በጣም አናሳውን ብዜት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። ለምን በትምህርት ቤት የሒሳብ ኮርስ ውስጥ የቁጥሮችን "ታላቅ የጋራ አካፋይ (ጂሲዲ)" እና "ትንሽ የጋራ ብዜት (LCM)" ጽንሰ-ሀሳቦችን ያስተዋውቃል።

የሁለት ወይም ከዚያ በላይ ቁጥሮችን ትልቁን የጋራ አካፋይ እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ለማወቅ ተፈጥሯዊ፣ ዋና እና ውስብስብ ቁጥሮች ምን እንደሆኑ መረዳት ያስፈልግዎታል።


ተፈጥሯዊ ቁጥር ኢንቲጀር ለመቁጠር የሚያገለግል ማንኛውም ቁጥር ነው።


የተፈጥሮ ቁጥር በራሱ እና አንድ ብቻ ሊከፋፈል የሚችል ከሆነ, ከዚያም ፕራይም ይባላል.


ሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች በራሳቸው እና አንድ ሊከፋፈሉ ይችላሉ, ነገር ግን ብቸኛው ዋናው ቁጥር 2 ነው, ሁሉም ሌሎች በሁለት ይከፈላሉ. ስለዚህ, ያልተለመዱ ቁጥሮች ብቻ ዋና ሊሆኑ ይችላሉ.


ብዙ ዋና ቁጥሮች አሉ, የእነሱ ሙሉ ዝርዝር የለም. GCD ን ለማግኘት እንደዚህ ባሉ ቁጥሮች ልዩ ሰንጠረዦችን ለመጠቀም ምቹ ነው.


አብዛኛዎቹ የተፈጥሮ ቁጥሮች በአንድ ብቻ ሳይሆን በሌሎች ቁጥሮች ሊከፋፈሉ ይችላሉ. ስለዚህ, ለምሳሌ, ቁጥር 15 ቁጥር በ 3 እና 5 ሊከፋፈል ይችላል. ሁሉም የ 15 ቁጥር አካፋዮች ይባላሉ.


ስለዚህ, የማንኛውም A አካፋይ ያለ ቀሪው የሚከፋፈልበት ቁጥር ነው. አንድ ቁጥር ከሁለት በላይ የተፈጥሮ አካፋዮች ካሉት ውህድ ይባላል።


ቁጥር 30 እንደ 1, 3, 5, 6, 15, 30 የመሳሰሉ አካፋዮች አሉት.


15 እና 30 ተመሳሳይ አካፋዮች 1፣ 3፣ 5፣ 15 እንዳላቸው ማየት ትችላለህ። የእነዚህ ሁለት ቁጥሮች ትልቁ የጋራ አካፋይ 15 ነው።


ስለዚህ የቁጥሮች A እና B የጋራ አካፋይ ሙሉ ለሙሉ መከፋፈል የሚችሉበት ቁጥር ነው. ከፍተኛው የሚከፋፈሉበት ከፍተኛው ጠቅላላ ቁጥር ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል።


ችግሮችን ለመፍታት የሚከተለው አህጽሮተ ቃል ጥቅም ላይ ይውላል።


GCD (A; B)


ለምሳሌ፣ GCD (15፤ 30) = 30።


ሁሉንም የተፈጥሮ ቁጥር አካፋዮችን ለመጻፍ ፣ ማስታወሻው ጥቅም ላይ ይውላል-


መ (15) = (1, 3, 5, 15)



gcd (9; 15) = 1


በዚህ ምሳሌ፣ የተፈጥሮ ቁጥሮች አንድ የጋራ አካፋይ ብቻ አላቸው። እነሱ በቅደም ተከተል ኮፕሪም ይባላሉ, አሃዱ ትልቁ የጋራ አካፋያቸው ነው.

ትልቁን የጋራ የቁጥሮች አካፋይ እንዴት ማግኘት እንደሚቻል

የበርካታ ቁጥሮች GCD ለማግኘት፣ ያስፈልግዎታል፡-


የእያንዳንዱን የተፈጥሮ ቁጥር ሁሉንም አካፋዮች ለየብቻ ይፈልጉ ፣ ማለትም ፣ ወደ ምክንያቶች (ዋና ቁጥሮች) ያሟሟቸው።


ለተሰጡት ቁጥሮች ሁሉንም ተመሳሳይ ምክንያቶች ይምረጡ;


አንድ ላይ ያባዙዋቸው.


ለምሳሌ የ30 እና 56 ትልቁን የጋራ አካፋይ ለማስላት የሚከተለውን ይጽፋሉ፡-




ከ ጋር ግራ ላለመጋባት, ቀጥ ያሉ ዓምዶችን በመጠቀም ማባዣዎችን ለመጻፍ አመቺ ነው. በመስመሩ በግራ በኩል, ክፍፍሉን ማስቀመጥ ያስፈልግዎታል, እና በቀኝ በኩል - አካፋዩን. በአከፋፋዩ ስር፣ የተገኘውን ዋጋ መጠቆም አለብዎት።


ስለዚህ, በትክክለኛው ዓምድ ውስጥ ለመፍትሄው የሚያስፈልጉት ነገሮች በሙሉ ይሆናሉ.


