Tích phân đang hoạt động. Cách tính thể tích của vật quay bằng tích phân xác định

Định nghĩa 3. Vật thể xoay là vật thể thu được bằng cách quay một hình phẳng quanh một trục không cắt hình đó và nằm trong cùng một mặt phẳng với nó.

Trục quay có thể cắt hình nếu đó là trục đối xứng của hình.

Định lý 2.
, trục
và đoạn thẳng
Và

quay quanh một trục
. Khi đó thể tích của vật quay thu được có thể được tính bằng công thức

(2)

Bằng chứng. Đối với một cơ thể như vậy, mặt cắt ngang với abscissa là một đường tròn có bán kính
, Có nghĩa
và công thức (1) cho kết quả cần tìm.

Nếu hình bị giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số liên tục
Và
, và các đoạn thẳng
Và
, Và
Và
, thì khi quay quanh trục x, chúng ta thu được một vật thể có thể tích

Ví dụ 3. Tính thể tích hình xuyến thu được khi quay một đường tròn giới hạn bởi một đường tròn

quanh trục hoành.

R phán quyết. Vòng tròn được chỉ định được giới hạn bên dưới bởi đồ thị của hàm
, và từ phía trên –
. Sự khác biệt của bình phương của các chức năng này:

Khối lượng yêu cầu

(đồ thị của tích phân là hình bán nguyệt trên nên tích phân viết ở trên là diện tích của hình bán nguyệt).

Ví dụ 4. Đoạn parabol có đáy
, và chiều cao , quay quanh đáy. Tính thể tích của phần thân thu được (“chanh” của Cavalieri).

R phán quyết. Chúng ta sẽ đặt parabol như trong hình. Khi đó phương trình của nó
, Và
. Hãy tìm giá trị của tham số :
. Vậy khối lượng cần thiết:

Định lý 3. Cho một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số không âm liên tục
, trục
và đoạn thẳng
Và
, Và
, quay quanh một trục
. Khi đó thể tích của vật quay thu được có thể được tìm bằng công thức

(3)

Ý tưởng chứng minh. Chúng tôi chia phân khúc
dấu chấm

, thành từng phần và vẽ các đường thẳng
. Toàn bộ hình thang sẽ bị phân hủy thành các dải, có thể coi là hình chữ nhật có đáy
và chiều cao
.

Chúng tôi cắt hình trụ thu được bằng cách xoay một hình chữ nhật như vậy dọc theo đường sinh của nó và mở nó ra. Chúng ta nhận được một hình song song “gần như” với các kích thước:
,
Và
. Khối lượng của nó
. Vì vậy, đối với thể tích của vật xoay, chúng ta sẽ có đẳng thức gần đúng

Để có được sự đẳng thức chính xác, người ta phải đi đến giới hạn tại
. Tổng được viết ở trên là tổng nguyên của hàm số
, do đó, trong giới hạn chúng ta thu được tích phân từ công thức (3). Định lý đã được chứng minh.

Lưu ý 1. Trong Định lý 2 và 3, điều kiện
có thể bỏ qua: công thức (2) thường không nhạy với dấu
, và trong công thức (3) là đủ
thay thế bởi
.

Ví dụ 5. Đoạn parabol (cơ sở
, chiều cao ) quay quanh chiều cao. Tìm khối lượng của cơ thể kết quả.

Giải pháp. Hãy đặt parabol như trong hình. Và mặc dù trục quay cắt hình, nhưng nó - trục - là trục đối xứng. Vì vậy, chúng ta chỉ cần xét nửa bên phải của đoạn thẳng. phương trình parabol
, Và
, Có nghĩa
. Về khối lượng ta có:

Lưu ý 2. Nếu ranh giới cong của hình thang cong được cho bởi phương trình tham số
,
,
Và
,
thì bạn có thể sử dụng công thức (2) và (3) với việc thay thế TRÊN
Và
TRÊN
khi nó thay đổi t từ
trước .

Ví dụ 6. Hình này bị giới hạn bởi cung đầu tiên của cycloid
,
,
, và trục x. Tìm thể tích của vật thu được khi xoay hình này quanh: 1) trục
; 2) trục
.

Giải pháp. 1) Công thức tổng quát
Trong trường hợp của chúng ta:

2) Công thức tổng quát
Đối với hình của chúng tôi:

Chúng tôi mời học sinh tự thực hiện tất cả các phép tính.

Lưu ý 3. Cho một khu vực cong được giới hạn bởi một đường liên tục
và tia
,

, quay quanh một trục cực. Thể tích của vật thể thu được có thể được tính bằng công thức.

Ví dụ 7. Một phần của hình được giới hạn bởi một cardioid
, nằm ngoài vòng tròn
, quay quanh một trục cực. Tìm khối lượng của cơ thể kết quả.

Giải pháp. Cả hai đường thẳng, và do đó là hình mà chúng giới hạn, đều đối xứng qua trục cực. Vì vậy, chỉ cần xem xét phần mà
. Các đường cong cắt nhau tại
Và

Tại
. Hơn nữa, con số này có thể được coi là sự khác biệt của hai khu vực và do đó khối lượng có thể được tính là sự khác biệt của hai tích phân. Chúng ta có:

Nhiệm vụ cho một quyết định độc lập.

1. Một đoạn hình tròn có đáy
, chiều cao , quay quanh đáy. Tìm thể tích của vật xoay.

2. Tìm thể tích của một paraboloid xoay có đáy , và chiều cao là .

3. Hình giới hạn bởi một ngôi sao
,
quay quanh trục abscissa. Tìm khối lượng của cơ thể kết quả.

4. Hình giới hạn bởi đường
Và
quay quanh trục x. Tìm thể tích của vật xoay.

Đề tài: “Tính thể tích vật quay bằng tích phân xác định”

Loại bài học: kết hợp.

Mục đích của bài học: học cách tính thể tích các vật quay bằng cách sử dụng tích phân.

