Việc tìm đạo hàm của một cái đã cho là ẩn ý. Đạo hàm bậc cao của hàm ngầm cho trước

Hãy để hàm được xác định ngầm bằng cách sử dụng phương trình
(1) .
Và để phương trình này, với một giá trị nào đó, có nghiệm duy nhất. Giả sử hàm số là hàm khả vi tại điểm , và
.
Khi đó, ở giá trị này có đạo hàm, được xác định theo công thức:
(2) .

Bằng chứng

Để chứng minh điều đó, hãy coi hàm này là hàm phức của biến:
.
Hãy áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số phức và tìm đạo hàm theo một biến ở vế trái và vế phải của phương trình
(3) :
.
Vì đạo hàm của một hằng số bằng 0 và , nên
(4) ;
.

Công thức đã được chứng minh.

Các dẫn xuất bậc cao hơn

Hãy viết lại phương trình (4) bằng các ký hiệu khác nhau:
(4) .
Đồng thời, và là các hàm phức tạp của biến:
;
.
Sự phụ thuộc được xác định theo phương trình (1):
(1) .

Chúng ta tìm đạo hàm đối với biến từ vế trái và vế phải của phương trình (4).
Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:
;
.
Theo công thức phái sinh sản phẩm:

.
Sử dụng công thức tính tổng đạo hàm:

.

Vì đạo hàm của vế phải của phương trình (4) bằng 0 nên
(5) .
Thay đạo hàm ở đây, ta thu được giá trị của đạo hàm bậc hai ở dạng ẩn.

Vi phân phương trình (5) theo cách tương tự, ta thu được phương trình chứa đạo hàm bậc ba:
.
Thay thế ở đây các giá trị tìm được của đạo hàm bậc một và bậc hai, ta tìm được giá trị của đạo hàm bậc ba.

Tiếp tục lấy đạo hàm, người ta có thể tìm được đạo hàm của bất kỳ bậc nào.

Ví dụ

ví dụ 1

Tìm đạo hàm cấp một của hàm được cho bởi phương trình:
(P1) .

Giải theo công thức 2

Chúng tôi tìm đạo hàm bằng công thức (2):
(2) .

Hãy di chuyển tất cả các biến sang bên trái để phương trình có dạng .
.
Từ đây.

Chúng ta tìm đạo hàm đối với , coi nó là hằng số.
;
;
;
.

Chúng ta tìm đạo hàm đối với biến, coi hằng số là biến.
;
;
;
.

Sử dụng công thức (2) chúng ta tìm thấy:
.

Chúng ta có thể đơn giản hóa kết quả nếu lưu ý rằng theo phương trình ban đầu (A.1), . Hãy thay thế:
.
Nhân tử số và mẫu số với:
.

Giải pháp cách thứ hai

Hãy giải ví dụ này theo cách thứ hai. Để làm điều này, chúng ta sẽ tìm đạo hàm theo biến của vế trái và vế phải của phương trình ban đầu (A1).

Chúng tôi áp dụng:
.
Ta áp dụng công thức đạo hàm:
;
.
Chúng ta áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức:
.
Hãy đạo hàm phương trình ban đầu (A1).
(P1) ;
;
.
Chúng tôi nhân và nhóm các điều khoản.
;
.

Hãy thay thế (từ phương trình (A1)):
.
Nhân với:
.

Trả lời

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số đã cho bằng cách sử dụng phương trình:
(A2.1) .

Giải pháp

Chúng ta vi phân phương trình ban đầu theo biến, coi đó là hàm của:
;
.
Chúng ta áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức.
.

Hãy đạo hàm phương trình ban đầu (A2.1):
;
.
Từ phương trình ban đầu (A2.1) suy ra rằng . Hãy thay thế:
.
Mở ngoặc và nhóm các thành viên:
;
(A2.2) .
Ta tìm đạo hàm cấp 1:
(A2.3) .

Để tìm đạo hàm bậc hai, ta vi phân phương trình (A2.2).
;
;
;
.
Chúng ta hãy thay thế biểu thức cho đạo hàm bậc nhất (A2.3):
.
Nhân với:

;
.
Từ đây ta tìm được đạo hàm bậc hai.

