طريقة غاوس هي صيغة عالمية. طريقة غاوس العكسي

دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى ، والتي يجب حلها (ابحث عن قيم المجهول i التي تحول كل معادلة في النظام إلى مساواة).

نحن نعلم أن نظام المعادلات الجبرية الخطية يمكنه:

1) ليس لديك حلول (كن غير متوافق).
2) هل لديك عدد لا نهائي من الحلول.
3) هل لديك حل فريد.

كما نتذكر ، فإن قاعدة كرامر وطريقة المصفوفة غير مناسبة في الحالات التي يكون فيها النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متسق. طريقة جاوس – الأداة الأقوى والأكثر تنوعًا لإيجاد حلول لأي نظام من المعادلات الخطية، الذي في كل حالةيقودنا إلى الجواب! تعمل خوارزمية الطريقة في جميع الحالات الثلاث بنفس الطريقة. إذا كانت طرق كرامر والمصفوفة تتطلب معرفة المحددات ، فإن تطبيق طريقة غاوس يتطلب معرفة العمليات الحسابية فقط ، مما يجعلها في متناول طلاب المدارس الابتدائية.

تحويلات المصفوفة الممتدة ( هذه مصفوفة النظام - مصفوفة تتكون فقط من معاملات المجهول ، بالإضافة إلى عمود من المصطلحات الحرة)أنظمة المعادلات الجبرية الخطية في طريقة جاوس:

1) مع تروكيالمصفوفات يستطيع إعادة الترتيبأماكن.

2) إذا كانت هناك (أو كانت) صفوفًا متناسبة (كحالة خاصة - متطابقة) في المصفوفة ، فإنها تتبع حذفمن المصفوفة ، كل هذه الصفوف ما عدا واحد.

3) إذا ظهر صف صفري في المصفوفة أثناء التحولات ، فإنه يتبع أيضًا حذف.

4) يمكن لصف المصفوفة ضرب (قسمة)إلى أي رقم بخلاف الصفر.

5) إلى صف المصفوفة ، يمكنك ذلك إضافة سلسلة أخرى مضروبة في رقم، يختلف عن الصفر.

في طريقة غاوس ، لا تغير التحويلات الأولية حل نظام المعادلات.

تتكون طريقة جاوس من مرحلتين:

1. "النقل المباشر" - باستخدام التحويلات الأولية ، أحضر المصفوفة الممتدة لنظام المعادلات الجبرية الخطية إلى شكل متدرج "ثلاثي": عناصر المصفوفة الممتدة الواقعة أسفل القطر الرئيسي تساوي الصفر (حركة من أعلى إلى أسفل ). على سبيل المثال ، لهذا النوع:

للقيام بذلك ، قم بتنفيذ الخطوات التالية:

1) دعونا نفكر في المعادلة الأولى لنظام المعادلات الجبرية الخطية والمعامل عند x 1 يساوي K. والثاني والثالث ، إلخ. نقوم بتحويل المعادلات على النحو التالي: نقسم كل معادلة (معاملات للمجهول ، بما في ذلك المصطلحات الحرة) على معامل المجهول x 1 ، الموجود في كل معادلة ، ونضرب في K. بعد ذلك ، نطرح الأولى من المعادلة الثانية ( معاملات المجهول والمصطلحات المجانية). نحصل عند x 1 في المعادلة الثانية على المعامل 0. من المعادلة الثالثة المحولة نطرح المعادلة الأولى ، لذلك حتى لا تحتوي جميع المعادلات ، باستثناء الأولى ، ذات x 1 غير المعروفة ، على معامل 0.

2) انتقل إلى المعادلة التالية. لنفترض أن هذه هي المعادلة الثانية ويكون المعامل عند x 2 يساوي M. مع جميع المعادلات "الثانوية" ، نواصل العمل كما هو موضح أعلاه. وبالتالي ، "تحت" المجهول × 2 في جميع المعادلات ستكون الأصفار.

3) ننتقل إلى المعادلة التالية وهكذا حتى يبقى مصطلح مجاني آخر غير معروف ومتحول.

1. "الحركة العكسية" لطريقة غاوس هي الحصول على حل لنظام المعادلات الجبرية الخطية (الحركة "من أسفل إلى أعلى"). من المعادلة "الدنيا" الأخيرة نحصل على حل أول واحد - المجهول x n. للقيام بذلك ، نحل المعادلة الأولية A * x n \ u003d B. في المثال أعلاه ، x 3 \ u003d 4. نستبدل القيمة التي تم العثور عليها في المعادلة التالية "العليا" ونحلها فيما يتعلق بالمجهول التالي. على سبيل المثال ، × 2-4 \ u003d 1 ، أي x 2 \ u003d 5. وهكذا حتى نجد كل المجهول.

مثال.

نقوم بحل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة جاوس كما ينصح بعض المؤلفين:

نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

ننظر إلى "الخطوة" اليسرى العليا. هناك يجب أن يكون لدينا وحدة. تكمن المشكلة في عدم وجود أي منها في العمود الأول على الإطلاق ، لذا لا يمكن حل أي شيء بإعادة ترتيب الصفوف. في مثل هذه الحالات ، يجب تنظيم الوحدة باستخدام تحويل أولي. يمكن القيام بذلك عادة بعدة طرق. لنفعلها هكذا:
خطوة واحدة . نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول مضروبًا في -1. أي أننا ضربنا عقليًا السطر الثاني في -1 وأجرينا إضافة السطر الأول والثاني ، بينما لم يتغير السطر الثاني.

الآن في أعلى اليسار "ناقص واحد" ، وهو ما يناسبنا تمامًا. يمكن لمن يريد الحصول على +1 تنفيذ إجراء إضافي: اضرب السطر الأول في -1 (قم بتغيير علامته).

2 خطوة . أضيف السطر الأول مضروبًا في 5 إلى السطر الثاني ، وأضيف السطر الأول مضروبًا في 3 إلى السطر الثالث.

3 خطوات . تم ضرب السطر الأول ب -1 ، من حيث المبدأ ، هذا للجمال. تم أيضًا تغيير علامة السطر الثالث ونقلها إلى المركز الثاني ، وبالتالي ، في "الخطوة الثانية ، كان لدينا الوحدة المطلوبة.

4 خطوة . أضف السطر الثاني مضروبًا في 2 إلى السطر الثالث.

5 خطوات . السطر الثالث مقسوم على 3.

العلامة التي تشير إلى خطأ في العمليات الحسابية (أقل خطأ مطبعي) هي محصلة نهائية "سيئة". بمعنى ، إذا حصلنا على شيء مثل (0 0 11 | 23) أدناه ، وبالتالي ، 11x 3 = 23 ، x 3 = 23/11 ، فعندئذ مع درجة عالية من الاحتمال يمكننا القول أن خطأ قد حدث أثناء المرحلة الابتدائية التحولات.

نقوم بحركة عكسية ، في تصميم الأمثلة ، غالبًا ما لا تتم إعادة كتابة النظام نفسه ، ويتم أخذ المعادلات "مباشرة من المصفوفة المعطاة". أذكرك أن الحركة العكسية تعمل "من الأسفل إلى الأعلى". في هذا المثال ، ظهرت الهدية:

× 3 = 1
× 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \ u003d 1 ، لذلك x 1 + 3-1 \ u003d 1 ، x 1 \ u003d -1

إجابه: × 1 \ u003d -1 ، × 2 \ u003d 3 ، × 3 \ u003d 1.

لنحل نفس النظام باستخدام الخوارزمية المقترحة. نحن نحصل

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

قسّم المعادلة الثانية على 5 والثالثة على 3. نحصل على:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

اضرب المعادلتين الثانية والثالثة في 4 ، نحصل على:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

اطرح المعادلة الأولى من المعادلتين الثانية والثالثة ، لدينا:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

قسّم المعادلة الثالثة على 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

اضرب المعادلة الثالثة في 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

اطرح المعادلة الثانية من المعادلة الثالثة ، نحصل على المصفوفة المعززة "المتدرجة":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

وبالتالي ، نظرًا لتراكم الخطأ في عملية الحسابات ، نحصل على x 3 \ u003d 0.96 ، أو ما يقرب من 1.

