Eş zamanlı doğrusal denklem sisteminin benzersiz bir çözümü vardır. Doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemleri

Çözüm Hesap makinesi kullanarak yapıyoruz. Genişletilmiş ve ana matrisleri yazalım:

Ana matris A noktalı bir çizgi ile ayrılmıştır.Sistemin denklemlerindeki terimlerin olası yeniden düzenlenişini akılda tutarak bilinmeyen sistemleri en üste yazıyoruz. Genişletilmiş matrisin sıralamasını belirleyerek aynı anda ana matrisin sıralamasını da buluruz. B matrisinde birinci ve ikinci sütunlar orantılıdır. İki orantılı sütundan yalnızca biri temel minöre düşebilir, bu nedenle örneğin ilk sütunu zıt işaretli noktalı çizginin ötesine taşıyalım. Sistem için bu, x 1'deki terimleri denklemlerin sağ tarafına aktarmak anlamına gelir.

Matrisimizi üçgen forma indirgeyelim. Sadece satırlarla çalışacağız, çünkü bir matris satırını sıfırdan farklı bir sayıyla çarpıp sistem için başka bir satıra eklemek, denklemi aynı sayıyla çarpıp başka bir denklemle eklemek anlamına gelir, bu da denklemin çözümünü değiştirmez. sistem. İlk satırla çalışıyoruz: matrisin ilk satırını (-3) ile çarpın ve sırasıyla ikinci ve üçüncü satırları ekleyin. Daha sonra ilk satırı (-2) ile çarpın ve dördüncüye ekleyin.

İkinci ve üçüncü çizgiler orantılıdır, bu nedenle bunlardan birinin, örneğin ikincisinin üzeri çizilebilir. Bu, üçüncünün bir sonucu olduğu için sistemin ikinci denkleminin üzerini çizmeye eşdeğerdir.

Şimdi ikinci satırla çalışıyoruz: onu (-1) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin.

Noktalı çizgiyle daire içine alınmış küçük, (olası küçükler arasında) en yüksek sıraya sahiptir ve sıfırdan farklıdır (ana köşegen üzerindeki öğelerin çarpımına eşittir) ve bu küçük, hem ana matrise hem de genişletilmiş matrise aittir, dolayısıyla rangA = rangB = 3.
Küçük temeldir. Bilinmeyenler x 2 , x 3 , x 4 için katsayıları içerir; bu, bilinmeyenler x 2 , x 3 , x 4'ün bağımlı olduğu ve x 1 , x 5'in serbest olduğu anlamına gelir.
Solda yalnızca temel küçük (yukarıdaki çözüm algoritmasının 4. noktasına karşılık gelen) bırakarak matrisi dönüştürelim.

Bu matrisin katsayılarına sahip sistem orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu forma sahiptir:

Bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemini kullanarak şunları bulduk:
, ,

Bağımsız değişkenler x 1 ve x 5 üzerinden x 2, x 3, x 4 bağımlı değişkenlerini ifade eden ilişkiler elde ettik, yani genel bir çözüm bulduk:

Serbest bilinmeyenlere herhangi bir değer atayarak herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. İki özel çözüm bulalım:
1) x 1 = x 5 = 0 olsun, o zaman x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, ardından x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7'yi koyun.
Böylece iki çözüm bulundu: (0,1,-3,3,0) – bir çözüm, (1,4,-7,7,-1) – başka bir çözüm.

Örnek 2. Uyumluluğu keşfedin, sisteme genel ve özel bir çözüm bulun

Çözüm. Birinci ve ikinci denklemleri birinci denklemde bir olacak şekilde yeniden düzenleyelim ve B matrisini yazalım.

İlk satırla işlem yaparak dördüncü sütunda sıfır elde ederiz:

Şimdi ikinci satırı kullanarak üçüncü sütundaki sıfırları alıyoruz:

Üçüncü ve dördüncü çizgiler orantılıdır, dolayısıyla sıralamayı değiştirmeden bunlardan birinin üzeri çizilebilir:
Üçüncü satırı (–2) ile çarpın ve dördüncüye ekleyin:

Ana ve genişletilmiş matrislerin sıralamalarının 4'e eşit olduğunu ve sıralamanın bilinmeyenlerin sayısına denk geldiğini görüyoruz, bu nedenle sistemin benzersiz bir çözümü var:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Örnek 3. Sistemi uyumluluk açısından inceleyin ve varsa bir çözüm bulun.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz.

İlk iki denklemi sol üst köşede 1 olacak şekilde yeniden düzenliyoruz:
İlk satırı (-1) ile çarparak üçüncüye eklersek:

İkinci satırı (-2) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin:

Sistem tutarsızdır, çünkü ana matriste, sıra bulunduğunda üzeri çizilen sıfırlardan oluşan bir satır aldık, ancak genişletilmiş matriste son satır kaldı, yani r B > r A .

Egzersiz yapmak. Bu denklem sisteminin uyumluluğunu araştırın ve matris hesabını kullanarak çözün.
Çözüm

Örnek. Doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu kanıtlayın ve iki şekilde çözün: 1) Gauss yöntemiyle; 2) Cramer'in yöntemi. (cevabı şu şekilde girin: x1,x2,x3)
Çözüm :doc :doc :xls
Cevap: 2,-1,3.

Örnek. Bir doğrusal denklem sistemi verilmiştir. Uyumluluğunu kanıtlayın. Sistemin genel çözümünü ve özel bir çözümünü bulun.
Çözüm
Cevap: x3 = - 1 + x4 + x5; x2 = 1 - x4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Egzersiz yapmak. Her sistemin genel ve özel çözümlerini bulun.
Çözüm. Bu sistemi Kronecker-Capelli teoremini kullanarak inceliyoruz.
Genişletilmiş ve ana matrisleri yazalım:

Egzersiz yapmak. Denklem sistemini çözün.
Cevap:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x3 + 0,67x4
Serbest bilinmeyenlere herhangi bir değer atayarak herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. Sistem belirsiz

Buradan açıkça anlaşılacağı üzere Cramer teoremi Bir doğrusal denklem sistemini çözerken üç durum ortaya çıkabilir:

İlk durum: Bir doğrusal denklem sisteminin benzersiz bir çözümü vardır

(sistem tutarlı ve kesindir)

İkinci durum: Bir doğrusal denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır

(sistem tutarlı ve belirsizdir)

** ,

onlar. bilinmeyenlerin ve serbest terimlerin katsayıları orantılıdır.

Üçüncü durum: Doğrusal denklem sisteminin çözümü yoktur

(sistem tutarsız)

Yani sistem M ile doğrusal denklemler N değişkenler denir ortak olmayan Tek bir çözümü yoksa ve eklem yeri en az bir çözümü varsa. Tek çözümü olan eş zamanlı denklem sistemine ne ad verilir? kesin ve birden fazlası – belirsiz.

Cramer yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme örnekleri

Sistem verilsin

.

Cramer teoremine dayanarak

………….
,

Nerede
-

sistem belirleyicisi. Kalan belirleyicileri, ilgili değişkenin (bilinmeyen) katsayıları ile sütunu serbest terimlerle değiştirerek elde ederiz:

Örnek 2.

.

Dolayısıyla sistem bellidir. Çözümünü bulmak için determinantları hesaplıyoruz

Cramer'in formüllerini kullanarak şunları buluyoruz:

Yani (1; 0; -1) sistemin tek çözümüdür.

3 X 3 ve 4 X 4 denklem sistemlerinin çözümlerini kontrol etmek için Cramer'in çözme yöntemini kullanan çevrimiçi hesap makinesini kullanabilirsiniz.

