinde olduğu gibi aynı yer ve x k + 1, x k'nin durduğu yerde olmayacak (eğer x k paydadaysa, o zaman x k + 1 payda olacaktır ve tam tersi).

Şimdi x k+1'i x k ile aynı yere ekleyebileceğimizi ispatlayalım. Q fraksiyonunda, parantezleri yerleştirdikten sonra, mutlaka q:x k biçiminde bir ifade olacaktır, burada q, x k–1 harfi veya parantez içindeki bir ifadedir. q: x k ifadesini (q: x k): x k + 1 = q: (x k x k + 1) ifadesiyle değiştirirsek, açıkça aynı Q fraksiyonunu elde ederiz, burada x k yerine x k x k+1 .

Böylece, n=k+1 durumunda olası kesirlerin sayısı n=k durumunda olduğundan 2 kat daha fazladır ve 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2'ye eşittir. Böylece iddia ispatlanmış olur.

Cevap: 2 n-2 kesir.

Çözümü olmayan sorunlar

1. Herhangi bir doğal n için şunu kanıtlayın:

a) 5 n -3 n + 2n sayısı 4'e bölünebilir;

b) n 3 +11n sayısı 6'ya bölünebilir;

c) 7 n +3n–1 sayısı 9'a bölünebilir;

d) 6 2n +19 n –2 n+1 sayısı 17 ile bölünebilir;

e) 7 n+1 +8 2n–1 sayısı 19'a tam bölünür;

f) 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 sayısı 27 ile bölünebilir.

2. (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1) olduğunu kanıtlayın.

3. |sin nx| eşitsizliğini kanıtlayın n|sinx| herhangi bir doğal n.

4. 10 ile bölünemeyen ve herhangi bir doğal n için a n + b n ve c n sayılarının son iki basamağı aynı olacak şekilde a, b, c doğal sayılarını bulun.

5. Eğer n nokta aynı doğru üzerinde değilse, onları birbirine bağlayan doğrular arasında en az n tane farklı nokta olduğunu kanıtlayın.

Bibliyografik açıklama: Badanin AS, Sizova M. Yu. Doğal sayıların bölünebilirliği ile ilgili problemlerin çözümünde matematiksel tümevarım yönteminin uygulanması // Genç bilim adamı. 2015. №2. S.84-86..04.2019).

Matematik olimpiyatlarında doğal sayıların bölünebilirliğini kanıtlamada oldukça zor problemlerle sıklıkla karşılaşılır. Okul çocukları bir problemle karşı karşıya: bu tür problemleri çözmeye izin veren evrensel bir matematiksel yöntem nasıl bulunur?

Çoğu bölünebilirlik sorununun matematiksel tümevarımla çözülebileceği ortaya çıktı, ancak okul ders kitaplarında bu yönteme çok az dikkat edilir, çoğu zaman kısa bir teorik açıklama verilir ve birkaç problem analiz edilir.

Sayı teorisinde matematiksel tümevarım yöntemini buluyoruz. Sayı teorisinin şafağında, matematikçiler birçok gerçeği tümevarım yoluyla keşfettiler: L. Euler ve K. Gauss, sayısal bir örüntüyü fark etmeden ve ona inanmadan önce bazen binlerce örnek düşündüler. Ancak aynı zamanda, “son” testi geçerlerse hipotezlerin ne kadar yanıltıcı olabileceğini de anladılar. Sonlu bir altküme için doğrulanmış bir ifadeden tüm sonsuz küme için benzer bir ifadeye endüktif bir geçiş için, bir ispata ihtiyaç vardır. Bu yöntem, herhangi bir tamsayının başka bir tamsayıya bölünebilirliği için kriterler bulmak için genel bir algoritma bulan Blaise Pascal tarafından önerildi ("Sayıların bölünebilirliğinin doğası üzerine" incelemesi).