Trả lời

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm bậc ba của hàm số đã cho bằng cách sử dụng phương trình:
(A3.1) .

Giải pháp

Chúng ta vi phân phương trình ban đầu theo biến, giả sử rằng nó là hàm của .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Chúng ta hãy lấy đạo hàm phương trình (A3.2) theo biến .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Hãy để chúng tôi phân tích phương trình (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Từ các phương trình (A3.2), (A3.3) và (A3.4) ta tìm được giá trị của đạo hàm tại .
;
;
.

Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét hàm ẩn của một biến. Nó được xác định bởi phương trình (1), trong đó liên kết mỗi x từ một vùng X nào đó với một y nhất định. Khi đó trên X hàm số y=f(x) được xác định bởi phương trình này. Họ gọi cô ấy ngầm hoặc ngầm đưa ra. Nếu phương trình (1) có thể được giải theo y, tức là lấy dạng y=f(x), khi đó việc xác định hàm ẩn sẽ trở thành rõ ràng. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể giải được phương trình, và trong trường hợp này không phải lúc nào cũng rõ ràng liệu hàm ẩn y=f(x), được xác định bởi phương trình (1) trong một lân cận nào đó của điểm (x 0 , y 0 ), hoàn toàn tồn tại.

Ví dụ, phương trình
chẳng hạn, nó là tương đối không thể giải quyết được và không rõ liệu nó có định nghĩa một hàm ẩn trong một lân cận nào đó của điểm (1,0) hay không. Lưu ý rằng có những phương trình không xác định bất kỳ hàm số nào (x 2 +y 2 +1=0).

Định lý sau đây tỏ ra đúng:

Định lý"Sự tồn tại và khả vi của hàm ẩn" (không có bằng chứng)

Hãy để phương trình được đưa ra
(1) và chức năng
, thỏa mãn điều kiện:

Sau đó:

. (2)

Về mặt hình học, định lý phát biểu rằng trong lân cận của một điểm
, trong đó các điều kiện của định lý được đáp ứng, hàm ẩn được xác định bởi phương trình (1) có thể được xác định rõ ràng y=f(x), bởi vì Với mỗi giá trị x có một y duy nhất. Ngay cả khi chúng ta không thể tìm thấy biểu thức của hàm ở dạng rõ ràng, chúng ta chắc chắn rằng ở một lân cận nào đó của điểm M 0, về nguyên tắc, điều này đã có thể xảy ra.

Hãy xem ví dụ tương tự:
. Hãy kiểm tra các điều kiện:

1)
,
- cả hàm số và đạo hàm của nó đều liên tục trong lân cận điểm (1,0) (dưới dạng tổng và tích của các số liên tục).

2)
.

3)
. Điều này có nghĩa là hàm ẩn y = f(x) tồn tại trong lân cận của điểm (1,0). Chúng ta không thể viết nó ra một cách rõ ràng, nhưng chúng ta vẫn có thể tìm được đạo hàm của nó, thậm chí sẽ liên tục:

Bây giờ chúng ta hãy xem xét hàm ẩn của một số biến. Hãy để phương trình được đưa ra

. (2)

Nếu với mỗi cặp giá trị (x, y) từ một miền nhất định, phương trình (2) liên kết một giá trị z cụ thể, thì phương trình này được cho là ngầm xác định hàm một giá trị của hai biến
.

Định lý tương ứng về sự tồn tại và đạo hàm của hàm ẩn của nhiều biến cũng có giá trị.

Định lý 2: Cho phương trình
(2) và chức năng
thỏa mãn các điều kiện:

Ví dụ:
. Phương trình này định nghĩa z là hàm ẩn hai giá trị của x và y
. Nếu chúng ta kiểm tra các điều kiện của định lý trong vùng lân cận của một điểm, ví dụ (0,0,1), chúng ta thấy rằng tất cả các điều kiện đều được đáp ứng:

Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm có giá trị đơn ẩn trong vùng lân cận của điểm (0,0,1): Chúng ta có thể nói ngay rằng đây là
, xác định bán cầu trên.