Nhiệm vụ:

củng cố khả năng nhận biết các hình thang cong từ một số hình hình học và phát triển kỹ năng tính diện tích các hình thang cong;

làm quen với khái niệm hình ba chiều;

học cách tính thể tích của các vật quay;

thúc đẩy sự phát triển tư duy logic, khả năng diễn đạt toán học thành thạo, tính chính xác khi xây dựng bản vẽ;

nuôi dưỡng niềm yêu thích với môn học, vận hành với các khái niệm và hình ảnh toán học, trau dồi ý chí, tính độc lập và sự kiên trì để đạt được kết quả cuối cùng.

Trong các lớp học

I. Thời điểm tổ chức.

Lời chào từ nhóm. Truyền đạt mục tiêu bài học cho học sinh.

Tôi muốn bắt đầu bài học hôm nay bằng một câu chuyện ngụ ngôn. “Ngày xửa ngày xưa có một người thông thái, người biết tất cả mọi thứ. Một người đàn ông muốn chứng minh rằng nhà hiền triết không biết tất cả mọi thứ. Cầm một con bướm trên tay, anh hỏi: “Hãy nói cho tôi biết, nhà hiền triết, con bướm nào đang ở trong tay tôi: sống hay chết?” Và anh ta nghĩ: “Nếu người sống nói, tôi sẽ giết cô ấy; nếu người chết nói, tôi sẽ thả cô ấy ra.” Nhà hiền triết sau khi suy nghĩ đã trả lời: "Mọi thứ đều nằm trong tay bạn."

Vì vậy, ngay hôm nay chúng ta hãy làm việc hiệu quả, tiếp thu kho kiến thức mới và áp dụng những kỹ năng, khả năng đã học được vào cuộc sống và hoạt động thực tế sau này.

II. Lặp lại các tài liệu đã học trước đó.

Hãy nhớ lại những điểm chính của tài liệu đã nghiên cứu trước đó. Để làm được điều này, chúng ta hãy hoàn thành nhiệm vụ “Loại bỏ từ thừa”.

(Học sinh nói thêm một từ.)

Phải "Khác biệt". Cố gắng gọi tên các từ còn lại bằng một từ thông dụng. (Tích phân tích.)

Hãy nhớ lại các giai đoạn và khái niệm chính liên quan đến phép tính tích phân.

Bài tập. Khôi phục những khoảng trống. (Học sinh bước ra và viết những từ cần thiết bằng bút dạ.)

Làm việc trong sổ ghi chép.

Công thức Newton-Leibniz được đưa ra bởi nhà vật lý người Anh Isaac Newton (1643-1727) và nhà triết học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716). Và điều này không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì toán học là ngôn ngữ của tự nhiên.

Hãy xem xét cách sử dụng công thức này để giải quyết các vấn đề thực tế.

Ví dụ 1: Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng

Giải pháp: Hãy vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ . Hãy chọn diện tích của hình cần tìm.

III. Học tài liệu mới.

Hãy chú ý đến màn hình. Những gì được thể hiện trong hình ảnh đầu tiên? (Hình vẽ cho thấy một hình phẳng.)

Những gì được thể hiện trong bức tranh thứ hai? Hình này có phẳng không? (Hình vẽ thể hiện hình ba chiều.)

Trong không gian, trên trái đất và trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta không chỉ gặp những hình phẳng mà còn cả những hình ba chiều, nhưng làm thế nào chúng ta có thể tính được thể tích của những vật thể đó? Ví dụ: thể tích của một hành tinh, sao chổi, thiên thạch, v.v.

Người ta nghĩ về thể tích cả khi xây nhà và khi đổ nước từ bình này sang bình khác. Các quy tắc và kỹ thuật tính toán khối lượng phải xuất hiện; chúng chính xác và hợp lý đến mức nào lại là một vấn đề khác.

Năm 1612 rất có kết quả đối với cư dân thành phố Linz của Áo, nơi nhà thiên văn học nổi tiếng Johannes Kepler sống, đặc biệt là đối với nho. Mọi người đang chuẩn bị thùng rượu và muốn biết cách xác định khối lượng của chúng một cách thực tế.

Do đó, những công trình được coi là của Kepler đã đánh dấu sự khởi đầu của cả một dòng nghiên cứu mà đỉnh cao là vào một phần tư cuối thế kỷ 17. thiết kế trong các tác phẩm của I. Newton và G.V. Leibniz về phép tính vi phân và tích phân. Từ đó trở đi, toán học biến số chiếm vị trí hàng đầu trong hệ thống tri thức toán học.

Hôm nay bạn và tôi sẽ tham gia vào những hoạt động thiết thực như vậy, do đó,

Chủ đề của bài học của chúng ta: “Tính thể tích của vật quay bằng tích phân xác định”.

Bạn sẽ tìm hiểu định nghĩa của vật quay bằng cách hoàn thành nhiệm vụ sau.

"Mê cung".

Bài tập. Tìm cách thoát khỏi tình huống khó hiểu và viết ra định nghĩa.

IVTính toán khối lượng.

Sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính thể tích của một vật thể cụ thể, đặc biệt là vật thể xoay.

Vật thể xoay là vật thể thu được bằng cách quay một hình thang cong quanh đáy của nó (Hình 1, 2)

Thể tích của vật xoay được tính bằng một trong các công thức:

1. quanh trục OX.

2. , nếu phép quay của một hình thang cong quanh trục của op-amp.

Học sinh viết các công thức cơ bản vào vở.

- Giáo viên giải thích cách giải các ví dụ trên bảng.

1. Tìm thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của một hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Giải pháp.

Đáp số: 1163 cm3.

2. Tìm thể tích của vật thu được khi quay một hình thang parabol quanh trục x y = , x = 4, y = 0.

Giải pháp.

V.. Trình mô phỏng toán học.

2. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm số nhất định được gọi là

A) tích phân không xác định,

B) chức năng,

B) sự khác biệt.

7. Tìm thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của một hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng:

D/Z. Tổng hợp vật liệu mới

Tính thể tích của vật tạo thành khi cánh hoa quay quanh trục x y = x2, y2 = x.

Hãy xây dựng đồ thị của hàm số. y = x2, y2 = x. Hãy biến đổi đồ thị y2 = x thành dạng y = .

Ta có V = V1 - V2 Hãy tính thể tích của từng hàm số:

Phần kết luận:

Tích phân xác định là nền tảng nhất định cho việc nghiên cứu toán học, nó góp phần không thể thay thế trong việc giải các bài toán thực tiễn.

