بناء المعادلة المستوية على ثلاث نقاط. معادلة المستوى: كيف تؤلف؟ أنواع المعادلات المستوية

من أجل رسم مستوى واحد عبر أي ثلاث نقاط في الفضاء ، من الضروري ألا تقع هذه النقاط على خط مستقيم واحد.

ضع في اعتبارك النقاط M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، M 3 (x 3، y 3، z 3) في نظام إحداثيات ديكارتي مشترك.

لكي تقع النقطة التعسفية M (x ، y ، z) في نفس المستوى مع النقاط M 1 ، M 2 ، M 3 ، يجب أن تكون المتجهات متحدة المستوى.

(
) = 0

في هذا الطريق،

معادلة طائرة تمر بثلاث نقاط:

معادلة مستوى بالنسبة إلى نقطتين والمتجه الخطي المتجه للمستوى.

دع النقاط M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) ، M 2 (x 2 ، y 2 ، z 2) والمتجه
.

دعونا نؤلف معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطتين المعطاة M 1 و M 2 ونقطة عشوائية M (x ، y ، z) موازية للمتجه .

ثلاثة أبعاد
وناقلات
يجب أن يكون متحد المستوى ، أي

(
) = 0

معادلة الطائرة:

معادلة المستوى فيما يتعلق بنقطة واحدة ومتجهين ،

الطائرة الخطية.

دعونا نعطي اثنين من النواقل
و
، الطائرات الخطية. ثم بالنسبة للنقطة التعسفية M (x ، y ، z) التي تنتمي إلى المستوى ، المتجهات
يجب أن يكون متحد المستوى.

معادلة الطائرة:

معادلة الطائرة بالنقطة والمتجه العادي .

نظرية. إذا تم إعطاء نقطة M في الفضاء 0 (X 0 ، ذ 0 , ض 0 ) ، ثم معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة M. 0 عمودي على المتجه الطبيعي (أ, ب, ج) يشبه:

أ(x – x 0 ) + ب(ذ – ذ 0 ) + ج(ض – ض 0 ) = 0.

دليل - إثبات. بالنسبة إلى النقطة التعسفية M (x ، y ، z) التي تنتمي إلى المستوى ، نقوم بتكوين متجه. لان المتجه - المتجه العادي ، فهو عمودي على المستوى ، وبالتالي عمودي على المتجه
. ثم المنتج العددي

= 0

وهكذا نحصل على معادلة المستوى

لقد تم إثبات النظرية.

معادلة المستوى في مقاطع.

إذا كان في المعادلة العامة Ax + Wu + Cz + D \ u003d 0 ، قسّم كلا الجزأين على (-D)

,

استبدال
نحصل على معادلة المستوى على شكل مقاطع:

الأرقام أ ، ب ، ج هي نقاط تقاطع المستوى ، على التوالي ، مع محاور x و y و z.

معادلة مستوية في شكل متجه.

أين

- متجه نصف قطر النقطة الحالية M (x ، y ، z) ،

متجه وحدة له اتجاه عمودي يسقط على المستوى من الأصل.

 و و هي الزوايا التي شكلها هذا المتجه بمحاور x و y و z.

p هو طول هذا العمودي.

في الإحداثيات ، هذه المعادلة لها الشكل:

xcos + ycos + zcos - ص = 0.

المسافة من نقطة إلى مستوى.

المسافة من النقطة التعسفية M 0 (x 0 ، y 0 ، z 0) إلى المستوى Ax + Vu + Cz + D \ u003d 0 هي:

مثال.أوجد معادلة المستوى ، مع العلم أن النقطة P (4 ؛ -3 ؛ 12) هي قاعدة العمود العمودي المسقط من نقطة الأصل إلى هذا المستوى.

إذن أ = 4/13 ؛ ب = -3/13 ؛ C = 12/13 ، استخدم الصيغة:

أ (س - س 0 ) + ب (ص - ص 0 ) + ج (ض - ض 0 ) = 0.

مثال.أوجد معادلة مستوى يمر عبر نقطتين P (2 ؛ 0 ؛ -1) و

Q (1؛ -1؛ 3) عمودي على المستوى 3x + 2y - z + 5 = 0.

متجه عادي للمستوى 3x + 2y - z + 5 = 0
بالتوازي مع المستوى المطلوب.