Có đạo hàm riêng liên tục
Nhân tiện, chúng sẽ giống nhau nếu chúng ta vi phân hàm ẩn được biểu diễn trực tiếp một cách rõ ràng.

Định nghĩa và định lý về sự tồn tại và đạo hàm của một hàm ẩn có nhiều đối số hơn là tương tự nhau.

Đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm định

Hay nói tóm lại là đạo hàm của một hàm ẩn. Hàm ngầm là gì? Vì các bài học của tôi mang tính thực tiễn nên tôi cố gắng tránh các định nghĩa và định lý, nhưng làm như vậy ở đây sẽ thích hợp hơn. Dù sao thì chức năng là gì?

Hàm biến đơn là một quy tắc theo đó mỗi giá trị của biến độc lập tương ứng với một và chỉ một giá trị của hàm.

Biến được gọi biến độc lập hoặc lý lẽ.
Biến được gọi biến phụ thuộc hoặc chức năng.

Nói một cách đại khái, chữ “Y” trong trường hợp này là hàm.

Cho đến nay chúng ta đã xem xét các hàm được định nghĩa trong rõ ràng hình thức. Nó có nghĩa là gì? Hãy tiến hành một cuộc phỏng vấn bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể.

Hãy xem xét chức năng

Chúng tôi thấy rằng ở bên trái, chúng tôi có một “trò chơi” (chức năng) duy nhất và ở bên phải - chỉ có "X". Tức là chức năng rõ ràngđược thể hiện thông qua biến độc lập.

Hãy xem xét một chức năng khác:

Đây là nơi các biến được trộn lẫn. Hơn thế nữa không thể bằng mọi cách chỉ thể hiện “Y” thông qua “X”. Những phương pháp này là gì? Chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác bằng cách đổi dấu, chuyển chúng ra khỏi ngoặc, ném các thừa số theo quy tắc tỷ lệ, v.v. Viết lại đẳng thức và cố gắng biểu thị chữ “y” một cách rõ ràng: . Bạn có thể vặn vẹo phương trình trong nhiều giờ, nhưng bạn sẽ không thành công.

Hãy để tôi giới thiệu cho bạn: – ví dụ hàm ẩn.

Trong quá trình phân tích toán học người ta đã chứng minh rằng hàm ẩn tồn tại(tuy nhiên, không phải lúc nào cũng vậy), nó có một biểu đồ (giống như một hàm “bình thường”). Hàm ngầm hoàn toàn giống nhau tồn tạiđạo hàm thứ nhất, đạo hàm thứ hai, v.v. Như họ nói, tất cả các quyền của thiểu số tình dục đều được tôn trọng.

Và trong bài học này chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của một hàm số ẩn. Nó không khó lắm đâu! Tất cả các quy tắc đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm cơ bản vẫn được giữ nguyên. Sự khác biệt nằm ở một thời điểm đặc biệt mà chúng ta sẽ xem xét ngay bây giờ.

Có, và tôi sẽ cho bạn biết một tin tốt - các nhiệm vụ được thảo luận dưới đây được thực hiện theo một thuật toán khá nghiêm ngặt và rõ ràng mà không cần có một hòn đá nào trước ba đường đua.

ví dụ 1

1) Ở giai đoạn đầu tiên, chúng ta đính kèm các nét vào cả hai phần:

2) Ta sử dụng quy tắc tuyến tính đạo hàm (hai quy tắc đầu bài Làm thế nào để tìm đạo hàm? Ví dụ về giải pháp):

3) Sự khác biệt trực tiếp.
Cách phân biệt hoàn toàn rõ ràng. Phải làm gì khi có “trò chơi” dưới nét vẽ?

- đến mức đáng hổ thẹn, đạo hàm của một hàm số bằng đạo hàm của nó: .

