Làm thế nào để tìm nghiệm của phương trình bậc hai không có s. Phương trình bậc hai - ví dụ có nghiệm, tính năng và công thức


Chúng ta tiếp tục nghiên cứu chủ đề " giải phương trình" Chúng ta đã làm quen với các phương trình tuyến tính và đang chuyển sang làm quen với phương trình bậc hai.

Đầu tiên, chúng ta sẽ xem phương trình bậc hai là gì, nó được viết ở dạng tổng quát như thế nào và đưa ra các định nghĩa liên quan. Sau đó, chúng ta sẽ sử dụng các ví dụ để kiểm tra chi tiết cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ. Tiếp theo, chúng ta sẽ chuyển sang giải các phương trình hoàn chỉnh, tìm công thức nghiệm, làm quen với phân biệt của phương trình bậc hai và xem xét nghiệm của các ví dụ điển hình. Cuối cùng, hãy theo dõi mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số.

Điều hướng trang.

Phương trình bậc hai là gì? Loại của họ

Đầu tiên bạn cần hiểu rõ phương trình bậc hai là gì. Do đó, sẽ hợp lý khi bắt đầu cuộc trò chuyện về phương trình bậc hai với định nghĩa của phương trình bậc hai, cũng như các định nghĩa liên quan. Sau này, bạn có thể xem xét các loại phương trình bậc hai chính: rút gọn và không rút gọn, cũng như các phương trình đầy đủ và không đầy đủ.

Định nghĩa và ví dụ về phương trình bậc hai

Sự định nghĩa.

phương trình bậc hai là một phương trình có dạng a x 2 +b x+c=0, trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và a khác 0.

Hãy nói ngay rằng phương trình bậc hai thường được gọi là phương trình bậc hai. Điều này là do phương trình bậc hai là phương trình đại số mức độ thứ hai.

Định nghĩa đã nêu cho phép chúng ta đưa ra ví dụ về phương trình bậc hai. Vậy 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, v.v. Đây là những phương trình bậc hai.

Sự định nghĩa.

số a, b và c được gọi là các hệ số của phương trình bậc hai a·x 2 +b·x+c=0, hệ số a gọi là số hạng thứ nhất, cao nhất, hoặc hệ số của x 2, b là hệ số thứ hai, hoặc hệ số của x, và c là số hạng tự do .

Ví dụ: hãy lấy phương trình bậc hai có dạng 5 x 2 −2 x −3=0, ở đây hệ số cao nhất là 5, hệ số thứ hai bằng −2 và số hạng tự do bằng −3. Xin lưu ý rằng khi các hệ số b và/hoặc c âm, như trong ví dụ vừa đưa ra, dạng rút gọn của phương trình bậc hai là 5 x 2 −2 x−3=0 , thay vì 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Điều đáng chú ý là khi các hệ số a và/hoặc b bằng 1 hoặc −1 thì chúng thường không xuất hiện rõ ràng trong phương trình bậc hai, đó là do đặc thù của cách viết như vậy. Ví dụ, trong phương trình bậc hai y 2 −y+3=0 hệ số cao nhất là một và hệ số của y bằng −1.

Phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn

Tùy thuộc vào giá trị của hệ số dẫn đầu, người ta phân biệt phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn. Hãy đưa ra các định nghĩa tương ứng.

Sự định nghĩa.

Phương trình bậc hai có hệ số lớn nhất bằng 1 được gọi là phương trình bậc hai đã cho. Ngược lại phương trình bậc hai là nguyên vẹn.

Theo định nghĩa này, phương trình bậc hai x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, v.v. – đã cho, trong mỗi hệ số đầu tiên bằng một. A 5 x 2 −x−1=0, v.v. - phương trình bậc hai không rút gọn, hệ số cao nhất khác 1.

Từ bất kỳ phương trình bậc hai không rút gọn nào, bằng cách chia cả hai vế cho hệ số dẫn đầu, bạn có thể đi đến phương trình rút gọn. Hành động này là một phép biến đổi tương đương, nghĩa là phương trình bậc hai rút gọn thu được theo cách này có cùng nghiệm với phương trình bậc hai không rút gọn ban đầu, hoặc giống như nó, không có nghiệm.

Chúng ta hãy xem một ví dụ về cách thực hiện quá trình chuyển đổi từ phương trình bậc hai không rút gọn sang phương trình rút gọn.

Ví dụ.

Từ phương trình 3 x 2 +12 x−7=0, đi đến phương trình bậc hai rút gọn tương ứng.

Giải pháp.

Ta chỉ cần chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho hệ số đầu 3 khác 0 là ta có thể thực hiện được thao tác này. Chúng ta có (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, bằng nhau, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, và sau đó (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, từ đó . Đây là cách chúng ta thu được phương trình bậc hai rút gọn, tương đương với phương trình ban đầu.

Trả lời:

Phương trình bậc hai đầy đủ và không đầy đủ

Định nghĩa của phương trình bậc hai chứa điều kiện a≠0. Điều kiện này là cần thiết để phương trình a x 2 + b x + c = 0 là phương trình bậc hai, vì khi a = 0 nó thực sự trở thành phương trình tuyến tính có dạng b x + c = 0.

Đối với các hệ số b và c, chúng có thể bằng 0, cả riêng lẻ và cùng nhau. Trong những trường hợp này, phương trình bậc hai được gọi là không đầy đủ.

Sự định nghĩa.

Phương trình bậc hai a x 2 +b x+c=0 được gọi là chưa hoàn thiện, nếu ít nhất một trong các hệ số b, c bằng 0.

Đến lượt nó

Sự định nghĩa.

Phương trình bậc hai hoàn chỉnh là một phương trình trong đó tất cả các hệ số đều khác 0.

Những cái tên như vậy không được đưa ra một cách tình cờ. Điều này sẽ trở nên rõ ràng từ các cuộc thảo luận sau đây.

Nếu hệ số b bằng 0 thì phương trình bậc hai có dạng a·x 2 +0·x+c=0, và nó tương đương với phương trình a·x 2 +c=0. Nếu c=0, tức là phương trình bậc hai có dạng a·x 2 +b·x+0=0, thì nó có thể được viết lại thành a·x 2 +b·x=0. Và với b=0 và c=0 chúng ta thu được phương trình bậc hai a·x 2 =0. Các phương trình thu được khác với phương trình bậc hai hoàn chỉnh ở chỗ vế trái của chúng không chứa số hạng biến x hoặc số hạng tự do hoặc cả hai. Do đó tên của chúng - phương trình bậc hai không đầy đủ.

Vì vậy các phương trình x 2 +x+1=0 và −2 x 2 −5 x+0.2=0 là ví dụ về phương trình bậc hai hoàn chỉnh và x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 là các phương trình bậc hai không đầy đủ.

Giải phương trình bậc hai không đầy đủ

Từ thông tin ở đoạn trước, có thể suy ra rằng có ba loại phương trình bậc hai không đầy đủ:

  • a·x 2 =0 thì các hệ số b=0 và c=0 tương ứng với nó;
  • a x 2 +c=0 khi b=0 ;
  • và a·x 2 +b·x=0 khi c=0.

Chúng ta hãy xem xét cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ của từng loại này.

a x 2 = 0

Hãy bắt đầu bằng việc giải các phương trình bậc hai không đầy đủ trong đó các hệ số b và c bằng 0, nghĩa là với các phương trình có dạng a x 2 = 0. Phương trình a·x 2 =0 tương đương với phương trình x 2 =0, thu được từ phương trình ban đầu bằng cách chia cả hai phần cho một số khác 0 a. Rõ ràng, nghiệm của phương trình x 2 =0 bằng 0, vì 0 2 =0. Phương trình này không có nghiệm nào khác, điều này được giải thích bởi thực tế là với mọi số p khác 0 thì bất đẳng thức p 2 >0 đúng, có nghĩa là với p≠0 đẳng thức p 2 = 0 không bao giờ đạt được.

Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a·x 2 =0 có một nghiệm duy nhất x=0.

Để làm ví dụ, chúng tôi đưa ra nghiệm của phương trình bậc hai không đầy đủ −4 x 2 = 0. Nó tương đương với phương trình x 2 =0, nghiệm duy nhất của nó là x=0, do đó, phương trình ban đầu có một nghiệm duy nhất bằng 0.

Một giải pháp ngắn gọn trong trường hợp này có thể được viết như sau:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Bây giờ chúng ta hãy xem cách giải các phương trình bậc hai không hoàn chỉnh trong đó hệ số b bằng 0 và c≠0, tức là các phương trình có dạng a x 2 +c=0. Chúng ta biết rằng việc di chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của phương trình có dấu ngược lại, cũng như chia cả hai vế của phương trình cho một số khác 0, sẽ cho một phương trình tương đương. Do đó, chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi tương đương sau đây của phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 +c=0:

  • di chuyển c sang bên phải để có phương trình a x 2 =−c,
  • và chia cả hai vế cho a, ta được .

