የማትሪክስ ክሬመር ቲዎሪ. የክሬመር አገዛዝ

ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ የማትሪክስ ዋና መወሰኛ ጋር የማይታወቁ እኩልታዎች ቁጥር, የስርአቱ ቅንጅቶች (ለእንደዚህ አይነት እኩልታዎች መፍትሄ አለ እና አንድ ብቻ ነው).

የክሬመር ቲዎሪ.

የአንድ ካሬ ስርዓት ማትሪክስ ወሳኙ ዜሮ ካልሆነ ስርዓቱ ተኳሃኝ ነው እና አንድ መፍትሄ አለው እና ሊገኝ የሚችለው በ የክሬመር ቀመሮች:

የት Δ የስርዓት ማትሪክስ መወሰኛ,

Δ እኔ- የስርዓቱን ማትሪክስ የሚወስን ፣ በእሱ ምትክ እኔኛ አምድ የቀኝ ክፍሎች አምድ ነው።

የስርአቱ ወሳኙ ዜሮ ሲሆን ስርዓቱ ወጥነት ያለው ወይም ወጥነት የሌለው ሊሆን ይችላል።

ይህ ዘዴ በአብዛኛው ጥቅም ላይ የሚውለው ለትንሽ ስርዓቶች በድምጽ ስሌት እና በማይታወቁት 1 ላይ ለመወሰን አስፈላጊ ከሆነ ነው. የስልቱ ውስብስብነት ብዙ መወሰኛዎችን ማስላት አስፈላጊ ነው.

የክሬመር ዘዴ መግለጫ.

የእኩልታዎች ስርዓት አለ፡-

የ 3 እኩልታዎች ስርዓት በ Cramer ዘዴ ሊፈታ ይችላል, እሱም ለ 2 እኩልታዎች ስርዓት ከላይ ተብራርቷል.

ወሳኙን ከማያውቋቸው ጥምርታዎች እንጽፋለን፡-

ይሆናል የስርዓት ብቃት. መቼ D≠0, ስለዚህ ስርዓቱ ተስማሚ ነው. አሁን 3 ተጨማሪ መለኪያዎችን እናዘጋጃለን-

,,

ስርዓቱን የምንፈታው በ የክሬመር ቀመሮች:

የእኩልታዎችን ስርዓቶች በክሬመር ዘዴ የመፍታት ምሳሌዎች።

ምሳሌ 1.

የተሰጠው ስርዓት;

በክሬመር ዘዴ እንፍታው.

በመጀመሪያ የስርዓቱን ማትሪክስ ወሳኙን ማስላት ያስፈልግዎታል-

ምክንያቱም Δ≠0፣ ስለዚህ ከCramer's theorem ስርዓቱ ተኳሃኝ ነው እና አንድ መፍትሄ አለው። ተጨማሪ መወሰኛዎችን እናሰላለን. የሚወስነው Δ 1 የሚገኘው ከመጀመሪያው አምድ ነፃ በሆኑ ጥራዞች አምድ በመተካት ነው. እናገኛለን፡-

በተመሳሳይ ሁኔታ ፣ ሁለተኛውን አምድ በነፃ ቅንጅቶች አምድ በመተካት ከስርዓቱ ማትሪክስ መወሰኛ Δ 2ን እናገኛለን ።

ዘዴዎች ክሬመርእና ጋውሲያንበጣም ታዋቂ ከሆኑ መፍትሄዎች አንዱ SLAU. በተጨማሪም, በአንዳንድ ሁኔታዎች የተወሰኑ ዘዴዎችን መጠቀም ተገቢ ነው. ክፍለ-ጊዜው ቅርብ ነው፣ እና እነሱን ከባዶ ለመድገም ወይም ለመቆጣጠር ጊዜው አሁን ነው። ዛሬ መፍትሄውን በ Cramer ዘዴ እንሰራለን. ደግሞም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት በክሬመር ዘዴ መፍታት በጣም ጠቃሚ ችሎታ ነው።

የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶች

የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የቅጹ እኩልታዎች ስርዓት ነው፡-

የእሴት ስብስብ x የስርአቱ እኩልታዎች ወደ ማንነት የሚቀየሩበት የስርዓቱ መፍትሄ ይባላል። ሀ እና ለ እውነተኛ ቅንጅቶች ናቸው. ሁለት እኩልታዎችን ያቀፈ ቀላል ስርዓት ከሁለት የማይታወቁ ነገሮች ጋር በአዕምሯዊ ወይም አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንጻር በመግለጽ ሊፈታ ይችላል. ነገር ግን በ SLAE ውስጥ ከሁለት በላይ ተለዋዋጮች (x) ሊኖሩ ይችላሉ፣ እና ቀላል የትምህርት ቤት ማሻሻያዎች እዚህ አስፈላጊ ናቸው። ምን ለማድረግ? ለምሳሌ፣ SLAE በCramer's ዘዴ ይፍቱ!

ስለዚህ ስርዓቱ ይሁን n ጋር እኩልታዎች n የማይታወቅ.

እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት በማትሪክስ መልክ እንደገና ሊጻፍ ይችላል

እዚህ ሀ የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ነው ፣ X እና ለ , በቅደም, የማይታወቁ ተለዋዋጮች እና ነጻ አባላት አምድ ማትሪክስ.

የ SLAE መፍትሄ በ Cramer ዘዴ

የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ (ማትሪክስ ነጠላ ያልሆነ) ከሆነ ስርዓቱ የ Cramer ዘዴን በመጠቀም ሊፈታ ይችላል።

በ Cramer ዘዴ መሰረት, መፍትሄው በቀመርዎቹ ይገኛል-

እዚህ ዴልታ ዋናው ማትሪክስ የሚወስነው ነው, እና ዴልታ x n-th - የ n-th አምድ በነፃ ቃላት አምድ በመተካት ከዋናው ማትሪክስ መወሰኛ የተገኘው መወሰኛ።

ይህ የክሬመር ዘዴ አጠቃላይ ነጥብ ነው። ከላይ ባሉት ቀመሮች የተገኙትን እሴቶች በመተካት x ወደ ተፈለገው ስርዓት, የውሳኔያችን ትክክለኛነት (ወይም በተቃራኒው) እርግጠኞች ነን. ነገሩን በፍጥነት እንዲረዱ ለማገዝ፣ በክሬመር ዘዴ ስለ SLAE ዝርዝር መፍትሄ ምሳሌ ከዚህ በታች እንሰጣለን።

