لا يتجزأ في العمل. كيفية حساب حجم جسم ثورة باستخدام تكامل محدد

التعريف 3. جسم الثورة هو جسم يتم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح حول محور لا يتقاطع مع الشكل ويقع في نفس المستوى معه.

يمكن أن يتقاطع محور الدوران أيضًا مع الشكل إذا كان هو محور تناظر الشكل.

نظرية 2.
المحور
ومقاطع الخط المستقيم
و

يدور حول محور
. ثم يمكن حساب حجم الجسم الناتج للثورة بواسطة الصيغة

(2)

دليل - إثبات. لمثل هذا الجسم ، القسم مع محدثة دائرة نصف قطرها
، يعني
والصيغة (1) تعطي النتيجة المرجوة.

إذا كان الشكل محدودًا بالرسوم البيانية لوظيفتين مستمرتين
و
، ومقاطع الخط
و
، وعلاوة على ذلك
و
، ثم عند الدوران حول محور الإحداثي ، نحصل على جسم حجمه

مثال 3 احسب حجم الطارة التي تم الحصول عليها من خلال تدوير دائرة تحدها دائرة

حول المحور السيني.

ص المحلول. يحد الدائرة المحددة من الأسفل بالرسم البياني للدالة
، و ما فوق -
. فرق مربعات هذه الوظائف:

الحجم المطلوب

(الرسم البياني للمتكامل هو نصف الدائرة العلوي ، لذا فإن التكامل المكتوب أعلاه هو مساحة نصف الدائرة).

مثال 4 قطعة مكافئ مع قاعدة
والارتفاع ، تدور حول القاعدة. احسب حجم الجسم الناتج ("الليمون" بواسطة Cavalieri).

ص المحلول. ضع القطع المكافئ كما هو موضح في الشكل. ثم معادلتها
، و
. دعونا نجد قيمة المعلمة :
. لذا ، الحجم المطلوب:

نظرية 3. دع شبه منحرف منحني الخطوط يحده الرسم البياني لوظيفة مستمرة غير سلبية
المحور
ومقاطع الخط المستقيم
و
، وعلاوة على ذلك
، يدور حول محور
. ثم يمكن إيجاد حجم الجسم الناتج للثورة من خلال الصيغة

(3)

فكرة إثبات. تقسيم الجزء
النقاط

، إلى أجزاء ورسم خطوط مستقيمة
. سوف يتحلل شبه المنحرف بأكمله إلى شرائح ، والتي يمكن اعتبارها مستطيلات تقريبًا ذات قاعدة
والارتفاع
.

يتم قطع الاسطوانة الناتجة عن دوران مثل هذا المستطيل على طول المولد وتتكشف. نحصل على موازٍ "تقريبًا" للأبعاد:
,
و
. حجمه
. لذلك ، بالنسبة لحجم جسم الثورة ، سيكون لدينا مساواة تقريبية

للحصول على المساواة الدقيقة ، يجب أن ننتقل إلى الحد عند
. المجموع المكتوب أعلاه هو مجموع متكامل للدالة
لذلك ، في النهاية نحصل على التكامل من الصيغة (3). لقد تم إثبات النظرية.

ملاحظة 1. في نظريتين 2 و 3 ، الشرط
يمكن حذفها: الصيغة (2) بشكل عام غير حساسة للعلامة
، وفي الصيغة (3) يكفي
وحل محله
.

مثال 5 قطعة مكافئ (القاعدة
، ارتفاع ) يدور حول الارتفاع. أوجد حجم الجسم الناتج.

المحلول. رتب القطع المكافئ كما هو موضح في الشكل. وعلى الرغم من أن محور الدوران يتقاطع مع الشكل ، إلا أنه - المحور - هو محور التناظر. لذلك ، يجب النظر فقط في النصف الأيمن من المقطع. معادلة القطع المكافئ
، و
، يعني
. لدينا للحجم:

ملاحظة 2. إذا تم إعطاء الحدود المنحنية لشبه منحني منحني الخطوط بواسطة المعادلات البارامترية
,
,
و
,
ثم يمكن استخدام الصيغتين (2) و (3) مع البديل على ال
و
على ال
عندما يتغير رمن
قبل .

مثال 6 الشكل يحده القوس الأول للدوران الدائري
,
,
، ومحور الإحداثي. أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير هذا الشكل حول: 1) المحور
؛ 2) المحاور
.

المحلول. 1) الصيغة العامة
في حالتنا هذه:

2) الصيغة العامة
لشخصيتنا:

نحن نشجع الطلاب على القيام بكل الحسابات بأنفسهم.

ملاحظة 3. دع قطاعًا منحنيًا يحده خط مستمر
وأشعة
,

، يدور حول المحور القطبي. يمكن حساب حجم الجسم الناتج بواسطة الصيغة.

مثال 7 جزء من شكل يحده شكل قلبي
يرقد خارج الدائرة
، يدور حول المحور القطبي. أوجد حجم الجسم الناتج.

