አንድ ወጥ የሆነ ልዩነት እኩልታ እንዴት እንደሚፈታ። የመጀመሪያው ቅደም ተከተል ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች

የመጀመሪያ ደረጃ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ የቅጹ እኩልታ ነው።
, የት f ተግባር ነው.

ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ እንዴት እንደሚወሰን

የአንደኛ ደረጃ ልዩነት እኩልነት ተመሳሳይ መሆኑን ለመወሰን ቋሚ t ማስተዋወቅ እና y በty እና x በ tx ​​መተካት ያስፈልግዎታል: y → ty, x → tx. t ከተቀነሰ, ይህ ነው ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ. የ y' ተዋጽኦ በዚህ ለውጥ አይለወጥም።
.

ለምሳሌ

የተሰጠው እኩልታ ተመሳሳይ መሆኑን ይወስኑ

መፍትሄ

ተተኪውን y → ty, x → tx እንሰራለን.


በቲ ተከፋፍል። 2 .

.
እኩልታው t አልያዘም። ስለዚህ, ይህ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ ነው.

ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ የመፍታት ዘዴ

የመጀመሪያ ደረጃ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ y = ux ን በመጠቀም ከሚነጣጠሉ ተለዋዋጮች ጋር ወደ እኩልነት ይቀንሳል። እናሳየው። ቀመርን አስቡበት፡-
(እኔ)
ምትክ እንሥራ፡-
y = ux,
የት የ x ተግባር ነው። ከ x ጋር ይለያዩ፡
y =
ወደ መጀመሪያው እኩልታ ይተኩ (እኔ).
,
,
(ii) .
ተለዋዋጮችን እንለይ። በዲክስ ማባዛት እና በ x ማካፈል ( f(u) - u).

በኤፍ (u) - u ≠ 0እና x ≠ 0 እናገኛለን:

እንዋሃድ፡

ስለዚህ, የእኩልታውን አጠቃላይ ውህደት አግኝተናል (እኔ)በአራት ማዕዘኖች ውስጥ;

የውህደት ሐ ቋሚውን በ ln ሲ, ከዚያም

የሚፈለገው ምልክት የሚወሰነው በቋሚ ሲ ምልክት ምርጫ ስለሆነ የሞጁሉን ምልክት እንተወው። ከዚያ አጠቃላይ ቅንጅቱ ቅጹን ይወስዳል-

በመቀጠል ጉዳዩን እናስብበት f (ኡ) - u = 0.
ይህ እኩልታ ሥሮች ካሉት እነሱ ለእኩል መፍትሄ ናቸው። (ii). ከኢክ. (ii)ከመጀመሪያው እኩልታ ጋር አይጣጣምም, ከዚያ ተጨማሪ መፍትሄዎች የመጀመሪያውን እኩልታ እንደሚያሟሉ ማረጋገጥ አለብዎት (እኔ).

በማንኛውም ጊዜ፣ በለውጦች ሂደት ውስጥ፣ የትኛውንም እኩልታ በተወሰነ ተግባር ስንከፋፍል፣ ይህም እንደ ሰ (x፣ y), ከዚያ ተጨማሪ ለውጦች ለ g (x, y) ≠ 0. ስለዚህ, ጉዳዩ g በተናጠል መታየት አለበት (x፣ y) = 0.

አንድ ወጥ የሆነ የመጀመሪያ ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታ የመፍታት ምሳሌ

እኩልታውን ይፍቱ

መፍትሄ

ይህ እኩልነት ተመሳሳይ መሆኑን እንፈትሽ። ተተኪውን y → ty, x → tx እንሰራለን. በዚህ አጋጣሚ፣ y' → y'።
,
,
.
በቲ እናሳጥረዋለን.

ቋሚ t ቀንሷል። ስለዚህ እኩልታው ተመሳሳይ ነው.

ምትክ y = ux እንሰራለን ፣ እዚያም u የ x ተግባር ነው።
y = (ux) "= u" x + u (x) "= u" x + u
ወደ መጀመሪያው እኩልታ ይተኩ።
,
,
,
.
መቼ x ≥ 0 , |x| = x. መቼ x ≤ 0 , |x| = - x. |x| እንጽፋለን። = x የላይኛው ምልክት እሴቶችን x ≥ እንደሚያመለክት ያመለክታል 0 , እና የታችኛው - ወደ እሴቶች x ≤ 0 .
,
በዲክስ ማባዛት እና በ ማካፈል።

መቼ ዩ 2 - 1 ≠ 0 እና አለነ:

እንዋሃድ፡

የጠረጴዛ ዕቃዎች ፣
.

ቀመሩን እንተገብረው፡-
(a + b) (a - ለ) = a 2 - b 2.
አንድ = u, እናስቀምጥ.
.
ሁለቱንም ጎን ሞዱሎን እንውሰድ እና ሎጋሪዝም እንውሰድ፣
.
ከዚህ
.

ስለዚህ እኛ አለን:
,
.
የሚፈለገው ምልክት የቋሚ ሲ ምልክትን በመምረጥ የተረጋገጠ ስለሆነ የሞጁሉን ምልክት እንተወዋለን።

በ x ማባዛት እና በምትኩ ux = y።
,
.
አራት ማዕዘን እናድርገው.
,
,
.

አሁን ጉዳዩን አስቡበት, u 2 - 1 = 0 .
የዚህ እኩልታ ሥሮች
.
ተግባራቶቹ y = x የመጀመሪያውን እኩልታ እንደሚያሟሉ ማረጋገጥ ቀላል ነው።

መልስ

,
,
.

ዋቢዎች፡-
ኤን.ኤም. ጉንተር፣ አር.ኦ. ኩዝሚን፣ በከፍተኛ ሂሳብ የችግሮች ስብስብ፣ “ላን”፣ 2003

እኔ እንደማስበው እንደዚህ ባለው የክብር የሂሳብ መሣሪያ ታሪክ እንደ ልዩነት እኩልታዎች እንጀምር። ልክ እንደ ሁሉም ልዩነት እና የማይነጣጠሉ ካልኩለስ እነዚህ እኩልታዎች የተፈለሰፉት በ17ኛው ክፍለ ዘመን መገባደጃ ላይ በኒውተን ነው። ይህን የእሱን ልዩ ግኝት በጣም አስፈላጊ አድርጎ በመቁጠር መልእክቱን ኢንክሪፕት አድርጎታል፤ ይህም ዛሬ እንዲህ ተብሎ ሊተረጎም ይችላል፡- “ሁሉም የተፈጥሮ ሕጎች የሚገለጹት በልዩነት እኩልታዎች ነው። ይህ የተጋነነ ሊመስል ይችላል, ግን እውነት ነው. ማንኛውም የፊዚክስ፣ የኬሚስትሪ፣ የባዮሎጂ ህግ በእነዚህ እኩልታዎች ሊገለጽ ይችላል።

የሒሳብ ሊቃውንት ኡለር እና ላግራንጅ የልዩነት እኩልታዎች ንድፈ ሐሳብን ለማዳበር እና ለመፍጠር ትልቅ አስተዋፅዖ አድርገዋል። ቀድሞውኑ በ 18 ኛው ክፍለ ዘመን በከፍተኛ የዩኒቨርሲቲ ኮርሶች ውስጥ አሁን የሚያጠኑትን አግኝተው አዳብረዋል.

ለሄንሪ ፖይንካርሬ ምስጋና ይግባውና በልዩነት እኩልታዎች ጥናት ውስጥ አዲስ ምዕራፍ ተጀመረ። እሱ "የጥራት እኩልታዎች የጥራት ጽንሰ-ሀሳብ" ፈጠረ ፣ እሱም ከተወሳሰበ ተለዋዋጭ ተግባራት ፅንሰ-ሀሳብ ጋር ተዳምሮ ለቶፖሎጂ መሠረት - የሕዋ ሳይንስ እና ባህሪያቱ ከፍተኛ አስተዋፅዖ አድርጓል።

ልዩነት እኩልታዎች ምንድን ናቸው?

ብዙ ሰዎች አንድን ሀረግ ይፈራሉ ፣ ሆኖም ፣ በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የዚህን በጣም ጠቃሚ የሂሳብ መሣሪያ ምንነት በዝርዝር እንገልፃለን ፣ በእውነቱ ከስሙ የሚመስለውን ያህል የተወሳሰበ አይደለም። ስለ አንደኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች ማውራት ለመጀመር በመጀመሪያ ከዚህ ፍቺ ጋር በተፈጥሯቸው ተያያዥነት ያላቸውን መሰረታዊ ፅንሰ ሀሳቦች ማወቅ አለብዎት። እና በልዩነት እንጀምራለን.

