كيفية كتابة معادلة خط مستقيم يمر بنقطة. معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين معلومتين: أمثلة، حلول

تواصل هذه المقالة موضوع معادلة الخط المستقيم على المستوى: فكر في نوع من المعادلات مثل المعادلة العامة للخط المستقيم. دعونا نحدد النظرية ونقدم برهانها؛ دعونا نتعرف على المعادلة العامة غير الكاملة للخط المستقيم وكيفية إجراء التحولات من المعادلة العامة إلى أنواع أخرى من معادلات الخط المستقيم. سنقوم بدمج النظرية بأكملها بالرسوم التوضيحية وحل المشكلات العملية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

دع نظام الإحداثيات المستطيل O x y يُعطى على المستوى.

النظرية 1

أي معادلة من الدرجة الأولى، لها الشكل A x + B y + C \u003d 0، حيث A، B، C هي بعض الأرقام الحقيقية (A و B لا تساوي الصفر في نفس الوقت) تحدد خطًا مستقيمًا في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى. بدوره، يتم تحديد أي خط في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى بمعادلة لها الشكل A x + B y + C = 0 لمجموعة معينة من القيم A، B، C.

دليل

تتكون هذه النظرية من نقطتين سنثبت كل منهما.

  1. دعونا نثبت أن المعادلة A x + B y + C = 0 تحدد خطًا على المستوى.

يجب أن تكون هناك نقطة M 0 (x 0 , y 0) تتوافق إحداثياتها مع المعادلة A x + B y + C = 0 . وبالتالي: أ س 0 + ب ص 0 + ج = 0 . اطرح من الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلات A x + B y + C \u003d 0 الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة A x 0 + B y 0 + C \u003d 0، نحصل على معادلة جديدة تشبه A (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 . وهو يعادل A x + B y + C = 0 .

المعادلة الناتجة A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 هي شرط ضروري وكاف لتعامد المتجهات n → = (A, B) وM 0 M → = (x - x 0، ص - ص 0 ) . وبالتالي، فإن مجموعة النقاط M (x, y) تحدد في نظام إحداثي مستطيل خطًا مستقيمًا متعامدًا مع اتجاه المتجه n → = (A, B) . يمكننا أن نفترض أن الأمر ليس كذلك، ولكن بعد ذلك فإن المتجهات n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) لن تكون متعامدة، والمساواة A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 لن يكون صحيحًا.

لذلك، فإن المعادلة A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 تحدد خطًا ما في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى، وبالتالي فإن المعادلة المكافئة A x + B y + C \u003d 0 تحدد نفس الخط. وبذلك أثبتنا الجزء الأول من النظرية.

  1. دعونا نثبت أن أي خط مستقيم في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى يمكن الحصول عليه بمعادلة من الدرجة الأولى A x + B y + C = 0 .

لنضع خطًا مستقيمًا a في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى؛ النقطة M 0 (x 0 , y 0) التي يمر من خلالها هذا الخط، وكذلك المتجه الطبيعي لهذا الخط n → = (A , B) .

يجب أن تكون هناك أيضًا نقطة M (x , y) - نقطة عائمة في الخط. في هذه الحالة، يكون المتجهان n → = (A , B) و M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) متعامدين مع بعضهما البعض، وناتجهما القياسي هو صفر:

ن → , م 0 م → = أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0

دعونا نعيد كتابة المعادلة A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , نحدد C: C = - A x 0 - B y 0 وأخيرًا نحصل على المعادلة A x + B y + C = 0 .

وبذلك نكون قد أثبتنا الجزء الثاني من النظرية، وأثبتنا النظرية بأكملها ككل.

التعريف 1

المعادلة التي تبدوأ س + ب ص + ج = 0 - هذا المعادلة العامة للخط المستقيمعلى مستوى في نظام الإحداثيات مستطيلةاو س ي .

بناءً على النظرية المثبتة، يمكننا أن نستنتج أن الخط المستقيم المعطى على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل ثابت ومعادلته العامة مرتبطان ارتباطًا وثيقًا. بمعنى آخر، الخط الأصلي يتوافق مع معادلته العامة؛ المعادلة العامة للخط المستقيم تتوافق مع خط مستقيم معين.

ويستنتج أيضًا من إثبات النظرية أن المعاملين A وB للمتغيرين x وy هما إحداثيات المتجه العادي للخط المستقيم، والتي تعطى بالمعادلة العامة للخط المستقيم A x + B y + ج = 0 .

فكر في مثال محدد للمعادلة العامة للخط المستقيم.