المحلول. كلا الخطين ، وبالتالي الشكل الذي يحدانه ، متماثلان حول المحور القطبي. لذلك ، من الضروري النظر فقط في الجزء الذي من أجله
. تتقاطع المنحنيات عند
و

في
. علاوة على ذلك ، يمكن اعتبار الرقم على أنه الفرق بين قطاعين ، وبالتالي يمكن حساب الحجم على أنه الفرق بين تكامل. نملك:

مهام لحل مستقل.

1. قطعة دائرية قاعدتها
، ارتفاع ، تدور حول القاعدة. أوجد حجم جسم الثورة.

2. أوجد حجم القطع المكافئ للثورة التي قاعدتها ، والارتفاع .

3. الشكل يحده أسترويد
,
يدور حول المحور السيني. أوجد حجم الجسم الذي نحصل عليه في هذه الحالة.

4. الشكل يحده خطوط
و
يدور حول المحور السيني. أوجد حجم جسم الثورة.

الموضوع: "حساب أحجام أجساد الثورة باستخدام جزء محدد"

نوع الدرس:مجموع.

الغرض من الدرس:تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة باستخدام التكاملات.

مهام:

تدعيم القدرة على اختيار شبه المنحنيات المنحنية من عدد من الأشكال الهندسية وتطوير مهارة حساب مناطق شبه المنحنيات المنحنية ؛

التعرف على مفهوم الشكل ثلاثي الأبعاد ؛

تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة ؛

لتعزيز تنمية التفكير المنطقي ، والكلام الرياضي المختص ، والدقة في بناء الرسومات ؛

لزراعة الاهتمام بالموضوع ، والعمل بالمفاهيم والصور الرياضية ، وتنمية الإرادة ، والاستقلالية ، والمثابرة في تحقيق النتيجة النهائية.

خلال الفصول

I. لحظة تنظيمية.

تحية المجموعة. توصيل الطلاب بأهداف الدرس.

أود أن أبدأ درس اليوم بمثل. "كان هناك رجل حكيم يعرف كل شيء. أراد شخص واحد إثبات أن الحكيم لا يعرف كل شيء. سأل وهو يمسك الفراشة بين يديه: "أخبرني ، يا حكيم ، أي فراشة في يدي: ميتة أم حية؟" وهو نفسه يفكر: "إذا قال الحي ، سأقتلها ، وإذا قال الميت ، فسأطلق سراحها". أجاب الحكيم بعد التفكير: "كل شيء في يديك".

لذلك ، دعونا نعمل اليوم بشكل مثمر ، ونكتسب مخزونًا جديدًا من المعرفة ، وسنطبق المهارات والقدرات المكتسبة في الحياة اللاحقة وفي الأنشطة العملية. "كل شيء بين يديك."

II. تكرار المواد التي تم تعلمها سابقًا.

دعنا نتذكر النقاط الرئيسية للمادة التي تمت دراستها مسبقًا. للقيام بذلك ، سنكمل مهمة "حذف الكلمة الزائدة".

(يقول الطلاب كلمة إضافية).

بشكل صحيح "التفاضليه".حاول تسمية الكلمات المتبقية في كلمة واحدة مشتركة. (حساب التكامل.)

لنتذكر المراحل والمفاهيم الرئيسية المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل.

ممارسه الرياضه.استعادة التصاريح. (يخرج الطالب ويكتب الكلمات الضرورية بعلامة.)

العمل في دفاتر الملاحظات.

تم تطوير صيغة نيوتن-ليبنيز من قبل الفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنيز (1646-1716). وهذا ليس مفاجئًا ، لأن الرياضيات هي اللغة التي تتحدث بها الطبيعة نفسها.

ضع في اعتبارك كيفية استخدام هذه الصيغة في حل المهام العملية.

مثال 1: احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط

المحلول:دعونا نبني على مستوى الإحداثيات الرسوم البيانية للوظائف . حدد منطقة الشكل ليتم العثور عليها.

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

انتبه للشاشة. ماذا يظهر في الصورة الأولى؟ (يوضح الشكل شكلًا مسطحًا.)

ماذا يظهر في الصورة الثانية؟ هل هذا الرقم مسطح؟ (يوضح الشكل شخصية ثلاثية الأبعاد.)

في الفضاء وعلى الأرض وفي الحياة اليومية ، نلتقي ليس فقط بأشكال مسطحة ، ولكن أيضًا بأشكال ثلاثية الأبعاد ، ولكن كيف نحسب حجم مثل هذه الأجسام؟ على سبيل المثال: حجم كوكب ، مذنب ، نيزك ، إلخ.

يفكرون في الحجم عند بناء المنازل ، وسكب الماء من إناء إلى آخر. كان يجب أن تكون قواعد وطرق حساب الأحجام قد نشأت ، والشيء الآخر هو مدى دقتها ومبرراتها.

كان عام 1612 مثمرًا للغاية بالنسبة لسكان مدينة لينز النمساوية ، حيث عاش عالم الفلك الشهير يوهانس كيبلر ، وخاصةً العنب. كان الناس يحضرون براميل النبيذ ويريدون معرفة كيفية تحديد أحجامهم عمليًا.

