Lineer cebirsel denklemlerin çözüm sistemleri, çözüm yöntemleri, örnekler. Sistemin genel çözümünü bulun ve fsr

Gauss yönteminin bir takım dezavantajları vardır: Gauss yönteminde gerekli olan tüm dönüşümler gerçekleştirilmeden sistemin tutarlı olup olmadığını bilmek imkansızdır; Gauss yöntemi harf katsayılı sistemler için uygun değildir.

Lineer denklem sistemlerini çözmek için diğer yöntemleri düşünün. Bu yöntemler bir matrisin rankı kavramını kullanır ve herhangi bir ortak sistemin çözümünü Cramer kuralının uygulandığı bir sistemin çözümüne indirger.

örnek 1İndirgenmiş homojen sistemin temel çözüm sistemini ve homojen olmayan sistemin özel bir çözümünü kullanarak aşağıdaki lineer denklem sisteminin genel çözümünü bulun.

1. Bir matris yaparız A ve sistemin artırılmış matrisi (1)

2. Sistemi keşfedin (1) uyumluluk için. Bunu yapmak için matrislerin sıralarını buluruz. A ve https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). (1) uyumsuz. eğer bunu alırsak , o zaman bu sistem tutarlıdır ve bunu çözeceğiz. (Tutarlılık çalışması Kronecker-Capelli teoremine dayanmaktadır).

a. Bulduk rA.

Bulmak rA, matrisin birinci, ikinci, vb. mertebelerinin ardışık olarak sıfır olmayan küçüklerini dikkate alacağız. A ve onları çevreleyen küçükler.

M1=1≠0 (1 matrisin sol üst köşesinden alınır ANCAK).

sınır M1 bu matrisin ikinci satırı ve ikinci sütunu. . Sınıra devam ediyoruz M1 ikinci satır ve üçüncü sütun..gif" width="37" height="20 src=">. Şimdi sıfır olmayan minörleri sınırlıyoruz М2′ ikinci emir.

Sahibiz: (çünkü ilk iki sütun aynı)

(çünkü ikinci ve üçüncü satırlar orantılıdır).

bunu görüyoruz rA=2, ve matrisin temel minörüdür A.

b. Bulduk .

Yeterince temel minör М2′ matrisler Aücretsiz üyeler ve tüm satırlardan oluşan bir sütunla sınır (sadece son satırımız var).

. Bundan şu sonuç çıkıyor М3′′ matrisin alt temeli olarak kalır https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Çünkü М2′- matrisin temel minörü A sistemler (2) , o zaman bu sistem sisteme eşdeğerdir (3) sistemin ilk iki denkleminden oluşan (2) (için М2′ A) matrisinin ilk iki satırındadır.

(3)

Temel minör https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> olduğundan (4)

Bu sistemde iki serbest bilinmeyen ( x2 ve x4 ). Bu yüzden FSR sistemler (4) iki çözümden oluşur. Onları bulmak için ücretsiz bilinmeyenler atarız. (4) önce değerler x2=1 , x4=0 , ve daha sonra - x2=0 , x4=1 .

saat x2=1 , x4=0 elde ederiz:

.

Bu sistem zaten Sadece bir şey çözüm (Cramer kuralı veya başka bir yöntemle bulunabilir). İlk denklemi ikinci denklemden çıkararak şunu elde ederiz:

Onun kararı olacak x1= -1 , x3=0 . verilen değerler x2 ve x4 verdiğimiz, sistemin ilk temel çözümünü elde ederiz. (2) : .

şimdi koyduk (4) x2=0 , x4=1 . Alırız:

.

Bu sistemi Cramer teoremini kullanarak çözüyoruz:

.

Sistemin ikinci temel çözümünü elde ederiz. (2) : .

Çözümler β1 , β2 ve makyaj FSR sistemler (2) . O zaman genel çözümü olacak

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Burada C1 , C2 keyfi sabitlerdir.

4. Birini bulun özel çözüm heterojen sistem(1) . paragrafta olduğu gibi 3 , sistem yerine (1) eşdeğer sistemi düşünün (5) sistemin ilk iki denkleminden oluşan (1) .

(5)

Serbest bilinmeyenleri sağ tarafa aktarıyoruz x2 ve x4.

(6)

Ücretsiz bilinmeyenler verelim x2 ve x4 keyfi değerler, örneğin, x2=2 , x4=1 ve onları fişe takın (6) . hadi sistemi alalım

Bu sistemin benzersiz bir çözümü vardır (çünkü belirleyicisi М2′0). Çözerek (Cramer teoremini veya Gauss yöntemini kullanarak), şunu elde ederiz: x1=3 , x3=3 . Serbest bilinmeyenlerin değerleri göz önüne alındığında x2 ve x4 , alırız homojen olmayan bir sistemin özel çözümü(1)a1=(3,2,3,1).