افترض أن المعادلة 2 x + 3 y - 2 = 0، والتي تتوافق مع خط مستقيم في نظام إحداثيات مستطيل معين. المتجه العادي لهذا الخط هو المتجه ن → = (2 ، 3) ​​. ارسم خطًا مستقيمًا محددًا في الرسم.

يمكن أيضًا القول بما يلي: يتم تحديد الخط المستقيم الذي نراه في الرسم بالمعادلة العامة 2 x + 3 y - 2 = 0، نظرًا لأن إحداثيات جميع نقاط الخط المستقيم المحدد تتوافق مع هذه المعادلة.

يمكننا الحصول على المعادلة α · A x + lect · B y + lect · C = 0 عن طريق ضرب طرفي معادلة الخط المستقيم العامة في عدد غير الصفر α. المعادلة الناتجة تعادل المعادلة العامة الأصلية، وبالتالي فهي تصف نفس الخط في المستوى.

التعريف 2

أكمل المعادلة العامة للخط المستقيم- مثل هذه المعادلة العامة للخط A x + B y + C \u003d 0، حيث تكون الأرقام A و B و C غير صفرية. وإلا فالمعادلة غير مكتمل.

دعونا نحلل جميع الاختلافات في المعادلة العامة غير الكاملة للخط المستقيم.

  1. عندما A \u003d 0، B ≠ 0، C ≠ 0، تصبح المعادلة العامة B y + C \u003d 0. تحدد هذه المعادلة العامة غير المكتملة خطًا مستقيمًا في نظام إحداثي مستطيل O x y موازٍ للمحور O x، لأنه بالنسبة لأي قيمة حقيقية لـ x، فإن المتغير y سيأخذ القيمة - ج ب . بمعنى آخر، المعادلة العامة للخط A x + B y + C \u003d 0، عندما A \u003d 0، B ≠ 0، تحدد موضع النقاط (x، y) التي تساوي إحداثياتها نفس الرقم - ج ب .
  2. إذا كانت A \u003d 0، B ≠ 0، C \u003d 0، تصبح المعادلة العامة y \u003d 0. تحدد هذه المعادلة غير المكتملة المحور السيني O x .
  3. عندما A ≠ 0، B \u003d 0، C ≠ 0، نحصل على معادلة عامة غير مكتملة A x + C \u003d 0، تحدد خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور y.
  4. دع A ≠ 0، B \u003d 0، C \u003d 0، فإن المعادلة العامة غير المكتملة ستأخذ الشكل x \u003d 0، وهذه هي معادلة خط الإحداثيات O y.
  5. أخيرًا، عندما تكون A ≠ 0، B ≠ 0، C \u003d 0، تأخذ المعادلة العامة غير الكاملة الشكل A x + B y \u003d 0. وتصف هذه المعادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل. في الواقع، زوج الأرقام (0 , 0) يتوافق مع المساواة A x + B y = 0 , منذ A · 0 + B · 0 = 0 .

دعونا نوضح بيانياً جميع الأنواع المذكورة أعلاه للمعادلة العامة غير الكاملة للخط المستقيم.

مثال 1

من المعروف أن الخط المستقيم المعطى يوازي المحور y ويمر بالنقطة 7 2 , - 11 . من الضروري كتابة المعادلة العامة لخط مستقيم معين.

حل

يتم إعطاء خط مستقيم موازٍ للمحور y بمعادلة بالشكل A x + C \u003d 0، حيث A ≠ 0. ويحدد الشرط أيضًا إحداثيات النقطة التي يمر بها الخط، وتتوافق إحداثيات هذه النقطة مع شروط المعادلة العامة غير المكتملة A x + C = 0، أي. المساواة صحيحة:

أ 2 7 + ج = 0

من الممكن تحديد C منه بإعطاء A قيمة غير الصفر، على سبيل المثال، A = 7 . في هذه الحالة نحصل على: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. نحن نعرف كلا المعاملين A وC، نعوض بهما في المعادلة A x + C = 0 ونحصل على معادلة الخط المطلوبة: 7 x - 2 = 0

إجابة: 7 س - 2 = 0

مثال 2

يظهر في الرسم خط مستقيم، ومن الضروري كتابة معادلته.

حل

يتيح لنا الرسم المعطى أخذ البيانات الأولية لحل المشكلة بسهولة. نرى في الرسم أن الخط المعطى يوازي المحور O ويمر بالنقطة (0 ، 3)​.