Phương trình thu được cho phép chúng ta rút ra kết luận về gốc của nó. Tùy thuộc vào giá trị của a và c, giá trị của biểu thức có thể âm (ví dụ: nếu a=1 và c=2 thì ) hoặc dương (ví dụ: nếu a=−2 và c=6, thì ), nó không bằng 0 , vì theo điều kiện c≠0. Chúng ta hãy xem xét các trường hợp riêng biệt.

Nếu , thì phương trình không có nghiệm. Tuyên bố này xuất phát từ thực tế là bình phương của bất kỳ số nào đều là số không âm. Từ đó suy ra rằng khi , thì với mọi số p đẳng thức không thể đúng.

Nếu , thì tình huống với nghiệm của phương trình sẽ khác. Trong trường hợp này, nếu chúng ta nhớ về , thì nghiệm của phương trình ngay lập tức trở nên rõ ràng; đó là số, vì . Thật dễ dàng để đoán rằng con số này thực sự cũng là nghiệm của phương trình, . Phương trình này không có nghiệm nào khác, có thể được chứng minh bằng phản chứng chẳng hạn. Hãy làm nó.

Chúng ta hãy ký hiệu nghiệm của phương trình vừa công bố là x 1 và −x 1 . Giả sử phương trình có thêm một nghiệm x 2, khác với các nghiệm x 1 và −x 1 đã chỉ ra. Người ta biết rằng việc thay thế các nghiệm của nó vào một phương trình thay vì x sẽ biến phương trình thành một đẳng thức số đúng. Với x 1 và −x 1 ta có , và với x 2 ta có . Các tính chất của các đẳng thức số cho phép chúng ta thực hiện phép trừ từng số hạng của các đẳng thức số chính xác, do đó việc trừ các phần tương ứng của các đẳng thức sẽ cho x 1 2 −x 2 2 =0. Các tính chất của phép tính với số cho phép chúng ta viết lại đẳng thức thu được là (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Chúng ta biết rằng tích của hai số bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong số chúng bằng 0. Do đó, từ đẳng thức thu được, ta suy ra x 1 −x 2 =0 và/hoặc x 1 +x 2 =0, bằng nhau, x 2 =x 1 và/hoặc x 2 =−x 1. Vì vậy, chúng ta đi đến mâu thuẫn, vì lúc đầu chúng ta đã nói rằng nghiệm của phương trình x 2 khác với x 1 và −x 1. Điều này chứng tỏ rằng phương trình không có nghiệm nào khác ngoài và .

Hãy để chúng tôi tóm tắt thông tin trong đoạn này. Phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 +c=0 tương đương với phương trình

  • không có gốc nếu ,
  • có hai nghiệm và , nếu .

Hãy xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng a·x 2 +c=0.

Hãy bắt đầu với phương trình bậc hai 9 x 2 +7=0. Sau khi di chuyển số hạng tự do sang vế phải của phương trình, nó sẽ có dạng 9 x 2 =−7. Chia cả hai vế của phương trình thu được cho 9, chúng ta có . Vì vế phải có số âm nên phương trình này không có nghiệm, do đó phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu 9 x 2 +7 = 0 không có nghiệm.

Hãy giải một phương trình bậc hai không đầy đủ khác −x 2 +9=0. Chúng ta di chuyển số 9 sang vế phải: −x 2 =−9. Bây giờ chúng ta chia cả hai vế cho −1, chúng ta được x 2 = 9. Ở bên phải có một số dương, từ đó chúng ta kết luận rằng hoặc . Sau đó, chúng ta viết ra câu trả lời cuối cùng: phương trình bậc hai không đầy đủ −x 2 +9=0 có hai nghiệm x=3 hoặc x=−3.

a x 2 +b x=0

Vẫn còn phải giải quyết loại phương trình bậc hai không đầy đủ cuối cùng cho c=0. Phương trình bậc hai không đầy đủ dạng a x 2 + b x = 0 cho phép bạn giải phương pháp nhân tử hóa. Rõ ràng, chúng ta có thể, nằm ở vế trái của phương trình, chỉ cần lấy hệ số chung x ra khỏi ngoặc là đủ. Điều này cho phép chúng ta chuyển từ phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu sang một phương trình tương đương có dạng x·(a·x+b)=0. Và phương trình này tương đương với một tập hợp gồm hai phương trình x=0 và a·x+b=0, phương trình sau là tuyến tính và có nghiệm x=−b/a.

Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a·x 2 +b·x=0 có hai nghiệm x=0 và x=−b/a.

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích giải pháp cho một ví dụ cụ thể.

Ví dụ.

Giải phương trình.

Giải pháp.

Lấy x ra khỏi ngoặc sẽ có phương trình . Nó tương đương với hai phương trình x=0 và . Chúng ta giải phương trình tuyến tính thu được: , và bằng cách chia hỗn số cho một phân số thông thường, chúng ta tìm được . Do đó, nghiệm của phương trình ban đầu là x=0 và .

Sau khi đạt được những thực hành cần thiết, lời giải của các phương trình như vậy có thể được viết ngắn gọn:

Trả lời:

x=0 , .

Phân biệt, công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Để giải phương trình bậc hai, có một công thức gốc. Hãy viết nó ra công thức nghiệm của phương trình bậc hai: , Ở đâu D=b 2 −4 a c- cái gọi là biệt thức của phương trình bậc hai. Mục cơ bản có nghĩa là .

Sẽ rất hữu ích khi biết công thức nghiệm được rút ra như thế nào và nó được sử dụng như thế nào để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Hãy tìm hiểu điều này.

Dẫn xuất công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Chúng ta cần giải phương trình bậc hai a·x 2 +b·x+c=0. Hãy thực hiện một số phép biến đổi tương đương:

  • Chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình này cho một số a khác 0, dẫn đến phương trình bậc hai sau đây.
  • Hiện nay chọn một hình vuông hoàn chỉnhở phía bên trái của nó: . Sau này, phương trình sẽ có dạng .
  • Ở giai đoạn này, có thể chuyển hai số hạng cuối sang vế phải với dấu ngược lại, ta có .
  • Và chúng ta cũng hãy biến đổi biểu thức ở vế phải: .

Kết quả là chúng ta thu được một phương trình tương đương với phương trình bậc hai ban đầu a·x 2 +b·x+c=0.

Chúng tôi đã giải các phương trình có dạng tương tự trong các đoạn trước khi chúng tôi xem xét. Điều này cho phép chúng ta rút ra các kết luận sau đây về nghiệm của phương trình:

  • nếu , thì phương trình không có nghiệm thực;
  • nếu , thì phương trình có dạng , do đó, , từ đó có thể nhìn thấy nghiệm duy nhất của nó;
  • nếu , thì hoặc , giống như hoặc , nghĩa là phương trình có hai nghiệm.

Do đó, sự hiện diện hay vắng mặt của nghiệm của phương trình, và do đó, phương trình bậc hai ban đầu, phụ thuộc vào dấu của biểu thức ở vế phải. Ngược lại, dấu của biểu thức này được xác định bởi dấu của tử số, vì mẫu số 4·a 2 luôn dương, nghĩa là bằng dấu của biểu thức b 2 −4·a·c. Biểu thức b 2 −4 a c này được gọi là biệt thức của phương trình bậc hai và được chỉ định bằng chữ cái D. Từ đây, bản chất của phân biệt đã rõ ràng - dựa trên giá trị và dấu của nó, họ kết luận liệu phương trình bậc hai có nghiệm thực hay không, và nếu có thì số của chúng là bao nhiêu - một hoặc hai.

Hãy quay lại phương trình và viết lại nó bằng ký hiệu phân biệt: . Và chúng tôi rút ra kết luận:

  • nếu D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • nếu D=0 thì phương trình này có một nghiệm duy nhất;
  • cuối cùng, nếu D>0, thì phương trình có hai nghiệm hoặc, có thể viết lại dưới dạng hoặc, và sau khi khai triển và đưa các phân số về mẫu số chung, chúng ta thu được.

Vì vậy, chúng ta đã rút ra các công thức cho nghiệm của phương trình bậc hai, chúng trông giống như , trong đó biệt thức D được tính bằng công thức D=b 2 −4·a·c.

Với sự giúp đỡ của họ, với phân biệt dương, bạn có thể tính cả hai nghiệm thực của phương trình bậc hai. Khi phân biệt bằng 0, cả hai công thức đều cho cùng một giá trị nghiệm, tương ứng với một nghiệm duy nhất của phương trình bậc hai. Và với phân biệt âm, khi cố gắng sử dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta phải đối mặt với việc trích căn bậc hai của một số âm, điều này đưa chúng ta vượt ra ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Với phân biệt âm, phương trình bậc hai không có nghiệm thực nhưng có một cặp liên hợp phức tạp các gốc, có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng các công thức gốc mà chúng ta đã thu được.

Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng công thức gốc

Trong thực tế, khi giải phương trình bậc hai, bạn có thể sử dụng ngay công thức gốc để tính giá trị của chúng. Nhưng điều này liên quan nhiều hơn đến việc tìm kiếm các gốc phức tạp.

Tuy nhiên, trong khóa học đại số ở trường, chúng ta thường không nói về độ phức tạp mà về nghiệm thực của phương trình bậc hai. Trong trường hợp này, trước khi sử dụng các công thức nghiệm của phương trình bậc hai, trước tiên bạn phải tìm phân biệt, đảm bảo rằng nó không âm (nếu không, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình không có nghiệm thực), và chỉ sau đó tính toán các giá trị của rễ.

Lập luận trên cho phép chúng ta viết thuật toán giải phương trình bậc hai. Để giải phương trình bậc hai a x 2 +b x+c=0, bạn cần:

  • sử dụng công thức phân biệt D=b 2 −4·a·c, tính giá trị của nó;
  • kết luận rằng phương trình bậc hai không có nghiệm thực nếu phân biệt âm;
  • tính nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức nếu D=0;
  • tìm hai nghiệm thực của phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm nếu phân biệt dương.

Ở đây chúng tôi chỉ lưu ý rằng nếu giá trị phân biệt bằng 0, bạn cũng có thể sử dụng công thức; nó sẽ cho giá trị tương tự như .

Bạn có thể chuyển sang các ví dụ về cách sử dụng thuật toán để giải phương trình bậc hai.

Ví dụ về giải phương trình bậc hai

Chúng ta hãy xem xét nghiệm của ba phương trình bậc hai với phân biệt dương, âm và bằng 0. Sau khi xử lý nghiệm của chúng, bằng cách tương tự, sẽ có thể giải bất kỳ phương trình bậc hai nào khác. Hãy bắt đầu nào.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 +2·x−6=0.

Giải pháp.

Trong trường hợp này, chúng ta có các hệ số của phương trình bậc hai sau: a=1, b=2 và c=−6. Theo thuật toán, trước tiên bạn cần tính giá trị phân biệt; để làm điều này, chúng ta thay a, b và c được chỉ định vào công thức phân biệt, chúng ta có D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Vì 28>0, nghĩa là phân biệt lớn hơn 0 nên phương trình bậc hai có hai nghiệm thực. Hãy tìm chúng bằng cách sử dụng công thức gốc, chúng tôi nhận được, ở đây bạn có thể đơn giản hóa các biểu thức thu được bằng cách thực hiện di chuyển số nhân ra ngoài dấu gốc tiếp theo là giảm phân số:

Trả lời:

Hãy chuyển sang ví dụ điển hình tiếp theo.

Ví dụ.

Giải phương trình bậc hai −4 x 2 +28 x−49=0 .

Giải pháp.

Chúng tôi bắt đầu bằng cách tìm ra sự phân biệt đối xử: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Do đó, phương trình bậc hai này có một nghiệm duy nhất, mà chúng ta tìm thấy là , nghĩa là,

Trả lời:

x=3,5.

Vẫn còn phải xem xét việc giải phương trình bậc hai với phân biệt âm.

Ví dụ.

Giải phương trình 5·y 2 +6·y+2=0.

Giải pháp.

Dưới đây là các hệ số của phương trình bậc hai: a=5, b=6 và c=2. Thay các giá trị này vào công thức phân biệt, ta có D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Phân biệt đối xử âm, do đó, phương trình bậc hai này không có nghiệm thực.

Nếu bạn cần chỉ ra các nghiệm phức, thì chúng ta áp dụng công thức nổi tiếng cho các nghiệm của phương trình bậc hai và thực hiện các phép toán với số phức:

Trả lời:

không có gốc thực sự, gốc phức tạp là: .

Chúng ta hãy lưu ý một lần nữa rằng nếu phân biệt của phương trình bậc hai là âm, thì ở trường, họ thường viết ngay câu trả lời trong đó họ chỉ ra rằng không có nghiệm thực và không tìm thấy nghiệm phức.

Công thức gốc cho hệ số chẵn thứ hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, trong đó D=b 2 −4·a·c cho phép bạn thu được công thức có dạng thu gọn hơn, cho phép bạn giải phương trình bậc hai với hệ số chẵn cho x (hoặc đơn giản với a hệ số có dạng 2·n chẳng hạn, hoặc 14· ln5=2·7·ln5 ). Hãy đưa cô ấy ra ngoài.

Giả sử chúng ta cần giải một phương trình bậc hai có dạng a x 2 +2 n x+c=0. Hãy tìm gốc rễ của nó bằng công thức mà chúng ta biết. Để làm điều này, chúng tôi tính toán phân biệt D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), sau đó chúng ta sử dụng công thức gốc:

Chúng ta hãy ký hiệu biểu thức n 2 −a c là D 1 (đôi khi nó được ký hiệu là D "). Khi đó, công thức nghiệm của phương trình bậc hai đang xét với hệ số thứ hai 2 n sẽ có dạng , trong đó D 1 =n 2 −a·c.

Dễ dàng thấy rằng D=4·D 1, hay D 1 =D/4. Nói cách khác, D 1 là phần thứ tư của phân biệt đối xử. Rõ ràng là dấu của D 1 chính là dấu của D . Nghĩa là, dấu D 1 cũng là dấu hiệu cho thấy sự có mặt hay vắng mặt của nghiệm của phương trình bậc hai.

Vì vậy, để giải phương trình bậc hai với hệ số thứ hai 2·n, bạn cần

  • Tính D 1 =n 2 −a·c ;
  • Nếu D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Nếu D 1 =0 thì tính nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức;
  • Nếu D 1 >0 thì tìm hai nghiệm thực bằng công thức.

Hãy xem xét việc giải ví dụ bằng cách sử dụng công thức gốc thu được trong đoạn này.

Ví dụ.

Giải phương trình bậc hai 5 x 2 −6 x −32=0 .

Giải pháp.

Hệ số thứ hai của phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng 2·(−3) . Nghĩa là, bạn có thể viết lại phương trình bậc hai ban đầu ở dạng 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ở đây a=5, n=−3 và c=−32, rồi tính phần thứ tư của phân biệt đối xử: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Vì giá trị của nó là dương nên phương trình có hai nghiệm thực. Hãy tìm chúng bằng công thức gốc thích hợp:

Lưu ý rằng có thể sử dụng công thức thông thường cho nghiệm của phương trình bậc hai, nhưng trong trường hợp này sẽ phải thực hiện nhiều công việc tính toán hơn.

Trả lời:

Đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai

Đôi khi, trước khi bắt đầu tính nghiệm của phương trình bậc hai bằng cách sử dụng các công thức, sẽ không hại gì nếu bạn đặt câu hỏi: “Có thể đơn giản hóa dạng của phương trình này không?” Đồng ý rằng về mặt tính toán, việc giải phương trình bậc hai 11 x 2 −4 x−6=0 sẽ dễ dàng hơn so với 1100 x 2 −400 x−600=0.

Thông thường, việc đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai đạt được bằng cách nhân hoặc chia cả hai vế cho một số nhất định. Ví dụ, trong đoạn trước, có thể đơn giản hóa phương trình 1100 x 2 −400 x −600=0 bằng cách chia cả hai vế cho 100.

Một phép biến đổi tương tự được thực hiện với các phương trình bậc hai, các hệ số của chúng không phải là . Trong trường hợp này, cả hai vế của phương trình thường được chia cho các giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó. Ví dụ: hãy lấy phương trình bậc hai 12 x 2 −42 x+48=0. giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Chia cả hai vế của phương trình bậc hai ban đầu cho 6, chúng ta thu được phương trình bậc hai tương đương 2 x 2 −7 x+8=0.

Và nhân cả hai vế của phương trình bậc hai thường được thực hiện để loại bỏ các hệ số phân số. Trong trường hợp này, phép nhân được thực hiện bởi mẫu số của các hệ số của nó. Ví dụ: nếu cả hai vế của phương trình bậc hai được nhân với LCM(6, 3, 1)=6, thì nó sẽ có dạng đơn giản hơn x 2 +4·x−18=0.

Để kết luận về điểm này, chúng tôi lưu ý rằng họ hầu như luôn loại bỏ điểm trừ ở hệ số cao nhất của phương trình bậc hai bằng cách thay đổi dấu của tất cả các số hạng, tương ứng với việc nhân (hoặc chia) cả hai vế cho −1. Ví dụ, thông thường người ta chuyển từ phương trình bậc hai −2 x 2 −3 x+7=0 sang nghiệm 2 x 2 +3 x−7=0 .

Mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai biểu thị nghiệm của phương trình thông qua các hệ số của nó. Dựa vào công thức nghiệm, bạn có thể thu được các mối quan hệ khác giữa nghiệm và hệ số.