Matematiksel tümevarım yöntemi, tüm doğal sayılar için belirli bir ifadenin doğruluğunu veya bir n sayısından başlayarak bir ifadenin doğruluğunu akıl yürüterek kanıtlamak için kullanılır.

Matematiksel tümevarım yöntemiyle belirli bir ifadenin doğruluğunu kanıtlamak için problem çözme dört aşamadan oluşur (Şekil 1):

Pirinç. 1. Sorunu çözmek için şema

1. indüksiyon temeli . İfadenin anlamlı olduğu en küçük doğal sayı için ifadenin geçerliliğini kontrol edin.

2. Endüktif Varsayım . İfadenin bir k değeri için doğru olduğunu varsayıyoruz.

3. endüktif geçiş . Bu iddianın k+1 için doğru olduğunu kanıtlıyoruz.

4. Çözüm . Eğer böyle bir ispat tamamlandıysa, matematiksel tümevarım ilkesi temelinde, ifadenin herhangi bir doğal sayı n için doğru olduğu iddia edilebilir.

Doğal sayıların bölünebilirliğini kanıtlamak için matematiksel tümevarım yönteminin problem çözmede uygulanmasını düşünün.

örnek 1. 5 sayısının 19'un katı olduğunu kanıtlayın, burada n bir doğal sayıdır.

Kanıt:

1) Bu formülün n = 1 için doğru olup olmadığını kontrol edelim: =19 sayısı 19'un katıdır.

2) Bu formül n = k için doğru olsun, yani sayı 19'un katı olsun.

19'a bölünebilir. Gerçekten de, varsayım (2) nedeniyle ilk terim 19'a bölünebilir; ikinci terim de 19'a bölünebilir çünkü 19'luk bir çarpan içerir.

Örnek 2 Ardışık üç doğal sayının küplerinin toplamının 9'a bölünebildiğini kanıtlayın.

Kanıt:

İfadeyi ispatlayalım: “Herhangi bir n doğal sayısı için, n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 ifadesi 9'un katıdır.

1) Bu formülün n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 için 9'un katı olup olmadığını kontrol edin.

2) Bu formül n = k için doğru olsun, yani k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3, 9'un katıdır.

3) Formülün n = k + 1 için de doğru olduğunu, yani (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3'ün 9'un katı olduğunu ispatlayalım. (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3).

Ortaya çıkan ifade, her biri 9'a bölünebilen iki terim içerir, dolayısıyla toplam 9'a bölünebilir.

4) Matematiksel tümevarım ilkesinin her iki koşulu da karşılanır, bu nedenle önerme, n'nin tüm değerleri için doğrudur.

Örnek 3 Herhangi bir doğal n için 3 2n+1 +2 n+2 sayısının 7'ye bölünebildiğini kanıtlayın.

Kanıt:

1) Bu formülün n = 1: için doğru olup olmadığını kontrol edin: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35, 7'nin katıdır.

2) Bu formül n = k için doğru olsun, yani 3 2 k +1 +2 k +2 7'ye bölünebilir.

3) Formülün n = k + 1 için de doğru olduğunu ispatlayalım, yani.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 3 2 +2 k +2 2 1 =3 2 k +1 9+2 k +2 2 =3 2 k +1 9+2 k +2 (9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2) 9–7 2 k +2 .T. (3 2 k +1 +2 k +2) 9, 7 ile bölünebildiği ve 7 2 k +2, 7 ile bölünebildiği için, farkları da 7 ile bölünebilir.

4) Matematiksel tümevarım ilkesinin her iki koşulu da karşılanır, bu nedenle önerme, n'nin tüm değerleri için doğrudur.

Doğal sayıların bölünebilirliği teorisindeki birçok ispat problemini matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak çözmek uygundur, hatta bu yöntemle problem çözmenin oldukça algoritmik olduğu söylenebilir, 4 temel adımı gerçekleştirmek yeterlidir. Ancak bu yöntem evrensel olarak adlandırılamaz, çünkü dezavantajları da vardır: birincisi, yalnızca doğal sayılar kümesinde kanıtlamak mümkündür ve ikincisi, yalnızca bir değişken için kanıtlamak mümkündür.

