በመስመር ላይ ማስያ የተገደበ የቁጥር መጠን። ትምህርት “የተወሰነ ውህደትን በመጠቀም የአብዮት አካላትን መጠን ማስላት

የመማሪያ ዓይነት: ጥምር.

የትምህርቱ ዓላማ፡-ውህዶችን በመጠቀም የአብዮት አካላትን መጠን ለማስላት ይማሩ።

ተግባራት፡

• ከበርካታ የጂኦሜትሪክ አሃዞች ውስጥ curvilinear trapezoidን የመለየት ችሎታን ማጠናከር እና የከርቪላይን ትራፔዞይድ አካባቢዎችን የማስላት ችሎታ ማዳበር;
• ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ምስል ጽንሰ-ሀሳብ ጋር መተዋወቅ;
• የማዞሪያ አካላትን መጠኖች ለማስላት ይማሩ;
• አመክንዮአዊ አስተሳሰብን, ብቃት ያለው የሂሳብ ንግግርን, ስዕሎችን በሚገነቡበት ጊዜ ትክክለኛነትን ማሳደግ;
• ለጉዳዩ ፍላጎት ለማዳበር, በሂሳብ ፅንሰ-ሀሳቦች እና ምስሎች ለመስራት, ፈቃድን, ነፃነትን እና የመጨረሻውን ውጤት ለማግኘት ጽናት ለማዳበር.

በክፍሎቹ ወቅት

I. ድርጅታዊ ጊዜ.

ከቡድኑ ሰላምታ። የትምህርት ዓላማዎችን ለተማሪዎች ማሳወቅ።

ነጸብራቅ። የተረጋጋ ዜማ።

- የዛሬውን ትምህርት በምሳሌ ልጀምር። “በአንድ ወቅት ሁሉንም ነገር የሚያውቅ ጠቢብ ሰው ይኖር ነበር። አንድ ሰው ጠቢቡ ሁሉንም ነገር እንደማያውቅ ማረጋገጥ ፈለገ. ቢራቢሮውን በመዳፉ ይዞ፣ “ንገረኝ፣ ጠቢብ፣ የትኛው ቢራቢሮ በእጄ እንዳለ፡ ሞቶ ወይስ በህይወት?” ሲል ጠየቀ። እሱ ራሱ ደግሞ “በሕይወት ያለው፣ እኔ እገድላታለሁ ቢል፣ የሞተው፣ እፈታታለሁ ይላል” ብሎ ያስባል። ጠቢቡም ካሰበ በኋላ፡- "ሁሉም በእጆችዎ ውስጥ" (የዝግጅት አቀራረብ.ስላይድ)

- ስለዚህ, ዛሬ ፍሬያማ ስራ እንሰራ, አዲስ የእውቀት ክምችት እንጨምራለን, እናም ያገኙትን ክህሎቶች እና ችሎታዎች ወደፊት ህይወት እና በተግባራዊ እንቅስቃሴዎች ውስጥ እንተገብራለን. "ሁሉም በእጆችዎ ውስጥ"

II. ቀደም ሲል የተጠኑ ነገሮች መደጋገም.

- ቀደም ሲል የተጠናውን ጽሑፍ ዋና ዋና ነጥቦችን እናስታውስ. ይህንን ለማድረግ ስራውን እናጠናቅቅ "ተጨማሪውን ቃል አስወግድ"(ስላይድ)

(ተማሪው ወደ I.D ይሄዳል ተጨማሪውን ቃል ለማጥፋት ማጥፊያ ይጠቀማል።)

- ቀኝ "ልዩነት". የቀሩትን ቃላት በአንድ የተለመደ ቃል ለመሰየም ይሞክሩ። (የተዋሃደ ስሌት)

- ከተዋሃድ ካልኩለስ ጋር የተያያዙ ዋና ዋና ደረጃዎችን እና ጽንሰ-ሐሳቦችን እናስታውስ.

"የሒሳብ ስብስብ".

የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ። ክፍተቶቹን መልሰው ያግኙ. (ተማሪው ወጥቶ በሚፈለገው ቃላት በብዕር ይጽፋል)

- ስለ ውህደቶች አተገባበር አጭር መግለጫ በኋላ እንሰማለን።

በማስታወሻ ደብተሮች ውስጥ ይስሩ.

- የኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር የተገኘው በእንግሊዛዊው የፊዚክስ ሊቅ አይዛክ ኒውተን (1643-1727) እና በጀርመናዊው ፈላስፋ ጎትፍሪድ ሌብኒዝ (1646-1716) ነው። እና ይህ አያስገርምም, ምክንያቱም ሂሳብ በተፈጥሮው የሚነገር ቋንቋ ነው.

- ይህ ቀመር ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት እንዴት ጥቅም ላይ እንደሚውል እናስብ.

ምሳሌ 1፡ በመስመሮች የታሰረውን የምስል ቦታ አስላ

መፍትሄ፡ በተቀናጀ አውሮፕላኑ ላይ የተግባር ግራፎችን እንገንባ . መገኘት ያለበትን የስዕሉን ቦታ እንመርጥ.

III. አዲስ ቁሳቁስ መማር።

- ለስክሪኑ ትኩረት ይስጡ. በመጀመሪያው ሥዕል ላይ የሚታየው ምንድን ነው? (ስላይድ) (ሥዕሉ ጠፍጣፋ ምስል ያሳያል።)

- በሁለተኛው ሥዕል ላይ የሚታየው ምንድን ነው? ይህ አኃዝ ጠፍጣፋ ነው? (ስላይድ) (ሥዕሉ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ምስል ያሳያል።)

- በጠፈር, በምድር ላይ እና በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ, ጠፍጣፋ ቅርጾችን ብቻ ሳይሆን ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አካላትን ያጋጥሙናል, ነገር ግን የእንደዚህ አይነት አካላትን መጠን እንዴት ማስላት እንችላለን? ለምሳሌ የፕላኔት፣ ኮሜት፣ ሜትሮይት፣ ወዘተ.

- ሰዎች ቤቶችን በሚገነቡበት ጊዜም ሆነ ከአንድ ዕቃ ወደ ሌላ ውሃ በሚፈስሱበት ጊዜ ስለ የድምጽ መጠን ያስባሉ. መጠኖችን ለማስላት ህጎች እና ቴክኒኮች መምጣት ነበረባቸው ፣ ምን ያህል ትክክለኛ እና ምክንያታዊ እንደነበሩ ሌላ ጉዳይ ነው።

የተማሪ መልእክት። (ቲዩሪና ቬራ)

እ.ኤ.አ. 1612 በታዋቂው የስነ ፈለክ ተመራማሪ ዮሃንስ ኬፕለር ለሚኖሩ የኦስትሪያ የሊንዝ ከተማ ነዋሪዎች በተለይም ለወይን ፍሬ በጣም ፍሬያማ ነበር። ሰዎች የወይን በርሜሎችን እያዘጋጁ ነበር እና ጥራዞችን በተግባር እንዴት እንደሚወስኑ ለማወቅ ይፈልጉ ነበር። (ስላይድ 2)

- ስለዚህ የኬፕለር ታሳቢ ስራዎች በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን የመጨረሻ ሩብ ውስጥ ለተጠናቀቀው አጠቃላይ የምርምር ጅረት መሠረት ጥለዋል። ንድፍ በ I. ኒውተን እና ጂ.ቪ. ሊብኒዝ የልዩነት እና የተዋሃደ ካልኩለስ። ከዚያን ጊዜ ጀምሮ የተለዋዋጮች ሂሳብ በሂሳብ እውቀት ስርዓት ውስጥ ግንባር ቀደም ቦታ ወሰደ።

- ዛሬ እርስዎ እና እኔ እንደዚህ ባሉ ተግባራዊ እንቅስቃሴዎች ውስጥ እንሳተፋለን ፣ ስለሆነም

የትምህርታችን ርዕስ፡- “የተወሰነ አካልን በመጠቀም የማሽከርከር አካላትን መጠን ማስላት። (ስላይድ)

- የሚከተለውን ተግባር በማጠናቀቅ የማሽከርከር አካልን ትርጉም ይማራሉ.