× 2 \ u003d 3 و × 1 \ u003d -1.

الحل بهذه الطريقة ، لن يتم الخلط بينك وبين الحسابات ، وعلى الرغم من أخطاء الحساب ، ستحصل على النتيجة.

هذه الطريقة في حل نظام المعادلات الجبرية الخطية قابلة للبرمجة بسهولة ولا تأخذ في الاعتبار السمات المحددة لمعاملات المجهول ، لأنه في الممارسة العملية (في الحسابات الاقتصادية والتقنية) يتعين على المرء التعامل مع معاملات غير صحيحة.

أتمنى لك النجاح! اراك في الفصل! المعلم ديمتري أستراخانوف.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى ، والتي يجب حلها (ابحث عن قيم المجهول i التي تحول كل معادلة في النظام إلى مساواة).

نحن نعلم أن نظام المعادلات الجبرية الخطية يمكنه:

1) ليس لديك حلول (كن غير متوافق).
2) هل لديك عدد لا نهائي من الحلول.
3) هل لديك حل فريد.

كما نتذكر ، فإن قاعدة كرامر وطريقة المصفوفة غير مناسبة في الحالات التي يكون فيها النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متسق. طريقة جاوس – الأداة الأقوى والأكثر تنوعًا لإيجاد حلول لأي نظام من المعادلات الخطية، الذي في كل حالةيقودنا إلى الجواب! تعمل خوارزمية الطريقة في جميع الحالات الثلاث بنفس الطريقة. إذا كانت طرق كرامر والمصفوفة تتطلب معرفة المحددات ، فإن تطبيق طريقة غاوس يتطلب معرفة العمليات الحسابية فقط ، مما يجعلها في متناول طلاب المدارس الابتدائية.

تحويلات المصفوفة الممتدة ( هذه مصفوفة النظام - مصفوفة تتكون فقط من معاملات المجهول ، بالإضافة إلى عمود من المصطلحات الحرة)أنظمة المعادلات الجبرية الخطية في طريقة جاوس:

1) مع تروكيالمصفوفات يستطيع إعادة الترتيبأماكن.

2) إذا كانت هناك (أو كانت) صفوفًا متناسبة (كحالة خاصة - متطابقة) في المصفوفة ، فإنها تتبع حذفمن المصفوفة ، كل هذه الصفوف ما عدا واحد.

3) إذا ظهر صف صفري في المصفوفة أثناء التحولات ، فإنه يتبع أيضًا حذف.

4) يمكن لصف المصفوفة ضرب (قسمة)إلى أي رقم بخلاف الصفر.

5) إلى صف المصفوفة ، يمكنك ذلك إضافة سلسلة أخرى مضروبة في رقم، يختلف عن الصفر.

في طريقة غاوس ، لا تغير التحويلات الأولية حل نظام المعادلات.

تتكون طريقة جاوس من مرحلتين:

1. "النقل المباشر" - باستخدام التحويلات الأولية ، أحضر المصفوفة الممتدة لنظام المعادلات الجبرية الخطية إلى شكل متدرج "ثلاثي": عناصر المصفوفة الممتدة الواقعة أسفل القطر الرئيسي تساوي الصفر (حركة من أعلى إلى أسفل ). على سبيل المثال ، لهذا النوع:

للقيام بذلك ، قم بتنفيذ الخطوات التالية:

1) دعونا نفكر في المعادلة الأولى لنظام المعادلات الجبرية الخطية والمعامل عند x 1 يساوي K. والثاني والثالث ، إلخ. نقوم بتحويل المعادلات على النحو التالي: نقسم كل معادلة (معاملات للمجهول ، بما في ذلك المصطلحات الحرة) على معامل المجهول x 1 ، الموجود في كل معادلة ، ونضرب في K. بعد ذلك ، نطرح الأولى من المعادلة الثانية ( معاملات المجهول والمصطلحات المجانية). نحصل عند x 1 في المعادلة الثانية على المعامل 0. من المعادلة الثالثة المحولة نطرح المعادلة الأولى ، لذلك حتى لا تحتوي جميع المعادلات ، باستثناء الأولى ، ذات x 1 غير المعروفة ، على معامل 0.

2) انتقل إلى المعادلة التالية. لنفترض أن هذه هي المعادلة الثانية ويكون المعامل عند x 2 يساوي M. مع جميع المعادلات "الثانوية" ، نواصل العمل كما هو موضح أعلاه. وبالتالي ، "تحت" المجهول × 2 في جميع المعادلات ستكون الأصفار.

3) ننتقل إلى المعادلة التالية وهكذا حتى يبقى مصطلح مجاني آخر غير معروف ومتحول.

1. "الحركة العكسية" لطريقة غاوس هي الحصول على حل لنظام المعادلات الجبرية الخطية (الحركة "من أسفل إلى أعلى"). من المعادلة "الدنيا" الأخيرة نحصل على حل أول واحد - المجهول x n. للقيام بذلك ، نحل المعادلة الأولية A * x n \ u003d B. في المثال أعلاه ، x 3 \ u003d 4. نستبدل القيمة التي تم العثور عليها في المعادلة التالية "العليا" ونحلها فيما يتعلق بالمجهول التالي. على سبيل المثال ، × 2-4 \ u003d 1 ، أي x 2 \ u003d 5. وهكذا حتى نجد كل المجهول.

مثال.

نقوم بحل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة جاوس كما ينصح بعض المؤلفين:

نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

ننظر إلى "الخطوة" اليسرى العليا. هناك يجب أن يكون لدينا وحدة. تكمن المشكلة في عدم وجود أي منها في العمود الأول على الإطلاق ، لذا لا يمكن حل أي شيء بإعادة ترتيب الصفوف. في مثل هذه الحالات ، يجب تنظيم الوحدة باستخدام تحويل أولي. يمكن القيام بذلك عادة بعدة طرق. لنفعلها هكذا:
خطوة واحدة . نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول مضروبًا في -1. أي أننا ضربنا عقليًا السطر الثاني في -1 وأجرينا إضافة السطر الأول والثاني ، بينما لم يتغير السطر الثاني.

الآن في أعلى اليسار "ناقص واحد" ، وهو ما يناسبنا تمامًا. يمكن لمن يريد الحصول على +1 تنفيذ إجراء إضافي: اضرب السطر الأول في -1 (قم بتغيير علامته).

2 خطوة . أضيف السطر الأول مضروبًا في 5 إلى السطر الثاني ، وأضيف السطر الأول مضروبًا في 3 إلى السطر الثالث.

3 خطوات . تم ضرب السطر الأول ب -1 ، من حيث المبدأ ، هذا للجمال. تم أيضًا تغيير علامة السطر الثالث ونقلها إلى المركز الثاني ، وبالتالي ، في "الخطوة الثانية ، كان لدينا الوحدة المطلوبة.

4 خطوة . أضف السطر الثاني مضروبًا في 2 إلى السطر الثالث.

5 خطوات . السطر الثالث مقسوم على 3.

العلامة التي تشير إلى خطأ في العمليات الحسابية (أقل خطأ مطبعي) هي محصلة نهائية "سيئة". بمعنى ، إذا حصلنا على شيء مثل (0 0 11 | 23) أدناه ، وبالتالي ، 11x 3 = 23 ، x 3 = 23/11 ، فعندئذ مع درجة عالية من الاحتمال يمكننا القول أن خطأ قد حدث أثناء المرحلة الابتدائية التحولات.

نقوم بحركة عكسية ، في تصميم الأمثلة ، غالبًا ما لا تتم إعادة كتابة النظام نفسه ، ويتم أخذ المعادلات "مباشرة من المصفوفة المعطاة". أذكرك أن الحركة العكسية تعمل "من الأسفل إلى الأعلى". في هذا المثال ، ظهرت الهدية:

× 3 = 1
× 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \ u003d 1 ، لذلك x 1 + 3-1 \ u003d 1 ، x 1 \ u003d -1

إجابه: × 1 \ u003d -1 ، × 2 \ u003d 3 ، × 3 \ u003d 1.

