Mở rộng hàm trực tuyến thành chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa, sự hội tụ của chúng, mở rộng hàm thành chuỗi lũy thừa

16.1. Khai triển các hàm cơ bản trong chuỗi Taylor và Maclaurin

Hãy chứng minh rằng nếu một hàm tùy ý được xác định trên một tập hợp
, ở lân cận điểm
có nhiều đạo hàm và là tổng của chuỗi lũy thừa:

thì bạn có thể tìm thấy các hệ số của chuỗi này.

Hãy thay thế trong một chuỗi lũy thừa
. Sau đó
.

Hãy tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số
:

Tại
:
.

Đối với đạo hàm thứ hai, chúng tôi nhận được:

Tại
:
.

Tiếp tục thủ tục này N một khi chúng tôi nhận được:
.

Như vậy, ta thu được chuỗi lũy thừa có dạng:

được gọi là bên cạnh Taylor cho chức năng
ở lân cận của điểm
.

Trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor là Dòng Maclaurin Tại
:

Phần còn lại của chuỗi Taylor (Maclaurin) thu được bằng cách loại bỏ chuỗi chính N thành viên đầu tiên và được ký hiệu là
. Sau đó, chức năng
có thể được viết dưới dạng tổng N thành viên đầu tiên của bộ truyện
và phần còn lại
:,

Phần còn lại thường là
thể hiện dưới các công thức khác nhau.

Một trong số chúng ở dạng Lagrange:

, Ở đâu
.
.

Lưu ý rằng trong thực tế dãy Maclaurin được sử dụng thường xuyên hơn. Vì vậy, để viết hàm
dưới dạng tổng chuỗi lũy thừa cần có:

1) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin (Taylor);

2) tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được;

3) chứng minh rằng chuỗi này hội tụ về hàm
.

Định lý 1 (điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của chuỗi Maclaurin). Gọi bán kính hội tụ của chuỗi
. Để chuỗi này hội tụ trong khoảng
hoạt động
, cần và đủ để thỏa mãn điều kiện:
trong khoảng thời gian quy định.

Định lý 2. Nếu đạo hàm theo cấp bất kỳ của hàm số
trong một khoảng thời gian nào đó
giới hạn về giá trị tuyệt đối ở cùng một số M, đó là
, thì trong khoảng này hàm
có thể khai triển thành chuỗi Maclaurin.

Ví dụ 1. Khai triển chuỗi Taylor quanh điểm
chức năng.

Giải pháp.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Vùng hội tụ
.

Ví dụ 2. Mở rộng một chức năng trong chuỗi Taylor quanh một điểm
.

Giải pháp:

Tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
.

,
;

...........……………………………

,
.

Hãy đặt các giá trị này thành một hàng. Chúng tôi nhận được:

hoặc
.

Hãy tìm miền hội tụ của chuỗi này. Theo thử nghiệm của d'Alembert, một chuỗi hội tụ nếu

Vì vậy, đối với bất kỳ giới hạn này nhỏ hơn 1 và do đó phạm vi hội tụ của chuỗi sẽ là:
.

Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về khai triển chuỗi Maclaurin của các hàm cơ bản cơ bản. Hãy nhớ lại dãy Maclaurin:

hội tụ trên khoảng
hoạt động
.

Lưu ý rằng để mở rộng một hàm thành một chuỗi thì cần phải:

a) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin cho hàm số này;

b) tính bán kính hội tụ của chuỗi kết quả;

c) chứng minh rằng chuỗi kết quả hội tụ về hàm
.

Ví dụ 3. Xét hàm
.

Giải pháp.

Hãy tính giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
.

Khi đó các hệ số của chuỗi có dạng:

cho bât ki ai N. Hãy thay các hệ số tìm được vào chuỗi Maclaurin và nhận được:

Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi kết quả, cụ thể là:

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ về hàm cho bất kỳ giá trị , bởi vì trên bất kỳ khoảng nào
chức năng và đạo hàm của nó ở giá trị tuyệt đối bị giới hạn bởi số lượng .

Ví dụ 4. Hãy xem xét chức năng
.