نحن نحصل:

مثال.أوجد معادلة المستوى المار بالنقطتين أ (2 ، -1 ، 4) و

В (3 ، 2 ، -1) عمودي على المستوى X + في + 2ض – 3 = 0.

معادلة المستوى المطلوبة لها الشكل: أ x+ ب ذ+ ج ض+ D = 0 ، المتجه الطبيعي لهذا المستوى (أ ، ب ، ج). المتجه
(1 ، 3 ، -5) تنتمي إلى الطائرة. المستوى المعطى لنا ، المتعامد مع المستوى المطلوب ، له متجه عادي (1 ، 1 ، 2). لان النقاط A و B تنتمي إلى كلا المستويين ، والمستويات متعامدة بشكل متبادل ، إذن

لذا فإن المتجه الطبيعي (11 ، -7 ، -2). لان تنتمي النقطة A إلى المستوى المطلوب ، ثم يجب أن تفي إحداثياتها بمعادلة هذا المستوى ، أي 112 + 71 - 24 + د = 0 ؛ د = -21.

في المجموع ، نحصل على معادلة المستوى: 11 x - 7ذ – 2ض – 21 = 0.

مثال.أوجد معادلة المستوى ، مع العلم أن النقطة P (4 ، -3 ، 12) هي قاعدة العمود العمودي المسقط من نقطة الأصل إلى هذا المستوى.

إيجاد إحداثيات المتجه العادي
= (4، -3، 12). معادلة المستوى المطلوبة لها الشكل: 4 x – 3ذ + 12ض+ D = 0. لإيجاد المعامل D ، نعوض بإحداثيات النقطة Р في المعادلة:

16 + 9 + 144 + د = 0

في المجموع ، نحصل على المعادلة المطلوبة: 4 x – 3ذ + 12ض – 169 = 0

مثال.بالنظر إلى إحداثيات رؤوس الهرم أ 1 (1 ؛ 0 ؛ 3) ، أ 2 (2 ؛ -1 ؛ 3) ، أ 3 (2 ؛ 1 ؛ 1) ،

أوجد طول الحافة ١ ٢.

أوجد الزاوية بين الحواف ١ ٢ ، ١ ٤.

أوجد الزاوية بين الحافة A 1 A 4 والوجه A 1 A 2 A 3.

أولاً ، أوجد المتجه الطبيعي للوجه أ 1 أ 2 أ 3 كمنتج متقاطع من النواقل
و
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

أوجد الزاوية بين المتجه العادي والمتجه
.

-4 – 4 = -8.

الزاوية المرغوبة  بين المتجه والمستوى ستساوي  = 90 0 - .

أوجد مساحة الوجه أ 1 أ 2 أ 3.

أوجد حجم الهرم.

أوجد معادلة المستوى ١ ٢ ٣.

نستخدم صيغة معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط.

2 س + 2 ص + 2 ز - 8 = 0

س + ص + ض - 4 = 0 ؛

عند استخدام إصدار الكمبيوتر الشخصي من " دورة الرياضيات العليايمكنك تشغيل برنامج يقوم بحل المثال أعلاه لأي إحداثيات لرؤوس الهرم.

انقر نقرًا مزدوجًا فوق الرمز لبدء تشغيل البرنامج:

في نافذة البرنامج التي تفتح ، أدخل إحداثيات رؤوس الهرم واضغط على Enter. وبالتالي ، يمكن الحصول على جميع نقاط القرار واحدة تلو الأخرى.

ملاحظة: لتشغيل البرنامج ، يجب أن يكون لديك Maple ( Waterloo Maple Inc.) مثبتًا على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، أي إصدار يبدأ بـ MapleV Release 4.

فليكن من الضروري إيجاد معادلة مستوى يمر عبر ثلاث نقاط معينة لا تقع على خط مستقيم واحد. بالإشارة إلى متجهات نصف القطر الخاصة بهم بواسطة متجه نصف القطر الحالي ، يمكننا بسهولة الحصول على المعادلة المطلوبة في شكل متجه. في الواقع ، يجب أن تكون المتجهات متحد المستوى (كلها تقع في المستوى المطلوب). لذلك ، يجب أن يكون حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات مساويًا للصفر:

هذه هي معادلة مستوى يمر عبر ثلاث نقاط معينة ، في شكل متجه.