Bir doğrusal denklem sisteminde bir veya daha fazla denklemde değişken yoksa, determinantta karşılık gelen elemanlar sıfıra eşittir! Bu bir sonraki örnek.

Örnek 3. Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

.

Çözüm. Sistemin determinantını buluyoruz:

Denklem sistemine ve sistemin determinantına dikkatlice bakın ve determinantın bir veya daha fazla elemanının sıfıra eşit olduğu durumlarda sorunun cevabını tekrarlayın. Yani determinant sıfıra eşit olmadığı için sistem belirlidir. Çözümünü bulmak için bilinmeyenlerin determinantlarını hesaplıyoruz

Cramer'in formüllerini kullanarak şunları buluyoruz:

Yani sistemin çözümü (2; -1; 1)'dir.

6. Lineer cebirsel denklemlerin genel sistemi. Gauss yöntemi.

Hatırladığımız gibi sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda Cramer kuralı ve matris yöntemi uygun değildir. Gauss yöntemi – Herhangi bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araç, Hangi her durumda bizi cevaba götürecek! Yöntem algoritmasının kendisi her üç durumda da aynı şekilde çalışır. Cramer ve matris yöntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss yöntemini uygulamak için yalnızca aritmetik işlemler bilgisine ihtiyacınız vardır, bu da onu ilkokul öğrencileri için bile erişilebilir kılar.

Öncelikle doğrusal denklem sistemleri hakkında biraz bilgi verelim. Bir doğrusal denklem sistemi şunları yapabilir:

1) Benzersiz bir çözüme sahip olun.
2) Sonsuz sayıda çözümü var.
3) Çözümünüz yok (olun) ortak olmayan).

Gauss yöntemi çözüm bulmak için en güçlü ve evrensel araçtır herhangi Doğrusal denklem sistemleri. Hatırladığımız kadarıyla, Cramer kuralı ve matris yöntemi Sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Ve bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi Her neyse bizi cevaba götürecek! Bu dersimizde yine 1 numaralı durum (sistemin tek çözümü) için Gauss yöntemini ele alacağız, makale 2-3 numaralı noktaların durumlarına ayrılmıştır. Yöntemin algoritmasının her üç durumda da aynı şekilde çalıştığını not ediyorum.

Dersten en basit sisteme dönelim Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?
Gauss metodunu kullanarak çözelim.

İlk adım yazmaktır genişletilmiş sistem matrisi:
. Katsayıların hangi prensibe göre yazıldığını sanırım herkes görebilir. Matrisin içindeki dikey çizginin herhangi bir matematiksel anlamı yoktur; bu sadece tasarım kolaylığı için üstü çizili bir çizgidir.

Referans:hatırlamanı tavsiye ederim şartlar lineer Cebir. Sistem Matrisi yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan bir matristir; bu örnekte sistemin matrisi: . Genişletilmiş Sistem Matrisi– bu, sistemin aynı matrisi artı serbest terimlerin bir sütunudur, bu durumda: . Kısaca belirtmek gerekirse, matrislerden herhangi birine basitçe matris adı verilebilir.

Genişletilmiş sistem matrisi yazıldıktan sonra onunla bazı eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekir. temel dönüşümler.

Aşağıdaki temel dönüşümler mevcuttur:

1) Teller matrisler yeniden düzenlenebilir bazı yerlerde. Örneğin, söz konusu matriste birinci ve ikinci satırları ağrısız bir şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz:

2) Matriste orantılı (özel bir durum olarak - aynı) satırlar varsa (veya ortaya çıkmışsa), o zaman şunları yapmalısınız: silmek matristen biri hariç tüm bu satırlar. Örneğin matrisi düşünün . Bu matriste son üç satır orantılı olduğundan yalnızca birini bırakmak yeterlidir: .

3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satır görünüyorsa, o zaman aynı zamanda silmek. Tabii ki çizmeyeceğim, sıfır çizgisi hangi çizgidir? hepsi sıfır.

4) Matris satırı şu şekilde olabilir: çarpmak (bölmek) herhangi bir numaraya sıfır olmayan. Örneğin matrisi düşünün. Burada ilk satırı –3'e bölmeniz ve ikinci satırı 2 ile çarpmanız önerilir: . Bu eylem çok kullanışlıdır çünkü matrisin daha sonraki dönüşümlerini basitleştirir.

5) Bu dönüşüm en çok zorluğa neden olur, ancak aslında karmaşık bir şey de yoktur. Bir matrisin bir satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı. Pratik bir örnekten matrisimize bakalım: . İlk önce dönüşümü çok detaylı bir şekilde anlatacağım. İlk satırı –2 ile çarpın: , Ve ikinci satıra ilk satırı -2 ile çarparak ekliyoruz: . Artık ilk satır “geriye” –2 ile bölünebilir: . Gördüğünüz gibi EKLENEN satır LI – değişmedi. Her zaman EKLENEN satır değişir UT.

Pratikte elbette bu kadar ayrıntılı yazmıyorlar, kısaca yazıyorlar:

Bir kez daha: ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekledim. Bir satır genellikle sözlü olarak veya taslak üzerinde çarpılır ve zihinsel hesaplama süreci şöyle olur:

“Matrisi yeniden yazıyorum ve ilk satırı yeniden yazıyorum: »

"İlk sütun. En altta sıfır almam gerekiyor. Bu nedenle üsttekini -2: ile çarpıyorum ve ilkini ikinci satıra ekliyorum: 2 + (–2) = 0. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

“Şimdi ikinci sütun. En üstte -1 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

“Ve üçüncü sütun. En üstte -5 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: –7 + 10 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

Lütfen bu örneği dikkatlice anlayın ve sıralı hesaplama algoritmasını anlayın, bunu anlarsanız Gauss yöntemi pratik olarak cebinizde. Ama elbette bu dönüşüm üzerinde çalışmaya devam edeceğiz.

Temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez

! DİKKAT: dikkate alınan manipülasyonlar kullanılamaz, matrislerin "kendi başlarına" verildiği bir görev teklif edilirse. Örneğin “klasik” matrislerle işlemler Hiçbir durumda matrislerin içindeki hiçbir şeyi yeniden düzenlememelisiniz!

Sistemimize dönelim. Pratik olarak parçalara ayrılır.

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu şuna indirelim: kademeli görünüm:

(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Ve yine: neden ilk satırı –2 ile çarpıyoruz? Altta sıfır elde etmek için bu, ikinci satırda bir değişkenden kurtulmak anlamına gelir.

(2) İkinci satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin amacı – matrisi aşamalı forma indirgeyin: . Görevin tasarımında, sadece "merdivenleri" basit bir kalemle işaretliyorlar ve ayrıca "basamaklarda" bulunan sayıları da daire içine alıyorlar. "Adımlı görünüm" teriminin kendisi tamamen teorik değildir; bilimsel ve eğitimsel literatürde sıklıkla buna denir. yamuk görünüm veya üçgen görünüm.

Temel dönüşümler sonucunda elde ettik eş değer orijinal denklem sistemi:

Şimdi sistemin ters yönde "çözülmesi" gerekiyor - aşağıdan yukarıya doğru bu işleme denir Gauss yönteminin tersi.

Alt denklemde zaten hazır bir sonucumuz var: .

Sistemin ilk denklemini ele alalım ve zaten bilinen “y” değerini onun içine koyalım:

Gauss yönteminin üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemin çözülmesini gerektirdiği en yaygın durumu ele alalım.