Các công thức nổi tiếng và có thể áp dụng nhất của định lý Vieta là có dạng và . Cụ thể, đối với phương trình bậc hai đã cho, tổng các nghiệm bằng hệ số thứ hai trái dấu và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do. Ví dụ, bằng cách nhìn vào dạng phương trình bậc hai 3 x 2 −7 x + 22 = 0, chúng ta có thể nói ngay rằng tổng các nghiệm của nó bằng 7/3 và tích của các nghiệm bằng 22 /3.

Sử dụng các công thức đã viết sẵn, bạn có thể thu được một số mối liên hệ khác giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Ví dụ: bạn có thể biểu thị tổng bình phương của các nghiệm của một phương trình bậc hai thông qua các hệ số của nó: .

Thư mục.

  • Đại số học: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G.Đại số học. lớp 8. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.

Được biết, đây là một phiên bản cụ thể của đẳng thức ax 2 + bx + c = o, trong đó a, b và c là các hệ số thực của x chưa biết và trong đó a ≠ o, b và c sẽ bằng 0 - đồng thời hoặc riêng biệt. Ví dụ: c = o, b ≠ o hoặc ngược lại. Chúng tôi gần như đã nhớ được định nghĩa của phương trình bậc hai.

Tam thức bậc hai bằng không. Hệ số đầu tiên của nó a ≠ o, b và c có thể nhận bất kỳ giá trị nào. Giá trị của biến x khi đó sẽ là khi sự thay thế biến nó thành một đẳng thức số chính xác. Hãy tập trung vào nghiệm thực, mặc dù các phương trình cũng có thể là nghiệm. Người ta thường gọi một phương trình là đầy đủ trong đó không có hệ số nào bằng o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Hãy giải một ví dụ. 2x 2 -9x-5 = ồ, chúng ta tìm thấy
D = 81+40 = 121,
D dương, nghĩa là có nghiệm, x 1 = (9+√121):4 = 5, và x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Việc kiểm tra sẽ giúp đảm bảo rằng chúng đúng.

Dưới đây là giải pháp từng bước cho phương trình bậc hai

Bằng cách sử dụng phân biệt, bạn có thể giải bất kỳ phương trình nào ở vế trái của nó có tam thức bậc hai đã biết cho a ≠ o. Trong ví dụ của chúng tôi. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Chúng ta hãy xem xét các phương trình không đầy đủ của mức độ thứ hai là gì

  1. rìu 2 +in = o. Số hạng tự do, hệ số c tại x 0, bằng 0 ở đây, trong ≠ o.
    Làm thế nào để giải một phương trình bậc hai không đầy đủ thuộc loại này? Hãy bỏ x ra khỏi ngoặc. Hãy nhớ khi tích của hai thừa số bằng 0.
    x(ax+b) = o, điều này có thể xảy ra khi x = o hoặc khi ax+b = o.
    Giải được phương trình thứ 2 ta có x = -в/а.
    Kết quả ta có nghiệm x 1 = 0, theo tính toán x 2 = -b/a.
  2. Bây giờ hệ số của x bằng o và c không bằng (≠) o.
    x 2 +c = o. Chuyển c sang vế phải của đẳng thức, ta được x 2 = -с. Phương trình này chỉ có nghiệm thực khi -c là số dương (c ‹ o),
    khi đó x 1 tương ứng bằng √(-c), x 2 là -√(-c). Ngược lại, phương trình không có nghiệm nào cả.
  3. Phương án cuối cùng: b = c = o, tức là ax 2 = o. Đương nhiên, phương trình đơn giản như vậy có một nghiệm là x = o.

Trường hợp đặc biệt

Chúng ta đã xem xét cách giải một phương trình bậc hai không đầy đủ và bây giờ hãy chọn bất kỳ loại nào.

  • Trong một phương trình bậc hai đầy đủ, hệ số thứ hai của x là số chẵn.
    Đặt k = o.5b. Chúng tôi có các công thức để tính toán biệt thức và gốc.
    D/4 = k 2 - ac, nghiệm được tính là x 1,2 = (-k±√(D/4))/a đối với D > o.
    x = -k/a tại D = o.
    Không có nghiệm nào cho D ‹ o.
  • Có các phương trình bậc hai cho trước, khi hệ số của x bình phương bằng 1 thì thường được viết là x 2 + рх + q = o. Tất cả các công thức trên đều áp dụng cho chúng, nhưng việc tính toán có phần đơn giản hơn.
    Ví dụ: x 2 -4x-9 = 0. Tính D: 2 2 +9, D = 13.
    x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
  • Ngoài ra, rất dễ áp ​​dụng cho những nghiệm đã cho. Nó nói rằng tổng các nghiệm của phương trình bằng -p, hệ số thứ hai có dấu trừ (có nghĩa là dấu ngược lại) và tích của các nghiệm đó sẽ như vậy. bằng q, số hạng tự do. Hãy xem việc xác định nghiệm của phương trình này bằng lời nói sẽ dễ dàng như thế nào. Đối với các hệ số không rút gọn (với mọi hệ số không bằng 0), định lý này được áp dụng như sau: tổng x 1 + x 2 bằng -b/a, tích x 1 · x 2 bằng c/a.

Tổng của số hạng tự do c và hệ số a đầu tiên bằng hệ số b. Trong tình huống này, phương trình có ít nhất một nghiệm (dễ chứng minh), nghiệm đầu tiên nhất thiết phải bằng -1 và nghiệm thứ hai -c/a, nếu nó tồn tại. Bạn có thể tự mình kiểm tra cách giải phương trình bậc hai chưa hoàn chỉnh. Dễ như ăn bánh. Các hệ số có thể có mối quan hệ nhất định với nhau

  • x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
  • Tổng của tất cả các hệ số bằng o.
    Các nghiệm của phương trình như vậy là 1 và c/a. Ví dụ, 2x 2 -15x+13 = o.
    x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Có một số cách khác để giải các phương trình bậc hai khác nhau. Ví dụ, đây là một phương pháp để trích xuất một hình vuông hoàn chỉnh từ một đa thức đã cho. Có một số phương pháp đồ họa. Khi bạn thường xuyên xử lý các ví dụ như vậy, bạn sẽ học cách “nhấp chuột” chúng như hạt giống, bởi vì tất cả các phương pháp đều tự động xuất hiện trong đầu bạn.

Với chương trình toán học này bạn có thể giải phương trình bậc hai.

Chương trình không chỉ đưa ra đáp án của bài toán mà còn hiển thị quá trình giải theo hai cách:
- sử dụng một sự phân biệt đối xử
- sử dụng định lý Vieta (nếu có thể).

Hơn nữa, câu trả lời được hiển thị chính xác chứ không phải gần đúng.
Ví dụ: đối với phương trình \(81x^2-16x-1=0\), câu trả lời được hiển thị ở dạng sau:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ và không như thế này: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0,05\)

Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học ở các trường phổ thông khi chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, khi kiểm tra kiến ​​thức trước kỳ thi Thống nhất Nhà nước và giúp phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán và đại số. Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới quá tốn kém? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành bài tập về nhà toán hoặc đại số càng nhanh càng tốt? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết.

Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của mình trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực giải quyết vấn đề tăng lên.

Nếu bạn không quen với các quy tắc nhập đa thức bậc hai, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.

Quy tắc nhập đa thức bậc hai

Bất kỳ chữ cái Latinh nào cũng có thể hoạt động như một biến.
Ví dụ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), v.v.

Các số có thể được nhập dưới dạng số nguyên hoặc phân số.
Hơn nữa, các số phân số có thể được nhập không chỉ ở dạng thập phân mà còn ở dạng phân số thông thường.

Quy tắc nhập phân số thập phân.
Trong phân số thập phân, phần phân số có thể được phân tách khỏi phần nguyên bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy.
Ví dụ: bạn có thể nhập phân số thập phân như thế này: 2,5x - 3,5x^2

Quy tắc nhập phân số thông thường.
Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số.

Mẫu số không thể âm.

Khi nhập một phân số, tử số được phân cách với mẫu số bằng dấu chia: /
Toàn bộ phần được phân tách khỏi phân số bằng dấu và: &
Đầu vào: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Kết quả: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Khi nhập một biểu thức bạn có thể sử dụng dấu ngoặc đơn. Trong trường hợp này, khi giải phương trình bậc hai, biểu thức được đưa vào trước tiên được đơn giản hóa.
Ví dụ: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)


=0
Quyết định

Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.

JavaScript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.
Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.

Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi.
Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Vui lòng chờ giây...


nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định cái gì nhập vào các trường.



Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:

Một chút lý thuyết.

Phương trình bậc hai và nghiệm của nó. Phương trình bậc hai không đầy đủ

Mỗi phương trình
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
giống như
\(ax^2+bx+c=0, \)
trong đó x là một biến, a, b và c là các số.
Trong phương trình đầu tiên a = -1, b = 6 và c = 1,4, trong phương trình thứ hai a = 8, b = -7 và c = 0, trong phương trình thứ ba a = 1, b = 0 và c = 4/9. Những phương trình như vậy được gọi là phương trình bậc hai.

