Góc giữa các vectơ là bao nhiêu? Tích vô hướng của vectơ

Góc giữa hai vectơ , :

Nếu góc giữa hai vectơ là nhọn thì tích vô hướng của chúng là dương; nếu góc giữa các vectơ là tù thì tích vô hướng của các vectơ này là âm. Tích vô hướng của hai vectơ khác 0 bằng 0 khi và chỉ khi các vectơ này trực giao.

Bài tập. Tìm góc giữa các vectơ và

Giải pháp. Cosin của góc mong muốn

16. Tính góc giữa đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cắt đường thẳng này và không vuông góc với nó, là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng này.

Việc xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng cho phép ta kết luận rằng góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau: đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó. Vì vậy, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn.

Góc giữa đường thẳng vuông góc và mặt phẳng được coi là bằng , còn góc giữa đường thẳng song song và mặt phẳng không xác định được hoặc được coi là bằng .

§ 69. Tính góc giữa các đường thẳng.

Bài toán tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian được giải tương tự như trên mặt phẳng (§ 32). Chúng ta hãy biểu thị bằng φ độ lớn của góc giữa hai đường thẳng tôi 1 và tôi 2, và qua ψ - độ lớn của góc giữa các vectơ chỉ phương MỘT Và b những đường thẳng này

Sau đó nếu

ψ 90° (Hình 206.6), thì φ = 180° - ψ. Hiển nhiên, trong cả hai trường hợp đẳng thức cos φ = |cos ψ| đều đúng. Theo công thức (1) § 20 ta có

kể từ đây,

Giả sử các đường thẳng được cho bởi phương trình chính tắc của chúng

Khi đó góc φ giữa các đường thẳng được xác định bằng công thức

Nếu một trong các đường thẳng (hoặc cả hai) được cho bởi các phương trình không chính tắc, thì để tính góc bạn cần tìm tọa độ các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này, sau đó sử dụng công thức (1).

17. Đường thẳng song song, Định lý về đường thẳng song song

Sự định nghĩa. Hai đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là song song, nếu chúng không có điểm chung.

Hai đường thẳng trong không gian ba chiều được gọi là song song, nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

Góc giữa hai vectơ.

Từ định nghĩa của sản phẩm chấm:

Điều kiện trực giao của hai vectơ:

Điều kiện cộng tuyến của hai vectơ:

Suy ra từ Định nghĩa 5 - . Thật vậy, từ định nghĩa tích của một vectơ và một số, nó suy ra như sau. Do đó, dựa vào quy luật đẳng thức của các vectơ ta viết , , , từ đó suy ra . Nhưng vectơ thu được từ việc nhân vectơ với số thì thẳng hàng với vectơ.

Chiếu vectơ lên vectơ:

Ví dụ 4. Cho điểm , , , .

Tìm tích chấm.

Giải pháp. chúng tôi tìm thấy bằng cách sử dụng công thức tính tích vô hướng của các vectơ được chỉ định bởi tọa độ của chúng. Bởi vì

, ,

Ví dụ 5. Cho điểm , , , .

Tìm hình chiếu.

Giải pháp. Bởi vì

, ,

Dựa vào công thức chiếu, ta có

Ví dụ 6. Cho điểm , , , .

Tìm góc giữa các vectơ và .

Giải pháp. Lưu ý rằng các vectơ

, ,

không thẳng hàng vì tọa độ của chúng không tỷ lệ:

Các vectơ này cũng không vuông góc vì tích vô hướng của chúng là .

Hãy tìm

Góc chúng ta tìm thấy từ công thức:

Ví dụ 7. Xác định tại vectơ nào và thẳng hàng.

Giải pháp. Trong trường hợp cộng tuyến thì tọa độ tương ứng của các vectơ và phải tỷ lệ thuận, đó là:

Do đó và.

Ví dụ 8. Xác định giá trị của vectơ Và vuông góc.

Giải pháp. Vectơ và vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Từ điều kiện này ta có: . Đó là, .

Ví dụ 9. Tìm thấy , Nếu như , , .

Giải pháp. Do tính chất của tích vô hướng, ta có:

Ví dụ 10. Tìm góc giữa các vectơ và , ở đâu và - vectơ đơn vị và góc giữa các vectơ và bằng 120°.

Giải pháp. Chúng ta có: , ,

Cuối cùng chúng ta có: .

5 B. tác phẩm nghệ thuật vector.

Định nghĩa 21.tác phẩm nghệ thuật vector vectơ theo vectơ được gọi là vectơ hoặc được xác định bởi ba điều kiện sau:

1) Mô đun của vectơ bằng , trong đó là góc giữa vectơ và , tức là. .

Theo đó, mô đun của tích vectơ bằng diện tích của hình bình hành được xây dựng trên vectơ và cả hai cạnh.

2) Vectơ vuông góc với từng vectơ và ( ; ), tức là vuông góc với mặt phẳng của hình bình hành dựng trên các vectơ và .

3) Vectơ được định hướng sao cho nếu nhìn từ đầu của nó, quãng đường ngắn nhất từ vectơ này sang vectơ khác sẽ ngược chiều kim đồng hồ (các vectơ , , tạo thành bộ ba thuận tay phải).

Làm thế nào để tính góc giữa các vectơ?

Khi nghiên cứu hình học, có rất nhiều câu hỏi xoay quanh chủ đề vectơ. Học sinh gặp khó khăn đặc biệt khi cần tìm góc giữa các vectơ.

Thuật ngữ cơ bản

Trước khi xét góc giữa các vectơ, cần làm quen với định nghĩa vectơ và khái niệm góc giữa các vectơ.

Vectơ là một đoạn có hướng, nghĩa là đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được xác định.

Góc giữa hai vectơ trên một mặt phẳng có gốc tọa độ chung là góc nhỏ hơn lượng mà một trong các vectơ cần phải di chuyển xung quanh điểm chung cho đến khi hướng của chúng trùng nhau.

Công thức giải

Khi bạn hiểu vectơ là gì và cách xác định góc của nó, bạn có thể tính góc giữa các vectơ. Công thức giải cho vấn đề này khá đơn giản và kết quả của việc áp dụng nó sẽ là giá trị cosin của góc. Theo định nghĩa, nó bằng thương của tích vô hướng của vectơ và tích độ dài của chúng.

Tích vô hướng của các vectơ được tính bằng tổng tọa độ tương ứng của các vectơ nhân tố nhân với nhau. Độ dài của một vectơ, hoặc mô đun của nó, được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương tọa độ của nó.

