Phương trình tiếp tuyến là: Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại một điểm
Tiếp tuyến là một đường thẳng , chạm vào đồ thị của hàm tại một điểm và tất cả các điểm của chúng đều nằm ở khoảng cách ngắn nhất tính từ đồ thị của hàm. Do đó, tiếp tuyến đi tiếp tuyến với đồ thị của hàm số ở một góc nhất định và một số tiếp tuyến ở các góc khác nhau không thể đi qua điểm tiếp tuyến. Các phương trình tiếp tuyến và phương trình chuẩn tắc của đồ thị hàm số được xây dựng bằng cách sử dụng đạo hàm.
Phương trình tiếp tuyến được suy ra từ phương trình đường thẳng .
Chúng ta hãy suy ra phương trình tiếp tuyến, và sau đó là phương trình pháp tuyến của đồ thị của hàm số.
y = kx + b .
Trong anh ấy k- hệ số góc.
Từ đây chúng ta nhận được mục sau:
y - y 0 = k(x - x 0 ) .
Giá trị phái sinh f "(x 0 ) chức năng y = f(x) tại điểm x0 bằng độ dốc k= tg φ tiếp tuyến với đồ thị của hàm số vẽ qua một điểm M0 (x 0 , y 0 ) , Ở đâu y0 = f(x 0 ) . Đây là ý nghĩa hình học của đạo hàm .
Như vậy, chúng ta có thể thay thế k TRÊN f "(x 0 ) và nhận được những điều sau đây phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
Trong các bài toán liên quan đến việc lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (và chúng ta sẽ chuyển sang phần tiếp theo sau), cần phải rút gọn phương trình thu được từ công thức trên thành phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát. Để làm điều này, bạn cần di chuyển tất cả các chữ cái và số sang bên trái của phương trình và để lại số 0 ở bên phải.
Bây giờ về phương trình bình thường. Bình thường - đây là đường thẳng đi qua điểm tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với tiếp tuyến. phương trình bình thường :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Để khởi động, bạn được yêu cầu tự mình giải ví dụ đầu tiên, sau đó xem cách giải. Có mọi lý do để hy vọng rằng nhiệm vụ này sẽ không trở thành một “tắm nước lạnh” đối với độc giả của chúng ta.
Ví dụ 0. Lập phương trình tiếp tuyến và phương trình chuẩn tắc của đồ thị hàm số tại một điểm M (1, 1) .
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình chuẩn tắc của đồ thị hàm số 
, nếu trục hoành là tiếp tuyến .
Hãy tìm đạo hàm của hàm số:
Bây giờ chúng ta có mọi thứ cần được thay thế vào mục được đưa ra trong phần trợ giúp lý thuyết để có được phương trình tiếp tuyến. Chúng tôi nhận được
Trong ví dụ này, chúng ta thật may mắn: hệ số độ dốc hóa ra bằng 0, do đó không cần phải đưa phương trình về dạng tổng quát một cách riêng biệt. Bây giờ chúng ta có thể tạo phương trình bình thường:
Trong hình bên dưới: đồ thị của hàm số có màu đỏ tía, tiếp tuyến là màu xanh lá cây, pháp tuyến là màu cam.
Ví dụ tiếp theo cũng không phức tạp: hàm, như trong ví dụ trước, cũng là một đa thức, nhưng độ dốc sẽ không bằng 0, do đó, một bước nữa sẽ được thêm vào - đưa phương trình về dạng tổng quát.
Ví dụ 2.
Giải pháp. Hãy tìm tọa độ của điểm tiếp tuyến:
Hãy tìm đạo hàm của hàm số:
.
Hãy tìm giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp tuyến, tức là độ dốc của tiếp tuyến:
Chúng tôi thay thế tất cả dữ liệu thu được vào “công thức trống” và nhận được phương trình tiếp tuyến:
Chúng tôi đưa phương trình về dạng tổng quát (chúng tôi thu thập tất cả các chữ cái và số khác 0 ở bên trái và để lại số 0 ở bên phải):
Chúng tôi soạn phương trình bình thường:
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số nếu trục hoành là điểm tiếp tuyến.