ልዩነት

ብዙ ሰዎች ይህንን ጽንሰ-ሀሳብ ከትምህርት ቤት ጀምሮ ያውቃሉ። ሆኖም ግን, በጥልቀት እንመልከተው. የአንድ ተግባር ግራፍ በዓይነ ሕሊናህ ይታይህ። የትኛውም የሱ ክፍል ቀጥተኛ መስመር እንዲይዝ እስከዚያ ድረስ ልንጨምር እንችላለን. በእሱ ላይ እርስ በርስ በጣም ቅርብ የሆኑ ሁለት ነጥቦችን እንውሰድ. በመጋጠሚያዎቻቸው (x ወይም y) መካከል ያለው ልዩነት ወሰን የሌለው ይሆናል። ልዩነት ተብሎ ይጠራል እና በ dy (ልዩ የy) እና dx (የ x ልዩነት) ምልክቶች ይገለጻል። ልዩነቱ የተወሰነ መጠን አለመሆኑን መረዳት በጣም አስፈላጊ ነው, እና ይህ ትርጉሙ እና ዋና ተግባሩ ነው.

አሁን የሚቀጥለውን አካል ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን, ይህም የልዩነት እኩልታ ጽንሰ-ሐሳብን ለማብራራት ይጠቅመናል. ይህ መነሻ ነው።

መነሻ

ሁላችንም በትምህርት ቤት ውስጥ ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ ሰምተን ይሆናል. ተዋጽኦው አንድ ተግባር የሚጨምርበት ወይም የሚቀንስበት ፍጥነት ነው ተብሏል። ይሁን እንጂ ከዚህ ፍቺ ብዙ ግልጽ አይሆንም. ዳይሬቬቲቭን በልዩነት ለማብራራት እንሞክር። እርስ በርሳችን በትንሹ ርቀት ላይ በሚገኙ ሁለት ነጥቦች ወደ ማለቂያ ወደሌለው የተግባር ክፍል እንመለስ። ግን በዚህ ርቀት ውስጥ እንኳን ተግባሩ በተወሰነ መጠን መለወጥ ይችላል። እና ይህን ለውጥ ለመግለፅ መነሻ አመጡ፣ ይህም ካልሆነ እንደ ልዩነት ሬሾ ሊፃፍ ይችላል፡ f(x)"=df/dx.

አሁን የመነጩን መሰረታዊ ባህሪያት ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው. ከእነዚህ ውስጥ ሦስቱ ብቻ ናቸው.

1. የአንድ ድምር ወይም ልዩነት ተዋጽኦ እንደ የውጤቶች ድምር ወይም ልዩነት ሊወከል ይችላል፡ (a+b)"=a"+b" እና (a-b)"=a"-b"።
2. ሁለተኛው ንብረት ከማባዛት ጋር የተያያዘ ነው. የምርት ተዋጽኦ የአንድ ተግባር ምርቶች ድምር እና የሌላው ተዋጽኦ ነው፡ (a*b)"=a"*b+a*b"።
3. የልዩነቱ መነሻው በሚከተለው እኩልነት ሊጻፍ ይችላል፡ (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

እነዚህ ሁሉ ንብረቶች ለመጀመሪያ-ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች መፍትሄዎችን ለማግኘት ይጠቅሙናል።

ከፊል ተዋጽኦዎችም አሉ። በተለዋዋጮች x እና y ላይ የሚወሰን ተግባር z አለን እንበል። የዚህን ተግባር ከፊል ተዋጽኦ ለማስላት፣ ከ x ጋር በተያያዘ፣ ተለዋዋጭ yን እንደ ቋሚ እና በቀላሉ መለየት ያስፈልገናል።

የተዋሃደ

ሌላው አስፈላጊ ጽንሰ-ሐሳብ ዋና ነው. እንደ እውነቱ ከሆነ ይህ የመነጩ ፍፁም ተቃራኒ ነው። ብዙ አይነት ውህዶች አሉ ፣ ግን በጣም ቀላል የሆኑትን ልዩ ልዩ እኩልታዎችን ለመፍታት በጣም ቀላል የሆኑትን እንፈልጋለን

ስለዚህ፣ በ x ላይ የ f ጥገኝነት አለን እንበል። በውስጡ ያለውን ውህደት እንወስዳለን እና F (x) ተግባሩን እናገኛለን (ብዙውን ጊዜ ፀረ-ተውሳሽ ተብሎ የሚጠራው) ፣ የእሱ አመጣጥ ከመጀመሪያው ተግባር ጋር እኩል ነው። ስለዚህም F(x)"=f(x)። በተጨማሪም የመነጩ ውህድ ከዋናው ተግባር ጋር እኩል ነው።

የልዩነት እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ የመዋሃዱን ትርጉም እና ተግባር መረዳት በጣም አስፈላጊ ነው ምክንያቱም መፍትሄ ለማግኘት ብዙ ጊዜ መውሰድ ስለሚኖርብዎት።

እኩልታዎች እንደየተፈጥሯቸው ይለያያሉ። በሚቀጥለው ክፍል, የአንደኛ ደረጃ የልዩነት እኩልታ ዓይነቶችን እንመለከታለን, ከዚያም እንዴት እንደሚፈቱ እንማራለን.

የልዩነት እኩልታዎች ክፍሎች

"ዲፍፈርስ" በውስጣቸው በተካተቱት ተዋጽኦዎች ቅደም ተከተል መሰረት ተከፋፍለዋል. ስለዚህ የመጀመሪያ, ሁለተኛ, ሦስተኛ እና ተጨማሪ ቅደም ተከተል አለ. እንዲሁም በበርካታ ክፍሎች ሊከፋፈሉ ይችላሉ-የተለመዱ እና ከፊል ተዋጽኦዎች.

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የመጀመሪያውን ቅደም ተከተል ተራ ልዩነት እኩልታዎችን እንመለከታለን. እንዲሁም ምሳሌዎችን እና እነሱን ለመፍታት መንገዶችን በሚቀጥሉት ክፍሎች እንነጋገራለን ። ODEsን ብቻ እንመለከታለን፣ ምክንያቱም እነዚህ በጣም የተለመዱ የእኩልታ ዓይነቶች ናቸው። ተራዎቹ በንዑስ ዝርያዎች የተከፋፈሉ ናቸው-በተለያዩ ተለዋዋጮች ፣ ተመሳሳይ እና የተለያዩ። በመቀጠል, እንዴት እርስ በርስ እንደሚለያዩ እና እንዴት እንደሚፈቱ ይማራሉ.

በተጨማሪም, እነዚህ እኩልታዎች ሊጣመሩ ስለሚችሉ የአንደኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓትን እንጨርሰዋለን. እንዲሁም እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች እንመለከታለን እና እንዴት እንደሚፈቱ እንማራለን.

ለምንድነው የመጀመሪያውን ትዕዛዝ ብቻ የምናስበው? ምክንያቱም በቀላል ነገር መጀመር አለብህ፣ እና ከልዩነት እኩልታዎች ጋር የተያያዙትን ሁሉንም ነገሮች በአንድ ጽሁፍ ውስጥ ለመግለጽ በቀላሉ አይቻልም።

ሊነጣጠሉ የሚችሉ እኩልታዎች

እነዚህ ምናልባት በጣም ቀላሉ የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች ናቸው። እነዚህም እንደሚከተለው ሊጻፉ የሚችሉ ምሳሌዎችን ያካትታሉ፡ y"=f(x)*f(y)።ይህን እኩልታ ለመፍታት ዳይሬቬቲቭን እንደ የዲፈረንሺያል ጥምርታ የምንወክልበት ቀመር ያስፈልገናል፡ y"=dy/dx። እሱን በመጠቀም የሚከተለውን እኩልታ እናገኛለን፡dy/dx=f(x)*f(y)። አሁን መደበኛ ምሳሌዎችን ለመፍታት ወደ ዘዴው መዞር እንችላለን-ተለዋዋጮችን ወደ ክፍሎች እንከፍላለን ፣ ማለትም ፣ ሁሉንም ነገር በተለዋዋጭ y ወደ dy ወደሚገኝበት ክፍል እናንቀሳቅሳለን እና በተለዋዋጭ x እንዲሁ እናደርጋለን። የቅጹን እኩልነት እናገኛለን: dy/f(y)=f(x)dx፣ እሱም የሚፈታው የሁለቱም ወገኖች ውህዶችን በመውሰድ ነው። ውስጠ-ቁራጩን ከወሰዱ በኋላ ማስተካከል ስለሚያስፈልገው ቋሚነት አይርሱ.