Sau khi nhận được giá trị cosin của góc, bạn có thể tính giá trị của góc đó bằng máy tính hoặc sử dụng bảng lượng giác.

Ví dụ

Khi bạn đã tìm ra cách tính góc giữa các vectơ, việc giải bài toán tương ứng sẽ trở nên đơn giản và rõ ràng. Ví dụ, cần xem xét bài toán đơn giản là tìm giá trị của một góc.

Trước hết, sẽ thuận tiện hơn khi tính các giá trị của độ dài vectơ và tích vô hướng của chúng cần thiết cho lời giải. Sử dụng mô tả được trình bày ở trên, chúng tôi nhận được:

Thay thế các giá trị thu được vào công thức, chúng ta tính giá trị cosin của góc mong muốn:

Số này không phải là một trong năm giá trị cosin thông thường, vì vậy để tính được góc, bạn sẽ phải sử dụng máy tính hoặc bảng lượng giác Bradis. Nhưng trước khi tính góc giữa các vectơ, công thức có thể được đơn giản hóa để loại bỏ dấu âm thừa:

Để duy trì độ chính xác, đáp án cuối cùng có thể được giữ nguyên hoặc bạn có thể tính giá trị của góc theo độ. Theo bảng Bradis, giá trị của nó sẽ xấp xỉ 116 độ 70 phút và máy tính sẽ hiển thị giá trị 116,57 độ.

Tính góc trong không gian n chiều

Khi xem xét hai vectơ trong không gian ba chiều, sẽ khó hiểu hơn nhiều khi chúng ta đang nói đến góc nào nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng. Để đơn giản hóa nhận thức, bạn có thể vẽ hai đoạn giao nhau tạo thành góc nhỏ nhất giữa chúng; đây sẽ là đoạn mong muốn. Mặc dù có tọa độ thứ ba trong vectơ, quá trình tính góc giữa các vectơ sẽ không thay đổi. Tính tích vô hướng và mô đun của các vectơ; cung cosin thương của chúng sẽ là câu trả lời cho vấn đề này.

Trong hình học, thường có các bài toán về không gian có nhiều hơn ba chiều. Nhưng đối với họ, thuật toán tìm câu trả lời có vẻ tương tự nhau.

Sự khác biệt giữa 0 và 180 độ

Một trong những sai lầm phổ biến khi viết đáp án cho một bài toán tính góc giữa các vectơ là quyết định viết rằng các vectơ song song, tức là góc mong muốn bằng 0 hoặc 180 độ. Câu trả lời này không chính xác.

Nhận được giá trị góc 0 độ do lời giải, câu trả lời đúng sẽ là chỉ định các vectơ là cùng hướng, nghĩa là các vectơ sẽ có cùng hướng. Nếu đạt được 180 độ thì các vectơ sẽ có hướng ngược nhau.

Các vectơ cụ thể

Sau khi tìm thấy các góc giữa các vectơ, bạn có thể tìm thấy một trong các loại đặc biệt, ngoài các loại cùng hướng và ngược hướng được mô tả ở trên.

Một số vectơ song song với một mặt phẳng được gọi là đồng phẳng.
Các vectơ có cùng độ dài và hướng được gọi là bằng nhau.
Các vectơ cùng nằm trên một đường thẳng, không kể hướng thì gọi là các vectơ thẳng hàng.
Nếu độ dài của vectơ bằng 0, nghĩa là điểm đầu và cuối của nó trùng nhau thì nó được gọi là 0, và nếu bằng 1 thì là đơn vị.

Làm thế nào để tìm góc giữa các vectơ?

làm ơn giúp tôi với! Mình biết công thức nhưng không tính được ((
vectơ a (8; 10; 4) vectơ b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Góc giữa các vectơ được chỉ định bởi tọa độ của chúng được tìm thấy bằng thuật toán tiêu chuẩn. Đầu tiên bạn cần tìm tích vô hướng của vectơ a và b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Chúng tôi thay thế tọa độ của các vectơ này ở đây và tính toán:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Tiếp theo, chúng tôi xác định độ dài của mỗi vectơ. Độ dài hoặc mô đun của một vectơ là căn bậc hai của tổng bình phương tọa độ của nó:
|a| = căn của (x1^2 + y1^2 + z1^2) = căn của (8^2 + 10^2 + 4^2) = căn của (64 + 100 + 16) = căn của 180 = 6 căn của 5
|b| = căn của (x2^2 + y2^2 + z2^2) = căn của (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = căn của (25 + 400 + 100) = căn của (25 + 400 + 100) = căn của 525 = 5 căn của 21.
Chúng tôi nhân các độ dài này. Chúng tôi nhận được 30 rễ trong số 105.
Và cuối cùng, chúng ta chia tích vô hướng của vectơ cho tích độ dài của các vectơ này. Chúng ta nhận được -200/(30 căn của 105) hoặc
- (4 căn của 105) / 63. Đây là cosin của góc giữa các vectơ. Và bản thân góc đó bằng cung cosin của số này
f = arccos(-4 căn bậc 105) / 63.
Nếu tôi đếm mọi thứ một cách chính xác.

Cách tính sin góc giữa các vectơ bằng tọa độ của vectơ

Mikhail Tkachev

Hãy nhân các vectơ này. Tích vô hướng của chúng bằng tích độ dài của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng.
Chúng ta không biết góc nhưng tọa độ thì biết.
Hãy viết nó ra một cách toán học như thế này.
Cho các vectơ a(x1;y1) và b(x2;y2)
Sau đó

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Hãy nói chuyện.
a*b-tích vô hướng của các vectơ bằng tổng các tích của tọa độ tương ứng với tọa độ của các vectơ này, tức là bằng x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-tích của độ dài vectơ bằng √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Điều này có nghĩa là cosin của góc giữa các vectơ bằng:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Biết cosin của một góc, chúng ta có thể tính được sin của nó. Hãy thảo luận về cách thực hiện việc này:

Nếu cosin của một góc là dương thì góc này nằm trong 1 hoặc 4 góc phần tư, nghĩa là sin của nó là dương hoặc âm. Nhưng vì góc giữa các vectơ nhỏ hơn hoặc bằng 180 độ nên sin của nó là dương. Chúng ta suy luận tương tự nếu cosin âm.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Thế đấy)))) chúc may mắn tìm ra nó)))

Dmitry Levishchev

Việc không thể tính sin trực tiếp là không đúng.
Ngoài công thức:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Ngoài ra còn có cái này:
||=|a|*|b|*sin A
Nghĩa là, thay vì tích vô hướng, bạn có thể lấy mô-đun của tích vectơ.