Sự định nghĩa.
phương trình bậc haiđược gọi là phương trình có dạng ax 2 +bx+c=0, trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và \(a \neq 0 \).

Các số a, b và c là các hệ số của phương trình bậc hai. Số a gọi là hệ số thứ nhất, số b là hệ số thứ hai, số c là số hạng tự do.

Trong mỗi phương trình có dạng ax 2 +bx+c=0, trong đó \(a \neq 0 \), lũy thừa lớn nhất của biến x là một bình phương. Do đó có tên: phương trình bậc hai.

Lưu ý rằng phương trình bậc hai còn được gọi là phương trình bậc hai, vì vế trái của nó là đa thức bậc hai.

Phương trình bậc hai trong đó hệ số của x 2 bằng 1 được gọi là phương trình bậc hai đã cho. Ví dụ, các phương trình bậc hai đã cho là các phương trình
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Nếu trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có ít nhất một trong các hệ số b hoặc c bằng 0 thì phương trình đó được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ. Như vậy, các phương trình -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 là các phương trình bậc hai không đầy đủ. Trong số thứ nhất b=0, trong thứ hai c=0, trong thứ ba b=0 và c=0.

Có ba loại phương trình bậc hai không đầy đủ:
1) ax 2 +c=0, trong đó \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, trong đó \(b \neq 0 \);
3) rìu 2 = 0.

Chúng ta hãy xem xét việc giải phương trình của từng loại này.

Để giải phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 +c=0 với \(c \neq 0 \), hãy di chuyển số hạng tự do của nó sang vế phải và chia cả hai vế của phương trình cho a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Vì \(c \neq 0 \), nên \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Nếu \(-\frac(c)(a)>0\), thì phương trình có hai nghiệm.

Nếu \(-\frac(c)(a) Để giải một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 +bx=0 với \(b \neq 0 \) nhân tích vế trái của nó và thu được phương trình
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (mảng)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Điều này có nghĩa là một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 +bx=0 với \(b \neq 0 \) luôn có hai nghiệm.

Phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 = 0 tương đương với phương trình x 2 = 0 và do đó có một nghiệm duy nhất là 0.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta hãy xem xét cách giải các phương trình bậc hai trong đó cả hệ số của ẩn số và số hạng tự do đều khác 0.

Chúng ta hãy giải phương trình bậc hai ở dạng tổng quát và kết quả là chúng ta thu được công thức nghiệm. Công thức này sau đó có thể được sử dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.

Giải phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0

Chia cả hai vế cho a, ta thu được phương trình bậc hai rút gọn tương đương
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Hãy biến đổi phương trình này bằng cách chọn bình phương của nhị thức:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Biểu thức căn thức được gọi là biệt thức của phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (“phân biệt đối xử” trong tiếng Latin - phân biệt đối xử). Nó được ký hiệu bằng chữ D, tức là
\(D = b^2-4ac\)

Bây giờ, bằng cách sử dụng ký hiệu phân biệt, chúng ta viết lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), trong đó \(D= b^2-4ac \)

Hiển nhiên là:
1) Nếu D>0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm.
2) Nếu D=0 thì phương trình bậc hai có một nghiệm \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Nếu D Do đó, tùy thuộc vào giá trị của phân biệt, một phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm (đối với D > 0), một nghiệm (đối với D = 0) hoặc không có nghiệm (đối với D Khi giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng này công thức, nên làm theo cách sau:
1) tính toán phân biệt và so sánh nó với 0;
2) nếu biệt thức dương hoặc bằng 0 thì sử dụng công thức nghiệm; nếu biệt thức âm thì viết ra rằng không có nghiệm nào.

Định lý Vieta

Phương trình bậc hai đã cho ax 2 -7x+10=0 có các nghiệm 2 và 5. Tổng của các nghiệm là 7, và tích là 10. Ta thấy tổng của các nghiệm bằng hệ số thứ hai lấy với số ngược lại dấu, và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do. Bất kỳ phương trình bậc hai rút gọn nào có nghiệm đều có tính chất này.

Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai trên bằng hệ số thứ hai lấy dấu ngược lại và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do.

Những thứ kia. Định lý Vieta phát biểu rằng các nghiệm x 1 và x 2 của phương trình bậc hai rút gọn x 2 +px+q=0 có tính chất:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Tiếp tục chủ đề “Giải phương trình”, nội dung bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn phương trình bậc hai.

Chúng ta hãy xem xét mọi thứ một cách chi tiết: bản chất và ký hiệu của phương trình bậc hai, xác định các thuật ngữ đi kèm, phân tích sơ đồ giải phương trình không đầy đủ và đầy đủ, làm quen với công thức nghiệm và phân biệt, thiết lập mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số, và tất nhiên chúng tôi sẽ đưa ra giải pháp trực quan cho các ví dụ thực tế.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Phương trình bậc hai, các loại của nó

Định nghĩa 1

phương trình bậc hai là một phương trình được viết dưới dạng a x 2 + b x + c = 0, Ở đâu x– biến, a , b và c– một số con số, trong khi Một không phải là số không.

Thông thường, phương trình bậc hai còn được gọi là phương trình bậc hai, vì về bản chất phương trình bậc hai là phương trình đại số bậc hai.

Hãy đưa ra một ví dụ để minh họa định nghĩa đã cho: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, v.v. Đây là những phương trình bậc hai.

Định nghĩa 2

Các số a, b và c là các hệ số của phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0, trong khi hệ số Mộtđược gọi là hệ số thứ nhất, hoặc cao cấp, hoặc hệ số tại x 2, b - hệ số hoặc hệ số thứ hai tại x, MỘT cđược gọi là thành viên tự do.

Ví dụ, trong phương trình bậc hai 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 hệ số đầu là 6, hệ số thứ hai là − 2 , và số hạng tự do bằng − 11 . Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là khi các hệ số b và/hoặc c là số âm thì dạng rút gọn của dạng này được sử dụng 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, nhưng không 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Chúng ta cũng hãy làm rõ khía cạnh này: nếu các hệ số Một và/hoặc b bình đẳng 1 hoặc − 1 , thì họ có thể không tham gia rõ ràng vào việc viết phương trình bậc hai, điều này được giải thích bằng đặc thù của việc viết các hệ số số đã chỉ định. Ví dụ, trong phương trình bậc hai y 2 − y + 7 = 0 hệ số đầu là 1, hệ số thứ hai là − 1 .

Phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn

Dựa trên giá trị của hệ số đầu tiên, phương trình bậc hai được chia thành rút gọn và không rút gọn.

Định nghĩa 3

Phương trình bậc hai rút gọn là một phương trình bậc hai có hệ số cao nhất bằng 1. Đối với các giá trị khác của hệ số dẫn đầu, phương trình bậc hai không được rút gọn.

Cho ví dụ: các phương trình bậc hai x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 đều được rút gọn, trong đó mỗi phương trình đều có hệ số cao nhất là 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- phương trình bậc hai không rút gọn, trong đó hệ số thứ nhất khác với 1 .

Bất kỳ phương trình bậc hai không rút gọn nào cũng có thể được chuyển đổi thành phương trình rút gọn bằng cách chia cả hai vế cho hệ số thứ nhất (biến đổi tương đương). Phương trình được biến đổi sẽ có cùng nghiệm với phương trình chưa rút gọn đã cho hoặc cũng sẽ không có nghiệm nào cả.

Việc xem xét một ví dụ cụ thể sẽ cho phép chúng ta chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ phương trình bậc hai không rút gọn sang phương trình rút gọn.

ví dụ 1

Cho phương trình 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Cần phải chuyển phương trình ban đầu về dạng rút gọn.

Giải pháp

Theo sơ đồ trên, chúng ta chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho hệ số cao nhất là 6. Sau đó chúng tôi nhận được: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, và điều này giống như: (6 x 2): 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 và xa hơn: (6:6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Từ đây: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Do đó, thu được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Trả lời: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Phương trình bậc hai đầy đủ và không đầy đủ

Hãy chuyển sang định nghĩa của phương trình bậc hai. Trong đó chúng tôi đã chỉ định rằng một ≠ 0. Một điều kiện tương tự là cần thiết cho phương trình a x 2 + b x + c = 0 chính xác là hình vuông, vì tại một = 0 về cơ bản nó biến đổi thành một phương trình tuyến tính b x + c = 0.

Trong trường hợp các hệ số b Và cđều bằng 0 (điều này có thể xảy ra, cả riêng lẻ và chung), phương trình bậc hai được gọi là không đầy đủ.

Định nghĩa 4

Phương trình bậc hai không đầy đủ- một phương trình bậc hai như vậy a x 2 + b x + c = 0, trong đó ít nhất một trong các hệ số b Và c(hoặc cả hai) bằng không.