ለማንኛውም "ልዩነት" መፍትሄው በ x ላይ ጥገኛ ነው (በእኛ ሁኔታ) ወይም, የቁጥር ሁኔታ ካለ, ከዚያም መልሱ በቁጥር መልክ ነው. አንድ የተወሰነ ምሳሌ በመጠቀም አጠቃላይ የመፍትሄ ሂደቱን እንይ፡-

ተለዋዋጮችን ወደ ተለያዩ አቅጣጫዎች እናንቀሳቅስ።

አሁን መገጣጠሚያዎቹን እንውሰድ. ሁሉም በልዩ የመዋሃድ ሠንጠረዥ ውስጥ ሊገኙ ይችላሉ. እና እናገኛለን:

ln(y) = -2*cos(x) + ሲ

ከተፈለገ “y”ን እንደ “x” ተግባር መግለጽ እንችላለን። አሁን ሁኔታው ​​ካልተገለጸ የእኛ ልዩነት እኩልታ ተፈቷል ማለት እንችላለን. ሁኔታ ሊገለጽ ይችላል፣ ለምሳሌ y(n/2)=e። ከዚያ በቀላሉ የእነዚህን ተለዋዋጮች እሴቶች ወደ መፍትሄው እንተካለን እና የቋሚውን ዋጋ እናገኛለን። በእኛ ምሳሌ 1 ነው.

የመጀመሪያው ቅደም ተከተል ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች

አሁን ወደ በጣም አስቸጋሪው ክፍል እንሂድ። የመጀመርያው ቅደም ተከተል ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች በአጠቃላይ መልኩ እንደሚከተለው ሊፃፉ ይችላሉ፡ y"=z(x,y)። የሁለት ተለዋዋጮች የቀኝ እጅ ተግባር ተመሳሳይነት ያለው መሆኑን እና በሁለት ጥገኝነቶች ሊከፈል እንደማይችል ልብ ሊባል ይገባል። : z በ x እና በ y ላይ ሒሳቡ ተመሳሳይ ነው ወይስ አይደለም በጣም ቀላል ነው፡ ተተኪውን እንሰራለን x = k * x እና y = k * y እነዚህ ሁሉ ፊደሎች ከተቀነሱ , ከዚያም እኩልታው ተመሳሳይ ነው እና እኛ በአስተማማኝ ሁኔታ መፍታት እንጀምራለን, እንበል: እነዚህን ምሳሌዎች የመፍታት መርህም በጣም ቀላል ነው.

ምትክ መስራት አለብን፡ y=t(x)*x፣ ቲ ደግሞ በ x ላይ የሚመረኮዝ የተወሰነ ተግባር ነው። ከዚያም ተዋጽኦውን መግለጽ እንችላለን: y=t"(x)*x+t. ይህንን ሁሉ ወደ መጀመሪያው እኩልታችን በመተካት እና በማቃለል፣ ተለዋዋጮች t እና x ምሳሌ እናገኛለን። እኛ እንፈታዋለን እና ጥገኝነት t (x) እናገኛለን። ስንቀበል፣ በቀላሉ y=t(x)*xን ወደ ቀድሞ መተኪያያችን እንተካለን። ከዚያ የ y ጥገኝነት በ x ላይ እናገኛለን.

የበለጠ ግልጽ ለማድረግ፣ አንድ ምሳሌ እንመልከት፡- x*y"=y-x*e y/x።

በመተካት ሲፈተሽ, ሁሉም ነገር ይቀንሳል. ይህ ማለት እኩልታው በትክክል ተመሳሳይ ነው ማለት ነው። አሁን የተነጋገርንበትን ሌላ ምትክ አዘጋጅተናል፡ y=t(x)*x እና y=t"(x)*x+t(x)። ከማቅለል በኋላ የሚከተለውን እኩልታ እናገኛለን፡ t"(x)*x=-e t. የተገኘውን ምሳሌ በተለያዩ ተለዋዋጮች ፈትተን e -t =ln(C*x) እናገኛለን፡ ማድረግ ያለብን መተካት ብቻ ነው። t ከ y / x (ከሁሉም በኋላ y = t * x ከሆነ, ከዚያም t = y / x), እና መልሱን እናገኛለን: e -y / x = ln (x * C).

የመጀመሪያው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች

ሌላ ሰፊ ርዕስ ለማየት ጊዜው አሁን ነው። የመጀመሪያ ደረጃ-ተመጣጣኝ ያልሆኑ ልዩነቶችን እኩልታዎች እንመረምራለን። ከቀደሙት ሁለት እንዴት ይለያሉ? እስቲ እንገምተው። የመጀመርያው ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት በጥቅሉ በሚከተለው መልኩ ሊጻፍ ይችላል፡ y" + g(x)*y=z(x)። z(x) እና g(x) ቋሚ መጠኖች ሊሆኑ እንደሚችሉ ግልጽ ማድረግ ተገቢ ነው።

እና አሁን አንድ ምሳሌ: y" - y * x = x 2 .

ሁለት መፍትሄዎች አሉ, እና ሁለቱንም በቅደም ተከተል እንመለከታለን. የመጀመሪያው የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴ ነው.

እኩልታውን በዚህ መንገድ ለመፍታት በመጀመሪያ የቀኝ ጎን ከዜሮ ጋር ማመሳሰል እና የተገኘውን እኩልታ መፍታት አለብዎት ፣ ይህም ክፍሎቹን ካስተላለፉ በኋላ ቅጹን ይወስዳል ።

ln|y|=x 2/2+C;

y=e x2/2 *y C =C 1 * ሠ x2/2።

አሁን ቋሚውን C 1 በተግባሩ v (x) መተካት አለብን, ይህም ማግኘት አለብን.

ተዋጽኦውን እንተካ፡

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2።

እና እነዚህን አባባሎች ወደ መጀመሪያው እኩልነት ይተኩ፡

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2+ x*v*e x2/2 = x 2።

በግራ በኩል ሁለት ውሎች መሰረዙን ማየት ይችላሉ። በአንዳንድ ምሳሌ ይህ ካልተከሰተ አንድ ስህተት ሰርተሃል። እንቀጥል፡-

v"* ሠ x2/2 = x 2 .

አሁን ተለዋዋጮችን ለመለየት የሚያስፈልገንን የተለመደውን እኩልታ እንፈታለን-

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 * ሠ - x2/2 dx.

ውህደቱን ለማውጣት፣ ውህደትን በክፍል እዚህ መተግበር አለብን። ሆኖም ግን, ይህ የእኛ ጽሑፍ ርዕስ አይደለም. ፍላጎት ካሎት, እንደዚህ አይነት ድርጊቶችን እራስዎ እንዴት ማከናወን እንደሚችሉ መማር ይችላሉ. አስቸጋሪ አይደለም, እና በቂ ችሎታ እና እንክብካቤ ብዙ ጊዜ አይፈጅም.

ወደ ሁለተኛው ተመሳሳይ ያልሆኑ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴ እንሸጋገር፡ የቤርኑሊ ዘዴ። የትኛው አቀራረብ ፈጣን እና ቀላል እንደሆነ ለመወሰን የእርስዎ ምርጫ ነው.

ስለዚህ፣ ይህንን ዘዴ በመጠቀም እኩልታን ስንፈታ፣ ምትክ ማድረግ አለብን፡ y=k*n። እዚህ k እና n አንዳንድ x-ጥገኛ ተግባራት ናቸው። ከዚያ ተዋጽኦው የሚከተለውን ይመስላል፡ y"=k"*n+k*n" ሁለቱንም መተኪያዎች ወደ ቀመር እንተካቸዋለን፡-

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

መቧደን፡

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

አሁን በቅንፍ ውስጥ ያለውን ከዜሮ ጋር ማመሳሰል አለብን። አሁን፣ ሁለቱን የውጤት እኩልታዎች ካዋሃድን፣ መፍታት ያለበት የአንደኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን።

የመጀመሪያውን እኩልነት እንደ ተራ እኩልነት እንፈታዋለን. ይህንን ለማድረግ ተለዋዋጭዎቹን መለየት ያስፈልግዎታል:

ዋናውን ወስደን እናገኛለን፡ ln(n)=x 2/2። ከዚያም n ከገለጽነው፡-

አሁን የተገኘውን እኩልነት ወደ ስርዓቱ ሁለተኛ እኩልነት እንተካለን-

k"* ሠ x2/2 = x 2 .