Tích vô hướng của vectơ

Chúng ta tiếp tục giải quyết các vectơ. Ở buổi học đầu tiên Vector cho người giả Chúng ta đã xem xét khái niệm về vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ và các vấn đề đơn giản nhất với vectơ. Nếu bạn đến trang này lần đầu tiên từ một công cụ tìm kiếm, tôi thực sự khuyên bạn nên đọc bài viết giới thiệu ở trên, vì để nắm vững tài liệu, bạn cần làm quen với các thuật ngữ và ký hiệu tôi sử dụng, có kiến thức cơ bản về vectơ và có khả năng giải quyết các vấn đề cơ bản. Bài học này là sự tiếp nối hợp lý của chủ đề và trong đó tôi sẽ phân tích chi tiết các nhiệm vụ điển hình sử dụng tích vô hướng của vectơ. Đây là một hoạt động RẤT QUAN TRỌNG.. Cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ; chúng đi kèm với một phần thưởng hữu ích - thực hành sẽ giúp bạn củng cố tài liệu bạn đã học và giải quyết các vấn đề phổ biến trong hình học giải tích tốt hơn.

Cộng vectơ, nhân vectơ với một số.... Sẽ là ngây thơ nếu nghĩ rằng các nhà toán học chưa nghĩ ra được điều gì khác. Ngoài các hành động đã được thảo luận, còn có một số thao tác khác với vectơ, cụ thể là: tích số chấm của vectơ, tích vector của vectơ Và tích hỗn hợp của vectơ. Tích vô hướng của vectơ đã quen thuộc với chúng ta từ thời đi học; hai tích còn lại thường thuộc về môn toán cao cấp. Các chủ đề rất đơn giản, thuật toán giải quyết nhiều vấn đề rất đơn giản và dễ hiểu. Điều duy nhất. Có một lượng thông tin khá lớn, vì vậy việc cố gắng nắm vững và giải quyết MỌI THỨ MỘT LÚC là điều không mong muốn. Điều này đặc biệt đúng đối với những người ngu ngốc; tin tôi đi, tác giả hoàn toàn không muốn cảm thấy giống Chikatilo trong toán học. Tất nhiên, cũng không phải từ toán học =) Những học sinh chuẩn bị kỹ hơn có thể sử dụng tài liệu một cách có chọn lọc, theo một nghĩa nào đó, “lấy” được những kiến thức còn thiếu; đối với bạn tôi sẽ là Bá tước Dracula vô hại =)

Cuối cùng chúng ta hãy mở cửa và nhiệt tình xem điều gì sẽ xảy ra khi hai vectơ gặp nhau...

Định nghĩa tích vô hướng của vectơ.
Tính chất của tích vô hướng. Nhiệm vụ điển hình

Khái niệm về sản phẩm chấm

Đầu tiên về góc giữa các vectơ. Tôi nghĩ mọi người đều hiểu bằng trực giác góc giữa các vectơ là gì, nhưng để đề phòng, hãy chi tiết hơn một chút. Hãy xem xét các vectơ khác 0 miễn phí và . Nếu bạn vẽ các vectơ này từ một điểm tùy ý, bạn sẽ có được một bức tranh mà nhiều người đã tưởng tượng trong đầu:

Tôi thừa nhận, ở đây tôi chỉ mô tả tình huống ở mức độ hiểu biết. Nếu bạn cần một định nghĩa chặt chẽ về góc giữa các vectơ, vui lòng tham khảo sách giáo khoa; về nguyên tắc, đối với các vấn đề thực tế, nó không có ích gì cho chúng tôi. Ngoài ra TẠI ĐÂY VÀ TẠI ĐÂY tôi sẽ bỏ qua các vectơ 0 ở những nơi do chúng có ý nghĩa thực tế thấp. Tôi đã dành riêng cho những khách truy cập trang web nâng cao, những người có thể khiển trách tôi về sự không đầy đủ về mặt lý thuyết của một số tuyên bố tiếp theo.

có thể lấy các giá trị từ 0 đến 180 độ (0 đến radian), bao gồm cả giá trị này. Về mặt phân tích, thực tế này được viết dưới dạng bất đẳng thức kép:

hoặc

(tính bằng radian).

Trong văn học, ký hiệu góc thường bị bỏ qua và viết đơn giản.

Sự định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ là SỐ bằng tích độ dài của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng:

Bây giờ đây là một định nghĩa khá nghiêm ngặt.

Chúng tôi tập trung vào thông tin cần thiết:

Chỉ định: tích vô hướng được ký hiệu bằng hoặc đơn giản.

Kết quả của thao tác là SỐ: Vector được nhân với vector và kết quả là một số. Thật vậy, nếu độ dài của vectơ là số thì cosin của một góc là số thì tích của chúng cũng sẽ là một con số.

Chỉ là một vài ví dụ khởi động:

ví dụ 1

Giải pháp: Chúng tôi sử dụng công thức . Trong trường hợp này:

Trả lời:

Giá trị cosine có thể được tìm thấy trong bảng lượng giác. Tôi khuyên bạn nên in nó ra - nó sẽ cần thiết ở hầu hết các phần của tòa tháp và sẽ cần thiết nhiều lần.

Từ quan điểm toán học thuần túy, tích vô hướng là không thứ nguyên, nghĩa là kết quả, trong trường hợp này, chỉ là một con số và thế là xong. Từ quan điểm của các bài toán vật lý, tích vô hướng luôn có một ý nghĩa vật lý nhất định, tức là sau kết quả phải chỉ ra một đơn vị vật lý nào đó. Một ví dụ kinh điển về tính công của lực có thể được tìm thấy trong bất kỳ sách giáo khoa nào (công thức chính xác là tích vô hướng). Công của một lực được đo bằng Joules nên đáp án sẽ được viết khá cụ thể, ví dụ: .

Ví dụ 2

Tìm nếu , và góc giữa các vectơ bằng .

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, đáp án ở cuối bài.

Góc giữa vectơ và giá trị tích số chấm

Trong Ví dụ 1, tích vô hướng hóa ra là dương và trong Ví dụ 2, nó hóa ra là âm. Chúng ta hãy tìm hiểu dấu của tích vô hướng phụ thuộc vào điều gì. Hãy nhìn vào công thức của chúng tôi: . Độ dài của vectơ khác 0 luôn dương: , do đó dấu chỉ có thể phụ thuộc vào giá trị của cosin.