ተመሳሳይ አካፋዮች (ምክንያቶች ተገኝተዋል) ለምቾት ሊሰመሩበት ይችላሉ። እንደገና መፃፍ እና መብዛት እና ትልቁ የጋራ አካፋይ መፃፍ አለባቸው።





GCD (30፤ 56) = 2 * 5 = 10


ትልቁን የጋራ የቁጥሮች አካፋይ ማግኘት በጣም ቀላል ነው። በትንሽ ልምምድ ፣ በራስ-ሰር ማለት ይቻላል ማድረግ ይችላሉ።


ከዚህ በታች የቀረበው ቁሳቁስ የንድፈ ሃሳቡ ምክንያታዊ ቀጣይ ነው LCM በሚለው ርዕስ ካለው መጣጥፍ - ብዙም ያልተለመደ ብዙ ፣ ትርጓሜ ፣ ምሳሌዎች ፣ በLCM እና በጂሲዲ መካከል ያለው ግንኙነት። እዚህ እንነጋገራለን አነስተኛውን ብዙ (LCM) ማግኘት, እና ምሳሌዎችን ለመፍታት ልዩ ትኩረት ይስጡ. በመጀመሪያ የሁለት ቁጥሮች LCM ከእነዚህ ቁጥሮች GCD አንፃር እንዴት እንደሚሰላ እናሳይ። በመቀጠል፣ ቁጥሮችን ወደ ዋና ዋና ሁኔታዎች በማካተት በጣም አነስተኛውን ብዜት ለማግኘት ያስቡበት። ከዚያ በኋላ, የሶስት ወይም ከዚያ በላይ ቁጥሮች LCM በማግኘት ላይ እናተኩራለን, እና ለ LCM አሉታዊ ቁጥሮች ስሌት ትኩረት እንሰጣለን.

የገጽ አሰሳ።

በጂሲዲ በኩል በጣም ትንሽ የጋራ ብዜት (LCM) ስሌት

በጣም አነስተኛውን ብዜት ለማግኘት አንዱ መንገድ በLCM እና GCD መካከል ባለው ግንኙነት ላይ የተመሰረተ ነው። በኤልሲኤም እና በጂሲዲ መካከል ያለው ግንኙነት አነስተኛውን የጋራ የሁለት አዎንታዊ ኢንቲጀሮች በሚታወቀው ታላቅ የጋራ አካፋይ ለማስላት ያስችልዎታል። ተጓዳኝ ቀመር ቅጹ አለው LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . ከላይ ባለው ቀመር መሰረት ኤልሲኤምን የማግኘት ምሳሌዎችን ተመልከት።

ለምሳሌ.

ከሁለቱ ቁጥሮች 126 እና 70 መካከል ትንሹን የጋራ ብዜት ያግኙ።

መፍትሄ።

በዚህ ምሳሌ a=126, b=70 . በቀመር የተገለጸውን በኤልሲኤም እና በጂሲዲ መካከል ያለውን ግንኙነት እንጠቀም LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). ያም ማለት በመጀመሪያ የቁጥሮች 70 እና 126 ትልቁን የጋራ አካፋይ ማግኘት አለብን, ከዚያ በኋላ የነዚህን ቁጥሮች LCM በተጻፈው ቀመር መሰረት ማስላት እንችላለን.

የEuclid አልጎሪዝምን በመጠቀም gcd(126፣70) ፈልግ፡ 126=70 1+56፣ 70=56 1+14፣ 56=14 4፣ ስለዚህ gcd(126, 70)=14

አሁን የሚፈለገውን አነስተኛ የጋራ ብዜት እናገኛለን፡- LCM(126፣ 70)=126 70፡ GCM(126፣ 70)= 126 70:14=630 .

መልስ፡-

LCM (126, 70) = 630 .

ለምሳሌ.

LCM (68, 34) ምንድን ነው?

መፍትሄ።

ምክንያቱም 68 በ 34 እኩል ይከፈላል ፣ ከዚያ gcd (68 ፣ 34) = 34 ። አሁን ትንሹን የጋራ ብዜት እናሰላለን፡- LCM(68፣34)=68 34፡ LCM(68፣ 34)= 68 34:34=68 .

መልስ፡-

LCM (68, 34)=68 .

የቀደመው ምሳሌ ኤልሲኤምን ለአዎንታዊ ኢንቲጀር ሀ እና ለ ለማግኘት ከሚከተለው ህግ ጋር እንደሚስማማ ልብ ይበሉ፡ a ቁጥሩ በ b የሚካፈል ከሆነ ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ በጣም አናሳ የሆነው ብዜት ሀ ነው።

ቁጥሮችን ወደ ዋና ዋና ጉዳዮች በማካተት LCM ማግኘት

ሌላው በጣም አነስተኛውን ብዜት ለማግኘት የሚቻልበት መንገድ ቁጥሮችን ወደ ዋና ምክንያቶች በማቀናጀት ላይ የተመሰረተ ነው. የእነዚህን ቁጥሮች ዋና ዋና ምክንያቶችን ከሠራን ፣ ከዚያ በኋላ በእነዚህ ቁጥሮች መስፋፋት ውስጥ የሚገኙትን ሁሉንም የተለመዱ ዋና ዋና ምክንያቶችን ከዚህ ምርት እናስወግዳለን ፣ ከዚያ የተገኘው ምርት ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ ቢያንስ ከተለመዱት ብዜቶች ጋር እኩል ይሆናል።

LCM ለማግኘት የታወጀው ህግ ከእኩልነት ይከተላል LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). በእርግጥ የቁጥሮች ሀ እና ለ በቁጥር a እና b መስፋፋት ውስጥ ከተካተቱት ነገሮች ሁሉ ውጤት ጋር እኩል ነው። በተራው፣ gcd(a፣b) በቁጥር a እና b መስፋፋት ውስጥ በአንድ ጊዜ ከሚገኙት የሁሉም ዋና ዋና ነገሮች ውጤት ጋር እኩል ነው (ይህም የቁጥሮችን መበስበስን ወደ ዋና ምክንያቶች በመጠቀም ጂሲዲ ማግኘት በሚለው ክፍል ውስጥ ተገልጿል ).