"Labyrinth".

ላቢሪንት (የግሪክ ቃል) ማለት ከመሬት በታች መሄድ ማለት ነው። ላብራቶሪ የተወሳሰበ የመንገዶች፣ የመተላለፊያ መንገዶች እና እርስ በርስ የሚገናኙ ክፍሎች መረብ ነው።

ነገር ግን ትርጉሙ "የተሰበረ" ነበር, ፍንጮችን በቀስቶች መልክ ይተዋል.

የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ። ከአደናጋሪው ሁኔታ መውጫ መንገድ ይፈልጉ እና ትርጉሙን ይፃፉ።

ስላይድ "የካርታ መመሪያ" የጥራዞች ስሌት.

የተወሰነ ውህደትን በመጠቀም, የአንድ የተወሰነ አካል, በተለይም የመዞሪያ አካልን መጠን ማስላት ይችላሉ.

የአብዮት አካል በግርጌው ዙሪያ የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ በመዞር የተገኘ አካል ነው (ምስል 1 ፣ 2)

የማዞሪያው አካል መጠን ከቀመሮቹ አንዱን በመጠቀም ይሰላል፡-

1. በኦክስ ዘንግ ዙሪያ.

2. , የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ ሽክርክሪት ከሆነ በኦፕ-አምፕ ዘንግ ዙሪያ.

እያንዳንዱ ተማሪ የማስተማሪያ ካርድ ይቀበላል። መምህሩ ዋና ዋናዎቹን ነጥቦች አጽንዖት ይሰጣል.

- መምህሩ በቦርዱ ላይ ላሉት ምሳሌዎች መፍትሄዎችን ያብራራል.

ከታዋቂው የኤ.ኤስ. ፑሽኪን ተረት የተቀነጨበ “የዛር ሳልታን ታሪክ፣ የክቡር እና የኃያሉ ልጁ የልዑል ጊዶን ሳልታኖቪች እና የቆንጆ ልዕልት ስዋን ታሪክ” የተወሰደውን እንመልከት። (ስላይድ 4)

…..
የሰከረውም መልእክተኛ አመጣ
በተመሳሳይ ቀን ትዕዛዙ እንደሚከተለው ነው-
"ንጉሱም አገልጋዮቹን አዘዛቸው።
ጊዜ ሳያጠፉ፣
እና ንግስቲቱ እና ዘሩ
በድብቅ ወደ ውኃው ገደል ወረወሩ።
ምንም ማድረግ የለም: boyars,
ስለ ሉዓላዊው መጨነቅ
እና ለወጣቷ ንግሥት ፣
ብዙ ሕዝብ ወደ መኝታ ቤቷ መጣ።
የንጉሱን ፈቃድ አወጁ -
እሷና ልጇ ክፉ ድርሻ አላቸው።
አዋጁን ጮክ ብለን እናነባለን
እና ንግስቲቱ በተመሳሳይ ሰዓት
ከልጄ ጋር በርሜል ውስጥ አስገቡኝ
ጠርዘው ሄዱ
እናም ወደ ኦኪያን እንድገባ ፈቀዱልኝ -
ዛር ሳልታን ያዘዘው ይህ ነው።

ንግሥቲቱ እና ልጇ በውስጡ እንዲገቡ የበርሜሉ መጠን ምን ያህል መሆን አለበት?

- የሚከተሉትን ተግባራት አስቡባቸው

1. በመስመሮች የታሰረውን ከርቪላይን ትራፔዞይድ ordinate ዘንግ ዙሪያ በማሽከርከር የተገኘውን የሰውነት መጠን ይፈልጉ። x 2 + y 2 = 64፣ y = -5፣ y = 5፣ x = 0።

መልስ፡- 1163 ሴሜ 3 .

በ abcissa ዘንግ ዙሪያ ያለውን ፓራቦሊክ ትራፔዞይድ በማዞር የተገኘውን የሰውነት መጠን ይፈልጉ y = ፣ x = 4 ፣ y = 0።

IV. አዲስ ቁሳቁሶችን በማዋሃድ ላይ

ምሳሌ 2. በ x-ዘንግ ዙሪያ የአበባው አበባ በሚዞርበት ጊዜ የተፈጠረውን የሰውነት መጠን አስሉ y = x 2፣ y 2 = x.

የተግባሩን ግራፎች እንገንባ። y = x 2፣ y 2 = x. መርሐግብር y2 = xወደ ቅጹ መቀየር y= .

እና አለነ ቪ = ቪ 1 - ቪ 2የእያንዳንዱን ተግባር መጠን እናሰላል።

- አሁን, በአስደናቂው የሩሲያ መሐንዲስ, የክብር ምሁር V.G. Shukhov ንድፍ መሰረት የተገነባውን በሞስኮ ውስጥ በሻቦሎቭካ ላይ ለሚገኘው የሬዲዮ ጣቢያ ግንብ እንይ. ክፍሎችን ያካትታል - የመዞር ሃይፐርቦሎይድስ. ከዚህም በላይ እያንዳንዳቸው ከጎን ያሉት ክበቦችን የሚያገናኙ ቀጥ ያሉ የብረት ዘንግዎች (ስዕል 8, 9) የተሰሩ ናቸው.

- ችግሩን እናስብበት.

የሃይፐርቦላ ቅስቶችን በማዞር የተገኘውን የሰውነት መጠን ይፈልጉ በምስል ላይ እንደሚታየው በእሱ ምናባዊ ዘንግ ዙሪያ. 8, የት

ኩብ ክፍሎች

የቡድን ስራዎች. ተማሪዎች በተግባሮች ብዙ ይሳሉ፣ በምንትማን ወረቀት ላይ ስዕሎችን ይሳሉ፣ እና ከቡድኑ ተወካዮች አንዱ ስራውን ይከላከላል።

1 ኛ ቡድን.

መታ! መታ! ሌላ ምት!
ኳሱ ወደ ግብ ይበርራል - ኳስ!
እና ይህ የውሃ-ሐብሐብ ኳስ ነው።
አረንጓዴ ፣ ክብ ፣ ጣፋጭ።
በተሻለ ሁኔታ ይመልከቱ - እንዴት ያለ ኳስ ነው!
ከክበቦች በስተቀር ምንም አልተሰራም.
ሐብሐብ ወደ ክበቦች ይቁረጡ
እና ቅመሷቸው።

በተገደበው የኦክስ ዘንግ ዙሪያ በማሽከርከር የተገኘውን የሰውነት መጠን ይፈልጉ

ስህተት! ዕልባቱ አልተገለጸም።

- እባክዎን ይህንን አሃዝ የት እንደምናገኘው ንገረኝ?

ቤት። ተግባር ለ 1 ቡድን. ሲሊንደር (ስላይድ) .

"ሲሊንደር - ምንድን ነው?" - አባቴን ጠየቅሁት.
አባትየው ሳቀ፡ የላይኛው ኮፍያ ኮፍያ ነው።
ትክክለኛ ሀሳብ እንዲኖረን ፣
ሲሊንደር፣ እንበል፣ ቆርቆሮ ነው።
የእንፋሎት ጀልባ ቧንቧ - ሲሊንደር,
በጣራው ላይ ያለው የቧንቧ መስመር,

ሁሉም ቧንቧዎች ከሲሊንደር ጋር ተመሳሳይ ናቸው.
እና እንደዚህ አይነት ምሳሌ ሰጠሁ-
የእኔ ተወዳጅ ካላዶስኮፕ ፣
ዓይንህን ከእሱ ላይ ማንሳት አትችልም,
እና ደግሞ እንደ ሲሊንደር ይመስላል.

- የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ። የቤት ስራ: ተግባሩን ግራፍ እና ድምጹን ያሰሉ.

2 ኛ ቡድን. ኮን (ስላይድ).

እናቴ: እና አሁን
የእኔ ታሪክ ስለ ሾጣጣ ይሆናል.
Stargazer በከፍተኛ ኮፍያ ውስጥ
ዓመቱን ሙሉ ኮከቦችን ይቆጥራል።
CONE - የስታርጌዘር ኮፍያ.
እሱ እንደዛ ነው። ተረድተዋል? በቃ.
እማዬ ጠረጴዛው ላይ ቆሞ ነበር,
ዘይት ወደ ጠርሙሶች አፈሰስኩት።
- ፈንጣጣው የት ነው? ፈንጣጣ የለም።
ፈልጉት። በጎን በኩል አትቁም.
- እማዬ ፣ አላፈርስም።
ስለ ሾጣጣው የበለጠ ይንገሩን.
- ፈንጣጣው በውሃ ማጠጫ ሾጣጣ መልክ ነው.
ነይ ቶሎ ፈልጊልኝ።
ምንጩን ማግኘት አልቻልኩም
እናቴ ግን ቦርሳ ሠራች ፣
ካርቶኑን በጣቴ ላይ ጠቅልዬዋለሁ
እሷም በዘዴ በወረቀት ክሊፕ አስጠበቀችው።
ዘይቱ እየፈሰሰ ነው, እናቴ ደስተኛ ነች,
ሾጣጣው በትክክል ወጣ.

የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ። በ abcissa ዘንግ ዙሪያ በማዞር የተገኘውን የሰውነት መጠን አስሉ

ቤት። ተግባር ለ 2 ኛ ቡድን ። ፒራሚድ(ስላይድ)።

ምስሉን አየሁት። በዚህ ሥዕል
በአሸዋማ በረሃ ውስጥ ፒራሚድ አለ።
በፒራሚዱ ውስጥ ያለው ነገር ሁሉ ያልተለመደ ነው ፣
በውስጡ አንድ ዓይነት ምስጢር እና ምስጢር አለ.
እና በቀይ አደባባይ ላይ የ Spasskaya Tower
ለልጆችም ሆነ ለአዋቂዎች በጣም የተለመደ ነው.
ማማውን ከተመለከቱ ተራ ይመስላል
በላዩ ላይ ምን አለ? ፒራሚድ!

የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ።የቤት ስራ፡ ተግባሩን ይሳሉ እና የፒራሚዱን መጠን ያሰሉ።

- ውህደቱን ተጠቅመን የሰውነት መጠኖችን በመሠረታዊ ቀመር መሰረት የተለያዩ አካላትን መጠን አስልተናል።

ይህ ትክክለኛው ውህደት ለሂሳብ ጥናት የተወሰነ መሠረት መሆኑን ሌላ ማረጋገጫ ነው።

- ደህና, አሁን ትንሽ እናርፍ.

ጥንድ ይፈልጉ.

የሂሳብ ዶሚኖ ዜማ ይጫወታል።

"እኔ ራሴ ስፈልገው የነበረው መንገድ መቼም አይረሳም..."

የምርምር ሥራ. በኢኮኖሚክስ እና በቴክኖሎጂ ውስጥ ዋናውን ተግባራዊ ማድረግ.

ለጠንካራ ተማሪዎች እና የሂሳብ እግር ኳስ ሙከራዎች።

የሂሳብ ማስመሰያ።

2. የአንድ የተወሰነ ተግባር የሁሉም ፀረ-ተውሳኮች ስብስብ ይባላል

ሀ) ያልተወሰነ ውህደት;

ለ) ተግባር;

ለ) ልዩነት.

7. በመስመሮች የታሰረውን የከርቪላይን ትራፔዞይድ ዘንግ ዙሪያ በማሽከርከር የተገኘውን የሰውነት መጠን ይፈልጉ።

ዲ/ዜ. የማዞሪያ አካላትን መጠኖች ያሰሉ.

ነጸብራቅ።

በቅጹ ላይ ነጸብራቅ መቀበል ማመሳሰል(አምስት መስመሮች).

1 ኛ መስመር - የርዕስ ስም (አንድ ስም).

2 ኛ መስመር - የርዕሱ መግለጫ በሁለት ቃላት ፣ በሁለት ቅጽል ።

3 ኛ መስመር - በዚህ ርዕስ ውስጥ ያለው ድርጊት መግለጫ በሶስት ቃላት.

4 ኛው መስመር ለርዕሱ ያለውን አመለካከት (አንድ ሙሉ ዓረፍተ ነገር) የሚያሳይ የአራት ቃላት ሐረግ ነው።

5ኛው መስመር የርዕሱን ፍሬ ነገር የሚደግም ተመሳሳይ ቃል ነው።

1. ድምጽ።
2. የተወሰነ የተዋሃደ, የተዋሃደ ተግባር.
3. እንገነባለን, እንሽከረከራለን, እናሰላለን.
4. የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ (በመሠረቱ ዙሪያ) በማዞር የተገኘ አካል።
5. የመዞሪያ አካል (ቮልሜትሪክ ጂኦሜትሪክ አካል).

ማጠቃለያ (ስላይድ).

• የተረጋገጠ ውህደት ለሂሳብ ጥናት የተወሰነ መሠረት ነው, ይህም ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት የማይተካ አስተዋፅኦ ያደርጋል.
• "Integral" የሚለው ርዕስ በሂሳብ እና ፊዚክስ, ባዮሎጂ, ኢኮኖሚክስ እና ቴክኖሎጂ መካከል ያለውን ግንኙነት በግልፅ ያሳያል.
• የዘመናዊ ሳይንስ እድገት ዋናውን ሳይጠቀም የማይታሰብ ነው. በዚህ ረገድ, በሁለተኛ ደረጃ ልዩ ትምህርት ማዕቀፍ ውስጥ ማጥናት መጀመር አስፈላጊ ነው!

ደረጃ መስጠት. (ከአስተያየት ጋር)

ታላቁ ኦማር ካያም - የሂሳብ ሊቅ, ገጣሚ, ፈላስፋ. የራሳችን እጣ ፈንታ ባለቤት እንድንሆን ያበረታታናል። ከሥራው የተቀነጨበን እናዳምጥ፡-

ይህ ሕይወት አንድ ጊዜ ነው ትላለህ።
ያደንቁት, ከእሱ መነሳሻ ይሳሉ.
እንዳሳለፍከው እንዲሁ ያልፋል።
አትርሳ፡ እሷ ፍጥረትህ ናት።

የአብዮት አካልን መጠን እንዴት ማስላት እንደሚቻል
የተወሰነ ውህደት በመጠቀም?

በአጠቃላይ ፣ በተዋሃደ ካልኩለስ ውስጥ ብዙ አስደሳች መተግበሪያዎች አሉ ፣ የተወሰነ ውህደትን በመጠቀም የምስሉን ስፋት ፣ የመዞሪያ አካል መጠን ፣ የአርከስ ርዝመት ፣ የቦታ ስፋት ማስላት ይችላሉ ። ማሽከርከር እና ብዙ ተጨማሪ. ስለዚህ አስደሳች ይሆናል, እባክዎን ብሩህ ተስፋ ይኑርዎት!