5. Şimdi yazmaya devam ediyor homojen olmayan bir sistemin genel çözümü α(1) : toplamına eşittir özel karar bu sistem ve indirgenmiş homojen sisteminin genel çözümü (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Bu şu anlama gelir: (7)

6. muayene Sistemi doğru çözüp çözmediğinizi kontrol etmek için (1) , genel bir çözüme ihtiyacımız var (7) yerine koymak (1) . Her denklem bir özdeşlik haline gelirse ( C1 ve C2 imha edilmelidir), o zaman çözüm doğru bulunur.

yerine koyacağız (7) örneğin, sadece sistemin son denkleminde (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Şunu elde ederiz: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Nerede -1=-1. Bir kimliğimiz var. Bunu sistemin diğer tüm denklemleriyle yapıyoruz (1) .

Yorum. Doğrulama genellikle oldukça zahmetlidir. Aşağıdaki "kısmi doğrulamayı" önerebiliriz: sistemin genel çözümünde (1) keyfi sabitlere bazı değerler atayın ve elde edilen özel çözümü yalnızca atılan denklemlere (yani, (1) dahil olmayan (5) ). Kimlik alırsan, o zaman büyük ihtimalle, sistemin çözümü (1) doğru bulundu (ancak böyle bir kontrol tam bir doğruluk garantisi vermez!). Örneğin, eğer (7) koy C2=- 1 , C1=1, sonra şunu elde ederiz: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. (1) sisteminin son denklemini yerine koyarsak: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yani –1=–1. Bir kimliğimiz var.

Örnek 2 Bir lineer denklem sistemine genel bir çözüm bulun (1) , ana bilinmeyenleri serbest olanlar cinsinden ifade etmek.

Çözüm. De olduğu gibi örnek 1, matrisler oluştur A ve bu matrislerin https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. Şimdi sadece sistemin denklemlerini bırakıyoruz (1) katsayıları bu temel minöre dahil olan (yani, ilk iki denklemimiz var) ve bunlardan oluşan sistemi, sistem (1)'e eşdeğer olarak düşünün.

Serbest bilinmeyenleri bu denklemlerin sağ taraflarına aktaralım.

sistem (9) doğru parçaları serbest üyeler olarak kabul ederek Gauss yöntemiyle çözüyoruz.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Seçenek 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Seçenek 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Seçenek 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Seçenek 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Lineer cebirsel denklemlerin homojen sistemleri

Dersler içinde Gauss yöntemi ve Ortak bir çözüme sahip uyumsuz sistemler/sistemler düşündük homojen olmayan lineer denklem sistemleri, nerede Ücretsiz Üye(genellikle sağdadır) en az bir denklemleri sıfırdan farklıydı.
Ve şimdi, iyi bir ısınmadan sonra matris sıralaması, tekniği cilalamaya devam edeceğiz temel dönüşümlerüzerinde homojen lineer denklem sistemi.
İlk paragraflara göre, malzeme sıkıcı ve sıradan görünebilir, ancak bu izlenim aldatıcıdır. Tekniklerin daha da geliştirilmesine ek olarak birçok yeni bilgi olacak, bu yüzden lütfen bu makaledeki örnekleri ihmal etmemeye çalışın.

Homojen bir lineer denklem sistemi nedir?

Cevap kendini gösteriyor. Bir lineer denklem sistemi, serbest terim ise homojendir. herkes sistem denklemi sıfırdır. Örneğin:

oldukça açık ki homojen sistem her zaman tutarlıdır, yani, her zaman bir çözümü vardır. Ve her şeyden önce, sözde önemsizçözüm . Önemsiz, sıfatın anlamını hiç anlamayanlar için, bespontovoe anlamına gelir. Akademik olarak değil, elbette, ama anlaşılır bir şekilde =) ... Neden işin içinden çıkılmaz, gelin bu sistemin başka çözümleri olup olmadığını öğrenelim:

örnek 1

Çözüm: homojen bir sistemi çözmek için yazmak gerekir sistem matrisi ve temel dönüşümlerin yardımıyla onu kademeli bir forma getirir. Dikey çubuğu ve boş üyelerin sıfır sütununu buraya yazmaya gerek olmadığını unutmayın - çünkü sıfırlarla ne yaparsanız yapın, sıfır olarak kalacaklar:

(1) İlk satır, ikinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi. İlk satır, üçüncü satıra eklendi, -3 ile çarpıldı.

(2) İkinci satır, -1 ile çarpılarak üçüncü satıra eklendi.

Üçüncü satırı 3'e bölmek pek mantıklı değil.