Giải pháp. Hãy tìm tọa độ của điểm tiếp tuyến:
Hãy tìm đạo hàm của hàm số:
.
Hãy tìm giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp tuyến, tức là độ dốc của tiếp tuyến:
.
Chúng ta tìm được phương trình tiếp tuyến:
Trước khi đưa phương trình về dạng tổng quát, bạn cần “chải” một chút: nhân số hạng với số hạng với 4. Chúng ta thực hiện việc này và đưa phương trình về dạng tổng quát:
Chúng tôi soạn phương trình bình thường:
Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số nếu trục hoành là điểm tiếp tuyến.
Giải pháp. Hãy tìm tọa độ của điểm tiếp tuyến:
.
Hãy tìm đạo hàm của hàm số:
Hãy tìm giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp tuyến, tức là độ dốc của tiếp tuyến:
.
Ta thu được phương trình tiếp tuyến:
Ta đưa phương trình về dạng tổng quát:
Chúng tôi soạn phương trình bình thường:
Một lỗi phổ biến khi viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến là không chú ý rằng hàm cho trong ví dụ là phức và tính đạo hàm của nó như đạo hàm của một hàm đơn giản. Các ví dụ sau đây đã có từ hàm phức tạp(bài học tương ứng sẽ mở trong cửa sổ mới).
Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số nếu trục hoành là điểm tiếp tuyến.
Giải pháp. Hãy tìm tọa độ của điểm tiếp tuyến:
Chú ý! Hàm này phức tạp vì đối số tiếp tuyến (2 x) bản thân nó là một hàm. Do đó, chúng ta tìm đạo hàm của một hàm là đạo hàm của một hàm phức.
Bài học video “Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” trình bày tài liệu giáo dục để nắm vững chủ đề. Trong bài học video, tài liệu lý thuyết cần thiết để hình thành khái niệm phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại một điểm cho trước, thuật toán tìm tiếp tuyến đó và các ví dụ giải quyết vấn đề sử dụng tài liệu lý thuyết đã nghiên cứu được mô tả .
Video hướng dẫn sử dụng các phương pháp giúp cải thiện độ rõ ràng của tài liệu. Bản trình bày chứa các hình vẽ, sơ đồ, nhận xét bằng giọng nói quan trọng, hoạt ảnh, đánh dấu và các công cụ khác.
Bài học video bắt đầu bằng phần trình bày chủ đề bài học và hình ảnh một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) nào đó tại điểm M(a;f(a)). Được biết, hệ số góc của tiếp tuyến vẽ đồ thị tại một điểm cho trước bằng đạo hàm của hàm f΄(a) tại điểm này. Cũng từ môn đại số chúng ta biết phương trình đường thẳng y=kx+m. Lời giải của bài toán tìm phương trình tiếp tuyến tại một điểm được trình bày dưới dạng sơ đồ, rút gọn thành việc tìm các hệ số k, m. Biết tọa độ của một điểm thuộc đồ thị của hàm số, chúng ta có thể tìm m bằng cách thay giá trị tọa độ vào phương trình tiếp tuyến f(a)=ka+m. Từ đó chúng ta tìm được m=f(a)-ka. Do đó, khi biết giá trị đạo hàm tại một điểm cho trước và tọa độ của điểm đó, chúng ta có thể biểu diễn phương trình tiếp tuyến theo cách này y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Sau đây là một ví dụ về cách soạn một phương trình tiếp tuyến theo sơ đồ. Cho hàm số y=x 2 , x=-2. Lấy a=-2, chúng ta tìm giá trị của hàm số tại một điểm cho trước f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Chúng ta xác định đạo hàm của hàm f΄(x)=2x. Tại thời điểm này đạo hàm bằng f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Để soạn phương trình, tất cả các hệ số a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 đều đã được tìm thấy, do đó phương trình tiếp tuyến là y=4+(-4)(x+2). Rút gọn phương trình, ta được y = -4-4x.