Phương trình bậc hai hoàn chỉnh– một phương trình bậc hai trong đó tất cả các hệ số số không bằng 0.

Hãy cùng thảo luận tại sao các loại phương trình bậc hai lại được đặt tên chính xác như vậy.

Khi b = 0, phương trình bậc hai có dạng a x 2 + 0 x + c = 0, điều này cũng giống như a x 2 + c = 0. Tại c = 0 phương trình bậc hai được viết là a x 2 + b x + 0 = 0, tương đương a x 2 + b x = 0. Tại b = 0 Và c = 0 phương trình sẽ có dạng một x 2 = 0. Các phương trình mà chúng ta thu được khác với phương trình bậc hai hoàn chỉnh ở chỗ vế trái của chúng không chứa một số hạng có biến x hoặc một số hạng tự do hoặc cả hai. Trên thực tế, thực tế này đã đặt tên cho loại phương trình này – không đầy đủ.

Ví dụ, x 2 + 3 x + 4 = 0 và − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 là các phương trình bậc hai đầy đủ; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – phương trình bậc hai không đầy đủ.

Giải phương trình bậc hai không đầy đủ

Định nghĩa đưa ra ở trên giúp phân biệt các loại phương trình bậc hai không đầy đủ sau đây:

  • một x 2 = 0, phương trình này tương ứng với các hệ số b = 0 và c = 0 ;
  • a · x 2 + c = 0 tại b = 0 ;
  • a · x 2 + b · x = 0 tại c = 0.

Chúng ta hãy xem xét lần lượt nghiệm của từng loại phương trình bậc hai không đầy đủ.

Giải phương trình a x 2 = 0

Như đã đề cập ở trên, phương trình này tương ứng với các hệ số b Và c, bằng 0. phương trình một x 2 = 0 có thể được chuyển đổi thành một phương trình tương đương x 2 = 0, mà chúng ta có được bằng cách chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho số Một, không bằng 0. Một thực tế hiển nhiên là nghiệm của phương trình x 2 = 0đây là số không bởi vì 0 2 = 0 . Phương trình này không có nghiệm nào khác, có thể giải thích bằng tính chất bậc: với mọi số P, không bằng 0 thì bất đẳng thức đúng p 2 > 0, từ đó suy ra rằng khi p ≠ 0 bình đẳng p 2 = 0 sẽ không bao giờ đạt được.

Định nghĩa 5

Do đó, đối với phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 = 0 có một nghiệm duy nhất x = 0.

Ví dụ 2

Ví dụ: hãy giải một phương trình bậc hai không đầy đủ − 3 x 2 = 0. Nó tương đương với phương trình x 2 = 0, gốc duy nhất của nó là x = 0, thì phương trình ban đầu có một nghiệm duy nhất - bằng 0.

Tóm lại, giải pháp được viết như sau:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Giải phương trình a x 2 + c = 0

Tiếp theo là giải phương trình bậc hai không đầy đủ, trong đó b = 0, c ≠ 0, tức là phương trình có dạng a x 2 + c = 0. Hãy biến đổi phương trình này bằng cách di chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của phương trình, đổi dấu sang vế đối diện và chia cả hai vế của phương trình cho một số không bằng 0:

  • chuyển khoản c về phía bên phải, cho ta phương trình một · x 2 = − c;
  • chia cả hai vế của phương trình cho Một, chúng ta thu được x = - c a .

Các phép biến đổi của chúng ta là tương đương; do đó, phương trình thu được cũng tương đương với phương trình ban đầu và thực tế này giúp chúng ta có thể rút ra kết luận về nghiệm của phương trình. Từ những giá trị là gì Một Và c giá trị của biểu thức - c a phụ thuộc: nó có thể có dấu trừ (ví dụ: nếu một = 1 Và c = 2, thì - c a = - 2 1 = - 2) hoặc dấu cộng (ví dụ: nếu a = − 2 Và c = 6, thì - c a = - 6 - 2 = 3); nó không bằng 0 bởi vì c ≠ 0. Chúng ta hãy tìm hiểu chi tiết hơn về các tình huống khi - c a< 0 и - c a > 0 .

Trong trường hợp khi - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа Pđẳng thức p 2 = - c a không thể đúng.

Mọi thứ sẽ khác khi - c a > 0: hãy nhớ căn bậc hai, và sẽ thấy rõ rằng căn bậc hai của phương trình x 2 = - c a sẽ là số - c a, vì - c a 2 = - c a. Không khó hiểu khi số - - c a cũng chính là nghiệm của phương trình x 2 = - c a: quả thực là - - c a 2 = - c a.

Phương trình sẽ không có gốc khác. Chúng ta có thể chứng minh điều này bằng phương pháp phản chứng. Để bắt đầu, chúng ta hãy định nghĩa các ký hiệu cho các nghiệm được tìm thấy ở trên là x 1 Và − x 1. Giả sử phương trình x 2 = - c a cũng có nghiệm x 2, khác với gốc x 1 Và − x 1. Chúng ta biết rằng bằng cách thay thế vào phương trình x gốc của nó, chúng ta biến đổi phương trình thành một đẳng thức số hợp lý.

Vì x 1 Và − x 1 chúng ta viết: x 1 2 = - c a , và với x 2- x 2 2 = - c a . Dựa trên các tính chất của các đẳng thức số, chúng ta trừ một số hạng đúng theo số hạng của một số hạng khác, điều này sẽ cho chúng ta: x 1 2 − x 2 2 = 0. Chúng ta sử dụng các tính chất của phép toán với số để viết lại đẳng thức cuối cùng dưới dạng (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Người ta biết rằng tích của hai số bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong các số đó bằng 0. Từ trên suy ra rằng x 1 − x 2 = 0 và/hoặc x 1 + x 2 = 0, giống nhau x 2 = x 1 và/hoặc x 2 = − x 1. Một mâu thuẫn rõ ràng nảy sinh, vì lúc đầu người ta đồng ý rằng nghiệm của phương trình x 2 khác với x 1 Và − x 1. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng phương trình không có nghiệm nào khác ngoài x = - c a và x = - - c a.

Hãy để chúng tôi tóm tắt tất cả các lập luận ở trên.

Định nghĩa 6

Phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 + c = 0 tương đương với phương trình x 2 = - c a, trong đó:

  • sẽ không có gốc tại - c a< 0 ;
  • sẽ có hai nghiệm x = - c a và x = - - c a với - c a > 0.

Hãy cho ví dụ về giải phương trình a x 2 + c = 0.

Ví dụ 3

Cho một phương trình bậc hai 9 x 2 + 7 = 0. Nó là cần thiết để tìm ra một giải pháp.

Giải pháp

Hãy di chuyển số hạng tự do sang vế phải của phương trình, khi đó phương trình sẽ có dạng 9 x 2 = − 7.
Chúng ta hãy chia cả hai vế của phương trình kết quả cho 9 , ta đạt được x 2 = - 7 9 . Ở bên phải chúng ta thấy một số có dấu trừ, nghĩa là: phương trình đã cho không có nghiệm. Khi đó phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu 9 x 2 + 7 = 0 sẽ không có rễ.

Trả lời: phương trình 9 x 2 + 7 = 0 không có rễ.

Ví dụ 4

Phương trình cần được giải − x 2 + 36 = 0.

Giải pháp

Hãy di chuyển 36 sang bên phải: − x 2 = − 36.
Hãy chia cả hai phần cho − 1 , chúng tôi nhận được x 2 = 36. Ở bên phải có một số dương, từ đó chúng ta có thể kết luận rằng x = 36 hoặc x = - 36 .
Hãy rút căn và viết ra kết quả cuối cùng: phương trình bậc hai không đầy đủ − x 2 + 36 = 0 có hai gốc x = 6 hoặc x = − 6.

Trả lời: x = 6 hoặc x = − 6.

Giải phương trình a x 2 +b x=0

Chúng ta hãy phân tích loại phương trình bậc hai không đầy đủ thứ ba, khi c = 0. Để tìm nghiệm của một phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 + b x = 0, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử hóa. Hãy phân tích đa thức ở vế trái của phương trình, lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc x. Bước này sẽ giúp chuyển đổi phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu thành phương trình bậc hai tương đương x (a x + b) = 0. Và phương trình này lần lượt tương đương với một tập hợp các phương trình x = 0 Và a x + b = 0. phương trình a x + b = 0 tuyến tính và gốc của nó: x = − b a.

Định nghĩa 7

Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 + b x = 0 sẽ có hai gốc x = 0 Và x = − b a.

Hãy củng cố tài liệu bằng một ví dụ.