ምንም እንኳን ለመጀመሪያ ጊዜ ካልተሳካዎት, ተስፋ አይቁረጡ! በትንሽ ልምምድ፣ ቀስ በቀስ እንደ ለውዝ ብቅ ማለት ትጀምራለህ። በተጨማሪም ፣ አሁን በማስታወሻ ደብተር ላይ መቧጠጥ ፣ አስቸጋሪ ስሌቶችን መፍታት እና በበትሩ ላይ መጻፍ በጭራሽ አስፈላጊ አይደለም። በ Cramer ዘዴ በመስመር ላይ SLAE ን መፍታት ቀላል ነው, ልክ በተጠናቀቀው ቅፅ ውስጥ ያሉትን ጥንብሮች በመተካት. የ Cramer ዘዴን ለመፍታት የመስመር ላይ ካልኩሌተርን መሞከር ይችላሉ ፣ ለምሳሌ ፣ በዚህ ጣቢያ ላይ።

እና ስርዓቱ ግትር ከሆነ እና ተስፋ ካልቆረጠ ሁል ጊዜ ለእርዳታ ወደ ደራሲዎቻችን መዞር ይችላሉ ፣ ለምሳሌ ፣ ። በስርዓቱ ውስጥ ቢያንስ 100 የማይታወቁ ነገሮች ካሉ, በትክክል በትክክል እና በትክክል እንፈታዋለን!

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንደ ገለልተኛ ተለዋዋጮች ብዛት ብዙ እኩልታዎችን ይይዝ፣ ማለትም። መልክ አለው።

እንዲህ ያሉት የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ኳድራቲክ ይባላሉ. የስርአቱ ገለልተኛ ተለዋዋጮች (1.5) ጥምርታዎችን ያቀፈው ወሳኙ የስርዓቱ ዋና መወሰኛ ይባላል። መ በተባለው የግሪክ ፊደል እንጠቁመዋለን።

. (1.6)

በዋና ወሳኙ ውስጥ የዘፈቀደ ከሆነ ( ጄኛ) አምድ ፣ በስርዓቱ ነፃ አባላት አምድ (1.5) ይተኩ ፣ ከዚያ የበለጠ ማግኘት እንችላለን nረዳት መለኪያዎች;

(ጄ = 1, 2, …, n). (1.7)

የክሬመር አገዛዝየመስመራዊ እኩልታዎች ባለአራት ስርዓቶችን መፍታት እንደሚከተለው ነው። ዋናው የስርዓት ዲ (1.5) ዜሮ ካልሆነ፣ ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ አለው፣ እሱም በቀመርዎቹ ሊገኝ ይችላል፡-

(1.8)

ምሳሌ 1.5.የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ

.

የስርዓቱን ዋና መመዘኛ እናሰላለን-

ከD¹0 ጀምሮ፣ ስርዓቱ ቀመሮችን (1.8) በመጠቀም ሊገኝ የሚችል ልዩ መፍትሄ አለው።

ስለዚህም

ማትሪክስ ድርጊቶች

1. ማትሪክስ በቁጥር ማባዛት.ማትሪክስ በቁጥር የማባዛት አሠራር እንደሚከተለው ይገለጻል።

2. ማትሪክስ በቁጥር ለማባዛት, ሁሉንም ንጥረ ነገሮቹን በዚህ ቁጥር ማባዛት ያስፈልግዎታል. ያውና

. (1.9)

ምሳሌ 1.6. .

ማትሪክስ መጨመር.

ይህ ክዋኔ የተዋወቀው ለተመሳሳይ ቅደም ተከተል ማትሪክስ ብቻ ነው።

ሁለት ማትሪክቶችን ለመጨመር የሌላውን ማትሪክስ ተጓዳኝ አካላት ወደ አንድ ማትሪክስ አካላት ማከል አስፈላጊ ነው-

(1.10)
የማትሪክስ የመደመር አሠራር የአስተሳሰብ እና የመለዋወጥ ባህሪያት አሉት.

ምሳሌ 1.7. .

ማትሪክስ ማባዛት።

የማትሪክስ አምዶች ብዛት ከሆነ ሀከማትሪክስ ረድፎች ብዛት ጋር ይዛመዳል ውስጥ, ከዚያ ለእንደዚህ አይነት ማትሪክስ የማባዛት አሠራር ገብቷል:

2

ስለዚህ, ማትሪክስ ሲባዛ ሀልኬቶች ኤም´ nወደ ማትሪክስ ውስጥልኬቶች n´ ክማትሪክስ እናገኛለን ጋርልኬቶች ኤም´ ክ. በዚህ ሁኔታ, የማትሪክስ አካላት ጋርበሚከተሉት ቀመሮች መሰረት ይሰላሉ.

ችግር 1.8.ከተቻለ የማትሪክስ ምርትን ያግኙ ABእና ቢ.ኤ:

መፍትሄ። 1) ሥራ ለማግኘት AB, ማትሪክስ ረድፎች ያስፈልግዎታል ሀበማትሪክስ አምዶች ማባዛት። ለ:

2) የስነ ጥበብ ስራ ቢ.ኤየለም, ምክንያቱም የማትሪክስ ዓምዶች ብዛት ለከማትሪክስ ረድፎች ብዛት ጋር አይዛመድም። ሀ.

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ. የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን በማትሪክስ መንገድ መፍታት

ማትሪክስ ሀ - 1 የካሬ ማትሪክስ ተገላቢጦሽ ይባላል ሀእኩልነት ከያዘ፡-

የት በኩል አይእንደ ማትሪክስ ተመሳሳይ ቅደም ተከተል የማንነት ማትሪክስ ያመለክታል ሀ:

.

ስኩዌር ማትሪክስ ተገላቢጦሽ እንዲኖረው፣ የሚወስነው ዜሮ መሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው። የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በቀመር ይገኛል፡-

, (1.13)

የት አ ij- አልጀብራ ወደ ንጥረ ነገሮች መጨመር አኢጅማትሪክስ ሀ(አልጀብራ በማትሪክስ ረድፎች ላይ መጨመሩን ልብ ይበሉ ሀበተገላቢጦሽ ማትሪክስ ውስጥ በተመጣጣኝ አምዶች መልክ የተደረደሩ ናቸው).