Cách phân biệt
Ở đây chúng tôi có hàm phức tạp. Tại sao? Có vẻ như dưới sin chỉ có một chữ cái “Y”. Nhưng sự thật là chỉ có một chữ cái “y” - Bản thân nó là một chức năng(xem định nghĩa ở đầu bài). Vì vậy, sin là hàm bên ngoài và là hàm bên trong. Chúng ta sử dụng quy tắc để lấy đạo hàm một hàm phức :

Chúng tôi phân biệt sản phẩm theo quy tắc thông thường :

Xin lưu ý rằng – cũng là một hàm phức tạp, bất kỳ “trò chơi có chuông và còi” nào cũng là một hàm phức tạp:

Bản thân giải pháp sẽ trông giống như thế này:

Nếu có dấu ngoặc thì hãy mở rộng chúng:

4) Ở phía bên trái, chúng tôi thu thập các số hạng có chứa chữ “Y” với số nguyên tố. Di chuyển mọi thứ khác sang bên phải:

5) Ở vế trái, ta lấy đạo hàm trong ngoặc:

6) Và theo quy tắc tỉ lệ, ta thả các dấu ngoặc này vào mẫu số của vế phải:

Đạo hàm đã được tìm thấy. Sẵn sàng.

Điều thú vị cần lưu ý là bất kỳ hàm nào cũng có thể được viết lại một cách ngầm định. Ví dụ, chức năng có thể được viết lại như thế này: . Và phân biệt nó bằng thuật toán vừa thảo luận. Trên thực tế, các cụm từ “hàm ngầm” và “hàm ẩn” khác nhau về một sắc thái ngữ nghĩa. Cụm từ “hàm được chỉ định ngầm” thì tổng quát và chính xác hơn, – chức năng này được chỉ định ngầm, nhưng ở đây bạn có thể diễn đạt “trò chơi” và trình bày chức năng một cách rõ ràng. Cụm từ “hàm ẩn” đề cập đến hàm ẩn “cổ điển” khi chữ “y” không thể được biểu thị.

Giải pháp thứ hai

Chú ý! Bạn chỉ có thể làm quen với phương pháp thứ hai nếu bạn biết cách tự tin tìm thấy dẫn một phần. Xin vui lòng cho người mới bắt đầu tính toán và người chưa biết đừng đọc và bỏ qua điểm này, nếu không đầu bạn sẽ hoàn toàn hỗn loạn.

Hãy tìm đạo hàm của hàm ẩn bằng phương pháp thứ hai.

Chúng tôi di chuyển tất cả các điều khoản sang phía bên trái:

Và xét hàm hai biến:

Sau đó, đạo hàm của chúng tôi có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức
Hãy tìm đạo hàm riêng:

Như vậy:

Giải pháp thứ hai cho phép bạn thực hiện kiểm tra. Nhưng họ không nên viết ra phiên bản cuối cùng của bài tập, vì đạo hàm riêng sẽ được nắm vững sau này và học sinh học chủ đề “Đạo hàm của hàm một biến” thì chưa biết đạo hàm riêng.

Hãy xem xét thêm một vài ví dụ.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho ngầm

Thêm nét cho cả hai phần:

Chúng tôi sử dụng quy tắc tuyến tính:

Tìm đạo hàm:

Mở tất cả các dấu ngoặc:

Chúng tôi di chuyển tất cả các số hạng sang bên trái, phần còn lại sang bên phải:

Ở phía bên trái, chúng tôi đặt nó ra khỏi ngoặc:

Câu trả lời cuối cùng:

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho ngầm

Giải pháp đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài học.

Không có gì lạ khi phân số xuất hiện sau khi lấy vi phân. Trong những trường hợp như vậy, bạn cần loại bỏ phân số. Hãy xem xét hai ví dụ nữa.

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho ngầm

Chúng ta đặt cả hai phần dưới các nét và sử dụng quy tắc tuyến tính:

Hay nói tóm lại - đạo hàm của một hàm ẩn. Hàm ngầm là gì? Vì các bài học của tôi mang tính thực tiễn nên tôi cố gắng tránh các định nghĩa và định lý, nhưng làm như vậy ở đây sẽ thích hợp hơn. Dù sao thì chức năng là gì?

Hàm một biến là một quy tắc nêu rõ rằng với mỗi giá trị của biến độc lập thì có một và chỉ một giá trị của hàm.