يتم تحديد الخط المستقيم الموازي للإحداثي السيني بالمعادلة العامة غير الكاملة B y + С = 0. أوجد قيم B و C . إحداثيات النقطة (0، 3)، بما أن الخط المستقيم المعطى يمر بها، سوف تحقق معادلة الخط المستقيم B y + С = 0، وبالتالي تكون المساواة صحيحة: В · 3 + С = 0. لنضع B على قيمة أخرى غير الصفر. لنفترض أن B \u003d 1، في هذه الحالة، من المساواة B · 3 + C \u003d 0 يمكننا أن نجد C: C \u003d - 3. وباستخدام القيم المعروفة لـ B وC نحصل على معادلة الخط المستقيم المطلوبة: y - 3 = 0.

إجابة:ص - 3 = 0 .

المعادلة العامة لخط مستقيم يمر بنقطة معينة من المستوى

دع الخط المعطى يمر عبر النقطة M 0 (x 0, y 0)، فإن إحداثياته ​​تتوافق مع المعادلة العامة للخط، أي. المساواة صحيحة: A x 0 + B y 0 + C = 0 . اطرح الطرفين الأيسر والأيمن لهذه المعادلة من الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلة العامة الكاملة للخط المستقيم. نحصل على: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0، هذه المعادلة تعادل المعادلة العامة الأصلية، تمر عبر النقطة M 0 (x 0، y 0) ولها المتجه الطبيعي ن → \u003d (أ، ب) .

النتيجة التي حصلنا عليها تجعل من الممكن كتابة المعادلة العامة للخط المستقيم للإحداثيات المعروفة للمتجه العمودي للخط المستقيم وإحداثيات نقطة معينة من هذا الخط المستقيم.

مثال 3

نظرا للنقطة M 0 (- 3، 4) التي يمر من خلالها الخط، والمتجه الطبيعي لهذا الخط ن → = (1 , - 2) . من الضروري كتابة معادلة خط مستقيم معين.

حل

تتيح لنا الشروط الأولية الحصول على البيانات اللازمة لتجميع المعادلة: A \u003d 1، B \u003d - 2، x 0 \u003d - 3، y 0 \u003d 4. ثم:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 ⇔ 1 (س - (- 3)) - 2 ص (ص - 4) = 0 ⇔ ⇔ س - 2 ص + 22 = 0

كان من الممكن حل المشكلة بشكل مختلف. المعادلة العامة للخط المستقيم لها الصيغة A x + B y + C = 0 . يسمح لك المتجه العادي المحدد بالحصول على قيم المعاملين A و B، ثم:

أ س + ب ص + ج = 0 ⇔ 1 س - 2 ص + ج = 0 ⇔ س - 2 ص + ج = 0

الآن دعونا نوجد قيمة C، باستخدام النقطة M 0 (- 3، 4) المعطاة بشرط المشكلة، والتي يمر عبرها الخط. تتوافق إحداثيات هذه النقطة مع المعادلة x - 2 · y + C = 0 , أي. - 3 - 2 4 + ج \u003d 0. وبالتالي ج = 11. معادلة الخط المستقيم المطلوبة تأخذ الشكل: x - 2 · y + 11 = 0 .

إجابة:س - 2 ص + 11 = 0 .

مثال 4

بالنظر إلى الخط 2 3 x - y - 1 2 = 0 والنقطة M 0 تقع على هذا الخط. ولا يُعرف إلا حدود هذه النقطة، وهي تساوي -3. من الضروري تحديد إحداثيات النقطة المحددة.

حل

لنقم بتعيين إحداثيات النقطة M 0 كـ x 0 و y 0 . تشير البيانات الأولية إلى أن x 0 \u003d - 3. وبما أن النقطة تنتمي إلى خط معين، فإن إحداثياتها تتوافق مع المعادلة العامة لهذا الخط. عندها ستكون المساواة التالية صحيحة:

2 3 × 0 - ص 0 - 1 2 = 0

حدد y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

إجابة: - 5 2

الانتقال من المعادلة العامة للخط المستقيم إلى أنواع أخرى من معادلات الخط المستقيم والعكس

كما نعلم، هناك عدة أنواع من معادلة الخط المستقيم نفسه في المستوى. يعتمد اختيار نوع المعادلة على ظروف المشكلة؛ من الممكن اختيار الخيار الأكثر ملاءمة لحلها. هذا هو المكان الذي تصبح فيه مهارة تحويل معادلة من نوع ما إلى معادلة من نوع آخر مفيدة جدًا.

أولاً، فكر في الانتقال من المعادلة العامة بالصيغة A x + B y + C = 0 إلى المعادلة الأساسية x - x 1 a x = y - y 1 a y .

إذا كان A ≠ 0، فإننا ننقل الحد B y إلى الجانب الأيمن من المعادلة العامة. على الجانب الأيسر، نخرج A من الأقواس. ونتيجة لذلك نحصل على: A x + C A = - B y .