አንድ ምሳሌ እንውሰድ። 75=3 5 5 እና 210=2 3 5 7 መሆኑን እንወቅ። የእነዚህን የማስፋፊያ ምክንያቶች ሁሉ ውጤትን ያዘጋጁ፡ 2 3 3 5 5 5 5 7 . አሁን ከዚህ ምርት ውስጥ በቁጥር 75 እና በቁጥር 210 መስፋፋት ውስጥ የሚገኙትን ሁሉንም ነገሮች እናስወግዳለን (እንደነዚህ ያሉ ሁኔታዎች 3 እና 5 ናቸው) ከዚያም ምርቱ 2 3 5 5 7 ቅጽ ይወስዳል. የዚህ ምርት ዋጋ ከቁጥር 75 እና 210 በጣም ትንሽ የጋራ ብዜት ጋር እኩል ነው፣ ማለትም፣ LCM(75፣210)= 2 3 5 5 7=1 050.

ለምሳሌ.

ቁጥሮቹን 441 እና 700 ወደ ዋና ዋና ነገሮች ካደረጉ በኋላ የእነዚህን ቁጥሮች በጣም አነስተኛውን ብዜት ያግኙ።

መፍትሄ።

441 እና 700 ቁጥሮችን ወደ ዋና ምክንያቶች እንከፋፍላቸው፡-

441=3 3 7 7 እና 700=2 2 5 5 7 እናገኛለን።

አሁን በእነዚህ ቁጥሮች መስፋፋት ውስጥ የተካተቱትን ሁሉንም ነገሮች አንድ ምርት እንሥራ፡ 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . ከዚህ ምርት ውስጥ በሁለቱም መስፋፋቶች ውስጥ በአንድ ጊዜ የሚገኙትን ሁሉንም ምክንያቶች እናስወግድ (እንዲህ ያለ ምክንያት አንድ ብቻ ነው - ይህ ቁጥር 7 ነው): 2 2 3 3 5 5 7 7 . ስለዚህም LCM(441፣700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

መልስ፡-

LCM (441, 700)= 44 100 .

የቁጥሮች መበስበስን ወደ ዋና ምክንያቶች በመጠቀም LCM የማግኘት ደንብ ትንሽ በተለየ መንገድ ሊቀረጽ ይችላል። ከቁጥር b መስፋፋት የጎደሉትን ምክንያቶች ከቁጥር ሀ መስፋፋት ወደ ምክንያቶች ከጨመርን የውጤቱ ዋጋ ከቁጥር ሀ እና ለ ውስጥ በትንሹ ከተለመዱት ብዜቶች ጋር እኩል ይሆናል ።.

ለምሳሌ፣ ሁሉንም ተመሳሳይ ቁጥሮች 75 እና 210 እንውሰድ፣ መስፋፋታቸው ወደ ዋና ምክንያቶች የሚከተሉት ናቸው፡ 75=3 5 5 and 210=2 3 5 7 . ወደ 3, 5 እና 5 ከቁጥር 75 መበስበስ, የጎደሉትን ምክንያቶች 2 እና 7 ከቁጥር 210 መበስበስ እንጨምራለን, ምርቱን 2 3 5 5 7 እናገኛለን, ዋጋው LCM (75) ነው. ፣ 210) ።

ለምሳሌ.

አነስተኛውን የ84 እና 648 ብዜት ያግኙ።

መፍትሄ።

በመጀመሪያ የቁጥር 84 እና 648 መበስበስን ወደ ዋና ምክንያቶች እናገኛለን። 84=2 2 3 7 እና 648=2 2 2 3 3 3 3 ይመስላሉ። ወደ ምክንያቶች 2, 2, 3 እና 7 ከቁጥር 84 መበስበስ የጎደሉትን ምክንያቶች 2, 3, 3 እና 3 ከቁጥር 648 መበስበስ እንጨምራለን, ምርቱን 2 2 2 3 3 3 3 3 7 እናገኛለን. ከ 4 536 ጋር እኩል ነው. ስለዚህ የሚፈለገው የቁጥር 84 እና 648 አነስተኛ የጋራ ብዜት 4,536 ነው።

መልስ፡-

LCM(84፣648)=4 536 .

የሶስት ወይም ከዚያ በላይ ቁጥሮች LCM ማግኘት

የሁለት ቁጥሮች ኤልሲኤም በተከታታይ በማግኘት የሶስት ወይም ከዚያ በላይ ቁጥሮች በጣም ትንሹ የተለመደ ብዜት ሊገኝ ይችላል። የሶስት ወይም ከዚያ በላይ ቁጥሮች LCM ለማግኘት መንገድ የሚሰጠውን ተዛማጅ ቲዎሬም አስታውስ።

ቲዎረም.

አወንታዊ ኢንቲጀርስ ሀ 1፣ ሀ 2፣ …፣ k ይስጥ፣ ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ በጣም ትንሽ የሆነው ብዙ m k የሚገኘው በቅደም ተከተል ስሌት m 2 = LCM (a 1፣ a 2)፣ m 3 = LCM (m 2፣ a) ነው። 3)፣ …፣ m k =LCM(m k-1፣ a k)።

የዚህን ንድፈ ሃሳብ አተገባበር በምሳሌነት ከአራት ቁጥሮች መካከል ትንሹን የጋራ ብዜት ለማግኘት አስቡበት።

ለምሳሌ.