በአስተባባሪው አውሮፕላን ላይ የሆነ ጠፍጣፋ ምስል አስብ። አስተዋወቀ? ... እኔ የሚገርመኝ ማን ምን አቀረበ... =))) አካባቢውን አግኝተናል። ግን ፣ በተጨማሪ ፣ ይህ አኃዝ እንዲሁ ሊሽከረከር እና በሁለት መንገዶች ሊሽከረከር ይችላል-

- በ abscissa ዘንግ ዙሪያ;
- በ ordinate ዘንግ ዙሪያ.

ይህ ጽሑፍ ሁለቱንም ጉዳዮች ይመረምራል. ሁለተኛው የመዞሪያ ዘዴ በተለይ ትኩረት የሚስብ ነው፣ ብዙ ችግሮችን ያስከትላል፣ ነገር ግን እንደ እውነቱ ከሆነ መፍትሔው በ x-ዘንጉ ዙሪያ በጣም የተለመደው ሽክርክሪት ውስጥ ከሞላ ጎደል ተመሳሳይ ነው። እንደ ጉርሻ እመለሳለሁ። የአንድን ምስል አካባቢ የማግኘት ችግር, እና አካባቢውን በሁለተኛው መንገድ እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ እነግርዎታለሁ - በዘንግ በኩል. ቁሱ ከርዕሱ ጋር የሚጣጣም ስለሆነ ብዙ ጉርሻ አይደለም.

በጣም ታዋቂ በሆነው የማዞሪያ አይነት እንጀምር.

ዘንግ ዙሪያ ጠፍጣፋ ምስል

በአንድ ዘንግ ዙሪያ በመስመሮች የታሰረ ምስል በማሽከርከር የተገኘውን የሰውነት መጠን አስላ።

መፍትሄአካባቢውን የማግኘት ችግር እንዳለ መፍትሄው የሚጀምረው ጠፍጣፋ ምስል በመሳል ነው. ማለትም በአውሮፕላኑ ላይ በመስመሮች የታሰረ ምስል መገንባት አስፈላጊ ነው, እና እኩልታው ዘንግውን እንደሚገልጽ አይርሱ. ስዕልን በብቃት እና በፍጥነት እንዴት ማጠናቀቅ እንደሚቻል በገጾቹ ላይ ሊገኝ ይችላል የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ግራፎች እና ባህሪያትእና. ይህ የቻይንኛ ማሳሰቢያ ነው፣ እና በዚህ ጊዜ ከዚህ በላይ አልቆይም።

እዚህ ያለው ሥዕል በጣም ቀላል ነው-

የሚፈለገው ጠፍጣፋ ምስል በሰማያዊ ጥላ ተሸፍኗል፤ በዘንጉ ዙሪያ የሚሽከረከረው እሱ ነው።በመዞሩ ምክንያት ውጤቱ በመጠኑ ዘንግ ላይ የሚመጣጠን ትንሽ ኦቮይድ የበረራ ሳውሰር ነው። እንደ እውነቱ ከሆነ, አካሉ የሂሳብ ስም አለው, ነገር ግን በማመሳከሪያው መጽሐፍ ውስጥ ማንኛውንም ነገር ለማብራራት በጣም ሰነፍ ነኝ, ስለዚህ እንቀጥላለን.

የአብዮት አካልን መጠን እንዴት ማስላት ይቻላል?

የአንድ አብዮት አካል መጠን ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል።:

በቀመር ውስጥ ቁጥሩ ከመዋሃዱ በፊት መገኘት አለበት. ስለዚህ ተከሰተ - በህይወት ውስጥ የሚሽከረከረው ነገር ሁሉ ከዚህ ቋሚ ጋር የተያያዘ ነው.

እኔ እንደማስበው ከተጠናቀቀው ስዕል ውስጥ የመዋሃድ ገደቦችን "a" እና "be" እንዴት ማዘጋጀት እንደሚቻል መገመት ቀላል ነው.

ተግባር... ይህ ተግባር ምንድን ነው? ስዕሉን እንመልከተው. የአውሮፕላኑ ምስል ከላይ ባለው የፓራቦላ ግራፍ የታሰረ ነው. ይህ በቀመር ውስጥ የተመለከተው ተግባር ነው።

በተግባራዊ ተግባራት, ጠፍጣፋ ምስል አንዳንድ ጊዜ ከአክሱ በታች ሊቀመጥ ይችላል. ይህ ምንም ለውጥ አያመጣም - በቀመር ውስጥ ያለው ውህደት አራት ማዕዘን ነው:, ስለዚህም ዋናው ነገር ሁል ጊዜ አሉታዊ አይደለም, ይህም በጣም ምክንያታዊ ነው.

ይህንን ቀመር በመጠቀም የማዞሪያውን አካል መጠን እናሰላው፡-

አስቀድሜ እንደገለጽኩት, ዋናው ነገር ሁልጊዜ ማለት ይቻላል ቀላል ይሆናል, ዋናው ነገር ጥንቃቄ ማድረግ ነው.

መልስ:

በመልስዎ ውስጥ ልኬቱን - ኪዩቢክ ክፍሎችን ማመልከት አለብዎት. ማለትም በአካላችን ውስጥ በሚሽከረከርበት ጊዜ በግምት 3.35 "ኩብ" አሉ. ለምን ኪዩቢክ ክፍሎች? ምክንያቱም በጣም ሁለንተናዊ አጻጻፍ. ኪዩቢክ ሴንቲሜትር ሊኖር ይችላል፣ ኪዩቢክ ሜትር፣ ኪዩቢክ ኪሎሜትሮች፣ ወዘተ፣ ያ ነው ብዙ አረንጓዴ ወንዶች በበረራ ሳውሰር ውስጥ የሚያስገቡት።

በመስመሮች የታሰረውን ምስል ዘንግ ዙሪያ በማዞር የተሰራውን የሰውነት መጠን ይፈልጉ ፣

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ.

ሁለት ተጨማሪ ውስብስብ ችግሮችን እንመልከት, እነሱም ብዙውን ጊዜ በተግባር ያጋጥሟቸዋል.

በመስመሮች የታሰረውን ምስል በ abcissa ዘንግ ዙሪያ በማዞር የተገኘውን የሰውነት መጠን አስላ፣ እና

መፍትሄበስዕሉ ላይ በመስመሮች የታሰረ ጠፍጣፋ ምስል እናሳይ ፣ ፣ ፣ ፣ ፣ ፣ እኩልታው ዘንግውን እንደሚገልፀው ሳንዘነጋ።

የሚፈለገው ምስል በሰማያዊ ጥላ ተሸፍኗል። በዘንግ ዙሪያ ሲሽከረከር አራት ማዕዘን ያለው ሱሪል ዶናት ይሆናል።

የአብዮቱን አካል መጠን እናሰላው። የአካል ክፍሎች ብዛት ልዩነት.

በመጀመሪያ፣ በቀይ የተከበበውን ምስል እንይ። በአንድ ዘንግ ዙሪያ ሲሽከረከር, የተቆራረጠ ሾጣጣ ይገኛል. የዚህን የተቆረጠ ሾጣጣ መጠን በ .

በአረንጓዴ የተከበበውን ምስል አስቡበት. ይህን አሃዝ ዘንግ ላይ ካሽከርክሩት ትንሽ ትንሽ ብቻ የተቆረጠ ሾጣጣ ታገኛላችሁ። ድምጹን በ .

እና, በግልጽ, የጥራዞች ልዩነት በትክክል የእኛ "ዶናት" መጠን ነው.