እና መለወጥ ፣ ልክ እንደ መጀመሪያው ዘዴ ተመሳሳይ እኩልነት እናገኛለን

dk=x 2 /e x2/2

እንዲሁም ተጨማሪ ድርጊቶችን አንነጋገርም. በመጀመሪያ ደረጃ የመጀመሪያ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎችን መፍታት ጉልህ ችግሮች ያስከትላል ብሎ መናገር ተገቢ ነው። ነገር ግን፣ ወደ ርዕሱ በጥልቀት ስትመረምር፣ በተሻለ እና በተሻለ ሁኔታ መስራት ይጀምራል።

ልዩነት እኩልታዎች የት ጥቅም ላይ ይውላሉ?

ዲፈረንሻል ኢኩዌሽን በፊዚክስ ውስጥ በጣም በንቃት ጥቅም ላይ ይውላል፣ ምክንያቱም ሁሉም መሰረታዊ ህጎች ከሞላ ጎደል የሚፃፉት በልዩነት መልክ ስለሆነ እና የምናያቸው ቀመሮች ለእነዚህ እኩልታዎች መፍትሄዎች ናቸው። በኬሚስትሪ ውስጥ ለተመሳሳይ ምክንያት ጥቅም ላይ ይውላሉ: መሰረታዊ ህጎች በእነሱ እርዳታ የተገኙ ናቸው. በባዮሎጂ፣ ልዩነት እኩልታዎች እንደ አዳኝ እና አዳኝ ያሉ የስርዓቶችን ባህሪ ለመቅረጽ ያገለግላሉ። እንዲሁም ረቂቅ ተሕዋስያን ቅኝ ግዛት የመራቢያ ሞዴሎችን ለመፍጠር ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ።

ልዩነት እኩልታዎች በህይወት ውስጥ እንዴት ሊረዱዎት ይችላሉ?

የዚህ ጥያቄ መልስ ቀላል ነው: በጭራሽ አይደለም. እርስዎ ሳይንቲስት ወይም መሐንዲስ ካልሆኑ ለእርስዎ ጠቃሚ ሊሆኑ አይችሉም። ይሁን እንጂ ለአጠቃላይ እድገት ልዩነት እኩልነት ምን እንደሆነ እና እንዴት እንደሚፈታ ማወቅ አይጎዳውም. እና ከዚያ የልጁ ወይም የሴት ልጅ ጥያቄ "ልዩ እኩልነት ምንድን ነው?" አያደናግርህም ። ደህና, እርስዎ ሳይንቲስት ወይም መሐንዲስ ከሆኑ, እርስዎ እራስዎ በማንኛውም ሳይንስ ውስጥ የዚህን ርዕስ አስፈላጊነት ተረድተዋል. ግን በጣም አስፈላጊው ነገር አሁን ጥያቄው "የመጀመሪያ ደረጃ ልዩነት እኩልታ እንዴት እንደሚፈታ?" ሁልጊዜ መልስ መስጠት ይችላሉ. እስማማለሁ ፣ ሰዎች ለመረዳት የሚፈሩትን አንድ ነገር ሲረዱ ሁል ጊዜ ጥሩ ነው።

በማጥናት ውስጥ ዋና ችግሮች

ይህንን ርዕስ ለመረዳት ዋናው ችግር ተግባራትን በማዋሃድ እና በመለየት ረገድ ደካማ ችሎታ ነው. እርስዎ ተዋጽኦዎች እና integrals ላይ ጥሩ ካልሆኑ, ከዚያም ምናልባት ተጨማሪ ማጥናት ጠቃሚ ነው, ውህደት እና ልዩነት የተለያዩ ዘዴዎችን ጠንቅቀው, እና ከዚያ በኋላ ብቻ በአንቀጹ ውስጥ የተገለጸውን ቁሳዊ ማጥናት ጀምሮ.

አንዳንድ ሰዎች dx መሸከም እንደሚቻል ሲያውቁ ይገረማሉ፣ ምክንያቱም ቀደም ሲል (በትምህርት ቤት) ክፍልፋይ dy/dx የማይከፋፈል ነው ተብሎ ስለተገለጸ። እዚህ በመነጩ ላይ ያሉትን ጽሑፎች ማንበብ እና እኩልታዎችን በሚፈቱበት ጊዜ ሊጠቀሙበት የሚችሉት ማለቂያ የሌላቸው መጠኖች ጥምርታ መሆኑን መረዳት ያስፈልግዎታል።

ብዙ ሰዎች የአንደኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎችን መፍታት ብዙውን ጊዜ ሊወሰድ የማይችል ተግባር ወይም ዋና አካል እንደሆነ ወዲያውኑ አይገነዘቡም ፣ እና ይህ የተሳሳተ ግንዛቤ ብዙ ችግር ይፈጥራል።

ለተሻለ ግንዛቤ ሌላ ምን ማጥናት ይችላሉ?

በልዩ የመማሪያ መጽሐፍት ለምሳሌ በሂሳብ ትንተና ላይ የሂሳብ ላልሆኑ ልዩ ልዩ ተማሪዎች በዲፈረንሻል ካልኩለስ ዓለም ውስጥ ተጨማሪ ጥምቀት መጀመር ጥሩ ነው። ከዚያ ወደ ልዩ ሥነ-ጽሑፍ መሄድ ይችላሉ.

ከልዩነት እኩልታዎች በተጨማሪ የተዋሃዱ እኩልታዎችም አሉ ፣ ስለሆነም ሁል ጊዜ የሚጥሩ እና የሚያጠኑት ነገር ይኖርዎታል ማለት ተገቢ ነው ።

ማጠቃለያ

ይህንን ጽሑፍ ካነበቡ በኋላ ምን ዓይነት እኩልታዎች እንደሆኑ እና እንዴት በትክክል መፍታት እንደሚችሉ ሀሳብ እንዳለዎት ተስፋ እናደርጋለን።

ያም ሆነ ይህ፣ ሂሳብ በሆነ መንገድ በሕይወታችን ውስጥ ይጠቅመናል። አመክንዮ እና ትኩረትን ያዳብራል, ያለ እሱ እያንዳንዱ ሰው ያለ እጅ ነው.

የ 1 ኛ ቅደም ተከተል ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ ለመፍታት ፣ u=y/x ምትክን ይጠቀሙ ፣ ማለትም ፣ በ x ላይ በመመስረት አዲስ ያልታወቀ ተግባር ነው። ስለዚህ y=ux. የምርት ልዩነት ህግን በመጠቀም y'ን እናገኛለን፡ y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (ከ x'=1)። ለሌላ የማስታወሻ ዘዴ፡- dy = udx + xdu ከተተካ በኋላ፣ እኩልታውን ቀለል እናደርጋለን እና ከተነጣጠሉ ተለዋዋጮች ጋር እኩል እንደርሳለን።

የ 1 ኛ ቅደም ተከተል ተመሳሳይነት ያላቸው ልዩነቶች እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎች።

1) እኩልታውን ይፍቱ

ይህ እኩልታ ተመሳሳይ መሆኑን እንፈትሻለን (ተመሳሳይ እኩልታ እንዴት እንደሚወሰን ይመልከቱ)። አንዴ ካመንን፣ ተተኪውን u=y/x እናደርጋለን፣ ከየትኛው y=ux፣ y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u። ምትክ፡ u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx)። የምርት ሎጋሪዝም ከሎጋሪዝም ድምር ጋር እኩል ስለሆነ ln(ux)=lnu+lnx። ከዚህ

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx)። ተመሳሳይ ቃላትን ካመጣ በኋላ፡ u'x+u=u(1+lnu)። አሁን ቅንፎችን ይክፈቱ

u'x+u=u+ulnu። ሁለቱም ወገኖች እርስዎን ይይዛሉ፣ ስለዚህ u'x=ulnu። u የ x ተግባር ስለሆነ u'=du/dx። እንተኩ

ከተለዋዋጮች ጋር እኩልነት አግኝተናል። ምርቱ x·ulnu≠0 ከሆነ ሁለቱንም ክፍሎች በዲክስ በማባዛት እና በ x·ulnu በማካፈል ተለዋዋጮችን እንለያቸዋለን።

እንዋሃድ፡

በግራ በኩል የጠረጴዛው አካል ነው. በቀኝ በኩል - ተተኪውን t=lnu እናደርጋለን, ከየት ነው dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+ሲ። ነገር ግን በእንደዚህ አይነት እኩልታዎች ውስጥ ከ C ይልቅ ln│C│ን ለመውሰድ የበለጠ አመቺ መሆኑን አስቀድመን ተወያይተናል። ከዚያም

ln│t│=ln│x│+ln│C│። በሎጋሪዝም ንብረት መሰረት፡ ln│t│=ln│Сx│። ስለዚህ t=Cx. (በሁኔታ፣ x>0)። የተገላቢጦሹን ምትክ ለማድረግ ጊዜው አሁን ነው: lnu=Cx. እና አንድ ተጨማሪ ተቃራኒ ምትክ፡-

በሎጋሪዝም ንብረት፡-

ይህ አጠቃላይ የእኩልታው ዋና አካል ነው።

የምርት x·u·lnu≠0 (እና ስለዚህ x≠0, u≠0, lnu≠0, ከየት ነው u≠1) ያለውን ሁኔታ እናስታውሳለን. ነገር ግን x≠0 ከሁኔታው፣ u≠1 ይቀራል፣ ስለዚህም x≠y። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, y=x (x>0) በአጠቃላይ መፍትሄ ውስጥ ተካትቷል.