የአራቱን ቁጥሮች LCM ያግኙ 140 , 9 , 54 እና 250 .

መፍትሄ።

በዚህ ምሳሌ 1 = 140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250 .

መጀመሪያ እናገኛለን m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). ይህንን ለማድረግ የ Euclidean አልጎሪዝምን በመጠቀም gcd (140, 9) እንወስናለን, 140=9 15+5, 9=5 1+4, 5=4 1+1, 4=1 4, ስለዚህ, gcd () አለን. 140፣9)=1፣ ከየት LCM(140፣ 9)=140 9፡ LCM(140፣ 9)= 140 9፡1=1 260። ማለትም m 2 =1 260 .

አሁን እናገኛለን m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). በ gcd (1 260, 54) እናሰላው, እሱም ደግሞ በ Euclid ስልተ ቀመር ይወሰናል: 1 260=54 23+18, 54=18 3 . ከዚያም gcd (1 260፣ 54)=18፣ ከየት ነው LCM(1 260፣ 54)= 1 260 54:gcd(1 260፣ 54)= 1 260 54:18=3 780። ማለትም m 3 \u003d 3 780።

ለማግኘት ግራ m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). ይህንን ለማድረግ, GCD (3 780, 250) Euclid algorithm: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 በመጠቀም እናገኛለን. ስለዚህ፣ gcd (3 780፣ 250)=10፣ ከየት ነው gcd(3 780፣ 250)= 3 780 250፡gcd(3 780፣250)= 3 780 250:10=94 500. ማለትም m 4 \u003d 94 500።

ስለዚህ ከመጀመሪያዎቹ አራት ቁጥሮች መካከል በጣም ትንሹ የተለመደ ብዜት 94,500 ነው።

መልስ፡-

LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

በአብዛኛዎቹ አጋጣሚዎች፣ በጣም አነስተኛ የሆነው የሶስት ወይም ከዚያ በላይ ቁጥሮች ብዜት በተሰጡ ቁጥሮች ዋና ፋክተሪዜሽን በመጠቀም በምቾት ይገኛል። በዚህ ሁኔታ, የሚከተለው ህግ መከተል አለበት. በርካታ ቁጥሮች መካከል ቢያንስ የጋራ ብዜት ምርት ጋር እኩል ነው, ይህም እንደሚከተለው ያቀፈ ነው: ሁለተኛው ቁጥር መስፋፋት ጀምሮ የጎደሉትን ምክንያቶች የመጀመሪያው ቁጥር ሲለጠጡና ጀምሮ ሁሉንም ምክንያቶች ታክሏል ነው. ሦስተኛው ቁጥር በተገኙት ምክንያቶች ላይ ተጨምሯል, ወዘተ.

የቁጥሮችን መበስበስን ወደ ዋና ምክንያቶች በመጠቀም አነስተኛውን ብዜት የማግኘት ምሳሌን ተመልከት።

ለምሳሌ.

ከአምስት ቁጥሮች 84 ፣ 6 ፣ 48 ፣ 7 ፣ 143 አነስተኛውን ብዜት ያግኙ።

መፍትሄ።

በመጀመሪያ የእነዚህን ቁጥሮች መስፋፋት ወደ ዋና ምክንያቶች እናገኛለን፡ 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prime factors) እና 143=11 13 .

የእነዚህን ቁጥሮች LCM ለማግኘት, ወደ የመጀመሪያው ቁጥር 84 ምክንያቶች (እነሱ 2, 2, 3 እና 7 ናቸው) ከሁለተኛው ቁጥር 6 መስፋፋት የጎደሉትን ምክንያቶች መጨመር ያስፈልግዎታል. የቁጥር 6 መስፋፋት የጎደሉትን ነገሮች አያካትትም, ምክንያቱም ሁለቱም 2 እና 3 ቀድሞው የመጀመሪያው ቁጥር 84 በማስፋፋት ላይ ይገኛሉ. ከ 2 ፣ 2 ፣ 3 እና 7 በተጨማሪ የጎደሉትን ምክንያቶች 2 እና 2 ከሦስተኛው ቁጥር 48 መስፋፋት እንጨምራለን ፣ የምክንያቶች ስብስብ 2 ፣ 2 ፣ 2 ፣ 2 ፣ 3 እና 7 እናገኛለን። 7 አስቀድሞ በውስጡ ስለያዘ በሚቀጥለው ደረጃ ወደዚህ ስብስብ ምክንያቶች መጨመር አያስፈልግም። በመጨረሻም, ወደ ምክንያቶች 2, 2, 2, 2, 3 እና 7 የጎደሉትን ምክንያቶች 11 እና 13 ከቁጥር 143 መስፋፋት እንጨምራለን. ምርቱን 2 2 2 2 3 7 11 13 እናገኛለን, ይህም ከ 48 048 ጋር እኩል ነው.

የሚከተለውን ችግር መፍትሄ አስቡበት. የልጁ ደረጃ 75 ሴ.ሜ ነው, እና የሴት ልጅ ደረጃ 60 ሴ.ሜ ነው, ሁለቱም አንድ ኢንቲጀር እርምጃዎችን የሚወስዱበት ትንሹን ርቀት መፈለግ ያስፈልጋል.