Đề tài “Tích phân” thể hiện rõ mối liên hệ giữa toán học và vật lý, sinh học, kinh tế và công nghệ.

Sự phát triển của khoa học hiện đại là không thể tưởng tượng được nếu không sử dụng tích phân. Về vấn đề này, cần phải bắt đầu nghiên cứu nó trong khuôn khổ giáo dục trung học chuyên ngành!

VI. Chấm điểm.(Có bình luận.)

Omar Khayyam vĩ đại - nhà toán học, nhà thơ, triết gia. Ông khuyến khích chúng ta làm chủ vận mệnh của chính mình. Chúng ta hãy nghe một đoạn trích trong tác phẩm của ông:

Bạn nói, cuộc sống này là một khoảnh khắc.
Đánh giá cao nó, lấy cảm hứng từ nó.
Bạn tiêu bao nhiêu thì nó sẽ trôi qua bấy nhiêu.
Đừng quên: cô ấy là sự sáng tạo của bạn.

Đối với bài toán tìm diện tích, bạn cần có kỹ năng vẽ tự tin - đây gần như là điều quan trọng nhất (vì bản thân việc tích phân thường dễ dàng). Bạn có thể thành thạo các kỹ thuật vẽ đồ thị nhanh và thành thạo với sự trợ giúp của tài liệu giảng dạy và các phép biến đổi hình học của đồ thị. Nhưng trên thực tế, tôi đã nói nhiều lần về tầm quan trọng của việc vẽ trong lớp.

Nói chung, có rất nhiều ứng dụng thú vị trong phép tính tích phân; sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính diện tích của một hình, thể tích của một vật quay, chiều dài cung, diện tích bề mặt của phép quay, v.v. hơn. Vì vậy sẽ rất vui đấy, hãy lạc quan lên nhé!

Hãy tưởng tượng một số hình phẳng trên mặt phẳng tọa độ. Được giới thiệu? ... Không biết ai trình bày cái gì... =))) Chúng ta đã tìm ra được diện tích của nó rồi. Tuy nhiên, ngoài ra, hình này cũng có thể được xoay và xoay theo hai cách:

- quanh trục hoành;
- quanh trục tọa độ.

Bài viết này sẽ xem xét cả hai trường hợp. Phương pháp quay thứ hai đặc biệt thú vị, nó gây ra nhiều khó khăn nhất, nhưng trên thực tế, giải pháp gần giống như cách quay phổ biến hơn quanh trục x. Như một phần thưởng tôi sẽ quay trở lại bài toán tìm diện tích của một hình và tôi sẽ cho bạn biết cách tìm diện tích theo cách thứ hai - dọc theo trục. Đó không phải là một phần thưởng quá lớn vì tài liệu rất phù hợp với chủ đề.

Hãy bắt đầu với kiểu xoay phổ biến nhất.

hình phẳng quanh một trục

ví dụ 1

Tính thể tích của một vật thu được khi quay một hình được giới hạn bởi các đường quanh một trục.

Giải pháp: Như trong bài toán tìm diện tích, giải pháp bắt đầu bằng việc vẽ một hình phẳng. Nghĩa là, trên mặt phẳng cần xây dựng một hình giới hạn bởi các đường thẳng và đừng quên rằng phương trình xác định trục. Bạn có thể tìm thấy cách hoàn thành bản vẽ hiệu quả và nhanh chóng hơn trên các trang Đồ thị và tính chất của hàm sơ cấp Và Tích phân xác định. Cách tính diện tích của hình. Đây là lời nhắc nhở của Trung Quốc và tại thời điểm này tôi sẽ không nói sâu hơn nữa.

Bản vẽ ở đây khá đơn giản:

Hình phẳng mong muốn được tô màu xanh lam, là hình quay quanh trục. Kết quả của việc quay là một đĩa bay hơi hình trứng, đối xứng quanh trục. Thực ra vật thể có tên toán học, nhưng tôi quá lười để làm rõ bất cứ điều gì trong sách tham khảo nên chúng tôi tiếp tục.

Làm thế nào để tính khối lượng của một cơ thể quay?

Thể tích của vật quay có thể được tính bằng công thức:

Trong công thức, số phải có mặt trước tích phân. Vì vậy, nó đã xảy ra - mọi thứ xoay quanh cuộc sống đều được kết nối với hằng số này.

Tôi nghĩ thật dễ dàng để đoán cách đặt giới hạn tích phân “a” và “be” từ bản vẽ đã hoàn thành.

Chức năng... chức năng này là gì? Chúng ta hãy nhìn vào bản vẽ. Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của parabol ở trên cùng. Đây là chức năng được ngụ ý trong công thức.

Trong các nhiệm vụ thực tế, một hình phẳng đôi khi có thể nằm bên dưới trục. Điều này không thay đổi gì cả - số nguyên trong công thức là bình phương: , do đó tích phân luôn không âm, điều này rất logic.

Hãy tính thể tích của một vật quay bằng công thức sau:

Như tôi đã lưu ý, tích phân hầu như luôn đơn giản, điều chính yếu là phải cẩn thận.

Trả lời:

Trong câu trả lời của bạn, bạn phải chỉ ra thứ nguyên - đơn vị khối. Tức là, trong vật thể quay của chúng ta có khoảng 3,35 “khối”. Tại sao khối các đơn vị? Bởi vì công thức phổ quát nhất. Có thể có cm khối, có thể có mét khối, có thể có km khối, v.v., đó là số lượng người xanh mà trí tưởng tượng của bạn có thể đặt vào một chiếc đĩa bay.

Ví dụ 2

Tìm thể tích của một vật thể được hình thành bằng cách quay quanh trục của một hình được giới hạn bởi các đường thẳng , ,

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Hãy xem xét hai vấn đề phức tạp hơn, cũng thường gặp trong thực tế.

Ví dụ 3

Tính thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của hình được giới hạn bởi các đường thẳng , , và

Giải pháp: Chúng ta hãy vẽ trong hình một hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng , , , , mà không quên rằng phương trình xác định trục:

Hình mong muốn được tô màu xanh lam. Khi nó quay quanh trục, nó trở thành một chiếc bánh rán siêu thực với bốn góc.