örnek 1

Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım:

Şimdi çözüm sırasında ulaşacağımız sonucu hemen çizeceğim:

Tekrar ediyorum, amacımız temel dönüşümleri kullanarak matrisi adım adım forma getirmektir. Nereden başlamalı?

İlk önce sol üstteki numaraya bakın:

Neredeyse her zaman burada olmalı birim. Genel olarak konuşursak, -1 (ve bazen diğer sayılar) işe yarar, ancak bir şekilde geleneksel olarak bir genellikle oraya yerleştirilir. Bir birim nasıl organize edilir? İlk sütuna bakıyoruz - bitmiş bir birimimiz var! Birinci dönüşüm: birinci ve üçüncü satırları değiştirin:

Artık ilk satır çözümün sonuna kadar değişmeden kalacak. Şimdi iyi.

Sol üst köşedeki ünite düzenlenmiştir. Şimdi bu yerlerde sıfır almanız gerekiyor:

Sıfırları “zor” bir dönüşüm kullanarak elde ederiz. İlk önce ikinci satırla ilgileniyoruz (2, –1, 3, 13). İlk pozisyonda sıfır almak için ne yapılması gerekiyor? Gerekiyor ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –2 ile çarpın: (–2, –4, 2, –18). Ve sürekli olarak (yine zihinsel olarak veya taslak üzerinde) ekleme yapıyoruz, ikinci satıra zaten –2 ile çarpılmış olan ilk satırı ekliyoruz:

Sonucu ikinci satıra yazıyoruz:

Üçüncü satırı da aynı şekilde ele alıyoruz (3, 2, –5, –1). İlk pozisyonda sıfır almak için ihtiyacınız olan üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –3 ile çarpın: (–3, –6, 3, –27). VE üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekliyoruz:

Sonucu üçüncü satıra yazıyoruz:

Uygulamada bu eylemler genellikle sözlü olarak gerçekleştirilir ve tek adımda yazılır:

Her şeyi aynı anda ve aynı anda saymaya gerek yok. Hesaplamaların sırası ve sonuçların “yazılması” tutarlı ve genellikle şu şekildedir: önce ilk satırı yeniden yazarız ve yavaşça kendimize üfleriz - SÜREKLİ ve DİKKATLİCE:


Yukarıda hesaplamaların zihinsel sürecini zaten tartışmıştım.

Bu örnekte bunu yapmak çok kolay; ikinci satırı -5'e bölüyoruz (çünkü oradaki tüm sayılar 5'e kalansız bölünebiliyor). Aynı zamanda üçüncü satırı -2'ye bölüyoruz çünkü sayılar ne kadar küçük olursa çözüm o kadar basit olur:

Temel dönüşümlerin son aşamasında, burada bir sıfır daha almanız gerekir:

Bunun için üçüncü satıra ikinci satırı –2 ile çarparak ekliyoruz:


Bu eylemi kendiniz anlamaya çalışın - ikinci satırı zihinsel olarak –2 ile çarpın ve ekleme işlemini gerçekleştirin.

Gerçekleştirilen son eylem, sonucun saç modelidir, üçüncü satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde edildi:

Serin.

Şimdi Gauss yönteminin tersi devreye giriyor. Denklemler aşağıdan yukarıya doğru “gevşemektedir”.

Üçüncü denklemde zaten hazır bir sonucumuz var:

İkinci denkleme bakalım: . "Zet"in anlamı zaten bilinmektedir, dolayısıyla:

Ve son olarak ilk denklem: . "Igrek" ve "zet" biliniyor, bu sadece küçük şeyler meselesi:

Cevap:

Daha önce birkaç kez belirtildiği gibi, herhangi bir denklem sistemi için bulunan çözümü kontrol etmek mümkün ve gereklidir, neyse ki bu kolay ve hızlıdır.

Örnek 2

Bu, bağımsız bir çözüm örneği, nihai tasarımın bir örneği ve dersin sonunda bir cevaptır.

Şunu belirtmek gerekir ki kararın ilerlemesi karar sürecimle örtüşmeyebilir, ve bu Gauss yönteminin bir özelliğidir. Ama cevaplar aynı olmalı!

Örnek 3

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir tane olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu ben yaptım:
(1) İlk satıra ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak –1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte “eksi bir” var ki bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir hareket yapabilir: İlk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

(2) Birinci satırın 5 ile çarpılması ikinci satıra, ilk satırın 3 ile çarpılması üçüncü satıra eklenmiştir.

(3) İlk satır -1 ile çarpılmıştır, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk.

(4) İkinci satır üçüncü satıra 2 ile çarpılarak eklendi.

(5) Üçüncü satır 3'e bölündü.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu (daha nadiren bir yazım hatası) gösteren kötü bir işaret, "kötü" bir sonuçtur. Yani, eğer aşağıda , gibi bir şey varsa ve buna göre, , o zaman yüksek bir olasılıkla temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığını söyleyebiliriz.

Biz bunun tersini uyguluyoruz, örneklerin tasarımında genellikle sistemin kendisini yeniden yazmıyorlar, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınıyor." Size hatırlatırım, ters vuruş aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Evet, işte bir hediye:

Cevap: .

Örnek 4

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, biraz daha karmaşıktır. Birisinin kafası karışırsa sorun olmaz. Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım. Sizin çözümünüz benim çözümümden farklı olabilir.

Son bölümde Gauss algoritmasının bazı özelliklerine bakacağız.
İlk özellik bazen sistem denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olmasıdır, örneğin:

Genişletilmiş sistem matrisi nasıl doğru şekilde yazılır? Derste bu noktadan zaten bahsetmiştim. Cramer kuralı. Matris yöntemi. Sistemin genişletilmiş matrisinde eksik değişkenlerin yerine sıfırları koyarız:

Bu arada, bu oldukça kolay bir örnek, çünkü ilk sütunda zaten bir sıfır var ve gerçekleştirilecek daha az temel dönüşüm var.

İkinci özellik şudur. Ele alınan tüm örneklerde “adımlara” –1 veya +1 yerleştirdik. Orada başka numaralar olabilir mi? Bazı durumlarda bunu yapabilirler. Sistemi düşünün: .

Burada sol üst “adım”da iki tane var. Ancak ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini, diğerinin ise iki ve altı olduğunu fark ettik. Ve sol üstteki ikisi bize yakışacak! İlk adımda aşağıdaki dönüşümleri yapmanız gerekir: ilk satırı –1 ile çarparak ikinci satıra ekleyin; üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Bu şekilde ilk sütunda gerekli sıfırları alacağız.

Veya başka bir geleneksel örnek: . Burada ikinci “adım”daki üç de bize uyar, çünkü 12 (sıfır almamız gereken yer) 3'e kalansız bölünebilir. Aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek gerekir: ikinci satırı üçüncü satıra -4 ile çarparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyacımız olan sıfır elde edilecektir.

Gauss'un yöntemi evrenseldir ancak bir özelliği vardır. Sistemleri ilk seferde diğer yöntemleri (Cramer yöntemi, matris yöntemi) kullanarak çözmeyi güvenle öğrenebilirsiniz - çok katı bir algoritmaları vardır. Ancak Gauss yöntemine güvenebilmek için bu konuda iyi olmanız ve en az 5-10 sistemi çözmeniz gerekiyor. Bu nedenle ilk başta hesaplamalarda karışıklıklar ve hatalar olabilir ve bunda olağandışı veya trajik bir şey yoktur.

Pencerenin dışında yağmurlu bir sonbahar havası... Bu nedenle, kendi başına çözmek için daha karmaşık bir örnek isteyen herkes için:

Örnek 5

Dört bilinmeyenli dört doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün.