لنحل نفس النظام باستخدام الخوارزمية المقترحة. نحن نحصل

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

قسّم المعادلة الثانية على 5 والثالثة على 3. نحصل على:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

اضرب المعادلتين الثانية والثالثة في 4 ، نحصل على:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

اطرح المعادلة الأولى من المعادلتين الثانية والثالثة ، لدينا:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

قسّم المعادلة الثالثة على 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

اضرب المعادلة الثالثة في 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

اطرح المعادلة الثانية من المعادلة الثالثة ، نحصل على المصفوفة المعززة "المتدرجة":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

وبالتالي ، نظرًا لتراكم الخطأ في عملية الحسابات ، نحصل على x 3 \ u003d 0.96 ، أو ما يقرب من 1.

× 2 \ u003d 3 و × 1 \ u003d -1.

الحل بهذه الطريقة ، لن يتم الخلط بينك وبين الحسابات ، وعلى الرغم من أخطاء الحساب ، ستحصل على النتيجة.

هذه الطريقة في حل نظام المعادلات الجبرية الخطية قابلة للبرمجة بسهولة ولا تأخذ في الاعتبار السمات المحددة لمعاملات المجهول ، لأنه في الممارسة العملية (في الحسابات الاقتصادية والتقنية) يتعين على المرء التعامل مع معاملات غير صحيحة.

أتمنى لك النجاح! اراك في الفصل! مدرس خاص.

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب ارتباط بالمصدر.

تعريف ووصف طريقة غاوس

طريقة التحويل الغاوسي (المعروفة أيضًا باسم طريقة الحذف المتسلسل للمتغيرات غير المعروفة من معادلة أو مصفوفة) لحل أنظمة المعادلات الخطية هي طريقة كلاسيكية لحل نظام المعادلات الجبرية (SLAE). أيضًا ، تُستخدم هذه الطريقة الكلاسيكية لحل مشكلات مثل الحصول على المصفوفات العكسية وتحديد رتبة المصفوفة.

يتمثل التحول باستخدام طريقة جاوس في إجراء تغييرات صغيرة (أولية) متتالية في نظام المعادلات الجبرية الخطية ، مما يؤدي إلى إزالة المتغيرات منه من أعلى إلى أسفل مع تكوين نظام ثلاثي جديد من المعادلات ، وهو ما يعادل الأصلي.

التعريف 1

يسمى هذا الجزء من الحل الحل الأمامي الغاوسي ، حيث يتم تنفيذ العملية برمتها من أعلى إلى أسفل.

بعد إحضار نظام المعادلات الأصلي إلى نظام مثلث ، تم العثور على جميع متغيرات النظام من الأسفل إلى الأعلى (أي أن المتغيرات الأولى التي تم العثور عليها موجودة بالضبط في الأسطر الأخيرة من النظام أو المصفوفة). يُعرف هذا الجزء من الحل أيضًا بمحلول Gauss العكسي. تتكون الخوارزمية الخاصة بها مما يلي: أولاً ، يتم حساب المتغيرات الأقرب إلى أسفل نظام المعادلات أو المصفوفة ، ثم يتم استبدال القيم التي تم الحصول عليها أعلاه وبالتالي يتم العثور على متغير آخر ، وهكذا.

وصف خوارزمية طريقة جاوس

يتألف تسلسل الإجراءات للحل العام لنظام المعادلات بطريقة غاوس من تطبيق السكتات الدماغية إلى الأمام والخلف بالتناوب على المصفوفة بناءً على SLAE. دع نظام المعادلات الأصلي يكون بالشكل التالي:

$ \ start (الحالات) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ end (الحالات) $

لحل SLAE بطريقة Gauss ، من الضروري كتابة نظام المعادلات الأولي في شكل مصفوفة:

$ A = \ start (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ end (pmatrix) $، $ b = \ start (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ end (pmatrix) $

تسمى المصفوفة $ A $ المصفوفة الرئيسية وتمثل معاملات المتغيرات المكتوبة بالترتيب ، ويطلق على $ b $ عمود شروطها المجانية. المصفوفة $ A $ المكتوبة عبر السطر مع عمود من الأعضاء الأحرار تسمى المصفوفة المعززة:

$ A = \ start (array) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \ end (array) $

الآن ، باستخدام التحويلات الأولية على نظام المعادلات (أو عبر المصفوفة ، لأنها أكثر ملاءمة) ، من الضروري إحضارها إلى النموذج التالي:

$ \ start (الحالات) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\ ... \ \ 0 = β_m \ النهاية (الحالات) $ (1)

المصفوفة التي تم الحصول عليها من معاملات النظام المحول للمعادلة (1) تسمى مصفوفة الخطوة ، هكذا تبدو مصفوفات الخطوة عادةً:

$ A = \ start (array) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \ end (مجموعة) $

تتميز هذه المصفوفات بمجموعة الخصائص التالية:

1. تأتي جميع صفوفه الصفرية بعد الصفوف غير الصفرية
2. إذا كان أحد صفوف المصفوفة مع الفهرس $ k $ غير صفري ، فسيكون هناك عدد أقل من الأصفار في الصف السابق من نفس المصفوفة مقارنة بهذا الصف الذي يحتوي على الفهرس $ k $.

بعد الحصول على مصفوفة الخطوة ، من الضروري استبدال المتغيرات التي تم الحصول عليها في المعادلات المتبقية (بدءًا من النهاية) والحصول على القيم المتبقية للمتغيرات.

القواعد الأساسية والتحولات المسموح بها عند استخدام طريقة Gauss

عند تبسيط مصفوفة أو نظام معادلات بهذه الطريقة ، يجب استخدام التحويلات الأولية فقط.

هذه التحولات هي عمليات يمكن تطبيقها على مصفوفة أو نظام معادلات دون تغيير معناها:

• التقليب لعدة خطوط في الأماكن ،
• الجمع أو الطرح من سطر واحد من المصفوفة خط آخر منه ،
• ضرب أو قسمة سلسلة على ثابت لا يساوي الصفر ،
• يجب حذف خط يتكون من أصفار فقط ، تم الحصول عليها في عملية حساب وتبسيط النظام ،
• تحتاج أيضًا إلى إزالة الخطوط المتناسبة غير الضرورية ، واختيار النظام الوحيد الذي يحتوي على معاملات أكثر ملاءمة وملاءمة لمزيد من الحسابات.

جميع التحولات الأولية قابلة للعكس.

تحليل الحالات الرئيسية الثلاث التي تنشأ عند حل المعادلات الخطية باستخدام طريقة التحولات الغاوسية البسيطة

هناك ثلاث حالات تظهر عند استخدام طريقة Gauss لحل الأنظمة:

1. عندما يكون النظام غير متسق ، هذا يعني أنه ليس لديه أي حلول
2. نظام المعادلات له حل ، وهو الوحيد ، وعدد الصفوف والأعمدة غير الصفرية في المصفوفة يساوي بعضها البعض.
3. يحتوي النظام على عدد معين أو مجموعة من الحلول الممكنة ، وعدد الصفوف فيه أقل من عدد الأعمدة.

نتيجة الحل مع نظام غير متناسق

بالنسبة لهذا المتغير ، عند حل معادلة مصفوفة بطريقة غاوس ، من المعتاد الحصول على خط مع استحالة تحقيق المساواة. لذلك ، في حالة حدوث مساواة غير صحيحة واحدة على الأقل ، فإن النظامين الناتج والأصل ليس لهما حلول ، بغض النظر عن المعادلات الأخرى التي يحتويانها. مثال على مصفوفة غير متسقة:

$ \ start (array) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end (array) $

ظهرت مساواة غير مُقنعة في السطر الأخير: $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $.