የማዞሪያ አካልን መጠን ለማግኘት መደበኛውን ቀመር እንጠቀማለን፡-

1) በቀይ የተከበበው ምስል ከላይ በቀጥተኛ መስመር የታሰረ ነው፣ ስለዚህ፡-

2) በአረንጓዴ የተከበበው ምስል ከላይ በቀጥተኛ መስመር የታሰረ ነው፣ ስለዚህ፡-

3) የሚፈለገው የአብዮት አካል መጠን፡-

መልስ:

በዚህ ጉዳይ ላይ የተቆረጠ ሾጣጣ መጠንን ለማስላት የትምህርት ቤቱን ቀመር በመጠቀም መፍትሄው ሊረጋገጥ ይችላል.

ውሳኔው ራሱ ብዙ ጊዜ አጭር ነው የተጻፈው፣ እንደዚህ ያለ ነገር፡-

አሁን ትንሽ እረፍት እናድርግ እና ስለ ጂኦሜትሪክ ቅዠቶች እንነግርዎታለን.

ሰዎች ብዙውን ጊዜ ከጥራዞች ጋር የተያያዙ ቅዠቶች አሏቸው, ይህም በመጽሐፉ ውስጥ በፔሬልማን (ሌላ) አስተውሏል አስደሳች ጂኦሜትሪ. በተፈታው ችግር ውስጥ ያለውን ጠፍጣፋ ምስል ይመልከቱ - በአካባቢው ትንሽ ይመስላል ፣ እና የአብዮቱ አካል መጠን ከ 50 ኪዩቢክ ክፍሎች በላይ ነው ፣ ይህም በጣም ትልቅ ይመስላል። በነገራችን ላይ በአማካይ አንድ ሰው በህይወቱ በሙሉ ከ 18 ካሬ ሜትር ፈሳሽ ክፍል ጋር እኩል ይጠጣል, በተቃራኒው, በጣም ትንሽ መጠን ያለው ይመስላል.

ከግጥም ገለፃ በኋላ ፣ የፈጠራ ሥራ መፍታት ተገቢ ነው-

በመስመሮች የታሰረውን ጠፍጣፋ ምስል ዘንግ ላይ በማሽከርከር የተፈጠረውን የሰውነት መጠን አስላ።

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። እባክዎን ያስታውሱ ሁሉም ጉዳዮች በቡድኑ ውስጥ ይከሰታሉ ፣ በሌላ አነጋገር ፣ ዝግጁ የሆኑ የውህደት ገደቦች በትክክል ተሰጥተዋል። የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ግራፎች በትክክል ይሳሉ ፣ ስለ ትምህርቱ ይዘት ላስታውስዎት የግራፎች ጂኦሜትሪክ ለውጦች: ክርክሩ ለሁለት ከተከፈለ: ከዚያም ግራፎች በዘንግ ላይ ሁለት ጊዜ ተዘርግተዋል. ቢያንስ 3-4 ነጥቦችን ለማግኘት ይመከራል በትሪግኖሜትሪክ ሠንጠረዦች መሠረትስዕሉን በበለጠ በትክክል ለማጠናቀቅ. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ. በነገራችን ላይ ስራው በምክንያታዊነት ሊፈታ ይችላል እና በጣም ምክንያታዊ አይደለም.

በማሽከርከር የተፈጠረውን የሰውነት መጠን ማስላት
ዘንግ ዙሪያ ጠፍጣፋ ምስል

ሁለተኛው አንቀጽ ከመጀመሪያው የበለጠ አስደሳች ይሆናል. በተራራው ዘንግ ዙሪያ ያለውን የአብዮት አካል መጠን የማስላት ተግባር እንዲሁ በሙከራ ስራ ውስጥ የተለመደ እንግዳ ነው። በመንገድ ላይም ግምት ውስጥ ይገባል የአንድን ምስል አካባቢ የማግኘት ችግርሁለተኛው ዘዴ በዘንግ ላይ ውህደት ነው ፣ ይህ ችሎታዎን እንዲያሻሽሉ ብቻ ሳይሆን በጣም ትርፋማ የሆነውን የመፍትሄ መንገድ እንዲያገኙም ያስተምርዎታል። በዚህ ውስጥ ተግባራዊ የሕይወት ትርጉምም አለ! በሂሳብ የማስተማር ዘዴዎች ላይ መምህሬ በፈገግታ እንዳስታውስ፣ ብዙ ተመራቂዎች “ርዕሰ-ጉዳይዎ በጣም ረድቶናል፣ አሁን እኛ ውጤታማ አስተዳዳሪዎች ነን እና ሰራተኞቻችንን በተሻለ ሁኔታ እናስተዳድራለን” በማለት አመሰገኗት። ይህንን እድል ተጠቅሜ በተለይ ያገኘሁትን እውቀት ለታለመለት አላማ ስለምጠቀም ​​ለእሷ ያለኝን ታላቅ ምስጋና አቀርባለሁ።

እኔ ለሁሉም ሰው እመክራለሁ, እንኳን ሙሉ ዱሚዎች. በተጨማሪም፣ በሁለተኛው አንቀጽ ላይ የተማረው ነገር ድርብ ውህዶችን ለማስላት በዋጋ ሊተመን የማይችል እገዛ ያደርጋል.

በመስመሮች የታሰረ ጠፍጣፋ ምስል ተሰጥቷል , .

1) በእነዚህ መስመሮች የታሰረውን ጠፍጣፋ ምስል ቦታ ይፈልጉ ።
2) በዘንግ ዙሪያ በእነዚህ መስመሮች የታሰረ ጠፍጣፋ ምስል በማሽከርከር የተገኘውን የሰውነት መጠን ይፈልጉ።

ትኩረት!ሁለተኛውን ነጥብ ብቻ ለማንበብ ቢፈልጉም መጀመሪያ የመጀመሪያውን ማንበብዎን እርግጠኛ ይሁኑ!

መፍትሄ: ተግባሩ ሁለት ክፍሎችን ያቀፈ ነው. በካሬው እንጀምር.

1) ሥዕል እንሥራ-

ተግባሩ የፓራቦላውን የላይኛው ቅርንጫፍ እንደሚያመለክት ለማየት ቀላል ነው, እና ተግባሩ የፓራቦላውን የታችኛውን ቅርንጫፍ ይገልጻል. ከፊታችን “ከጎኑ የተኛ” ተራ ምሳሌ ነው።

የሚፈለገው ምስል, የተገኘበት ቦታ, በሰማያዊ ጥላ ተሸፍኗል.

የአንድን ምስል አካባቢ እንዴት ማግኘት ይቻላል? በክፍል ውስጥ በተገለፀው "በተለመደው" መንገድ ሊገኝ ይችላል የተወሰነ ውህደት። የአንድን ምስል ስፋት እንዴት ማስላት እንደሚቻል. በተጨማሪም ፣ የስዕሉ ስፋት እንደ አከባቢዎች ድምር ይገኛል-
- በክፍሉ ላይ ;
- በክፍሉ ላይ.

ለዛ ነው:

በዚህ ጉዳይ ላይ የተለመደው መፍትሔ ለምን መጥፎ ነው? በመጀመሪያ, ሁለት ማቀፊያዎችን አግኝተናል. በሁለተኛ ደረጃ ፣ በመገጣጠሚያዎች ስር ያሉ ሥሮች አሉ ፣ እና በመዋሃድ ውስጥ ያሉ ሥሮች ስጦታ አይደሉም ፣ እና በተጨማሪ ፣ የውህደት ገደቦችን በመተካት ግራ ሊጋቡ ይችላሉ። እንደ እውነቱ ከሆነ, መገጣጠሚያዎቹ, በእርግጥ, ገዳይ አይደሉም, ነገር ግን በተግባር ሁሉም ነገር በጣም አሳዛኝ ሊሆን ይችላል, ለችግሩ "የተሻሉ" ተግባራትን መርጫለሁ.