Böyle bir görev pratikte o kadar da nadir değildir. Bu sayfayı iyice inceleyen bir çaydanlığın bile böyle bir sistemi sezgisel olarak çözme algoritmasını anlayacağını düşünüyorum. Temelde her şey aynı; yalnızca daha fazla eylem var.

Sistemin çözümünün olmadığı (tutarsız) veya sonsuz sayıda çözümün olduğu durumlar derste tartışılmaktadır. Uyumsuz sistemler ve ortak bir çözüme sahip sistemler. Burada Gauss yönteminin dikkate alınan algoritmasını düzeltebilirsiniz.

Sana başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim.


Gerçekleştirilen temel dönüşümler:
(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi. Dikkat! Burada birinciyi üçüncü satırdan çıkarmak isteyebilirsiniz; çıkarmamanızı şiddetle tavsiye ederim - hata riski büyük ölçüde artar. Sadece katlayın!
(2) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). İkinci ve üçüncü satırlar değiştirildi. Not, "adımlarda" sadece bir tanesinden değil, aynı zamanda -1'den de memnunuz ki bu daha da uygun.
(3) İkinci satır üçüncü satıra 5 ile çarpılarak eklendi.
(4) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). Üçüncü satır 14'e bölündü.

Tersi:

Cevap: .

Örnek 4: Çözüm: Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Gerçekleştirilen dönüşümler:
(1) Birinci satıra ikinci satır eklendi. Böylece sol üstteki “basamak”ta istenilen ünite düzenlenmiştir.
(2) Birinci satırın 7 ile çarpılması ikinci satıra, ilk satırın 6 ile çarpılması üçüncü satıra eklenmiştir.

İkinci “adım”la her şey daha da kötüye gidiyor, bunun için "adaylar" 17 ve 23 sayılarıdır ve bizim ya bir ya da -1'e ihtiyacımız var. Dönüşümler (3) ve (4) istenen birimin elde edilmesini amaçlayacaktır.

(3) Üçüncü satıra ikinci satır -1 ile çarpılarak eklendi.
(4) Üçüncü satır, ikinci satıra -3 ile çarpılarak eklendi.
İkinci adımda gerekli öğe alındı. .
(5) İkinci satır üçüncü satıra 6 ile çarpılarak eklendi.

Derslerin bir parçası olarak Gauss yöntemi Ve Ortak bir çözüme sahip uyumsuz sistemler/sistemler düşündük homojen olmayan doğrusal denklem sistemleri, Nerede Ücretsiz Üye(genellikle sağdadır) en az bir denklemlerden sıfırdan farklıydı.
Ve şimdi, güzel bir ısınmanın ardından matris sırası, tekniği geliştirmeye devam edeceğiz temel dönüşümler Açık homojen doğrusal denklem sistemi.
İlk paragraflara bakıldığında materyal sıkıcı ve vasat görünebilir ancak bu izlenim aldatıcıdır. Tekniklerin daha da geliştirilmesine ek olarak birçok yeni bilgi de ortaya çıkacak, bu nedenle lütfen bu makaledeki örnekleri ihmal etmemeye çalışın.

Bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi olarak da adlandırılan Gauss yöntemi aşağıdaki gibidir. Temel dönüşümler kullanılarak, bir doğrusal denklem sistemi, katsayılar matrisinin şu şekilde olacağı bir forma getirilir: yamuk (üçgen veya kademeli ile aynı) veya yamuğa yakın (Gauss yönteminin doğrudan vuruşu, bundan sonra sadece düz vuruş olarak anılacaktır). Böyle bir sistemin bir örneği ve çözümü yukarıdaki şekildedir.

Böyle bir sistemde son denklem yalnızca bir değişken içerir ve değeri kesin olarak bulunabilir. Bu değişkenin değeri daha sonra önceki denklemde değiştirilir ( Gauss yönteminin tersi , sonra tam tersi), önceki değişkenin bulunduğu yerden vb.

Yamuk (üçgen) bir sistemde gördüğümüz gibi üçüncü denklem artık değişken içermiyor sen Ve X ve ikinci denklem değişkendir X .

Sistemin matrisi yamuk şeklini aldıktan sonra sistemin uyumluluk konusunu anlamak, çözüm sayısını belirlemek ve çözümleri bizzat bulmak artık zor değil.

Yöntemin avantajları:

1. Üçten fazla denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken, Gauss yöntemi Cramer yöntemi kadar hantal değildir, çünkü Gauss yöntemiyle çözmek daha az hesaplama gerektirir;
2. Gauss yöntemi belirsiz doğrusal denklem sistemlerini çözebilir, yani genel bir çözüme sahip olabilir (ve bunları bu derste analiz edeceğiz), Cramer yöntemini kullanarak ise yalnızca sistemin belirsiz olduğunu söyleyebiliriz;
3. bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olmadığı doğrusal denklem sistemlerini çözebilirsiniz (bu derste bunları da analiz edeceğiz);
4. Yöntem, ilgili makalede değindiğimiz ilkokul (okul) yöntemlerine - bilinmeyenleri değiştirme yöntemi ve denklem ekleme yöntemine dayanmaktadır.

Yamuk (üçgen, adım) doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesinin basitliğini herkesin anlayabilmesi için, böyle bir sisteme ters hareket kullanarak bir çözüm sunuyoruz. Bu sistemin hızlı çözümü dersin başındaki resimde gösterilmiştir.

Örnek 1. Tersini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bu trapez sistemde değişken züçüncü denklemden benzersiz bir şekilde bulunabilir. Değerini ikinci denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız sen:

Artık iki değişkenin değerini biliyoruz - z Ve sen. Bunları ilk denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız X:

Önceki adımlardan denklem sisteminin çözümünü yazıyoruz:

Çok basit bir şekilde çözdüğümüz böyle bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde etmek için, doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleriyle ilişkili ileri vuruşun kullanılması gerekir. Ayrıca çok da zor değil.

Bir doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleri

Bir sistemin denklemlerini cebirsel olarak toplamaya yönelik okul yöntemini tekrarlayarak, sistemin denklemlerinden birine sistemin başka bir denklemini ekleyebileceğimizi ve denklemlerin her birinin bazı sayılarla çarpılabileceğini öğrendik. Sonuç olarak buna eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz. İçinde, bir denklem zaten yalnızca bir değişken içeriyordu ve değerini diğer denklemlerle değiştirerek bir çözüme ulaştık. Böyle bir ekleme, sistemin temel dönüşüm türlerinden biridir. Gauss yöntemini kullanırken çeşitli dönüşüm türlerini kullanabiliriz.

Yukarıdaki animasyon denklem sisteminin nasıl yavaş yavaş yamuğa dönüştüğünü gösteriyor. Yani, ilk animasyonda gördüğünüz ve tüm bilinmeyenlerin değerlerini ondan bulmanın kolay olduğuna kendinizi ikna ettiğiniz şey. Böyle bir dönüşümün nasıl gerçekleştirileceği ve elbette örnekler daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Denklem sisteminde ve sistemin genişletilmiş matrisinde herhangi bir sayıda denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken Olabilmek:

1. satırları yeniden düzenleyin (bu, bu makalenin en başında belirtilmiştir);
2. diğer dönüşümler eşit veya orantılı satırlarla sonuçlanırsa, biri hariç bunlar silinebilir;
3. tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu "sıfır" satırları kaldırın;
4. herhangi bir dizeyi belirli bir sayıyla çarpmak veya bölmek;
5. herhangi bir satıra belirli bir sayıyla çarpılarak başka bir satır eklenir.