Ví dụ 5

Cần tìm nghiệm của phương trình 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Giải pháp

Chúng tôi sẽ lấy nó ra x ngoài dấu ngoặc ta có phương trình x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Phương trình này tương đương với các phương trình x = 0 và 2 3 x - 2 2 7 = 0. Bây giờ bạn nên giải phương trình tuyến tính thu được: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Viết ngắn gọn nghiệm của phương trình như sau:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 hoặc 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 hoặc x = 3 3 7

Trả lời: x = 0, x = 3 3 7.

Phân biệt, công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai, có một công thức nghiệm:

Định nghĩa 8

x = - b ± D 2 · a, trong đó D = b 2 − 4 a c– cái gọi là phân biệt của phương trình bậc hai.

Viết x = - b ± D 2 · a về cơ bản có nghĩa là x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Sẽ rất hữu ích nếu hiểu được công thức này được hình thành như thế nào và cách áp dụng nó như thế nào.

Dẫn xuất công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Chúng ta hãy đối mặt với nhiệm vụ giải phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0. Ta thực hiện một số phép biến đổi tương đương:

  • chia cả hai vế của phương trình cho một số Một, khác 0, ta thu được phương trình bậc hai sau: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
  • Hãy chọn hình vuông hoàn chỉnh ở phía bên trái của phương trình thu được:
    x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
    Sau đó, phương trình sẽ có dạng: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
  • Bây giờ có thể chuyển hai số hạng cuối sang vế phải, đổi dấu sang ngược lại, sau đó ta được: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • Cuối cùng, chúng ta biến đổi biểu thức được viết ở vế phải của đẳng thức cuối cùng:
    b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Như vậy, ta thu được phương trình x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tương đương với phương trình ban đầu a x 2 + b x + c = 0.

Chúng tôi đã xem xét việc giải các phương trình như vậy trong các đoạn trước (giải phương trình bậc hai không đầy đủ). Kinh nghiệm đã thu được giúp có thể rút ra kết luận về nghiệm của phương trình x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

  • với b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • khi b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 thì phương trình là x + b 2 · a 2 = 0, thì x + b 2 · a = 0.

Từ đây nghiệm duy nhất x = - b 2 · a là hiển nhiên;

  • với b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, điều sau đây đúng: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 hoặc x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tương đương với x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 hoặc x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tức là phương trình có hai nghiệm.

Có thể kết luận rằng sự có mặt hay vắng mặt của nghiệm của phương trình x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (và do đó phương trình ban đầu) phụ thuộc vào dấu của biểu thức b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 viết ở bên phải. Và dấu của biểu thức này được cho bởi dấu của tử số, (mẫu số 4 một 2 sẽ luôn dương), tức là dấu của biểu thức b 2 − 4 a c. Biểu thức này b 2 − 4 a c tên được đưa ra - phân biệt của phương trình bậc hai và chữ D được xác định là ký hiệu của nó. Tại đây, bạn có thể viết ra bản chất của phân biệt đối xử - dựa trên giá trị và dấu của nó, họ có thể kết luận liệu phương trình bậc hai có nghiệm thực hay không, và nếu có thì số lượng nghiệm là bao nhiêu - một hoặc hai.

Trở lại phương trình x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Hãy viết lại nó bằng ký hiệu phân biệt: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Chúng ta hãy xây dựng lại kết luận của mình:

Định nghĩa 9

  • Tại D< 0 phương trình không có nghiệm thực;
  • Tại D=0 phương trình có một nghiệm duy nhất x = - b 2 · a ;
  • Tại D > 0 phương trình có hai nghiệm: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 hoặc x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Dựa vào tính chất của căn thức, các nghiệm này có thể viết dưới dạng: x = - b 2 · a + D 2 · a hoặc - b 2 · a - D 2 · a. Và, khi chúng ta mở mô-đun và đưa các phân số về mẫu số chung, chúng ta nhận được: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Vì vậy, kết quả suy luận của chúng tôi là rút ra công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, phân biệt D tính theo công thức D = b 2 − 4 a c.

Những công thức này giúp xác định được cả hai nghiệm thực khi phân biệt lớn hơn 0. Khi biệt thức bằng 0, việc áp dụng cả hai công thức sẽ cho cùng một nghiệm là nghiệm duy nhất của phương trình bậc hai. Trong trường hợp phân biệt số âm, nếu chúng ta cố gắng sử dụng công thức căn bậc hai, chúng ta sẽ phải đối mặt với việc phải lấy căn bậc hai của một số âm, điều này sẽ đưa chúng ta vượt ra ngoài phạm vi của số thực. Với phân biệt âm, phương trình bậc hai sẽ không có nghiệm thực, nhưng có thể có một cặp nghiệm liên hợp phức, được xác định bằng cùng các công thức nghiệm mà chúng ta thu được.

Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng công thức gốc

Có thể giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng ngay công thức nghiệm, nhưng điều này thường được thực hiện khi cần tìm các nghiệm phức.

Trong phần lớn các trường hợp, nó thường có nghĩa là tìm kiếm không phải phức tạp mà là tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai. Sau đó, điều tối ưu là trước khi sử dụng các công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai, trước tiên hãy xác định biệt thức và đảm bảo rằng nó không âm (nếu không chúng ta sẽ kết luận rằng phương trình không có nghiệm thực), sau đó tiến hành tính toán giá trị của rễ.

Lý luận trên cho phép xây dựng một thuật toán để giải phương trình bậc hai.

Định nghĩa 10

Để giải phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0, cần thiết:

  • theo công thức D = b 2 − 4 a c tìm giá trị phân biệt;
  • tại D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • với D = 0, tìm nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức x = - b 2 · a ;
  • với D > 0, xác định hai nghiệm thực của phương trình bậc hai bằng công thức x = - b ± D 2 · a.

Lưu ý rằng khi biệt thức bằng 0, bạn có thể sử dụng công thức x = - b ± D 2 · a, nó sẽ cho kết quả tương tự như công thức x = - b 2 · a.

Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ về giải phương trình bậc hai

Hãy để chúng tôi đưa ra giải pháp cho các ví dụ về các giá trị khác nhau của phân biệt đối xử.

Ví dụ 6

Chúng ta cần tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 2 x − 6 = 0.

Giải pháp

Hãy viết các hệ số của phương trình bậc hai: a = 1, b = 2 và c = − 6. Tiếp theo chúng ta tiến hành theo thuật toán, tức là. Hãy bắt đầu tính toán biệt thức, chúng ta sẽ thay thế các hệ số a, b Và c vào công thức phân biệt: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Vì vậy, chúng ta nhận được D > 0, nghĩa là phương trình ban đầu sẽ có hai nghiệm thực.
Để tìm chúng, chúng ta sử dụng công thức gốc x = - b ± D 2 · a và thay các giá trị tương ứng, chúng ta nhận được: x = - 2 ± 28 2 · 1. Chúng ta hãy đơn giản hóa biểu thức thu được bằng cách lấy thừa số ra khỏi dấu căn rồi rút gọn phân số:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 hoặc x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 hoặc x = - 1 - 7

Trả lời: x = - 1 + 7​​​​​, x = - 1 - 7 .

Ví dụ 7

Cần giải phương trình bậc hai − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Giải pháp

Hãy xác định sự phân biệt đối xử: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Với giá trị biệt thức này, phương trình ban đầu sẽ chỉ có một nghiệm duy nhất, xác định theo công thức x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Trả lời: x = 3,5.

Ví dụ 8

Phương trình cần được giải 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Giải pháp

Các hệ số của phương trình này sẽ là: a = 5, b = 6 và c = 2. Chúng tôi sử dụng các giá trị này để tìm phân biệt: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Phân biệt được tính là âm, do đó phương trình bậc hai ban đầu không có nghiệm thực.

Trong trường hợp nhiệm vụ chỉ ra các nghiệm phức, chúng ta áp dụng công thức nghiệm, thực hiện các hành động với số phức:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 hoặc x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i hoặc x = - 3 5 - 1 5 · i.

Trả lời: không có rễ thực sự; các nghiệm phức như sau: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Trong chương trình giảng dạy ở trường không có yêu cầu tiêu chuẩn về tìm nghiệm phức, do đó, nếu trong quá trình giải phân biệt được xác định là phủ định thì câu trả lời ngay lập tức được viết ra là không có nghiệm thực.

Công thức gốc cho hệ số chẵn thứ hai

Công thức nghiệm x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) cho phép thu được một công thức khác, gọn hơn, cho phép tìm nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số chẵn cho x ( hoặc với hệ số có dạng 2 · n, ví dụ 2 3 hoặc 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Hãy để chúng tôi chỉ ra cách thức công thức này được bắt nguồn.

Chúng ta hãy đối mặt với nhiệm vụ tìm nghiệm của phương trình bậc hai a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Chúng tôi tiến hành theo thuật toán: chúng tôi xác định phân biệt D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), sau đó sử dụng công thức gốc:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Đặt biểu thức n 2 − a · c được ký hiệu là D 1 (đôi khi nó được ký hiệu là D "). Khi đó, công thức nghiệm của phương trình bậc hai đang xét với hệ số thứ hai 2 · n sẽ có dạng:

x = - n ± D 1 a, trong đó D 1 = n 2 − a · c.