وهكذا ، كانت أعمال كيبلر المدروسة بمثابة بداية لسلسلة كاملة من الأبحاث ، والتي بلغت ذروتها في الربع الأخير من القرن السابع عشر. التصميم في أعمال I.Notton و G.V. حساب التفاضل والتكامل لايبنيز. منذ ذلك الوقت ، احتلت رياضيات متغيرات الحجم مكانة رائدة في نظام المعرفة الرياضية.

لذلك سننخرط اليوم في مثل هذه الأنشطة العملية ، لذلك ،

موضوع درسنا: "حساب حجوم أجساد الثورة باستخدام جزء لا يتجزأ".

سوف تتعلم تعريف جسم الثورة من خلال إكمال المهمة التالية.

"متاهة".

ممارسه الرياضه.ابحث عن طريقة للخروج من الموقف المربك واكتب التعريف.

رابعاحساب الكميات.

باستخدام تكامل محدد ، يمكنك حساب حجم الجسم ، على وجه الخصوص ، جسم الثورة.

جسم الدوران هو جسم يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف منحني الأضلاع حول قاعدته (الشكل 1 ، 2)

يتم حساب حجم جسم الثورة بواسطة إحدى الصيغ:

1. حول المحور السيني.

2. ، إذا كان دوران شبه منحني منحني الأضلاع حول المحور ص.

يكتب الطلاب الصيغ الأساسية في دفتر ملاحظات.

يشرح المعلم حل الأمثلة الموجودة على السبورة.

1. أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول المحور y لشبه منحني منحني الخط ومحدود بخطوط:س 2 + ص 2 = 64 ، ص = -5 ، ص = 5 ، س = 0.

المحلول.

الجواب: 1163 سم 3.

2. أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف مكافئ حول محور الإحداثيةص = ، س = 4 ، ص = 0.

المحلول.

الخامس. محاكاة الرياضيات.

2. يتم استدعاء مجموعة جميع المشتقات العكسية لوظيفة معينة

أ) تكامل غير محدد

ب) الوظيفة ،

ب) التمايز.

7. أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثيات لشبه منحني منحني الخطوط تحده خطوط:

د / ض. إصلاح مادة جديدة

احسب حجم الجسم المتكون من دوران البتلة حول المحور السينيص = س 2 ، ص 2 = س.

دعنا نرسم الرسوم البيانية للدالة. ص = س 2 ، ص 2 = س. يتحول الرسم البياني y2 = x إلى الصورة y =.

لدينا V = V1 - V2 دعونا نحسب حجم كل دالة:

استنتاج:

التكامل المحدد هو نوع من الأساس لدراسة الرياضيات ، والذي يقدم مساهمة لا غنى عنها في حل مشاكل المحتوى العملي.

يوضح موضوع "متكامل" بوضوح العلاقة بين الرياضيات والفيزياء وعلم الأحياء والاقتصاد والتكنولوجيا.

تطور العلم الحديث لا يمكن تصوره بدون استخدام التكامل. وفي هذا الصدد لا بد من البدء بدراستها في إطار التعليم الثانوي المتخصص!

السادس. وضع العلامات.(مع التعليق.)

عمر الخيام العظيم - عالم رياضيات ، شاعر ، فيلسوف. يدعو ليكون سيد مصيره. استمع إلى مقتطفات من عمله:

أنت تقول أن هذه الحياة مجرد لحظة.
قدِّرها ، واستلهم منها.
عندما تنفقه ، سوف يمر.
لا تنسى: إنها خليقتك.

كما هو الحال مع مشكلة العثور على المنطقة ، فأنت بحاجة إلى مهارات رسم واثقة - وهذا هو الشيء الأكثر أهمية تقريبًا (لأن التكاملات نفسها غالبًا ما تكون سهلة). يمكنك إتقان تقنية الرسوم البيانية المختصة والسريعة بمساعدة المواد المنهجية والتحولات الهندسية للرسوم البيانية. لكن في الواقع ، لقد تحدثت مرارًا وتكرارًا عن أهمية الرسوم في الدرس.

بشكل عام ، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل ؛ باستخدام تكامل محدد ، يمكنك حساب مساحة الشكل ، وحجم جسم الدوران ، وطول القوس ، ومساحة سطح الدوران ، وأكثر بكثير. لذلك سيكون الأمر ممتعًا ، من فضلك كن متفائلاً!

تخيل بعض الشكل المسطح على مستوى الإحداثيات. ممثلة؟ ... أتساءل من قدم ماذا ... =))) لقد وجدنا بالفعل منطقته. ولكن ، بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أيضًا تدوير هذا الرقم وتدويره بطريقتين:

- حول محور الإحداثي ؛
- حول المحور الصادي.

في هذه المقالة ، سيتم مناقشة كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص ، فهي تسبب أكبر الصعوبات ، ولكن في الحقيقة الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. كمكافأة ، سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكل، ويخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. لا توجد حتى مكافأة كبيرة لأن المادة تتناسب جيدًا مع الموضوع.

لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التدوير.

شكل مسطح حول محور

مثال 1

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير الشكل المحاط بخطوط حول المحور.

المحلول: كما في مشكلة المنطقة ، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل محاط بخطوط ، مع عدم إغفال أن المعادلة تحدد المحور. يمكن العثور على كيفية جعل الرسم أكثر عقلانية وأسرع على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائيةو واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. هذا تذكير صيني ولا أتوقف عند هذه النقطة.

الرسم هنا بسيط جدًا:

الشكل المسطح المطلوب مظلل باللون الأزرق ، وهو الذي يدور حول المحور. ونتيجة للدوران ، يتم الحصول على صحن طائر على شكل بيضة قليلاً ، وهو متماثل حول المحور. في الواقع ، يمتلك الجسم اسمًا رياضيًا ، لكن من الكسول جدًا تحديد شيء ما في الكتاب المرجعي ، لذلك ننتقل.

كيف تحسب حجم جسم الثورة؟

يمكن حساب حجم جسم الثورة بالصيغة:

في الصيغة ، يجب أن يكون هناك رقم قبل التكامل. لقد حدث ذلك تمامًا - كل شيء يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

كيف يمكن تعيين حدود التكامل "أ" و "أكون" ، كما أعتقد ، من السهل تخمينها من الرسم المكتمل.

الوظيفة ... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. يحد الشكل المسطح من الرسم البياني للقطع المكافئ من أعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.

في المهام العملية ، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - التكامل في الصيغة تربيع: وهكذا التكامل هو دائما غير سالب، وهو أمر منطقي تمامًا.

احسب حجم جسم الثورة باستخدام هذه الصيغة:

كما أشرت بالفعل ، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا ، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابه:

في الإجابة ، من الضروري الإشارة إلى البعد - الوحدات المكعبة. وهذا يعني أنه يوجد في جسدنا الذي يدور حوله ما يقرب من 3.35 "مكعبات". لماذا بالضبط مكعب الوحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. قد يكون هناك سنتيمترات مكعبة ، وقد يكون هناك أمتار مكعبة ، وقد يكون هناك كيلومترات مكعبة ، وما إلى ذلك ، هذا هو عدد الرجال الأخضر الصغير الذي يمكن لمخيلتك أن تتناسب معه في طبق طائر.

مثال 2

أوجد حجم الجسم الذي شكله الدوران حول محور الشكل الذي تحده الخطوط ،

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

لنفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا ، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

مثال 3

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثي للشكل الذي تحده الخطوط ، و

المحلول: ارسم شكلاً مسطحًا في الرسم ، محددًا بخطوط ، ، ، مع عدم نسيان أن المعادلة تحدد المحور:

الرقم المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مثل هذه الكعكة السريالية ذات الزوايا الأربع.

يتم حساب حجم جسم الثورة على أنه اختلاف حجم الجسم.

أولاً ، لنلق نظرة على الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع على أنه.

تأمل الشكل المحيط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور ، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع ، أصغر قليلاً فقط. دعنا نشير إلى حجمها.

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات".

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:

1) الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

2) الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

3) حجم الجسم المطلوب للثورة:

إجابه:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام صيغة المدرسة لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يكون القرار نفسه أقصر ، شيء من هذا القبيل:

الآن دعنا نأخذ استراحة ونتحدث عن الأوهام الهندسية.

غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات ، والتي لاحظها بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مثيرة للاهتمام. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو أنه صغير في المساحة ، وحجم جسم الثورة يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة ، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. بالمناسبة ، يشرب الشخص العادي طوال حياته سائلاً بحجم غرفة تبلغ 18 مترًا مربعًا ، والتي ، على العكس من ذلك ، تبدو صغيرة جدًا.

بشكل عام ، كان نظام التعليم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية هو الأفضل حقًا. نفس الكتاب من تأليف Perelman ، الذي نُشر في عام 1950 ، تطور جيدًا ، كما قال الفكاهي ، في التفكير ويعلمك أن تبحث عن حلول أصلية غير قياسية للمشكلات. لقد أعدت مؤخرًا قراءة بعض الفصول باهتمام كبير ، أوصي به ، فهو متاح حتى للعاملين في المجال الإنساني. لا ، ليس عليك أن تبتسم لأنني اقترحت أن تكون التسلية المناسبة ، وسعة الاطلاع ، ونظرة واسعة في التواصل أمرًا رائعًا.

بعد الاستطراد الغنائي ، من المناسب حل مهمة إبداعية:

مثال 4

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل المسطح الذي تحده الخطوط ، وأين.

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. لاحظ أن كل الأشياء تحدث في النطاق ، بمعنى آخر ، حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية بشكل صحيح ، وسوف أذكرك بمادة الدرس عنها التحولات الهندسية للرسوم البيانية: إذا كانت الوسيطة قابلة للقسمة على اثنين: ، فسيتم تمديد الرسوم البيانية على طول المحور مرتين. من المستحسن أن تجد 3-4 نقاط على الأقل وفقًا للجداول المثلثيةلإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة ، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية.