Dönüşümler sonucunda buna eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

Algoritma ve Gauss yöntemini kullanarak sistemin kare matrisli bir doğrusal denklem sistemini çözme örnekleri

Öncelikle bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olduğu doğrusal denklem sistemlerini çözmeyi ele alalım. Böyle bir sistemin matrisi karedir, yani içindeki satır sayısı sütun sayısına eşittir.

Örnek 2. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Doğrusal denklem sistemlerini okul yöntemlerini kullanarak çözerken, denklemlerden birini terim terim belirli bir sayıyla çarptık, böylece iki denklemdeki ilk değişkenin katsayıları zıt sayılar oldu. Denklemler eklenirken bu değişken ortadan kaldırılır. Gauss yöntemi de benzer şekilde çalışır.

Çözümün görünümünü basitleştirmek için sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturalım:

Bu matriste bilinmeyenlerin katsayıları dikey çizgiden önce solda, serbest terimler ise dikey çizgiden sonra sağda yer almaktadır.

Değişkenler için katsayıları bölmenin kolaylığı için (birliğe göre bölme elde etmek için) Sistem matrisinin birinci ve ikinci satırlarını değiştirelim. Buna eşdeğer bir sistem elde ederiz, çünkü doğrusal denklem sisteminde denklemler birbirinin yerine geçebilir:

Yeni birinci denklemi kullanma değişkeni ortadan kaldırmak X ikinci ve sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, matrisin ikinci satırına, ilk satırın çarpımını (bizim durumumuzda ile), üçüncü satıra - ilk satırın çarpımını (bizim durumumuzda ile) ekleriz.

Bu mümkün çünkü

Sistemimizde üçten fazla denklem olsaydı, sonraki tüm denklemlere ilk satırı eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpmamız gerekirdi.

Sonuç olarak, ikinciden başlayarak tüm denklemlerin yer aldığı yeni bir denklem sisteminin bu sistemine eşdeğer bir matris elde ediyoruz. değişken içermez X :

Ortaya çıkan sistemin ikinci satırını basitleştirmek için, onu çarpın ve bu sisteme eşdeğer bir denklem sisteminin matrisini tekrar elde edin:

Şimdi, ortaya çıkan sistemin ilk denklemini değiştirmeden, ikinci denklemi kullanarak değişkeni ortadan kaldırırız sen sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, sistem matrisinin üçüncü satırına ikinci satırı (bizim durumumuzda ile) çarparak ekleriz.

Sistemimizde üçten fazla denklem olsaydı, sonraki tüm denklemlere eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpılarak ikinci bir satır eklememiz gerekirdi.

Sonuç olarak, yine bu doğrusal denklem sistemine eşdeğer bir sistemin matrisini elde ederiz:

Eşdeğer bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde ettik:

Denklem ve değişken sayısı örneğimizdekinden daha fazla ise değişkenleri sırayla eleme işlemi, demo örneğimizde olduğu gibi sistem matrisi yamuk hale gelinceye kadar devam eder.

Çözümü "sondan" bulacağız - ters hareket. Bunun için Belirlediğimiz son denklemden z:
.
Bu değeri önceki denklemde yerine koyarsak, bulacağız sen:

İlk denklemden bulacağız X:

Cevap: Bu denklem sisteminin çözümü .

: Bu durumda sistemin tek bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir. Eğer sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa o zaman cevap bu olacaktır ve bu da bu dersin beşinci bölümünün konusudur.

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın

Burada yine denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu tutarlı ve belirli bir doğrusal denklem sistemi örneğiyle karşı karşıyayız. Demo örneğimizin algoritmadan farkı zaten dört denklemin ve dört bilinmeyenin olmasıdır.

Örnek 4. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Hazırlık çalışmalarını yapalım. Katsayıların oranını daha uygun hale getirmek için ikinci satırın ikinci sütununda bir tane almanız gerekir. Bunu yapmak için üçüncüyü ikinci satırdan çıkarın ve elde edilen ikinci satırı -1 ile çarpın.

Şimdi üçüncü ve dördüncü denklemlerden değişkenin fiili eliminasyonunu gerçekleştirelim. Bunu yapmak için, ikinci satırı üçüncü satıra, ile çarpılan ikinci satırı dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi üçüncü denklemi kullanarak dördüncü denklemdeki değişkeni ortadan kaldırıyoruz. Bunu yapmak için üçüncü satırı dördüncü satıra ile çarparak ekleyin. Genişletilmiş bir yamuk matris elde ediyoruz.

Verilen sistemin eşdeğer olduğu bir denklem sistemi elde ettik:

Dolayısıyla ortaya çıkan ve verilen sistemler uyumlu ve kesindir. Nihai çözümü “sondan” buluyoruz. Dördüncü denklemden “x-four” değişkeninin değerini doğrudan ifade edebiliriz:

Bu değeri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

,

,

Son olarak değer ikamesi

İlk denklem şunu verir

,

“önce x”i nerede bulacağız:

Cevap: Bu denklem sisteminin benzersiz bir çözümü var .

Sistemin çözümünü Cramer yöntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Alaşımlarla ilgili bir problem örneğini kullanarak Gauss yöntemini kullanarak uygulamalı problemleri çözme

Doğrusal denklem sistemleri fiziksel dünyadaki gerçek nesneleri modellemek için kullanılır. Bu sorunlardan birini çözelim: alaşımlar. Benzer problemler, karışımlar, bir mal grubu içindeki bireysel malların maliyeti veya payı vb. ile ilgili problemlerdir.

Örnek 5.Üç parça alaşımın toplam kütlesi 150 kg'dır. İlk alaşım %60 bakır, ikincisi %30, üçüncüsü %10 bakır içerir. Ayrıca ikinci ve üçüncü alaşımlarda birinci alaşıma göre 28,4 kg, üçüncü alaşımda ise ikinciye göre 6,2 kg daha az bakır bulunmaktadır. Alaşımın her bir parçasının kütlesini bulun.

Çözüm. Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz:

İkinci ve üçüncü denklemleri 10 ile çarparız, eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz:

Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz:

Dikkat, dümdüz ileri. Bir satırı bir sayıyla çarparak (bizim durumumuzda çıkararak) (bunu iki kez uyguluyoruz), sistemin genişletilmiş matrisinde aşağıdaki dönüşümler meydana gelir:

Doğrudan geçiş bitti. Genişletilmiş bir yamuk matris elde ettik.

Ters hareketi uyguluyoruz. Çözümü sondan buluyoruz. Bunu görüyoruz.

Bulduğumuz ikinci denklemden

Üçüncü denklemden -

Sistemin çözümünü Cramer yöntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Gauss'un yönteminin basitliği, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un onu icat etmesinin yalnızca 15 dakika sürmesiyle kanıtlanıyor. Kendi adını taşıyan yöntemin yanı sıra, Gauss'un eserlerinden, keşif yapma konusunda bir tür kısa talimat olan "Bize inanılmaz ve doğal olmayan görüneni kesinlikle imkansız olanla karıştırmamalıyız" sözü de bilinmektedir.

Uygulamalı problemlerin çoğunda üçüncü bir kısıtlama, yani üçüncü bir denklem olmayabilir, o zaman üç bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmeniz gerekir veya tam tersi, denklemlerden daha az bilinmeyen vardır. Şimdi bu tür denklem sistemlerini çözmeye başlayacağız.