Ghi chú: Để hiểu rõ hơn về thông tin dưới đây, tốt hơn hết bạn nên nghiên cứu biểu đồ cosin trong sách hướng dẫn Đồ thị hàm số và thuộc tính. Xem cách cosin hoạt động trên đoạn này.

Như đã lưu ý, góc giữa các vectơ có thể thay đổi trong , có thể xảy ra các trường hợp sau:

1) Nếu góc giữa các vectơ cay: (từ 0 đến 90 độ), sau đó , Và tích số chấm sẽ dương đồng đạo diễn, thì góc giữa chúng được coi là bằng 0 và tích vô hướng cũng sẽ dương. Vì , công thức đơn giản hóa: .

2) Nếu góc giữa các vectơ cùn: (từ 90 đến 180 độ), sau đó , và tương ứng, tích chấm là âm: . Trường hợp đặc biệt: nếu vectơ hướng ngược nhau, khi đó góc giữa chúng được coi là mở rộng: (180 độ). Tích vô hướng cũng âm, vì

Các phát biểu ngược lại cũng đúng:

1) Nếu , thì góc giữa các vectơ này là nhọn. Ngoài ra, các vectơ là đồng hướng.

2) Nếu , thì góc giữa các vectơ này là tù. Ngoài ra, các vectơ có hướng ngược nhau.

Nhưng trường hợp thứ ba được đặc biệt quan tâm:

3) Nếu góc giữa các vectơ thẳng: (90 độ), thì tích vô hướng bằng 0: . Điều ngược lại cũng đúng: nếu , thì . Tuyên bố có thể được xây dựng ngắn gọn như sau: Tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 khi và chỉ khi các vectơ trực giao. Ký hiệu toán học ngắn gọn:

! Ghi chú : Hãy lặp lại cơ bản của logic toán học: Biểu tượng hệ quả logic hai mặt thường được đọc là "nếu và chỉ nếu", "nếu và chỉ nếu". Như bạn có thể thấy, các mũi tên hướng theo cả hai hướng - “từ đây theo sau, và ngược lại - từ đó theo sau”. Nhân tiện, sự khác biệt so với biểu tượng theo dõi một chiều là gì? Biểu tượng nêu rõ chỉ thế thôi, rằng “từ cái này đến cái kia”, và thực tế không phải điều ngược lại mới đúng. Ví dụ: , nhưng không phải con vật nào cũng là con báo nên trong trường hợp này bạn không thể sử dụng biểu tượng. Đồng thời, thay vì biểu tượng Có thể sử dụng biểu tượng một mặt. Ví dụ, trong khi giải bài toán, chúng tôi phát hiện ra rằng chúng tôi đã kết luận rằng các vectơ là trực giao: - một mục như vậy sẽ chính xác và thậm chí còn phù hợp hơn .

Trường hợp thứ ba có ý nghĩa thực tiễn lớn, vì nó cho phép bạn kiểm tra xem vectơ có trực giao hay không. Chúng ta sẽ giải quyết vấn đề này trong phần thứ hai của bài học.

Thuộc tính của sản phẩm chấm

Hãy quay lại trường hợp hai vectơ đồng đạo diễn. Trong trường hợp này, góc giữa chúng bằng 0, và công thức tích vô hướng có dạng: .

Điều gì xảy ra nếu một vectơ được nhân với chính nó? Rõ ràng là vectơ thẳng hàng với chính nó nên chúng ta sử dụng công thức đơn giản hóa ở trên:

Số đó được gọi là bình phương vô hướng vectơ và được ký hiệu là .

Như vậy, bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đã cho:

Từ đẳng thức này, chúng ta có thể thu được công thức tính độ dài của vectơ:

Cho đến nay điều đó có vẻ chưa rõ ràng, nhưng mục tiêu của bài học sẽ đặt mọi thứ vào đúng vị trí của nó. Để giải quyết vấn đề chúng ta cũng cần tính chất của tích số chấm.

Đối với các vectơ tùy ý và bất kỳ số nào, các thuộc tính sau là đúng:

1) – giao hoán hoặc giao hoán luật tích vô hướng.

2) – phân phối hoặc phân phối luật tích vô hướng. Đơn giản, bạn có thể mở dấu ngoặc.

3) - kết hợp hoặc liên tưởng luật tích vô hướng. Hằng số có thể được suy ra từ tích vô hướng.

Thông thường, tất cả các loại tính chất (cũng cần phải được chứng minh!) đều bị học sinh coi là rác rưởi không cần thiết, chỉ cần ghi nhớ và quên đi ngay sau kỳ thi. Có vẻ như điều quan trọng ở đây là từ lớp 1 ai cũng đã biết rằng việc sắp xếp lại các thừa số không làm thay đổi tích: . Tôi phải cảnh báo bạn rằng trong toán học cao hơn, mọi thứ rất dễ bị rối tung với cách tiếp cận như vậy. Vì vậy, ví dụ, tính chất giao hoán không đúng với ma trận đại số. Nó cũng không đúng đối với tích vector của vectơ. Vì vậy, ở mức tối thiểu, tốt hơn là bạn nên đi sâu vào bất kỳ tính chất nào mà bạn gặp trong một khóa học toán cao hơn để hiểu những gì bạn có thể làm và những gì bạn không thể làm.

Ví dụ 3

Giải pháp:Đầu tiên, hãy làm rõ tình huống với vectơ. Dù sao thì đây là gì? Tổng các vectơ là một vectơ được xác định rõ, được ký hiệu là . Có thể tìm thấy cách giải thích hình học của các hành động với vectơ trong bài viết Vector cho người giả. Cùng một mùi tây với một vectơ là tổng của các vectơ và .

Vì vậy, theo điều kiện cần tìm tích vô hướng. Về lý thuyết, bạn cần áp dụng công thức làm việc , nhưng vấn đề là chúng ta không biết độ dài của vectơ và góc giữa chúng. Nhưng điều kiện đưa ra các tham số tương tự cho vectơ, vì vậy chúng ta sẽ thực hiện một lộ trình khác:

(1) Thay thế biểu thức của vectơ.