Elementer dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer bir homojen sistem elde edilir ve Gauss yönteminin ters hareketini uygulayarak, çözümün benzersiz olduğunu doğrulamak kolaydır.

Cevap:

Açık bir kriter formüle edelim: homojen bir lineer denklem sistemi sadece önemsiz çözüm, eğer sistem matris sıralaması(bu durumda, 3) değişken sayısına eşittir (bu durumda, 3 adet).

Isınıyor ve radyomuzu bir temel dönüşüm dalgasına ayarlıyoruz:

Örnek 2

Homojen bir lineer denklem sistemini çözün

makaleden Bir matrisin rankı nasıl bulunur? matrisin sayılarını tesadüfen azaltmanın rasyonel yöntemini hatırlıyoruz. Aksi takdirde, büyük ve sık sık balıkları ısırmak zorunda kalacaksınız. Dersin sonunda bir ödev örneği.

Sıfırlar iyi ve kullanışlıdır, ancak pratikte sistem matrisinin satırları olduğunda durum çok daha yaygındır. lineer bağımlı. Ve sonra genel bir çözümün ortaya çıkması kaçınılmazdır:

Örnek 3

Homojen bir lineer denklem sistemini çözün

Çözüm: sistemin matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu bir adım formuna getiriyoruz. İlk eylem yalnızca tek bir değer elde etmeyi değil, aynı zamanda ilk sütundaki sayıları azaltmayı da amaçlar:

(1) Üçüncü satır, -1 ile çarpılarak ilk satıra eklendi. Üçüncü satır, ikinci satıra eklendi, -2 ile çarpıldı. Sol üstte, daha fazla dönüşüm için genellikle çok daha uygun olan "eksi" olan bir birimim var.

(2) İlk iki satır aynı, biri kaldırıldı. Dürüst olmak gerekirse, kararı değiştirmedim - oldu. Bir şablonda dönüşümler yaparsanız, o zaman doğrusal bağımlılıkçizgiler biraz sonra ortaya çıkacaktı.

(3) Üçüncü satıra, ikinci satırı 3 ile çarparak ekleyin.

(4) İlk satırın işareti değiştirildi.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer bir sistem elde edilir:

Algoritma, aşağıdakilerle tamamen aynı şekilde çalışır: heterojen sistemler. "Basamaklarda oturan" değişkenler ana değişkenlerdir, "adımları" almayan değişken ücretsizdir.

Temel değişkenleri serbest değişken cinsinden ifade ederiz:

Cevap: ortak karar:

Önemsiz çözüm, genel formüle dahil edilmiştir ve ayrıca yazılması gereksizdir.

Doğrulama ayrıca olağan şemaya göre gerçekleştirilir: sonuçtaki genel çözüm, sistemin her denkleminin sol tarafında ikame edilmelidir ve tüm ikameler için meşru bir sıfır elde edilir.

Bu sessizce sonlandırılabilir, ancak homojen bir denklem sisteminin çözümünün genellikle temsil edilmesi gerekir. vektör biçiminde kullanarak temel karar sistemi. Lütfen geçici olarak unut analitik geometri hakkında bir makalede biraz açtığım genel cebirsel anlamda vektörler hakkında konuşacağız. matris sıralaması. Terminolojiyi gölgelemek gerekli değildir, her şey oldukça basittir.

Bir alan üzerinde homojen lineer denklem sistemi

TANIM. Denklemler sisteminin (1) temel çözüm sistemi, doğrusal açıklığı sistemin (1) tüm çözümlerinin kümesiyle çakışan, çözümlerinin boş olmayan doğrusal olarak bağımsız bir sistemidir.

Yalnızca sıfır çözümü olan homojen bir doğrusal denklem sisteminin temel bir çözüm sistemine sahip olmadığına dikkat edin.

ÖNERİ 3.11. Homojen bir lineer denklem sisteminin herhangi iki temel çözüm sistemi aynı sayıda çözümden oluşur.

Kanıt. Gerçekten de, homojen denklem sisteminin (1) herhangi iki temel çözüm sistemi eşdeğerdir ve lineer olarak bağımsızdır. Bu nedenle, Önerme 1.12'ye göre sıraları eşittir. Bu nedenle, bir temel sistemde bulunan çözümlerin sayısı, diğer herhangi bir temel çözüm sisteminde bulunan çözümlerin sayısına eşittir.

Homojen denklem sisteminin (1) ana matrisi A sıfır ise, bu durumda herhangi bir vektör sistem (1)'e bir çözümdür; bu durumda, herhangi bir lineer bağımsız vektör koleksiyonu, temel bir çözüm sistemidir. A matrisinin sütun sırası ise, sistem (1) yalnızca bir çözüme sahiptir - sıfır; bu nedenle, bu durumda denklem sistemi (1) temel bir çözüm sistemine sahip değildir.