بالانتقال إلى الإحداثيات ، نحصل على المعادلة في الإحداثيات:

إذا كانت النقاط الثلاث المعطاة تقع على نفس الخط المستقيم ، فإن المتجهات ستكون على خط واحد. لذلك ، فإن العناصر المقابلة للصفين الأخيرين من المحدد في المعادلة (18) ستكون متناسبة وسيكون المحدد مساويًا للصفر. لذلك ، ستصبح المعادلة (18) مطابقة لأي قيم لـ x و y و z. هندسيًا ، هذا يعني أن الطائرة تمر عبر كل نقطة في الفضاء ، حيث توجد أيضًا ثلاث نقاط معينة.

ملاحظة 1. يمكن حل نفس المشكلة بدون استخدام ناقلات.

للدلالة على إحداثيات النقاط الثلاث المعطاة ، على التوالي ، نكتب من خلال معادلة أي مستوى يمر بالنقطة الأولى:

للحصول على معادلة المستوى المطلوب ، يجب على المرء أن يطلب استيفاء المعادلة (17) بإحداثيات النقطتين الأخريين:

من المعادلات (19) ، من الضروري تحديد نسب معاملين إلى الثالث وإدخال القيم الموجودة في المعادلة (17).

مثال 1. اكتب معادلة لمستوى يمر عبر النقاط.

ستكون معادلة الطائرة التي تمر عبر أول هذه النقاط هي:

شروط مرور الطائرة (17) بنقطتين أخريين والنقطة الأولى هي:

بإضافة المعادلة الثانية إلى الأولى ، نحصل على:

بالتعويض في المعادلة الثانية ، نحصل على:

بالتعويض في المعادلة (17) بدلاً من A ، B ، C ، على التوالي ، 1 ، 5 ، -4 (الأرقام المتناسبة معها) ، نحصل على:

مثال 2. اكتب معادلة لمستوى يمر عبر النقاط (0 ، 0 ، 0) ، (1 ، 1 ، 1) ، (2 ، 2 ، 2).

معادلة أي مستوى يمر عبر النقطة (0 ، 0 ، 0) ستكون]

شروط تمرير هذا المستوى عبر النقاط (1 ، 1 ، 1) و (2 ، 2 ، 2) هي:

بتقليل المعادلة الثانية بمقدار 2 ، نرى أنه لتحديد المجهولين ، يكون للعلاقة معادلة واحدة

من هنا وصلنا. بالتعويض الآن في معادلة المستوى بدلاً من قيمتها ، نجد:

هذه هي معادلة المستوى المطلوب ؛ ذلك يعتمد على التعسفي

الكميات B ، C (أي من النسبة ، أي أن هناك عددًا لا حصر له من الطائرات التي تمر عبر ثلاث نقاط معينة (ثلاث نقاط معينة تقع على خط مستقيم واحد).

ملاحظة 2. مشكلة رسم مستوى من خلال ثلاث نقاط معينة لا تقع على نفس الخط المستقيم يتم حلها بسهولة بشكل عام إذا استخدمنا المحددات. في الواقع ، نظرًا لأنه في المعادلتين (17) و (19) لا يمكن أن تكون المعاملات A و B و C مساوية للصفر في نفس الوقت ، إذن ، بالنظر إلى هذه المعادلات كنظام متجانس به ثلاثة مجاهيل A و B و C ، نكتب أمرًا ضروريًا وكافيًا شرط وجود حل لهذا النظام ، بخلاف الصفر (الجزء 1 ، الفصل السادس ، الفقرة 6):

بتوسيع هذا المحدد بواسطة عناصر الصف الأول ، نحصل على معادلة من الدرجة الأولى فيما يتعلق بالإحداثيات الحالية ، والتي سيتم استيفائها ، على وجه الخصوص ، بإحداثيات النقاط الثلاث المحددة.

يمكن أيضًا التحقق من هذا الأخير مباشرة إذا استبدلنا إحداثيات أي من هذه النقاط بدلاً من المعادلة المكتوبة باستخدام المحدد. على الجانب الأيسر ، يتم الحصول على المحدد ، حيث إما أن تكون عناصر الصف الأول صفرًا ، أو يوجد صفان متطابقان. وبالتالي ، فإن المعادلة المصاغة تمثل مستوى يمر عبر ثلاث نقاط معينة.