2) የቀመርውን ከፊል ውህድ y'=x/y+y/x ፈልግ፣የመጀመሪያ ሁኔታዎችን y(1)=2 በማርካት።

በመጀመሪያ፣ ይህ እኩልነት ተመሳሳይ መሆኑን እንፈትሻለን (ምንም እንኳን የy/x እና x/y ቃላቶች መኖራቸው አስቀድሞ በተዘዋዋሪ ይህንን ያሳያል)። ከዚያም ተተኪውን u=y/x እንሰራለን ከየትኛው y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u. የውጤት መግለጫዎችን ወደ ቀመር እንተካቸዋለን፡-

u'x+u=1/u+u ቀላል እናድርግ፡-

u'x=1/u እርስዎ የ x ተግባር ስለሆኑ u'=du/dx፡-

ከተለዋዋጮች ጋር እኩልነት አግኝተናል። ተለዋዋጮችን ለመለየት ሁለቱንም ወገኖች በ dx እና u እናባዛቸዋለን እና በ x እንካፈላለን (x≠0 በሁኔታ ፣ ስለሆነም u≠0 እንዲሁ ፣ ይህ ማለት የመፍትሄዎች መጥፋት የለም ማለት ነው)።

እንዋሃድ፡

እና ሁለቱም ወገኖች የሠንጠረዥ ውህዶች ስላሏቸው ወዲያውኑ እናገኛለን

የተገላቢጦሽ ምትክን እናከናውናለን-

ይህ አጠቃላይ የእኩልታው ዋና አካል ነው። የመነሻ ሁኔታን እንጠቀማለን y(1)=2፣ ማለትም፣ y=2፣ x=1 ወደ የውጤቱ መፍትሄ እንተካለን።

3) የተመሳሳይ እኩልታ አጠቃላይ ውህደትን ይፈልጉ፡-

(x²-y²) dy-2xydx=0።

ምትክ u=y/x፣ ከየት y=ux፣ dy=xdu+udx። እንተካ፡

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0። x²ን ከቅንፍ አውጥተን ሁለቱንም ክፍሎች በእሱ እንከፋፍላለን ( x≠0 የቀረበ)

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0። ቅንፎችን ይክፈቱ እና ቀለል ያድርጉት፦

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0፣

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0። ደንቦቹን ከዱ እና dx ጋር እንመድባቸዋለን፡-

(x-u²x) ዱ-(u³+u)dx=0። የተለመዱትን ምክንያቶች ከቅንፍ እናውጣ፡-

x(1-u²) du-u(u²+1)dx=0። ተለዋዋጮችን እንለያቸዋለን፡-

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. ይህንን ለማድረግ፣ የእኩልቱን ሁለቱንም ወገኖች በ xu(u²+1)≠0 እንከፍላለን (በዚህም መሰረት መስፈርቶቹን x≠0 (ቀድሞውኑ ተጠቅሷል)፣ u≠0)፡-

እንዋሃድ፡

በቀመርው በቀኝ በኩል የሠንጠረዥ ውህደት አለ እና በግራ በኩል ያለውን ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ወደ ቀላል ምክንያቶች እናሰፋለን-

(ወይንም በሁለተኛው ውስጠ-ገጽ, የልዩነት ምልክትን ከመተካት ይልቅ ምትክ t=1+u², dt=2udu - የትኛው ዘዴ የተሻለ እንደሆነ የወደደው) ማድረግ ተችሏል. እናገኛለን፡-

በሎጋሪዝም ባህሪያት መሠረት-

የተገላቢጦሽ መተካት

ሁኔታውን u≠0 እናስታውሳለን። ስለዚህ y≠0. ሲ = 0 y = 0, ይህ ማለት የመፍትሄዎች መጥፋት የለም, እና y = 0 በአጠቃላይ ውህደት ውስጥ ይካተታል.

አስተያየት

ቃሉን በግራ በኩል በ x ከተዉት በተለየ መልኩ የተጻፈ መፍትሄ ማግኘት ይችላሉ፡-

በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው የጂኦሜትሪክ ትርጉም በ Oy ዘንግ ላይ ማዕከሎች ያሉት እና በመነሻው ውስጥ የሚያልፍ የክበቦች ቤተሰብ ነው.

ራስን የመፈተሽ ተግባራት;

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) እኩልታው ተመሳሳይ መሆኑን እናረጋግጣለን, ከዚያ በኋላ ምትክ u=y/x, ከየት y=ux, dy=xdu+udx እንሰራለን. በሁኔታው ይተኩ፡ (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0። ሁለቱንም የእኩልታ ጎኖች በ x²≠0 ስንካፈል፡ (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0 እናገኛለን። ስለዚህ dx+u²dx-xudu-u²dx=0። ማቅለል፡- dx-xudu=0 አለን። ስለዚህም xudu=dx, udu=dx/x. ሁለቱንም ክፍሎች እናዋህድ፡-

ተወ! ይህን አስቸጋሪ ቀመር ለመረዳት እንሞክር.

በኃይል ውስጥ ያለው የመጀመሪያው ተለዋዋጭ ከአንዳንድ ቅንጅቶች ጋር መጀመሪያ መምጣት አለበት። በእኛ ሁኔታ ነው

በእኛ ሁኔታ ነው. እንዳወቅነው ይህ ማለት በመጀመሪያው ተለዋዋጭ ላይ ያለው ዲግሪ ይሰበሰባል ማለት ነው. እና ወደ መጀመሪያው ዲግሪ ያለው ሁለተኛው ተለዋዋጭ በቦታው ላይ ነው. Coefficient.

አለን።

የመጀመሪያው ተለዋዋጭ ኃይል ነው, እና ሁለተኛው ተለዋዋጭ ስኩዌር ነው, ከቁጥር ጋር. ይህ በቀመር ውስጥ የመጨረሻው ቃል ነው።

እንደሚመለከቱት, የእኛ እኩልነት በቀመር መልክ ከትርጉሙ ጋር ይጣጣማል.

የፍቺውን ሁለተኛ (የቃል) ክፍል እንመልከት።

ሁለት ያልታወቁ አሉን እና. እዚህ ይሰበሰባል.

ሁሉንም ውሎች እንመልከታቸው. በእነሱ ውስጥ, የማያውቁት ዲግሪዎች ድምር አንድ አይነት መሆን አለበት.

የዲግሪዎቹ ድምር እኩል ነው።

የስልጣኖች ድምር ከ (በ እና በ) ጋር እኩል ነው።

የዲግሪዎቹ ድምር እኩል ነው።

እንደምታየው ሁሉም ነገር ተስማሚ ነው !!!

አሁን ተመሳሳይ እኩልታዎችን መግለፅን እንለማመድ።

የትኛዎቹ እኩልታዎች ተመሳሳይ እንደሆኑ ይወስኑ፡

ተመሳሳይ እኩልታዎች - ከቁጥሮች ጋር እኩልታዎች;

ሒሳቡን ለየብቻ እንመልከተው።

እያንዳንዱን ቃል በፋይበር በማካፈል ብንከፋፍል እናገኛለን

እና ይህ እኩልታ ሙሉ በሙሉ ተመሳሳይ በሆነ እኩልታዎች ፍቺ ስር ይወድቃል።

ተመሳሳይ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት ይቻላል?

ምሳሌ 2.

ሒሳቡን በዚ እንከፋፍል።

እንደእኛ ሁኔታ፣ y እኩል መሆን አይችልም። ስለዚህ በደህና መከፋፈል እንችላለን

መተኪያውን ስንሰራ፣ ቀላል ባለአራት እኩልታ እናገኛለን፡-

ይህ የቀነሰ ባለአራት እኩልታ ስለሆነ፣ የቪዬታ ቲዎሬምን እንጠቀማለን፡-

የተገላቢጦሹን ምትክ ካደረግን በኋላ, መልሱን እናገኛለን

መልስ፡-

ምሳሌ 3.