Hãy tính thể tích của vật xoay như sau: sự khác biệt về thể tích của cơ thể.

Đầu tiên chúng ta hãy nhìn vào hình được khoanh tròn màu đỏ. Khi nó quay quanh một trục sẽ thu được một hình nón cụt. Chúng ta hãy biểu thị thể tích của hình nón cụt này bằng .

Hãy xem xét hình được khoanh tròn màu xanh lá cây. Nếu bạn xoay hình này quanh trục, bạn cũng sẽ có được một hình nón cụt, chỉ nhỏ hơn một chút. Hãy biểu thị khối lượng của nó bằng .

Và rõ ràng, sự khác biệt về khối lượng chính xác là khối lượng chiếc bánh rán của chúng tôi.

Chúng ta sử dụng công thức chuẩn để tìm thể tích của vật xoay:

1) Hình tròn màu đỏ được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng nên:

2) Hình được khoanh tròn màu xanh lá cây được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng, do đó:

3) Khối lượng của vòng quay mong muốn:

Trả lời:

Điều tò mò là trong trường hợp này, nghiệm có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng công thức tính thể tích của hình nón cụt trong trường học.

Bản thân quyết định thường được viết ngắn hơn, đại loại như thế này:

Bây giờ chúng ta hãy nghỉ ngơi một chút và kể cho bạn nghe về ảo ảnh hình học.

Mọi người thường có những ảo tưởng liên quan đến khối lượng, điều này đã được Perelman (một người khác) chú ý trong cuốn sách. Hình học giải trí. Hãy nhìn vào hình phẳng trong bài toán đã giải - nó có vẻ có diện tích nhỏ và thể tích của vật quay chỉ hơn 50 đơn vị khối, có vẻ như quá lớn. Nhân tiện, một người bình thường uống lượng chất lỏng tương đương với một căn phòng 18 mét vuông trong suốt cuộc đời của mình, ngược lại, lượng chất lỏng này dường như quá nhỏ.

Nhìn chung, hệ thống giáo dục ở Liên Xô thực sự là tốt nhất. Cuốn sách tương tự của Perelman, xuất bản năm 1950, phát triển rất tốt, như nhà hài hước đã nói, suy nghĩ và dạy bạn tìm kiếm các giải pháp nguyên bản, không chuẩn cho các vấn đề. Gần đây tôi đã đọc lại một số chương và rất thích thú, tôi khuyên bạn nên đọc nó, nó có thể truy cập được ngay cả đối với những người theo chủ nghĩa nhân văn. Không, bạn không cần phải mỉm cười vì tôi đã cho bạn thời gian rảnh rỗi, sự uyên bác và tầm nhìn rộng rãi trong giao tiếp là một điều tuyệt vời.

Sau khi lạc đề trữ tình, việc giải quyết một nhiệm vụ sáng tạo là thích hợp:

Ví dụ 4

Tính thể tích của một vật hình thành khi quay quanh trục của một hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , , ở đâu .

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Xin lưu ý rằng tất cả các trường hợp xảy ra trong băng tần, nói cách khác, các giới hạn tích hợp sẵn có thực sự được đưa ra. Vẽ đồ thị hàm số lượng giác một cách chính xác em hãy nhắc lại nội dung bài học về biến đổi hình học của đồ thị: nếu đối số được chia cho hai: , thì đồ thị được kéo dài hai lần dọc theo trục. Nên tìm ít nhất 3-4 điểm theo bảng lượng giácđể hoàn thành bản vẽ chính xác hơn. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài. Nhân tiện, nhiệm vụ có thể được giải quyết một cách hợp lý và không hợp lý lắm.

Tính thể tích của một vật tạo thành do chuyển động quay
hình phẳng quanh một trục

Đoạn thứ hai sẽ còn thú vị hơn đoạn đầu tiên. Nhiệm vụ tính thể tích của một vật quay quanh trục tọa độ cũng là một bài toán khá phổ biến trong công tác kiểm tra. Trong quá trình thực hiện, nó sẽ được xem xét bài toán tìm diện tích của một hình Phương pháp thứ hai là tích hợp dọc theo trục, điều này không chỉ cho phép bạn cải thiện kỹ năng của mình mà còn dạy bạn cách tìm ra con đường giải pháp có lợi nhất. Ngoài ra còn có một ý nghĩa cuộc sống thực tế trong việc này! Khi giáo viên dạy toán của tôi mỉm cười nhớ lại, nhiều sinh viên tốt nghiệp đã cảm ơn cô bằng câu: “Môn học của cô đã giúp chúng tôi rất nhiều, giờ chúng tôi là những nhà quản lý hiệu quả và quản lý nhân viên một cách tối ưu”. Nhân cơ hội này, tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô ấy, đặc biệt là vì tôi đã sử dụng những kiến thức có được đúng mục đích =).

Tôi giới thiệu nó cho tất cả mọi người, ngay cả những người hoàn toàn ngu ngốc. Hơn nữa, tài liệu đã học ở đoạn thứ hai sẽ hỗ trợ vô giá trong việc tính tích phân kép.

Ví dụ 5

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường , , .

1) Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường này.
2) Tìm thể tích của vật thu được khi quay một hình phẳng giới hạn bởi những đường này quanh trục.

Chú ý! Ngay cả khi bạn chỉ muốn đọc điểm thứ hai, trước tiên nhất thiếtđọc cái đầu tiên!

Giải pháp: Nhiệm vụ bao gồm hai phần. Hãy bắt đầu với hình vuông.

1) Hãy vẽ một bức tranh:

Dễ dàng nhận thấy hàm chỉ định nhánh trên của parabol, hàm chỉ định nhánh dưới của parabol. Trước mắt chúng ta là một hình parabol tầm thường “nằm nghiêng”.

Hình mong muốn, diện tích cần tìm, được tô màu xanh lam.

Làm thế nào để tìm diện tích của một hình? Nó có thể được tìm thấy theo cách “thông thường” đã được thảo luận trong lớp Tích phân xác định. Cách tính diện tích của hình. Hơn nữa, diện tích của hình được tính bằng tổng của các diện tích:
- trên phân khúc ;
- trên phân khúc.