معادلة الطائرة. كيف تكتب معادلة لمستوى؟
الترتيب المتبادل للطائرات. مهام

الهندسة المكانية ليست أكثر تعقيدًا من الهندسة "المسطحة" ، وتبدأ رحلاتنا في الفضاء بهذه المقالة. من أجل فهم الموضوع ، يجب أن يكون لدى المرء فهم جيد لـ ثلاثة أبعاد، بالإضافة إلى ذلك ، من المستحسن أن تكون على دراية بهندسة الطائرة - سيكون هناك العديد من أوجه التشابه والعديد من التشبيهات ، وبالتالي سيتم استيعاب المعلومات بشكل أفضل. في سلسلة من دروسي ، يفتح العالم ثنائي الأبعاد بمقال معادلة خط مستقيم على مستوى. ولكن الآن خرج باتمان من شاشة التلفزيون المسطحة وبدأ إطلاقه من بايكونور كوزمودروم.

لنبدأ بالرسومات والرموز. من الناحية التخطيطية ، يمكن رسم المستوى كمتوازي أضلاع ، مما يعطي انطباعًا عن الفضاء:

الطائرة لانهائية ، لكن لدينا الفرصة لتصوير جزء منها فقط. في الممارسة العملية ، بالإضافة إلى متوازي الأضلاع ، يتم أيضًا رسم شكل بيضاوي أو حتى سحابة. لأسباب فنية ، من الأنسب بالنسبة لي تصوير الطائرة بهذه الطريقة وفي هذا الموضع. يمكن ترتيب الطائرات الحقيقية ، التي سننظر فيها في الأمثلة العملية ، بأي شكل من الأشكال - خذ الرسم في يديك عقليًا وقم بلفه في الفضاء ، مع إعطاء الطائرة أي ميل ، أي زاوية.

الرموز: من المعتاد تسمية الطائرات بأحرف يونانية صغيرة ، على ما يبدو حتى لا يتم الخلط بينها وبينها مباشرة على متن الطائرةأو مع مباشرة في الفضاء. أنا معتاد على استخدام الحرف. في الرسم ، هو الحرف "سيجما" ، وليس ثقبًا على الإطلاق. على الرغم من أنها طائرة رائعة ، إلا أنها بالتأكيد مضحكة للغاية.

في بعض الحالات ، يكون من الملائم استخدام نفس الأحرف اليونانية ذات الرموز المنخفضة لتعيين الطائرات ، على سبيل المثال ،.

من الواضح أن المستوى يتم تحديده بشكل فريد من خلال ثلاث نقاط مختلفة لا تقع على نفس الخط المستقيم. لذلك ، تحظى تسميات الطائرات المكونة من ثلاثة أحرف بشعبية كبيرة - وفقًا للنقاط التي تنتمي إليها ، على سبيل المثال ، إلخ. غالبًا ما يتم وضع الأحرف بين قوسين: ، حتى لا يتم الخلط بين الطائرة وشكل هندسي آخر.

للقراء ذوي الخبرة ، سأعطي القائمة المختصرة:

• كيف تكتب معادلة لمستوى باستخدام نقطة ومتجهين؟
• كيف تكتب معادلة لمستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

ولن نتوانى في الانتظار الطويل.

المعادلة العامة للطائرة

المعادلة العامة للمستوى لها الشكل ، حيث تكون المعاملات في نفس الوقت غير صفرية.

هناك عدد من الحسابات النظرية والمشكلات العملية صالحة لكل من الأساس المتعامد المعتاد والأساس الأفيني للفضاء (إذا كان الزيت زيتًا ، فارجع إلى الدرس الاعتماد الخطي (غير) على النواقل. أساس المتجه). من أجل التبسيط ، سنفترض أن جميع الأحداث تحدث على أساس متعامد ونظام إحداثيات ديكارتي مستطيل.

والآن دعونا ندرب القليل من الخيال المكاني. لا بأس إذا كان الأمر سيئًا ، سنقوم الآن بتطويره قليلاً. حتى اللعب على الأعصاب يتطلب التدريب.

في الحالة العامة ، عندما لا تكون الأرقام مساوية للصفر ، يتقاطع المستوى مع محاور الإحداثيات الثلاثة. على سبيل المثال ، مثل هذا:

أكرر مرة أخرى أن الطائرة تستمر إلى أجل غير مسمى في جميع الاتجاهات ، ولدينا الفرصة لتصوير جزء منها فقط.