መፍትሄ።ወንዶቹ የሚያልፉበት መንገድ በሙሉ በ 60 እና 70 ያለቀሪ መከፋፈል አለበት ምክንያቱም እያንዳንዳቸው ኢንቲጀር እርምጃዎችን መውሰድ አለባቸው። በሌላ አነጋገር መልሱ የ75 እና 60 ብዜት መሆን አለበት።

በመጀመሪያ ፣ ሁሉንም ብዜቶች ፣ ለቁጥር 75 እንጽፋለን ።

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

አሁን የ 60 ብዜት የሚሆኑ ቁጥሮችን እንፃፍ።

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

አሁን በሁለቱም ረድፎች ውስጥ ያሉትን ቁጥሮች እናገኛለን.

  • የተለመዱ የቁጥሮች ብዜቶች ቁጥሮች፣ 300፣ 600፣ ወዘተ ይሆናሉ።

ከመካከላቸው በጣም ትንሹ ቁጥር 300 ነው. በዚህ ሁኔታ, ከቁጥር 75 እና 60 መካከል ትንሹ የተለመደ ብዜት ይባላል.

ወደ ችግሩ ሁኔታ ስንመለስ ወንዶቹ ኢንቲጀር እርምጃዎችን የሚወስዱበት ትንሹ ርቀት 300 ሴ.ሜ ይሆናል ወንድ ልጅ በዚህ መንገድ በ 4 እርምጃዎች ይሄዳል, እና ልጅቷ 5 እርምጃዎችን መውሰድ ይኖርባታል.

በጣም ትንሹ የጋራ ብዜት ማግኘት

  • የሁለት የተፈጥሮ ቁጥሮች ሀ እና b በጣም ትንሹ የተለመደ ብዜት የሁለቱም ሀ እና ለ ብዜት የሆነው ትንሹ የተፈጥሮ ቁጥር ነው።

የሁለት ቁጥሮች አነስተኛውን የጋራ ብዜት ለማግኘት, ለእነዚህ ቁጥሮች ሁሉንም ብዜቶች በተከታታይ መፃፍ አስፈላጊ አይደለም.

የሚከተለውን ዘዴ መጠቀም ይችላሉ.

በጣም አናሳውን ብዜት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል

በመጀመሪያ እነዚህን ቁጥሮች ወደ ዋና ምክንያቶች መበስበስ ያስፈልግዎታል.

  • 60 = 2*2*3*5,
  • 75=3*5*5.

አሁን በመጀመሪያ ቁጥር (2,2,3,5) መስፋፋት ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ምክንያቶች እንጽፍ እና ከሁለተኛው ቁጥር (5) መስፋፋት ሁሉንም የጎደሉትን ምክንያቶች እንጨምር.

በውጤቱም, ተከታታይ ዋና ቁጥሮችን እናገኛለን: 2,2,3,5,5. የእነዚህ ቁጥሮች ምርት ለእነዚህ ቁጥሮች በጣም ትንሹ የተለመደ ምክንያት ይሆናል. 2*2*3*5*5 = 300።

አነስተኛውን የጋራ ብዜት ለማግኘት አጠቃላይ እቅድ

  • 1. ቁጥሮችን ወደ ዋና ምክንያቶች መበስበስ.
  • 2. የአንደኛው አካል የሆኑትን ዋና ዋና ምክንያቶችን ጻፍ.
  • 3. በቀሪው መበስበስ ውስጥ ያሉትን ሁሉ ወደ እነዚህ ምክንያቶች ይጨምሩ, ነገር ግን በተመረጠው ውስጥ አይደለም.
  • 4. የተፃፉትን ነገሮች ሁሉ ውጤት ያግኙ።

ይህ ዘዴ ሁለንተናዊ ነው. ከየትኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች አነስተኛውን ብዜት ለማግኘት ሊያገለግል ይችላል።

ታላቁ የጋራ አካፋይ

ፍቺ 2

የተፈጥሮ ቁጥር ሀ በተፈጥሮ ቁጥር በ$ b$ የሚከፋፈል ከሆነ፣ $ b$ የ$a$ አካፋይ ይባላል፣ እና ቁጥሩ $a$ የ$b$ ብዜት ይባላል።

$a$ እና $b$ የተፈጥሮ ቁጥሮች ይሁኑ። ቁጥሩ $c$ ለሁለቱም $a$ እና $b$ የጋራ አካፋይ ይባላል።

ከእነዚህ አካፋዮች መካከል አንዳቸውም ከ$a$ ሊበልጥ ስለማይችሉ የ$a$ እና $b$ የቁጥሮች የጋራ አካፋዮች ስብስብ የመጨረሻ ነው። ይህ ማለት ከነዚህ አካፋዮች መካከል ትልቁ አለ እሱም የቁጥሮች $a$ እና $b$ ትልቁ የጋራ አካፋይ ይባላል እና ኖተ ነገሩን ለማመልከት ጥቅም ላይ ይውላል፡

$gcd \ (a; b) \ ​​ወይም \ D \ (a; b)$

የሁለት ቁጥሮች ትልቁን የጋራ አካፋይ ለማግኘት፡-

  1. በደረጃ 2 ውስጥ የሚገኙትን የቁጥሮች ምርት ያግኙ። የተገኘው ቁጥር የሚፈለገው ትልቁ የጋራ አካፋይ ይሆናል።

ምሳሌ 1

የቁጥር gcd ያግኙ $121$ እና $132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    በእነዚህ ቁጥሮች መስፋፋት ውስጥ የተካተቱትን ቁጥሮች ይምረጡ