የበለጠ ምክንያታዊ መፍትሄ አለ: ወደ ተገላቢጦሽ ተግባራት መቀየር እና በዘንግ ላይ ማዋሃድን ያካትታል.

ወደ ተገላቢጦሽ ተግባራት እንዴት መድረስ ይቻላል? በግምት፣ “x” በ “y” በኩል መግለጽ ያስፈልግዎታል። በመጀመሪያ፣ ፓራቦላውን እንመልከት፡-

ይህ በቂ ነው, ነገር ግን ተመሳሳይ ተግባር ከታችኛው ቅርንጫፍ ሊገኝ እንደሚችል እናረጋግጥ.

በቀጥታ መስመር ቀላል ነው፡-

አሁን ዘንግውን ይመልከቱ፡ እባክዎን ሲያብራሩ በየጊዜው ጭንቅላትዎን ወደ ቀኝ 90 ዲግሪ ያዙሩት (ይህ ቀልድ አይደለም!) እኛ የምንፈልገው አሃዝ በቀይ ነጠብጣብ መስመር በሚታየው ክፍል ላይ ነው ። በዚህ ሁኔታ ፣ በክፍሉ ላይ ቀጥታ መስመር ከፓራቦላ ​​በላይ ይገኛል ፣ ይህ ማለት የምስሉ ስፋት ቀድሞውኑ ለእርስዎ የሚያውቁትን ቀመር በመጠቀም መገኘት አለበት ማለት ነው ። . በቀመር ውስጥ ምን ተቀይሯል? ደብዳቤ ብቻ እና ምንም ተጨማሪ ነገር የለም.

! ማስታወሻ: በዘንጉ ላይ ያለው ውህደት ገደብ መቀመጥ አለበት በጥብቅ ከታች ወደ ላይ!

አካባቢን መፈለግ;

በዚህ ክፍል ላይ, ስለዚህ:

እባክዎን ውህደቱን እንዴት እንዳከናወንኩ ልብ ይበሉ, ይህ በጣም ምክንያታዊ መንገድ ነው, እና በሚቀጥለው የሥራው አንቀጽ ለምን እንደሆነ ግልጽ ይሆናል.

የውህደት ትክክለኛነትን ለሚጠራጠሩ አንባቢዎች፣ ተዋጽኦዎችን አገኛለሁ፡-

ዋናው የመዋሃድ ተግባር ተገኝቷል, ይህም ማለት ውህደቱ በትክክል ተከናውኗል.

መልስ:

2) በዚህ አኃዝ ዘንግ ዙሪያ በማሽከርከር የተፈጠረውን የሰውነት መጠን እናሰላለን።

ስዕሉን በትንሹ ለየት ባለ ንድፍ እጽዳለሁ-

ስለዚህ, በሰማያዊ ጥላ ውስጥ ያለው ምስል በዘንግ ዙሪያ ይሽከረከራል. ውጤቱም በዘንግ ዙሪያ የሚሽከረከር "የሚንከባለል ቢራቢሮ" ነው።

የመዞሪያ አካልን መጠን ለማግኘት በዘንግ በኩል እንዋሃዳለን። በመጀመሪያ ወደ ተገላቢጦሽ ተግባራት መሄድ አለብን. ይህ አስቀድሞ የተደረገ እና በቀደመው አንቀፅ ውስጥ በዝርዝር ተገልጿል.

አሁን እንደገና ጭንቅላታችንን ወደ ቀኝ እናቀርባለን እና የእኛን ምስል እናጠናለን. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, የመዞሪያው አካል መጠን እንደ የጥራዞች ልዩነት መገኘት አለበት.

በአክሱ ዙሪያ በቀይ የተከበበውን ምስል እናዞራለን, በዚህም ምክንያት የተቆራረጠ ኮን. ይህንን መጠን በ .

በዘንጉ ዙሪያ በአረንጓዴ የተከበበውን ምስል እናዞራለን እና በተፈጠረው የመዞሪያ አካል መጠን እንጠቁማለን።

የእኛ ቢራቢሮ መጠን ከጥራዞች ልዩነት ጋር እኩል ነው.

የአብዮት አካልን መጠን ለማግኘት ቀመሩን እንጠቀማለን፡-

በቀደመው አንቀፅ ውስጥ ካለው ቀመር ልዩነቱ ምንድነው? በደብዳቤው ውስጥ ብቻ.

ግን በቅርቡ የተናገርኩት የመዋሃድ ጥቅም ለማግኘት በጣም ቀላል ነው። , በመጀመሪያ ውህደቱን ወደ 4 ኛ ሃይል ከማንሳት ይልቅ.

መልስ:

ተመሳሳዩ ጠፍጣፋ ምስል በዘንግ ዙሪያ ቢሽከረከር ፣ በተፈጥሮ ፣ በተለያየ ድምጽ ፣ ሙሉ በሙሉ የተለየ የአካል ማሽከርከር እንደሚያገኙ ልብ ይበሉ።

በመስመሮች እና በዘንግ የታሰረ ጠፍጣፋ ምስል ተሰጥቷል።

1) ወደ ተገላቢጦሽ ተግባራት ይሂዱ እና በተለዋዋጭው ላይ በማጣመር በእነዚህ መስመሮች የታሰረውን የአውሮፕላን ምስል ቦታ ያግኙ።
2) በዘንጉ ዙሪያ በእነዚህ መስመሮች የታሰረ ጠፍጣፋ ምስል በማሽከርከር የተገኘውን የሰውነት መጠን ያሰሉ ።

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። ፍላጎት ያላቸው ሰዎች የስዕሉን ቦታ “በተለመደው” መንገድ ማግኘት ይችላሉ ፣ በዚህም ነጥብ 1) ያረጋግጡ። ግን እደግመዋለሁ ፣ በዘንጉ ዙሪያ ጠፍጣፋ ምስል ካዞሩ ፣ በተለየ ድምጽ ፣ በነገራችን ላይ ትክክለኛ መልስ (እንዲሁም ችግሮችን መፍታት ለሚወዱ) ሙሉ በሙሉ የተለየ የመዞሪያ አካል ያገኛሉ ።

ለተግባሩ ሁለት የታቀዱ ነጥቦች የተሟላ መፍትሄ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

አዎን, እና የማዞሪያ አካላትን እና የመዋሃድ ገደቦችን ለመረዳት ጭንቅላትዎን ወደ ቀኝ ማዘንበልዎን አይርሱ!

ጽሑፉን ልጨርስ ስል ነበር፣ ግን ዛሬ በአስደናቂው ዘንግ ዙሪያ ያለውን የአብዮት አካል መጠን ለማግኘት አንድ አስደሳች ምሳሌ አመጡ። ትኩስ፡

በመጠምዘዝ የታሰረውን ምስል ዘንግ ዙሪያ በማዞር የተሰራውን የሰውነት መጠን አስላ እና .

መፍትሄሥዕል እንሥራ፡

በመንገዳችን ላይ, ከሌሎች ተግባራት ግራፎች ጋር እንተዋወቃለን. የአንድ እኩል ተግባር አስደሳች ግራፍ እዚህ አለ…

I. የመዞሪያ አካላት መጠኖች. ጂ ኤም ፊክተንጎልትስ ከተባለው የመማሪያ መጽሃፍ ላይ ምዕራፍ XIIን አንቀጽ 197, 198ን አስቀድመህ አጥና * በአንቀጽ 198 ላይ የቀረቡትን ምሳሌዎች በዝርዝር ገምግም።

508. በኦክስ ዘንግ ዙሪያ ኤሊፕስ በማዞር የተሰራውን የሰውነት መጠን አስሉ.