ضع في اعتبارك أبسط معادلات المستويات:

كيف نفهم هذه المعادلة؟ فكر في الأمر: "Z" دائمًا ، لأي قيم من "X" و "Y" تساوي الصفر. هذه هي معادلة المستوى الإحداثي "الأصلي". في الواقع ، يمكن إعادة كتابة المعادلة رسميًا على النحو التالي: ، من حيث أنه من الواضح أننا لا نهتم ، ما هي القيم "س" و "ص" ، فمن المهم أن "z" تساوي الصفر.

بصورة مماثلة:
هي معادلة المستوى الإحداثي ؛
هي معادلة المستوى الإحداثي.

دعنا نعقد المشكلة قليلاً ، فكر في المستوى (هنا وفي الفقرة أيضًا نفترض أن المعاملات العددية لا تساوي الصفر). دعنا نعيد كتابة المعادلة بالشكل التالي:. كيف نفهمها؟ "X" دائمًا ، لأي قيمة من "y" و "z" تساوي رقمًا معينًا. هذا المستوى موازٍ لمستوى الإحداثيات. على سبيل المثال ، المستوى موازي لمستوى ويمر بنقطة.

بصورة مماثلة:
- معادلة المستوى الموازي لمستوى الإحداثيات ؛
- معادلة المستوى الموازي لمستوى الإحداثي.

إضافة أعضاء: . يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي: أي أن "Z" يمكن أن تكون أي شيء. ماذا يعني ذلك؟ يتم توصيل "X" و "Y" بنسبة ترسم خطًا مستقيمًا معينًا في المستوى (ستتعرف عليه معادلة الخط المستقيم في المستوى؟). نظرًا لأن Z يمكن أن يكون أي شيء ، يتم "تكرار" هذا الخط عند أي ارتفاع. وبالتالي ، تحدد المعادلة مستوى موازٍ لمحور الإحداثيات

بصورة مماثلة:
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات ؛
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات.

إذا كانت الشروط المجانية صفرًا ، فستمر الطائرات مباشرة عبر المحاور المقابلة. على سبيل المثال ، "التناسب المباشر" الكلاسيكي :. ارسم خطًا مستقيمًا في المستوى واضربه ذهنيًا لأعلى ولأسفل (بما أن "z" هي أي شيء). الخلاصة: المستوى الذي أعطته المعادلة يمر عبر محور الإحداثيات.

نختتم المراجعة: معادلة المستوى يمر عبر الأصل. حسنًا ، من الواضح تمامًا هنا أن النقطة تحقق المعادلة المعطاة.

وأخيرًا ، الحالة الموضحة في الرسم: - المستوى صديق لجميع محاور الإحداثيات ، بينما "يقطع" دائمًا مثلثًا يمكن وضعه في أي من الثماني الثماني.

عدم المساواة الخطية في الفضاء

من أجل فهم المعلومات ، من الضروري الدراسة جيدًا المتباينات الخطية في المستوىلأن أشياء كثيرة ستكون متشابهة. ستكون الفقرة عبارة عن نظرة عامة موجزة مع بعض الأمثلة ، حيث أن المادة نادرة جدًا من الناحية العملية.

إذا كانت المعادلة تحدد مستوى ، فإن المتباينات
يطلب نصف مسافات. إذا كانت المتباينة غير صارمة (الأخيرين في القائمة) ، فإن حل المتباينة ، بالإضافة إلى نصف المسافة ، يتضمن المستوى نفسه.

مثال 5

أوجد متجه الوحدة الطبيعي للمستوى .

المحلول: متجه الوحدة هو متجه طوله واحد. دعنا نشير إلى هذا المتجه بواسطة. من الواضح تمامًا أن المتجهات على خط واحد:

أولاً ، نزيل المتجه الطبيعي من معادلة المستوى:.

كيف تجد متجه الوحدة؟ للعثور على متجه الوحدة ، تحتاج كلتنسيق المتجه مقسومًا على طول المتجه.

دعنا نعيد كتابة المتجه العادي في النموذج ونجد طوله:

حسب ما سبق:

إجابه:

تحقق: ، الذي كان مطلوبًا للتحقق.