Ví dụ sau gợi ý xây dựng phương trình tiếp tuyến tại gốc tọa độ của đồ thị của hàm y=tgx. Tại một điểm cho trước a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Vì vậy phương trình tiếp tuyến có dạng y=x.
Dưới dạng khái quát hóa, quá trình soạn phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại một điểm nhất định được hình thức hóa dưới dạng thuật toán gồm 4 bước:
- Nhập ký hiệu a cho hoành độ của điểm tiếp tuyến;
- f(a) được tính toán;
- f΄(x) được xác định và f΄(a) được tính toán. Các giá trị tìm được của a, f(a), f΄(a) được thế vào công thức phương trình tiếp tuyến y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Ví dụ 1 xét việc lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=1/x tại điểm x=1. Để giải quyết vấn đề chúng tôi sử dụng một thuật toán. Đối với một hàm cho trước tại điểm a=1, giá trị của hàm f(a)=-1. Đạo hàm của hàm số f΄(x)=1/x 2. Tại điểm a=1 đạo hàm f΄(a)= f΄(1)=1. Sử dụng dữ liệu thu được, phương trình tiếp tuyến y=-1+(x-1), hoặc y=x-2, được vẽ ra.
Ở ví dụ 2, cần tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x 3 +3x 2 -2x-2. Điều kiện chính là sự song song của tiếp tuyến và đường thẳng y=-2x+1. Đầu tiên, ta tìm hệ số góc của tiếp tuyến, bằng hệ số góc của đường thẳng y=-2x+1. Vì f΄(a)=-2 đối với một đường thẳng cho trước, nên k=-2 đối với tiếp tuyến mong muốn. Chúng ta tìm đạo hàm của hàm số (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Biết rằng f΄(a)=-2, ta tìm được tọa độ của điểm 3a 2 +6a-2=-2. Giải phương trình ta được 1 = 0 và 2 = -2. Sử dụng tọa độ tìm được, bạn có thể tìm phương trình tiếp tuyến bằng thuật toán nổi tiếng. Ta tìm giá trị của hàm số tại các điểm f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Giá trị của đạo hàm tại điểm f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Thay thế các giá trị tìm được vào phương trình tiếp tuyến, chúng ta thu được điểm đầu tiên a 1 = 0 y=-2x-2 và đối với điểm thứ hai a 2 =-2 phương trình tiếp tuyến y=-2x-22.
Ví dụ 3 mô tả thành phần của phương trình tiếp tuyến để vẽ nó tại điểm (0;3) với đồ thị của hàm y=√x. Giải pháp được thực hiện bằng thuật toán nổi tiếng. Điểm tiếp tuyến có tọa độ x=a, trong đó a>0. Giá trị của hàm số tại điểm f(a)=√x. Đạo hàm của hàm f΄(х)=1/2√х, do đó tại một điểm cho trước f΄(а)=1/2√а. Thay tất cả các giá trị thu được vào phương trình tiếp tuyến, ta thu được y = √a + (x-a)/2√a. Biến đổi phương trình, chúng ta nhận được y=x/2√а+√а/2. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm (0;3), ta tìm được giá trị của a. Chúng ta tìm được a từ 3=√a/2. Do đó √a=6, a=36. Chúng ta tìm được phương trình tiếp tuyến y=x/12+3. Hình vẽ cho thấy đồ thị của hàm đang được xem xét và tiếp tuyến mong muốn được xây dựng.
Học sinh được nhắc nhở về các đẳng thức gần đúng Δy=≈f΄(x)Δx và f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Lấy x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, ta được f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), từ đó f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
Trong ví dụ 4, cần tìm giá trị gần đúng của biểu thức 2,003 6. Vì cần phải tìm giá trị của hàm f(x)=x 6 tại điểm x=2,003, nên chúng ta có thể sử dụng công thức nổi tiếng, lấy f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Đạo hàm tại điểm f΄(2)=192. Do đó, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Tính biểu thức, chúng ta nhận được 2,003 6 ≈64,576.