نظام معادلات له حل واحد فقط

تحتوي بيانات النظام بعد تصغيرها إلى مصفوفة متدرجة وحذف الصفوف ذات الأصفار على نفس عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة الرئيسية. فيما يلي مثال بسيط على مثل هذا النظام:

$ \ start (الحالات) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ end (cases) $

لنكتبها على شكل مصفوفة:

$ \ start (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ end (array) $

لإحضار الخلية الأولى من الصف الثاني إلى الصفر ، نضرب الصف العلوي في -2 دولار ونطرحه من الصف السفلي للمصفوفة ، ونترك الصف العلوي في شكله الأصلي ، ونتيجة لذلك لدينا ما يلي :

$ \ start (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ end (array) $

يمكن كتابة هذا المثال كنظام:

$ \ start (الحالات) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ end (cases) $

تأتي القيمة التالية لـ $ x $ من المعادلة السفلية: $ x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. بالتعويض عن هذه القيمة في المعادلة العليا: $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $ ، نحصل على $ x_1 = 1 \ frac (2) (3) $.

نظام به العديد من الحلول الممكنة

يتميز هذا النظام بعدد من الصفوف المهمة أصغر من عدد الأعمدة الموجودة فيه (يتم أخذ صفوف المصفوفة الرئيسية في الاعتبار).

تنقسم المتغيرات في مثل هذا النظام إلى نوعين: أساسي ومجاني. عند تحويل مثل هذا النظام ، يجب ترك المتغيرات الرئيسية الموجودة فيه في المنطقة اليسرى قبل علامة "=" ، ويجب نقل المتغيرات المتبقية إلى الجانب الأيمن من المساواة.

مثل هذا النظام لديه حل عام معين فقط.

دعنا نحلل نظام المعادلات التالي:

$ \ begin (الحالات) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ end (cases) $

لنكتبها على شكل مصفوفة:

$ \ start (array) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ end (array) $

مهمتنا هي إيجاد حل عام للنظام. بالنسبة لهذه المصفوفة ، ستكون المتغيرات الأساسية $ y_1 $ و $ y_3 $ (لـ $ y_1 $ - نظرًا لأنها في المقام الأول ، وفي حالة $ y_3 $ - تقع بعد الأصفار).

كمتغيرات أساسية ، نختار بالضبط تلك التي لا تساوي الصفر أولاً في الصف.

تسمى المتغيرات المتبقية بالمجان ، ومن خلالها نحتاج إلى التعبير عن المتغيرات الأساسية.

باستخدام ما يسمى بالحركة العكسية ، نفكك النظام من الأسفل إلى الأعلى ، لذلك نعبر أولاً عن $ y_3 $ من المحصلة النهائية للنظام:

5y_3 - 4y_4 = 1 دولار

5y_3 = 4y_4 + 1 دولار

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $.

الآن استبدلنا $ y_3 $ المعبر عنه بالمعادلة العليا للنظام $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $: $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 دولار

نعبر عن $ y_1 $ من حيث المتغيرات المجانية $ y_2 $ و $ y_4 $:

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

$ 2y_1 = 1 - 3y_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 دولار

القرار جاهز.

مثال 1

حل سلو باستخدام طريقة جاوس. أمثلة. مثال على حل نظام معادلات خطية معطاة بمصفوفة 3 × 3 باستخدام طريقة جاوس

$ \ begin (الحالات) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ end (cases) $

نكتب نظامنا على شكل مصفوفة مكثفة:

$ \ start (مجموعة) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (array) $

الآن ، للراحة والتطبيق العملي ، نحتاج إلى تحويل المصفوفة بحيث يكون $ 1 في الزاوية العلوية للعمود الأخير.

للقيام بذلك ، نحتاج إلى إضافة السطر من الوسط مضروبًا في $ -1 $ إلى السطر الأول ، وكتابة السطر الأوسط نفسه كما هو ، اتضح:

$ \ start (مجموعة) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (array) $

$ \ start (مجموعة) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ end (مجموعة) $

اضرب الصفوف العلوية والأخيرة بمقدار $ -1 $ ، وقم بتبديل الصفوف الأخيرة والوسطى:

$ \ start (مجموعة) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ end (array) $

$ \ start (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ end (array) $

وقسم السطر الأخير على 3 دولارات:

$ \ start (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ end (array) $

نحصل على نظام المعادلات التالي ، المكافئ للنظام الأصلي:

$ \ start (الحالات) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ end (الحالات) $

من المعادلة العليا ، نعبر عن $ x_1 $:

x1 دولار = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 دولار.

مثال 2

مثال على حل نظام محدد باستخدام مصفوفة 4 × 4 باستخدام طريقة Gaussian

$ \ start (المصفوفة) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end (مجموعة) $.

في البداية ، قمنا بتبديل الخطوط العلوية التي تليها للحصول على 1 دولار في الزاوية اليسرى العليا:

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end (مجموعة) $.

الآن دعونا نضرب السطر العلوي في -2 دولار ونضيفه إلى الثاني والثالث. إلى السطر الرابع نضيف السطر الأول مضروبًا في $ -3 $:

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ نهاية (مجموعة) $

الآن إلى السطر رقم 3 نضيف السطر 2 مضروبًا في 4 دولارات ، وإلى السطر 4 نضيف السطر 2 مضروبًا في $ -1 $.

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ end (مجموعة) $

اضرب الصف 2 في $ -1 $ ، اقسم الصف 4 على $ 3 $ واستبدل الصف 3.

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ نهاية (مجموعة) $

نضيف الآن إلى السطر الأخير السطر قبل الأخير مضروبًا في $ -5 $.

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ end (مجموعة) $

نحل نظام المعادلات الناتج:

$ \ start (الحالات) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ \ x + 3y + 2g + m = 11 \ end (cases) $

1. نظام المعادلات الجبرية الخطية

1.1 مفهوم نظام المعادلات الجبرية الخطية

نظام المعادلات هو شرط يتكون من التنفيذ المتزامن لعدة معادلات فيما يتعلق بالعديد من المتغيرات. نظام المعادلات الجبرية الخطية (المشار إليها فيما يلي باسم SLAE) الذي يحتوي على معادلات m و n مجهول هو نظام من النموذج:

حيث تسمى الأرقام a ij معاملات النظام ، فإن الأرقام b i هي أعضاء أحرار ، aijو ب ط(أنا = 1 ، ... ، م ؛ ب = 1 ، ... ، ن) هي بعض الأرقام المعروفة ، و x 1 ، ... ، x n- مجهول. في تدوين المعاملات aijيشير الفهرس الأول i إلى رقم المعادلة ، ويشير المؤشر الثاني j إلى عدد المجهول الذي يقف عنده هذا المعامل. تخضع لإيجاد الرقم x n. من الملائم كتابة مثل هذا النظام في شكل مصفوفة مضغوطة: AX = ب.هنا A هي مصفوفة معاملات النظام ، تسمى المصفوفة الرئيسية ؛

يتم تعريف حاصل ضرب المصفوفات A * X ، نظرًا لوجود عدد من الأعمدة في المصفوفة A مثل عدد الصفوف في المصفوفة X (قطع n).

المصفوفة الممتدة للنظام هي المصفوفة أ للنظام ، يكملها عمود من المصطلحات الحرة

1.2 حل نظام المعادلات الجبرية الخطية

حل نظام المعادلات عبارة عن مجموعة مرتبة من الأرقام (قيم المتغيرات) ، عند استبدالها بدلاً من المتغيرات ، تتحول كل معادلة من معادلات النظام إلى مساواة حقيقية.

حل النظام هو قيم n للمجهول x1 = c1 ، x2 = c2 ، ... ، xn = cn ، مع استبدال أي معادلات النظام تتحول إلى مساواة حقيقية. يمكن كتابة أي حل للنظام في صورة عمود مصفوفة

يسمى نظام المعادلات متسقًا إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل ، وغير متسق إذا لم يكن له حلول.

