كيفية تحديد ما إذا كانت الخطوط تتقاطع. الموقع النسبي للخطوط في الفضاء

أوه-أوه-أوه-أوه... حسنًا، الأمر صعب، كما لو كان يقرأ جملة لنفسه =) لكن الاسترخاء سيساعد لاحقًا، خاصة وأنني اشتريت اليوم الملحقات المناسبة. لذلك، دعونا ننتقل إلى القسم الأول، وآمل أنه بنهاية المقال سأحافظ على مزاج مبهج.

الموضع النسبي لخطين مستقيمين

هذا هو الحال عندما يغني الجمهور في جوقة. يمكن لخطين مستقيمين:

1) المباراة؛

2) تكون متوازية : ;

3) أو تتقاطع في نقطة واحدة : .

مساعدة للدمى : من فضلك تذكر علامة التقاطع الرياضية، سوف تظهر في كثير من الأحيان. الترميز يعني أن الخط يتقاطع مع الخط عند النقطة .

كيفية تحديد الموضع النسبي لخطين؟

لنبدأ بالحالة الأولى:

يتطابق الخطان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما المقابلة متناسبةأي أن هناك رقم "لامدا" بحيث يتم استيفاء المساواة

لنفكر في الخطوط المستقيمة وننشئ ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة: . ويترتب على كل معادلة أن هذه الخطوط متطابقة.

وبالفعل، إذا كانت جميع معاملات المعادلة اضرب بـ -1 (علامات التغيير)، وجميع معاملات المعادلة وبقطع 2 تحصل على نفس المعادلة: .

الحالة الثانية عندما يكون المستقيمان متوازيين:

يكون الخطان متوازيين إذا وفقط إذا كانت معاملات متغيراتهما متناسبة: ، لكن.

على سبيل المثال، النظر في خطين مستقيمين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات:

ومع ذلك، فمن الواضح تماما أن.

والحالة الثالثة عندما تتقاطع الخطوط:

يتقاطع خطان إذا وفقط إذا كانت معاملات المتغيرات الخاصة بهما غير متناسبةأي أنه لا توجد قيمة لـ "لامدا" بحيث يتم استيفاء المساواة

لذلك، بالنسبة للخطوط المستقيمة، سنقوم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى ينتج ذلك، ومن المعادلة الثانية: مما يعني النظام غير متناسق(لا توجد حلول). وبالتالي فإن معاملات المتغيرات ليست متناسبة.

الخلاصة: الخطوط متقاطعة

في المسائل العملية، يمكنك استخدام مخطط الحل الذي تمت مناقشته للتو. بالمناسبة، إنه يذكرنا جدًا بخوارزمية فحص المتجهات بحثًا عن العلاقة الخطية المتداخلة، والتي نظرنا إليها في الفصل مفهوم الاعتماد الخطي (في) على المتجهات. أساس المتجهات. ولكن هناك عبوة أكثر تحضرا:

مثال 1

معرفة الموقع النسبي للخطوط:

حلبناءً على دراسة توجيه متجهات الخطوط المستقيمة:

أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط: .

مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم وأن الخطوط متقاطعة.

فقط في حالة، سأضع حجرًا عليه علامات عند مفترق الطرق:

يقفز الباقون فوق الحجر ويتبعون مباشرة إلى كاششي الخالد =)

ب) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط:

الخطوط لها نفس متجه الاتجاه، مما يعني أنها إما متوازية أو متطابقة. ليست هناك حاجة لحساب المحدد هنا.

ومن الواضح أن معاملات المجهولين متناسبة، و.

دعونا نعرف ما إذا كانت المساواة صحيحة:

هكذا،

ج) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات:
وبالتالي فإن متجهات الاتجاه تكون على خط واحد. الخطوط إما متوازية أو متطابقة.

من السهل رؤية معامل التناسب "لامدا" مباشرة من نسبة متجهات الاتجاه الخطية المتداخلة. ومع ذلك، يمكن العثور عليه أيضًا من خلال معاملات المعادلات نفسها: .

الآن دعونا معرفة ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا الحدين المجانيين صفر، لذلك:

القيمة الناتجة تلبي هذه المعادلة (أي رقم بشكل عام يرضيها).

وهكذا تتطابق الخطوط.

إجابة:

ستتعلم قريبًا جدًا (أو حتى تعلمت بالفعل) حل المشكلة التي تمت مناقشتها لفظيًا حرفيًا في غضون ثوانٍ. في هذا الصدد، لا أرى أي فائدة من تقديم أي شيء لحل مستقل، فمن الأفضل وضع لبنة مهمة أخرى في الأساس الهندسي:

كيفية بناء خط موازي لخط معين؟

لجهل هذه المهمة البسيطة، يعاقب السارق العندليب بشدة.

مثال 2

يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة المستقيم الموازي الذي يمر بالنقطة.

حل: نرمز إلى السطر المجهول بالحرف . ماذا تقول الحالة عنها؟ يمر الخط المستقيم عبر هذه النقطة. وإذا كانت الخطوط متوازية، فمن الواضح أن متجه الاتجاه للخط المستقيم "tse" مناسب أيضًا لبناء الخط المستقيم "de".

نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:

إجابة:

يبدو المثال الهندسي بسيطًا:

يتكون الاختبار التحليلي من الخطوات التالية:

1) نتحقق من أن الخطوط لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط بشكل صحيح، فإن المتجهات ستكون على خط واحد).

2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

في معظم الحالات، يمكن إجراء الاختبارات التحليلية بسهولة عن طريق الفم. انظروا إلى المعادلتين، والعديد منكم سيحدد بسرعة توازي الخطين دون أي رسم.

أمثلة على الحلول المستقلة اليوم ستكون إبداعية. لأنه لا يزال يتعين عليك التنافس مع بابا ياجا، وهي، كما تعلمون، من محبي جميع أنواع الألغاز.

مثال 3

اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة موازية للخط إذا

هناك طريقة عقلانية وغير عقلانية لحلها. أقصر طريق هو في نهاية الدرس.

لقد عملنا قليلاً مع الخطوط المتوازية وسنعود إليها لاحقاً. إن حالة الخطوط المتطابقة ليست ذات أهمية كبيرة، لذلك دعونا نفكر في مشكلة مألوفة لك جدًا من المنهج الدراسي:

كيفية العثور على نقطة تقاطع خطين؟

إذا كان مستقيما تتقاطع عند نقطة فإن إحداثياتها هي الحل أنظمة المعادلات الخطية

كيفية العثور على نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.

ها أنت ذا المعنى الهندسي لنظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين- هذان خطان متقاطعان (في أغلب الأحيان) على المستوى.

مثال 4

العثور على نقطة تقاطع الخطوط

حل: هناك طريقتان للحل - رسومية وتحليلية.

الطريقة الرسومية هي ببساطة رسم الخطوط المعطاة ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم:

وهنا وجهة نظرنا: . للتحقق من ذلك، يجب عليك استبدال إحداثياته ​​في كل معادلة للخط، حيث يجب أن تتناسب هناك وهناك. بمعنى آخر، إحداثيات النقطة هي حل للنظام. في الأساس، نظرنا إلى حل رسومي أنظمة المعادلات الخطيةمع معادلتين، مجهولين.

الطريقة الرسومية بالطبع ليست سيئة، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع يقررون بهذه الطريقة، النقطة المهمة هي أن إنشاء رسم صحيح ودقيق سيستغرق وقتًا. بالإضافة إلى ذلك، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط المستقيمة، وقد تكون نقطة التقاطع نفسها موجودة في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.

لذلك، من الأفضل البحث عن نقطة التقاطع باستخدام الطريقة التحليلية. دعونا نحل النظام:

لحل النظام، تم استخدام طريقة جمع المعادلات حداً تلو الآخر. لتطوير المهارات ذات الصلة، خذ درسًا كيفية حل نظام المعادلات؟

إجابة:

التحقق تافه - إحداثيات نقطة التقاطع يجب أن تلبي كل معادلة في النظام.

مثال 5

أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا كانا متقاطعين.

هذا مثال لك لحله بنفسك. من الملائم تقسيم المهمة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى أنه من الضروري:
1) أكتب معادلة الخط المستقيم .
2) أكتب معادلة الخط المستقيم .
3) معرفة الموقع النسبي للخطوط.
4) إذا تقاطع المستقيمان فأوجد نقطة التقاطع.

يعد تطوير خوارزمية الإجراء نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية، وسأركز بشكل متكرر على هذا الأمر.

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس:

ولم يتم ارتداء حتى زوج من الأحذية قبل أن نصل إلى القسم الثاني من الدرس:

خطوط متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.
الزاوية بين الخطوط المستقيمة

لنبدأ بمهمة نموذجية ومهمة جدًا. في الجزء الأول، تعلمنا كيفية بناء خط مستقيم موازٍ لهذا الخط، والآن سيتحول الكوخ الموجود على أرجل الدجاج إلى 90 درجة:

كيفية بناء خط عمودي على واحد معين؟

مثال 6

يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة عمودية على الخط الذي يمر بالنقطة.

حل: بالشرط المعروف أن . سيكون من الجيد العثور على المتجه الموجه للخط. بما أن الخطوط متعامدة، فالخدعة بسيطة:

من المعادلة نقوم "بإزالة" المتجه العادي: والذي سيكون المتجه الموجه للخط المستقيم.

لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

إجابة:

دعونا نوسع الرسم الهندسي:

هممممم... سماء برتقالية، بحر برتقالي، جمل برتقالي.

التحقق التحليلي من الحل:

1) نخرج متجهات الاتجاه من المعادلات وبالمساعدة المنتج العددي للمتجهاتنصل إلى استنتاج مفاده أن الخطوط المتعامدة بالفعل: .

بالمناسبة، يمكنك استخدام المتجهات العادية، بل إنه أسهل.

2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة .

ومرة أخرى، من السهل إجراء الاختبار شفويا.

مثال 7

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين المتعامدين إذا كانت المعادلة معروفة والفترة.

هذا مثال لك لحله بنفسك. هناك العديد من الإجراءات في المشكلة، لذلك من الملائم صياغة الحل نقطة تلو الأخرى.

رحلتنا المثيرة مستمرة:

المسافة من نقطة إلى خط

أمامنا شريط مستقيم من النهر ومهمتنا هي الوصول إليه بأقصر طريق. لا توجد عقبات، والطريق الأمثل هو التحرك على طول الخط العمودي. أي أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول القطعة المتعامدة.