حساب حجم الجسم بالدوران
شكل مسطح حول محور

ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم ثورة حول المحور الصادي هي أيضًا زائر متكرر إلى حد ما في الاختبارات. بشكل عابر سيتم النظر فيه مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية - التكامل على طول المحور ، سيسمح لك ليس فقط بتحسين مهاراتك ، ولكن أيضًا يعلمك كيفية العثور على الحل الأكثر ربحية. كما أن لها معنى عمليًا! كما تذكرت أستاذي في أساليب تدريس الرياضيات بابتسامة ، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "موضوعك ساعدنا كثيرًا ، والآن نحن مديرين فعالين وندير موظفينا على النحو الأمثل." أغتنم هذه الفرصة ، كما أعرب عن امتناني الكبير لها ، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود منها =).

أوصي به للجميع لقراءته ، حتى الدمى الكاملة. علاوة على ذلك ، فإن المادة المتضمنة في الفقرة الثانية ستكون ذات فائدة لا تقدر بثمن في حساب التكاملات المزدوجة.

مثال 5

إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ، ،.

1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

انتباه!حتى لو كنت تريد قراءة الفقرة الثانية فقط ، أولاً بالضرورةاقرأ أول واحد!

المحلول: المهمة تتكون من جزئين. لنبدأ بالمربع.

1) لننفذ الرسم:

من السهل أن نرى أن الوظيفة تحدد الفرع العلوي للقطع المكافئ ، وأن الوظيفة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطع مكافئ تافه ، "يقع في جانبه".

الشكل المطلوب ، الذي سيتم العثور على مساحته ، مظلل باللون الأزرق.

كيف تجد مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "المعتادة" ، والتي تم النظر فيها في الدرس. واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك ، تم العثور على مساحة الشكل كمجموع المناطق:
- في الجزء ;
- في الجزء.

لهذا:

ما الخطأ في الحل المعتاد في هذه الحالة؟ أولاً ، يوجد تكاملان. ثانيًا ، الجذور تحت التكاملات ، والجذور في التكاملات ليست هدية ، علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يختلط عند استبدال حدود التكامل. في الواقع ، التكاملات ، بالطبع ، ليست مميتة ، ولكن من الناحية العملية ، كل شيء أكثر حزنًا ، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمهمة.

هناك حل أكثر عقلانية: يتمثل في الانتقال إلى الوظائف العكسية والتكامل على طول المحور.

كيفية تمرير وظائف معكوسة؟ بشكل تقريبي ، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولاً ، دعنا نتعامل مع القطع المكافئ:

هذا يكفي ، لكن دعنا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:

باستخدام خط مستقيم ، كل شيء أسهل:

انظر الآن إلى المحور: يرجى إمالة رأسك بشكل دوري إلى 90 درجة اليمنى كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الشكل الذي نحتاجه يقع على المقطع ، والذي يشار إليه بالخط المنقط الأحمر. علاوة على ذلك ، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: . ما الذي تغير في الصيغة؟ فقط رسالة ، ولا شيء أكثر.

! ملحوظة: يجب وضع حدود التكامل على طول المحور بدقة من أسفل إلى أعلى!

إيجاد المنطقة:

في هذا المقطع ، لذلك:

انتبه إلى كيفية تنفيذ التكامل ، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية ، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون من الواضح سبب ذلك.

للقراء الذين يشككون في صحة التكامل ، سأجد المشتقات:

يتم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أن التكامل يتم بشكل صحيح.

إجابه:

2) احسب حجم الجسم المتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.

سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:

لذلك ، فإن الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.

لإيجاد حجم جسم الثورة ، سنتكامل على طول المحور. أولًا ، علينا الانتقال إلى الدوال العكسية. وقد تم القيام بذلك ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.

الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أن حجم جسم الثورة يجب أن يُقاس بالفرق بين الأحجام.

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور ، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى هذا الحجم من خلال.

نقوم بتدوير الشكل ، محاطًا بدائرة باللون الأخضر ، حول المحور ونشير إليه من خلال حجم الجسم الناتج للثورة.

حجم الفراشة لدينا يساوي الفرق في الأحجام.

نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة:

كيف تختلف عن صيغة الفقرة السابقة؟ فقط بالحروف.

وإليك ميزة التكامل التي كنت أتحدث عنها منذ فترة ، من الأسهل العثور عليها بدلاً من رفع عنصر التكامل إلى القوة الرابعة.

إجابه:

ومع ذلك ، فراشة مريضة.

لاحظ أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور ، فسيظهر جسم مختلف تمامًا للثورة ، بحجم مختلف ، بشكل طبيعي.

مثال 6

إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.