Dễ dàng thấy D = 4 · D 1 hoặc D 1 = D 4. Nói cách khác, D 1 là một phần tư của phân biệt đối xử. Rõ ràng, dấu của D 1 giống với dấu của D, có nghĩa là dấu của D 1 cũng có thể đóng vai trò là dấu hiệu cho thấy sự có mặt hay vắng mặt của nghiệm của một phương trình bậc hai.

Định nghĩa 11

Vì vậy, để tìm nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thứ hai là 2 n, cần phải:

  • tìm D 1 = n 2 − a · c ;
  • tại D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • khi D 1 = 0, xác định nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức x = - n a;
  • với D 1 > 0, xác định hai nghiệm thực bằng công thức x = - n ± D 1 a.

Ví dụ 9

Cần giải phương trình bậc hai 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Giải pháp

Chúng ta có thể biểu diễn hệ số thứ hai của phương trình đã cho là 2 · (- 3) . Sau đó, chúng ta viết lại phương trình bậc hai đã cho thành 5 x 2 + 2 (- 3) x − 32 = 0, trong đó a = 5, n = − 3 và c = − 32.

Hãy tính phần thứ tư của phân biệt: D 1 = n 2 − a · c = (- 3) 2 − 5 · (- 32) = 9 + 160 = 169. Giá trị kết quả là dương, có nghĩa là phương trình có hai nghiệm thực. Chúng ta hãy xác định chúng bằng cách sử dụng công thức gốc tương ứng:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 hoặc x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 hoặc x = - 2

Có thể thực hiện các phép tính bằng cách sử dụng công thức thông thường cho nghiệm của phương trình bậc hai, nhưng trong trường hợp này, lời giải sẽ phức tạp hơn.

Trả lời: x = 3 1 5 hoặc x = - 2 .

Đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai

Đôi khi có thể tối ưu hóa dạng phương trình ban đầu, điều này sẽ đơn giản hóa quá trình tính nghiệm.

Ví dụ, phương trình bậc hai 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 rõ ràng là dễ giải hơn phương trình 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Thông thường, việc đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai được thực hiện bằng cách nhân hoặc chia cả hai vế của nó cho một số nhất định. Ví dụ, ở trên chúng ta đã trình bày cách biểu diễn đơn giản của phương trình 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, thu được bằng cách chia cả hai vế cho 100.

Phép biến đổi như vậy có thể thực hiện được khi các hệ số của phương trình bậc hai không phải là số nguyên tố cùng nhau. Sau đó, chúng ta thường chia cả hai vế của phương trình cho ước số chung lớn nhất của các giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó.

Ví dụ: chúng ta sử dụng phương trình bậc hai 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Hãy xác định GCD của các giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Chúng ta hãy chia cả hai vế của phương trình bậc hai ban đầu cho 6 và thu được phương trình bậc hai tương đương 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình bậc hai, bạn thường loại bỏ được các hệ số phân số. Trong trường hợp này, chúng nhân với bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các hệ số của nó. Ví dụ: nếu mỗi phần của phương trình bậc hai 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 được nhân với LCM (6, 3, 1) = 6 thì nó sẽ được viết dưới dạng đơn giản hơn x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Cuối cùng, chúng ta lưu ý rằng chúng ta hầu như luôn loại bỏ điểm trừ ở hệ số đầu tiên của phương trình bậc hai bằng cách thay đổi dấu của từng số hạng của phương trình, điều này đạt được bằng cách nhân (hoặc chia) cả hai vế cho - 1. Ví dụ: từ phương trình bậc hai − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, bạn có thể chuyển sang phiên bản đơn giản hóa của nó 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, mà chúng ta đã biết, x = - b ± D 2 · a, biểu thị nghiệm của phương trình thông qua các hệ số số của nó. Dựa trên công thức này, chúng ta có cơ hội xác định các mối phụ thuộc khác giữa nghiệm và hệ số.

Công thức nổi tiếng và có thể áp dụng được nhất là định lý Vieta:

x 1 + x 2 = - b a và x 2 = c a.

Cụ thể, đối với phương trình bậc hai đã cho, tổng các nghiệm là hệ số thứ hai trái dấu, tích của các nghiệm bằng số hạng tự do. Ví dụ, bằng cách nhìn vào dạng phương trình bậc hai 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, có thể xác định ngay rằng tổng các nghiệm của nó là 7 3 và tích của các nghiệm là 22 3.

Bạn cũng có thể tìm thấy một số mối liên hệ khác giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Ví dụ: tổng bình phương của các nghiệm của một phương trình bậc hai có thể được biểu diễn dưới dạng các hệ số:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Chỉ. Theo công thức và quy tắc rõ ràng, đơn giản. Ở giai đoạn đầu tiên

cần phải đưa phương trình đã cho về dạng chuẩn, tức là đến dạng:

Nếu phương trình đã được cung cấp cho bạn ở dạng này, thì bạn không cần phải thực hiện giai đoạn đầu tiên. Điều quan trọng nhất là làm đúng

xác định tất cả các hệ số MỘT, b Và c.

Công thức tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai.

Biểu thức dưới dấu gốc được gọi là phân biệt đối xử . Như bạn thấy, để tìm X, chúng ta

chúng tôi sử dụng chỉ có a, b và c. Những thứ kia. hệ số từ phương trình bậc hai. Chỉ cần cẩn thận thiết lập nó

giá trị a, b và c Chúng tôi tính toán vào công thức này. Chúng tôi thay thế bằng của họ dấu hiệu!

Ví dụ, trong phương trình:

MỘT =1; b = 3; c = -4.

Chúng tôi thay thế các giá trị và viết:

Ví dụ gần như đã được giải quyết:

Đây là câu trả lời.

Những lỗi phổ biến nhất là nhầm lẫn với các giá trị ký hiệu một, b Và Với. Hay đúng hơn là với sự thay thế

giá trị âm vào công thức tính căn. Bản ghi chi tiết công thức được giải cứu tại đây

bằng những con số cụ thể. Nếu bạn gặp vấn đề với việc tính toán, hãy làm điều đó!

Giả sử chúng ta cần giải ví dụ sau:

Đây Một = -6; b = -5; c = -1

Chúng tôi mô tả mọi thứ một cách chi tiết, cẩn thận, không bỏ sót điều gì với đầy đủ các dấu hiệu và dấu ngoặc:

Phương trình bậc hai thường trông hơi khác một chút. Ví dụ như thế này:

Bây giờ hãy lưu ý đến các kỹ thuật thực tế giúp giảm đáng kể số lỗi.

Cuộc hẹn đầu tiên. Đừng lười biếng trước đó giải phương trình bậc haiđưa nó về dạng chuẩn.

Điều đó có nghĩa là gì?

Giả sử rằng sau tất cả các phép biến đổi, bạn nhận được phương trình sau:

Đừng vội viết công thức gốc! Bạn gần như chắc chắn sẽ nhận được tỷ lệ cược lẫn lộn a, b và c.

Xây dựng ví dụ một cách chính xác. Đầu tiên, X bình phương, sau đó không bình phương, sau đó là số hạng tự do. Như thế này:

Loại bỏ điểm trừ. Làm sao? Chúng ta cần nhân toàn bộ phương trình với -1. Chúng tôi nhận được:

Nhưng bây giờ bạn có thể viết ra công thức nghiệm một cách an toàn, tính phân biệt và hoàn thành việc giải ví dụ.

Quyết định cho chính mình. Bây giờ bạn sẽ có gốc 2 và -1.

Tiếp nhận thứ hai. Kiểm tra rễ! Qua Định lý Vieta.

Để giải các phương trình bậc hai đã cho, tức là nếu hệ số

x 2 +bx+c=0,

Sau đóx 1 x 2 = c

x 1 +x 2 =−b

Để có một phương trình bậc hai đầy đủ trong đó a≠1:

x2 +bx+c=0,

chia toàn bộ phương trình cho MỘT:

→ →

Ở đâu x 1 Và x 2 - nghiệm của phương trình.

Lễ tân thứ ba. Nếu phương trình của bạn có hệ số phân số, hãy loại bỏ phân số! nhân

phương trình có mẫu số chung.

Phần kết luận. Những mẹo có ích:

1. Trước khi giải, ta đưa phương trình bậc hai về dạng chuẩn và xây dựng nó Phải.

2. Nếu có hệ số âm đứng trước bình phương X, chúng ta loại bỏ nó bằng cách nhân mọi thứ

phương trình bằng -1.

3. Nếu các hệ số là phân số, chúng ta loại bỏ các phân số bằng cách nhân toàn bộ phương trình với số tương ứng

nhân tố.

4. Nếu x bình phương là số nguyên, hệ số của nó bằng 1 thì dễ dàng kiểm tra được nghiệm bằng