ምሳሌ 1.9.የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ያግኙ ሀ - 1 ወደ ማትሪክስ

.

የተገላቢጦሹን ማትሪክስ በቀመር (1.13) እናገኛለን፣ ይህም ለጉዳዩ n= 3 ይመስላል

.

det አግኝ ሀ = | ሀ| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ የተለየ ስለሆነ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ አለ።

1) አልጀብራ ተጨማሪዎችን ያግኙ አ ij:

የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለመፈለግ ምቾት የአልጀብራ ተጨማሪዎችን በዋናው ማትሪክስ ረድፎች ላይ በተዛማጅ አምዶች ውስጥ እናስቀምጣለን።

ከተገኙት የአልጀብራ ተጨማሪዎች አዲስ ማትሪክስ አዘጋጅተናል እና በሚወስነው det እንካፈላለን ሀ. ስለዚህ ፣ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እናገኛለን

የመስመራዊ እኩልታዎች ባለአራት ስርዓቶች ከዜሮ ያልሆነ ዋና መወሰኛ ጋር የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በመጠቀም ሊፈቱ ይችላሉ። ለዚህም ስርዓት (1.5) በማትሪክስ መልክ ተጽፏል፡-

የት

ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች (1.14) በግራ በኩል በማባዛት ሀ - 1, የስርዓቱን መፍትሄ እናገኛለን:

፣ የት

ስለዚህ, ለካሬ ስርዓት መፍትሄ ለማግኘት, የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ወደ ዋናው የስርዓቱ ማትሪክስ ማግኘት እና በቀኝ በኩል በነፃ ቃላት አምድ ማትሪክስ ማባዛት ያስፈልግዎታል.

ችግር 1.10.የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በመጠቀም.

መፍትሄ።ስርዓቱን በማትሪክስ መልክ እንጽፋለን:,

የት የስርአቱ ዋና ማትሪክስ ነው፣ የማይታወቁ ዓምድ ነው፣ እና የነጻ አባላት አምድ ነው። ከስርአቱ ዋና መወሰኛ ጀምሮ , ከዚያም የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ሀየተገላቢጦሽ ማትሪክስ አለው። ሀ-1. የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ለማግኘት ሀ-1, የአልጀብራ ማሟያዎችን በሁሉም የማትሪክስ አካላት ያሰሉ ሀ:

ከተገኙት ቁጥሮች ማትሪክስ እንፈጥራለን (በተጨማሪም ፣ በማትሪክስ ረድፎች ላይ የአልጀብራ ጭማሪዎች) ሀበተገቢው አምዶች ውስጥ ይፃፉ) እና በወሳኙ መ ይከፋፍሉት ። ስለዚህ ፣ የተገላቢጦሹን ማትሪክስ አግኝተናል-

የስርዓቱን መፍትሄ በቀመር (1.15) እናገኛለን።

ስለዚህም

በተለመደው የዮርዳኖስ ልዩ ሁኔታዎች የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት

የዘፈቀደ (የግድ ካሬ አይደለም) የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ይስጥ፡

(1.16)

ለስርዓቱ መፍትሄ መፈለግ ያስፈልጋል, ማለትም. ሁሉንም የስርዓቱን እኩልነት የሚያረካ እንዲህ አይነት ተለዋዋጭ ስብስብ (1.16). በአጠቃላይ ሁኔታ ስርዓት (1.16) አንድ መፍትሄ ብቻ ሳይሆን ገደብ የለሽ መፍትሄዎች ሊኖረው ይችላል. እንዲሁም ምንም መፍትሄዎች ላይኖረው ይችላል.

እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች በሚፈታበት ጊዜ, ከትምህርት ቤት ኮርስ ውስጥ በደንብ የሚታወቀው የማይታወቁትን የማስወገድ ዘዴ ጥቅም ላይ ይውላል, እሱም ተራ የዮርዳኖስ ማስወገጃ ዘዴ ተብሎም ይጠራል. የዚህ ዘዴ ዋናው ነገር በስርአት እኩልታዎች (1.16) ውስጥ አንዱ ተለዋዋጮች ከሌሎች ተለዋዋጮች አንጻር ሲገለጹ ነው. ከዚያም ይህ ተለዋዋጭ ወደ ሌሎች የስርዓቱ እኩልታዎች ይተካል. ውጤቱም ከመጀመሪያው ስርዓት አንድ እኩልታ እና አንድ ያነሰ ተለዋዋጭ የያዘ ስርዓት ነው. ተለዋዋጭው የተገለጸበት እኩልታ ይታወሳል.

ይህ ሂደት አንድ የመጨረሻ እኩልታ በስርዓቱ ውስጥ እስኪቀር ድረስ ይደገማል። የማይታወቁ ነገሮችን በማስወገድ ሂደት ውስጥ፣ አንዳንድ እኩልታዎች ለምሳሌ ወደ እውነተኛ ማንነት ሊለወጡ ይችላሉ። እንደነዚህ ያሉት እኩልታዎች ከሲስተሙ የተገለሉ ናቸው ፣ ምክንያቱም እነሱ ለማንኛውም የተለዋዋጮች እሴቶች ትክክለኛ ስለሆኑ ፣ ስለሆነም የስርዓቱን መፍትሄ አይጎዱም። የማይታወቁ ነገሮችን በማስወገድ ሂደት ውስጥ ቢያንስ አንድ እኩልታ ለማንኛውም የተለዋዋጮች እሴቶች ሊረካ የማይችል እኩልነት ከሆነ (ለምሳሌ ፣) ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም ብለን እንጨርሳለን።

ወጥነት የሌላቸውን እኩልታዎች በመፍታት ሂደት ውስጥ ካልተነሱ በውስጡ ከቀሩት ተለዋዋጮች ውስጥ አንዱ ከመጨረሻው እኩልታ ተገኝቷል። በመጨረሻው እኩልዮሽ ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ብቻ ከቀረ, ከዚያም እንደ ቁጥር ይገለጻል. ሌሎች ተለዋዋጮች በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ ከቀሩ፣ እንደ ግቤቶች ይቆጠራሉ፣ እና በእነሱ በኩል የሚገለፀው ተለዋዋጭ የእነዚህ መለኪያዎች ተግባር ይሆናል። ከዚያም "የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ" ተብሎ የሚጠራው ይከናወናል. የተገኘው ተለዋዋጭ በመጨረሻው የመታሰቢያ እኩልታ ውስጥ ተተክቷል እና ሁለተኛው ተለዋዋጭ ተገኝቷል። ከዚያም የተገኙት ሁለቱ ተለዋዋጮች በፔንልቲሜትሚው የማስታወስ ቀመር ውስጥ ይተካሉ እና ሶስተኛው ተለዋዋጭ ተገኝቷል, እና ሌሎችም, እስከ መጀመሪያው የመታሰቢያ እኩልታ.