Mantıksal düşüncenin, matematiksel kültürün gelişimi için bu yöntem gerekli bir araçtır, çünkü büyük Rus matematikçi A. N. Kolmogorov bile şunları söyledi: “Matematiksel tümevarım ilkesini anlama ve doğru bir şekilde uygulama yeteneği, mantıksal olgunluk için iyi bir kriterdir. matematik için kesinlikle gerekli.”

Edebiyat:

1. Vilenkin N. Ya. İndüksiyon. Kombinatorik. - M.: Aydınlanma, 1976. - 48 s.

2. Genkin L. Matematiksel tümevarım üzerine. - M., 1962. - 36 s.

3. Solominsky I. S. Matematiksel tümevarım yöntemi. - E.: Nauka, 1974. - 63 s.

4. Sharygin I. F. Matematikte seçmeli ders: Problem çözme: 10 hücreli ders kitabı. orta okul - M.: Aydınlanma, 1989. - 252 s.

5. Shen A. Matematiksel tümevarım. - E.: MTSNMO, 2007.- 32 s.

giriiş

Ana bölüm

1. Tam ve eksik tümevarım

2. Matematiksel tümevarım ilkesi

3. Matematiksel tümevarım yöntemi

4. Örneklerin çözümü

5. Eşitlikler

6. Sayıların bölünmesi

7. Eşitsizlikler

Çözüm

kullanılmış literatür listesi

giriiş

Ama bu çok önemli - tümevarımsal düşünebilmek.

Ana bölüm

4 içindeki her n doğal çift sayısının< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Bu dokuz eşitlik, ilgilendiğimiz sayıların her birinin aslında iki asal terimin toplamı olarak temsil edildiğini göstermektedir.

Bu nedenle, tam tümevarım, genel ifadenin sonlu sayıda olası durumun her birinde ayrı ayrı kanıtlanmasıdır.

Bazen genel sonuç, hepsini değil de çok sayıda özel durumu (tamamlanmamış tümevarım olarak adlandırılır) değerlendirdikten sonra tahmin edilebilir.

Örneğin, ardışık ilk n tek sayının toplamını bulmamız istensin. Özel durumları düşünün:

1+3+5+7+9=25=5 2

Bu birkaç özel durumu değerlendirdikten sonra, aşağıdaki genel sonuç kendini göstermektedir:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

şunlar. ardışık ilk n tek sayının toplamı n 2

Tabii ki, yapılan gözlem henüz yukarıdaki formülün geçerliliğinin bir kanıtı olamaz.

Çoğu durumda, bu tür bir zorluktan kurtulmanın yolu, matematiksel tümevarım yöntemi adı verilen özel bir akıl yürütme yöntemine başvurmaktır. Aşağıdaki gibidir.

1=3. Bu, n=4 için ifadenin geçerliliğini ima eder, vb. Sonunda herhangi bir doğal sayı n'ye ulaşacağımız açıktır. Bu nedenle, ifade herhangi bir n için doğrudur.

Söylenenleri özetleyerek, aşağıdaki genel prensibi formüle ediyoruz.

Matematiksel tümevarım ilkesi.

Eğer cümle A( n ) doğal sayıya bağlı olarak n , için doğru n =1 ve bunun için doğru olduğu gerçeğinden n=k (nerede k -herhangi bir doğal sayı), bundan sonraki sayı için de doğru olduğu sonucu çıkar. n=k+1 , sonra varsayım A( n ) herhangi bir doğal sayı için doğrudur n .