ቀመርን በ(በሁኔታ) እንከፋፍል።

መልስ፡-

ምሳሌ 4.

ከሆነ አግኝ።

እዚህ መከፋፈል ሳይሆን ማባዛት ያስፈልግዎታል. መላውን እኩልታ በሚከተሉት እናባዛው፡

ምትክ እንሥራ እና የኳድራቲክ እኩልታውን እንፍታ፡-

የተገላቢጦሹን ምትክ ካደረግን መልሱን እናገኛለን፡-

መልስ፡-

ተመሳሳይ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት።

ተመሳሳይ የሆኑ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት ከላይ ከተገለጹት የመፍትሄ ዘዴዎች የተለየ አይደለም. እዚህ ብቻ, ከሌሎች ነገሮች በተጨማሪ, ትንሽ ትሪጎኖሜትሪ ማወቅ ያስፈልግዎታል. እና ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት መቻል (ለዚህ ክፍሉን ማንበብ ይችላሉ)።

ምሳሌዎችን በመጠቀም እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች እንመልከታቸው.

ምሳሌ 5.

እኩልታውን ይፍቱ.

አንድ የተለመደ ተመሳሳይ እኩልታ እናያለን፡ እና የማይታወቁ ናቸው፣ እና በእያንዳንዱ ቃል ውስጥ የስልጣናቸው ድምር እኩል ነው።

እንደነዚህ ያሉ ተመሳሳይ እኩልታዎች ለመፍታት አስቸጋሪ አይደሉም, ነገር ግን እኩልታዎችን ከመከፋፈልዎ በፊት, መቼ እንደሆነ ግምት ውስጥ ያስገቡ.

በዚህ ሁኔታ, እኩልታው ቅጹን ይወስዳል:, ስለዚህ. ነገር ግን ሳይን እና ኮሳይን በተመሳሳይ ጊዜ እኩል ሊሆኑ አይችሉም, ምክንያቱም በመሠረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነት መሰረት. ስለዚህ፣ በደህና ልንከፋፍለው እንችላለን፡-

ስሌቱ ስለተሰጠ፣ ከዚያም በቪዬታ ንድፈ ሃሳብ መሰረት፡-

መልስ፡-

ምሳሌ 6.

እኩልታውን ይፍቱ.

በምሳሌው ላይ እንደሚታየው, እኩልታውን በ. ጉዳዩን በሚከተለው ጊዜ እንመልከት፡-

ነገር ግን ሳይን እና ኮሳይን በተመሳሳይ ጊዜ እኩል ሊሆኑ አይችሉም, ምክንያቱም በመሠረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነት መሰረት. ለዛ ነው.

ምትክ እንሥራ እና የኳድራቲክ እኩልታውን እንፍታ፡-

የተገላቢጦሹን ምትክ እናድርግ እና ፈልገን እና፡-

መልስ፡-

ተመሳሳይ ገላጭ እኩልታዎችን መፍታት።

ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች ከላይ እንደተገለጹት በተመሳሳይ መንገድ ተፈትተዋል. ገላጭ እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈቱ ከረሱ, ተዛማጅ ክፍል () ይመልከቱ!

ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 7.

እኩልታውን ይፍቱ

እስቲ እንዲህ እናስብ።

ሁለት ተለዋዋጮች እና የስልጣን ድምር ያለው የተለመደ ተመሳሳይ እኩልታ እናያለን። ሒሳቡን ወደሚከተለው እንከፋፍለው፡-

እንደሚመለከቱት ፣ መተካቱን በመሥራት ፣ ከዚህ በታች ያለውን ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን (በዜሮ ለመከፋፈል መፍራት አያስፈልግም - ሁል ጊዜ ከዜሮ የበለጠ ነው)

በቪዬታ ቲዎሪ መሰረት፡-

መልስ፡- .

ምሳሌ 8.

እኩልታውን ይፍቱ

እስቲ እንዲህ እናስብ።

ሒሳቡን ወደሚከተለው እንከፋፍለው፡-

ምትክ እንሥራ እና የኳድራቲክ እኩልታውን እንፍታ፡-

ሥሩ ሁኔታውን አያረካውም. የተገላቢጦሹን ምትክ እናድርግ እና ለማግኘት፡-

መልስ፡-

ተመሳሳይ እኩልታዎች። አማካይ ደረጃ

በመጀመሪያ፣ የአንዱን ችግር ምሳሌ ተጠቅሜ ላስታውስህ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች ምንድን ናቸው እና ተመሳሳይ እኩልታዎች መፍትሄው ምንድን ነው.

ችግሩን መፍታት፡-

ከሆነ አግኝ።

እዚህ አንድ አስገራሚ ነገር ሊያስተውሉ ይችላሉ፡ እያንዳንዱን ቃል በሚከተሉት ከፋፍለን እናገኛለን፡-

ያም ማለት, አሁን ምንም የተለየ እና, - አሁን በቀመር ውስጥ ያለው ተለዋዋጭ የሚፈለገው እሴት ነው. እና ይህ የቪዬታ ንድፈ ሃሳብን በመጠቀም በቀላሉ ሊፈታ የሚችል ተራ ኳድራቲክ እኩልታ ነው፡ የሥሮቹ ምርት እኩል ነው፣ ድምርም ቁጥሮች እና ናቸው።

መልስ፡-

የቅጹ እኩልታዎች

ተመሳሳይነት ያለው. ያም ማለት፣ ይህ ከሁለት የማይታወቁ ጋር እኩልነት ነው፣ እያንዳንዱ ቃል የእነዚህ ያልታወቁ ሃይሎች ድምር ተመሳሳይ ነው። ለምሳሌ, ከዚህ በላይ ባለው ምሳሌ ውስጥ ከዚህ መጠን ጋር እኩል ነው. ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች የሚፈቱት ለማይታወቁት በአንዱ በመከፋፈል ነው፡-

እና ተከታይ ተለዋዋጮች መተካት:. ስለዚህ ከአንድ ያልታወቀ የኃይል እኩልታ እናገኛለን፡-

ብዙውን ጊዜ የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታዎች ያጋጥሙናል (ማለትም ፣ ኳድራቲክ) እና እነሱን እንዴት መፍታት እንደምንችል እናውቃለን-

መላውን እኩልታ በተለዋዋጭ መከፋፈል (እና ማባዛት) የምንችለው ይህ ተለዋዋጭ ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆን እንደማይችል ካመንን ብቻ መሆኑን ልብ ይበሉ! ለምሳሌ, እንድንፈልግ ከተጠየቅን, መከፋፈል የማይቻል ስለሆነ ወዲያውኑ እንረዳለን. ይህ በጣም ግልጽ በማይሆንባቸው ሁኔታዎች, ይህ ተለዋዋጭ ከዜሮ ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ ጉዳዩን በተናጠል ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው. ለምሳሌ:

እኩልታውን ይፍቱ.

መፍትሄ፡-

እዚህ አንድ የተለመደ ተመሳሳይ እኩልታ እናያለን፡ እና የማይታወቁ ናቸው፣ እና በእያንዳንዱ ቃል ውስጥ የስልጣናቸው ድምር እኩል ነው።

ነገር ግን፣ በኳድራቲክ እኩልታ ዘመድ ከመከፋፈል እና ከማግኘታችን በፊት፣ መቼ ጉዳዩን ማጤን አለብን። በዚህ ሁኔታ, እኩልታው ቅጹን ይወስዳል: ማለትም . ነገር ግን ሳይን እና ኮሳይን በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆኑ አይችሉም, ምክንያቱም እንደ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነት:. ስለዚህ፣ በደህና ልንከፋፍለው እንችላለን፡-

ይህ መፍትሔ ሙሉ በሙሉ ግልጽ እንደሆነ ተስፋ አደርጋለሁ? ካልሆነ ክፍሉን ያንብቡ. ከየት እንደመጣ ግልጽ ካልሆነ, ቀደም ብሎ እንኳን መመለስ ያስፈልግዎታል - ወደ ክፍሉ.

ለራስዎ ይወስኑ፡-

1. ከሆነ አግኝ።
2. ከሆነ አግኝ።
3. እኩልታውን ይፍቱ.

እዚህ በቀጥታ ለተመሳሳይ እኩልታዎች መፍትሄውን በአጭሩ እጽፋለሁ-

መፍትሄዎች፡-

መልስ፡.