(2) Chúng ta mở ngoặc theo quy tắc nhân đa thức, có thể tìm thấy một câu nói tục tĩu trong bài viết Số phức hoặc Tích phân một hàm số hữu tỷ. Tôi sẽ không lặp lại nữa =) Nhân tiện, tính chất phân phối của tích vô hướng cho phép chúng ta mở ngoặc. Chúng tôi có quyền.

(3) Trong số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng, chúng ta viết gọn bình phương vô hướng của các vectơ: . Trong thuật ngữ thứ hai, chúng tôi sử dụng tính giao hoán của tích vô hướng: .

(4) Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự: .

(5) Trong thuật ngữ đầu tiên, chúng tôi sử dụng công thức bình phương vô hướng, đã được đề cập cách đây không lâu. Theo đó, trong thuật ngữ cuối cùng, điều tương tự cũng xảy ra: . Chúng tôi mở rộng số hạng thứ hai theo công thức tiêu chuẩn .

(6) Thay thế các điều kiện này , và thực hiện các tính toán cuối cùng một cách CẨN THẬN.

Trả lời:

Giá trị âm của tích vô hướng cho biết thực tế rằng góc giữa các vectơ là tù.

Vấn đề là điển hình, đây là một ví dụ để tự giải quyết:

Ví dụ 4

Tìm tích vô hướng của vectơ và nếu biết rằng .

Bây giờ là một nhiệm vụ phổ biến khác, chỉ dành cho công thức mới tính độ dài của vectơ. Ký hiệu ở đây sẽ hơi chồng chéo một chút, vì vậy để rõ ràng, tôi sẽ viết lại nó bằng một chữ cái khác:

Ví dụ 5

Tìm độ dài của vectơ nếu .

Giải pháp sẽ như sau:

(1) Chúng tôi cung cấp biểu thức cho vectơ .

(2) Chúng ta sử dụng công thức độ dài: , và toàn bộ biểu thức ve đóng vai trò là vectơ “ve”.

(3) Chúng tôi sử dụng công thức trường học để tính bình phương của tổng. Hãy chú ý cách nó hoạt động ở đây một cách kỳ lạ: – trên thực tế, nó là bình phương của hiệu, và trên thực tế, nó là như vậy. Những ai muốn có thể sắp xếp lại các vectơ: - điều tương tự cũng xảy ra cho đến việc sắp xếp lại các số hạng.

(4) Những gì sau đây đã quen thuộc với hai bài toán trước.

Trả lời:

Vì chúng ta đang nói về chiều dài, đừng quên chỉ ra thứ nguyên - “đơn vị”.

Ví dụ 6

Tìm độ dài của vectơ nếu .

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Chúng tôi tiếp tục thu thập những thứ hữu ích từ sản phẩm chấm. Hãy nhìn lại công thức của chúng tôi một lần nữa . Sử dụng quy tắc tỷ lệ, chúng ta đặt lại độ dài của vectơ về mẫu số ở phía bên trái:

Hãy trao đổi các phần:

Ý nghĩa của công thức này là gì? Nếu biết độ dài của hai vectơ và tích vô hướng của chúng, thì chúng ta có thể tính cosin của góc giữa các vectơ này và do đó, chính góc đó.

Tích số chấm có phải là một số không? Con số. Độ dài vectơ có phải là số không? Những con số. Điều này có nghĩa là một phân số cũng là một số. Và nếu biết cosin của góc: , khi đó sử dụng hàm nghịch đảo sẽ dễ dàng tìm được góc đó: .

Ví dụ 7

Tìm góc giữa các vectơ và nếu biết điều đó .

Giải pháp: Chúng tôi sử dụng công thức:

Ở giai đoạn tính toán cuối cùng, một kỹ thuật kỹ thuật đã được sử dụng - loại bỏ sự bất hợp lý ở mẫu số. Để loại bỏ sự bất hợp lý, tôi nhân tử số và mẫu số với .

Do đó, nếu , Cái đó:

Giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo có thể tìm được bằng cách bảng lượng giác. Mặc dù điều này hiếm khi xảy ra. Trong các bài toán hình học giải tích, thường có một số vấn đề vụng về như , và giá trị của góc phải được tìm gần đúng bằng máy tính. Trên thực tế, chúng ta sẽ thấy một hình ảnh như vậy nhiều lần.

Trả lời:

Một lần nữa, đừng quên chỉ ra kích thước - radian và độ. Cá nhân tôi, để “giải quyết tất cả các câu hỏi” một cách rõ ràng, tôi thích chỉ ra cả hai (tất nhiên trừ khi điều kiện yêu cầu chỉ trình bày câu trả lời bằng radian hoặc chỉ tính bằng độ).

Bây giờ bạn có thể độc lập đối phó với một nhiệm vụ phức tạp hơn:

Ví dụ 7*

Cho trước độ dài của vectơ và góc giữa chúng. Tìm góc giữa các vectơ , .

Nhiệm vụ này không quá khó vì nó có nhiều bước.
Hãy xem thuật toán giải pháp:

1) Theo điều kiện cần tìm góc giữa hai vectơ và , do đó cần sử dụng công thức .

2) Tìm tích vô hướng (xem Ví dụ số 3, 4).

3) Tìm độ dài của vectơ và độ dài của vectơ (xem Ví dụ số 5, 6).

4) Kết thúc của lời giải trùng với Ví dụ số 7 - Ta biết số , nghĩa là dễ dàng tìm được góc:

Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài.

Phần thứ hai của bài học được dành cho tích vô hướng tương tự. Tọa độ. Nó sẽ còn dễ dàng hơn trong phần đầu tiên.

Tích vô hướng của vectơ,
được cho bởi tọa độ trên cơ sở trực giao

Trả lời:

Không cần phải nói, việc xử lý tọa độ dễ chịu hơn nhiều.

Ví dụ 14

Tìm tích vô hướng của vectơ và nếu

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Ở đây bạn có thể sử dụng tính kết hợp của phép toán, nghĩa là không tính mà ngay lập tức lấy bội ba bên ngoài tích vô hướng và nhân nó với nó lần cuối. Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Ở cuối phần này, một ví dụ thú vị về cách tính độ dài của vectơ:

Ví dụ 15

Tìm độ dài của vectơ , Nếu như

Giải pháp: Phương pháp của phần trước lại tự gợi ý: nhưng có một cách khác:

Hãy tìm vectơ:

Và chiều dài của nó theo công thức tầm thường :

Tích số chấm không liên quan gì ở đây cả!