TEOREM 3.12. Homojen doğrusal denklemler sisteminin (1) ana matrisinin sırası, değişkenlerin sayısından azsa, sistem (1), çözümlerden oluşan temel bir çözüm sistemine sahiptir.

Kanıt. Homojen sistemin (1) ana matrisi A'nın rankı sıfıra eşitse veya , yukarıda teoremin doğru olduğu gösterildi. Bu nedenle, aşağıda varsayılırsa, A matrisinin ilk sütunlarının lineer bağımsız olduğunu varsayacağız. Bu durumda, A matrisi, indirgenmiş adım matrisine satır bazında eşdeğerdir ve sistem (1), aşağıdaki indirgenmiş adımlı denklem sistemine eşdeğerdir:

(2) sisteminin serbest değişkenlerinin herhangi bir değer sisteminin, (2) sisteminin ve dolayısıyla (1) sisteminin bir ve yalnızca bir çözümüne karşılık geldiğini kontrol etmek kolaydır. Özellikle, sistem (2) ve sistem (1)'in yalnızca sıfır çözümü, sıfır değerleri sistemine karşılık gelir.

Sistem (2)'de serbest değişkenlerden birine 1'e eşit bir değer, diğer değişkenlere sıfır değerleri atayacağız. Sonuç olarak, aşağıdaki C matrisinin satırları olarak yazdığımız denklem sistemine (2) çözümler elde ederiz:

Bu matrisin satır sistemi lineer bağımsızdır. Gerçekten de, eşitlikten herhangi bir skaler için

eşitlik takip eder

ve dolayısıyla eşitlik

C matrisinin satırlar sisteminin lineer açıklığının, sistem (1)'in tüm çözümlerinin kümesiyle çakıştığını ispatlayalım.

(1) sisteminin keyfi çözümü. Daha sonra vektör

aynı zamanda sistem (1) için bir çözümdür ve

Çözüm hesap makinesi ile bulun. Çözüm algoritması, doğrusal homojen olmayan denklem sistemleriyle aynıdır.
Yalnızca satırlarla çalışarak, temel minör olan matrisin sırasını buluruz; bağımlı ve serbest bilinmeyenleri bildirir ve genel çözümü buluruz.

Örnek 2. Sistemin genel çözümünü ve temel çözüm sistemini bulunuz.
Çözüm.



,
matrisin sıralamasının 3 olduğunu ve bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğunu takip eder. Bu, sistemin serbest bilinmeyenleri olmadığı ve bu nedenle benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir - önemsiz bir çözüm.

Egzersiz yapmak . Bir lineer denklem sistemini keşfedin ve çözün.
Örnek 4

Egzersiz yapmak . Her sistem için genel ve özel çözümler bulun.
Çözüm. Sistemin ana matrisini yazıyoruz:

Bir görev . Homojen bir lineer denklem sistemi için temel bir çözüm kümesi bulun.

Lineer cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) çözme, şüphesiz lineer cebir dersinin en önemli konusudur. Matematiğin tüm dallarından çok sayıda problem, lineer denklem sistemlerini çözmeye indirgenmiştir. Bu faktörler, bu makalenin oluşturulma nedenini açıklar. Makalenin malzemesi seçilmiş ve yapılandırılmıştır, böylece yardımı ile şunları yapabilirsiniz:

• lineer cebirsel denklem sisteminizi çözmek için en uygun yöntemi seçin,
• seçilen yöntemin teorisini incelemek,
• Tipik örneklerin ve problemlerin çözümlerini ayrıntılı olarak ele alarak lineer denklem sisteminizi çözün.

Makalenin malzemesinin kısa açıklaması.

İlk olarak, gerekli tüm tanımları, kavramları veriyoruz ve bazı gösterimleri tanıtıyoruz.

Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve benzersiz bir çözümü olan lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız. İlk olarak, Cramer yöntemine odaklanalım, ikincisi, bu tür denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemini göstereceğiz ve üçüncü olarak Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin ardışık ortadan kaldırılması yöntemi) analiz edeceğiz. Teoriyi pekiştirmek için, kesinlikle birkaç SLAE'yi çeşitli şekillerde çözeceğiz.

Bundan sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışmadığı veya sistemin ana matrisinin dejenere olduğu genel bir formun lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmeye devam ediyoruz. SLAE'lerin uyumluluğunu belirlememizi sağlayan Kronecker-Capelli teoremini formüle ediyoruz. Bir matrisin temel minör kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (uyumlulukları durumunda) analiz edelim. Gauss yöntemini de ele alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak anlatacağız.

Homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin genel çözümünün yapısı üzerinde durduğunuzdan emin olun. Temel bir çözüm sistemi kavramını verelim ve temel çözüm sisteminin vektörleri kullanılarak SLAE'nin genel çözümünün nasıl yazıldığını gösterelim. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.

Sonuç olarak, çözümünde SLAE'lerin ortaya çıktığı çeşitli problemlerin yanı sıra doğrusal olanlara indirgenmiş denklem sistemlerini ele alıyoruz.

Sayfa gezintisi.

Tanımlar, kavramlar, adlandırmalar.

Formun n bilinmeyen değişkeni (p eşit olabilir) ile p lineer cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.

Bilinmeyen değişkenler, - katsayılar (bazı gerçek veya karmaşık sayılar), - serbest üyeler (gerçek veya karmaşık sayılar da).

SLAE'nin bu formuna koordinat.

AT matris formu bu denklem sistemi şu şekildedir,
nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerin matris sütunu, - serbest üyelerin matris sütunu.

A matrisine (n + 1)-th sütunu olarak serbest terimlerin matris sütununu eklersek, o zaman sözde olanı elde ederiz. genişletilmiş matris lineer denklem sistemleri. Genellikle, artırılmış matris T harfi ile gösterilir ve serbest üyelerin sütunu, sütunların geri kalanından dikey bir çizgi ile ayrılır, yani,

Lineer cebirsel denklemler sistemini çözerek sistemin tüm denklemlerini kimliklere dönüştüren bilinmeyen değişkenlerin bir dizi değeri olarak adlandırılır. Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için matris denklemi de bir özdeşliğe dönüşür.

Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. bağlantı.

Denklem sisteminin çözümü yoksa denir. uyumsuz.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa, buna denir. belirli; birden fazla çözüm varsa, o zaman - belirsiz.

Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse , sonra sistem çağrılır homojen, aksi halde - heterojen.

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerinin çözümü.

Sistem denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, bu tür SLAE'leri arayacağız. temel. Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.

Lisede böyle bir SLAE okumaya başladık. Bunları çözerken, bir denklem aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve kalan denklemlere koyduk, sonra bir sonraki denklemi aldık, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade ettik ve diğer denklemlere yerleştirdik, vb. Ya da toplama yöntemini kullandılar, yani bilinmeyen bazı değişkenleri ortadan kaldırmak için iki veya daha fazla denklem eklediler. Esasen Gauss yönteminin modifikasyonları oldukları için bu yöntemler üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.

Temel doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Onları sıralayalım.

Lineer denklem sistemlerini Cramer yöntemiyle çözme.

Bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmemiz gerekiyor

denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu, yani .

Sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve değiştirilerek A'dan elde edilen matrislerin belirleyicileridir. 1., 2., …, n. boş üyeler sütununa sırasıyla sütun:

Böyle bir gösterimle, bilinmeyen değişkenler Cramer yönteminin formülleriyle şu şekilde hesaplanır: . Lineer cebirsel denklemler sisteminin çözümü Cramer yöntemiyle bu şekilde bulunur.

Örnek.

Cramer yöntemi .

Çözüm.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir: . Belirleyicisini hesaplayın (gerekirse makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğu için sistem Cramer yöntemi ile bulunabilen benzersiz bir çözüme sahiptir.

Gerekli belirleyicileri oluşturun ve hesaplayın (determinant, A matrisindeki ilk sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilir, determinant - ikinci sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesi, - A matrisinin üçüncü sütununun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilir. ):

Formülleri kullanarak bilinmeyen değişkenleri bulma :

Cevap:

Cramer yönteminin ana dezavantajı (eğer dezavantaj olarak adlandırılabilirse), sistem denklemlerinin sayısı üçten fazla olduğunda determinantları hesaplamanın karmaşıklığıdır.

Lineer cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemiyle çözme (ters matris kullanarak).

Lineer cebirsel denklemler sistemi matris biçiminde verilsin, burada A matrisi n'ye n boyutuna sahiptir ve determinantı sıfır değildir.

A matrisi ters çevrilebilir olduğundan, ters matris vardır. Eşitliğin her iki kısmını sol ile çarparsak, bilinmeyen değişkenlerin sütun matrisini bulmak için bir formül elde ederiz. Böylece lineer cebirsel denklemler sisteminin çözümünü matris yöntemiyle elde ettik.

Örnek.

Lineer Denklemler Sistemini Çöz matris yöntemi.

Çözüm.

Denklem sistemini matris formunda yeniden yazalım:

Çünkü

daha sonra SLAE matris yöntemiyle çözülebilir. Ters matris kullanılarak bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: .