Đó là lý do tại sao:

Tại sao giải pháp thông thường lại tệ trong trường hợp này? Đầu tiên, chúng ta có hai tích phân. Thứ hai, tích phân là nghiệm, và nghiệm trong tích phân không phải là một món quà, và bên cạnh đó, bạn có thể nhầm lẫn khi thay thế các giới hạn của tích phân. Trên thực tế, tất nhiên, tích phân không phải là sát thủ, nhưng trong thực tế, mọi thứ có thể còn đáng buồn hơn nhiều, tôi chỉ chọn các hàm “tốt hơn” cho bài toán.

Có một giải pháp hợp lý hơn: nó bao gồm việc chuyển sang các hàm nghịch đảo và lấy tích phân dọc theo trục.

Làm thế nào để có được hàm nghịch đảo? Nói một cách đại khái thì bạn cần diễn đạt từ “x” đến “y”. Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào parabol:

Điều này là đủ, nhưng hãy đảm bảo rằng chức năng tương tự có thể được bắt nguồn từ nhánh dưới:

Sẽ dễ dàng hơn với một đường thẳng:

Bây giờ hãy nhìn vào trục: vui lòng định kỳ nghiêng đầu sang phải 90 độ khi bạn giải thích (đây không phải là chuyện đùa!). Hình chúng ta cần nằm trên đoạn được biểu thị bằng đường chấm màu đỏ. Trong trường hợp này, trên đoạn thẳng, đường thẳng nằm phía trên parabol, có nghĩa là diện tích của hình sẽ được tìm bằng công thức đã quen thuộc với bạn: . Điều gì đã thay đổi trong công thức? Chỉ là một lá thư và không có gì hơn.

! Ghi chú: Nên đặt giới hạn tích phân dọc theo trục nghiêm ngặt từ dưới lên trên!

Tìm diện tích:

Do đó, trên phân khúc:

Xin lưu ý cách tôi thực hiện việc tích hợp, đây là cách hợp lý nhất và trong đoạn tiếp theo của nhiệm vụ sẽ giải thích lý do tại sao.

Đối với những độc giả nghi ngờ tính đúng đắn của tích phân, tôi sẽ tìm đạo hàm:

Hàm tích phân ban đầu thu được, có nghĩa là phép tích phân được thực hiện chính xác.

Trả lời:

2) Hãy tính thể tích của vật thể tạo thành khi hình này quay quanh trục.

Tôi sẽ vẽ lại bản vẽ theo một thiết kế hơi khác:

Vì vậy, hình được tô màu xanh lam quay quanh trục. Kết quả là một “con bướm bay lượn” quay quanh trục của nó.

Để tìm thể tích của một vật quay, chúng ta sẽ lấy tích phân dọc theo trục. Đầu tiên chúng ta cần đi đến hàm nghịch đảo. Điều này đã được thực hiện và mô tả chi tiết trong đoạn trước.

Bây giờ chúng ta lại nghiêng đầu sang phải và nghiên cứu hình dáng của mình. Hiển nhiên, thể tích của một vật quay phải được tính bằng hiệu về thể tích.

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu đỏ quanh trục, tạo thành một hình nón bị cụt. Chúng ta hãy biểu thị khối lượng này bằng .

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu xanh lá cây quanh trục và biểu thị nó bằng thể tích của vật quay thu được.

Thể tích con bướm của chúng ta bằng với sự chênh lệch về thể tích.

Chúng ta sử dụng công thức để tìm thể tích của vật xoay:

Sự khác biệt so với công thức trong đoạn trước là gì? Chỉ có trong thư.

Nhưng lợi thế của sự tích hợp mà tôi đã nói gần đây lại dễ tìm thấy hơn nhiều , thay vì trước tiên nâng tích phân lên lũy thừa bậc 4.

Trả lời:

Tuy nhiên, không phải là một con bướm ốm yếu.

Lưu ý rằng nếu xoay cùng một hình phẳng đó quanh trục, bạn sẽ có một vật thể quay hoàn toàn khác, với thể tích khác, một cách tự nhiên.

Ví dụ 6

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng và một trục.

1) Đi đến các hàm nghịch đảo và tìm diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường này bằng cách lấy tích phân trên biến.
2) Tính thể tích của vật thu được khi quay một hình phẳng giới hạn bởi những đường này quanh trục.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Những người quan tâm cũng có thể tìm diện tích của hình theo cách “thông thường”, qua đó kiểm tra điểm 1). Nhưng nếu, tôi nhắc lại, bạn xoay một hình phẳng quanh trục, bạn sẽ có được một vật thể quay hoàn toàn khác với thể tích khác, nhân tiện, câu trả lời đúng (cũng dành cho những người thích giải quyết vấn đề).

Lời giải hoàn chỉnh cho hai điểm đề xuất của nhiệm vụ nằm ở cuối bài.

Có, và đừng quên nghiêng đầu sang phải để hiểu các vật thể quay và giới hạn tích phân!

Làm thế nào để tính thể tích của vật xoay bằng tích phân xác định?

Bên cạnh đó tìm diện tích của hình phẳng bằng tích phân xác định ứng dụng quan trọng nhất của chủ đề này là tính thể tích của vật xoay. Tài liệu rất đơn giản nhưng người đọc phải chuẩn bị sẵn sàng: bạn phải có khả năng giải quyết tích phân không xác định độ phức tạp trung bình và áp dụng công thức Newton-Leibniz trong tích phân xác định . Đối với bài toán tìm diện tích, bạn cần có kỹ năng vẽ tự tin - đây gần như là điều quan trọng nhất (vì bản thân việc tích phân thường dễ dàng). Bạn có thể thành thạo các kỹ thuật lập biểu đồ nhanh chóng và thành thạo với sự trợ giúp của tài liệu phương pháp luận . Nhưng trên thực tế, tôi đã nói nhiều lần về tầm quan trọng của việc vẽ trong lớp. .

Nói chung, có rất nhiều ứng dụng thú vị trong phép tính tích phân; sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính diện tích của một hình, thể tích của một vật quay, chiều dài của một cung, diện tích bề mặt của một cơ thể và nhiều hơn nữa. Vì vậy sẽ rất vui đấy, hãy lạc quan lên nhé!