يسمى نظام المفصل محددًا إذا كان لديه حل فريد ، وغير محدد إذا كان يحتوي على أكثر من حل واحد. في الحالة الأخيرة ، يُطلق على كل حل من حلوله حلًا خاصًا للنظام. تسمى مجموعة الحلول الخاصة بالحل العام.

يعني حل النظام معرفة ما إذا كان متسقًا أو غير متسق. إذا كان النظام متوافقًا ، فابحث عن حله العام.

يُطلق على نظامين اسم مكافئ (مكافئ) إذا كان لهما نفس الحل العام. بمعنى آخر ، تكون الأنظمة متكافئة إذا كان كل حل لأحدها هو حل الآخر ، والعكس صحيح.

يُطلق على التحول ، الذي يحول تطبيقه نظامًا إلى نظام جديد مكافئ للنظام الأصلي ، تحويلًا مكافئًا أو مكافئًا. يمكن أن تكون التحولات التالية بمثابة أمثلة للتحولات المكافئة: تبديل معادلتين من النظام ، ومبادلة مجهولين مع معاملات جميع المعادلات ، وضرب كلا الجزأين من أي معادلة في النظام برقم غير صفري.

يسمى نظام المعادلات الخطية بالتجانس إذا كانت جميع المصطلحات الحرة تساوي صفرًا:

دائمًا ما يكون النظام المتجانس ثابتًا ، لأن x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 هو حل للنظام. يسمى هذا الحل باطل أو تافه.

2. طريقة القضاء على Gaussian

2.1 جوهر طريقة القضاء على Gaussian

الطريقة الكلاسيكية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية هي طريقة الحذف المتتالي للمجهول - طريقة جاوس(وتسمى أيضًا طريقة القضاء على Gaussian). هذه طريقة للتخلص من المتغيرات المتتالية ، عندما يتم ، بمساعدة التحولات الأولية ، اختزال نظام المعادلات إلى نظام مكافئ من شكل متدرج (أو ثلاثي) ، حيث يتم العثور على جميع المتغيرات الأخرى بالتتابع ، بدءًا من المتغيرات الأخيرة (بالعدد).

تتكون عملية حل Gaussian من مرحلتين: التحركات للأمام والخلف.

1. التحرك المباشر.

في المرحلة الأولى ، يتم تنفيذ ما يسمى بالتحرك المباشر ، عندما يتم ، عن طريق التحولات الأولية عبر الصفوف ، إحضار النظام إلى شكل متدرج أو ثلاثي ، أو يثبت أن النظام غير متسق. على وجه التحديد ، من بين عناصر العمود الأول من المصفوفة ، يتم اختيار عنصر غير صفري ، ويتم نقله إلى الموضع العلوي عن طريق تبديل الصفوف ، ويتم طرح الصف الأول الذي تم الحصول عليه بعد التقليب من الصفوف المتبقية ، وضربه بقيمة مساوية لنسبة العنصر الأول في كل من هذه الصفوف إلى العنصر الأول من الصف الأول ، مع وضع الصفر على العمود الموجود أسفله.

بعد إجراء التحولات المشار إليها ، يتم شطب الصف الأول والعمود الأول ذهنيًا ويستمران حتى تبقى مصفوفة ذات حجم صفري. إذا لم يتم العثور على رقم غير صفري في بعض التكرارات بين عناصر العمود الأول ، فانتقل إلى العمود التالي وقم بإجراء عملية مماثلة.

في المرحلة الأولى (الجري إلى الأمام) ، يتم تقليل النظام إلى شكل متدرج (على وجه الخصوص ، مثلث).

النظام أدناه متدرج:

تُسمى المعاملات aii بالعناصر الرئيسية (الرائدة) للنظام.

نقوم بتحويل النظام عن طريق إزالة المجهول x1 في جميع المعادلات باستثناء المعادلة الأولى (باستخدام التحولات الأولية للنظام). للقيام بذلك ، اضرب طرفي المعادلة الأولى في

استمرارًا لهذه العملية ، نحصل على النظام المكافئ:

وهكذا ، في الخطوة الأولى ، يتم تدمير جميع المعاملات تحت العنصر الرئيسي الأول أ 11

إذا ، في عملية اختزال النظام إلى شكل متدرج ، تظهر معادلات صفرية ، أي المساواة في الشكل 0 = 0 ، يتم تجاهلها. إذا كان هناك معادلة للشكل

هذا يكمل المسار المباشر لطريقة غاوس.

2. عكس الحركة.

في المرحلة الثانية ، يتم تنفيذ ما يسمى بالحركة العكسية ، وجوهرها هو التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية الناتجة من حيث المتغيرات غير الأساسية وبناء نظام أساسي للحلول ، أو إذا كانت جميع المتغيرات أساسية ، ثم عبر عدديًا عن الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية.

يبدأ هذا الإجراء بالمعادلة الأخيرة ، والتي يتم من خلالها التعبير عن المتغير الأساسي المقابل (يوجد واحد فقط فيه) واستبداله في المعادلات السابقة ، وهكذا دواليك ، صعودًا "الخطوات".

يتوافق كل سطر مع متغير أساسي واحد بالضبط ، لذلك في كل خطوة ، باستثناء الأخير (الأعلى) ، يكرر الموقف تمامًا حالة السطر الأخير.

ملاحظة: من الناحية العملية ، من الأنسب العمل ليس مع النظام ، ولكن مع مصفوفته الممتدة ، وإجراء جميع التحويلات الأولية في صفوفه. من الملائم أن يكون المعامل a11 مساويًا لـ 1 (أعد ترتيب المعادلات أو اقسم طرفي المعادلة على a11).

2.2 أمثلة على حل SLAE بطريقة Gauss

في هذا القسم ، وباستخدام ثلاثة أمثلة مختلفة ، سوف نوضح كيف يمكن استخدام طريقة Gaussian لحل SLAE.

مثال 1. حل SLAE من الترتيب الثالث.

اضبط المعاملات على صفر عند

في هذه المقالة ، تعتبر الطريقة كطريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية (SLAE). الطريقة تحليلية ، أي أنها تسمح لك بكتابة خوارزمية الحل بشكل عام ، ثم استبدال القيم من أمثلة محددة هناك. على عكس طريقة المصفوفة أو معادلات كرامر ، عند حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس ، يمكنك أيضًا العمل مع تلك التي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. أو ليس لديهم على الإطلاق.

ماذا يعني غاوس؟

تحتاج أولاً إلى كتابة نظام المعادلات الخاص بنا في يبدو هكذا. النظام مأخوذ:

تتم كتابة المعاملات في شكل جدول ، وعلى اليمين في عمود منفصل - أعضاء أحرار. يتم فصل العمود الذي يحتوي على أعضاء حرة لتسهيل الأمر ، وتسمى المصفوفة التي تتضمن هذا العمود الموسعة.

علاوة على ذلك ، يجب تقليل المصفوفة الرئيسية ذات المعاملات إلى الشكل المثلثي العلوي. هذه هي النقطة الرئيسية لحل النظام بطريقة غاوس. ببساطة ، بعد بعض المعالجات ، يجب أن تبدو المصفوفة هكذا ، بحيث لا يوجد سوى أصفار في الجزء السفلي الأيسر منها:

بعد ذلك ، إذا كتبت المصفوفة الجديدة مرة أخرى كنظام معادلات ، فستلاحظ أن الصف الأخير يحتوي بالفعل على قيمة أحد الجذور ، والتي يتم استبدالها بعد ذلك في المعادلة أعلاه ، وتم العثور على جذر آخر ، وهكذا.

هذا وصف للحل بطريقة غاوس في المصطلحات الأكثر عمومية. وماذا يحدث إذا لم يكن لدى النظام حل فجأة؟ أم أن هناك عددًا لا حصر له منهم؟ للإجابة على هذه الأسئلة والعديد من الأسئلة الأخرى ، من الضروري النظر بشكل منفصل في جميع العناصر المستخدمة في الحل بواسطة طريقة Gauss.