يُشار إلى المسافة في الهندسة تقليديًا بالحرف اليوناني "rho"، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "em" إلى الخط المستقيم "de".

المسافة من نقطة إلى خط يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة

مثال 8

أوجد المسافة من نقطة إلى خط

حل: كل ​​ما عليك فعله هو استبدال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء الحسابات:

إجابة:

لنقم بالرسم:

المسافة التي تم العثور عليها من النقطة إلى الخط هي بالضبط طول القطعة الحمراء. إذا قمت برسم رسم على ورق مربعات بمقياس وحدة واحدة. = 1 سم (خليتان)، فيمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.

لنفكر في مهمة أخرى بناءً على نفس الرسم:

وتتمثل المهمة في العثور على إحداثيات نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للخط المستقيم . أقترح تنفيذ الخطوات بنفسك، ولكنني سألخص خوارزمية الحل بنتائج متوسطة:

1) ابحث عن مستقيم عمودي على الخط.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطين: .

تتم مناقشة كلا الإجراءين بالتفصيل في هذا الدرس.

3) النقطة هي منتصف القطعة . نحن نعرف إحداثيات الوسط وأحد الأطراف. بواسطة صيغ إحداثيات نقطة المنتصف للقطعةنجد .

وستكون فكرة جيدة أن نتأكد من أن المسافة أيضًا تساوي 2.2 وحدة.

قد تنشأ صعوبات في العمليات الحسابية هنا، ولكن الآلة الحاسبة الدقيقة هي مساعدة كبيرة في البرج، مما يسمح لك بحساب الكسور العادية. لقد نصحتك مرات عديدة وسوف أوصيك مرة أخرى.

كيفية العثور على المسافة بين خطين متوازيين؟

مثال 9

العثور على المسافة بين خطين متوازيين

وهذا مثال آخر عليك أن تقرره بنفسك. سأعطيك تلميحًا بسيطًا: هناك طرق عديدة لحل هذه المشكلة. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك، أعتقد أن براعتك كانت متطورة بشكل جيد.

الزاوية بين خطين مستقيمين

كل زاوية هي عضادة:


في الهندسة، تعتبر الزاوية الواقعة بين خطين مستقيمين هي الزاوية الأصغر، والتي يتبع منها تلقائيًا أنها لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل، الزاوية المشار إليها بالقوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. وجاره "الأخضر" أو موجهة بشكل معاكسزاوية "التوت".

إذا كانت الخطوط متعامدة، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع هي الزاوية بينهما.

كيف تختلف الزوايا؟ توجيه. أولاً، الاتجاه الذي يتم فيه "تمرير" الزاوية مهم بشكل أساسي. ثانياً، يتم كتابة الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة الطرح، على سبيل المثال if .

لماذا قلت لك هذا؟ يبدو أنه يمكننا التعامل مع المفهوم المعتاد للزاوية. والحقيقة هي أن الصيغ التي سنجد بها الزوايا يمكن أن تؤدي بسهولة إلى نتيجة سلبية، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية التي تحمل علامة الطرح ليست أسوأ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. في الرسم، بالنسبة للزاوية السلبية، تأكد من الإشارة إلى اتجاهها بسهم (في اتجاه عقارب الساعة).

كيفية العثور على الزاوية بين خطين مستقيمين؟هناك صيغتان للعمل:

مثال 10

أوجد الزاوية بين الخطوط

حلو الطريقة الأولى

لنفكر في خطين مستقيمين تحددهما المعادلات بشكل عام:

إذا كان مستقيما ليس عموديا، الذي - التي الموجهةيمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

دعونا نولي اهتماما وثيقا للمقام - هذا هو بالضبط المنتج العدديتوجيه ناقلات الخطوط المستقيمة:

إذا كان مقام الصيغة يصبح صفرًا، وستكون المتجهات متعامدة والخطوط متعامدة. ولهذا السبب تم التحفظ على عدم تعامد الخطوط المستقيمة في الصياغة.

بناءً على ما سبق، من المناسب صياغة الحل في خطوتين:

1) لنحسب المنتج العددي لمتجهات الاتجاه للخطوط:
مما يعني أن الخطوط ليست متعامدة.

2) أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة باستخدام الصيغة:

باستخدام الدالة العكسية، من السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة، نستخدم غرابة ظل القطب الشمالي (انظر. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية):

إجابة:

في إجابتك، نشير إلى القيمة الدقيقة، بالإضافة إلى القيمة التقريبية (ويفضل أن تكون بالدرجات والراديان)، والتي يتم حسابها باستخدام الآلة الحاسبة.

حسنا، ناقص، ناقص، ليس مشكلة كبيرة. هنا رسم توضيحي هندسي:

ليس من المستغرب أن تكون الزاوية ذات اتجاه سلبي، لأنه في بيان المشكلة، الرقم الأول هو خط مستقيم وبدأ "فك" الزاوية به على وجه التحديد.

إذا كنت تريد حقًا الحصول على زاوية موجبة، فأنت بحاجة إلى تبديل الخطوط، أي أخذ المعاملات من المعادلة الثانية ، وخذ المعاملات من المعادلة الأولى. باختصار، عليك أن تبدأ مباشرة .