Gauss yöntemini kullanarak herhangi bir sistemin uyumlu olup olmadığını belirleyebilirsiniz. N ile doğrusal denklemler N değişkenler.

Gauss yöntemi ve sonsuz sayıda çözümü olan doğrusal denklem sistemleri

Bir sonraki örnek, sonsuz sayıda çözüme sahip olan, tutarlı fakat belirsiz bir doğrusal denklem sistemidir.

Sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler gerçekleştirdikten sonra (satırları yeniden düzenlemek, satırları belirli bir sayıyla çarpmak ve bölmek, bir satıra başka bir satır eklemek), formun satırları görünebilir

Forma sahip tüm denklemlerde ise

Serbest terimler sıfıra eşittir, bu da sistemin belirsiz olduğu, yani sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu ve bu tür denklemlerin “gereksiz” olduğu ve bunları sistemin dışında bıraktığımız anlamına gelir.

Örnek 6.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturalım. Daha sonra ilk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden çıkarırız. Bunu yapmak için ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlara birinciyi şununla çarparak ekleyin:

Şimdi ikinci satırı üçüncü ve dördüncü satıra ekleyelim.

Sonuç olarak sisteme ulaşıyoruz.

Son iki denklem formun denklemlerine dönüştü. Bu denklemler bilinmeyenlerin herhangi bir değeri için sağlanır ve atılabilir.

İkinci denklemi sağlamak için ve için isteğe bağlı değerler seçebiliriz, ardından değer benzersiz olarak belirlenecektir: . İlk denklemden değeri de benzersiz bir şekilde bulunur: .

Hem verilen hem de son sistemler tutarlıdır ancak belirsizdir ve formüller

keyfi için ve bize belirli bir sistemin tüm çözümlerini verin.

Gauss yöntemi ve çözümü olmayan doğrusal denklem sistemleri

Bir sonraki örnek tutarsız, yani çözümü olmayan bir doğrusal denklem sistemidir. Bu tür sorunların cevabı şu şekilde formüle edilmiştir: Sistemin çözümü yoktur.

İlk örnekle bağlantılı olarak daha önce de belirtildiği gibi, dönüşümler gerçekleştirildikten sonra formun satırları sistemin genişletilmiş matrisinde görünebilir

formun bir denklemine karşılık gelen

Aralarında sıfırdan farklı serbest terimli en az bir denklem varsa (örn.), bu denklem sistemi tutarsızdır, yani çözümü yoktur ve çözümü tamdır.

Örnek 7. Doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün:

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz. İlk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden hariç tutuyoruz. Bunun için ilk satırın çarpımını ikinci satıra, ilk satırın üçüncü satırla çarpımını ve ilk satırın çarpımını dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Katsayıların tamsayı oranlarını elde etmek için sistemin genişletilmiş matrisinin ikinci ve üçüncü satırlarını değiştiririz.

Üçüncü ve dördüncü denklemleri hariç tutmak için, ikincisini , ile çarparak üçüncü satıra ve ikinciyi , ile çarparak dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi üçüncü denklemi kullanarak dördüncü denklemdeki değişkeni ortadan kaldırıyoruz. Bunu yapmak için üçüncü satırı dördüncü satıra ile çarparak ekleyin.

Dolayısıyla verilen sistem aşağıdakine eşdeğerdir:

Ortaya çıkan sistem tutarsızdır çünkü son denklemi bilinmeyenlerin herhangi bir değeri tarafından karşılanamaz. Dolayısıyla bu sistemin çözümü yoktur.

Bu derste bir doğrusal denklem sistemini çözme yöntemlerine bakacağız. Yüksek matematik dersinde, doğrusal denklem sistemlerinin hem ayrı görevler biçiminde, örneğin "Cramer formüllerini kullanarak sistemi çözme" hem de diğer problemleri çözme sırasında çözülmesi gerekir. Doğrusal denklem sistemleri yüksek matematiğin neredeyse tüm dallarında ele alınmalıdır.

İlk önce küçük bir teori. Bu durumda matematiksel “doğrusal” kelimesi ne anlama geliyor? Bu, sistemin denklemlerinin Tüm dahil edilen değişkenler birinci derecede: gibi süslü şeyler olmadan yalnızca matematik olimpiyatlarına katılanların memnun olduğu vb.

Yüksek matematikte değişkenleri belirtmek için yalnızca çocukluktan aşina olduğumuz harfler kullanılmaz.
Oldukça popüler bir seçenek, indeksli değişkenlerdir: .
Veya Latin alfabesinin küçük ve büyük baş harfleri:
Yunan harflerini bulmak o kadar da nadir değildir: – birçok kişi tarafından “alfa, beta, gama” olarak bilinir. Ve ayrıca örneğin “mu” harfinin yer aldığı endekslerden oluşan bir set:

Bir veya daha fazla harf kümesinin kullanımı, yüksek matematiğin bir doğrusal denklem sistemiyle karşı karşıya olduğumuz bölümüne bağlıdır. Dolayısıyla, örneğin integralleri ve diferansiyel denklemleri çözerken karşılaşılan doğrusal denklem sistemlerinde, notasyonu kullanmak gelenekseldir.

Ancak değişkenler nasıl belirlenirse belirlensin, bir doğrusal denklem sistemini çözmenin ilkeleri, yöntemleri ve yöntemleri değişmez. Bu nedenle, eğer . Ve ne kadar komik görünse de, bu gösterimlere sahip bir doğrusal denklem sistemi de çözülebilir.

Makalenin oldukça uzun olacağına dair bir his var, bu yüzden küçük bir içindekiler tablosu. Yani, sıralı “bilgilendirme” şu şekilde olacaktır:

– Bir doğrusal denklem sistemini ikame yöntemini (“okul yöntemi”) kullanarak çözme;
– Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek;
– Sistemin Cramer formüllerini kullanarak çözümü;
– Ters matris kullanarak sistemi çözme;
– Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme.

Herkes okul matematik derslerinden doğrusal denklem sistemlerine aşinadır. Temel olarak tekrarla başlıyoruz.

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Bu yönteme “okul yöntemi” ya da bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi de denilebilir. Mecazi anlamda "tamamlanmamış bir Gauss yöntemi" olarak da adlandırılabilir.

örnek 1

Burada bize iki bilinmeyenli iki denklem sistemi veriliyor. Serbest terimlerin (5 ve 7 sayıları) denklemin sol tarafında bulunduğunu unutmayın. Genel olarak konuşursak, nerede oldukları önemli değil, solda veya sağda, sadece yüksek matematik problemlerinde genellikle bu şekilde konumlandırılırlar. Ve böyle bir kayıt karışıklığa yol açmamalı, gerekirse sistem her zaman "her zamanki gibi" yazılabilir: . Bir terimi bir bölümden diğerine taşırken işaretinin değişmesi gerektiğini unutmayın.

Bir doğrusal denklem sistemini çözmek ne anlama gelir? Bir denklem sistemini çözmek, çözümlerinin çoğunu bulmak anlamına gelir. Bir sistemin çözümü, içinde yer alan tüm değişkenlerin değerlerinin bir kümesidir, bu da sistemin HER denklemini gerçek bir eşitliğe dönüştürür. Ayrıca sistem şu şekilde olabilir: ortak olmayan (çözümleri yok).Utanmayın, bu genel bir tanım =) Her c-we denklemini sağlayan sadece bir “x” değeri ve bir “y” değerimiz olacak.

Sistemi çözmek için sınıfta aşina olabileceğiniz grafiksel bir yöntem var. Bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Orada bahsetmiştim geometrik anlamda iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi. Ama artık cebirin, sayıların-sayıların, eylem-eylemlerin çağı geldi.