Khuyến khích sử dụng bài học video “Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” trong bài học toán truyền thống ở trường. Đối với giáo viên giảng dạy từ xa, tài liệu video sẽ giúp giải thích chủ đề rõ ràng hơn. Video có thể được khuyến khích để học sinh xem lại một cách độc lập nếu cần thiết để hiểu sâu hơn về chủ đề này.
GIẢI MÃ VĂN BẢN:
Chúng ta biết rằng nếu một điểm M (a; f(a)) (em có tọa độ a và ef từ a) thuộc đồ thị của hàm số y = f(x) và nếu tại điểm này có thể vẽ được một tiếp tuyến đối với đồ thị của hàm số không vuông góc với trục hoành thì hệ số góc của tiếp tuyến bằng f"(a) (eff prime from a).
Cho hàm số y = f(x) và một điểm M (a; f(a)) và người ta cũng biết rằng f'(a) tồn tại. Hãy lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại một điểm cho trước. Phương trình này, giống như phương trình của bất kỳ đường thẳng nào không song song với trục tọa độ, có dạng y = kx+m (y bằng ka x cộng em), vì vậy nhiệm vụ là tìm các giá trị của các hệ số k và m (ka và em)
Hệ số góc k= f"(a). Để tính giá trị của m, ta sử dụng tính chất đường thẳng mong muốn đi qua điểm M(a; f(a)). Điều này có nghĩa là nếu thay tọa độ của điểm M vào phương trình đường thẳng, ta thu được đẳng thức đúng: f(a) = ka+m, từ đó ta tìm được m = f(a) - ka.
Vẫn còn phải thay thế các giá trị tìm được của các hệ số ki và m vào phương trình của đường thẳng:
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= f(Một)+ f"(Một) (x- Một). ( y bằng ef từ a cộng ef nguyên tố từ a, nhân với x trừ a).
Ta đã thu được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm x=a.
Ví dụ: nếu y = x 2 và x = -2 (tức là a = -2), thì f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f'(x) = 2x, nghĩa là f"(a) = f'(-2) = 2·(-2) = -4. (khi đó ef của a bằng 4, ef của số nguyên tố x bằng hai x, có nghĩa là số nguyên tố từ a bằng trừ bốn)
Thay các giá trị tìm được a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 vào phương trình, ta thu được: y = 4+(-4)(x+2), tức là y = -4x-4.
(E bằng trừ bốn x trừ bốn)
Hãy lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tanx (y bằng tiếp tuyến x) tại gốc tọa độ. Ta có: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , có nghĩa là f"(0) = l. Thay các giá trị tìm được a=0, f(a)=0, f’(a) = 1 vào phương trình, ta được: y=x.
Chúng ta hãy tóm tắt các bước tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x bằng thuật toán.
Thuật toán phát triển phương trình tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x):
1) Ký hiệu hoành độ của điểm tiếp tuyến bằng chữ a.
2) Tính f(a).
3) Tìm f'(x) và tính f'(a).
4) Thay các số tìm được a, f(a), f'(a) vào công thức y= f(Một)+ f"(Một) (x- Một).
Ví dụ 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - in
điểm x = 1.
Giải pháp. Hãy sử dụng thuật toán, có tính đến điều đó trong ví dụ này
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f'(x)=; f'(a)= f'(1)= =1.
4) Thay ba số tìm được: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 vào công thức. Ta được: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Đáp án: y = x-2.
Ví dụ 2. Cho hàm y = x 3 +3x 2 -2x-2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), song song với đường thẳng y = -2x +1.
Sử dụng thuật toán để soạn phương trình tiếp tuyến, chúng ta tính đến rằng trong ví dụ này f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, nhưng trục hoành của điểm tiếp tuyến không được chỉ ra ở đây.