القراء الذين درسوا بعناية الفقرة الأخيرة من الدرس ، ربما لاحظوا ذلك إحداثيات متجه الوحدة هي بالضبط اتجاه جيب التمام للمتجه:

دعنا نستخرج من المشكلة المفككة: عندما يتم إعطاؤك متجهًا تعسفيًا غير صفري، وبحسب الشرط المطلوب إيجاد جيب التمام الخاص به (انظر المهام الأخيرة للدرس حاصل الضرب النقطي للناقلات) ، فأنت في الواقع تجد أيضًا متجهًا على علاقة خطية متداخلة مع المتجه المعطى. في الواقع ، مهمتان في زجاجة واحدة.

تنشأ الحاجة إلى إيجاد متجه طبيعي في بعض مشاكل التحليل الرياضي.

اكتشفنا صيد المتجه الطبيعي ، والآن سنجيب على السؤال المعاكس:

كيف تكتب معادلة لمستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

هذا البناء الصلب للمتجه العادي والنقطة معروف جيدًا بهدف السهام. يرجى مد يدك للأمام واختيار عقليًا نقطة عشوائية في الفضاء ، على سبيل المثال ، قطة صغيرة في خزانة جانبية. من الواضح أنه من خلال هذه النقطة ، يمكنك رسم مستوى واحد عموديًا على يدك.

يتم التعبير عن معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة عمودية على المتجه بالصيغة:

يمكن تحديده بطرق مختلفة (نقطة واحدة ومتجه ، نقطتان ومتجه ، ثلاث نقاط ، إلخ). ومن هذا المنطلق ، يمكن أن يكون لمعادلة المستوى أشكال مختلفة. أيضًا ، في ظل ظروف معينة ، يمكن أن تكون المستويات متوازية أو متعامدة أو متقاطعة ، إلخ. سنتحدث عن هذا في هذا المقال. سوف نتعلم كيفية كتابة المعادلة العامة للمستوى وليس فقط.

الشكل الطبيعي للمعادلة

لنفترض أن هناك مساحة R 3 بها نظام إحداثيات مستطيل XYZ. قمنا بتعيين المتجه α ، والذي سيتم تحريره من النقطة الأولية O. من خلال نهاية المتجه α ، نرسم المستوى P ، والذي سيكون عموديًا عليه.

قم بالإشارة بواسطة P إلى نقطة تعسفية Q = (x ، y ، z). سنوقع متجه نصف القطر للنقطة Q بالحرف p. طول المتجه α هو p = IαI و Ʋ = (cosα ، cosβ ، cosγ).

هذا متجه وحدة يشير بشكل جانبي ، تمامًا مثل المتجه α. α و و هي الزوايا التي تتشكل بين المتجه Ʋ والاتجاهات الإيجابية لمحاور الفضاء x و y و z على التوالي. إسقاط نقطة ما QϵП على المتجه Ʋ قيمة ثابتة تساوي р: (р، Ʋ) = р (р≥0).

هذه المعادلة منطقية عندما يكون p = 0. الشيء الوحيد هو أن المستوى P في هذه الحالة سوف يتقاطع مع النقطة O (α = 0) ، وهو الأصل ، ومتجه الوحدة Ʋ ، المنطلق من النقطة O ، سيكون عموديًا على P ، بغض النظر عن اتجاهه ، مما يعني أن المتجه Ʋ يتم تحديده من دقة الإشارة. المعادلة السابقة هي معادلة المستوى P ، معبرًا عنها في شكل متجه. لكن في الإحداثيات سيبدو كما يلي:

P هنا أكبر من أو يساوي 0. لقد أوجدنا معادلة المستوى في الفضاء في صورته العادية.

معادلة عامة

إذا ضربنا المعادلة في الإحداثيات بأي رقم لا يساوي صفرًا ، نحصل على معادلة مكافئة للعدد المعطى ، والتي تحدد المستوى نفسه. سيبدو مثل هذا:

هنا أ ، ب ، ج أرقام تختلف في نفس الوقت عن الصفر. يشار إلى هذه المعادلة باسم معادلة المستوى العام.

معادلات الطائرة. حالات خاصة

يمكن تعديل المعادلة بشكل عام في وجود شروط إضافية. دعونا نفكر في بعضها.

