Kesirli rasyonel trigonometrik denklemlerin çözümü. trigonometrik denklemler nasıl çözülür

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "En basit trigonometrik denklemlerin çözümü"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

1C'den 10. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometrideki problemleri çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel yapıcı 6.1"

Ne öğreneceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, biz zaten arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantı inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.

Trigonometrik denklemler - değişkenin trigonometrik fonksiyonun işareti altında bulunduğu denklemler.

En basit trigonometrik denklemleri çözme şeklini tekrarlıyoruz:

1) |а|≤ 1 ise, o zaman cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |а|≤ 1 ise, sin(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

3) Eğer |a| > 1, o zaman sin(x) = a ve cos(x) = a denkleminin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k bir tamsayıdır

En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: Т(kx+m)=a, T- herhangi bir trigonometrik fonksiyon.

Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2

Çözüm:

A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazacağız:

Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Değer tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişkenimize geri dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Sonra x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n - eksi bir üzeri n.

Daha fazla trigonometrik denklem örneği.

Çözüm:

A) Bu sefer doğrudan denklemin köklerinin hesaplanmasına gideceğiz:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk

Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.

B) 3x- π/3=arctg(√3)+ πk şeklinde yazıyoruz. Bunu biliyoruz: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cevap: x=2π/9 + πk/3, burada k bir tamsayıdır.

Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.

Çözüm:

Denklemimizi genel olarak çözelim: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k için k=0, x= π/16 için verilen segment içindeyiz.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vururlar.
k=2 için x= π/16+ π=17π/16, ama burada vurmadık, yani büyük k için de vurmayacağız.

Cevap: x= π/16, x= 9π/16

İki ana çözüm yöntemi.

Denklemi çözelim:

Çözüm:
Denklemimizi çözmek için, t=tg(x) ile gösterilen yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanıyoruz.

Değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulun: t=-1 ve t=1/3

Sonra tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3, en basit trigonometrik denklemi elde ettik, köklerini bulalım.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Bir denklem çözme örneği

Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Çözüm:

Şu özdeşliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Denklemimiz şöyle olur: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) ikamesini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2

Sonra cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.

cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cevap: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen trigonometrik denklemler.

formun denklemleri

ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e böleriz: Sıfıra eşitse kosinüs ile bölmek imkansızdır, bunun böyle olmadığından emin olalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değil, bir çelişki elde ettik, böylece güvenle bölebiliriz sıfır tarafından.

Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + günah(x) cos(x) = 0

Çözüm:

Ortak çarpanı çıkarın: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:

cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk için Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün Denklemimizi cos(x)'e bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk

İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!

1. A katsayısının neye eşit olduğunu görün, eğer a \u003d 0 ise, denklemimiz cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) şeklini alacaktır, bunun bir örneği önceki çözümdedir. kayma

2. Eğer a≠0 ise, denklemin her iki bölümünü de kare kosinüs ile bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:

t=tg(x) değişkenini değiştirirsek şu denklemi elde ederiz:

Örnek #:3'ü çözün

Denklemin her iki tarafını kosinüs karesine bölün:

t=tg(x) değişkeninde değişiklik yapıyoruz: t 2 + 2 t - 3 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulun: t=-3 ve t=1

O halde: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cevap: x=-arctg(3) + πk ve x= π/4+ πk

Çöz Örnek #:4

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

Şu denklemleri çözebiliriz: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Cevap: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Çöz Örnek #:5

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değiştirmeyi tanıtıyoruz

İkinci dereceden denklemimizin çözümü kökleri olacaktır: t=-2 ve t=1/2

Sonra şunu elde ederiz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= yaytg(1/2) + πk => x=yay(1/2)/2+ πk/2

Cevap: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Bağımsız çözüm için görevler.

A) günah(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Denklemleri çözün: sin(3x)= √3/2. Ve [π/2; π].