باستخدام هذه الآلة الحاسبة المتوفرة على الإنترنت، يمكنك العثور على نقطة تقاطع الخطوط على المستوى. ويرد حل مفصل مع التفسيرات. للعثور على إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط، قم بتعيين نوع معادلة الخطوط ("أساسية" أو "بارامترية" أو "عامة")، وأدخل معاملات معادلات الخطوط في الخلايا وانقر على "حل" " زر. انظر الجزء النظري والأمثلة العددية أدناه.

×

تحذير

مسح كافة الخلايا؟

إغلاق واضح

تعليمات إدخال البيانات.يتم إدخال الأرقام كأعداد صحيحة (أمثلة: 487، 5، -7623، وما إلى ذلك)، أو كسور عشرية (مثل 67، 102.54، وما إلى ذلك) أو كسور. يجب إدخال الكسر بالصيغة a/b، حيث a وb (b>0) عبارة عن أعداد صحيحة أو أرقام عشرية. أمثلة 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، إلخ.

نقطة تقاطع الخطوط على المستوى - النظرية والأمثلة والحلول

1. نقطة تقاطع الخطوط المعطاة بشكل عام.

أوكسي ل 1 و ل 2:

دعونا نبني مصفوفة موسعة:

لو ب" 2 = 0 و مع" 2 =0 فإن نظام المعادلات الخطية له العديد من الحلول. لذلك على التوالي ل 1 و ل 2 مباراة. لو ب" 2 = 0 و مع" 2 ≠0، فإن النظام غير متناسق، وبالتالي فإن الخطوط متوازية وليس لها نقطة مشتركة. لو ب" 2 ≠0، فإن نظام المعادلات الخطية له حل فريد. ومن المعادلة الثانية نجد ذ: ذ=مع" 2 /ب" 2 وتعويض القيمة الناتجة في المعادلة الأولى التي نجدها س: س=−مع 1 −ب 1 ذ. لقد حصلنا على نقطة تقاطع الخطوط ل 1 و ل 2: م(س، ص).

2. نقطة تقاطع الخطوط الواردة في الشكل القانوني.

دعونا نعطي نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل أوكسيودع الخطوط المستقيمة تعطى في نظام الإحداثيات هذا ل 1 و ل 2:

دعونا نفتح الأقواس ونجري التحولات:

وبطريقة مشابهة نحصل على المعادلة العامة للخط المستقيم (7):

ومن المعادلات (12) يلي:

كيفية العثور على نقطة تقاطع الخطوط الواردة في الشكل الأساسي موصوفة أعلاه.

4. نقطة تقاطع الخطوط المحددة في وجهات النظر المختلفة.

دعونا نعطي نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل أوكسيودع الخطوط المستقيمة تعطى في نظام الإحداثيات هذا ل 1 و ل 2:

سوف نجد ر:

دعونا نحل نظام المعادلات الخطية فيما يتعلق س، ص. للقيام بذلك، سوف نستخدم طريقة غاوس. نحن نحصل:

مثال 2. أوجد نقطة تقاطع الخطوط ل 1 و ل 2:

(21)

للعثور على نقطة تقاطع الخطوط ل 1 و ل 2 تحتاج إلى حل نظام المعادلات الخطية (20) و (21). دعونا نقدم المعادلات في شكل مصفوفة.

دعنا نعطي سطرين وتحتاج إلى العثور على نقطة التقاطع بينهما. وبما أن هذه النقطة تنتمي إلى كل من الخطين المعينين، فيجب أن تحقق إحداثياتها معادلة الخط الأول ومعادلة الخط الثاني.

وبالتالي، من أجل العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين، يجب حل نظام المعادلات

مثال 1. أوجد نقطة تقاطع الخطوط و

حل. سنجد إحداثيات نقطة التقاطع المطلوبة عن طريق حل نظام المعادلات

نقطة التقاطع M لها إحداثيات

دعونا نوضح كيفية إنشاء خط مستقيم باستخدام معادلته. لبناء خط مستقيم يكفي معرفة نقطتيه. ولإنشاء كل نقطة من هذه النقاط، نحدد قيمة عشوائية لإحدى إحداثياتها، ومن ثم من المعادلة نجد القيمة المقابلة للإحداثي الآخر.

إذا كان كلا المعاملين في الإحداثيات الحالية في المعادلة العامة للخط المستقيم لا يساوي الصفر، فمن الأفضل لبناء هذا الخط المستقيم العثور على نقاط تقاطعه مع محاور الإحداثيات.

مثال 2. إنشاء خط مستقيم.

حل. نجد نقطة تقاطع هذا الخط مع محور الإحداثي السيني. للقيام بذلك، نحل معادلاتهم معا:

ونحصل على . وهكذا تم العثور على النقطة M (3؛ 0) لتقاطع هذا الخط مع محور الإحداثي السيني (الشكل 40).

ثم حل معادلة هذا الخط ومعادلة المحور الإحداثي معًا

نجد نقطة تقاطع الخط مع المحور الإحداثي. وأخيرًا، نبني خطًا مستقيمًا من النقطتين M و

عند حل بعض المسائل الهندسية باستخدام الطريقة الإحداثية، عليك إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط. في أغلب الأحيان يتعين عليك البحث عن إحداثيات نقطة تقاطع خطين على المستوى، ولكن في بعض الأحيان تكون هناك حاجة لتحديد إحداثيات نقطة تقاطع خطين في الفضاء. سنتناول في هذه المقالة إيجاد إحداثيات النقطة التي يتقاطع عندها الخطان.