يمكن كتابة هذه المساواة كنسبة: x + C A - B = y A .

إذا كان B ≠ 0، فإننا نترك فقط المصطلح A x على الجانب الأيسر من المعادلة العامة، وننقل الآخرين إلى الجانب الأيمن، ونحصل على: A x \u003d - B y - C. نخرج - B من الأقواس، ثم: A x \u003d - B y + C B.

دعونا نعيد كتابة المساواة كنسبة: x - B = y + C B A .

وبطبيعة الحال، ليست هناك حاجة لحفظ الصيغ الناتجة. يكفي معرفة خوارزمية الإجراءات أثناء الانتقال من المعادلة العامة إلى المعادلة الأساسية.

مثال 5

المعادلة العامة للخط 3 y - 4 = 0 معطاة. يجب تحويلها إلى معادلة قانونية.

حل

نكتب المعادلة الأصلية بالشكل 3 y - 4 = 0 . بعد ذلك، نتصرف وفقًا للخوارزمية: يبقى المصطلح 0 x على الجانب الأيسر؛ وعلى الجانب الأيمن نخرج - 3 من بين قوسين؛ نحصل على: 0 x = - 3 y - 4 3 .

لنكتب المساواة الناتجة كنسبة: x - 3 = y - 4 3 0 . وهكذا حصلنا على معادلة بالشكل القانوني.

الإجابة: س - 3 = ص - 4 3 0.

لتحويل المعادلة العامة للخط المستقيم إلى معادلة بارامترية، يتم أولاً الانتقال إلى الشكل القانوني، ثم الانتقال من المعادلة الأساسية للخط المستقيم إلى المعادلات البارامترية.

مثال 6

الخط المستقيم يعطى بالمعادلة 2 x - 5 y - 1 = 0 . اكتب المعادلات البارامترية لهذا الخط.

حل

لنقم بالانتقال من المعادلة العامة إلى المعادلة الأساسية:

2 س - 5 ص - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 ص + 1 ⇔ 2 x = 5 ص + 1 5 ⇔ x 5 = ص + 1 5 2

الآن لنأخذ كلا الجزأين من المعادلة القانونية الناتجة التي تساوي π، ثم:

x 5 =  y + 1 5 2 =  ⇔ x = 5  y = - 1 5 + 2  ,  ∈ R

إجابة:x = 5  y = - 1 5 + 2  ,  ∈ R

يمكن تحويل المعادلة العامة إلى معادلة خط مستقيم بميل y \u003d k x + b، ولكن فقط عندما يكون B ≠ 0. بالنسبة للانتقال إلى الجانب الأيسر، نترك المصطلح B y، ويتم نقل الباقي إلى اليمين. نحصل على: B y = - A x - C . دعونا نقسم كلا جزأين المساواة الناتجة على B الذي يختلف عن الصفر: y = - A B x - C B .

مثال 7

المعادلة العامة للخط المستقيم معطاة: 2 x + 7 y = 0 . تحتاج إلى تحويل هذه المعادلة إلى معادلة الميل.

حل

لنقم بتنفيذ الإجراءات اللازمة وفقًا للخوارزمية:

2 x + 7 ص = 0 ⇔ 7 ص - 2 x ⇔ ص = - 2 7 x

إجابة:ص = - 2 7 س .

من المعادلة العامة للخط المستقيم، يكفي الحصول على معادلة في أجزاء من النموذج x a + y b \u003d 1. لإجراء مثل هذا الانتقال، ننقل الرقم C إلى الجانب الأيمن من المساواة، ونقسم كلا جزأين المساواة الناتجة على - С، وأخيرًا، ننقل معاملات المتغيرات x و y إلى المقامات:

أ x + ب y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

مثال 8

من الضروري تحويل المعادلة العامة للخط المستقيم x - 7 y + 1 2 = 0 إلى معادلة خط مستقيم مقطع.

حل

لننتقل 1 2 إلى الجانب الأيمن: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

قسّم على -1/2 طرفي المعادلة: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

إجابة:س - 1 2 + ص 1 14 = 1 .

بشكل عام، يكون الانتقال العكسي سهلًا أيضًا: من أنواع المعادلات الأخرى إلى المعادلات العامة.

يمكن بسهولة تحويل معادلة الخط المستقيم في القطاعات والمعادلة ذات الميل إلى معادلة عامة ببساطة عن طريق جمع كل الحدود الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

يتم تحويل المعادلة القانونية إلى المعادلة العامة وفق المخطط التالي:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

للانتقال من البارامترية، يتم الانتقال أولاً إلى المعيار القانوني، ثم إلى المستوى العام:

x = x 1 + a x lect y = y 1 + a y lect ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

مثال 9

المعادلات البارامترية للخط المستقيم x = - 1 + 2 · lecty y = 4 معطاة. من الضروري كتابة المعادلة العامة لهذا الخط.