Hãy bắt đầu suy nghĩ như thế này. Tiếp tuyến mong muốn phải song song với đường thẳng y = -2x+1. Và các đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau. Điều này có nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến bằng hệ số góc của đường thẳng đã cho: k tang. = -2. Hoàn toàn có thể. = f"(a). Do đó, chúng ta có thể tìm thấy giá trị của a từ phương trình f `(a) = -2.
Hãy tìm đạo hàm của hàm số y=f(x):
f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)' =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.
Từ phương trình f"(a) = -2, tức là 3a 2 +6a-2=-2 ta tìm được 1 = 0, a 2 = -2. Điều này có nghĩa là có hai tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện của bài toán: một tại điểm có hoành độ 0, một tại điểm có hoành độ -2.
Bây giờ bạn có thể làm theo thuật toán.
1) a 1 = 0 và 2 = -2.
2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Thay các giá trị a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 vào công thức, ta được:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Thay các giá trị a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 vào công thức, ta được:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Trả lời: y=-2x-2, y=-2x+2.
Ví dụ 3. Từ điểm (0; 3) kẻ tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = . Giải pháp. Hãy sử dụng thuật toán để soạn phương trình tiếp tuyến, lưu ý rằng trong ví dụ này f(x) = . Lưu ý rằng ở đây, như trong ví dụ 2, hoành độ của điểm tiếp tuyến không được biểu thị rõ ràng. Tuy nhiên, chúng tôi tuân theo thuật toán.
1) Gọi x = a là hoành độ của điểm tiếp tuyến; rõ ràng là a > 0.
3) f'(x)=()'=; f'(a) =.
4) Thay các giá trị của a, f(a) = , f"(a) = vào công thức
y=f (a) +f "(a) (x-a), chúng tôi nhận được:
Theo điều kiện, tiếp tuyến đi qua điểm (0; 3). Thay các giá trị x = 0, y = 3 vào phương trình, ta được: 3 = , rồi =6, a =36.
Như bạn có thể thấy, trong ví dụ này, chỉ ở bước thứ tư của thuật toán, chúng tôi mới tìm được hoành độ của điểm tiếp tuyến. Thay giá trị a =36 vào phương trình, ta được: y=+3
Trong bộ lễ phục. Hình 1 thể hiện một minh họa hình học của ví dụ đang xem xét: vẽ đồ thị của hàm y =, vẽ một đường thẳng y = +3.
Đáp án: y = +3.
Chúng ta biết rằng đối với hàm y = f(x), có đạo hàm tại điểm x, đẳng thức gần đúng là hợp lệ: Δyf'(x)Δx (delta y xấp xỉ bằng số nguyên tố eff của x nhân với delta x)
hoặc, chi tiết hơn, f(x+Δx)-f(x) f'(x) Δx (eff từ x cộng delta x trừ ef từ x xấp xỉ bằng ef prime từ x nhân delta x).
Để thuận tiện cho việc thảo luận thêm, chúng ta hãy thay đổi ký hiệu:
thay vì x chúng ta sẽ viết MỘT,
thay vì x+Δx chúng ta sẽ viết x
Thay vì Δx chúng ta sẽ viết x-a.
Khi đó đẳng thức gần đúng được viết ở trên sẽ có dạng:
f(x)-f(a)f'(a)(x-a)
f(x)f(a)+f'(a)(x-a). (eff từ x xấp xỉ bằng ef từ a cộng ef prime từ a, nhân với hiệu giữa x và a).
Ví dụ 4. Tìm giá trị gần đúng của biểu thức số 2,003 6.
Giải pháp. Chúng ta đang nói về việc tìm giá trị của hàm y = x 6 tại điểm x = 2,003. Hãy sử dụng công thức f(x)f(a)+f'(a)(x-a), lưu ý rằng trong ví dụ này f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 và do đó, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.
Kết quả là chúng tôi nhận được:
2,003 6 64+192 · 0,003, tức là 2,003 6 =64,576.
Nếu chúng ta sử dụng máy tính, chúng ta sẽ nhận được:
2,003 6 = 64,5781643...