– quanh trục x; - quanh trục tọa độ.

Hãy bắt đầu với kiểu xoay phổ biến nhất.

ví dụ 1

Tính thể tích của một vật thu được khi quay một hình được giới hạn bởi các đường quanh một trục.

Giải pháp: Giống như trong bài toán tìm diện tích, giải pháp bắt đầu bằng việc vẽ một hình phẳng. Nghĩa là, trên một mặt phẳng cần dựng một hình được giới hạn bởi các đường thẳng và đừng quên rằng phương trình xác định trục. Bạn có thể tìm thấy cách hoàn thành bản vẽ hiệu quả và nhanh chóng hơn trên các trang Đồ thị và tính chất của hàm sơ cấp Và Tích phân xác định. Cách tính diện tích của hình . Đây là lời nhắc nhở của Trung Quốc và tại thời điểm này tôi sẽ không nói sâu hơn nữa.

Bản vẽ ở đây khá đơn giản:

Hình phẳng mong muốn được tô màu xanh lam; nó là hình quay quanh trục. Kết quả của sự quay là một đĩa bay hơi hình trứng, đối xứng quanh trục. Thực ra vật thể có tên toán học, nhưng tôi lười tra cứu trong sách tham khảo nên chúng ta tiếp tục.

Làm thế nào để tính khối lượng của một cơ thể quay?

Thể tích của vật quay có thể được tính bằng công thức:

Trong công thức, số phải có mặt trước tích phân. Vì vậy, nó đã xảy ra - mọi thứ xoay quanh cuộc sống đều được kết nối với hằng số này.

Tôi nghĩ thật dễ dàng để đoán cách đặt giới hạn tích phân “a” và “be” từ bản vẽ đã hoàn thành.

Chức năng... chức năng này là gì? Chúng ta hãy nhìn vào bản vẽ. Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị parabol ở trên cùng. Đây là chức năng được ngụ ý trong công thức.

Trong các nhiệm vụ thực tế, một hình phẳng đôi khi có thể nằm bên dưới trục. Điều này không thay đổi gì cả - hàm trong công thức được bình phương: do đó thể tích của vật cách mạng luôn không âm, điều này rất logic.

Hãy tính thể tích của một vật quay bằng công thức sau:

Như tôi đã lưu ý, tích phân hầu như luôn đơn giản, điều chính yếu là phải cẩn thận.

Trả lời:

Ví dụ 2

Tìm thể tích của một vật được tạo thành khi quay quanh trục của một hình được giới hạn bởi các đường thẳng,

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Hãy xem xét hai vấn đề phức tạp hơn, cũng thường gặp trong thực tế.

Ví dụ 3

Tính thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của hình được giới hạn bởi các đường thẳng , và

Giải pháp: Chúng ta hãy vẽ trong hình một hình phẳng được giới hạn bởi các đường ,,,, mà không quên rằng phương trình xác định trục:

Hình mong muốn được tô màu xanh lam. Khi nó quay quanh trục, nó trở thành một chiếc bánh rán siêu thực với bốn góc.

Hãy tính thể tích của vật xoay như sau: sự khác biệt về thể tích của cơ thể.

Và rõ ràng, sự khác biệt về khối lượng chính xác là khối lượng chiếc bánh rán của chúng tôi.

Chúng ta sử dụng công thức chuẩn để tìm thể tích của vật xoay:

1) Hình tròn màu đỏ được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng nên:

2) Hình được khoanh tròn màu xanh lá cây được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng, do đó:

3) Khối lượng của vòng quay mong muốn:

Trả lời:

Điều tò mò là trong trường hợp này, nghiệm có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng công thức tính thể tích của hình nón cụt trong trường học.

Bản thân quyết định thường được viết ngắn hơn, đại loại như thế này:

Bây giờ chúng ta hãy nghỉ ngơi một chút và kể cho bạn nghe về ảo ảnh hình học.

Mọi người thường có những ảo tưởng liên quan đến các tập sách, điều này đã được Perelman (không phải cái đó) chú ý trong cuốn sách. Hình học giải trí. Hãy nhìn vào hình phẳng trong bài toán đã giải - nó có vẻ có diện tích nhỏ và thể tích của vật quay chỉ hơn 50 đơn vị khối, có vẻ như quá lớn. Nhân tiện, một người bình thường uống lượng chất lỏng tương đương với một căn phòng 18 mét vuông trong suốt cuộc đời của mình, ngược lại, lượng chất lỏng này dường như quá nhỏ.

Nhìn chung, hệ thống giáo dục ở Liên Xô thực sự là tốt nhất. Cuốn sách tương tự của Perelman, được ông viết vào năm 1950, phát triển rất tốt, như nhà hài hước đã nói, suy nghĩ và dạy người ta tìm kiếm các giải pháp nguyên bản, không chuẩn cho các vấn đề. Gần đây tôi đã đọc lại một số chương và rất thích thú, tôi khuyên bạn nên đọc nó, nó có thể truy cập được ngay cả đối với những người theo chủ nghĩa nhân văn. Không, bạn không cần phải mỉm cười vì tôi đã cho bạn thời gian rảnh rỗi, sự uyên bác và tầm nhìn rộng rãi trong giao tiếp là một điều tuyệt vời.

Sau khi lạc đề trữ tình, việc giải quyết một nhiệm vụ sáng tạo là thích hợp:

Ví dụ 4

Tính thể tích của một vật thể tạo thành khi quay quanh trục của một hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng, ở đâu.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Xin lưu ý rằng tất cả mọi thứ xảy ra trong băng tần, nói cách khác, các giới hạn tích hợp thực tế đã được tạo sẵn đều được đưa ra. Ngoài ra, hãy cố gắng vẽ chính xác đồ thị của các hàm lượng giác, nếu đối số được chia cho hai: thì đồ thị được kéo dài dọc theo trục hai lần. Cố gắng tìm ít nhất 3-4 điểm theo bảng lượng giác và hoàn thiện bản vẽ chính xác hơn. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài. Nhân tiện, nhiệm vụ có thể được giải quyết một cách hợp lý và không hợp lý lắm.

Tính thể tích của một vật thể hình thành khi quay một hình phẳng quanh một trục

Ví dụ 5

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường ,,.

1) Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường này. 2) Tìm thể tích của vật thu được khi quay một hình phẳng giới hạn bởi những đường này quanh trục.

Chú ý! Ngay cả khi bạn chỉ muốn đọc điểm thứ hai, trước tiên nhất thiếtđọc cái đầu tiên!

Giải pháp: Nhiệm vụ bao gồm hai phần. Hãy bắt đầu với hình vuông.

1) Hãy vẽ một bức tranh:

Hình mong muốn, diện tích cần tìm, được tô màu xanh lam.

Làm thế nào để tìm diện tích của một hình? Nó có thể được tìm thấy theo cách “thông thường” đã được thảo luận trong lớp Tích phân xác định. Cách tính diện tích của hình . Hơn nữa, diện tích của hình được tính bằng tổng các diện tích: – trên đoạn thẳng ; - trên phân khúc.

Đó là lý do tại sao:

Có một giải pháp hợp lý hơn: nó bao gồm việc chuyển sang các hàm nghịch đảo và lấy tích phân dọc theo trục.

Làm thế nào để có được hàm nghịch đảo? Nói một cách đại khái thì bạn cần diễn đạt từ “x” đến “y”. Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào parabol:

Điều này là đủ, nhưng hãy đảm bảo rằng chức năng tương tự có thể được bắt nguồn từ nhánh dưới:

Sẽ dễ dàng hơn với một đường thẳng:

Bây giờ hãy nhìn vào trục: vui lòng định kỳ nghiêng đầu sang phải 90 độ khi bạn giải thích (đây không phải là chuyện đùa!). Hình chúng ta cần nằm trên đoạn được biểu thị bằng đường chấm màu đỏ. Hơn nữa, trên đoạn thẳng, đường thẳng nằm phía trên parabol, có nghĩa là diện tích của hình sẽ được tìm bằng công thức đã quen thuộc với bạn: . Điều gì đã thay đổi trong công thức? Chỉ là một lá thư và không có gì hơn.

! Lưu ý: Nên đặt giới hạn tích phân dọc theo trụcnghiêm ngặt từ dưới lên trên !

Tìm diện tích:

Do đó, trên phân khúc:

Xin lưu ý cách tôi thực hiện việc tích hợp, đây là cách hợp lý nhất và trong đoạn tiếp theo của nhiệm vụ sẽ giải thích lý do tại sao.

Đối với những độc giả nghi ngờ tính đúng đắn của tích phân, tôi sẽ tìm đạo hàm:

Hàm tích phân ban đầu thu được, có nghĩa là phép tích phân được thực hiện chính xác.

Trả lời:

2) Hãy tính thể tích của vật thể tạo thành khi hình này quay quanh trục.

Tôi sẽ vẽ lại bản vẽ theo một thiết kế hơi khác:

Vì vậy, hình được tô màu xanh lam quay quanh trục. Kết quả là một “con bướm bay lượn” quay quanh trục của nó.

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu đỏ quanh trục, tạo thành một hình nón bị cụt. Hãy để chúng tôi biểu thị khối lượng này bằng cách.

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu xanh lá cây quanh trục và biểu thị bằng thể tích của vật xoay.

Thể tích con bướm của chúng ta bằng với sự chênh lệch về thể tích.

Chúng ta sử dụng công thức để tìm thể tích của vật xoay:

Sự khác biệt so với công thức trong đoạn trước là gì? Chỉ có trong thư.

Nhưng lợi thế của sự tích hợp mà tôi đã nói gần đây lại dễ tìm thấy hơn nhiều , thay vì trước tiên nâng tích phân lên lũy thừa bậc 4.

Cách tính thể tích của vật cách mạng
sử dụng tích phân xác định?

Nói chung, có rất nhiều ứng dụng thú vị trong phép tính tích phân; sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính diện tích của một hình, thể tích của một vật quay, chiều dài của một cung, diện tích bề mặt của vòng quay và nhiều hơn nữa. Vì vậy sẽ rất vui đấy, hãy lạc quan lên nhé!

- xung quanh trục hoành;
- quanh trục tọa độ.

Hãy bắt đầu với kiểu xoay phổ biến nhất.

hình phẳng quanh một trục

Tính thể tích của một vật thu được khi quay một hình được giới hạn bởi các đường quanh một trục.

Giải pháp: Như trong bài toán tìm diện tích, giải pháp bắt đầu bằng việc vẽ một hình phẳng. Nghĩa là, trên mặt phẳng cần xây dựng một hình giới hạn bởi các đường thẳng và đừng quên rằng phương trình xác định trục. Bạn có thể tìm thấy cách hoàn thành bản vẽ hiệu quả và nhanh chóng hơn trên các trang Đồ thị và tính chất của hàm sơ cấp Và . Đây là lời nhắc nhở của Trung Quốc và tại thời điểm này tôi sẽ không nói sâu hơn nữa.

Bản vẽ ở đây khá đơn giản:

Làm thế nào để tính khối lượng của một cơ thể quay?

Thể tích của vật quay có thể được tính bằng công thức:

Trong công thức, số phải có mặt trước tích phân. Vì vậy, nó đã xảy ra - mọi thứ xoay quanh cuộc sống đều được kết nối với hằng số này.

Tôi nghĩ thật dễ dàng để đoán cách đặt giới hạn tích phân “a” và “be” từ bản vẽ đã hoàn thành.

Hãy tính thể tích của một vật quay bằng công thức sau:

Như tôi đã lưu ý, tích phân hầu như luôn đơn giản, điều chính yếu là phải cẩn thận.

Trả lời:

Tìm thể tích của một vật thể được hình thành bằng cách quay quanh trục của một hình được giới hạn bởi các đường thẳng , ,

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Hãy xem xét hai vấn đề phức tạp hơn, cũng thường gặp trong thực tế.

Tính thể tích của vật thu được khi quay quanh trục hoành của hình được giới hạn bởi các đường thẳng , , và

Giải pháp: Chúng ta hãy vẽ trong hình một hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng , , , , mà không quên rằng phương trình xác định trục:

Hình mong muốn được tô màu xanh lam. Khi nó quay quanh trục, nó trở thành một chiếc bánh rán siêu thực với bốn góc.