التنقل في الصفحة.

نقطة تقاطع خطين هي تعريف.

دعونا أولا نحدد نقطة تقاطع خطين.

في القسم الخاص بالموضع النسبي للخطوط على المستوى، يظهر أن الخطين الموجودين على المستوى يمكن أن يتطابقا (ويحتويان على عدد لا نهائي من النقاط المشتركة)، أو يكونا متوازيين (وليس لهما نقاط مشتركة)، أو يتقاطعان ، وجود نقطة مشتركة واحدة. هناك المزيد من الخيارات للموضع النسبي لخطين في الفضاء - يمكن أن يتطابقا (يحتويان على عدد لا نهائي من النقاط المشتركة)، ويمكن أن يكونا متوازيين (أي يقعان في نفس المستوى ولا يتقاطعان)، ويمكن أن يتقاطعا (ليسا تقع في نفس المستوى)، ويمكن أن يكون لها أيضًا نقطة مشتركة واحدة، وهي التقاطع. لذلك، يسمى الخطان الموجودان على المستوى وفي الفضاء متقاطعين إذا كان لديهما نقطة مشتركة واحدة.

ويتبع من تعريف الخطوط المتقاطعة تحديد نقطة تقاطع الخطوط: النقطة التي يتقاطع عندها خطان تسمى نقطة تقاطع هذين الخطين. بمعنى آخر، النقطة المشتركة الوحيدة بين خطين متقاطعين هي نقطة تقاطع هذين الخطين.

وللتوضيح، نقدم رسما توضيحيا لنقطة تقاطع خطين مستقيمين على المستوى وفي الفضاء.

أعلى الصفحة

إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين على المستوى.

قبل إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين مستقيمين على المستوى باستخدام معادلاتهما المعروفة، فكر في مسألة مساعدة.

أوكسي أو ب. وسوف نفترض ذلك مباشرة أيتوافق مع معادلة عامة للخط المستقيم من الشكل، والخط المستقيم ب- يكتب . دعونا نكون نقطة ما على متن الطائرة، ونحن بحاجة لمعرفة ما إذا كانت هذه النقطة م 0نقطة تقاطع الخطوط المحددة.

دعونا نحل المشكلة.

لو م0 أو ب، فهو بحكم التعريف ينتمي أيضًا إلى السطر أومستقيم بأي أن إحداثياتها يجب أن تحقق كلاً من المعادلة والمعادلة. ومن ثم، علينا التعويض بإحداثيات النقطة م 0في معادلات الخطوط المعطاة ومعرفة ما إذا كان هذا يؤدي إلى معادلتين صحيحتين. إذا كانت إحداثيات النقطة م 0تحقق كلتا المعادلتين، ثم هي نقطة تقاطع الخطين أو ب، خلاف ذلك م 0 .

هي النقطة م 0مع الإحداثيات (2, -3) نقطة تقاطع الخطوط 5x-2y-16=0و 2x-5y-19=0?

لو م 0هي بالفعل نقطة تقاطع الخطوط المعطاة، فإن إحداثياتها تحقق معادلات الخطوط. دعونا نتحقق من ذلك عن طريق استبدال إحداثيات النقطة م 0في المعادلات المعطاة:

لقد حصلنا على مساواة حقيقية، وبالتالي، م 0 (2، -3)- نقطة تقاطع الخطوط 5x-2y-16=0و 2x-5y-19=0.

وللتوضيح نقدم رسما يوضح الخطوط المستقيمة وتكون إحداثيات نقاط تقاطعها مرئية.

نعم الفترة م 0 (2، -3)هي نقطة تقاطع الخطوط 5x-2y-16=0و 2x-5y-19=0.

هل تتقاطع الخطوط؟ 5س+3ص-1=0و 7س-2ص+11=0عند هذه النقطة م 0 (2، -3)?

دعونا نعوض بإحداثيات النقطة م 0في معادلات الخطوط المستقيمة، سيتحقق هذا الإجراء مما إذا كانت النقطة تنتمي إليها م 0كلا الخطين المستقيمين في نفس الوقت:

منذ المعادلة الثانية عند استبدال إحداثيات النقطة فيها م 0لم تتحول إلى مساواة حقيقية، ثم نقطة م 0لا ينتمي إلى الخط 7س-2ص+11=0. ومن هذه الحقيقة يمكننا أن نستنتج أن هذه النقطة م 0ليست نقطة تقاطع الخطوط المعطاة.

الرسم يظهر بوضوح أيضا أن هذه النقطة م 0ليست نقطة تقاطع الخطوط 5س+3ص-1=0و 7س-2ص+11=0. من الواضح أن الخطوط المعطاة تتقاطع عند نقطة ذات إحداثيات (-1, 2) .

م 0 (2، -3)ليست نقطة تقاطع الخطوط 5س+3ص-1=0و 7س-2ص+11=0.

يمكننا الآن الانتقال إلى مهمة إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين باستخدام معادلات الخطوط المعطاة على المستوى.