በውጤቱም, የስርዓቱን መፍትሄ እናገኛለን. የተገኙት ተለዋዋጮች ቁጥሮች ከሆኑ ይህ መፍትሔ ብቸኛው ይሆናል. የመጀመሪያው የተገኘ ተለዋዋጭ ከሆነ እና ከዚያ ሁሉም በመለኪያዎች ላይ የሚመረኮዙ ከሆነ ስርዓቱ ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ብዛት ይኖረዋል (እያንዳንዱ የመለኪያዎች ስብስብ ከአዲስ መፍትሄ ጋር ይዛመዳል)። በተወሰኑ የመለኪያዎች ስብስብ ላይ በመመስረት ለስርዓቱ መፍትሄ ለማግኘት የሚያስችሉ ቀመሮች የስርዓቱ አጠቃላይ መፍትሄ ይባላሉ.

ምሳሌ 1.11.

x

የመጀመሪያውን እኩልታ ካስታወሱ በኋላ እና በሁለተኛው እና በሦስተኛው እኩልታዎች ውስጥ ተመሳሳይ ቃላትን በማምጣት ወደ ስርዓቱ ደርሰናል-

ይግለጹ yከሁለተኛው እኩልታ እና ወደ መጀመሪያው እኩልነት ይቀይሩት-

ሁለተኛውን እኩልታ አስታውስ, እና ከመጀመሪያው እናገኛለን ዝ:

የተገላቢጦሹን እንቅስቃሴ በማድረግ, በተከታታይ እናገኛለን yእና ዝ. ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ ወደ መጨረሻው የማስታወስ እኩልታ እንተካለን, ከእሱም እናገኛለን y:

.

ከዚያም በመተካት ወደ መጀመሪያው የመታሰቢያ እኩልታ ከምንገኝበት x:

ችግር 1.12.ያልታወቁትን በማስወገድ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ፡-

. (1.17)

መፍትሄ።ተለዋዋጭውን ከመጀመሪያው እኩል እንግለጽ xእና በሁለተኛው እና በሦስተኛው እኩልታዎች ይተኩ፡

.

የመጀመሪያውን እኩልታ አስታውስ

በዚህ ስርዓት, የመጀመሪያው እና ሁለተኛ እኩልታዎች እርስ በእርሳቸው ይቃረናሉ. በእርግጥ, መግለጽ y እኛ ያንን 14 = 17 እናገኛለን. ይህ እኩልነት አልረካም, ለማንኛውም የተለዋዋጮች እሴቶች x, y, እና ዝ. በዚህ ምክንያት ስርዓት (1.17) ወጥነት የለውም፣ ማለትም፣ መፍትሄ የለውም።

አንባቢዎች የዋናው ስርዓት ዋና መመዘኛ (1.17) ከዜሮ ጋር እኩል መሆኑን በግል እንዲያረጋግጡ ተጋብዘዋል።

ከስርአት (1.17) የሚለየው በአንድ ነፃ ቃል ብቻ ያለውን ስርዓት አስቡበት።

ችግር 1.13.ያልታወቁትን በማስወገድ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ፡-

. (1.18)

መፍትሄ።ልክ እንደበፊቱ, ተለዋዋጭውን ከመጀመሪያው እኩል እንገልፃለን xእና በሁለተኛው እና በሦስተኛው እኩልታዎች ይተኩ፡

.

የመጀመሪያውን እኩልታ አስታውስ እና በሁለተኛው እና በሦስተኛው እኩልታዎች ውስጥ ተመሳሳይ ቃላትን እናቀርባለን. ወደ ስርዓቱ ደርሰናል-

መግለጽ yከመጀመሪያው እኩልታ እና ወደ ሁለተኛው እኩልነት በመተካት , መታወቂያ 14 = 14 እናገኛለን, ይህም የስርዓቱን መፍትሄ አይጎዳውም, ስለዚህም, ከስርዓቱ ሊገለል ይችላል.

በመጨረሻው በተዘከረው እኩልነት, ተለዋዋጭ ዝእንደ መለኪያ ይቆጠራል. እናምናለን . ከዚያም

ምትክ yእና ዝወደ መጀመሪያው የማስታወስ እኩልነት እና ያግኙ x:

.

ስለዚህ ስርዓት (1.18) ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ስብስብ አለው, እና ማንኛውም መፍትሄ በቀመር (1.19) የመለኪያውን የዘፈቀደ እሴት በመምረጥ ሊገኝ ይችላል. ቲ:

(1.19)
ስለዚህ, የስርዓቱ መፍትሄዎች, ለምሳሌ, የሚከተሉት የተለዋዋጭ ስብስቦች ናቸው (1; 2; 0), (2; 26; 14), ወዘተ. ቀመሮች (1.19) የስርዓቱን አጠቃላይ (ማንኛውም) መፍትሄ ይገልፃሉ (1.18). ).

የመጀመሪያው ስርዓት (1.16) በቂ ብዛት ያላቸው እኩልታዎች እና የማይታወቁ ሲሆኑ፣ የተጠቆመው ተራ የዮርዳኖስ ማስወገጃ ዘዴ አስቸጋሪ ይመስላል። ሆኖም ግን አይደለም. በአጠቃላይ ቅፅ ውስጥ በአንድ ደረጃ የስርዓቱን ውህዶች እንደገና ለማስላት ስልተ ቀመር ማውጣት እና የችግሩን መፍትሄ በልዩ የጆርዳን ሰንጠረዦች መልክ ማዘጋጀት በቂ ነው.