Hãy tính thể tích của vật xoay như sau: sự khác biệt về thể tích của cơ thể.

Và rõ ràng, sự khác biệt về khối lượng chính xác là khối lượng chiếc bánh rán của chúng tôi.

Chúng ta sử dụng công thức chuẩn để tìm thể tích của vật xoay:

1) Hình tròn màu đỏ được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng nên:

2) Hình được khoanh tròn màu xanh lá cây được giới hạn phía trên bởi một đường thẳng, do đó:

3) Khối lượng của vòng quay mong muốn:

Trả lời:

Điều tò mò là trong trường hợp này, nghiệm có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng công thức tính thể tích của hình nón cụt trong trường học.

Bản thân quyết định thường được viết ngắn hơn, đại loại như thế này:

Bây giờ chúng ta hãy nghỉ ngơi một chút và kể cho bạn nghe về ảo ảnh hình học.

Sau khi lạc đề trữ tình, việc giải quyết một nhiệm vụ sáng tạo là thích hợp:

Tính thể tích của một vật hình thành khi quay quanh trục của một hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , , ở đâu .

Tính thể tích của một vật tạo thành do chuyển động quay
hình phẳng quanh một trục

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường , , .

Chú ý! Ngay cả khi bạn chỉ muốn đọc điểm thứ hai, hãy nhớ đọc điểm đầu tiên trước!

Giải pháp: Nhiệm vụ bao gồm hai phần. Hãy bắt đầu với hình vuông.

1) Hãy vẽ một bức tranh:

Hình mong muốn, diện tích cần tìm, được tô màu xanh lam.

Đó là lý do tại sao:

Tại sao giải pháp thông thường lại tệ trong trường hợp này? Đầu tiên, chúng ta có hai tích phân. Thứ hai, có các nghiệm dưới tích phân, và nghiệm trong tích phân không phải là một món quà, và bên cạnh đó, bạn có thể bối rối khi thay thế các giới hạn của tích phân. Trên thực tế, tất nhiên, tích phân không phải là sát thủ, nhưng trong thực tế, mọi thứ có thể còn đáng buồn hơn nhiều, tôi chỉ chọn các hàm “tốt hơn” cho bài toán.

Có một giải pháp hợp lý hơn: nó bao gồm việc chuyển sang các hàm nghịch đảo và lấy tích phân dọc theo trục.

Làm thế nào để có được hàm nghịch đảo? Nói một cách đại khái thì bạn cần diễn đạt từ “x” đến “y”. Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào parabol:

Điều này là đủ, nhưng hãy đảm bảo rằng chức năng tương tự có thể được bắt nguồn từ nhánh dưới:

Sẽ dễ dàng hơn với một đường thẳng:

! Ghi chú: Nên đặt giới hạn tích phân dọc theo trục nghiêm ngặt từ dưới lên trên!

Tìm diện tích:

Do đó, trên phân khúc:

Xin lưu ý cách tôi thực hiện việc tích hợp, đây là cách hợp lý nhất và trong đoạn tiếp theo của nhiệm vụ sẽ giải thích lý do tại sao.

Đối với những độc giả nghi ngờ tính đúng đắn của tích phân, tôi sẽ tìm đạo hàm:

Hàm tích phân ban đầu thu được, có nghĩa là phép tích phân được thực hiện chính xác.

Trả lời:

2) Hãy tính thể tích của vật thể tạo thành khi hình này quay quanh trục.

Tôi sẽ vẽ lại bản vẽ theo một thiết kế hơi khác:

Vì vậy, hình được tô màu xanh lam quay quanh trục. Kết quả là một “con bướm bay lượn” quay quanh trục của nó.

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu đỏ quanh trục, tạo thành một hình nón bị cụt. Chúng ta hãy biểu thị khối lượng này bằng .

Chúng ta xoay hình được khoanh tròn màu xanh lá cây quanh trục và biểu thị nó bằng thể tích của vật quay thu được.

Thể tích con bướm của chúng ta bằng với sự chênh lệch về thể tích.

Chúng ta sử dụng công thức để tìm thể tích của vật xoay:

Sự khác biệt so với công thức trong đoạn trước là gì? Chỉ có trong thư.

Nhưng lợi thế của sự tích hợp mà tôi đã nói gần đây lại dễ tìm thấy hơn nhiều , thay vì trước tiên nâng tích phân lên lũy thừa bậc 4.

Trả lời:

Lưu ý rằng nếu xoay cùng một hình phẳng đó quanh trục, bạn sẽ có một vật thể quay hoàn toàn khác, với thể tích khác, một cách tự nhiên.

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng và một trục.

Lời giải hoàn chỉnh cho hai điểm đề xuất của nhiệm vụ nằm ở cuối bài.

Có, và đừng quên nghiêng đầu sang phải để hiểu các vật thể quay và giới hạn tích phân!

Tôi đã định kết thúc bài viết, nhưng hôm nay họ mang đến một ví dụ thú vị chỉ để tìm thể tích của một vật xoay quanh trục tọa độ. Tươi:

Tính thể tích của một vật được hình thành khi quay quanh trục của một hình được giới hạn bởi các đường cong và .

Giải pháp: Hãy vẽ một bức tranh:

Đồng thời, chúng ta làm quen với đồ thị của một số hàm số khác. Đây là một biểu đồ thú vị của hàm chẵn...

Tích phân đang hoạt động. Cách tính thể tích của vật quay bằng tích phân xác định

hình phẳng quanh một trục

Làm thế nào để tính khối lượng của một cơ thể quay?

Tính thể tích của một vật tạo thành do chuyển động quayhình phẳng quanh một trục

Cách tính thể tích của vật cách mạng sử dụng tích phân xác định?

hình phẳng quanh một trục

Làm thế nào để tính khối lượng của một cơ thể quay?

Tính thể tích của một vật tạo thành do chuyển động quayhình phẳng quanh một trục

Tính thể tích của một vật tạo thành do chuyển động quay
hình phẳng quanh một trục

Cách tính thể tích của vật cách mạng
sử dụng tích phân xác định?

Tính thể tích của một vật tạo thành do chuyển động quay
hình phẳng quanh một trục