3) Denklemi çözün: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Denklemi çözün: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Denklemi çözün: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Hemen hemen her sorunu çözme sürecindeki başarı veya başarısızlığın, esas olarak belirli bir denklemin türünü belirlemenin doğruluğuna ve çözümünün tüm aşamalarının sırasını yeniden üretmenin doğruluğuna bağlı olduğu bir sır değildir. Bununla birlikte, trigonometrik denklemler söz konusu olduğunda, denklemin trigonometrik olduğu gerçeğini belirlemek hiç de zor değildir. Ancak bizi doğru cevaba götürmesi gereken eylemlerin sırasını belirleme sürecinde bazı zorluklarla karşılaşabiliriz. En baştan trigonometrik denklemlerin nasıl doğru çözüleceğini bulalım.

trigonometrik denklemleri çözme

Trigonometrik denklemi çözmek için aşağıdaki noktaları gerçekleştirmeye çalışmanız gerekir:

• Denklemimize dahil edilen tüm fonksiyonları "aynı açılara" getiriyoruz;
• Verilen denklemi "özdeş fonksiyonlara" getirmek gerekir;
• Verilen denklemin sol tarafını faktörlere veya diğer gerekli bileşenlere ayırırız.

yöntemler

Yöntem 1. Bu tür denklemleri iki aşamada çözmek gerekir. İlk olarak, en basit (basitleştirilmiş) formunu elde etmek için denklemi dönüştürüyoruz. Denklem: Cosx = a, Sinx = a ve benzerlerine en basit trigonometrik denklemler denir. İkinci adım, elde edilen basit denklemi çözmektir. En basit denklemin, okul cebir dersinden bize iyi bilinen cebirsel yöntemle çözülebileceğine dikkat edilmelidir. Aynı zamanda ikame ve değişken ikame yöntemi olarak da adlandırılır. İndirgeme formülleri yardımıyla önce dönüştürmeniz, ardından bir değiştirme yapmanız ve ardından kökleri bulmanız gerekir.

Ardından, denklemimizi olası faktörlere ayırmanız gerekir, bunun için tüm terimleri sola kaydırmanız gerekir ve ardından faktörlere ayrıştırabilirsiniz. Şimdi bu denklemi, tüm terimlerin aynı dereceye eşit olduğu ve kosinüs ve sinüsün aynı açıya sahip olduğu homojen bir denkleme getirmeniz gerekiyor.

Trigonometrik denklemleri çözmeden önce, terimlerini sağ taraftan alarak sol tarafa aktarmanız ve ardından tüm ortak paydaları parantez içinde çıkarmanız gerekir. Parantezlerimizi ve çarpanlarımızı sıfıra eşitliyoruz. Denk parantezlerimiz, sin(cos) ile en yüksek güce bölünecek indirgenmiş dereceli homojen bir denklemdir. Şimdi tan ile ilgili olarak elde edilen cebirsel denklemi çözüyoruz.

Yöntem 2. Trigonometrik denklemi çözebileceğiniz başka bir yöntem de yarım açıya geçiştir. Örneğin, denklemi çözüyoruz: 3sinx-5cosx=7.

Yarım açıya gitmemiz gerekiyor, bizim durumumuzda 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) Ve bundan sonra, tüm terimleri bir parçaya indiririz (kolaylık için doğru olanı seçmek daha iyidir) ve denklemi çözmeye devam ederiz.

Gerekirse, yardımcı bir açı girebilirsiniz. Bu, sin (a) veya cos (a) tamsayı değerini değiştirmeniz gerektiğinde yapılır ve “a” işareti sadece yardımcı açı görevi görür.

toplam ürün

Toplam ürünü kullanarak trigonometrik denklemler nasıl çözülür? Çarpımdan toplama dönüştürme olarak bilinen yöntem, bu tür denklemleri çözmek için de kullanılabilir. Bu durumda denkleme karşılık gelen formülleri kullanmak gerekir.

Örneğin, bir denklemimiz var: 2sinx * sin3x= cos4x

Sol tarafı bir toplama çevirerek bu sorunu çözmemiz gerekiyor, yani:

çünkü 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Yukarıdaki yöntemler uygun değilse ve hala en basit trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyorsanız, başka bir yöntem - evrensel ikame kullanabilirsiniz. Bununla ifadeyi dönüştürebilir ve bir değiştirme yapabilirsiniz. Örneğin: Cos(x/2)=u. Şimdi verilen u parametresi ile denklemi çözebiliriz. Ve istenen sonucu aldıktan sonra, bu değeri tam tersine çevirmeyi unutmayın.