የመስመራዊ ቅርጾች (እኩልታዎች) ስርዓት ይስጥ፡

, (1.20)
የት xj- ገለልተኛ (የተፈለጉ) ተለዋዋጮች; አኢጅ- ቋሚ ቅንጅቶች
(እኔ = 1, 2,…, ኤም; ጄ = 1, 2,…, n). የስርዓቱ ትክክለኛ ክፍሎች y i (እኔ = 1, 2,…, ኤም) ሁለቱም ተለዋዋጮች (ጥገኛ) እና ቋሚዎች ሊሆኑ ይችላሉ. የማይታወቁ ነገሮችን በማስወገድ ለዚህ ሥርዓት መፍትሄ መፈለግ ያስፈልጋል።

በሚከተለው ውስጥ “የተለመደ የዮርዳኖስ ልዩ ሁኔታዎች አንድ እርምጃ” ተብሎ የሚጠራውን የሚከተለውን ክዋኔ እንመልከት። ከዘፈቀደ ( አርኛ) እኩልነት፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንገልፃለን ( x s) እና ወደ ሌሎች ሁሉም እኩልነት ይተኩ. በእርግጥ ይህ የሚቻል ከሆነ ብቻ ነው አንድ rs¹ 0. Coefficient አንድ rsመፍታት (አንዳንድ ጊዜ መሪ ወይም ዋና) አካል ይባላል።

የሚከተለውን ስርዓት እናገኛለን:

. (1.21)

ከ ኤስየስርዓት እኩልነት (1.21) ፣ ከዚያ በኋላ ተለዋዋጭውን እናገኛለን x s(ሌሎች ተለዋዋጮች ከተገኙ በኋላ). ኤስኛው መስመር ይታወሳል እና በመቀጠል ከስርአቱ የተገለለ ነው። የተቀረው ስርዓት ከዋናው ስርዓት አንድ እኩልታ እና አንድ ያነሰ ገለልተኛ ተለዋዋጭ ይይዛል።

የውጤቱን ስርዓት (1.21) ከዋነኛው ስርዓት (1.20) መለኪያዎች አንፃር እናሰላለን. በዚ እንጀምር አርተለዋዋጭውን ከገለጸ በኋላ, እኩልታ x sበቀሪዎቹ ተለዋዋጮች ይህንን ይመስላል

ስለዚህ, አዲሶቹ ኮፊፊሴቲቭ አርቀመር በሚከተሉት ቀመሮች ይሰላል፡

(1.23)
አሁን አዲሱን ኮፊፊሸን እናሰላለን b ij(እኔ¹ አር) የዘፈቀደ እኩልነት። ይህንን ለማድረግ በ (1.22) ውስጥ የተገለጸውን ተለዋዋጭ እንተካለን። x sቪ እኔየስርዓት እኩልታ (1.20)

ተመሳሳይ ውሎችን ካመጣን በኋላ እናገኛለን፡-

(1.24)
ከእኩልነት (1.24) ቀሪዎቹ የስርዓት (1.21) መለኪያዎች የሚሰሉበትን ቀመሮችን እናገኛለን (ከዚህ በስተቀር) አርእኩልታ፡-

(1.25)
በተለመደው የዮርዳኖስ ማስወገጃ ዘዴ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ለውጥ በጠረጴዛዎች (ማትሪክስ) መልክ ቀርቧል. እነዚህ ጠረጴዛዎች "የጆርዳን ጠረጴዛዎች" ይባላሉ.

ስለዚህ፣ ችግር (1.20) ከሚከተለው የዮርዳኖስ ሠንጠረዥ ጋር የተያያዘ ነው።

ሠንጠረዥ 1.1

የዮርዳኖስ ሠንጠረዥ 1.1 የግራ ራስ አምድ ይይዛል, በውስጡም የስርዓቱ ትክክለኛ ክፍሎች (1.20) የተፃፉበት እና የላይኛው የጭንቅላት መስመር, ገለልተኛ ተለዋዋጮች የተፃፉበት.

የተቀሩት የሠንጠረዡ አካላት ዋናውን የስርዓት ቅንጅቶች (1.20) ይመሰርታሉ. ማትሪክስ ብናባዛው ሀወደ ማትሪክስ የላይኛው ራስጌ ረድፍ ንጥረ ነገሮችን ያቀፈ ፣ ከዚያ የግራ አርዕስት ዓምድ አካላትን ያካተተ ማትሪክስ እናገኛለን። ማለትም፣ በመሰረቱ፣ የዮርዳኖስ ጠረጴዛ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን የመፃፍ ማትሪክስ ነው። በዚህ ሁኔታ፣ የሚከተለው የዮርዳኖስ ሰንጠረዥ ከስርዓት (1.21) ጋር ይዛመዳል፡

ሠንጠረዥ 1.2

የሚፈቀድ አካል አንድ rs በድፍረት እናደምቃለን። የዮርዳኖስ ልዩ ሁኔታዎችን አንድ ደረጃ ለመተግበር፣ የሚፈታው አካል ዜሮ መሆን እንዳለበት ያስታውሱ። ፈቃጅ አካልን የያዘ የጠረጴዛ ረድፍ ፈቃጅ ረድፍ ይባላል። የነቃ ኤለመንት ያለው አምድ የነቃ አምድ ይባላል። ከተጠቀሰው ሰንጠረዥ ወደ ቀጣዩ ሰንጠረዥ ሲንቀሳቀሱ አንድ ተለዋዋጭ ( x s) ከሠንጠረዡ የላይኛው ራስጌ ረድፍ ወደ ግራ ራስጌ አምድ ይንቀሳቀሳል እና በተቃራኒው ከስርአቱ ነፃ አባላት አንዱ ( y አር) ከሠንጠረዡ ግራ ራስጌ አምድ ወደ ላይኛው ራስጌ ረድፍ ተወስዷል።

ከዮርዳኖስ ሠንጠረዥ (1.1) ወደ ጠረጴዛ (1.2) በማለፍ ላይ ያሉትን ቀመሮች እንደገና ለማስላት ስልተ-ቀመርን እንግለጽ፣ እሱም ከቀመሮች (1.23) እና (1.25) ይከተላል።