እዚህ ግን ከመከፋፈል ይልቅ ማባዛት ያስፈልገናል፡-

መልስ፡-

እስካሁን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ካልወሰዱ፣ ይህን ምሳሌ መዝለል ይችላሉ።

እዚህ መከፋፈል ስለሚያስፈልገን በመጀመሪያ አንድ መቶ ከዜሮ ጋር እኩል እንዳልሆነ እናረጋግጥ፡-

እና ይህ የማይቻል ነው.

መልስ፡.

ተመሳሳይ እኩልታዎች። ስለ ዋና ዋና ነገሮች በአጭሩ

የሁሉም ተመሳሳይ እኩልታዎች መፍትሄ ወደ ኃይል እና ተጨማሪ ተለዋዋጭ ተለዋዋጭ ለውጦች በማይታወቁ በአንዱ ወደ መከፋፈል ይቀንሳል።

አልጎሪዝም፡-

እንግዲህ ርዕሱ አልቋል። እነዚህን መስመሮች እያነበብክ ከሆነ, በጣም አሪፍ ነህ ማለት ነው.

ምክንያቱም 5% የሚሆኑት ሰዎች ብቻቸውን የሆነ ነገር መቆጣጠር ስለሚችሉ ነው። እና እስከ መጨረሻው ካነበቡ, በዚህ 5% ውስጥ ነዎት!

አሁን በጣም አስፈላጊው ነገር.

በዚህ ርዕስ ላይ ያለውን ንድፈ ሐሳብ ተረድተሃል. እና፣ እደግመዋለሁ፣ ይሄ... ይሄ ብቻ የላቀ ነው! እርስዎ ቀድሞውንም ከብዙዎቹ እኩዮችዎ የተሻሉ ነዎት።

ችግሩ ይህ በቂ ላይሆን ይችላል ...

ለምንድነው?

የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በተሳካ ሁኔታ ለማለፍ፣ በበጀት ወደ ኮሌጅ ለመግባት እና ከሁሉም በላይ አስፈላጊ ለህይወት።

ምንም አላሳምንህም፣ አንድ ነገር ብቻ እናገራለሁ...

ጥሩ ትምህርት የተማሩ ሰዎች ካልተማሩት የበለጠ ገቢ ያገኛሉ። ይህ ስታቲስቲክስ ነው።

ግን ይህ ዋናው ነገር አይደለም.

ዋናው ነገር እነሱ የበለጠ ደስተኛ ናቸው (እንዲህ ያሉ ጥናቶች አሉ). ምናልባት ብዙ ተጨማሪ እድሎች በፊታቸው ስለሚከፈቱ እና ህይወት የበለጠ ብሩህ ስለሚሆን? አላውቅም...

ግን ለራስህ አስብ...

በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከሌሎች የተሻሉ ለመሆን እና በመጨረሻም ደስተኛ ለመሆን... የበለጠ ደስተኛ ለመሆን ምን ያስፈልጋል?

በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮችን በመፍታት እጅዎን ያግኙ።

በፈተና ወቅት ንድፈ ሃሳብ አይጠየቁም።

ያስፈልግዎታል ችግሮችን በጊዜ መፍታት.

እና, ካልፈታሃቸው (ብዙ!), በእርግጠኝነት የሆነ ቦታ ላይ ሞኝ ስህተት ትሰራለህ ወይም በቀላሉ ጊዜ አይኖርህም.

ልክ እንደ ስፖርት ነው - በእርግጠኝነት ለማሸነፍ ብዙ ጊዜ መድገም ያስፈልግዎታል።

ስብስቡን በፈለጉበት ቦታ ያግኙት፣ የግድ ከመፍትሄዎች ጋር, ዝርዝር ትንታኔእና ይወስኑ ፣ ይወስኑ ፣ ይወስኑ!

ተግባሮቻችንን መጠቀም ይችላሉ (አማራጭ) እና እኛ በእርግጥ እንመክራለን።

ተግባሮቻችንን በተሻለ መንገድ ለመጠቀም፣ አሁን እያነበቡት ያለውን የዩክሌቨር መማሪያ መጽሐፍ እድሜ ለማራዘም መርዳት አለቦት።

እንዴት? ሁለት አማራጮች አሉ፡-

1. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ሁሉንም የተደበቁ ተግባራትን ይክፈቱ - 299 ሩብልስ.
2. በሁሉም 99 የመማሪያ መጣጥፎች ውስጥ የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻን ይክፈቱ - 499 ሩብልስ.

አዎን, በመማሪያ መጽሐፋችን ውስጥ 99 እንደዚህ ያሉ ጽሑፎች አሉን እና ሁሉንም ተግባራት ማግኘት እና ሁሉም የተደበቁ ጽሑፎች ወዲያውኑ ሊከፈቱ ይችላሉ.

የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻ ለጣቢያው በሙሉ ህይወት ይሰጣል።

በማጠቃለል...

ተግባሮቻችንን ካልወደዱ ሌሎችን ያግኙ። በቲዎሪ ብቻ አታቁሙ።

"ተረድቻለሁ" እና "መፍታት እችላለሁ" ፍጹም የተለያዩ ችሎታዎች ናቸው. ሁለቱንም ያስፈልግዎታል.

ችግሮችን ይፈልጉ እና ይፍቱ!

ለምሳሌ, ተግባሩ
ጀምሮ, የመጀመሪያው ልኬት አንድ ወጥ ተግባር ነው

ጀምሮ, ሦስተኛው ልኬት አንድ ወጥ ተግባር ነው

ጀምሮ የዜሮ ልኬት ተመሳሳይነት ያለው ተግባር ነው።

፣ ማለትም እ.ኤ.አ.
.

ፍቺ 2. የመጀመሪያ ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታ y" = ረ(x, y) ተግባሩ ከሆነ ተመሳሳይነት ይባላል ረ(x, y) የዜሮ ልኬትን በተመለከተ ተመሳሳይነት ያለው ተግባር ነው x እና yወይም እነሱ እንደሚሉት. ረ(x, y) የዲግሪ ዜሮ ተመሳሳይነት ያለው ተግባር ነው።

በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል

ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ ወደ ቅጹ (3.3) ሊለወጥ የሚችል እንደ ልዩነት እኩልታ እንድንገልጽ ያስችለናል.

መተካት
ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ ወደ እኩልነት ከሚነጣጠሉ ተለዋዋጮች ጋር ይቀንሳል። በእርግጥ, ከተተካ በኋላ y =xzእናገኛለን
,
ተለዋዋጮችን በመለየት እና በማዋሃድ፣ የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

,

ምሳሌ 1. እኩልታውን ይፍቱ.

Δ እንገምታለን y =zx,
እነዚህን መግለጫዎች ይተኩ y እና dyወደዚህ እኩልነት፡-
ወይም
ተለዋዋጮችን እንለያቸዋለን፡-
እና አዋህድ፡-
,

መተካት ዝላይ , እናገኛለን
.

ምሳሌ 2. የእኩልታውን አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ።

Δ በዚህ ቀመር ፒ (x,y) =x 2 -2y 2 ,ጥ(x,y) =2xyየሁለተኛው ልኬት ተመሳሳይነት ያላቸው ተግባራት ናቸው, ስለዚህ, ይህ እኩልነት ተመሳሳይ ነው. በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል
እና ከላይ ካለው ጋር ተመሳሳይ በሆነ መንገድ ይፍቱ. ግን የተለየ የመቅዳት ዘዴን እንጠቀማለን. እናስቀምጠው y = zx፣ የት dy = zdx + xdz. እነዚህን አባባሎች ወደ መጀመሪያው እኩልነት በመተካት፣ ይኖረናል።

dx+2 zxdz = 0 .

ተለዋዋጮችን በመቁጠር እንለያቸዋለን

.

ይህንን የእኩልነት ቃል በቃል እናዋህደው

፣ የት

ያውና
. ወደ ቀድሞው ተግባር በመመለስ ላይ
አጠቃላይ መፍትሔ ያግኙ


ምሳሌ 3 . ስለ እኩልታው አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ
.

Δ የለውጥ ሰንሰለት; ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

ትምህርት 8.

4. የመጀመርያው ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች የመጀመሪያው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት ቀመር ቅጹ አለው.

የነፃው ቃል እዚህ አለ፣ የእኩልታው የቀኝ ጎን ተብሎም ይጠራል። በዚህ ቅጽ ውስጥ ያለውን ቀጥተኛ እኩልታ በሚከተለው ውስጥ እንመለከታለን.

ከሆነ
0፣ ከዚያ እኩልታ (4.1a) መስመራዊ ኢንሆሞጀኔስ ይባላል። ከሆነ
0፣ ከዚያ እኩልታው ቅጹን ይወስዳል

እና መስመራዊ ተመሳሳይነት ይባላል.