Nó cũng không hữu ích khi tính độ dài của vectơ:
Dừng lại. Chúng ta có nên tận dụng tính chất hiển nhiên của độ dài vectơ không? Bạn có thể nói gì về độ dài của vectơ? Vectơ này dài hơn vectơ 5 lần. Hướng ngược lại, nhưng điều này không quan trọng, bởi vì chúng ta đang nói về chiều dài. Rõ ràng độ dài của vectơ bằng tích mô-đun số trên mỗi chiều dài vectơ:
– dấu mô đun “ăn” số âm có thể có của số đó.

Như vậy:

Trả lời:

Công thức cosin của góc giữa các vectơ được xác định bằng tọa độ

Bây giờ chúng ta đã có thông tin đầy đủ để sử dụng công thức dẫn xuất trước đó cho cosin của góc giữa các vectơ thể hiện qua tọa độ vectơ:

Cosin của góc giữa các vectơ phẳng và , được xác định trên cơ sở trực chuẩn, được thể hiện bằng công thức:
.

Cosin của góc giữa các vectơ không gian, được xác định trên cơ sở trực chuẩn, được thể hiện bằng công thức:

Ví dụ 16

Cho ba đỉnh của một tam giác. Tìm (góc đỉnh).

Giải pháp: Theo điều kiện thì không bắt buộc phải vẽ nhưng vẫn:

Góc yêu cầu được đánh dấu bằng một vòng cung màu xanh lá cây. Chúng ta hãy nhớ ngay tên trường của một góc: – đặc biệt chú ý đến trung bình chữ cái - đây là đỉnh của góc chúng ta cần. Để ngắn gọn, bạn cũng có thể viết đơn giản .

Từ hình vẽ, có thể thấy rõ rằng góc của tam giác trùng với góc giữa các vectơ và nói cách khác: .

Đó là khuyến khích để học cách thực hiện phân tích về mặt tinh thần.

Hãy tìm các vectơ:

Hãy tính tích vô hướng:

Và độ dài của vectơ:

Cosin của góc:

Đây chính xác là thứ tự hoàn thành nhiệm vụ mà tôi đề xuất cho những người mới bắt đầu. Những độc giả nâng cao hơn có thể viết các phép tính “trong một dòng”:

Đây là một ví dụ về giá trị cosin “xấu”. Giá trị kết quả không phải là giá trị cuối cùng, do đó việc loại bỏ tính vô tỷ ở mẫu số chẳng có ý nghĩa gì.

Hãy tìm góc đó:

Nếu bạn nhìn vào bản vẽ, kết quả khá hợp lý. Để kiểm tra, góc cũng có thể được đo bằng thước đo góc. Đừng làm hỏng vỏ màn hình =)

Trả lời:

Trong câu trả lời chúng ta đừng quên rằng hỏi về góc của tam giác(và không nói về góc giữa các vectơ), đừng quên chỉ ra câu trả lời chính xác: và giá trị gần đúng của góc: , được tìm thấy bằng máy tính.

Những người thích thú với quá trình này có thể tính toán các góc và xác minh tính hợp lệ của đẳng thức kinh điển

Ví dụ 17

Một tam giác được xác định trong không gian bởi tọa độ các đỉnh của nó. Tìm góc giữa hai cạnh và

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài

Phần cuối cùng ngắn sẽ được dành cho các phép chiếu, cũng liên quan đến tích vô hướng:

Chiếu một vectơ lên một vectơ. Chiếu một vectơ lên các trục tọa độ.
cosin chỉ phương của một vectơ

Xét các vectơ và:

Hãy chiếu vectơ lên vectơ; để làm điều này, chúng ta bỏ qua phần đầu và phần cuối của vectơ vuông góc sang vector (đường chấm màu xanh lá cây). Hãy tưởng tượng rằng các tia sáng rơi vuông góc với vectơ. Khi đó đoạn (đường màu đỏ) sẽ là “bóng” của vectơ. Trong trường hợp này, hình chiếu của vectơ lên vectơ là LENGTH của đoạn. Nghĩa là, CHIẾU LÀ MỘT SỐ.

SỐ này được ký hiệu như sau: , “vectơ lớn” biểu thị vectơ CÁI MÀ dự án, “vectơ chỉ số nhỏ” biểu thị vectơ TRÊNđược dự kiến.

Bản thân mục này có nội dung như sau: “hình chiếu của vectơ “a” lên vectơ “be”.

Điều gì xảy ra nếu vectơ "be" "quá ngắn"? Chúng ta vẽ một đường thẳng chứa vectơ “be”. Và vectơ “a” sẽ được chiếu rồi theo hướng của vectơ "be", đơn giản - đến đường thẳng chứa vectơ “be”. Điều tương tự sẽ xảy ra nếu vectơ “a” bị hoãn lại ở vương quốc thứ ba mươi - nó vẫn sẽ dễ dàng được chiếu lên đường thẳng chứa vectơ “be”.

Nếu góc giữa các vectơ cay(như trong hình) thì

Nếu các vectơ trực giao, thì (hình chiếu là một điểm có kích thước được coi là bằng 0).

Nếu góc giữa các vectơ cùn(trong hình, hãy sắp xếp lại mũi tên vectơ), sau đó (có cùng độ dài, nhưng được lấy bằng dấu trừ).

Chúng ta hãy vẽ các vectơ này từ một điểm:

Rõ ràng khi vectơ chuyển động thì hình chiếu của nó không thay đổi

Hướng dẫn

Cho hai vectơ khác 0 trên mặt phẳng, vẽ từ một điểm: vectơ A có tọa độ (x1, y1) B có tọa độ (x2, y2). Góc giữa chúng được ký hiệu là θ. Để tìm số đo độ của góc θ, bạn cần sử dụng định nghĩa của tích vô hướng.

Tích vô hướng của hai vectơ khác 0 là một số bằng tích độ dài của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng, nghĩa là (A,B)=|A|*|B|*cos(θ ). Bây giờ bạn cần biểu thị cosin của góc từ đây: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Tích vô hướng cũng có thể được tìm bằng công thức (A,B)=x1*x2+y1*y2, vì tích của hai vectơ khác 0 bằng tổng các tích của các vectơ tương ứng của chúng. Nếu tích vô hướng của các vectơ khác 0 bằng 0 thì các vectơ vuông góc (góc giữa chúng là 90 độ) và có thể bỏ qua các phép tính tiếp theo. Nếu tích vô hướng của hai vectơ là dương thì góc giữa chúng vectơ nhọn, nếu âm thì góc tù.