1. የሚያስችለው አካል በተገላቢጦሽ ቁጥር ተተክቷል፡-

2. የተቀሩት የፈቃድ መስመር አካላት በሚፈቀደው አካል ተከፋፍለዋል እና ምልክቱን ወደ ተቃራኒው ይቀይሩ።

3. የቀሩት የአምዱ ክፍሎች ወደሚነቃው አካል ተከፍለዋል፡

4. በመፍትሔው ረድፍ እና በመፍታት አምድ ውስጥ ያልተካተቱ ንጥረ ነገሮች በቀመርዎቹ መሠረት ይሰላሉ፡-

ክፍልፋዩን የሚያካትቱትን ንጥረ ነገሮች ካስተዋሉ የመጨረሻው ቀመር ለማስታወስ ቀላል ነው ፣ መገናኛው ላይ ናቸው። እኔ- ኦ እና አር- ኛ መስመሮች እና ጄኛ እና ኤስ- ኛ አምዶች (ረድፎችን መፍታት ፣ መፍታት አምድ እና ረድፉ እና አምድ እንደገና የሚሰላበት ንጥረ ነገር የሚገኝበት መስቀለኛ መንገድ)። ይበልጥ በትክክል, ቀመሩን በማስታወስ ጊዜ የሚከተለውን ሰንጠረዥ መጠቀም ይችላሉ:

የዮርዳኖስ ልዩ ሁኔታዎችን የመጀመሪያ ደረጃ ማከናወን፣ ማንኛውም የሠንጠረዥ 1.3 አካል በአምዶች ውስጥ ይገኛል። x 1 ,…, x 5 (ሁሉም የተገለጹ ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም). በመጨረሻው አምድ ውስጥ የሚሠራውን አካል ብቻ መምረጥ የለብዎትም ፣ ምክንያቱም ገለልተኛ ተለዋዋጮችን መፈለግ አለበት። x 1 ,…, x 5 . ለምሳሌ, Coefficient የሚለውን እንመርጣለን 1 ከተለዋዋጭ ጋር x 3 በሶስተኛው ረድፍ በሰንጠረዥ 1.3 (የሚነቃው አካል በደማቅነት ይታያል). ወደ ጠረጴዛ 1.4 ሲንቀሳቀስ, ተለዋዋጭ xከላይኛው የራስጌ ረድፍ 3 ከግራ ራስጌ አምድ (ሦስተኛው ረድፍ) ቋሚ 0 ጋር ተቀይሯል። በተመሳሳይ ጊዜ, ተለዋዋጭ x 3 በቀሪዎቹ ተለዋዋጮች ይገለጻል።

ሕብረቁምፊ x 3 (ሠንጠረዥ 1.4) ቀደም ሲል በማስታወስ ከሠንጠረዥ 1.4 ሊገለሉ ይችላሉ. ከሠንጠረዥ 1.4፣ በላይኛው ራስጌ መስመር ዜሮ ያለው ሶስተኛው አምድ እንዲሁ አይካተትም። ነጥቡ የዚህ አምድ ቅንጅቶች ምንም ቢሆኑም b iከእያንዳንዱ እኩልታ 0 ጋር የሚዛመዱ 3 ሁሉም ቃላት b i 3 ስርዓቶች ዜሮ ይሆናሉ. ስለዚህ, እነዚህ ጥምርታዎች ሊሰሉ አይችሉም. አንድ ተለዋዋጭ ማስወገድ x 3 እና አንዱን እኩልታ በማስታወስ ከሠንጠረዥ 1.4 ጋር የሚዛመድ ስርዓት ላይ ደርሰናል (መስመሩን በማለፍ x 3) በሰንጠረዥ 1.4 ውስጥ እንደ መፍትሄ አካል መምረጥ ለ 14 = -5, ወደ ጠረጴዛ 1.5 ይሂዱ. በሠንጠረዥ 1.5 ውስጥ የመጀመሪያውን ረድፍ እናስታውሳለን እና ከአራተኛው አምድ (ከላይ ዜሮ ጋር) ከጠረጴዛው ውስጥ እናስወግደዋለን.

ሠንጠረዥ 1.5 ሠንጠረዥ 1.6

ከመጨረሻው ሰንጠረዥ 1.7 እናገኛለን: x 1 = - 3 + 2x 5 .

በቅደም ተከተል የተገኙትን ተለዋዋጮች በማስታወስ መስመሮች ውስጥ በመተካት የተቀሩትን ተለዋዋጮች እናገኛለን፡-

ስለዚህ, ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት. ተለዋዋጭ x 5, የዘፈቀደ ዋጋዎችን መመደብ ይችላሉ. ይህ ተለዋዋጭ እንደ መለኪያ ይሠራል x 5 = ቲ. የስርዓቱን ተኳሃኝነት አረጋግጠናል እና አጠቃላይ መፍትሄውን አገኘን-

x 1 = - 3 + 2ቲ

x 2 = - 1 - 3ቲ

x 3 = - 2 + 4ቲ . (1.27)
x 4 = 4 + 5ቲ

x 5 = ቲ

መለኪያ መስጠት ቲየተለያዩ እሴቶች, ለዋናው ስርዓት ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎችን እናገኛለን. ስለዚህ, ለምሳሌ, የስርዓቱ መፍትሄ የሚከተለው ተለዋዋጭ ስብስብ ነው (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

ይህንን አንቀፅ በደንብ ለመቆጣጠር ብቃቶቹን "ሁለት በሁለት" እና "ሶስት በሦስት" መክፈት መቻል አለቦት። ብቃቶች መጥፎ ከሆኑ እባክዎን ትምህርቱን አጥኑ ወሳኙን እንዴት ማስላት ይቻላል?

በመጀመሪያ የክሬመርን ደንብ በሁለት የማይታወቁ ሁለት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት በዝርዝር እንመለከታለን። ለምንድነው? “ከሁሉም በላይ፣ በጣም ቀላሉ ሥርዓት በትምህርት ቤት ዘዴ፣ በጊዜ-ጊዜ መደመር ሊፈታ ይችላል!

እውነታው ግን አንዳንድ ጊዜ እንኳን, ነገር ግን እንደዚህ አይነት ተግባር አለ - የክሬመር ቀመሮችን በመጠቀም የሁለት መስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ከሁለት የማይታወቁ ጋር ለመፍታት. በሁለተኛ ደረጃ, ቀለል ያለ ምሳሌ Cramer's አገዛዝን ለተጨማሪ ውስብስብ ጉዳይ እንዴት እንደሚጠቀሙ ለመረዳት ይረዳዎታል - የሶስት እኩልታዎች ከሶስት የማይታወቁ ጋር.

በተጨማሪም, ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች አሉ, ይህም በ Cramer ደንብ መሰረት በትክክል መፍታት ተገቢ ነው!