Bazı durumlarda, belirli bir ifadenin geçerliliğini tüm doğal sayılar için değil, yalnızca n>p için kanıtlamak gerekebilir, burada p sabit bir doğal sayıdır. Bu durumda, matematiksel tümevarım ilkesi aşağıdaki gibi formüle edilir. Eğer cümle A( n ) için doğrudur n=p ve eğer A( k ) Þ ANCAK( k+1) herkes için k>p, sonra cümle A( n) herkes için doğru n>p.

ÖRNEK 1

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: 1) n=1=1 2'ye sahibiz. Sonuç olarak,

ifade n=1 için doğrudur, yani. A(1) doğrudur.

2) A(k)ÞA(k+1) olduğunu ispatlayalım.

k herhangi bir doğal sayı olsun ve ifade n=k için doğru olsun, yani.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

O halde iddianın bir sonraki doğal sayı n=k+1 için de doğru olduğunu ispatlayalım. ne

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Aslında,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, A(n) Varsayımının herhangi bir nнN için doğru olduğu sonucuna varırız.

ÖRNEK 2

Kanıtla

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), burada x¹1

Çözüm: 1) n=1 için şunu elde ederiz:

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

bu nedenle, n=1 için formül doğrudur; A(1) doğrudur.

2) k herhangi bir doğal sayı olsun ve formülün n=k için doğru olmasına izin verin, yani.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

eşitliğini ispatlayalım

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Aslında

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, formülün herhangi bir doğal sayı n için doğru olduğu sonucuna varıyoruz.

ÖRNEK 3

Bir dışbükey n-genin köşegenlerinin sayısının n(n-3)/2 olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: 1) n=3 için ifade doğrudur

Ve 3 doğru, çünkü bir üçgende

 A3 =3(3-3)/2=0 köşegen;

A 2 A(3) doğrudur.

2) Diyelim ki herhangi bir

dışbükey k-gon vardır-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 köşegen.

A k Bunu bir dışbükeyde ispatlayalım

(k+1)-gon sayısı

köşegenler A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -dışbükey (k+1)-açı olsun. İçine bir A 1 A k köşegeni çizelim. Bu (k + 1)-gon'un toplam köşegen sayısını saymak için, k-gon'daki köşegenlerin sayısını saymanız gerekir A 1 A 2 ...A k , ortaya çıkan sayıya k-2 ekleyin, yani. A k+1 köşesinden çıkan (k+1)-gon köşegenlerinin sayısı ve ayrıca A 1 A k köşegeni de hesaba katılmalıdır.

Böylece,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesi nedeniyle, ifade herhangi bir dışbükey n-gon için doğrudur.

ÖRNEK 4

Herhangi bir n için ifadenin doğru olduğunu kanıtlayın:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Çözüm: 1) n=1 olsun, o zaman

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

Dolayısıyla, n=1 için ifade doğrudur.

2) n=k olduğunu varsayalım

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) Bu ifadeyi n=k+1 için düşünün

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

n=k+1 için eşitliğin geçerliliğini kanıtladık, bu nedenle matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde ifade herhangi bir doğal n için doğrudur.

ÖRNEK 5

Herhangi bir doğal n için eşitliğin doğru olduğunu kanıtlayın:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Çözüm: 1) n=1 olsun.

O halde X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

n=1 için ifadenin doğru olduğunu görüyoruz.

2) n=k için eşitliğin doğru olduğunu varsayalım

Anlatım 6. Matematiksel tümevarım yöntemi.