Biến được gọi biến độc lập hoặc lý lẽ.
Biến được gọi biến phụ thuộc hoặc chức năng.

Nói một cách đại khái, chữ “Y” trong trường hợp này là hàm.

Hãy xem xét chức năng

Chúng ta thấy rằng ở bên trái chúng ta có một chữ “Y” (chức năng) duy nhất và ở bên phải - chỉ có "X". Tức là chức năng rõ ràngđược thể hiện thông qua biến độc lập.

Hãy xem xét một chức năng khác:

Hãy để tôi giới thiệu cho bạn: - ví dụ hàm ẩn.

ví dụ 1

1) Ở giai đoạn đầu tiên, chúng ta đính kèm các nét vào cả hai phần:

2) Ta sử dụng quy tắc tuyến tính đạo hàm (hai quy tắc đầu bài Làm thế nào để tìm đạo hàm? Ví dụ về giải pháp):

3) Sự khác biệt trực tiếp.
Cách phân biệt hoàn toàn rõ ràng. Phải làm gì khi có “trò chơi” dưới nét vẽ?

Đến mức đáng hổ thẹn đạo hàm của một hàm số bằng đạo hàm của nó: .

Cách phân biệt

Ở đây chúng tôi có hàm phức tạp. Tại sao? Có vẻ như dưới sin chỉ có một chữ cái “Y”. Nhưng sự thật là chỉ có một chữ cái “y” - Bản thân nó là một chức năng(xem định nghĩa ở đầu bài). Vì vậy, sin là hàm bên ngoài và là hàm bên trong. Chúng ta sử dụng quy tắc để lấy đạo hàm một hàm phức :

Chúng tôi phân biệt sản phẩm theo quy tắc thông thường :

Xin lưu ý rằng - cũng là một hàm phức tạp, bất kỳ “trò chơi có chuông và còi” nào cũng là một hàm phức tạp:

Bản thân giải pháp sẽ trông giống như thế này:

Nếu có dấu ngoặc, hãy mở rộng chúng:

4) Ở phía bên trái, chúng tôi thu thập các số hạng có chứa chữ “Y” với số nguyên tố. Di chuyển mọi thứ khác sang bên phải:

5) Ở vế trái, ta lấy đạo hàm trong ngoặc:

6) Và theo quy tắc tỉ lệ, ta thả các dấu ngoặc này vào mẫu số của vế phải:

Đạo hàm đã được tìm thấy. Sẵn sàng.

Điều thú vị cần lưu ý là bất kỳ hàm nào cũng có thể được viết lại một cách ngầm định. Ví dụ, chức năng có thể được viết lại như thế này: . Và phân biệt nó bằng thuật toán vừa thảo luận. Trên thực tế, các cụm từ “hàm ngầm” và “hàm ẩn” khác nhau về một sắc thái ngữ nghĩa. Cụm từ “hàm được chỉ định ngầm” thì tổng quát và chính xác hơn, - chức năng này được chỉ định ngầm, nhưng ở đây bạn có thể diễn đạt “trò chơi” và trình bày chức năng một cách rõ ràng. Cụm từ “hàm ẩn” đề cập đến hàm ẩn “cổ điển” khi chữ “y” không thể được biểu thị.

Giải pháp thứ hai

Chú ý! Bạn chỉ có thể làm quen với phương pháp thứ hai nếu bạn biết cách tự tin tìm đạo hàm riêng. Những người mới bắt đầu và mới bắt đầu nghiên cứu phân tích toán học, vui lòng không đọc và bỏ qua điểm này, nếu không đầu bạn sẽ hoàn toàn hỗn loạn.

Hãy tìm đạo hàm của hàm ẩn bằng phương pháp thứ hai.

Chúng tôi di chuyển tất cả các điều khoản sang phía bên trái:

Và xét hàm hai biến:

Sau đó, đạo hàm của chúng tôi có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức

Hãy tìm đạo hàm riêng:

Như vậy:

Hãy xem xét thêm một vài ví dụ.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho ngầm

Thêm nét cho cả hai phần:

Chúng tôi sử dụng quy tắc tuyến tính:

Tìm đạo hàm:

Mở tất cả các dấu ngoặc:

Chúng tôi di chuyển tất cả các số hạng sang bên trái, phần còn lại - sang bên phải:

Ở phía bên trái, chúng tôi đặt nó ra khỏi ngoặc:

Câu trả lời cuối cùng:

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho ngầm

Giải pháp đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài học.