افترض أن المعامل A يساوي 0. هذا يعني أن المستوى المعطى موازٍ للمحور المحدد Ox. في هذه الحالة ، سيتغير شكل المعادلة: Ву + Cz + D = 0.

وبالمثل ، فإن شكل المعادلة سوف يتغير في ظل الشروط التالية:

• أولاً ، إذا كانت B = 0 ، فستتغير المعادلة إلى Ax + Cz + D = 0 ، مما يشير إلى التوازي مع محور Oy.
• ثانيًا ، إذا كانت С = 0 ، يتم تحويل المعادلة إلى Ах + Ву + D = 0 ، مما يشير إلى التوازي مع المحور المعطى Oz.
• ثالثًا ، إذا كانت D = 0 ، فستبدو المعادلة مثل Ax + By + Cz = 0 ، مما يعني أن المستوى يتقاطع مع O (الأصل).
• رابعًا ، إذا كانت A = B = 0 ، فستتغير المعادلة إلى Cz + D = 0 ، والتي ستكون موازية لـ Oxy.
• خامسًا ، إذا كانت B = C = 0 ، فإن المعادلة تصبح Ax + D = 0 ، مما يعني أن مستوى Oyz متوازي.
• سادساً ، إذا كانت A = C = 0 ، فستأخذ المعادلة الشكل Ву + D = 0 ، أي أنها ستبلغ عن التوازي مع Oxz.

نوع المعادلة في المقاطع

في الحالة التي تكون فيها الأرقام A و B و C و D غير صفرية ، يمكن أن يكون شكل المعادلة (0) كما يلي:

س / أ + ص / ب + ض / ج = 1 ،

فيها a \ u003d -D / A ، b \ u003d -D / B ، c \ u003d -D / C.

نحصل على نتيجة لذلك تجدر الإشارة إلى أن هذا المستوى سوف يتقاطع مع محور الثور عند نقطة ذات إحداثيات (أ ، 0،0) ، Oy - (0 ، ب ، 0) ، وأوز - (0،0 ، ج) .

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة x / a + y / b + z / c = 1 ، من السهل تمثيل موضع المستوى بشكل مرئي بالنسبة لنظام إحداثيات معين.

إحداثيات متجه عادي

المتجه الطبيعي n على المستوى P له إحداثيات تمثل معاملات المعادلة العامة للمستوى المحدد ، أي n (A ، B ، C).

من أجل تحديد إحداثيات n العادي ، يكفي معرفة المعادلة العامة لمستوى معين.

عند استخدام المعادلة في المقاطع ، والتي لها الشكل x / a + y / b + z / c = 1 ، وكذلك عند استخدام المعادلة العامة ، يمكن للمرء أن يكتب إحداثيات أي متجه عادي لمستوى معين: (1 / أ + 1 / ب + 1 / مع).

وتجدر الإشارة إلى أن المتجه الطبيعي يساعد في حل المشكلات المختلفة. الأكثر شيوعًا هي المهام التي تتكون من إثبات عمودي أو توازي المستويات ، ومشاكل في إيجاد الزوايا بين المستويات أو الزوايا بين المستويات والخطوط.

عرض معادلة المستوى وفقًا لإحداثيات النقطة والمتجه الطبيعي

المتجه غير الصفري n العمودي على مستوى معين يسمى عادي (عادي) لمستوى معين.

افترض أنه في مساحة الإحداثيات (نظام الإحداثيات المستطيلة) يتم إعطاء Oxyz:

• النقطة Mₒ مع الإحداثيات (xₒ ، yₒ ، zₒ) ؛
• متجه صفري n = A * i + B * j + C * k.

من الضروري تكوين معادلة لمستوى يمر عبر النقطة Mₒ عموديًا على n العمودي.

في الفضاء ، نختار أي نقطة عشوائية ونشير إليها بواسطة M (x y ، z). اجعل متجه نصف القطر لأي نقطة M (x ، y ، z) يكون r = x * i + y * j + z * k ، ومتجه نصف القطر للنقطة Mₒ (xₒ ، yₒ ، zₒ) - rₒ = xₒ * أنا + yₒ * j + zₒ * k. ستنتمي النقطة M إلى المستوى المحدد إذا كان المتجه MₒM عموديًا على المتجه n. نكتب شرط التعامد باستخدام المنتج القياسي:

[MₒM ، ن] = 0.