دع نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة يكون ثابتًا على المستوى أوكسيوأعطى خطين متقاطعين أو بالمعادلات وعلى التوالي. دعونا نشير إلى نقطة تقاطع الخطوط المعطاة كـ م 0وحل المسألة التالية: أوجد إحداثيات نقطة تقاطع خطين أو بحسب المعادلات المعروفة لهذه الخطوط و .

نقطة م0ينتمي إلى كل من الخطوط المتقاطعة أو بأ-بريوري. ثم إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط أو بتلبية كل من المعادلة والمعادلة. وبالتالي، فإن إحداثيات نقطة تقاطع الخطين أو بهي الحل لنظام من المعادلات (راجع مقالة حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية).

وبالتالي، من أجل العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين مستقيمين محددين على المستوى بواسطة معادلات عامة، تحتاج إلى حل نظام يتكون من معادلات لخطوط مستقيمة معينة.

دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

أوجد نقطة تقاطع خطين محددين في نظام إحداثي مستطيل على المستوى بواسطة المعادلات س-9ص+14=0و 5x-2y-16=0.

لقد حصلنا على معادلتين عامتين للخطوط، فلنصنع منهما نظامًا: . يمكن العثور بسهولة على حلول نظام المعادلات الناتج عن طريق حل معادلته الأولى بالنسبة للمتغير سواستبدل هذا التعبير في المعادلة الثانية:

الحل الموجود لنظام المعادلات يعطينا الإحداثيات المطلوبة لنقطة تقاطع الخطين.

م 0 (4، 2)- نقطة تقاطع الخطوط س-9ص+14=0و 5x-2y-16=0.

لذا، فإن العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين مستقيمين، محددين بمعادلات عامة على المستوى، يؤدي إلى حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين مجهولين. ولكن ماذا لو لم يتم إعطاء الخطوط الموجودة على المستوى بواسطة معادلات عامة، ولكن من خلال معادلات من نوع مختلف (انظر أنواع معادلات الخط على المستوى)؟ في هذه الحالات، يمكنك أولاً تقليل معادلات الخطوط إلى شكل عام، وبعد ذلك فقط يمكنك العثور على إحداثيات نقطة التقاطع.

قبل إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط المعطاة، نقوم بتحويل معادلاتها إلى الصورة العامة. يبدو الانتقال من المعادلات البارامترية للخط إلى المعادلة العامة لهذا الخط كما يلي:

لنقم الآن بتنفيذ الإجراءات اللازمة باستخدام المعادلة الأساسية للخط المستقيم:

وبالتالي فإن الإحداثيات المطلوبة لنقطة تقاطع الخطوط هي حل لنظام المعادلات من الشكل . نستخدم طريقة كريمر لحلها:

م 0 (-5، 1)

هناك طريقة أخرى للعثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين على المستوى. إنه مناسب للاستخدام عندما يتم إعطاء أحد الخطين بواسطة معادلات حدودية من النموذج والآخر بمعادلة خطية من نوع مختلف. وفي هذه الحالة، في معادلة أخرى بدلا من المتغيرات سو ذيمكنك استبدال التعبيرات و، حيث يمكنك الحصول على القيمة التي تتوافق مع نقطة تقاطع الخطوط المحددة. في هذه الحالة، نقطة تقاطع الخطوط لها إحداثيات.

لنجد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط من المثال السابق باستخدام هذه الطريقة.

تحديد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط و .

لنعوض بتعبير الخط المستقيم في المعادلة:

وبحل المعادلة الناتجة نحصل على . تتوافق هذه القيمة مع النقطة المشتركة بين الخطوط و . نحسب إحداثيات نقطة التقاطع عن طريق استبدال خط مستقيم في المعادلات البارامترية:
.

م 0 (-5، 1).

لإكمال الصورة، ينبغي مناقشة نقطة أخرى.

قبل العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين على المستوى، من المفيد التأكد من تقاطع الخطوط المعطاة بالفعل. إذا اتضح أن الخطوط الأصلية متطابقة أو متوازية، فلا يمكن أن يكون هناك خطاب حول العثور على إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

يمكنك، بالطبع، الاستغناء عن هذا الاختيار، ولكن على الفور إنشاء نظام معادلات النموذج وحلها. إذا كان لنظام المعادلات حل فريد، فإنه يعطي إحداثيات النقطة التي تتقاطع عندها الخطوط الأصلية. إذا لم يكن لنظام المعادلات حلول، فيمكننا أن نستنتج أن الخطوط الأصلية متوازية (نظرًا لعدم وجود مثل هذا الزوج من الأعداد الحقيقية) سو ذ، والتي من شأنها أن تلبي كلتا المعادلتين للخطوط المحددة في نفس الوقت). من وجود عدد لا حصر له من الحلول لنظام المعادلات، يترتب على ذلك أن الخطوط المستقيمة الأصلية تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط المشتركة، أي أنها متطابقة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التي تناسب هذه المواقف.

اكتشف ما إذا كانت الخطوط متقاطعة، وإذا كانت متقاطعة، فابحث عن إحداثيات نقطة التقاطع.

المعادلات المعطاة للخطوط تتوافق مع المعادلات و . دعونا نحل النظام المكون من هذه المعادلات.