A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının bir matrisini kullanarak bir ters matris oluşturalım (gerekirse makaleye bakın):

Hesaplamaya devam ediyor - ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisi serbest üyelerin matris sütununda (gerekirse makaleye bakın):

Cevap:

veya başka bir gösterimde x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris yöntemiyle lineer cebirsel denklem sistemlerine çözüm bulmadaki temel sorun, özellikle üçüncü dereceden daha yüksek mertebeden kare matrisler için ters matris bulmanın karmaşıklığıdır.

Gauss yöntemiyle lineer denklem sistemlerinin çözümü.

n bilinmeyen değişkenli n lineer denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım.
ana matrisinin determinantı sıfırdan farklıdır.

Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin art arda hariç tutulmasından oluşur: ilk olarak, x 1 ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden hariç tutulur, ardından x 2 üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden hariç tutulur ve bu şekilde, yalnızca bilinmeyen değişkene kadar x n son denklemde kalır. Bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması için sistemin denklemlerini dönüştürme işlemine denir. doğrudan Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ileri çalışması tamamlandıktan sonra, son denklemden x n bulunur, bu değer kullanılarak sondan bir önceki denklemden x n-1 hesaplanır ve böylece ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine geçerken bilinmeyen değişkenleri hesaplama işlemine denir. ters Gauss yöntemi.

Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için algoritmayı kısaca tanımlayalım.

Bunu, sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek her zaman başarabileceğimiz için varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i, ikincisinden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden hariç tutuyoruz. Bunu yapmak için, ilk çarpı ile çarpımı sistemin ikinci denklemine ekleyin, birinci çarpı ile çarpımı üçüncü denkleme ekleyin ve böylece ilk çarpı ile çarpımı n'inci denkleme ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekilde olacaktır:

burada bir .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edersek ve elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koyarsak aynı sonuca varırdık. Böylece, x 1 değişkeni, ikinciden başlayarak tüm denklemlerden çıkarılır.

Daha sonra, benzer şekilde hareket ediyoruz, ancak yalnızca şekilde işaretlenmiş olan ortaya çıkan sistemin bir kısmı ile

Bunu yapmak için, ikinci çarpı ile çarpımı sistemin üçüncü denklemine ekleyin, ikinci çarpı ile çarpımı dördüncü denkleme ekleyin ve bu şekilde, ikinci çarpı ile çarpımı n'inci denkleme ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekilde olacaktır:

burada bir . Böylece, x 2 değişkeni, üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden çıkarılır.

Daha sonra, sistemin şekilde işaretlenmiş kısmı ile benzer şekilde hareket ederken bilinmeyen x 3'ün ortadan kaldırılmasına geçiyoruz.

Bu yüzden sistem formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan seyrine devam ediyoruz.

Bu andan itibaren, Gauss yönteminin ters seyrine başlıyoruz: Son denklemden x n'yi , elde edilen x n değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluyoruz ve böyle devam ediyor, x n'yi buluyoruz. ilk denklem.

Örnek.

Lineer Denklemler Sistemini Çöz Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen değişken x 1'i sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki kısmına, sırasıyla ve ile çarpılarak birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını ekliyoruz:

Şimdi x 2'yi üçüncü denklemden, sol ve sağ kısımlarına ikinci denklemin sol ve sağ kısımlarını çarparak ekleyerek hariç tutuyoruz:

Bunun üzerine Gauss yönteminin ileri seyri tamamlandı, ters seyire başlıyoruz.

Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluruz:

İkinci denklemden elde ederiz.

İlk denklemden kalan bilinmeyen değişkeni buluruz ve bu Gauss yönteminin tersini tamamlar.

Cevap:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.

Genel durumda, p sisteminin denklem sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmaz:

Bu tür SLAE'lerin çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade, ana matrisi kare ve dejenere olan denklem sistemleri için de geçerlidir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir lineer denklem sistemine bir çözüm bulmadan önce, uyumluluğunu belirlemek gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman uyumsuz sorusunun cevabı şu şekildedir: Kronecker-Capelli teoremi:
n bilinmeyenli (p n'ye eşit olabilir) bir p denklem sisteminin tutarlı olması için, sistemin ana matrisinin rankının genişletilmiş matrisin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, yani Rank( A)=Sıra(T) .

Örnek olarak bir lineer denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker-Cappelli teoreminin uygulamasını ele alalım.

Örnek.

Lineer denklem sisteminin olup olmadığını öğrenin çözümler.

Çözüm.

. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanalım. İkinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır. Etrafındaki üçüncü dereceden küçüklerin üzerinden geçelim:

Tüm sınırlayıcı üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin sırası ikidir.

Buna karşılık, artırılmış matrisin rankı üçüncü mertebenin küçüğünden beri üçe eşittir

sıfırdan farklıdır.

Böylece, Rang(A) , bu nedenle, Kronecker-Capelli teoremine göre, orijinal lineer denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.