حل

لنقم بالانتقال من المعادلات البارامترية إلى المعادلات الأساسية:

x = - 1 + 2 lect y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 lect y = 4 + 0 lect ⇔ lect = x + 1 2 lect = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

دعنا ننتقل من الأساسي إلى العام:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

إجابة:ص - 4 = 0

مثال 10

معادلة الخط المستقيم في القطع x 3 + y 1 2 = 1 معطاة. من الضروري إجراء الانتقال إلى الشكل العام للمعادلة.

حل:

دعنا نعيد كتابة المعادلة بالشكل المطلوب:

س 3 + ص 1 2 = 1 ⇔ 1 3 س + 2 ص - 1 = 0

إجابة: 1 3 س + 2 ص - 1 = 0 .

رسم معادلة عامة للخط المستقيم

قلنا أعلاه أنه يمكن كتابة المعادلة العامة بإحداثيات معروفة للمتجه العمودي وإحداثيات النقطة التي يمر بها الخط. يتم تعريف هذا الخط المستقيم بالمعادلة A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . في نفس المكان قمنا بتحليل المثال المقابل.

الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة أكثر تعقيدًا، حيث من الضروري أولاً تحديد إحداثيات المتجه العادي.

مثال 11

معطيًا خطًا موازيًا للمستقيم 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . والمعروفة أيضًا هي النقطة M 0 (4 ، 1) التي يمر عبرها الخط المحدد. من الضروري كتابة معادلة خط مستقيم معين.

حل

تخبرنا الشروط الأولية أن الخطوط متوازية، بينما، كمتجه عادي للخط الذي يجب كتابة معادلته، نأخذ المتجه الموجه للخط n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 ص + 3 3 \u003d 0. الآن أصبحنا نعرف جميع البيانات اللازمة لتكوين المعادلة العامة للخط المستقيم:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 ⇔ 2 (س - 4) - 3 (ص - 1) = 0 ⇔ 2 س - 3 ص - 5 = 0

إجابة: 2 س - 3 ص - 5 = 0 .

مثال 12

يمر الخط المعطى بنقطة الأصل عموديًا على الخط x - 2 3 = y + 4 5 . من الضروري كتابة المعادلة العامة لخط مستقيم معين.

حل

المتجه العادي للخط المعطى سيكون المتجه الموجه للخط x - 2 3 = y + 4 5 .

ثم n → = (3 , 5) . يمر الخط المستقيم بنقطة الأصل، أي. من خلال النقطة O (0, 0) . لنقم بتكوين المعادلة العامة لخط مستقيم معين:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 ⇔ 3 (س - 0) + 5 (ص - 0) = 0 ⇔ 3 س + 5 ص = 0

إجابة: 3 س + 5 ص = 0 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، يرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

المعادلات الأساسية للخط المستقيم في الفضاء هي معادلات تحدد خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطة معينة على خط واحد إلى متجه الاتجاه.

دعونا نعطي نقطة ومتجه الاتجاه. نقطة تعسفية تقع على الخط لفقط إذا كانت المتجهات و على خط واحد، أي أنها تحقق الشرط:

.

المعادلات المذكورة أعلاه هي المعادلات الأساسية للخط.

أعداد م , نو صهي إسقاطات لمتجه الاتجاه على محاور الإحداثيات. بما أن المتجه ليس صفراً، إذن كل الأرقام م , نو صلا يمكن أن يكون صفراً في نفس الوقت لكن واحدًا أو اثنين منهم قد يكون صفرًا. في الهندسة التحليلية، على سبيل المثال، يُسمح بالترميز التالي:

,

وهو ما يعني أن إسقاطات المتجه على المحاور أويو أوزتساوي الصفر. ولذلك، فإن كلا من المتجه والخط المستقيم المعطى في المعادلات القانونية متعامدان مع المحورين أويو أوز، أي الطائرات يوز .

مثال 1إنشاء معادلات لخط مستقيم في الفضاء عمودي على المستوى ويمر بنقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوز .

حل. أوجد نقطة تقاطع المستوى المعطى مع المحور أوز. منذ أي نقطة على المحور أوز، لها إحداثيات، بافتراض معادلة المستوى المعطاة س = ص = 0، نحصل على 4 ض- 8 = 0 أو ض= 2 . ومن ثم، نقطة تقاطع المستوى المعطى مع المحور أوزله إحداثيات (0; 0; 2). بما أن الخط المطلوب عمودي على المستوى، فإنه يوازي متجهه الطبيعي. لذلك، يمكن أن يكون المتجه العادي بمثابة المتجه الموجه للخط المستقيم طائرة معينة.