Bilim ve yaşamdaki yeni bilgiler farklı şekillerde elde edilir, ancak hepsi (ayrıntıya girmezseniz) iki türe ayrılır - genelden özele ve özelden genele geçiş. Birincisi tümdengelim, ikincisi tümevarım. Tümdengelimli akıl yürütme, genellikle matematikte denir mantıksal akıl yürütme ve matematiksel bilimde tümdengelim tek meşru araştırma yöntemidir. Mantıksal akıl yürütmenin kuralları, iki buçuk bin yıl önce eski Yunan bilim adamı Aristoteles tarafından formüle edildi. En basit doğru akıl yürütmenin tam bir listesini oluşturdu, kıyaslar- mantığın "tuğlaları", aynı zamanda tipik akıl yürütmeye işaret ediyor, doğru olanlara çok benziyor, ancak yanlış (medyada genellikle bu tür "sözde" akıl yürütme ile karşılaşıyoruz).

indüksiyon (indüksiyon - Latince rehberlik), Isaac Newton'un kafasına bir elma düştükten sonra evrensel yerçekimi yasasını nasıl formüle ettiğine dair iyi bilinen efsaneyle örneklendirilir. Fizikten başka bir örnek: elektromanyetik indüksiyon gibi bir fenomende, bir elektrik alanı bir manyetik alan yaratır, "indükler". "Newton'un elması", bir veya daha fazla özel durumun, yani. gözlemler, genel bir açıklamaya "yol açar", genel sonuç belirli durumlar temelinde yapılır. Tümevarım yöntemi, hem doğa bilimlerinde hem de beşeri bilimlerde genel kalıplar elde etmenin ana yöntemidir. Ancak çok önemli bir dezavantajı var: belirli örneklere dayanarak yanlış bir sonuç çıkarılabilir. Özel gözlemlerden kaynaklanan hipotezler her zaman doğru değildir. Euler nedeniyle bir örnek düşünün.

Bazı ilk değerler için üç terimlinin değerini hesaplayacağız. n:

Hesaplamalar sonucunda elde edilen sayıların asal olduğuna dikkat edin. Ve her biri için doğrudan doğrulanabilir n 1 ila 39 polinom değeri
bir asal sayıdır. Ancak, ne zaman n=40 asal olmayan 1681=41 2 sayısını elde ederiz. Böylece, burada ortaya çıkabilecek hipotez, yani her biri için hipotez n sayı
basit, yanlış olduğu ortaya çıkıyor.

Leibniz 17. yüzyılda her pozitif tamsayı için n sayı
3 ile bölünebilir
5 ile bölünebilir, vb. Buna dayanarak, her tuhaflık için şunu önerdi: k ve herhangi bir doğal n sayı
bölü k ama çok geçmeden fark etti
9 ile bölünemez.

Dikkate alınan örnekler, önemli bir sonuca varmamızı sağlar: bir ifade, birkaç özel durumda doğru olabilir ve aynı zamanda genel olarak adaletsiz olabilir. Genel durumda ifadenin geçerliliği sorunu, adı verilen özel bir akıl yürütme yöntemi uygulanarak çözülebilir. matematiksel tümevarımla(tam indüksiyon, mükemmel indüksiyon).

6.1. Matematiksel tümevarım ilkesi.

♦ Matematiksel tümevarım yöntemi, matematiksel tümevarım ilkesi , aşağıdakilerden oluşur:

1) bu ifadenin geçerliliği için doğrulanmıştırn=1 (indüksiyon temeli) ,

2) bu ifadenin doğru olduğu varsayılır.n= k, neredekkeyfi bir doğal sayıdır 1(indüksiyon varsayımı) ve bu varsayım dikkate alınarak geçerliliği şu şekilde belirlenir:n= k+1.

Kanıt. Bunun tersini varsayalım, yani iddianın her doğal durum için doğru olmadığını varsayalım. n. O zaman böyle bir doğal m, ne:

1) için onay n=m adil değil,

2) herkes için n, daha küçük m, iddia doğrudur (başka bir deyişle, m iddianın başarısız olduğu ilk doğal sayıdır).

bariz ki m>1, çünkü için n=1 ifade doğrudur (koşul 1). Sonuç olarak,
- doğal sayı. Görünüşe göre bir doğal sayı için
ifade doğrudur ve bir sonraki doğal sayı için m bu adil değil. Bu durum 2 ile çelişir. ■

İspatın, herhangi bir doğal sayı koleksiyonunun en küçük sayıyı içerdiği aksiyomunu kullandığını unutmayın.