Giải pháp.

Dễ dàng thấy rằng đạo hàm cấp chẵn
, và đạo hàm có thứ tự lẻ. Chúng ta hãy thay thế các hệ số tìm được vào chuỗi Maclaurin và thu được khai triển:

Hãy tìm khoảng hội tụ của chuỗi này. Theo dấu d'Alembert:

cho bât ki ai . Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ về hàm
, bởi vì tất cả các đạo hàm của nó đều bị giới hạn ở sự thống nhất.

Ví dụ 5.
.

Giải pháp.

Hãy tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
:

Do đó, các hệ số của chuỗi này:
Và
, kể từ đây:

Tương tự như hàng trước, diện tích hội tụ
. Chuỗi hội tụ về hàm
, bởi vì tất cả các đạo hàm của nó đều bị giới hạn ở sự thống nhất.

Xin lưu ý rằng chức năng
khai triển chuỗi lẻ và chuỗi theo lũy thừa lẻ, hàm số
– chẵn và khai triển thành một chuỗi có lũy thừa chẵn.

Ví dụ 6. Chuỗi nhị thức:
.

Giải pháp.

Hãy tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại
:

Từ đó có thể thấy rằng:

Chúng ta hãy thay thế các giá trị hệ số này vào chuỗi Maclaurin và thu được phép khai triển hàm này thành chuỗi lũy thừa:

Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi này:

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
. Tại các điểm giới hạn ở
Và
một chuỗi có thể hội tụ hoặc không tùy thuộc vào số mũ
.

Chuỗi nghiên cứu hội tụ trên khoảng
hoạt động
, tức là tổng của chuỗi
Tại
.

Ví dụ 7. Chúng ta hãy mở rộng hàm số trong chuỗi Maclaurin
.

Giải pháp.

Để mở rộng hàm này thành một chuỗi, chúng ta sử dụng chuỗi nhị thức tại
. Chúng tôi nhận được:

Dựa vào tính chất của chuỗi lũy thừa (chuỗi lũy thừa có thể tích phân trong vùng hội tụ của nó), ta tìm tích phân bên trái và bên phải của chuỗi này:

Hãy tìm diện tích hội tụ của chuỗi này:
,

nghĩa là diện tích hội tụ của chuỗi này là khoảng
. Hãy xác định sự hội tụ của chuỗi tại các điểm cuối của khoảng. Tại

. Chuỗi này là một chuỗi hài hòa, nghĩa là nó phân kỳ. Tại
chúng ta nhận được một chuỗi số với một số hạng chung
.

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz. Do đó, vùng hội tụ của chuỗi này là khoảng
.

16.2. Ứng dụng chuỗi lũy thừa trong tính toán gần đúng

Trong các tính toán gần đúng, chuỗi lũy thừa đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Với sự giúp đỡ của họ, các bảng hàm lượng giác, bảng logarit, bảng giá trị của các hàm khác đã được biên soạn, được sử dụng trong các lĩnh vực kiến thức khác nhau, chẳng hạn như trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Ngoài ra, việc mở rộng hàm số thành chuỗi lũy thừa rất hữu ích cho việc nghiên cứu lý thuyết của họ. Vấn đề chính khi sử dụng chuỗi lũy thừa trong tính toán gần đúng là vấn đề ước lượng sai số khi thay tổng của chuỗi bằng tổng của chuỗi đầu tiên. N các thành viên.

Hãy xem xét hai trường hợp:

chức năng được mở rộng thành chuỗi xen kẽ dấu hiệu;

hàm được mở rộng thành một chuỗi dấu không đổi.

Tính toán sử dụng chuỗi xen kẽ

Hãy để chức năng
mở rộng thành chuỗi điện xoay chiều. Sau đó, khi tính hàm này cho một giá trị cụ thể chúng ta thu được một chuỗi số mà chúng ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Leibniz. Theo tiêu chí này, nếu tổng của một chuỗi được thay thế bằng tổng của chuỗi đầu tiên N thì sai số tuyệt đối không vượt quá số hạng đầu tiên trong phần còn lại của chuỗi này, đó là:
.