الآن نكتب المعادلات المطلوبة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة أ= (0; 0; 2) في اتجاه المتجه :

معادلات الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين معلومتين

يمكن تعريف الخط المستقيم بنقطتين تقعان عليه و في هذه الحالة، يمكن أن يكون المتجه الموجه للخط المستقيم هو المتجه. ثم تأخذ المعادلات القانونية للخط الشكل

.

تحدد المعادلات أعلاه خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطتين محددتين.

مثال 2اكتب معادلة الخط المستقيم في الفضاء الذي يمر بالنقطتين و .

حل. نكتب المعادلات المطلوبة للخط المستقيم بالشكل الموضح أعلاه في المرجع النظري:

.

وبما أن الخط المطلوب يكون عموديًا على المحور أوي .

مستقيم كخط تقاطع الطائرات

يمكن تعريف الخط المستقيم في الفضاء بأنه خط تقاطع مستويين غير متوازيين، أي كمجموعة من النقاط التي تحقق نظامًا من معادلتين خطيتين

تسمى معادلات النظام أيضًا بالمعادلات العامة للخط المستقيم في الفضاء.

مثال 3قم بتكوين معادلات قانونية لخط مستقيم في الفضاء المعطى بواسطة المعادلات العامة

حل. لكتابة المعادلات الأساسية لخط مستقيم، أو، وهي نفس المعادلة، لخط مستقيم يمر عبر نقطتين محددتين، عليك إيجاد إحداثيات أي نقطتين على الخط المستقيم. ويمكن أن تكون نقاط تقاطع خط مستقيم مع أي مستويين إحداثيين، على سبيل المثال يوزو xOz .

نقطة تقاطع الخط مع المستوى يوزلديه الإحداثي السيني س= 0 . ولذلك، على افتراض في هذا النظام من المعادلات س= 0 نحصل على نظام بمتغيرين:

قرارها ذ = 2 , ض= 6 معًا س= 0 يحدد نقطة أ(0، 2، 6) من السطر المطلوب. بافتراض ذلك في نظام المعادلات المعطى ذ=0 نحصل على النظام

قرارها س = -2 , ض= 0 معًا ذ= 0 يحدد نقطة ب(-2; 0; 0) تقاطع خط مع مستوى xOz .

الآن نكتب معادلات الخط المستقيم الذي يمر بالنقاط أ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

أو بعد قسمة المقامات على -2:

,

دع الخط المستقيم يمر بالنقطتين M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2; y 2). معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطة M 1 لها الشكل y- y 1 \u003d ك (س - س 1)، (10.6)

أين ك - معامل لا يزال غير معروف.

بما أن الخط المستقيم يمر عبر النقطة M 2 (x 2 y 2)، فإن إحداثيات هذه النقطة يجب أن تلبي المعادلة (10.6): y 2 -y 1 \u003d ك (س٢ -س١).

ومن هنا نجد استبدال القيمة التي تم العثور عليها ك في المعادلة (10.6) نحصل على معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين M 1 و M 2:

من المفترض أنه في هذه المعادلة x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

إذا كان x 1 \u003d x 2، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين M 1 (x 1, y I) و M 2 (x 2, y 2) يكون موازيًا للمحور y. معادلتها هي س = س 1 .

إذا y 2 \u003d y I، فيمكن كتابة معادلة الخط المستقيم كـ y \u003d y 1، الخط المستقيم M 1 M 2 موازي للمحور السيني.

معادلة الخط المستقيم في القطاعات

دع الخط المستقيم يتقاطع مع محور الثور عند النقطة M 1 (a؛ 0)، ومحور Oy عند النقطة M 2 (0؛ b). المعادلة سوف تأخذ الشكل :
أولئك.
. تسمى هذه المعادلة معادلة الخط المستقيم في القطع، لأن يشير الرقمان a وb إلى الأجزاء التي يقطعها الخط المستقيم على محاور الإحداثيات.

معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة عموديًا على متجه معين

لنجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة Mo (x O; y o) عمودي على متجه غير صفري n = (A; B).

خذ نقطة تعسفية M(x; y) على الخط المستقيم وفكر في المتجه M 0 M (x - x 0; y - y o) (انظر الشكل 1). بما أن المتجهين n وM o M متعامدان، فإن منتجهما القياسي يساوي الصفر: أي،

أ(س - س) + ب(ص - يو) = 0. (10.8)

تسمى المعادلة (10.8). معادلة خط مستقيم يمر بنقطة معينة عمودي على متجه معين .