ስለዚህም

530. የ sinusoid arc y = sin x ከ X = 0 እስከ ነጥብ X = It = በኦክስ ዘንግ ዙሪያ በማሽከርከር የተሰራውን የገጽታ ቦታ ይፈልጉ።

531. ቁመት h እና ራዲየስ r ያለው የሾጣጣውን ወለል ያስሉ.

532. የተሰራውን ወለል አስሉ

የአስትሮይድ x3 - - y * - a3 በኦክስ ዘንግ ዙሪያ መዞር።

533. የጠመዝማዛውን ሉፕ በማዞር የተሰራውን ወለል አስሉ 18 ug - x (6 - x) z በኦክስ ዘንግ ዙሪያ.

534. በክበቡ መሽከርከር የተፈጠረውን የቶረስን ገጽታ ይፈልጉ X2 - j - (y-3) 2 = 4 በኦክስ ዘንግ ዙሪያ።

535. በክበቡ አዙሪት የተሰራውን የወለል ስፋት አስላ X = አንድ ወጪ, y = በኦክስ ዘንግ ዙሪያ ያለውን አሲት.

536. በመጠምዘዣው ሉፕ አዙሪት የተሰራውን ወለል አስላ x = 9t2, y = St - 9t3 በኦክስ ዘንግ ዙሪያ.

537. የጠመዝማዛውን ቅስት በማዞር የተሰራውን ወለል ይፈልጉ x = e*sint, y = el cost በኦክስ ዘንግ ዙሪያ.

ከ t = 0 እስከ t = -.

538. በ cycloid arc x = a (q> -sin φ) አዙሪት የተሰራው ገጽ፣ y = a (I - cos φ) በኦይ ዘንግ ዙሪያ ከ16 u2 o2 ጋር እኩል መሆኑን አሳይ።

539. በፖላር ዘንግ ዙሪያ ያለውን ካርዲዮይድ በማዞር የተገኘውን ገጽ ይፈልጉ.

540. በሌምኒስት መሽከርከር የተፈጠረውን ንጣፍ ይፈልጉ በፖላር ዘንግ ዙሪያ.

ለምዕራፍ IV ተጨማሪ ተግባራት

የአውሮፕላን ምስሎች ቦታዎች

541. ከርቭ ጋር የታሰረውን የክልሉን አጠቃላይ ቦታ ያግኙ እና ዘንግ ኦክስ.

542. በክርባው የታሰረውን የክልሉን ቦታ ይፈልጉ

እና ዘንግ ኦክስ.

543. በመጀመሪያው ኳድራንት ውስጥ የሚገኘውን እና ከርቭ ጋር የተቆራኘውን የክልሉን ክፍል ይፈልጉ.

እኔ መጥረቢያዎችን ያስተባብራል.

544. በውስጡ የያዘውን የክልሉን ቦታ ይፈልጉ

ቀለበቶች:

545. ከርቭ አንድ ዙር የታሰረውን የክልሉን ቦታ ይፈልጉ።

546. በሎፕ ውስጥ የሚገኘውን የክልሉን ቦታ ይፈልጉ-

547. በክርባው የታሰረውን የክልሉን ቦታ ይፈልጉ

እና ዘንግ ኦክስ.

548. በክልል የታሰረውን ክልል ይፈልጉ

እና ዘንግ ኦክስ.

549. በኦክስር ዘንግ የታሰረውን የክልሉን ቦታ ይፈልጉ

ቀጥ ያለ እና ጥምዝ

ቲ በላይኛው ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ የሚገኝ እና በ abscissa ዘንግ የተገደበ በ abscissa ዘንግ ዙሪያ በተሽከረከረው የአብዮት አካል ፣ ቀጥተኛ መስመሮች x=a እና x=b እና ቀጣይነት ያለው ተግባር ግራፍ y= ይሁን። ረ(x)

ይህ መሆኑን እናረጋግጥ የአብዮቱ አካል ኩብ እና መጠኑ በቀመሩ ይገለጻል።

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

በመጀመሪያ፣ የኦይዝ አይሮፕላኑን ከመዞሪያው ዘንግ ጎን ለጎን \Pi ብለን ከመረጥን ይህ የአብዮት አካል መደበኛ መሆኑን እናረጋግጣለን። ከአውሮፕላኑ Oyz በ x ርቀት ላይ የሚገኘው ክፍል የራዲየስ f(x) ክብ ሲሆን አካባቢው S(x) ከ \pi f^2(x) ጋር እኩል መሆኑን ልብ ይበሉ (ምስል 46)። ስለዚህ, ተግባር S (x) በ f (x) ቀጣይነት ምክንያት ቀጣይ ነው. በመቀጠል, ከሆነ S(x_1)\leqslant S(x_2)ከዚያም ይህ ማለት ነው. ነገር ግን በኦይዝ አውሮፕላን ላይ ያሉት የክፍሎቹ ትንበያዎች የራዲዎች f(x_1) እና f(x_2) ከመሃል ኦ እና ከ f(x_1)\leqslant ረ(x_2)የራዲየስ f(x_1) ክበብ በራዲየስ ክበብ ውስጥ መያዙን ተከትሎ ነው f(x_2)።

ስለዚህ የአብዮቱ አካል መደበኛ ነው። ስለዚህ, ኩብ ነው እና ድምጹ በቀመሩ ይሰላል

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

አንድ curvilinear trapezoid ከሁለቱም በታች እና በላይ ከርቮች y_1=f_1(x)፣ y_2=f_2(x) ከታሰረ።

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a) )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

ፎርሙላ (3) የሚሽከረከረው ምስል ወሰን በፓራሜትሪክ እኩልታዎች ሲገለጽ የአብዮቱን አካል መጠን ለማስላትም ይችላል። በዚህ ሁኔታ, በተወሰነው የውስጣዊ ምልክት ስር የተለዋዋጭ ለውጥን መጠቀም አለብዎት.

በአንዳንድ ሁኔታዎች የማዞሪያ አካላትን ወደ ቀጥታ ክብ ሲሊንደሮች ሳይሆን ወደ ሌላ ዓይነት ምስሎች ለመበስበስ አመቺ ሆኖ ይታያል.

ለምሳሌ, እንፈልግ የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ በተራራው ዘንግ ዙሪያ በማሽከርከር የተገኘ የሰውነት መጠን. በመጀመሪያ ፣ ቁመቱ y # ያለው አራት ማእዘን በማሽከርከር የተገኘውን ድምጽ እንፈልግ ፣ በዚህ መሠረት ክፍሉ ይገኛል። ይህ መጠን በሁለት ቀጥታ ክብ ሲሊንደሮች ውስጥ ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)) x_k ትልቅ)።

አሁን ግን የሚፈለገው መጠን ከላይ እና ከታች እንደሚገመተው ግልጽ ነው።

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

ከዚህ በቀላሉ ይከተላል በ ordinate ዘንግ ዙሪያ ላለው አብዮት አካል መጠን ቀመር:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

ምሳሌ 4.የራዲየስ አር ኳስ መጠንን እንፈልግ።

መፍትሄ።አጠቃላይነት ሳይጠፋ፣ የራዲየስ R ክብ ከመነሻው መሃል ያለውን ቦታ እንመለከታለን። ይህ ክበብ በኦክስ ዘንግ ዙሪያ የሚሽከረከር ኳስ ይሠራል። የክበብ እኩልታ x^2+y^2=R^2 ነው፣ስለዚህ y^2=R^2-x^2። የክበቡን አመጣጣኝ ሁኔታ ከ ordinate axis አንጻር ግምት ውስጥ በማስገባት በመጀመሪያ ከሚፈለገው መጠን ግማሹን እናገኛለን

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^) 2) \,dx= \ግራ.(\pi\!\ግራ(R^2x- \frac(x^3)(3)\ቀኝ))\ቀኝ|_(0)^(R)= \pi\ !\ግራ(R^3- \frac(R^3)(3)\ቀኝ)= \frac(2)(3)\pi R^3.