1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط من خلال التكامل فوق المتغير.
2) احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. أولئك الذين يرغبون يمكنهم أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة" ، وبالتالي إكمال اختبار النقطة 1). لكن إذا قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور ، فستحصل على جسم مختلف تمامًا من الدوران بحجم مختلف ، بالمناسبة ، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون الحل).

الحل الكامل للعنصرين المقترحين للمهمة في نهاية الدرس.

أوه ، ولا تنسى إمالة رأسك إلى اليمين لفهم أجسام الدوران وضمن التكامل!

كيف تحسب حجم جسم ثورة باستخدام تكامل محدد؟

بعيدا إيجاد مساحة الشكل المسطح باستخدام تكامل محدد أهم تطبيق للموضوع هو حساب حجم جسم الثورة. المادة بسيطة ، لكن يجب أن يكون القارئ مستعدًا: من الضروري أن يكون قادرًا على حلها تكاملات غير محددة متوسط التعقيد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز في لا يتجزأ . كما هو الحال مع مشكلة العثور على المنطقة ، فأنت بحاجة إلى مهارات رسم واثقة - وهذا هو الشيء الأكثر أهمية تقريبًا (لأن التكاملات نفسها غالبًا ما تكون سهلة). يمكنك إتقان التقنية المختصة والسريعة لرسم الرسوم البيانية بمساعدة المواد المنهجية . لكن في الواقع ، لقد تحدثت مرارًا وتكرارًا عن أهمية الرسوم في الدرس. .

بشكل عام ، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل ؛ باستخدام تكامل محدد ، يمكنك حساب مساحة الشكل ، وحجم جسم الثورة ، وطول القوس ، ومساحة السطح من الجسم وأكثر من ذلك بكثير. لذلك سيكون الأمر ممتعًا ، من فضلك كن متفائلاً!

– حول المحور السيني. - حول المحور الصادي.

في هذه المقالة ، سيتم مناقشة كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص ، فهي تسبب أكبر الصعوبات ، ولكن في الحقيقة الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. كمكافأة ، سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكل ، ويخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. لا توجد حتى مكافأة كبيرة لأن المادة تتناسب جيدًا مع الموضوع.

لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التدوير.

مثال 1

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل محاط بخطوط حول محور.

المحلول:كما في مشكلة إيجاد المنطقة ، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل محدد بخطوط ، مع عدم إغفال أن المعادلة تحدد المحور. يمكن العثور على كيفية جعل الرسم أكثر عقلانية وأسرع على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية و واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل . هذا تذكير صيني ولا أتوقف عند هذه النقطة.

الرسم هنا بسيط جدًا:

الشكل المسطح المطلوب مظلل باللون الأزرق ، وهي التي تدور حول المحور. نتيجة للدوران ، يتم الحصول على هذا الصحن الطائر على شكل بيضة قليلاً ، وهو متماثل حول المحور. في الواقع ، الجسم له اسم رياضي ، لكن من الكسول جدًا النظر إلى شيء ما في الكتاب المرجعي ، لذلك ننتقل.

كيف تحسب حجم جسم الثورة؟

يمكن حساب حجم جسم الثورة بالصيغة التالية:

في الصيغة ، يجب أن يكون هناك رقم قبل التكامل. لقد حدث ذلك تمامًا - كل شيء يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

كيف يمكن تعيين حدود التكامل "أ" و "أكون" ، كما أعتقد ، من السهل تخمينها من الرسم المكتمل.

الوظيفة ... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المسطح محدد بالرسم البياني المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.

في المهام العملية ، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - الوظيفة في الصيغة مربعة: ، وبالتالي حجم جسم الثورة دائمًا غير سالب، وهو أمر منطقي تمامًا.

احسب حجم جسم الثورة باستخدام هذه الصيغة:

كما أشرت بالفعل ، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا ، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابه:

مثال 2

أوجد حجم الجسم الذي تم تشكيله بالدوران حول محور الشكل المحدود بخطوط ،،

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

لنفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا ، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

مثال 3

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثي للشكل الذي تحده الخطوط ، و

المحلول:دعنا نصور في الرسم شكلًا مسطحًا يحده خطوط ،،،، بينما لا ننسى أن المعادلة تحدد المحور:

يتم حساب حجم جسم الثورة على أنه اختلاف حجم الجسم.

أولاً ، لنلق نظرة على الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دلالة على حجم هذا المخروط المقطوع.

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات".

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:

1) الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

2) الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

3) حجم الجسم المطلوب للثورة:

إجابه:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام صيغة المدرسة لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يكون القرار نفسه أقصر ، شيء من هذا القبيل:

الآن دعنا نأخذ استراحة ونتحدث عن الأوهام الهندسية.

غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات ، والتي لاحظها بيرلمان (ليس هو نفسه) في الكتاب هندسة مثيرة للاهتمام. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو أنه صغير في المساحة ، وحجم جسم الثورة يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة ، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. بالمناسبة ، يشرب الشخص العادي طوال حياته سائلاً بحجم غرفة تبلغ 18 مترًا مربعًا ، والتي ، على العكس من ذلك ، تبدو صغيرة جدًا.