Birçok "deneyimli" öğrencinin, denklemleri çözmek için çevrimiçi kişilere başvurmaları önerilir. Bir trigonometrik denklemi çevrimiçi olarak nasıl çözeceğinizi soruyorsunuz. Sorunu çevrimiçi olarak çözmek için, ilgili konulardaki forumlara başvurabilirsiniz, burada size tavsiyelerde bulunabilir veya sorunu çözmede yardımcı olabilirsiniz. Ama en iyisi kendi başınıza yönetmeye çalışmaktır.

Trigonometrik denklemleri çözmedeki beceri ve yetenekler çok önemli ve faydalıdır. Gelişimleri sizden çok çaba gerektirecektir. Fizikte, stereometride vb. birçok problem bu tür denklemlerin çözümü ile ilişkilidir. Ve bu tür problemleri çözme süreci, trigonometri unsurlarını incelerken edinilebilecek bilgi ve becerilerin varlığını ima eder.

Trigonometrik formülleri öğrenin

Bir denklemi çözme sürecinde trigonometriden herhangi bir formül kullanma ihtiyacı ile karşılaşabilirsiniz. Elbette, ders kitaplarınızda ve kopya sayfalarınızda aramaya başlayabilirsiniz. Ve bu formüller kafanıza takılırsa, sadece sinirlerinizi kurtarmakla kalmayacak, aynı zamanda gerekli bilgileri arayarak zaman kaybetmeden işinizi çok kolaylaştıracaksınız. Böylece sorunu çözmek için en akılcı yolu düşünme fırsatına sahip olacaksınız.

"A Alın" video kursu, matematik sınavını 60-65 puanla başarılı bir şekilde geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil KULLANIMI'nın 1-13 arasındaki tüm görevleri tamamlayın. Matematikte Temel KULLANIM'ı geçmek için de uygundur. Sınavı 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. sınıflar ve öğretmenler için sınava hazırlık kursu. Matematik sınavının 1. bölümünü (ilk 12 problem) ve problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazladır ve ne yüz puanlık bir öğrenci ne de bir hümanist onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Sınavın hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Bankası görevlerinden 1. bölümün ilgili tüm görevleri analiz edilmiştir. Kurs, USE-2018 gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olan 5 büyük konu içerir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilir.

Yüzlerce sınav görevi. Metin problemleri ve olasılık teorisi. Basit ve hatırlaması kolay problem çözme algoritmaları. Geometri. Teori, referans materyal, her türlü KULLANIM görevinin analizi. Stereometri. Çözmek için kurnaz hileler, faydalı hile sayfaları, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan trigonometri - görev 13'e. Tıkanmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların görsel açıklaması. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Sınavın 2. bölümünün karmaşık problemlerini çözmek için temel.

Sorununuza detaylı çözüm siparişi verebilirsiniz !!!

Bir trigonometrik fonksiyonun ("sin x, cos x, tg x" veya "ctg x") işareti altında bilinmeyeni içeren bir eşitliğe trigonometrik denklem denir ve formüllerini daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

En basit denklemler 'sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a' şeklindedir, burada 'x' bulunacak açıdır, 'a' herhangi bir sayıdır. Her biri için kök formülleri yazalım.

1. Denklem 'sin x=a'.

`|a|>1` için çözümü yok.

`|a| ile \leq 1` sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formülü: `x=(-1)^n arksin a + \pi n, n \in Z`

2. Denklem 'cos x=a'

`|a|>1` için - sinüs durumunda olduğu gibi, reel sayılar arasında çözüm yoktur.

`|a| ile \leq 1` sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formülü: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklerde sinüs ve kosinüs için özel durumlar.

3. Denklem `tg x=a`

Herhangi bir "a" değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formülü: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Denklem `ctg x=a`

Ayrıca herhangi bir "a" değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formülü: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Tablodaki trigonometrik denklemlerin kökleri için formüller

sinüs için:
kosinüs için:
Tanjant ve kotanjant için:
Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri çözmek için formüller:

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri

Herhangi bir trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur:

• en basitine dönüştürmek için kullanarak;
• Kökler ve tablolar için yukarıdaki formülleri kullanarak elde edilen basit denklemi çözün.

Örnekler kullanarak ana çözüm yöntemlerini ele alalım.

cebirsel yöntem.

Bu yöntemde bir değişkenin yerine konması ve eşitlik haline getirilmesi yapılır.