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    በደረጃ 2 ውስጥ የሚገኙትን የቁጥሮች ምርት ያግኙ። የተገኘው ቁጥር የሚፈለገው ትልቁ የጋራ አካፋይ ይሆናል።

    $gcd=2\cdot 11=22$

ምሳሌ 2

የሞኖሚሎች GCD ያግኙ $63$ እና $81$።

በቀረበው አልጎሪዝም መሰረት እናገኛለን. ለዚህ:

    ቁጥሮችን ወደ ዋና ምክንያቶች እንከፋፍል።

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    በእነዚህ ቁጥሮች መስፋፋት ውስጥ የተካተቱትን ቁጥሮች እንመርጣለን

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    በደረጃ 2 ውስጥ የሚገኙትን የቁጥሮች ውጤት እንፈልግ ። የተገኘው ቁጥር የሚፈለገው ትልቁ የጋራ አካፋይ ይሆናል።

    $gcd=3\cdot 3=9$

የቁጥር አካፋዮችን ስብስብ በመጠቀም የሁለት ቁጥሮች GCD በሌላ መንገድ ማግኘት ይችላሉ።

ምሳሌ 3

የቁጥሮችን gcd ያግኙ $48$ እና $60$።

መፍትሄ፡-

የ$48$ የአከፋፋዮችን ስብስብ ያግኙ፡$\ግራ\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\ቀኝ\)$

አሁን የ$60$:$\\ግራ\(((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\ቀኝ\)$ የአከፋፋዮችን ስብስብ እንፈልግ።

የእነዚህን ስብስቦች መገናኛ እንፈልግ: $ \ ግራ \ ((\rm 1,2,3,4,6,12) \ ቀኝ \) $ - ይህ ስብስብ የቁጥር $ 48 እና $ 60 የጋራ አካፋዮችን ስብስብ ይወስናል ። $. በዚህ ስብስብ ውስጥ ያለው ትልቁ አካል ቁጥሩ $12$ ይሆናል። ስለዚህ ትልቁ የ48$ እና $60$ የጋራ አካፋይ $12$ ነው።

የ NOC ትርጉም

ፍቺ 3

የተለመዱ የተፈጥሮ ቁጥሮች ብዜት$a$ እና $b$ የሁለቱም $a$ እና $b$ ብዜት የሆነ የተፈጥሮ ቁጥር ነው።

የተለመዱ የቁጥሮች ብዜቶች ቁጥሮች ሳይቀሩ በኦሪጅናል የሚካፈሉ ቁጥሮች ናቸው።ለምሳሌ ለቁጥር $25$ እና $50$፣ የጋራ ብዜቶች ቁጥሮች $50,100,150,200$ ወዘተ ይሆናል።

በጣም ትንሹ የጋራ ብዜት ትንሹ የጋራ ብዜት ይባላል እና በLCM$(a;b)$ ወይም K$(a;b) ይገለጻል።$

የሁለት ቁጥሮች LCM ለማግኘት፣ ያስፈልግዎታል፡-

  1. ቁጥሮችን ወደ ዋና ምክንያቶች ይሰብስቡ
  2. የመጀመርያው ቁጥር አካል የሆኑትን ምክንያቶች ጻፍ እና የሁለተኛው አካል የሆኑትን ነገሮች ጨምርላቸው እና ወደ መጀመሪያው አትሂድ።

ምሳሌ 4

የቁጥሮችን LCM ያግኙ $99$ እና $77$።

በቀረበው አልጎሪዝም መሰረት እናገኛለን. ለዚህ

    ቁጥሮችን ወደ ዋና ምክንያቶች ይሰብስቡ

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    በመጀመሪያው ውስጥ የተካተቱትን ምክንያቶች ይጻፉ

    የሁለተኛው አካል የሆኑትን ምክንያቶች ጨምረው ወደ መጀመሪያው አይሂዱ

    በደረጃ 2 ላይ የሚገኙትን የቁጥሮች ምርት ያግኙ። የተገኘው ቁጥር የሚፈለገው አነስተኛ የጋራ ብዜት ይሆናል።

    $LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    የቁጥር አካፋዮችን ዝርዝር ማጠናቀር ብዙ ጊዜ የሚፈጅ ነው። Euclid's algorithm የሚባል GCD የሚፈልግበት መንገድ አለ።

    የዩክሊድ ስልተ ቀመር የተመሰረተባቸው መግለጫዎች፡-

    $a$ እና $b$ የተፈጥሮ ቁጥሮች ከሆኑ እና $a\vdots b$ ከሆነ $D(a;b)=b$

    $a$ እና $b$ የተፈጥሮ ቁጥሮች ከሆኑ እንደ $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ን በመጠቀም ጥንድ ቁጥሮችን እስክንደርስ ድረስ ከግምት ውስጥ ያሉትን ቁጥሮች በመቀነስ አንዳቸው በሌላኛው እንዲካፈሉ እናደርጋለን። ከዚያ የእነዚህ ቁጥሮች ትንሹ ለቁጥሮች $a$ እና $b$ የሚፈለገው ታላቅ የጋራ አካፋይ ይሆናል።

የ GCD እና LCM ባህሪያት

  1. ማንኛውም የ$a$ እና $b$ ብዜት በK$(a;b)$ ይከፈላል
  2. $a\vdots b$ ከሆነ K$(a;b)=a$

    3. K$(a;b)=k$ እና $m$-የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ K$(am;bm)=km$

    $d$ ለ$a$ እና ለ$b$ የተለመደ አካፋይ ከሆነ K($\frac(a)(d));\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(መ) ) $