Haydi karar verelim: ifade ettiğimiz ilk denklemden:
Ortaya çıkan ifadeyi ikinci denklemde değiştiririz:

Parantezleri açıyoruz, benzer terimleri ekliyoruz ve değeri buluyoruz:

Sonra ne için dans ettiğimizi hatırlıyoruz:
Değerini zaten biliyoruz, geriye kalan tek şey bulmak:

Cevap:

HERHANGİ bir denklem sistemi HERHANGİ bir şekilde çözüldükten sonra, kontrol etmenizi şiddetle tavsiye ederim. (sözlü olarak, taslak üzerinde veya hesap makinesinde). Neyse ki bu kolay ve hızlı bir şekilde yapılır.

1) Bulunan cevabı ilk denklemde değiştirin:

– doğru eşitlik elde edilir.

2) Bulunan cevabı ikinci denklemde değiştirin:

– doğru eşitlik elde edilir.

Ya da daha basit bir ifadeyle “her şey bir araya geldi”

Göz önünde bulundurulan çözüm yöntemi tek çözüm değildir; ilk denklemden ifade etmek mümkündü ve değil.
Bunun tersini de yapabilirsiniz; ikinci denklemden bir şeyi ifade edebilir ve onu ilk denklemde değiştirebilirsiniz. Bu arada, dört yöntemden en dezavantajlı olanının ikinci denklemden ifade etmek olduğunu unutmayın:

Sonuç kesirler, ama neden? Daha rasyonel bir çözüm var.

Ancak bazı durumlarda kesirler olmadan hala yapamazsınız. Bu bağlamda ifadeyi NASIL yazdığıma dikkatinizi çekmek isterim. Böyle değil: ve hiçbir durumda böyle değil: .

Yüksek matematikte kesirli sayılarla ilgileniyorsanız, tüm hesaplamaları sıradan uygunsuz kesirlerle yapmaya çalışın.

Kesinlikle ve değil ya da!

Virgül yalnızca bazen kullanılabilir, özellikle de bir sorunun nihai yanıtıysa ve bu numarayla başka bir işlem yapılmasına gerek yoksa.

Pek çok okuyucu muhtemelen "düzeltme dersi için neden bu kadar ayrıntılı bir açıklama, her şey açık" diye düşünmüştür. Öyle bir şey yok, çok basit bir okul örneği gibi görünüyor, ama ÇOK önemli pek çok sonuç var! İşte burada bir başkası:

Herhangi bir görevi en akılcı şekilde tamamlamaya çalışmalısınız.. Sadece zamandan ve sinirlerden tasarruf sağladığı ve aynı zamanda hata yapma olasılığını azalttığı için.

Yüksek matematikteki bir problemde iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemiyle karşılaşırsanız, o zaman her zaman yerine koyma yöntemini kullanabilirsiniz (sistemin başka bir yöntemle çözülmesi gerektiği belirtilmediği sürece). enayi olduğunuzu ve “okul yöntemini” kullandığınız için notunuzu düşüreceğinizi düşünün "
Ayrıca bazı durumlarda daha fazla sayıda değişkenle ikame yönteminin kullanılması da tavsiye edilebilir.

Örnek 2

Üç bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulduğumuzda, belirsiz katsayılar yöntemi denilen yöntemi kullanırken sıklıkla benzer bir denklem sistemi ortaya çıkar. Söz konusu sistem tarafımdan oradan alınmıştır.

İntegrali bulurken amaç hızlı Cramer formüllerini, ters matris yöntemini vb. kullanmak yerine katsayıların değerlerini bulun. Dolayısıyla bu durumda ikame yöntemi uygundur.

Herhangi bir denklem sistemi verildiğinde, her şeyden önce onu HEMEN basitleştirmenin mümkün olup olmadığını bulmak arzu edilir. Sistemin denklemlerini incelediğimizde sistemin ikinci denkleminin 2'ye bölünebileceğini görüyoruz ve şunu yapıyoruz:

Referans: matematiksel işaret “bundan şunu çıkar” anlamına gelir ve sıklıkla problem çözmede kullanılır.

Şimdi denklemleri inceleyelim; bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Hangi denklemi seçmeliyim? Muhtemelen bu amaç için en kolay yolun sistemin ilk denklemini almak olduğunu tahmin etmişsinizdir:

Burada hangi değişken ifade edilirse edilsin, aynı kolaylıkla veya ifade edilebilir.

Daha sonra, ifadesini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız:

Parantezleri açıyoruz ve benzer terimleri sunuyoruz:

Üçüncü denklemi 2'ye bölün:

İkinci denklemden üçüncü denklemi ifade edip yerine koyuyoruz:

Bulduğumuz üçüncü denklemden hemen hemen her şey hazır:
İkinci denklemden:
İlk denklemden:

Kontrol edin: Değişkenlerin bulunan değerlerini sistemdeki her denklemin sol tarafına değiştirin:

1)
2)
3)

Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece çözüm doğru bulunur.

Örnek 3

4 bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Sistem denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) yoluyla sistemin çözülmesi

Doğrusal denklem sistemlerini çözerken, “okul yöntemini” değil, sistemin denklemlerini dönem dönem toplama (çıkarma) yöntemini kullanmaya çalışmalısınız. Neden? Bu, zamandan tasarruf sağlar ve hesaplamaları basitleştirir, ancak artık her şey daha net hale gelecektir.

Örnek 4

Bir doğrusal denklem sistemini çözün:

İlk örnekteki sistemin aynısını aldım.
Denklem sistemini analiz ettiğimizde, değişkenin katsayılarının büyüklük bakımından aynı ve işaret bakımından zıt (-1 ve 1) olduğunu fark ederiz. Böyle bir durumda denklemler terim terim eklenebilir:

Kırmızıyla daire içine alınmış eylemler ZİHİNSEL olarak gerçekleştirilir.
Gördüğünüz gibi terim terim toplama işlemi sonucunda değişkeni kaybettik. Aslında olan da bu yöntemin özü değişkenlerden birinden kurtulmaktır.

§1. Doğrusal denklem sistemleri.

Sistemi görüntüle

sistem denir M ile doğrusal denklemler N Bilinmeyen.

Burada
- Bilinmeyen, - bilinmeyenler için katsayılar,
- denklemlerin serbest terimleri.

Denklemlerin tüm serbest terimleri sıfıra eşitse sistem denir. homojen.Kararla sisteme sayıların toplamı denir
bilinmeyenler yerine bunları sisteme yerleştirdiğimizde tüm denklemler özdeşliğe dönüşür. Sistem denir eklem yeri en az bir çözümü varsa. Benzersiz bir çözüme sahip uyumlu bir sisteme denir kesin. İki sistem denir eş değer, eğer çözümlerinin kümeleri çakışıyorsa.

Sistem (1), denklem kullanılarak matris biçiminde temsil edilebilir

(2)

.

§2. Doğrusal denklem sistemlerinin uyumluluğu.

(1) sisteminin genişletilmiş matrisine matris diyelim

Kronecker-Capelli teoremi. Sistem (1), ancak ve ancak sistem matrisinin sıralamasının genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit olması durumunda tutarlıdır:

.

§3. Sistem çözümüN ile doğrusal denklemlerN Bilinmeyen.

Homojen olmayan bir sistem düşünün N ile doğrusal denklemler N Bilinmeyen:

(3)

Cramer teoremi.Sistemin temel belirleyicisi ise (3)
ise sistemin aşağıdaki formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır:

onlar.
,

Nerede - determinanttan elde edilen determinant yenisiyle değiştirme 3. sütundan serbest üyeler sütununa.