Bây giờ hãy tính độ dài của vectơ A và B bằng các công thức: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Độ dài của vectơ được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương tọa độ của nó.

Thay thế các giá trị tìm thấy của tích vô hướng và độ dài vectơ vào công thức tính góc thu được ở bước 2, nghĩa là cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Bây giờ, biết giá trị của , để tìm số đo độ của góc giữa vectơ bạn cần sử dụng bảng Bradis hoặc lấy từ bảng này: θ=arccos(cos(θ)).

Nếu vectơ A và B cho trong không gian ba chiều và có tọa độ lần lượt là (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2), thì khi tìm cosin của góc, người ta thêm một tọa độ nữa. Trong trường hợp này, cosine: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Lời khuyên hữu ích

Nếu hai vectơ không được vẽ từ cùng một điểm, thì để tìm góc giữa chúng bằng phép dịch song song, bạn cần kết hợp gốc của các vectơ này.
Góc giữa hai vectơ không thể lớn hơn 180 độ.

Nguồn:

cách tính góc giữa các vectơ
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để giải quyết nhiều bài toán cả ứng dụng và lý thuyết trong vật lý và đại số tuyến tính cần tính góc giữa các vectơ. Nhiệm vụ tưởng chừng đơn giản này có thể gây ra nhiều khó khăn nếu bạn không hiểu rõ bản chất của tích vô hướng và giá trị nào xuất hiện do tích vô hướng này.

Hướng dẫn

Góc giữa các vectơ trong không gian tuyến tính vectơ là góc tối thiểu mà tại đó các vectơ đạt được sự đồng hướng. Vẽ một trong các vectơ xung quanh điểm bắt đầu của nó. Từ định nghĩa, rõ ràng là giá trị góc không thể vượt quá 180 độ (xem bước).

Trong trường hợp này, người ta giả định khá đúng rằng trong không gian tuyến tính, khi thực hiện chuyển đổi song song các vectơ, góc giữa chúng không thay đổi. Do đó, để tính toán phân tích góc, hướng không gian của vectơ không quan trọng.

Kết quả của tích chấm là một số, nếu không thì là vô hướng. Hãy nhớ (điều quan trọng cần biết) để tránh sai sót trong các phép tính tiếp theo. Công thức tích vô hướng nằm trên mặt phẳng hoặc trong không gian vectơ có dạng (xem hình để biết bước).

Nếu các vectơ nằm trong không gian thì thực hiện phép tính theo cách tương tự. Sự xuất hiện duy nhất của một thuật ngữ trong cổ tức sẽ là thuật ngữ dành cho người nộp đơn, tức là. thành phần thứ ba của vectơ. Theo đó, khi tính mô đun của vectơ cũng phải tính đến thành phần z, khi đó đối với vectơ nằm trong không gian, biểu thức cuối cùng được biến đổi như sau (xem hình 6 để biết bước).

Một vectơ là một đoạn có hướng cho trước. Góc giữa các vectơ có ý nghĩa vật lý, chẳng hạn khi tìm độ dài hình chiếu của vectơ lên trục.

Hướng dẫn

Góc giữa hai vectơ khác 0 bằng cách tính tích vô hướng. Theo định nghĩa, tích bằng tích của độ dài và góc giữa chúng. Mặt khác, tích vô hướng của hai vectơ a có tọa độ (x1; y1) và b có tọa độ (x2; y2) được tính: ab = x1x2 + y1y2. Trong hai phương pháp này, tích chấm dễ dàng là góc giữa các vectơ.

Tìm độ dài hoặc độ lớn của vectơ. Đối với các vectơ a và b của chúng ta: |a| = (x12 + y12)^1/2, |b| = (x22 + y22)^1/2.

Tìm tích vô hướng của các vectơ bằng cách nhân tọa độ của chúng theo cặp: ab = x1x2 + y1y2. Từ định nghĩa của tích vô hướng ab = |a|*|b|*cos α, trong đó α là góc giữa các vectơ. Sau đó, chúng ta nhận được x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Khi đó cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Tìm góc α bằng bảng Bradis.

Video về chủ đề

ghi chú

Tích vô hướng là một đặc tính vô hướng của độ dài của vectơ và góc giữa chúng.

Mặt phẳng là một trong những khái niệm cơ bản của hình học. Mặt phẳng là một bề mặt mà phát biểu sau đây đúng: mọi đường thẳng nối hai điểm của nó hoàn toàn thuộc về bề mặt đó. Các mặt phẳng thường được ký hiệu bằng các chữ cái Hy Lạp α, β, γ, v.v. Hai mặt phẳng luôn cắt nhau dọc theo một đường thẳng thuộc cả hai mặt phẳng.

Hướng dẫn

Chúng ta hãy xem xét các nửa mặt phẳng α và β được hình thành bởi giao điểm của . Góc tạo bởi đường thẳng a và hai nửa mặt phẳng α và β tạo bởi một góc lưỡng diện. Trong trường hợp này, các nửa mặt phẳng tạo thành một góc nhị diện với các mặt của chúng, đường thẳng a mà các mặt phẳng cắt nhau được gọi là cạnh của góc nhị diện.

Góc nhị diện, giống như góc phẳng, được tính bằng độ. Để tạo một góc nhị diện, bạn cần chọn một điểm O tùy ý trên mặt của nó. Ở cả hai góc, hai tia a được vẽ qua điểm O. Góc AOB tạo thành được gọi là góc lưỡng diện tuyến tính a.

Vì vậy, cho vectơ V = (a, b, c) và mặt phẳng A x + B y + C z = 0, trong đó A, B và C là tọa độ của pháp tuyến N. Khi đó cosin của góc α giữa các vectơ V và N bằng: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a2 + b2 + c 2) √(A 2 + B 2 + C 2)).

Để tính góc theo độ hoặc radian, bạn cần tính nghịch đảo của hàm cosin từ biểu thức kết quả, tức là arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a2 + b2 + c2) √(A 2 + B 2 + C 2))).

Ví dụ: tìm góc giữa vectơ(5, -3, 8) và máy bay, cho bởi phương trình tổng quát 2 x – 5 y + 3 z = 0. Giải: Viết tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng N = (2, -5, 3). Thay thế tất cả các giá trị đã biết vào công thức đã cho: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video về chủ đề

Tạo một đẳng thức và cô lập cosin khỏi nó. Theo một công thức, tích vô hướng của vectơ bằng độ dài của chúng nhân với nhau và với cosin góc và mặt khác - tổng các tích tọa độ dọc theo mỗi trục. Đánh đồng cả hai công thức, chúng ta có thể kết luận rằng cosin góc phải bằng tỉ số giữa tổng các tích tọa độ với tích độ dài các vectơ.