    $a\vdots c$ እና $b\vdots c$ ከሆነ፣ $\frac(ab)(c)$ የ$a$ እና $b$ የተለመደ ብዜት ነው።

    ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች $a$ እና $b$ እኩልነት

    $D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

    ማንኛውም የ$a$ እና $b$ የጋራ አካፋይ የ$D(a;b)$ አካፋይ ነው።

ላንሲኖቫ አይሳ

አውርድ:

ቅድመ እይታ፡

የዝግጅት አቀራረቦችን ቅድመ እይታ ለመጠቀም የጉግል መለያ (መለያ) ይፍጠሩ እና ይግቡ፡ https://accounts.google.com


የስላይድ መግለጫ ጽሑፎች፡-

የ GCD እና የቁጥር LCM ተግባራት የ MKOU "Kamyshovskaya OOSh" ላንሲኖቫ አይሳ ሱፐርቫይዘር Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna የ 6 ኛ ክፍል ተማሪ ሥራ, የሂሳብ መምህር p. ካሚሾቮ፣ 2013

የቁጥር 50፣ 75 እና 325 GCD የማግኘት ምሳሌ። 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 ያለ ቀሪ አካፍል ሀ እና ለ የነዚህ ቁጥሮች ትልቁ የጋራ አካፋይ ይባላሉ።

የቁጥር 72፣99 እና 117ን የማግኘት ምሳሌ። ∙ 3 እና የቀሩትን ቁጥሮች የጎደሉትን ምክንያቶች ይጨምሩላቸው። 2.2 2.2 እና ለ.

የካርቶን ወረቀት አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሲሆን ርዝመቱ 48 ሴ.ሜ እና ስፋቱ 40 ሴ.ሜ ነው.ይህ ወረቀት ያለ ቆሻሻ ወደ እኩል ካሬዎች መቁረጥ አለበት. ከዚህ ሉህ ሊገኙ የሚችሉ ትላልቅ ካሬዎች ምንድናቸው እና ስንት ናቸው? መፍትሄ፡ 1) S = a ∙ b የአራት ማዕዘኑ ስፋት ነው። ሰ \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 ሴሜ²። የካርቶን ቦታ ነው. 2) ሀ - የካሬው ጎን 48: a - በካርቶን ርዝመት ውስጥ ሊቀመጡ የሚችሉ የካሬዎች ብዛት. 40: a - በካርቶን ወርድ ላይ ሊቀመጡ የሚችሉ የካሬዎች ብዛት. 3) GCD (40 እና 48) \u003d 8 (ሴሜ) - የካሬው ጎን. 4) S \u003d a² - የአጥንት ካሬ ስፋት። S \u003d 8² \u003d 64 (ሴሜ²) - የአጥንት ካሬ ስፋት። 5) 1960፡ 64 = 30 (የካሬዎች ብዛት)። መልስ: እያንዳንዳቸው 8 ሴንቲ ሜትር የሆነ ጎን 30 ካሬዎች. ተግባራት ለ GCD

በክፍሉ ውስጥ ያለው የእሳት ምድጃ በካሬው ቅርጽ የማጠናቀቂያ ሰድሮች መቀመጥ አለበት. ለ 195 ͯ 156 ሴ.ሜ የእሳት ቦታ ስንት ሰቆች ያስፈልጋሉ እና ትልቁ የሰድር መጠኖች ምንድናቸው? መፍትሄ፡ 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (ሴሜ ²) - የምድጃው ገጽ ኤስ። 2) GCD (195 እና 156) = 39 (ሴሜ) - ከጣሪያው ጎን. 3) S = a² = 39² = 1521 (ሴሜ²) - የ1 ንጣፍ ስፋት። 4) 30420፡ = 20 (ቁራጭ)። መልስ፡ 39 ͯ 39 (ሴሜ) የሚለኩ 20 ሰቆች። ተግባራት ለ GCD

በፔሪሜትር ዙሪያ 54 ͯ 48 ሜትር የሚለካው የአትክልት ቦታ መከልከል አለበት፣ ለዚህም የኮንክሪት ምሰሶዎች በየጊዜው መቀመጥ አለባቸው። ለጣቢያው ምን ያህል ምሰሶዎች መቅረብ አለባቸው, እና ምሰሶዎቹ እርስ በእርሳቸው በምን ያህል ርቀት ላይ ይቆማሉ? መፍትሄ: 1) P = 2 (a + b) - የጣቢያ ፔሪሜትር. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 እና 48) \u003d 6 (m) - በአምዶች መካከል ያለው ርቀት. 3) 204፡ 6 = 34 (ምሰሶዎች)። መልስ: 34 ምሰሶዎች, በ 6 ሜትር ርቀት ላይ ለጂሲዲ ተግባራት