Matematiksel tümevarım ilkesine dayalı bir ispata denir. tam matematiksel tümevarımla .

 Örnek6.1. Bunu herhangi bir doğal için kanıtlayın n sayı
3 ile bölünebilir.

Çözüm.

1) Ne zaman n=1 , yani a 1, 3 ile bölünebilir ve ifade için doğrudur n=1.

2) İfadenin doğru olduğunu varsayalım. n=k,
yani o sayı
3 ile bölünebilir ve bunu bulun n=k+1 sayısı 3'e tam bölünür.

Aslında,

Çünkü her terim 3'e bölünebilir, toplamları da 3'e bölünebilir. ■ 

 Örnek6.2. İlkinin toplamının olduğunu kanıtlayın n doğal tek sayılar, sayılarının karesine eşittir, yani .

Çözüm. Tam matematiksel tümevarım yöntemini kullanıyoruz.

1) Bu ifadenin geçerliliğini aşağıdakiler için kontrol ediyoruz: n=1: 1=1 2 doğrudur.

2) Diyelim ki birincinin toplamı k (
) sayısı, bu sayıların sayısının karesine eşittir, yani . Bu eşitliğe dayanarak, birincinin toplamının k+1 tek sayılar eşittir
, yani .

Varsayımımızı kullanırız ve alırız

. ■ 

Bazı eşitsizlikleri kanıtlamak için tam matematiksel tümevarım yöntemi kullanılır. Bernoulli eşitsizliğini ispatlayalım.

 Örnek6.3. Bunu ne zaman kanıtla
ve herhangi bir doğal n eşitsizlik
(Bernoulli eşitsizliği).

Çözüm. 1) Ne zaman n=1 alırız
, hangisi doğru.

2) olduğunu varsayıyoruz n=k eşitsizlik var
(*). Bu varsayımı kullanarak, bunu kanıtlıyoruz
. Dikkat edin
bu eşitsizlik geçerlidir ve bu nedenle durumu dikkate almak yeterlidir.
.

Eşitsizliğin (*) her iki bölümünü de sayı ile çarpın
ve Al:

yani (1+
.■ 

Yönteme göre kanıt eksik matematiksel tümevarım bağlı olarak bazı iddialar n, nerede
benzer şekilde yürütülür, ancak başlangıçta adalet en küçük değer için kurulur. n.

Bazı problemler, matematiksel tümevarımla kanıtlanabilecek bir ifadeyi açıkça formüle etmez. Bu gibi durumlarda, bir düzenlilik oluşturmak ve bu düzenliliğin geçerliliği hakkında bir hipotez ifade etmek ve ardından önerilen hipotezi matematiksel tümevarım yöntemiyle test etmek gerekir.

 Örnek6.4. miktarı bul
.

Çözüm. toplamları bulalım S 1 , S 2 , S 3. Sahibiz
,
,
. Herhangi bir doğal için varsayıyoruz n formül geçerli
. Bu hipotezi test etmek için tam matematiksel tümevarım yöntemini kullanıyoruz.

1) Ne zaman n=1 hipotez doğrudur, çünkü
.

2) Hipotezin aşağıdakiler için doğru olduğunu varsayalım. n=k,
, yani
. Bu formülü kullanarak, hipotezin doğru olduğunu ve bunun için n=k+1, yani

Aslında,

Yani hipotezin doğru olduğunu varsayarsak n=k,
için doğru olduğu kanıtlanmıştır. n=k+1 ve matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, formülün herhangi bir doğal için geçerli olduğu sonucuna varıyoruz. n. ■ 

 Örnek6.5. Matematikte, düzgün sürekli iki fonksiyonun toplamının düzgün sürekli bir fonksiyon olduğu kanıtlanmıştır. Bu açıklamaya dayanarak, herhangi bir sayının toplamının olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
düzgün sürekli fonksiyonların düzgün sürekli bir fonksiyonudur. Ancak "düzgün sürekli fonksiyon" kavramını henüz tanıtmadığımıza göre, sorunu daha soyut bir şekilde belirleyelim: bazı özelliklere sahip iki fonksiyonun toplamının bilindiği gibi. S, kendi özelliği var S. Herhangi bir sayıda fonksiyonun toplamının şu özelliğe sahip olduğunu ispatlayalım. S.