Viết kết quả đẳng thức. Để làm điều này, bạn cần chỉ định cả hai vectơ. Giả sử chúng được cho trong hệ Descartes ba chiều và điểm bắt đầu của chúng nằm trong lưới tọa độ. Hướng và độ lớn của vectơ đầu tiên sẽ được cho bởi điểm (X₁,Y₁,Z₁), vectơ thứ hai - (X₂,Y₂,Z₂) và góc sẽ được ký hiệu bằng chữ cái γ. Khi đó, độ dài của mỗi vectơ có thể, chẳng hạn như sử dụng định lý Pythagore cho , được hình thành bằng các hình chiếu của chúng lên từng trục tọa độ: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) và √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Thay thế các biểu thức này vào công thức được xây dựng ở bước trước và bạn sẽ nhận được đẳng thức: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Sử dụng tính chất là tổng bình phương sin và đồng sin từ góc cùng một số lượng luôn cho một. Điều này có nghĩa là bằng cách nâng cao những gì thu được ở bước trước cho sin bình phương và trừ đi một rồi lấy căn bậc hai sẽ giải được bài toán. Viết công thức cần tìm ở dạng tổng quát: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁² ) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂² ) )).

Khi nghiên cứu hình học, có rất nhiều câu hỏi xoay quanh chủ đề vectơ. Học sinh gặp khó khăn đặc biệt khi cần tìm góc giữa các vectơ.

Thuật ngữ cơ bản

Trước khi xét góc giữa các vectơ, cần làm quen với định nghĩa vectơ và khái niệm góc giữa các vectơ.

Vectơ là một đoạn có hướng, nghĩa là đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được xác định.

Công thức giải

Sau khi nhận được giá trị cosin của góc, bạn có thể tính giá trị của góc đó bằng máy tính hoặc sử dụng bảng lượng giác.

Ví dụ

Thay thế các giá trị thu được vào công thức, chúng ta tính giá trị cosin của góc mong muốn:

Tính góc trong không gian n chiều

Trong hình học, thường có các bài toán về không gian có nhiều hơn ba chiều. Nhưng đối với họ, thuật toán tìm câu trả lời có vẻ tương tự nhau.

Sự khác biệt giữa 0 và 180 độ

Các vectơ cụ thể

Một số vectơ song song với một mặt phẳng được gọi là đồng phẳng.
Các vectơ có cùng độ dài và hướng được gọi là bằng nhau.
Các vectơ cùng nằm trên một đường thẳng, không kể hướng thì gọi là các vectơ thẳng hàng.
Nếu độ dài của vectơ bằng 0, nghĩa là điểm đầu và cuối của nó trùng nhau thì nó được gọi là 0, và nếu bằng 1 thì là đơn vị.

Tích vô hướng của vectơ (sau đây gọi tắt là SP). Bạn thân mến! Đề thi toán bao gồm một nhóm các bài toán về giải vectơ. Chúng tôi đã xem xét một số vấn đề. Bạn có thể nhìn thấy chúng trong danh mục “Vector”. Nhìn chung, lý thuyết về vectơ không phức tạp, điều chính là nghiên cứu nó một cách nhất quán. Các phép tính, phép tính với vectơ trong môn toán phổ thông rất đơn giản, công thức không phức tạp. Hãy xem. Trong bài viết này chúng tôi sẽ phân tích các bài toán về SP của vectơ (có trong Kỳ thi Thống nhất). Bây giờ “đắm chìm” vào lý thuyết:

H Để tìm tọa độ của một vectơ, bạn cần trừ tọa độ điểm cuối của nótọa độ tương ứng của điểm gốc của nó

Và xa hơn:

*Độ dài vectơ (mô đun) được xác định như sau:

Những công thức này phải được ghi nhớ!!!

Hãy chỉ ra góc giữa các vectơ:

Rõ ràng là nó có thể thay đổi từ 0 đến 180 0(hoặc tính bằng radian từ 0 đến Pi).

Chúng ta có thể rút ra một số kết luận về dấu của tích vô hướng. Độ dài của vectơ có giá trị dương, điều này là hiển nhiên. Điều này có nghĩa là dấu của tích vô hướng phụ thuộc vào giá trị cosin của góc giữa các vectơ.

Các trường hợp có thể xảy ra:

1. Nếu góc giữa các vectơ là nhọn (từ 0 0 đến 90 0) thì cosin của góc sẽ có giá trị dương.

2. Nếu góc giữa các vectơ tù (từ 90 0 đến 180 0) thì cosin của góc sẽ có giá trị âm.

*Ở mức 0 độ, nghĩa là khi các vectơ có cùng hướng, cosin bằng 1 và do đó, kết quả sẽ dương.

Ở 180 o, tức là khi các vectơ có hướng ngược nhau thì cosin bằng trừ một,và theo đó kết quả sẽ âm tính.

Bây giờ ĐIỂM QUAN TRỌNG!

Ở 90 o, nghĩa là khi các vectơ vuông góc với nhau thì cosin bằng 0 và do đó SP bằng 0. Thực tế này (hệ quả, kết luận) được sử dụng để giải nhiều bài toán trong đó chúng ta đang nói về vị trí tương đối của vectơ, kể cả trong các bài toán có trong ngân hàng mở của các nhiệm vụ toán học.

Chúng ta hãy phát biểu: tích vô hướng bằng 0 khi và chỉ khi các vectơ này nằm trên các đường vuông góc.

Vì vậy, các công thức cho vectơ SP:

Nếu biết tọa độ của các vectơ hoặc tọa độ điểm đầu và điểm cuối của chúng thì chúng ta luôn có thể tìm được góc giữa các vectơ:

Hãy xem xét các nhiệm vụ:

27724 Tìm tích vô hướng của vectơ a và b.

Chúng ta có thể tìm tích vô hướng của vectơ bằng một trong hai công thức:

Góc giữa các vectơ không xác định, nhưng chúng ta có thể dễ dàng tìm tọa độ của các vectơ và sau đó sử dụng công thức đầu tiên. Vì gốc của cả hai vectơ trùng với gốc tọa độ nên tọa độ của các vectơ này bằng tọa độ hai đầu của chúng, nghĩa là