የእኩልታዎችን ስርዓት ግምት ውስጥ ያስገቡ

በመጀመሪያው ደረጃ, ወሳኙን እናሰላለን, ይባላል የስርዓቱ ዋና መወሰኛ.

Gauss ዘዴ.

ከሆነ, ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው, እና ሥሮቹን ለማግኘት, ሁለት ተጨማሪ መወሰኛዎችን ማስላት አለብን.
እና

በተግባር፣ ከላይ ያሉት ብቃቶች በላቲን ፊደልም ሊገለጹ ይችላሉ።

የእኩልታው ሥሮች በቀመርዎቹ ይገኛሉ፡-
,

ምሳሌ 7

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

መፍትሄ: የእኩልታ ውህዶች በጣም ትልቅ መሆናቸውን እናያለን፣ በቀኝ በኩል ኮማ ያላቸው የአስርዮሽ ክፍልፋዮች አሉ። ኮማ በሂሳብ ውስጥ በተግባራዊ ተግባራት ውስጥ በጣም ያልተለመደ እንግዳ ነው ፣ ይህንን ስርዓት ከኢኮኖሚያዊ ችግር ወሰድኩት።

እንዲህ ዓይነቱን ሥርዓት እንዴት መፍታት ይቻላል? አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንጻር ለመግለጽ መሞከር ይችላሉ, ነገር ግን በዚህ ሁኔታ ውስጥ በጣም አስፈሪ የሆኑ ክፍልፋዮችን ያገኛሉ, ከእሱ ጋር ለመስራት በጣም የማይመቹ, እና የመፍትሄው ንድፍ በጣም አስከፊ ይመስላል. ሁለተኛውን እኩልታ በ 6 ማባዛት እና ቃልን በጊዜ መቀነስ ይችላሉ, ግን ተመሳሳይ ክፍልፋዮች እዚህ ይታያሉ.

ምን ለማድረግ? በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, የክሬመር ቀመሮች ወደ ማዳን ይመጣሉ.

;

;

መልስ: ,

ሁለቱም ሥሮች ማለቂያ የሌላቸው ጭራዎች አሏቸው እና በግምት ይገኛሉ ፣ ይህም ለኢኮኖሚክስ ችግሮች በጣም ተቀባይነት ያለው (እና አልፎ ተርፎም የተለመደ) ነው።

እዚህ አስተያየቶች አያስፈልጉም, ስራው በተዘጋጁ ቀመሮች መሰረት ስለሚፈታ, ግን አንድ ማስጠንቀቂያ አለ. ይህንን ዘዴ ሲጠቀሙ, የግዴታየምደባው ክፍል የሚከተለው ቁራጭ ነው። "ስለዚህ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው". ያለበለዚያ፣ ገምጋሚው የCramer's ቲዎረምን ስላላከበሩ ሊቀጣዎት ይችላል።

በካልኩሌተር ላይ ለማካሄድ ምቹ የሆነውን መፈተሽ ከመጠን በላይ አይሆንም: በእያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልታ በግራ በኩል ያለውን ግምታዊ እሴቶችን እንተካለን. በውጤቱም, በትንሽ ስህተት, በቀኝ በኩል ያሉት ቁጥሮች ማግኘት አለባቸው.

ምሳሌ 8

መልስዎን በተለመደው ተገቢ ባልሆኑ ክፍልፋዮች ይግለጹ። ቼክ ያድርጉ።

ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ ነው (የጥሩ ንድፍ ምሳሌ እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልስ)።

ከሶስት የማይታወቁ ጋር ለሶስት እኩልታዎች ስርዓት የ Cramer አገዛዝን ከግምት ውስጥ እናስገባለን-

የስርዓቱን ዋና መመዘኛ እናገኛለን-

ከሆነ ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች አሉት ወይም ወጥነት የሌለው (መፍትሄ የለውም)። በዚህ ሁኔታ የክሬመር ህግ አይረዳም, የ Gauss ዘዴን መጠቀም ያስፈልግዎታል.

ከሆነ ፣ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው ፣ እና ሥሮቹን ለማግኘት ፣ ሶስት ተጨማሪ መለኪያዎችን ማስላት አለብን።
, ,

እና በመጨረሻም መልሱ በቀመርዎቹ ይሰላል፡-

እንደሚመለከቱት, የ "ሶስት በሦስት" ጉዳይ በመሠረቱ ከ "ሁለት ሁለት" ጉዳይ አይለይም, የነጻ ቃላቶች አምድ በቅደም ተከተል "ከግራ ወደ ቀኝ" በዋናው መወሰኛ አምዶች ላይ "ይራመዳል".

ምሳሌ 9

የCramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ።

መፍትሄ: የ Cramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን እንፍታ.

, ስለዚህ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.

መልስ: .

እንደ እውነቱ ከሆነ, ውሳኔው በተዘጋጁ ቀመሮች መሰረት መደረጉን ከግምት ውስጥ በማስገባት እዚህ እንደገና አስተያየት ለመስጠት ምንም ልዩ ነገር የለም. ግን ሁለት ማስታወሻዎች አሉ.

በስሌቶች ምክንያት “መጥፎ” የማይቀነሱ ክፍልፋዮች ሲገኙ ፣ ለምሳሌ፡-
የሚከተለውን "ህክምና" አልጎሪዝም እመክራለሁ. በእጅ ኮምፒዩተር ከሌለ ይህንን እናደርጋለን-

1) በስሌቶቹ ውስጥ ስህተት ሊኖር ይችላል. ልክ "መጥፎ" ምት እንዳጋጠመህ ወዲያውኑ ማረጋገጥ አለብህ ሁኔታው በትክክል እንደገና የተጻፈ ነው. ሁኔታው ያለ ስህተቶች እንደገና ከተፃፈ, በሌላ ረድፍ (አምድ) ውስጥ ያለውን ማስፋፊያ በመጠቀም ወሳኙን እንደገና ማስላት ያስፈልግዎታል.