المصفوفات وخصائصها

لا يوجد معنى خفي في المصفوفة. إنها مجرد طريقة ملائمة لتسجيل البيانات لعمليات لاحقة. حتى أطفال المدارس يجب ألا يخافوا منهم.

تكون المصفوفة دائمًا مستطيلة ، لأنها أكثر ملاءمة. حتى في طريقة Gauss ، حيث يتلخص كل شيء في بناء مصفوفة مثلثة ، يظهر مستطيل في المدخل ، مع وجود أصفار فقط في المكان الذي لا توجد فيه أرقام. يمكن حذف الأصفار ، لكنها ضمنية.

المصفوفة لها حجم. "عرضه" هو عدد الصفوف (م) ، "طوله" هو عدد الأعمدة (ن). ثم حجم المصفوفة A (عادة ما تستخدم الحروف اللاتينية الكبيرة لتسميتها) سيتم الإشارة إليها على أنها A m × n. إذا كانت m = n ، فإن هذه المصفوفة مربعة ، و m = n هو ترتيبها. وفقًا لذلك ، يمكن الإشارة إلى أي عنصر من عناصر المصفوفة A برقم صفها وعمودها: a xy ؛ س - رقم الصف ، التغييرات ، رقم العمود ص ، التغييرات.

ب ليست النقطة الرئيسية في الحل. من حيث المبدأ ، يمكن إجراء جميع العمليات مباشرة باستخدام المعادلات نفسها ، ولكن سيتضح أن الترميز سيكون أكثر تعقيدًا ، وسيكون من الأسهل بكثير الخلط فيه.

محدد

المصفوفة لها أيضًا محدد. هذه ميزة مهمة للغاية. معرفة معناه الآن لا يستحق كل هذا العناء ، يمكنك ببساطة إظهار كيفية حسابه ، ثم تحديد خصائص المصفوفة التي تحددها. أسهل طريقة لإيجاد المحدد هي من خلال الأقطار. يتم رسم الأقطار الخيالية في المصفوفة ؛ تتضاعف العناصر الموجودة على كل منها ، ثم تُضاف المنتجات الناتجة: الأقطار ذات المنحدر إلى اليمين - بعلامة "زائد" ، ومنحدر إلى اليسار - بعلامة "ناقص".

من المهم للغاية ملاحظة أنه لا يمكن حساب المحدد إلا لمصفوفة مربعة. بالنسبة إلى المصفوفة المستطيلة ، يمكنك القيام بما يلي: اختر أصغر عدد من الصفوف وعدد الأعمدة (لنكن k) ، ثم ضع علامة عشوائية على k أعمدة و k صفوف في المصفوفة. ستشكل العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة مصفوفة مربعة جديدة. إذا كان محدد مثل هذه المصفوفة هو رقم غير الصفر ، فإنه يسمى الأساس الصغرى للمصفوفة المستطيلة الأصلية.

قبل الشروع في حل نظام المعادلات بطريقة غاوس ، لا يضر حساب المحدد. إذا اتضح أنها صفر ، فيمكننا أن نقول على الفور أن المصفوفة إما بها عدد لا نهائي من الحلول ، أو لا يوجد حل واحد على الإطلاق. في مثل هذه الحالة المحزنة ، عليك أن تذهب أبعد من ذلك وتكتشف رتبة المصفوفة.

تصنيف النظام

هناك شيء مثل رتبة المصفوفة. هذا هو الحد الأقصى لترتيب المحدد غير الصفري (تذكر الأساس الثانوي ، يمكننا القول أن رتبة المصفوفة هي ترتيب الأساس الثانوي).

وفقًا لكيفية سير الأمور بالرتبة ، يمكن تقسيم SLAE إلى:

• مشترك. فيبالنسبة لأنظمة المفاصل ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية (التي تتكون فقط من المعاملات) تتطابق مع مرتبة المصفوفة الموسعة (مع عمود من المصطلحات الحرة). هذه الأنظمة لها حل ، ولكن ليس بالضرورة حل واحد ، لذلك ، يتم تقسيم الأنظمة المشتركة بالإضافة إلى ذلك إلى:
• - تأكيد- وجود حل فريد. في أنظمة معينة ، تتساوى رتبة المصفوفة وعدد المجهول (أو عدد الأعمدة وهو نفس الشيء) ؛
• - غير محدد -مع عدد لا حصر له من الحلول. رتبة المصفوفات لهذه الأنظمة أقل من عدد المجهولين.
• غير متوافق. فيمثل هذه الأنظمة ، لا تتطابق رتب المصفوفات الرئيسية والمصفوفة الموسعة. الأنظمة غير المتوافقة ليس لها حل.

تعتبر طريقة Gauss جيدة من حيث أنها تسمح للشخص بالحصول على دليل لا لبس فيه على عدم تناسق النظام (بدون حساب محددات المصفوفات الكبيرة) أو حل عام لنظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

التحولات الأولية

قبل الشروع مباشرة في حل النظام ، من الممكن جعله أقل تعقيدًا وأكثر ملاءمة للحسابات. يتم تحقيق ذلك من خلال التحولات الأولية - بحيث لا يغير تنفيذها الإجابة النهائية بأي شكل من الأشكال. تجدر الإشارة إلى أن بعض التحويلات الأولية المذكورة أعلاه صالحة فقط للمصفوفات ، والتي كان مصدرها هو SLAE بالتحديد. فيما يلي قائمة بهذه التحولات:

1. تبديل السلسلة. من الواضح أننا إذا قمنا بتغيير ترتيب المعادلات في سجل النظام ، فلن يؤثر ذلك على الحل بأي شكل من الأشكال. وبالتالي ، من الممكن أيضًا تبادل الصفوف في مصفوفة هذا النظام ، دون أن ننسى بالطبع عمود الأعضاء الأحرار.
2. ضرب كل عناصر السلسلة ببعض العوامل. مفيد جدا! باستخدامه ، يمكنك تقليل الأعداد الكبيرة في المصفوفة أو إزالة الأصفار. مجموعة الحلول ، كالعادة ، لن تتغير ، وستصبح أكثر ملاءمة لإجراء المزيد من العمليات. الشيء الرئيسي هو أن المعامل لا يساوي الصفر.
3. احذف الصفوف ذات المعاملات المتناسبة. هذا يتبع جزئيا من الفقرة السابقة. إذا كان لصفين أو أكثر في المصفوفة معاملات متناسبة ، فعند ضرب / قسمة أحد الصفوف على معامل التناسب ، يتم الحصول على صفين (أو أكثر) متطابقين تمامًا ، ويمكنك إزالة الصفوف الزائدة ، وترك فقط واحد.
4. إزالة السطر الفارغ. إذا تم الحصول على سلسلة أثناء عمليات التحويل في مكان ما تكون فيه جميع العناصر ، بما في ذلك العضو الحر ، صفرًا ، فيمكن عندئذٍ تسمية هذه السلسلة بصفر وإلقاءها خارج المصفوفة.
5. إضافة عناصر صف آخر (في الأعمدة المقابلة) إلى عناصر صف واحد ، مضروبة في معامل معين. التحول الأكثر غموضًا والأكثر أهمية على الإطلاق. يجدر الخوض فيها بمزيد من التفصيل.

إضافة سلسلة مضروبة في عامل

لسهولة الفهم ، يجدر تفكيك هذه العملية خطوة بخطوة. يتم أخذ صفين من المصفوفة:

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ 21 أ 22 ... أ 2 ن | ب 2

لنفترض أنك بحاجة إلى إضافة الأول إلى الثاني ، مضروبًا في المعامل "-2".

أ "21 \ u003d أ 21 + -2 × أ 11

أ "22 \ u003d أ 22 + -2 × أ 12

أ "2n \ u003d a 2n + -2 × a 1n

ثم في المصفوفة ، يتم استبدال الصف الثاني بواحد جديد ، ويبقى الصف الأول دون تغيير.