Không có gì lạ khi phân số xuất hiện sau khi lấy vi phân. Trong những trường hợp như vậy, bạn cần loại bỏ phân số. Hãy xem xét hai ví dụ nữa.

Chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của các hàm xác định ngầm, nghĩa là được xác định bởi các phương trình nhất định nối các biến x Và y. Ví dụ về các hàm được chỉ định ngầm định:

Đạo hàm của hàm được xác định ngầm hoặc đạo hàm của hàm ẩn được tìm thấy khá đơn giản. Bây giờ chúng ta hãy xem quy tắc và ví dụ tương ứng, sau đó tìm hiểu lý do tại sao nói chung điều này lại cần thiết.

Để tìm đạo hàm của một hàm ẩn, bạn cần lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x. Những số hạng chỉ có X sẽ trở thành đạo hàm thông thường của hàm từ X. Và các số hạng của trò chơi phải được đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc lấy đạo hàm một hàm phức tạp, vì trò chơi là một hàm của X. Nói một cách khá đơn giản, đạo hàm thu được của số hạng với x sẽ dẫn đến: đạo hàm của hàm số theo y nhân với đạo hàm theo y. Ví dụ: đạo hàm của một số hạng sẽ được viết là , đạo hàm của một số hạng sẽ được viết là . Tiếp theo, từ tất cả những điều này, bạn cần thể hiện “cú đánh trò chơi” này và sẽ thu được đạo hàm mong muốn của hàm được chỉ định ngầm. Hãy xem xét điều này với một ví dụ.

Ví dụ 1.

Giải pháp. Chúng ta vi phân cả hai vế của phương trình theo x, giả sử rằng i là hàm của x:

Từ đây ta có được đạo hàm cần thiết trong bài toán:

Bây giờ đôi điều về tính chất mơ hồ của các hàm được chỉ định ngầm định và tại sao cần có các quy tắc đặc biệt để lấy vi phân của chúng. Trong một số trường hợp, bạn có thể đảm bảo rằng việc thay biểu thức theo x vào một phương trình đã cho (xem ví dụ ở trên) thay vì trò chơi, sẽ dẫn đến thực tế là phương trình này trở thành một đẳng thức. Vì thế. Phương trình trên ngầm xác định các hàm sau:

Sau khi thay biểu thức của trò chơi bình phương thông qua x vào phương trình ban đầu, chúng ta thu được đẳng thức:

Các biểu thức mà chúng tôi thay thế thu được bằng cách giải phương trình của trò chơi.

Nếu chúng ta phân biệt hàm rõ ràng tương ứng

thì chúng ta sẽ nhận được câu trả lời như trong ví dụ 1 - từ một hàm được chỉ định ngầm định:

Nhưng không phải mọi hàm được chỉ định ngầm đều có thể được biểu diễn dưới dạng y = f(x) . Vì vậy, ví dụ, các hàm được chỉ định ngầm

không được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản, nghĩa là các phương trình này không thể giải được trong trò chơi. Do đó, có một quy tắc để lấy đạo hàm một hàm được chỉ định ngầm, mà chúng tôi đã nghiên cứu và sẽ áp dụng nhất quán hơn nữa trong các ví dụ khác.

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số đã cho:

Chúng tôi biểu thị số nguyên tố và - ở đầu ra - đạo hàm của hàm được chỉ định ngầm định:

Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số đã cho:

Giải pháp. Chúng ta lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x:

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của hàm số đã cho:

Giải pháp. Chúng ta lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x:

Chúng tôi biểu thị và thu được đạo hàm:

Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của hàm số đã cho:

Giải pháp. Chúng ta di chuyển các số hạng ở vế phải của phương trình sang vế trái và để lại số 0 ở vế phải. Chúng ta lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x.