2) በቼክው ምክንያት ምንም ስህተቶች ካልተገኙ ፣ ምናልባት ምናልባት በአባልነት ሁኔታ ውስጥ የትየባ ተደረገ። በዚህ ሁኔታ, በእርጋታ እና በጥንቃቄ ስራውን እስከ መጨረሻው ይፍቱ, እና ከዚያ ማረጋገጥዎን ያረጋግጡእና ከውሳኔው በኋላ በንጹህ ቅጂ ላይ ይሳሉ. እርግጥ ነው፣ ክፍልፋይ መልስን መፈተሽ ደስ የማይል ተግባር ነው፣ ነገር ግን ለመምህሩ ትጥቅ ማስፈታት ይሆናል፣ እሱም፣ ለእንደዚህ አይነት መጥፎ ነገር ማነስን በእውነት ይወዳል። ክፍልፋዮችን እንዴት ማስተናገድ እንደሚቻል በምሳሌ 8 ላይ በዝርዝር ተዘርዝሯል።

በእጅዎ ኮምፒዩተር ካለዎት እሱን ለማየት አውቶሜትድ ፕሮግራም ይጠቀሙ ይህም በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ በነፃ ማውረድ ይችላል። በነገራችን ላይ ፕሮግራሙን ወዲያውኑ መጠቀም በጣም ጠቃሚ ነው (መፍትሄውን ከመጀመርዎ በፊት እንኳን) ወዲያውኑ ስህተት የሰሩበትን መካከለኛ ደረጃ ይመለከታሉ! ተመሳሳዩ ካልኩሌተር የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የስርዓቱን መፍትሄ በራስ-ሰር ያሰላል።

ሁለተኛ አስተያየት። ከጊዜ ወደ ጊዜ አንዳንድ ተለዋዋጮች የሚጎድሉባቸው እኩልታዎች ውስጥ ሥርዓቶች አሉ ለምሳሌ፡-

እዚህ በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ ምንም ተለዋዋጭ የለም, በሁለተኛው ውስጥ ምንም ተለዋዋጭ የለም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ ዋናውን መወሰኛ በትክክል እና በጥንቃቄ መፃፍ በጣም አስፈላጊ ነው-
- ዜሮዎች በጠፉ ተለዋዋጮች ምትክ ተቀምጠዋል።
በነገራችን ላይ ፣ ዜሮ በሚገኝበት ረድፍ (አምድ) መሠረት ቆራጮችን በዜሮ መክፈት ምክንያታዊ ነው ፣ ምክንያቱም በጣም ጥቂት ስሌቶች አሉ።

ምሳሌ 10

የCramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ።

ይህ ራስን የመወሰን ምሳሌ ነው (ናሙናውን ማጠናቀቅ እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልስ)።

ለ 4 እኩልታዎች ከ 4 የማይታወቁ ጋር የስርዓት ሁኔታ ፣ የክሬመር ቀመሮች የተፃፉት በተመሳሳይ መርሆዎች መሠረት ነው። በ Determinant Properties ትምህርት ውስጥ የቀጥታ ምሳሌ ማየት ይችላሉ። የወሳኙን ቅደም ተከተል መቀነስ - አምስት 4 ኛ ቅደም ተከተሎች በጣም ሊፈቱ የሚችሉ ናቸው. ምንም እንኳን ተግባሩ ቀድሞውኑ በእድለኛ ተማሪ ደረቱ ላይ የፕሮፌሰርን ጫማ የሚያስታውስ ቢሆንም።

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በመጠቀም የስርዓቱ መፍትሄ

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ዘዴ በመሠረቱ ልዩ ጉዳይ ነው የማትሪክስ እኩልታ(የተጠቀሰውን ትምህርት ምሳሌ ቁጥር 3 ተመልከት).

ይህንን ክፍል ለማጥናት ወሳኙን ማስፋፋት, የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማግኘት እና ማትሪክስ ማባዛትን ማከናወን ያስፈልግዎታል. ማብራሪያው እየገፋ ሲሄድ አግባብነት ያላቸው ማገናኛዎች ይሰጣሉ።

ምሳሌ 11

ስርዓቱን በማትሪክስ ዘዴ ይፍቱ

መፍትሄስርዓቱን በማትሪክስ መልክ እንጽፋለን-
፣ የት

እባኮትን የእኩልታዎች ስርዓት እና ማትሪክስ ይመልከቱ። አካላትን ወደ ማትሪክስ የምንጽፈው በምን መርህ ነው፣ ሁሉም ሰው የሚረዳው ይመስለኛል። ብቸኛው አስተያየት፡ አንዳንድ ተለዋዋጮች በቀመር ውስጥ ጠፍተው ከሆነ፣ ዜሮዎች በማትሪክስ ውስጥ ባሉ ተጓዳኝ ቦታዎች ላይ መቀመጥ አለባቸው።

የተገላቢጦሹን ማትሪክስ በቀመር እናገኛለን፡-
የማትሪክስ ተጓዳኝ አካላት የአልጀብራዊ ማሟያዎች የተላለፈ ማትሪክስ የት አለ?

በመጀመሪያ፣ ከወሳኙ ጋር እንነጋገር፡-

እዚህ ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ተዘርግቷል.

ትኩረት! ከሆነ, ከዚያም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የለም, እና ስርዓቱን በማትሪክስ ዘዴ መፍታት አይቻልም. በዚህ ሁኔታ ስርዓቱ የማይታወቁትን (የጋውስ ዘዴ) በማጥፋት መፍትሄ ያገኛል.

አሁን 9 ታዳጊዎችን ማስላት እና ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ማትሪክስ ውስጥ መፃፍ ያስፈልግዎታል

ዋቢ፡በመስመራዊ አልጀብራ ውስጥ ድርብ የደንበኝነት ምዝገባዎችን ትርጉም ማወቅ ጠቃሚ ነው። የመጀመሪያው አሃዝ ኤለመንቱ የሚገኝበት የመስመር ቁጥር ነው. ሁለተኛው አሃዝ ኤለመንቱ የሚገኝበት የአምድ ቁጥር ነው፡-

ማለትም፣ ድርብ መዝገብ የሚያመለክተው ንጥረ ነገሩ በመጀመሪያው ረድፍ፣ በሦስተኛው ዓምድ ውስጥ መሆኑን ነው፣ ለምሳሌ ፣ ንጥረ ነገሩ በ 3 ኛ ረድፍ ፣ 2 ኛ አምድ ውስጥ ነው ።

በመፍታት ሂደት ውስጥ, ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ስሌት በዝርዝር መግለጽ ይሻላል, ምንም እንኳን ከተወሰነ ልምድ ጋር, በአፍ ከስህተቶች ጋር ለመቁጠር ሊስተካከሉ ይችላሉ.