Eğer
ve en az biri ≠0 ise sistemin çözümü yoktur.

Eğer
ise sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Sistem (3), matris formu (2) kullanılarak çözülebilir. Matris sıralaması ise A eşittir N yani
, o zaman matris A tersi var
. Matris denkleminin çarpılması
matrise
solda şunu elde ederiz:

.

Son eşitlik, ters matris kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemini ifade eder.

Örnek. Ters matris kullanarak bir denklem sistemini çözün.

Çözüm. Matris
dejenere değildir, çünkü
yani ters bir matris var. Ters matrisi hesaplayalım:
.

,

Egzersiz yapmak. Sistemi Cramer yöntemini kullanarak çözün.

§4. Rastgele doğrusal denklem sistemlerinin çözümü.

Form (1)'in homojen olmayan bir doğrusal denklem sistemi verilsin.

Sistemin tutarlı olduğunu varsayalım, yani. Kronecker-Capelli teoreminin koşulu sağlanır:
. Matris sıralaması ise
(bilinmeyen sayısı) ise sistemin tek bir çözümü vardır. Eğer
ise sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Açıklamama izin ver.

Matrisin rütbesi olsun R(A)= R< N. Çünkü
, o zaman sıfır olmayan bazı küçük dereceler var R. Buna temel minör diyelim. Katsayıları bir temel minör oluşturan bilinmeyenlere temel değişkenler adı verilecektir. Geriye kalan bilinmeyenlere serbest değişkenler diyoruz. Denklemleri yeniden düzenleyelim ve değişkenleri, bu küçük sistem matrisinin sol üst köşesinde yer alacak şekilde yeniden numaralandıralım:

.

Birinci Rçizgiler doğrusal olarak bağımsızdır, geri kalanı onlar aracılığıyla ifade edilir. Bu nedenle bu çizgiler (denklemler) atılabilir. Şunu elde ederiz:

Serbest değişkenlere isteğe bağlı sayısal değerler verelim: . Sol tarafta sadece temel değişkenleri bırakıp serbest olanları sağ tarafa taşıyalım.

Sistemi aldım R ile doğrusal denklemler R Bilinmeyen, determinantı 0'dan farklı olan tek bir çözüme sahiptir.

Bu sisteme doğrusal denklem sisteminin genel çözümü denir (1). Aksi takdirde: temel değişkenlerin serbest değişkenler aracılığıyla ifadesine denir genel karar sistemler. Ondan sonsuz sayıda alabilirsiniz özel çözümler serbest değişkenlere isteğe bağlı değerler verir. Serbest değişkenlerin sıfır değerleri için genel bir çözümden elde edilen özel bir çözüme denir. temel çözüm. Farklı temel çözümlerin sayısı aşmıyor
. Negatif olmayan bileşenlere sahip temel bir çözüme denir destekleyici sistem çözümü.

Örnek.

,R=2.

Değişkenler
- temel,
- özgür.

Denklemleri toplayalım; hadi ifade edelim
başından sonuna kadar
:

- ortak karar.

- için özel çözüm
.

- temel çözüm, referans.

§5. Gauss yöntemi.

Gauss yöntemi, keyfi doğrusal denklem sistemlerini incelemek ve çözmek için evrensel bir yöntemdir. Sistemlerin denkliğini ihlal etmeyen temel dönüşümler kullanarak bilinmeyenleri sırayla ortadan kaldırarak sistemi köşegen (veya üçgen) forma indirgemekten oluşur. Bir değişken sistemin katsayısı 1 olan tek bir denklemde yer alıyorsa hariç tutulmuş sayılır.

Temel dönüşümler sistemler şunlardır:

Bir denklemin sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;

Herhangi bir sayıyla çarpılan bir denklemin başka bir denklemle toplanması;

Denklemlerin yeniden düzenlenmesi;

0 = 0 denkleminin reddedilmesi.

Temel dönüşümler denklemler üzerinde değil, elde edilen eşdeğer sistemlerin genişletilmiş matrisleri üzerinde gerçekleştirilebilir.

Örnek.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım:

.

Temel dönüşümleri gerçekleştirerek matrisin sol tarafını birim forma indirgeyeceğiz: ana köşegende birler ve onun dışında sıfırlar oluşturacağız.

Yorum. Temel dönüşümler gerçekleştirilirken 0 formunda bir denklem elde edilirse = k(Nerede İle0), o zaman sistem tutarsızdır.

Doğrusal denklem sistemlerinin bilinmeyenlerin sıralı eliminasyonu yöntemiyle çözümü şu şekilde yazılabilir: tablolar.

Tablonun sol sütunu, hariç tutulan (temel) değişkenler hakkında bilgi içerir. Geriye kalan sütunlar bilinmeyenlerin katsayılarını ve denklemlerin serbest terimlerini içerir.

Sistemin genişletilmiş matrisi kaynak tabloya kaydedilir. Daha sonra Jordan dönüşümlerini gerçekleştirmeye başlıyoruz:

1. Bir değişken seçin , bu temel olacak. İlgili sütuna anahtar sütun adı verilir. Bu değişkenin diğer denklemlerin dışında tutulacağı bir denklem seçin. Karşılık gelen tablo satırına anahtar satır adı verilir. Katsayı Bir anahtar satırı ile bir anahtar sütunun kesiştiği noktada durana anahtar denir.

2. Anahtar dizi elemanları anahtar elemana bölünmüştür.

3. Anahtar sütunu sıfırlarla doldurulur.

4. Kalan elemanlar dikdörtgen kuralı kullanılarak hesaplanır. Karşıt köşelerinde bir anahtar öğenin ve yeniden hesaplanmış bir öğenin bulunduğu bir dikdörtgen oluşturun; Dikdörtgenin köşegeninde bulunan elemanların anahtar elemanla çarpımından diğer köşegenin elemanlarının çarpımı çıkarılır ve elde edilen fark anahtar elemana bölünür.

Örnek. Denklem sisteminin genel çözümünü ve temel çözümünü bulun:

Çözüm.

Sistemin genel çözümü:

Temel çözüm:
.

Tek bir ikame dönüşümü, sistemin bir tabanından diğerine geçmenize olanak tanır: ana değişkenlerden biri yerine serbest değişkenlerden biri temele dahil edilir. Bunu yapmak için serbest değişken sütununda bir anahtar öğe seçin ve yukarıdaki algoritmaya göre dönüşümler gerçekleştirin.

§6. Destek çözümleri bulma

Bir doğrusal denklem sisteminin referans çözümü, negatif bileşenler içermeyen temel bir çözümdür.

Sistemin referans çözümleri aşağıdaki koşullar sağlandığında Gauss yöntemiyle bulunur.

1. Orijinal sistemde tüm serbest terimler negatif olmamalıdır:
.

2. Anahtar eleman pozitif katsayılar arasından seçilir.

3. Tabana dahil edilen bir değişkenin birkaç pozitif katsayısı varsa, o zaman anahtar çizgi, serbest terimin pozitif katsayıya oranının en küçük olduğu çizgidir.

Not 1. Bilinmeyenleri ortadan kaldırma sürecinde, tüm katsayıların pozitif olmadığı ve serbest terimin olduğu bir denklem ortaya çıkarsa
ise sistemin negatif olmayan çözümü yoktur.

Not 2. Serbest değişkenlere ilişkin katsayı sütunlarında tek bir pozitif öğe yoksa başka bir referans çözüme geçiş mümkün değildir.

Örnek.