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ "21 أ" 22 ... أ "2 ن | ب 2

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن اختيار عامل الضرب بطريقة تجعل أحد عناصر السلسلة الجديدة يساوي صفرًا نتيجة إضافة سلسلتين. لذلك ، من الممكن الحصول على معادلة في النظام ، حيث ستكون هناك معادلة غير معروفة. وإذا حصلت على معادلتين من هذا القبيل ، فيمكن إجراء العملية مرة أخرى والحصول على معادلة تحتوي بالفعل على مجهولين أقل. وإذا كنا ننتقل في كل مرة إلى صفر معامل واحد لجميع الصفوف الأقل من المعامل الأصلي ، فيمكننا ، مثل الخطوات ، النزول إلى أسفل المصفوفة والحصول على معادلة ذات واحد غير معروف. هذا يسمى حل النظام باستخدام طريقة جاوس.

على العموم

يجب ألا يكون هناك نظام. لها معادلات م ون جذور غير معروفة. يمكنك كتابتها على النحو التالي:

يتم تجميع المصفوفة الرئيسية من معاملات النظام. يُضاف عمود من الأعضاء الأحرار إلى المصفوفة الممتدة ويفصل بينهم شريط للراحة.

• يتم ضرب الصف الأول من المصفوفة بالمعامل k = (-a 21 / a 11) ؛
• يضاف الصف الأول المعدل والصف الثاني من المصفوفة ؛
• بدلاً من الصف الثاني ، يتم إدراج نتيجة الإضافة من الفقرة السابقة في المصفوفة ؛
• الآن المعامل الأول في الصف الثاني الجديد هو 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

الآن يتم إجراء نفس سلسلة التحويلات ، يتم تضمين الصفين الأول والثالث فقط. وفقًا لذلك ، في كل خطوة من الخوارزمية ، يتم استبدال العنصر a 21 بـ 31. ثم يتكرر كل شيء لـ 41 ، ... a m1. والنتيجة هي مصفوفة حيث العنصر الأول في الصفوف يساوي صفرًا. نحتاج الآن إلى نسيان السطر الأول وتنفيذ نفس الخوارزمية بدءًا من السطر الثاني:

• المعامل k \ u003d (-a 32 / a 22) ؛
• يضاف السطر الثاني المعدل إلى السطر "الحالي" ؛
• يتم استبدال نتيجة الإضافة في الأسطر الثالث والرابع وهكذا ، بينما يظل الأول والثاني بدون تغيير ؛
• في صفوف المصفوفة ، أول عنصرين يساوي الصفر بالفعل.

يجب تكرار الخوارزمية حتى يظهر المعامل k = (-a m، m-1 / a mm). هذا يعني أن آخر مرة تم فيها تنفيذ الخوارزمية كانت للمعادلة السفلية فقط. تبدو المصفوفة الآن كمثلث ، أو لها شكل متدرج. الخلاصة تحتوي على المساواة أ م ن × س ن = ب م. المعامل والمصطلح الحر معروفان ، ويتم التعبير عن الجذر من خلالهما: x n = b m / a mn. يتم استبدال الجذر الناتج في الصف العلوي لإيجاد x n-1 = (b m-1 - a m-1، n × (b m / a mn)) ÷ a m-1، n-1. وهكذا عن طريق القياس: في كل سطر تالٍ يوجد جذر جديد ، وبعد أن وصلت إلى "قمة" النظام ، يمكنك إيجاد العديد من الحلول. سيكون الوحيد.

عندما لا توجد حلول

إذا كانت جميع العناصر في أحد صفوف المصفوفة تساوي صفرًا ، باستثناء المصطلح الحر ، فإن المعادلة المقابلة لهذا الصف تبدو مثل 0 = ب. ليس لها حل. وبما أن مثل هذه المعادلة مدرجة في النظام ، فإن مجموعة حلول النظام بأكمله فارغة ، أي أنها متدهورة.

عندما يكون هناك عدد لا حصر له من الحلول

قد يتضح أنه في المصفوفة المثلثية المختصرة لا توجد صفوف بها عنصر واحد - معامل المعادلة ، وواحد - عضو حر. لا يوجد سوى السلاسل التي ، عند إعادة كتابتها ، ستبدو كمعادلة ذات متغيرين أو أكثر. هذا يعني أن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. في هذه الحالة ، يمكن إعطاء الإجابة في شكل حل عام. كيف افعلها؟

جميع المتغيرات في المصفوفة مقسمة إلى أساسية ومجانية. الأساسية - هذه هي تلك التي تقف "على حافة" الصفوف في المصفوفة المتدرجة. الباقي أحرار. في الحل العام ، تتم كتابة المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات المجانية.

للراحة ، تتم إعادة كتابة المصفوفة أولاً في نظام المعادلات. ثم في الأخير ، حيث بقي متغير أساسي واحد فقط ، يبقى في جانب ، وكل شيء آخر ينتقل إلى الآخر. يتم ذلك لكل معادلة بمتغير أساسي واحد. ثم ، في بقية المعادلات ، حيثما أمكن ، بدلاً من المتغير الأساسي ، يتم استبدال التعبير الذي تم الحصول عليه من أجله. إذا كانت النتيجة مرة أخرى تعبيرًا يحتوي على متغير أساسي واحد فقط ، فسيتم التعبير عنه من هناك مرة أخرى ، وهكذا ، حتى تتم كتابة كل متغير أساسي كتعبير يحتوي على متغيرات حرة. هذا هو الحل العام لـ SLAE.

يمكنك أيضًا العثور على الحل الأساسي للنظام - أعط المتغيرات المجانية أي قيم ، ثم في هذه الحالة بالذات احسب قيم المتغيرات الأساسية. هناك عدد لا نهائي من الحلول الخاصة.

حل بأمثلة محددة

هنا نظام المعادلات.

للراحة ، من الأفضل إنشاء مصفوفة على الفور

من المعروف أنه عند الحل بطريقة Gauss ، فإن المعادلة المقابلة للصف الأول ستبقى دون تغيير في نهاية التحويلات. لذلك ، سيكون الأمر أكثر ربحية إذا كان العنصر الأيسر العلوي للمصفوفة هو الأصغر - ثم ستتحول العناصر الأولى من الصفوف المتبقية بعد العمليات إلى الصفر. هذا يعني أنه في المصفوفة المترجمة سيكون من المفيد وضع الصف الثاني مكان الصف الأول.

السطر الثاني: ك = (-a 21 / أ 11) = (-3/1) = -3

أ "21 \ u003d أ 21 + ك × أ 11 \ u003d 3 + (-3) × 1 \ u003d 0

أ "22 \ u003d أ 22 + ك × أ 12 \ u003d -1 + (-3) × 2 \ u003d -7

أ "23 = أ 23 + ك × أ 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

ب "2 \ u003d ب 2 + ك × ب 1 \ u003d 12 + (-3) × 12 \ u003d -24

السطر الثالث: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

أ "3 1 = أ 3 1 + ك × أ 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

أ "3 2 = أ 3 2 + ك × أ 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

أ "3 3 = أ 33 + ك × أ 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 1 \ u003d 3 + (-5) × 12 \ u003d -57

الآن ، من أجل عدم الخلط ، من الضروري كتابة المصفوفة بالنتائج الوسيطة للتحولات.

من الواضح أن مثل هذه المصفوفة يمكن جعلها أكثر ملاءمة للإدراك بمساعدة بعض العمليات. على سبيل المثال ، يمكنك إزالة كل "ناقص" من السطر الثاني بضرب كل عنصر في "-1".

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن جميع العناصر في الصف الثالث عبارة عن مضاعفات للعدد ثلاثة. ثم يمكنك تقليل السلسلة بهذا الرقم ، وضرب كل عنصر في "-1/3" (ناقص - في نفس الوقت لإزالة القيم السالبة).