Như bạn có thể thấy, độ chính xác gần đúng là khá chấp nhận được.
Đường tiếp tuyến là một đường thẳng đi qua một điểm trên đường cong và trùng với điểm đó tại điểm này đến bậc một (Hình 1).
Một định nghĩa khác: đây là vị trí giới hạn của cát tuyến tại Δ x→0.
Giải thích: Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm: MỘT Và b(xem hình). Đây là một secect. Chúng ta sẽ xoay nó theo chiều kim đồng hồ cho đến khi nó chỉ tìm thấy một điểm chung với đường cong. Điều này sẽ cho chúng ta một tiếp tuyến.
Định nghĩa chặt chẽ của tiếp tuyến:
Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số f, khả vi tại điểm xồ, là đường thẳng đi qua điểm ( xồ; f(xồ)) và có độ dốc f′( xồ).
Độ dốc có một đường thẳng có dạng y =kx +b. hệ số k và là dốcđường thẳng này.
Hệ số góc bằng tiếp tuyến của góc nhọn tạo bởi đường thẳng này với trục hoành:
|
Góc α là góc giữa đường thẳng y =kx +b và hướng dương (nghĩa là ngược chiều kim đồng hồ) của trục x. Nó được gọi là góc nghiêng của đường thẳng(Hình 1 và 2). 
Nếu góc nghiêng thẳng y =kx +b cấp tính thì độ dốc là số dương. Biểu đồ đang tăng lên (Hình 1).
Nếu góc nghiêng thẳng y =kx +b tù thì độ dốc là số âm. Đồ thị đang giảm dần (Hình 2).
Nếu đường thẳng song song với trục Ox thì góc nghiêng của đường thẳng bằng 0. Trong trường hợp này, độ dốc của đường thẳng cũng bằng 0 (vì tiếp tuyến của 0 bằng 0). Phương trình của đường thẳng sẽ có dạng y = b (Hình 3).
Nếu góc nghiêng của một đường thẳng là 90° (π/2) tức là nó vuông góc với trục hoành thì đường thẳng đó được cho bởi đẳng thức x =c, Ở đâu c– một số thực (Hình 4).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy = f(x) Ở điểm xồ:
Ví dụ: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 tại điểm có hoành độ 2.
Giải pháp .
Chúng tôi làm theo thuật toán.
1) Điểm tiếp xúc xồ bằng 2. Tính f(xồ):
f(xồ) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Tìm f′( x). Để làm điều này, chúng tôi áp dụng các công thức vi phân được nêu trong phần trước. Theo các công thức này, X 2 = 2X, MỘT X 3 = 3X 2. Có nghĩa:
f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Bây giờ, sử dụng giá trị kết quả f′( x), tính toán f′( xồ):
f′( xồ) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Vì vậy, chúng tôi có tất cả các dữ liệu cần thiết: xồ = 2, f(xồ) = 1, f ′( xồ) = 4. Thay các số này vào phương trình tiếp tuyến và tìm nghiệm cuối cùng:
y = f(xồ) + f′( xồ) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.
Đáp án: y = 4x – 7.
Hướng dẫn
Ta xác định hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại điểm M.
Đường cong biểu diễn đồ thị của hàm số y = f(x) là liên tục trong một lân cận nhất định của điểm M (bao gồm cả chính điểm M).
Nếu giá trị f'(x0) không tồn tại thì hoặc không có tiếp tuyến hoặc nó chạy theo chiều dọc. Theo quan điểm này, sự có mặt của đạo hàm của hàm số tại điểm x0 là do sự tồn tại của một tiếp tuyến không thẳng đứng với đồ thị của hàm số tại điểm (x0, f(x0)). Trong trường hợp này, hệ số góc của tiếp tuyến sẽ bằng f "(x0). Như vậy, ý nghĩa hình học của đạo hàm trở nên rõ ràng - cách tính hệ số góc của tiếp tuyến.