بشكل عام ، كان نظام التعليم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية هو الأفضل حقًا. كتاب بيرلمان نفسه ، الذي كتبه في عام 1950 ، تطور جيدًا ، كما قال الفكاهي ، في التفكير ويعلمك أن تبحث عن حلول أصلية غير قياسية للمشكلات. لقد أعدت مؤخرًا قراءة بعض الفصول باهتمام كبير ، أوصي به ، فهو متاح حتى للعاملين في المجال الإنساني. لا ، ليس عليك أن تبتسم لأنني اقترحت أن تكون التسلية المناسبة ، وسعة الاطلاع ، ونظرة واسعة في التواصل أمرًا رائعًا.

بعد الاستطراد الغنائي ، من المناسب حل مهمة إبداعية:

مثال 4

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل المسطح الذي تحده الخطوط ، أين.

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. يرجى ملاحظة أن كل الأشياء تحدث في النطاق ، بمعنى آخر ، يتم وضع حدود تكامل جاهزة تقريبًا. حاول أيضًا أن ترسم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية بشكل صحيح ، إذا كانت الوسيطة مقسومة على اثنين: فسيتم تمديد الرسوم البيانية على طول المحور مرتين. حاول أن تجد ما لا يقل عن 3-4 نقاط وفقًا للجداول المثلثية وجعل الرسم أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة ، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية.

حساب حجم الجسم الناتج عن دوران شكل مسطح حول محور

ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم ثورة حول المحور الصادي هي أيضًا زائر متكرر إلى حد ما في الاختبارات. بشكل عابر سيتم النظر فيه مشكلة إيجاد مساحة الشكل الطريقة الثانية - التكامل على طول المحور ، سيسمح لك ليس فقط بتحسين مهاراتك ، ولكن أيضًا يعلمك كيفية العثور على الحل الأكثر ربحية. كما أن لها معنى عمليًا! كما تذكرت أستاذي في أساليب تدريس الرياضيات بابتسامة ، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "موضوعك ساعدنا كثيرًا ، والآن نحن مديرين فعالين وندير موظفينا على النحو الأمثل." أغتنم هذه الفرصة ، كما أعرب عن امتناني الكبير لها ، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود منها =).

مثال 5

اعطاء شكل مسطح يحدها خطوط ،،.

1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط. 2) أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

انتباه!حتى لو كنت تريد قراءة الفقرة الثانية فقط ، أولاً بالضرورةاقرأ أول واحد!

المحلول:تتكون المهمة من جزأين. لنبدأ بالمربع.

1) لننفذ الرسم:

الشكل المطلوب ، الذي سيتم العثور على مساحته ، مظلل باللون الأزرق.

كيف تجد مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "المعتادة" ، والتي تم النظر فيها في الدرس. واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل . علاوة على ذلك ، تم العثور على مساحة الشكل كمجموع المناطق: - في المقطع ؛ - في الجزء.

لهذا:

هناك حل أكثر عقلانية: يتمثل في الانتقال إلى الوظائف العكسية والتكامل على طول المحور.

هذا يكفي ، لكن دعنا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:

باستخدام خط مستقيم ، كل شيء أسهل:

انظر الآن إلى المحور: يرجى إمالة رأسك بشكل دوري إلى 90 درجة اليمنى كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الشكل الذي نحتاجه يقع على المقطع ، والذي يشار إليه بالخط المنقط الأحمر. في نفس الوقت ، على المقطع ، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: . ما الذي تغير في الصيغة؟ فقط رسالة ، ولا شيء أكثر.

! ملاحظة: يجب تعيين حدود التكامل على طول المحوربدقة من أسفل إلى أعلى !

إيجاد المنطقة:

في هذا المقطع ، لذلك:

للقراء الذين يشككون في صحة التكامل ، سأجد المشتقات:

يتم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أن التكامل يتم بشكل صحيح.

إجابه:

2) احسب حجم الجسم المتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.

سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:

لذلك ، فإن الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.

الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أن حجم جسم الثورة يجب أن يُقاس بالفرق بين الأحجام.

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر حول المحور ونحدد من خلال حجم جسم الدوران الناتج.

حجم الفراشة لدينا يساوي الفرق في الأحجام.

نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة:

كيف تختلف عن صيغة الفقرة السابقة؟ فقط بالحروف.

وإليك ميزة التكامل التي كنت أتحدث عنها منذ فترة ، من الأسهل العثور عليها بدلاً من رفع التكامل إلى القوة الرابعة بشكل مبدئي.

كيف تحسب حجم جسم الثورة
باستخدام تكامل محدد؟

بشكل عام ، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، بمساعدة تكامل محدد ، يمكنك حساب مساحة الشكل وحجم جسم الدوران وطول القوس ، مساحة سطح الدوران ، وأكثر من ذلك بكثير. لذلك سيكون الأمر ممتعًا ، من فضلك كن متفائلاً!

- حول المحور السيني ؛
- حول المحور الصادي.

لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التدوير.