ከ 210 ቡርጋንዲ, 126 ነጭ, 294 ቀይ ጽጌረዳዎች, እቅፍ አበባዎች ተሰብስበዋል, እና በእያንዳንዱ እቅፍ አበባ ውስጥ ተመሳሳይ ቀለም ያላቸው ጽጌረዳዎች ቁጥር እኩል ነው. ከእነዚህ ጽጌረዳዎች የተሠሩት በጣም ብዙ ቁጥር ያላቸው እቅፍ አበባዎች እና የእያንዳንዱ ቀለም ምን ያህል ጽጌረዳዎች በአንድ እቅፍ ውስጥ ይገኛሉ? መፍትሄ: 1) GCD (210, 126 እና 294) = 42 (እቅፍ አበባዎች). 2) 210፡ 42 = 5 (በርገንዲ ጽጌረዳዎች)። 3) 126፡42 = 3 (ነጭ ጽጌረዳዎች)። 4) 294፡ 42 = 7 (ቀይ ጽጌረዳዎች)። መልስ: 42 እቅፍ አበባዎች: 5 ቡርጋንዲ, 3 ነጭ, 7 ቀይ ጽጌረዳዎች በእያንዳንዱ እቅፍ ውስጥ. ተግባራት ለ GCD

ታንያ እና ማሻ ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸውን የመልእክት ሳጥኖች ገዙ። ታንያ 90 ሮቤል ከፍሏል, እና ማሻ 5 ሬብሎችን ከፍሏል. ተጨማሪ. አንድ ስብስብ ምን ያህል ያስከፍላል? እያንዳንዳቸው ስንት ስብስቦችን ገዙ? መፍትሄ: 1) ማሻ 90 + 5 = 95 (ሩብል) ተከፍሏል. 2) GCD (90 እና 95) = 5 (ሩብል) - የ 1 ስብስብ ዋጋ. 3) 980: 5 = 18 (ስብስቦች) - በታንያ ተገዛ. 4) 95: 5 = 19 (ስብስቦች) - ማሻ ገዝቷል. መልስ: 5 ሩብልስ, 18 ስብስቦች, 19 ስብስቦች. ተግባራት ለ GCD

ሶስት የቱሪስት ጀልባ ጉዞዎች በወደብ ከተማ ውስጥ ይጀምራሉ, የመጀመሪያው ለ 15 ቀናት ይቆያል, ሁለተኛው - 20 እና ሦስተኛው - 12 ቀናት. ወደ ወደብ ሲመለሱ, መርከቦቹ በተመሳሳይ ቀን እንደገና ወደ ጉዞ ይሄዳሉ. ሞተር መርከቦች በሦስቱም መንገዶች ዛሬ ወደቡን ለቀው ወጥተዋል። በስንት ቀናት ውስጥ ለመጀመሪያ ጊዜ አብረው ይጓዛሉ? እያንዳንዱ መርከብ ምን ያህል ጉዞ ያደርጋል? መፍትሄ: 1) NOC (15.20 እና 12) = 60 (ቀናት) - የስብሰባ ጊዜ. 2) 60: 15 = 4 (ጉዞዎች) - 1 መርከብ. 3) 60: 20 = 3 (ጉዞዎች) - 2 የሞተር መርከብ. 4) 60: 12 = 5 (ጉዞዎች) - 3 የሞተር መርከብ. መልስ፡- 60 ቀናት፣ 4 በረራዎች፣ 3 በረራዎች፣ 5 በረራዎች። ተግባራት ለ NOC

ማሻ በመደብሩ ውስጥ ለድብ እንቁላል ገዛ። ወደ ጫካው በሚወስደው መንገድ ላይ የእንቁላል ቁጥር በ 2,3,5,10 እና 15 እንደሚከፋፈል ተገነዘበች.ማሻ ስንት እንቁላል ገዛች? መፍትሄ፡ LCM (2;3;5;10;15) = 30 (እንቁላል) መልስ፡- ማሻ 30 እንቁላል ገዛ። ተግባራት ለ NOC

16 ͯ 20 ሴ.ሜ የሚለኩ ሳጥኖችን ለመደርደር አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሣጥን ለመሥራት ያስፈልጋል። ሳጥኖቹን ወደ ሳጥኑ ውስጥ በጥብቅ ለመግጠም ከካሬው በታች ያለው አጭር ጎን ምን መሆን አለበት? መፍትሄ: 1) NOC (16 እና 20) = 80 (ሳጥኖች). 2) S = a ∙ b የ1 ሣጥን ስፋት ነው። S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (ሴሜ ²) - የ 1 ሣጥን የታችኛው ክፍል። 3) 320 ∙ 80 = 25600 (ሴሜ ²) - ካሬ ታች አካባቢ። 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - የሳጥኑ ልኬቶች። መልስ: 160 ሴ.ሜ የካሬው የታችኛው ክፍል ጎን ነው. ተግባራት ለ NOC

በመንገዱ ላይ ከ K ነጥብ በየ 45 ሜትር የኃይል ምሰሶዎች አሉ.እነዚህን ምሰሶዎች ከሌሎች በ 60 ሜትር ርቀት ላይ በማስቀመጥ በሌሎች ለመተካት ተወስኗል. ስንት ምሰሶዎች ነበሩ እና ስንት ይቆማሉ? መፍትሄ፡ 1) ኖክ (45 እና 60) = 180. 2) 180፡45 = 4 - ምሰሶዎች ነበሩ። 3) 180: 60 = 3 - ምሰሶዎች ነበሩ. መልስ: 4 ምሰሶዎች, 3 ምሰሶዎች. ተግባራት ለ NOC

ስንት ወታደር በሰልፍ ሜዳ ላይ 12 ሰው ሆኖ በአንድ መስመር ዘምቶ ወደ 18 ሰው አምድ ቢቀየር? መፍትሄ: 1) NOC (12 እና 18) = 36 (ሰዎች) - ሰልፍ. መልስ: 36 ሰዎች. ተግባራት ለ NOC