Çözüm. Buradaki tümevarımın temeli, sorunun formülasyonunda bulunur. Endüktif varsayımı yaparak, düşünün
fonksiyonlar f 1 , f 2 , …, f n , f n+1 özelliği olan S. O zamanlar . Sağ tarafta, ilk terim şu özelliğe sahiptir: S tümevarım hipotezine göre, ikinci terim şu özelliğe sahiptir: S koşula göre. Bu nedenle, toplamları şu özelliğe sahiptir: S– iki dönem için tümevarımın temeli “işe yarar”.

Bu, iddiayı kanıtlıyor ve onu daha fazla kullanacak. ■ 

 Örnek6.6. Tamamen doğal olanı bul n eşitsizliği için

Çözüm. Düşünmek n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Şunlara sahibiz: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 . Böylece bir hipotez yapabiliriz: eşitsizlik
herkese yer var
. Bu hipotezin doğruluğunu kanıtlamak için eksik matematiksel tümevarım ilkesini kullanıyoruz.

1) Yukarıda belirtildiği gibi, bu hipotez aşağıdakiler için geçerlidir: n=5.

2) için doğru olduğunu varsayalım n=k,
yani eşitsizlik
. Bu varsayımı kullanarak, eşitsizliği kanıtlıyoruz.
.

T. için.
ve
eşitsizlik var

de
,

o zaman anladık
. Yani, hipotezin gerçeği n=k+1, bunun için doğru olduğu varsayımından kaynaklanmaktadır. n=k,
.

s. 1 ve 2, eksik matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, eşitsizliğin
her doğal için doğru
. ■ 

 Örnek6.7. Bunu herhangi bir doğal sayı için kanıtlayın n farklılaşma formülü geçerlidir
.

Çözüm. saat n=1 bu formül şu şekildedir
, veya 1=1, yani doğru. Endüktif varsayımı yaparak, elimizde:

Q.E.D. ■ 

 Örnek6.8. kümesinden oluştuğunu kanıtlayın. n elementler, sahip alt kümeler.

Çözüm. Tek elemanlı bir küme a, iki alt kümesi vardır. Bu doğrudur çünkü tüm alt kümeleri boş küme ve kümenin kendisidir ve 2 1 =2'dir.

Herhangi bir kümenin olduğunu varsayıyoruz n elemanları vardır alt kümeler. A kümesi şunlardan oluşuyorsa n+1 öğeleri, sonra içindeki bir öğeyi düzeltiriz - onu belirtin d ve tüm alt kümeleri iki sınıfa bölün - içermeyen d ve içeren d. Birinci sınıftan tüm altkümeler, A'dan eleman çıkarılarak elde edilen B kümesinin alt kümeleridir. d.

B kümesi şunlardan oluşur: n unsurlar ve bu nedenle, tümevarım hipotezi ile, alt kümeler, yani birinci sınıfta alt kümeler.

Ancak ikinci sınıfta aynı sayıda alt küme vardır: bunların her biri, öğenin eklenmesiyle birinci sınıfın tam olarak bir alt kümesinden elde edilir. d. Bu nedenle, toplamda, A kümesi
alt kümeler.

Böylece iddia ispatlanmış olur. 0 elemandan oluşan bir küme için de geçerli olduğunu unutmayın - boş bir küme: tek bir alt kümesi vardır - kendisi ve 2 0 =1. ■ 