شكل مسطح حول محور

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير الشكل المحاط بخطوط حول المحور.

المحلول: كما في مشكلة المنطقة ، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل محاط بخطوط ، مع عدم إغفال أن المعادلة تحدد المحور. يمكن العثور على كيفية جعل الرسم أكثر عقلانية وأسرع على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائيةو . هذا تذكير صيني ولا أتوقف عند هذه النقطة.

الرسم هنا بسيط جدًا:

كيف تحسب حجم جسم الثورة؟

يمكن حساب حجم جسم الثورة بالصيغة:

في الصيغة ، يجب أن يكون هناك رقم قبل التكامل. لقد حدث ذلك - كل ما يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

كيف يمكن تعيين حدود التكامل "أ" و "أكون" ، كما أعتقد ، من السهل تخمينها من الرسم المكتمل.

احسب حجم جسم الثورة باستخدام هذه الصيغة:

كما أشرت بالفعل ، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا ، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابه:

أوجد حجم الجسم الذي شكله الدوران حول محور الشكل الذي تحده الخطوط ،

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

لنفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا ، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثي للشكل الذي تحده الخطوط ، و

المحلول: ارسم شكلاً مسطحًا في الرسم ، محددًا بخطوط ، ، ، مع عدم نسيان أن المعادلة تحدد المحور:

يتم حساب حجم جسم الثورة على أنه اختلاف حجم الجسم.

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات".

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:

1) الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

2) الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

3) حجم الجسم المطلوب للثورة:

إجابه:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام صيغة المدرسة لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يكون القرار نفسه أقصر ، شيء من هذا القبيل:

الآن دعنا نأخذ استراحة ونتحدث عن الأوهام الهندسية.

بعد الاستطراد الغنائي ، من المناسب حل مهمة إبداعية:

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل المسطح الذي تحده الخطوط ، وأين.

حساب حجم الجسم بالدوران
شكل مسطح حول محور

إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ، ،.

انتباه!حتى إذا كنت ترغب في قراءة الفقرة الثانية فقط ، فتأكد من قراءة الفقرة الأولى أولاً!

المحلول: المهمة تتكون من جزئين. لنبدأ بالمربع.

1) لننفذ الرسم:

الشكل المطلوب ، الذي سيتم العثور على مساحته ، مظلل باللون الأزرق.

لهذا:

هناك حل أكثر عقلانية: يتمثل في الانتقال إلى الوظائف العكسية والتكامل على طول المحور.

هذا يكفي ، لكن دعنا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:

باستخدام خط مستقيم ، كل شيء أسهل:

! ملحوظة: يجب وضع حدود التكامل على طول المحور بدقة من أسفل إلى أعلى!

إيجاد المنطقة:

في هذا المقطع ، لذلك:

للقراء الذين يشككون في صحة التكامل ، سأجد المشتقات:

يتم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أن التكامل يتم بشكل صحيح.

إجابه:

2) احسب حجم الجسم المتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.

سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:

لذلك ، فإن الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.

الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أن حجم جسم الثورة يجب أن يُقاس بالفرق بين الأحجام.

نقوم بتدوير الشكل ، محاطًا بدائرة باللون الأخضر ، حول المحور ونشير إليه من خلال حجم الجسم الناتج للثورة.

حجم الفراشة لدينا يساوي الفرق في الأحجام.

نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة:

كيف تختلف عن صيغة الفقرة السابقة؟ فقط بالحروف.

إجابه:

لاحظ أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور ، فسيظهر جسم مختلف تمامًا للثورة ، بحجم مختلف ، بشكل طبيعي.

إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.

الحل الكامل للعنصرين المقترحين للمهمة في نهاية الدرس.

أوه ، ولا تنسى إمالة رأسك إلى اليمين لفهم أجسام الدوران وضمن التكامل!

كنت أرغب بالفعل في إنهاء المقال ، لكنهم قدموا اليوم مثالًا مثيرًا للاهتمام فقط لإيجاد حجم جسم ثورة حول المحور الصادي. طازج:

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل الذي يحده المنحنيات و.

المحلول: لنرسم:

على طول الطريق ، نتعرف على الرسوم البيانية لبعض الوظائف الأخرى. مثل هذا الرسم البياني المثير للاهتمام لوظيفة زوجية ....

لا يتجزأ في العمل. كيفية حساب حجم جسم ثورة باستخدام تكامل محدد

شكل مسطح حول محور

كيف تحسب حجم جسم الثورة؟

حساب حجم الجسم بالدورانشكل مسطح حول محور

كيف تحسب حجم جسم الثورة باستخدام تكامل محدد؟

شكل مسطح حول محور

كيف تحسب حجم جسم الثورة؟

حساب حجم الجسم بالدورانشكل مسطح حول محور

حساب حجم الجسم بالدوران
شكل مسطح حول محور

كيف تحسب حجم جسم الثورة
باستخدام تكامل محدد؟

حساب حجم الجسم بالدوران
شكل مسطح حول محور