ስለዚህ, የሙሉው ኳስ መጠን እኩል ነው \frac(4)(3)\pi R^3.

ምሳሌ 5.ቁመታቸው h እና ቤዝ ራዲየስ r ያለውን የኮን መጠን አስሉ።

መፍትሄ።የኦክስ ዘንግ ከቁመቱ h (ምስል 47) ጋር እንዲገጣጠም የተቀናጀ ስርዓትን እንመርጥ እና የኮንሱን ጫፍ እንደ መጋጠሚያዎች አመጣጥ እንውሰድ። ከዚያ የቀጥታ መስመር OA እኩልታ በ y=\frac(r)(h)\,x ይፃፋል።

ቀመር (3) በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \ግራ.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\ቀኝ|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

ምሳሌ 6.በአስትሮይድ x-ዘንግ ዙሪያ በማሽከርከር የተገኘውን የሰውነት መጠን እንፈልግ \\ጀማሪ(ጉዳይ)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\መጨረሻ(ጉዳይ)(ምስል 48).

መፍትሄ።አስትሮይድ እንገንባ። ከአስትሮይድ በላይኛው ክፍል ግማሹን እንይ፣ በተመጣጣኝ ሁኔታ ከ ordinate ዘንግ አንፃር ይገኛል። ፎርሙላ (3) በመጠቀም እና ተለዋዋጩን በተወሰነው ውህደት ምልክት በመቀየር ለአዲሱ ተለዋዋጭ t የውህደት ገደቦችን እናገኛለን።

x=a\cos^3t=0 ከሆነ t=\frac(\pi)(2) እና x=a\cos^3t=a ከሆነ t=0። ያንን y^2=a^2\sin^6t እና dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dtእኛ እናገኛለን:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a) \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

በአስትሮይድ ሽክርክሪት የተሰራው የጠቅላላው አካል መጠን ይሆናል \frac(32\pi)(105)\,a^3.

ምሳሌ 7.በ x-ዘንግ እና በሳይክሎይድ የመጀመሪያ ቅስት የታሰረውን ከርቪላይን ትራፔዞይድ ordinate ዘንግ ዙሪያ በማሽከርከር የተገኘውን የሰውነት መጠን እናገኝ። \መጀመሪያ(cases) x=a(t-\sin(t))፣\\ y=a(1-\cos(t))።\መጨረሻ(ጉዳይ).

መፍትሄ።ቀመር (4) እንጠቀም፡- V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, እና ተለዋዋጭውን ከ 0 ወደ 2\pi ሲቀይር የሳይክሎይድ የመጀመሪያ ቅስት መፈጠሩን ከግምት ውስጥ በማስገባት ተለዋዋጭውን በዋና ምልክት ስር ይተኩ. ስለዚህም

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\ sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos t))\,dt=2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\ sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\ sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \ግራ.(2\pi a^3\!\ግራ(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\ sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\ቀኝ))\ቀኝ|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\ግራ(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3))-1+2- \frac(1)(8)) - \frac(1)(3)\ቀኝ)= 6\pi^3a^3። \መጨረሻ(የተሰለፈ)

የአብዮት አካላትን ብዛት ለማግኘት ውህደቶችን በመጠቀም

የሒሳብ ተግባራዊ ጠቀሜታ ያለ ምክንያት ነው

የተወሰነ የሂሳብ እውቀት የመሳሪያውን መርሆዎች እና የዘመናዊ ቴክኖሎጂ አጠቃቀምን ለመረዳት አስቸጋሪ ያደርገዋል. በህይወቱ ውስጥ ያለ እያንዳንዱ ሰው በጣም ውስብስብ ስሌቶችን ማከናወን, በተለምዶ ጥቅም ላይ የሚውሉ መሳሪያዎችን መጠቀም, በማጣቀሻ መጽሃፍቶች ውስጥ አስፈላጊ የሆኑትን ቀመሮች ማግኘት እና ችግሮችን ለመፍታት ቀላል ስልተ ቀመሮችን መፍጠር አለበት. በዘመናዊው ህብረተሰብ ውስጥ, ከፍተኛ የትምህርት ደረጃ የሚያስፈልጋቸው ስፔሻሊስቶች ከሂሳብ ቀጥተኛ አተገባበር ጋር የተያያዙ ናቸው. ስለዚህ፣ ሂሳብ ለአንድ ተማሪ ሙያዊ ጉልህ የሆነ ትምህርት ይሆናል። በአልጎሪዝም አስተሳሰብ ምስረታ ውስጥ የመሪነት ሚናው የሂሳብ ነው ፣ እሱ በተሰጠው ስልተ-ቀመር መሠረት ለመስራት እና አዳዲስ ስልተ ቀመሮችን የመገንባት ችሎታን ያዳብራል።

የአብዮት አካላትን ብዛት ለማስላት ውህደቱን የመጠቀምን ርዕስ እያጠናሁ፣ በምርጫ ክፍል ውስጥ ያሉ ተማሪዎች “የመዋሃድ አካላትን በመጠቀም የአብዮት አካላት ጥራዞች” የሚለውን ርዕስ እንዲያጤኑ እመክራለሁ። ከዚህ በታች ይህንን ርዕስ ከግምት ውስጥ ለማስገባት ዘዴያዊ ምክሮች አሉ-

1. የአንድ ጠፍጣፋ ምስል አካባቢ.

ከአልጀብራ ኮርስ እንደምንረዳው የተግባር ተፈጥሮ ችግሮች ወደ አንድ የተወሰነ ውህደት ጽንሰ-ሀሳብ እንዳመሩ እናውቃለን።gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width = "127" ቁመት = "25 src = ">.

በተሰበረ መስመር y=f(x) ፣በኦክስ ዘንግ ፣በቀጥታ መስመሮች x=a እና x=b የታሰረውን ከርቪላይን ትራፔዞይድ በኦክስ ዘንግ ዙሪያ በማዞር የተሰራውን የማዞሪያ አካል መጠን ለማግኘት እናሰላለን። ቀመሩን በመጠቀም

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.ሲሊንደር መጠን.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">ሾጣጣው የሚገኘው የቀኝ ትሪያንግል ኤቢሲ (C = 90) በኦክስ ዘንግ ዙሪያ በማሽከርከር ነው።

ክፍል AB ቀጥታ መስመር y=kx+c ላይ ይገኛል፣ እዚህ https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src="> ላይ ነው።

Let a=0፣ b=H (H የኮንሱ ቁመት ነው)፣ ከዚያ Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">

የተቆረጠ ሾጣጣ 5.Volume.

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትራፔዞይድ ABCD (ሲዲኦክስ) በኦክስ ዘንግ ዙሪያ በማዞር የተቆረጠ ሾጣጣ ማግኘት ይቻላል.

AB ክፍል በቀጥታ መስመር y=kx+c ላይ ይተኛል፣ የት , c=r.

ቀጥተኛ መስመር በ A (0;r) በኩል ስለሚያልፍ.

ስለዚህም ቀጥታ መስመር https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> ይመስላል

Let a=0፣ b=H (H የተቆረጠ ሾጣጣ ቁመት ነው)፣ ከዚያ https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" ="> = .

6. የኳሱ መጠን.

ኳሱ በኦክስ ዘንግ ዙሪያ መሃል (0;0) ያለው ክበብ በማሽከርከር ማግኘት ይቻላል ። ከኦክስ ዘንግ በላይ የሚገኘው ግማሽ ክብ በቀመር ተሰጥቷል።

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width = "13" ቁመት = "16 src = "> x R.