ومن الواضح أن معادلات النظام يتم التعبير عنها خطياً من خلال بعضها البعض (يتم الحصول على المعادلة الثانية للنظام من الأولى بضرب جزأين في 4 )، وبالتالي فإن نظام المعادلات لديه عدد لا حصر له من الحلول. وبالتالي فإن المعادلات تحدد نفس الخط، ولا يمكننا الحديث عن إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

المعادلات ويتم تعريفها في نظام الإحداثيات مستطيلة أوكسينفس الخط المستقيم، لذا لا يمكننا الحديث عن إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع.

أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط و إن أمكن.

تسمح حالة المشكلة بعدم تقاطع الخطوط. دعونا ننشئ نظامًا من هذه المعادلات. دعونا نطبق طريقة غاوس لحلها، لأنها تسمح لنا بإثبات التوافق أو عدم التوافق لنظام من المعادلات، وإذا كان متوافقاً نجد الحل:

المعادلة الأخيرة للنظام بعد المرور المباشر لطريقة غاوس تحولت إلى مساواة غير صحيحة، وبالتالي فإن نظام المعادلات ليس له حلول. ومن هذا نستنتج أن المستقيمين الأصليين متوازيان، ولا يمكن الحديث عن إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

الحل الثاني.

دعونا معرفة ما إذا كانت الخطوط المحددة تتقاطع.

المتجه العادي هو الخط، والمتجه هو المتجه العادي للخط. دعونا نتحقق من أن شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات و: المساواة صحيح، حيث أن المتجهات العادية للخطوط المستقيمة المعطاة تكون على خط واحد. ثم تكون هذه الخطوط متوازية أو متطابقة. ومن ثم، لا يمكننا إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطين الأصليين.

من المستحيل إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط المعطاة، لأن هذه الخطوط متوازية.

أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط 2س-1=0و إذا تقاطعا.

لنقم بتكوين نظام من المعادلات عبارة عن معادلات عامة لخطوط معينة: . محدد المصفوفة الرئيسية لنظام المعادلات هذا هو غير صفر، وبالتالي فإن نظام المعادلات لديه حل فريد، مما يشير إلى تقاطع الخطوط المعطاة.

للعثور على إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط، علينا حل النظام:

الحل الناتج يعطينا إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط، أي نقطة تقاطع الخطوط 2س-1=0و .

أعلى الصفحة

إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين في الفضاء.

تم العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالمثل.

دع الخطوط المتقاطعة أو بالمحدد في نظام الإحداثيات مستطيلة أوكيزمعادلات مستويين متقاطعين، أي خط مستقيم أيتم تحديده من خلال نظام الشكل والخط المستقيم ب- . يترك م 0- نقطة تقاطع الخطوط أو ب. ثم أشر م 0بحكم التعريف ينتمي أيضا إلى الخط أومستقيم بوبالتالي فإن إحداثياته ​​تحقق معادلات كلا الخطين. وبالتالي، إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط أو بتمثل حلاً لنظام المعادلات الخطية من الشكل . سنحتاج هنا إلى معلومات من القسم الخاص بحل أنظمة المعادلات الخطية التي لا يتطابق فيها عدد المعادلات مع عدد المتغيرات غير المعروفة.

دعونا نلقي نظرة على حلول الأمثلة.

أوجد إحداثيات نقطة تقاطع خطين محددين في الفضاء بواسطة المعادلات و .

دعونا نؤلف نظام المعادلات من معادلات الخطوط المعطاة: . حل هذا النظام سيعطينا الإحداثيات المطلوبة لنقطة تقاطع الخطوط في الفضاء. دعونا نجد الحل لنظام المعادلات المكتوبة.

المصفوفة الرئيسية للنظام لها الشكل والمصفوفة الموسعة - .

دعونا نحدد رتبة المصفوفة أورتبة المصفوفة ت. نحن نستخدم طريقة الحدود القاصرين، لكننا لن نصف بالتفصيل حساب المحددات (إذا لزم الأمر، راجع المقالة حساب محدد المصفوفة):

وبالتالي فإن رتبة المصفوفة الرئيسية تساوي رتبة المصفوفة الموسعة وتساوي ثلاثة.

وبالتالي، فإن نظام المعادلات لديه حل فريد.

سنأخذ المحدد كأساس ثانوي، لذلك يجب استبعاد المعادلة الأخيرة من نظام المعادلات، لأنها لا تشارك في تكوين الأساس الأصغر. لذا،

من السهل العثور على حل النظام الناتج:

وبالتالي، فإن نقطة تقاطع الخطوط لها إحداثيات (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

وتجدر الإشارة إلى أن نظام المعادلات له حل فريد إذا وفقط إذا كانت الخطوط المستقيمة أو بتتقاطع. إذا كان مستقيما أو بمتوازيًا أو متقاطعًا، فإن نظام المعادلات الأخير ليس له حلول، لأنه في هذه الحالة لا تحتوي الخطوط على نقاط مشتركة. إذا كان مستقيما أو بمتطابقة، فإن لديهم عدد لا حصر له من النقاط المشتركة، وبالتالي فإن نظام المعادلات المشار إليه لديه عدد لا حصر له من الحلول. ومع ذلك، في هذه الحالات لا يمكننا الحديث عن إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط، لأن الخطوط غير متقاطعة.