Tìm giá trị hoành độ của điểm tiếp tuyến, được ký hiệu bằng chữ “a”. Nếu nó trùng với một điểm tiếp tuyến cho trước thì "a" sẽ là tọa độ x của nó. Xác định giá trị chức năng f(a) bằng cách thay thế vào phương trình chức năng giá trị abscissa.
Xác định đạo hàm bậc nhất của phương trình chức năng f'(x) và thay giá trị của điểm "a" vào đó.
Lấy phương trình tiếp tuyến tổng quát, được xác định là y = f(a) = f (a)(x – a) và thay các giá trị tìm được của a, f(a), f "(a) vào đó. Kết quả là nghiệm của đồ thị sẽ tìm được và tiếp tuyến.
Giải bài toán theo cách khác nếu điểm tiếp tuyến đã cho không trùng với điểm tiếp tuyến. Trong trường hợp này, cần phải thay chữ “a” thay cho số trong phương trình tiếp tuyến. Sau đó, thay vì các chữ cái “x” và “y”, hãy thay thế giá trị tọa độ của điểm đã cho. Giải phương trình thu được trong đó “a” là ẩn số. Thay giá trị kết quả vào phương trình tiếp tuyến.
Viết phương trình tiếp tuyến với chữ “a” nếu đề bài chỉ rõ phương trình chức năng và phương trình của một đường thẳng song song so với tiếp tuyến mong muốn. Sau này chúng ta cần đạo hàm chức năng
Cho một hàm f, tại một điểm nào đó x 0 có đạo hàm hữu hạn f (x 0). Khi đó đường thẳng đi qua điểm (x 0 ; f(x 0)) có hệ số góc f’(x 0) gọi là tiếp tuyến.
Điều gì xảy ra nếu đạo hàm không tồn tại tại điểm x 0? Có hai lựa chọn:
- Không có tiếp tuyến với đồ thị. Một ví dụ kinh điển là hàm y = |x | tại điểm (0; 0).
- Tiếp tuyến trở thành thẳng đứng. Điều này đúng, ví dụ, với hàm y = arcsin x tại điểm (1; π /2).
phương trình tiếp tuyến
Bất kỳ đường thẳng không thẳng đứng nào đều được cho bởi phương trình có dạng y = kx + b, trong đó k là hệ số góc. Tiếp tuyến cũng không ngoại lệ, và để lập phương trình của nó tại một điểm x 0 nào đó, chỉ cần biết giá trị của hàm số và đạo hàm tại điểm này là đủ.
Vì vậy, hãy cho một hàm y = f (x), có đạo hàm y = f '(x) trên đoạn. Khi đó tại bất kỳ điểm x 0 ∈ (a ; b) có thể vẽ một tiếp tuyến của đồ thị của hàm số này, được cho bởi phương trình:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Ở đây f ’(x 0) là giá trị đạo hàm tại điểm x 0, và f (x 0) là giá trị của chính hàm số.
Nhiệm vụ. Cho hàm số y = x 3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số này tại điểm x 0 = 2.
Phương trình tiếp tuyến: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Điểm x 0 = 2 được cung cấp cho chúng ta, nhưng các giá trị f (x 0) và f ’(x 0) sẽ phải được tính toán.
Đầu tiên chúng ta hãy tìm giá trị của hàm. Ở đây mọi thứ đều dễ dàng: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Bây giờ chúng ta hãy tìm đạo hàm: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Chúng ta thay x 0 = 2 vào đạo hàm: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Tổng cộng ta có: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Đây là phương trình tiếp tuyến.
Nhiệm vụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = 2sin x + 5 tại điểm x 0 = π /2.
Lần này chúng tôi sẽ không mô tả chi tiết từng hành động - chúng tôi sẽ chỉ chỉ ra các bước chính. Chúng ta có:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Phương trình tiếp tuyến:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
Trong trường hợp sau, đường thẳng hóa ra là đường nằm ngang, bởi vì hệ số góc của nó k = 0. Điều này không có gì sai cả - chúng ta vừa vấp phải một điểm cực trị.