Örnek. Şu denklemi çözün: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

bir değiştirme yapın: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ardından `2y^2-3y+1=0`,

iki durumun takip ettiği `y_1=1, y_2=1/2` köklerini buluruz:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cevap: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

çarpanlara ayırma.

Örnek. Denklemi çözün: `sin x+cos x=1`.

Çözüm. Tüm eşitlik terimlerini sola taşıyın: `sin x+cos x-1=0`. kullanarak, sol tarafı dönüştürüp çarpanlarına ayırıyoruz:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 çünkü x/2-2sin^2 x/2=0',

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0',

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=yay 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Cevap: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen bir denkleme indirgeme

İlk olarak, bu trigonometrik denklemi iki biçimden birine getirmeniz gerekir:

'a sin x+b cos x=0' (birinci derecenin homojen denklemi) veya 'a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0' (ikinci derecenin homojen denklemi).

Ardından, ilk durum için her iki parçayı da "cos x \ne 0" ile ve ikinci durum için "cos^2 x \ne 0" ile bölün. 'tg x' için denklemler elde ederiz: 'a tg x+b=0' ve 'a tg^2 x + b tg x +c =0', bunların bilinen yöntemlerle çözülmesi gerekir.

Örnek. Şu denklemi çözün: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Çözüm. Sağ tarafı `1=sin^2 x+cos^2 x` şeklinde yazalım:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0'.

Bu, sol ve sağ kısımlarını 'cos^2 x \ne 0' ile bölen ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir, şunu elde ederiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Sonuç olarak 't^2 + t - 2=0' olan 'tg x=t' yerine geçelim. Bu denklemin kökleri `t_1=-2` ve `t_2=1`dir. O zamanlar:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Cevap. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Yarım Köşeye Git

Örnek. Denklemi çözün: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

Çözüm. Çift açılı formülleri uyguladığınızda, sonuç şudur: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tgx/2 +6=0'

Yukarıda açıklanan cebirsel yöntemi uygulayarak şunu elde ederiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 yay 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cevap. `x_1=2 yay 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=yay 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yardımcı açının tanıtılması

a,b,c'nin katsayılar ve x'in bir değişken olduğu trigonometrik denklemde 'a sin x + b cos x =c', her iki parçayı da 'sqrt (a^2+b^2)' ile böleriz:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Sol taraftaki katsayılar sinüs ve kosinüs özelliklerine sahiptir, yani karelerinin toplamı 1 ve modülleri en fazla 1'dir. Bunları şöyle gösterelim: `\frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , sonra:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım:

Örnek. Denklemi çözün: '3 sin x+4 cos x=2'.

Çözüm. Denklemin her iki tarafını da 'sqrt (3^2+4^2)' ile bölerek şunu elde ederiz:

`\frac (3 günah x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 günah x+4/5 çünkü x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ifade edin. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, yardımcı açı olarak `\varphi=arcsin 4/5` alıyoruz. Sonra eşitliğimizi şu şekilde yazarız:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinüs için açıların toplamı formülünü uygulayarak eşitliğimizi aşağıdaki biçimde yazarız:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arksin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cevap. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kesirli-rasyonel trigonometrik denklemler

Bunlar, trigonometrik fonksiyonların bulunduğu pay ve paydalarda kesirli eşitliklerdir.

Örnek. Denklemi çözün. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Çözüm. Denklemin sağ tarafını `(1+cos x)` ile çarpın ve bölün. Sonuç olarak şunları elde ederiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Paydanın sıfır olamayacağı göz önüne alındığında, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` elde ederiz.

Kesrin payını sıfıra eşitleyin: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Ardından "sin x=0" veya "1-sin x=0".

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` olduğu göz önüne alındığında, çözümler `x=2\pi n, n \in Z` ve `x=\pi /2+2\pi n` şeklindedir. , `n \in Z`.

Cevap. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometri ve özellikle trigonometrik denklemler, geometri, fizik ve mühendisliğin hemen hemen tüm alanlarında kullanılmaktadır. Çalışma 10. sınıfta başlar, sınav için her zaman görevler vardır, bu nedenle tüm trigonometrik denklem formüllerini hatırlamaya çalışın - kesinlikle sizin için kullanışlı olacaklar!

Ancak, onları ezberlemenize bile gerek yok, asıl şey özü anlamak ve çıkarım yapabilmek. Göründüğü kadar zor değil. Videoyu izleyerek kendiniz görün.