المتجه n = (A; B) المتعامد مع الخط يسمى عادي ناقل طبيعي لهذا الخط .

يمكن إعادة كتابة المعادلة (10.8) بالشكل آه + وو + ج = 0 , (10.9)

حيث A و B هما إحداثيات المتجه العادي، C \u003d -Ax o - Vu o - عضو حر. المعادلة (10.9) هي المعادلة العامة للخط المستقيم(انظر الشكل 2).

الشكل 1 الشكل 2

المعادلات الكنسية للخط المستقيم

,

أين
هي إحداثيات النقطة التي يمر عبرها الخط، و
- ناقل الاتجاه.

منحنيات الدائرة من الدرجة الثانية

الدائرة هي مجموعة جميع نقاط المستوى المتساوية البعد عن نقطة معينة تسمى المركز.

المعادلة القانونية لدائرة نصف القطر ر تتمحور حول نقطة
:

على وجه الخصوص، إذا كان مركز الوتد يتطابق مع نقطة الأصل، فستبدو المعادلة كما يلي:

الشكل البيضاوي

القطع الناقص هو مجموعة من النقاط في المستوى، مجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين معلومتين و ، والتي تسمى البؤر، هي قيمة ثابتة
، أكبر من المسافة بين البؤرتين
.

المعادلة القانونية للقطع الناقص الذي تقع بؤرته على محور الثور والذي يقع أصله في المنتصف بين البؤرتين لها الشكل
ز ديأ طول نصف المحور الرئيسي؛ب هو طول نصف المحور الصغير (الشكل 2).

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة في اتجاه معين. معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين معلومتين. الزاوية بين خطين. حالة التوازي والتعامد بين خطين. تحديد نقطة تقاطع خطين

1. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة أ(س 1 , ذ 1) في اتجاه معين يحدده المنحدر ك,

ذ - ذ 1 = ك(س - س 1). (1)

تحدد هذه المعادلة قلم رصاص من الخطوط التي تمر عبر نقطة ما أ(س 1 , ذ 1) وهو ما يسمى مركز الشعاع.

2. معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين: أ(س 1 , ذ 1) و ب(س 2 , ذ 2) يكتب هكذا:

يتم تحديد ميل الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطتين محددتين بالصيغة

3. الزاوية بين الخطوط المستقيمة أو بهي الزاوية التي يجب أن يدور بها الخط المستقيم الأول أحول نقطة تقاطع هذه الخطوط عكس اتجاه عقارب الساعة حتى تتزامن مع الخط الثاني ب. إذا تم إعطاء خطين بواسطة معادلات الميل

ذ = ك 1 س + ب 1 ,

تعريف.يمكن إعطاء أي خط في المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

آه + وو + C = 0،

والثوابت A، B لا تساوي الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى المعادلة العامة للخط المستقيم.اعتمادًا على قيم الثوابت A وB وC، من الممكن حدوث الحالات الخاصة التالية:

C \u003d 0، A ≠ 0، B ≠ 0 - يمر الخط عبر الأصل

A \u003d 0، B ≠ 0، C ≠ 0 (بواسطة + C \u003d 0) - الخط موازٍ لمحور الثور

B \u003d 0، A ≠ 0، C ≠ 0 ( الفأس + C \u003d 0) - الخط موازٍ لمحور أوي

B \u003d C \u003d 0، A ≠ 0 - يتزامن الخط المستقيم مع محور Oy

A \u003d C \u003d 0، B ≠ 0 - يتزامن الخط المستقيم مع محور الثور

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه عادي

تعريف.في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، يكون المتجه ذو المكونات (A، B) متعامدًا مع الخط المعطى بالمعادلة Ax + By + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(1, 2) العمودي على (3, -1).

حل. عند A = 3 وB = -1، نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C، نعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، ونحصل على: 3 - 2 + C = 0، وبالتالي C = -1 . الإجمالي: المعادلة المطلوبة: 3س - ص - 1 \u003d 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين

دع النقطتين M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) معطاة في الفضاء، ثم معادلة الخط المستقيم الذي يمر بهذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي الصفر، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر، على المستوى، يتم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

إذا كان x 1 ≠ x 2 و x = x 1 إذا كان x 1 = x 2.

الكسر = k يسمى عامل المنحدرمستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين أ(١، ٢) وب(٣، ٤).

حل.وبتطبيق الصيغة السابقة نحصل على:

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومنحدر

إذا كان مجموع Ax + Wu + C = 0 يؤدي إلى النموذج:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم مع الميلك.

معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه الاتجاه

عن طريق القياس مع النقطة التي تعتبر معادلة خط مستقيم من خلال المتجه العادي، يمكنك إدخال تعيين خط مستقيم من خلال نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف.كل متجه غير صفري (α 1, α 2) تفي مكوناته بالشرط A α 1 + B α 2 = 0 يسمى المتجه الموجه للخط

آه + وو + ج = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه (1، -1) ويمر بالنقطة أ(1، 2).

حل.سنبحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: Ax + By + C = 0. ووفقاً للتعريف، يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: Ax + Ay + C = 0، أو x + y + C / A = 0. بالنسبة لـ x = 1، y = 2 نحصل على C / A = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

معادلة الخط المستقيم في القطاعات

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Ah + Wu + C = 0 C≠0، فبالقسمة على –C نحصل على: أو

المعنى الهندسي للمعاملات هو المعامل أهي إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور السيني، و ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور أوي.

مثال.بمعرفة المعادلة العامة للخط x - y + 1 = 0. أوجد معادلة هذا الخط في القطع.

ج \u003d 1، أ \u003d -1، ب \u003d 1.

معادلة عادية لخط مستقيم

إذا تم ضرب طرفي المعادلة Ax + Vy + C = 0 في العدد ، من اتصل عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -

معادلة عادية لخط مستقيم. يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث تكون μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

مثال. بالنظر إلى المعادلة العامة للخط 12س - 5ص - 65 = 0. يلزم كتابة أنواع مختلفة من المعادلات لهذا الخط.

معادلة هذا الخط المستقيم في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

; كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه ليس كل خط مستقيم يمكن تمثيله بمعادلة في قطع، على سبيل المثال، الخطوط المستقيمة الموازية للمحاور أو التي تمر بنقطة الأصل.

مثال. يقطع الخط المستقيم الأجزاء الموجبة المتساوية على محاور الإحداثيات. اكتب معادلة الخط المستقيم إذا كانت مساحة المثلث المكون من هذه القطع 8 سم2.

حل.معادلة الخط المستقيم لها الشكل: , ab /2 = 8; أب = 16؛ أ=4، أ=-4. أ = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

مثال. اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A (-2، -3) ونقطة الأصل.

حل. معادلة الخط المستقيم لها الشكل: ، حيث س 1 \u003d ص 1 \u003d 0 ؛ س 2 \u003d -2؛ ص 2 \u003d -3.

الزاوية بين الخطوط على المستوى

تعريف.إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذين الخطين على أنها

.

الخطان متوازيان إذا k 1 = k 2 . يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1/ k 2 .

نظرية.الخطوط المستقيمة Ax + Vy + C \u003d 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 متوازية عندما تكون المعاملات A 1 \u003d lectA و B 1 \u003d lectB متناسبة. إذا كان أيضًا С 1 = α، فإن الخطوط تتطابق. تم العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة عموديًا على مستقيم معين

تعريف.يتم تمثيل الخط الذي يمر عبر النقطة M 1 (x 1، y 1) والعمودي على الخط y \u003d kx + b بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط

نظرية.إذا تم إعطاء نقطة M(x 0, y 0) ، فسيتم تعريف المسافة إلى الخط Ax + Vy + C \u003d 0 على أنها

.

دليل.لتكن النقطة M 1 (x 1, y 1) هي قاعدة العمود المسقط من النقطة M على المستقيم المعطى. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

(1)

يمكن إيجاد إحداثيات x 1 و y 1 كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة M 0 عمودي على خط مستقيم معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

مثال. تحديد الزاوية بين السطور: y = -3 x + 7; ص = 2 س + 1.

ك 1 \u003d -3؛ ك2 = 2؛ تغφ = ; φ= π /4.

مثال. وضح أن الخطين 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 متعامدان.

حل. نجد: k 1 \u003d 3/5، k 2 \u003d -5/3، k 1 * k 2 \u003d -1، وبالتالي فإن الخطوط متعامدة.

مثال. يتم إعطاء رؤوس المثلث A(0؛ 1)، B (6؛ 5)، C (12؛ -1). أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

حل. نجد معادلة الجانب AB: ; 4 س = 6 ص - 6؛

2س – 3ص + 3 = 0;

معادلة الارتفاع المطلوبة هي: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b. ك = . ثم ص = . لأن ويمر الارتفاع بالنقطة C، فإن إحداثياته ​​تحقق هذه المعادلة: حيث ب = 17. المجموع: .

الإجابة: 3س + 2ص - 34 = 0.