وبالتالي، إذا كنا لا نعرف مقدما ما إذا كانت الخطوط المعطاة تتقاطع أو بأم لا، فمن المعقول إنشاء نظام معادلات من النموذج وحلها بطريقة غاوس. إذا حصلنا على حل فريد، فسوف يتوافق مع إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط أو ب. إذا تبين أن النظام غير متناسق، فالمباشر أو بلا تتقاطع. إذا كان للنظام عدد لا نهائي من الحلول، فالخطوط المستقيمة أو بتطابق.

يمكنك الاستغناء عن استخدام الطريقة الغوسية. بدلا من ذلك، يمكنك حساب صفوف المصفوفات الرئيسية والممتدة لهذا النظام، وبناء على البيانات التي تم الحصول عليها ونظرية كرونيكر-كابيلي، نستنتج إما وجود حل واحد، أو وجود العديد من الحلول، أو عدم وجود حل واحد. حلول. إنها مسألة ذوق.

إذا تقاطعت الخطوط، فحدد إحداثيات نقطة التقاطع.

لنقم بإنشاء نظام من المعادلات المعطاة: . دعونا نحلها باستخدام الطريقة الغوسية في شكل مصفوفة:

أصبح من الواضح أن نظام المعادلات ليس له حلول، وبالتالي فإن الخطوط المعطاة لا تتقاطع، ولا يمكن أن يكون هناك شك في إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

لا يمكننا إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط المعطاة، لأن هذه الخطوط لا تتقاطع.

عندما يتم إعطاء الخطوط المتقاطعة بواسطة معادلات قانونية لخط في الفضاء أو معادلات بارامترية لخط في الفضاء، فيجب أولاً الحصول على معادلاتها في شكل طائرتين متقاطعتين، وبعد ذلك فقط ابحث عن إحداثيات نقطة التقاطع.

يتم تعريف خطين متقاطعين في نظام إحداثيات مستطيل أوكيزالمعادلات و. أوجد إحداثيات نقطة تقاطع هذه الخطوط.

دعونا نحدد الخطوط المستقيمة الأولية بمعادلات طائرتين متقاطعتين:

للعثور على إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط، يبقى حل نظام المعادلات. رتبة المصفوفة الرئيسية لهذا النظام تساوي رتبة المصفوفة الموسعة وتساوي ثلاثة (نوصي بالتحقق من هذه الحقيقة). لنأخذ الأساس الثانوي، وبالتالي يمكننا استبعاد المعادلة الأخيرة من النظام. وبعد حل النظام الناتج باستخدام أي طريقة (على سبيل المثال، طريقة كرامر)، نحصل على الحل. وبالتالي، فإن نقطة تقاطع الخطوط لها إحداثيات (-2, 3, -5) .

درس من سلسلة "الخوارزميات الهندسية"

مرحبا عزيزي القارئ!

دعنا نواصل التعرف على الخوارزميات الهندسية. في الدرس الأخير، وجدنا معادلة الخط المستقيم باستخدام إحداثيات نقطتين. حصلنا على معادلة من الشكل:

سنكتب اليوم دالة، باستخدام معادلات خطين مستقيمين، سنجد إحداثيات نقطة تقاطعهما (إن وجدت). للتحقق من مساواة الأعداد الحقيقية، سوف نستخدم الدالة الخاصة RealEq().

يتم وصف النقاط على المستوى بزوج من الأعداد الحقيقية. عند استخدام نوع حقيقي، من الأفضل تنفيذ عمليات المقارنة باستخدام وظائف خاصة.

السبب معروف: في النوع الحقيقي في نظام برمجة باسكال لا توجد علاقة ترتيبية، لذا من الأفضل عدم استخدام سجلات بالشكل a = b، حيث a و b أرقام حقيقية.
سنقدم اليوم وظيفة RealEq() لتنفيذ عملية "=" (تساوي تمامًا):

الدالة RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (يساوي تمامًا) يبدأ RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

مهمة. يتم إعطاء معادلات خطين مستقيمين: و . العثور على نقطة تقاطعهم.

حل. الحل الواضح هو حل نظام المعادلات الخطية: دعونا نعيد كتابة هذا النظام بشكل مختلف قليلاً:
(1)

دعونا نقدم الترميز التالي: ، , . هنا D هو محدد النظام، وهي المحددات الناتجة عن استبدال عمود المعاملات للمجهول المقابل بعمود المصطلحات الحرة. إذا كان النظام (1) محددًا، أي أن له حلًا فريدًا. يمكن العثور على هذا الحل باستخدام الصيغ التالية: والتي تسمى صيغ كريمر. دعني أذكرك بكيفية حساب محدد الدرجة الثانية. يميز المحدد بين قطرين: الرئيسي والثانوي. يتكون القطر الرئيسي من عناصر مأخوذة في الاتجاه من الزاوية اليسرى العليا للمحدد إلى الزاوية اليمنى السفلية. قطري جانبي - من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار. المحدد الثاني يساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي مطروحًا منه حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي.

يستخدم الكود الدالة RealEq() للتحقق من المساواة. يتم إجراء الحسابات على الأعداد الحقيقية بدقة _Eps=1e-7.

برنامج Geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(دقة الحساب) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; الدالة RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (يساوي تمامًا) يبدأ RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

لقد قمنا بتجميع برنامج يمكنك من خلال معرفة معادلات الخطوط العثور على إحداثيات نقاط تقاطعها.