Cevap:

Çözüm sistemi yok.

Böylece Kronecker-Capelli teoremini kullanarak sistemin tutarsızlığını kurmayı öğrendik.

Ancak uyumluluğu sağlanmışsa SLAE'nin çözümü nasıl bulunur?

Bunu yapmak için, bir matrisin küçük taban kavramına ve bir matrisin rankı üzerindeki teoreme ihtiyacımız var.

A matrisinin sıfırdan farklı en yüksek mertebeden küçüğüne denir. temel.

Temel minörün tanımından, sırasının matrisin sırasına eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır olmayan bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.

Örneğin, matrisi düşünün .

Bu matrisin tüm üçüncü dereceden küçükleri sıfıra eşittir, çünkü bu matrisin üçüncü satırının elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.

Aşağıdaki ikinci mertebeden küçükler, sıfırdan farklı oldukları için temeldir.

küçükler sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.

Matris sıra teoremi.

p'ye n dereceli bir matrisin rankı r ise, matrisin satırlarının (ve sütunlarının) seçilen temel minörünü oluşturmayan tüm elemanları, satırların (ve sütunların) karşılık gelen elemanları cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. ) temeli minör oluşturan.

Matris sıralama teoremi bize ne verir?

Kronecker-Capelli teoremi ile sistemin uyumluluğunu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir temel minörünü seçeriz (sıralaması r'ye eşittir) ve olmayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız. seçilen temel minörü oluşturur. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan (matris sıra teoremine göre, bunlar kalan denklemlerin doğrusal bir birleşimidir) orijinal olana eşdeğer olacaktır.

Sonuç olarak, sistemin aşırı denklemleri atıldıktan sonra iki durum mümkündür.

Ortaya çıkan sistemdeki r denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, o zaman kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile bulunabilir.

Örnek.

.

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sıralaması ikinci mertebenin küçüğünden beri ikiye eşittir sıfırdan farklıdır. Genişletilmiş matris sıralaması ayrıca ikiye eşittir, çünkü üçüncü mertebenin tek küçüğü sıfıra eşittir

ve yukarıda ele alınan ikinci mertebenin küçüğü sıfırdan farklıdır. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan, orijinal lineer denklem sisteminin uyumluluğu ileri sürülebilir.

Temel minör olarak, . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur:


Sistemin üçüncü denklemi, temel minör oluşumuna katılmaz, bu nedenle onu matris sıralama teoremine dayanarak sistemden hariç tutarız:


Böylece temel bir lineer cebirsel denklem sistemi elde ettik. Cramer yöntemiyle çözelim:


Cevap:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ortaya çıkan SLAE'deki r denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısından az ise, o zaman temel minörü oluşturan terimleri denklemlerin sol kısımlarında bırakır ve kalan terimleri denklemlerin sağ kısımlarına aktarırız. zıt işaretli sistem.

Denklemlerin sol tarafında kalan bilinmeyen değişkenlere (r tane vardır) denir. ana.

Sağ tarafta sona eren bilinmeyen değişkenler (bunlardan n - r vardır) denir Bedava.

Şimdi, serbest bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler alabileceğini, r ana bilinmeyen değişkenlerin ise benzersiz bir şekilde serbest bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edileceğini varsayıyoruz. İfadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile çözülmesiyle bulunabilir.

Bir örnek alalım.

Örnek.

Lineer Cebirsel Denklemler Sistemini Çöz .

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sırasını bulun sınırlayıcı küçükler yöntemiyle. Sıfırdan farklı bir birinci dereceden küçük olarak 1 1 = 1 alalım. Bu minörü çevreleyen sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör aramaya başlayalım:


Böylece ikinci dereceden sıfır olmayan bir minör bulduk. Üçüncü mertebeden sıfır olmayan bir kenarda kalan minör aramaya başlayalım:


Böylece, ana matrisin sırası üçtür. Artırılmış matrisin sıralaması da üçe eşittir, yani sistem tutarlıdır.

Üçüncü mertebeden bulunan sıfır olmayan minör, temel olarak alınacaktır.

Anlaşılır olması için, minörün temelini oluşturan unsurları gösteriyoruz:


Temel minöre katılan terimleri sistemin denklemlerinin sol tarafında bırakıp, zıt işaretlerle geri kalanını sağ taraflara aktarıyoruz:


Serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 ve x 5 keyfi değerler veriyoruz, yani , keyfi sayılar nerede. Bu durumda, SLAE şu şekli alır:


Elde edilen temel lineer cebirsel denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözüyoruz:


Sonuç olarak, .

Cevapta, serbest bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.

Cevap:

Rasgele sayılar nerede.

Özetle.