تبدو أجمل بكثير. علينا الآن ترك السطر الأول بمفرده والعمل مع السطر الثاني والثالث. تتمثل المهمة في إضافة الصف الثاني إلى الصف الثالث ، مضروبًا في هذا العامل بحيث يصبح العنصر a 32 مساويًا للصفر.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 كسور ، وعندها فقط ، عندما يتم تلقي الإجابات ، قرر ما إذا كنت تريد التقريب والترجمة إلى شكل آخر من الرموز)

أ "32 = أ 32 + ك × أ 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

أ "33 \ u003d أ 33 + ك × أ 23 \ u003d 6 + (-3/7) × 11 \ u003d -9/7

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 2 \ u003d 19 + (-3/7) × 24 \ u003d -61/7

تمت كتابة المصفوفة مرة أخرى بقيم جديدة.

كما ترى ، فإن المصفوفة الناتجة لها بالفعل شكل متدرج. لذلك ، لا يلزم إجراء مزيد من التحولات للنظام بطريقة Gauss. ما يمكن عمله هنا هو إزالة المعامل العام "-1/7" من السطر الثالث.

الآن كل شيء جميل. النقطة صغيرة - اكتب المصفوفة مرة أخرى في شكل نظام معادلات واحسب الجذور

س + 2 ص + 4 ع = 12 (1)

7 س + 11 ع = 24 (2)

تسمى الخوارزمية التي سيتم من خلالها العثور على الجذور الآن بالحركة العكسية في طريقة غاوس. تحتوي المعادلة (3) على قيمة z:

ص = (24-11 × (61/9)) / 7 = -65/9

وتتيح لك المعادلة الأولى إيجاد x:

x = (12-4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

لدينا الحق في تسمية مثل هذا النظام مشتركًا ، وحتى مؤكدًا ، أي وجود حل فريد. الرد مكتوب بالصيغة التالية:

× 1 \ u003d -2/3 ، ص \ u003d -65/9 ، ض \ u003d 61/9.

مثال على نظام غير محدد

تم تحليل متغير حل نظام معين بطريقة Gauss ، والآن من الضروري النظر في الحالة إذا كان النظام غير محدد ، أي أنه يمكن العثور على العديد من الحلول بشكل لا نهائي له.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3 س 1 + 2 س 2 + س 3 + س 4 - 3 س 5 = -2 (2)

س 2 + 2 س 3 + 2 س 4 + 6 س 5 = 23 (3)

5 س 1 + 4 س 2 + 3 س 3 + 3 س 4 - س 5 = 12 (4)

شكل النظام نفسه ينذر بالخطر بالفعل ، لأن عدد المجهول هو n = 5 ، ورتبة مصفوفة النظام أقل بالفعل من هذا الرقم ، لأن عدد الصفوف م = 4 ، أي ، أكبر ترتيب لمُحدد المربع هو 4. وهذا يعني أن هناك عددًا لا نهائيًا من الحلول ، ومن الضروري البحث عن شكله العام. تتيح طريقة غاوس للمعادلات الخطية القيام بذلك.

أولاً ، كالمعتاد ، يتم تجميع المصفوفة المعززة.

السطر الثاني: المعامل k = (-a 21 / a 11) = -3. في السطر الثالث ، يكون العنصر الأول قبل التحولات ، لذا لا تحتاج إلى لمس أي شيء ، عليك تركه كما هو. السطر الرابع: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

بضرب عناصر الصف الأول في كل من معاملاتها على التوالي وإضافتها إلى الصفوف المرغوبة ، نحصل على مصفوفة بالشكل التالي:

كما ترى ، الصفوف الثاني والثالث والرابع تتكون من عناصر متناسبة مع بعضها البعض. عموماً الثاني والرابع متماثلان ، لذا يمكن إزالة أحدهما على الفور ، والباقي مضروب في المعامل "-1" والحصول على السطر رقم 3. ومرة ​​أخرى ، اترك واحدًا من سطرين متطابقين.

اتضح مثل هذه المصفوفة. لم يتم تدوين النظام بعد ، من الضروري هنا تحديد المتغيرات الأساسية - الوقوف عند المعاملين 11 \ u003d 1 و 22 \ u003d 1 ، ومجاني - كل الباقي.

المعادلة الثانية لها متغير أساسي واحد فقط - x 2. ومن ثم ، يمكن التعبير عنها من هناك ، بالكتابة من خلال المتغيرات x 3 ، x 4 ، x 5 ، وهي مجانية.

نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الأولى.

لقد تم التوصل إلى معادلة يكون فيها المتغير الأساسي الوحيد هو x 1. لنفعل نفس الشيء مع x 2.

يتم التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية ، التي يوجد منها متغيران ، في شكل ثلاثة متغيرات حرة ، والآن يمكنك كتابة الإجابة بشكل عام.

يمكنك أيضًا تحديد أحد الحلول الخاصة للنظام. في مثل هذه الحالات ، كقاعدة عامة ، يتم اختيار الأصفار كقيم للمتغيرات الحرة. ثم تكون الإجابة:

16, 23, 0, 0, 0.

مثال على نظام غير متوافق

حل أنظمة المعادلات غير المتسقة بطريقة غاوس هو الأسرع. تنتهي بمجرد الحصول على معادلة ليس لها حل في إحدى المراحل. أي أن المرحلة مع حساب الجذور ، وهي طويلة جدًا وكئيبة ، تختفي. يعتبر النظام التالي:

س + ص - ض = 0 (1)

2 س - ص - ض = -2 (2)

4 س + ص - 3 ع = 5 (3)

كالعادة ، يتم تجميع المصفوفة:

ويتم تقليله إلى شكل متدرج:

ك 1 \ u003d -2 ك 2 \ u003d -4

بعد التحويل الأول ، يحتوي السطر الثالث على معادلة النموذج

ليس لديها حل. لذلك ، فإن النظام غير متسق ، والإجابة هي المجموعة الفارغة.

مزايا وعيوب الطريقة

إذا اخترت أي طريقة لحل SLAE على الورق باستخدام قلم ، فإن الطريقة التي تم أخذها في الاعتبار في هذه المقالة تبدو أكثر جاذبية. في التحولات الأولية ، يكون الخلط أكثر صعوبة مما يحدث إذا كان عليك البحث يدويًا عن المحدد أو بعض المصفوفات المعكوسة الصعبة. ومع ذلك ، إذا كنت تستخدم برامج للعمل مع بيانات من هذا النوع ، على سبيل المثال ، جداول البيانات ، فقد اتضح أن هذه البرامج تحتوي بالفعل على خوارزميات لحساب المعلمات الرئيسية للمصفوفات - المحدد ، والقاصر ، والعكس ، وما إلى ذلك. وإذا كنت متأكدًا من أن الآلة ستحسب هذه القيم بنفسها ولن تخطئ ، فمن الأفضل استخدام طريقة المصفوفة أو معادلات كرامر ، لأن تطبيقها يبدأ وينتهي بحساب المحددات والمصفوفات المعكوسة.

طلب

نظرًا لأن الحل Gaussian عبارة عن خوارزمية ، والمصفوفة هي في الواقع مصفوفة ثنائية الأبعاد ، فيمكن استخدامها في البرمجة. ولكن نظرًا لأن المقالة تضع نفسها كدليل "للدمى" ، ينبغي القول إن أسهل مكان لوضع الطريقة فيه هو جداول البيانات ، على سبيل المثال ، Excel. مرة أخرى ، سيتم اعتبار أي SLAE تم إدخاله في جدول في شكل مصفوفة بواسطة Excel كمصفوفة ثنائية الأبعاد. وللعمليات معهم ، هناك العديد من الأوامر الجيدة: الإضافة (يمكنك فقط إضافة مصفوفات من نفس الحجم!) ، الضرب برقم ، ضرب المصفوفة (أيضًا مع قيود معينة) ، إيجاد المصفوفات المعكوسة والمحوّلة ، والأهم من ذلك ، حساب المحدد. إذا تم استبدال هذه المهمة التي تستغرق وقتًا طويلاً بأمر واحد ، فسيكون من الأسرع بكثير تحديد رتبة المصفوفة ، وبالتالي إثبات توافقها أو عدم تناسقها.