የእኩልታ ስም (4.1 ሀ) በማይታወቅ ተግባር ተብራርቷል y እና የመነጩ በመስመር አስገባ፣ ማለትም በመጀመሪያ ዲግሪ.

በመስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ፣ ተለዋዋጮች ተለያይተዋል። በቅጹ ላይ እንደገና መጻፍ
የት
እና በማዋሃድ, እናገኛለን:
,እነዚያ.

ሲከፋፈል በ ውሳኔውን እናጣለን
. ሆኖም ግን, ከተገኘው የመፍትሄዎች ቤተሰብ (4.3) ውስጥ ሊካተት ይችላል, ያንን ካሰብን ጋርእሴቱን 0 መውሰድም ይችላል።

ቀመርን ለመፍታት ብዙ ዘዴዎች አሉ (4.1 ሀ)። አጭጮርዲንግ ቶ የበርኑሊ ዘዴ, መፍትሄው የሚፈለገው በሁለት ተግባራት ምርት መልክ ነው X:

ከእነዚህ ተግባራት ውስጥ አንዱ በዘፈቀደ ሊመረጥ ይችላል, ምክንያቱም ምርቱ ብቻ ነው ዩቪ ዋናውን እኩልታ ማሟላት አለበት, ሌላኛው የሚወሰነው በቀመር (4.1a) ላይ በመመስረት ነው.

ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች (4.4) መለየት, እናገኛለን
.

የተገኘውን የመነሻ አገላለጽ በመተካት። , እንዲሁም ዋጋው በ ወደ እኩልታ (4.1a), እናገኛለን
, ወይም

እነዚያ። እንደ ተግባር ቁየተመሳሳይ መስመራዊ እኩልታ (4.6) መፍትሄ እንውሰድ፡-

( እዚህ ሲመጻፍ አስፈላጊ ነው, አለበለዚያ አጠቃላይ አያገኙም, ግን የተለየ መፍትሄ).

ስለዚህ፣ በተጠቀመው ምትክ (4.4) ምክንያት፣ እኩልታ (4.1a) ወደ ሁለት እኩልታዎች ተቀንሶ በሚነጣጠሉ ተለዋዋጮች (4.6) እና (4.7) እናያለን።

በመተካት ላይ
እና ቁ(x) ወደ ቀመር (4.4), በመጨረሻ እናገኛለን

,

ምሳሌ 1. ስለ እኩልታው አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ

 እናስቀምጠው
, ከዚያም
. መግለጫዎችን መተካት እና ወደ መጀመሪያው እኩልታ, እናገኛለን
ወይም
(*)

ኮፊፊሴቲቭን በ :

በተፈጠረው እኩልታ ውስጥ ተለዋዋጮችን መለየት, እኛ አለን


(ዘፈቀደ ቋሚ ሲ አንጽፍም), ከዚህ ቁ= x. የተገኘው እሴት ቁወደ ቀመር (*) መተካት

,
,
.

ስለዚህም እ.ኤ.አ.
ለዋናው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ።

እኩልታ (*) በተመጣጣኝ ቅፅ ሊፃፍ እንደሚችል ልብ ይበሉ፡-

.

ተግባርን በዘፈቀደ መምረጥ ዩ, ግን አይደለም ቁ, ማመን እንችል ነበር
. ይህ መፍትሄ በመተካት ብቻ ከታሰበው ይለያል ቁላይ ዩ(እና ስለዚህ ዩላይ ቁ), ስለዚህ የመጨረሻው ዋጋ በተመሳሳይ ሆኖ ይወጣል.

ከላይ በተጠቀሰው መሰረት፣ የመጀመሪያ ደረጃ የመስመር ልዩነት እኩልታ ለመፍታት ስልተ ቀመር እናገኛለን።

አንዳንድ ጊዜ የመጀመሪያ-ትዕዛዝ እኩልታ ከሆነ መስመራዊ እንደሚሆን የበለጠ ልብ ይበሉ በእንደ ገለልተኛ ተለዋዋጭ, እና x- ጥገኛ, ማለትም. ሚናዎችን መቀየር x እና y. ይህ ከሆነ ማድረግ ይቻላል xእና dxእኩልታውን በመስመር አስገባ።

ምሳሌ 2 . እኩልታውን ይፍቱ
.

በመልክ፣ ይህ እኩልነት ተግባሩን በተመለከተ ቀጥተኛ አይደለም። በ.

ሆኖም ግን, ግምት ውስጥ ከገባን xእንደ ተግባር በ, ከዚያም የተሰጠው
, ወደ ቅጹ ሊመጣ ይችላል

መተካት ላይ ፣ እናገኛለን
ወይም
. የመጨረሻውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በምርቱ መከፋፈል ydy, ወደ ቅርጽ እናምጣው

, ወይም
. (**)

እዚህ P(y)=፣
. ይህ በተመለከተ ቀጥተኛ እኩልታ ነው። x. እናምናለን
,
. እነዚህን አባባሎች ወደ (**) በመተካት እናገኛለን

ወይም
.

ቁ እንዲል እንምረጥ
,
፣ የት
;
. በመቀጠል አለን።
,
,
.

ምክንያቱም
, ከዚያም በቅጹ ላይ ለዚህ እኩልነት አጠቃላይ መፍትሄ እንመጣለን

.

በሒሳብ (4.1a) ውስጥ መሆኑን ልብ ይበሉ ፒ(x) እና ጥ (x) ከ ተግባራት መልክ ብቻ ሳይሆን ሊካተት ይችላል x, ግን ደግሞ ቋሚዎች: ፒ= ሀ,ጥ= ለ. መስመራዊ እኩልታ

እንዲሁም ምትክ y= በመጠቀም ሊፈታ ይችላል ዩቪ እና ተለዋዋጮች መለያየት;

;
.

ከዚህ
;
;
; የት
. እራሳችንን ከሎጋሪዝም ነፃ በማውጣት, ለእኩልነት አጠቃላይ መፍትሄ እናገኛለን

( እዚህ
).

በ ለ= 0 ወደ እኩልታው መፍትሄ እንመጣለን

(የእድገት ቀመርን ይመልከቱ (2.4) በ
).

በመጀመሪያ, ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ (4.2) እናዋህዳለን. ከላይ እንደተገለፀው, መፍትሄው ቅጹ (4.3) አለው. ጉዳዩን እንመለከታለን ጋርውስጥ (4.3) እንደ ተግባር X፣ ማለትም እ.ኤ.አ. በመሠረቱ ተለዋዋጭ ለውጥ ማድረግ

ከየት, በማዋሃድ, እናገኛለን

በ (4.14) (በተጨማሪ (4.9 ይመልከቱ)) መሠረት፣ ተመሳሳይ ያልሆነ መስመራዊ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሔ ከተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሔ ድምር (4.3) እና ልዩ የተገለጸው ተመሳሳይ ያልሆነ እኩልታ ድምር ጋር እኩል መሆኑን ልብ ይበሉ። ሁለተኛው ቃል በ (4.14) (እና በ (4.9)) ውስጥ ተካትቷል.

የተወሰኑ እኩልታዎችን በሚፈቱበት ጊዜ, አስቸጋሪ የሆነውን ቀመር (4.14) ከመጠቀም ይልቅ ከላይ ያሉትን ስሌቶች መድገም አለብዎት.

በተጠቀሰው እኩልታ ላይ የLagrange ዘዴን እንተገብረው ምሳሌ 1 :

.

ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ እናዋሃዳለን።
.

ተለዋዋጮችን መለየት, እናገኛለን
እና ወደ ፊት
. አገላለጹን በቀመር መፍታት y = Cx. በቅጹ ውስጥ ለዋናው እኩልታ መፍትሄ እንፈልጋለን y = ሲ(x)x. ይህንን አገላለጽ በተሰጠው ቀመር ውስጥ በመተካት, እናገኛለን
;
;
,
. ለዋናው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ቅጹ አለው

.

በማጠቃለያው የቤርኑሊ እኩልታ ወደ መስመራዊ እኩልነት መቀነሱን እናስተውላለን

በቅጹ ላይ ሊጻፍ የሚችል

መተካት
ወደ መስመራዊ እኩልታ ይቀንሳል፡-

,
,
.

የቤርኑሊ እኩልታዎች ከላይ የተዘረዘሩትን ዘዴዎች በመጠቀም ሊፈቱ ይችላሉ.

ምሳሌ 3 . ስለ እኩልታው አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ
.

 የለውጥ ሰንሰለት፡-
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