Genel bir formun lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için önce Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu buluruz. Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşit değilse, sistemin tutarsız olduğu sonucuna varırız.

Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşitse, temel minörü seçer ve seçilen temel minörün oluşumuna katılmayan sistemin denklemlerini atarız.

Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, SLAE'nin bildiğimiz herhangi bir yöntemle bulunabilen benzersiz bir çözümü vardır.

Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısından azsa, sistemin denklemlerinin sol tarafında terimleri ana bilinmeyen değişkenlerle bırakıp kalan terimleri sağ taraflara aktarır ve keyfi değerler atarız ​ücretsiz bilinmeyen değişkenlere. Elde edilen lineer denklem sisteminden, ana bilinmeyen değişkenleri Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle buluruz.

Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümü için Gauss yöntemi.

Gauss yöntemini kullanarak, herhangi bir türdeki lineer cebirsel denklem sistemleri, uyumluluk için ön araştırma yapmadan çözülebilir. Bilinmeyen değişkenlerin art arda dışlanması işlemi, SLAE'nin hem uyumluluğu hem de tutarsızlığı hakkında bir sonuca varılmasını ve eğer bir çözüm varsa, onu bulmayı mümkün kılar.

Hesaplamalı çalışma açısından Gauss yöntemi tercih edilir.

Genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesindeki ayrıntılı açıklamasına ve analiz örneklerine bakın.

Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel sistemlerin genel çözümünün kaydedilmesi.

Bu bölümde, sonsuz sayıda çözümü olan lineer cebirsel denklemlerin ortak homojen ve homojen olmayan sistemlerine odaklanacağız.

Önce homojen sistemlerle ilgilenelim.

Temel karar sistemi n bilinmeyen değişkenli homojen bir p lineer cebirsel denklem sistemi, bu sistemin lineer olarak bağımsız bir (n – r) çözümleri kümesidir; burada r, sistemin ana matrisinin temel minörünün mertebesidir.

Homojen bir SLAE'nin lineer bağımsız çözümlerini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) olarak belirlersek, n ​​boyutlu matris sütunlarıdır. 1 ile ), o zaman bu homojen sistemin genel çözümü, keyfi sabit katsayıları С 1 , С 2 , …, С (n-r), yani temel çözüm sisteminin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir.

Homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel çözümü terimi ne anlama geliyor?

Anlamı basittir: formül, orijinal SLAE'nin tüm olası çözümlerini tanımlar, başka bir deyişle, herhangi bir rastgele sabit değer kümesini alarak C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , formüle göre biz orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini alacaktır.

Böylece, temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini .

Homojen bir SLAE için temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.

Orijinal lineer denklem sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenleri içeren tüm terimleri zıt işaretli sistemin denklemlerinin sağ tarafına aktarıyoruz. Serbest bilinmeyen değişkenlere 1,0,0,…,0 değerlerini verelim ve ortaya çıkan temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde, örneğin Cramer yöntemiyle çözerek ana bilinmeyenleri hesaplayalım. Böylece, temel sistemin ilk çözümü olan X (1) elde edilecektir. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 değerlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (2) elde ederiz. Ve benzeri. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0,0,…,0,1 değerlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (n-r) elde ederiz. Homojen SLAE'nin temel çözüm sistemi bu şekilde oluşturulacak ve genel çözümü formda yazılabilir.

Lineer cebirsel denklemlerin homojen olmayan sistemleri için genel çözüm şu şekilde temsil edilir:

Örneklere bakalım.

Örnek.

Homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin temel çözüm sistemini ve genel çözümünü bulun .

Çözüm.

Homojen lineer denklem sistemlerinin ana matrisinin sırası her zaman genişletilmiş matrisin sırasına eşittir. Ana matrisin sırasını küçükleri saçaklama yöntemiyle bulalım. Birinci mertebeden sıfır olmayan bir minör olarak, sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. İkinci mertebenin sınırlayıcı sıfır olmayan minörünü bulun:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulunur. Sıfır olmayan bir tane aramak için onu çevreleyen üçüncü dereceden küçükleri inceleyelim:

Üçüncü dereceden tüm sınırlayıcı küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrisin sırası ikidir. Temel minörü ele alalım. Netlik için, onu oluşturan sistemin unsurlarını not ediyoruz:

Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi, temel minör oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir:

Ana bilinmeyenleri içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarına bırakıyoruz ve serbest bilinmeyenli terimleri sağ taraflara aktarıyoruz:

Orijinal homojen lineer denklem sistemine temel bir çözüm sistemi oluşturalım. Bu SLAE'nin temel çözüm sistemi, orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerdiğinden ve temel minörünün sırası iki olduğundan, iki çözümden oluşur. X (1)'i bulmak için, serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 değerlerini veriyoruz, sonra denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.