منذ MₒM \ u003d r-rₒ ، ستبدو معادلة المتجه للمستوى كما يلي:

يمكن أن تأخذ هذه المعادلة شكلًا آخر. للقيام بذلك ، يتم استخدام خصائص المنتج القياسي ، ويتم تحويل الجانب الأيسر من المعادلة. = -. إذا تم الإشارة إلى c ، فسيتم الحصول على المعادلة التالية: - c \ u003d 0 أو \ u003d c ، والتي تعبر عن ثبات الإسقاطات على المتجه الطبيعي لمتجهات نصف القطر للنقاط المحددة التي تنتمي إلى المستوى.

الآن يمكنك الحصول على الصيغة الإحداثية لكتابة معادلة المتجه لمستوينا = 0. بما أن r-rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k ، و n = A * i + B * j + C * k ، لدينا:

اتضح أن لدينا معادلة لمستوى يمر عبر نقطة متعامدة مع n العمودي:

A * (x-xₒ) + B * (y-yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

عرض معادلة المستوى وفقًا لإحداثيات نقطتين والمتجه الخطي المتجه للمستوى

نحدد نقطتين تعسفيتين M ′ (x ′ ، y ′ ، z ′) و M ″ (x ″ ، y ″ ، z ″) ، وكذلك المتجه a (a ، a ″ ، a ‴).

يمكننا الآن تكوين معادلة لمستوى معين ، والتي ستمر عبر النقطتين المتاحتين M ′ و M ″ ، وكذلك أي نقطة M لها إحداثيات (x ، y ، z) موازية للمتجه المعطى a.

في هذه الحالة ، المتجهات M′M = (x-x ′ ؛ y-y ′ ؛ z-z ′) و M ″ M = (x ″ -x ′ ؛ y ″ -y ′ ؛ z ″ -z ′) يجب أن تكون متحد المستوى مع المتجه أ = (أ ′ ، أ ″ ، أ ‴) ، مما يعني أن (M′M ، M ″ M ، أ) = 0.

إذن ، معادلة المستوى في الفضاء ستبدو كما يلي:

نوع معادلة مستوى يتقاطع مع ثلاث نقاط

افترض أن لدينا ثلاث نقاط: (x ′ ، y ′ ، z ′) ، (x ″ ، y ″ ، z ″) ، (x ‴ ، y ‴ ، z ‴) ، والتي لا تنتمي إلى نفس الخط المستقيم. من الضروري كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط الثلاث المحددة. تدعي نظرية الهندسة أن هذا النوع من الطائرات موجود بالفعل ، إلا أنه الوحيد الذي لا يضاهى. نظرًا لأن هذا المستوى يتقاطع مع النقطة (x ′ ، y ′ ، z ′) ، سيكون شكل معادلته على النحو التالي:

هنا تختلف أ ، ب ، ج عن الصفر في نفس الوقت. أيضًا ، المستوى المعطى يتقاطع مع نقطتين أخريين: (x ″ ، y ″ ، z ″) و (x ‴ ، y ‴ ، z ‴). في هذا الصدد ، يجب استيفاء الشروط التالية:

الآن يمكننا تكوين نظام متجانس مع مجاهيل u ، v ، w:

في حالتنا ، x أو y أو z هي نقطة عشوائية تحقق المعادلة (1). مع الأخذ في الاعتبار المعادلة (1) ونظام المعادلتين (2) و (3) ، فإن نظام المعادلات الموضح في الشكل أعلاه يلبي المتجه N (A ، B ، C) ، وهو أمر غير تافه. هذا هو السبب في أن محدد هذا النظام يساوي الصفر.

المعادلة (1) ، التي حصلنا عليها ، هي معادلة المستوى. يمر بالضبط من خلال 3 نقاط ، وهذا من السهل التحقق منه. للقيام بذلك ، علينا فك المحدد على العناصر الموجودة في الصف الأول. يستنتج من الخصائص الحالية للمحدد أن المستوى الخاص بنا يتقاطع في نفس الوقت مع ثلاث نقاط معطاة في البداية (x ′، y، z ′)، (x ″، y ″، z ″)، (x ‴، y ‴، z ‴) . وهذا يعني أننا حللنا المهمة الموضوعة أمامنا.

زاوية ثنائية السطح بين الطائرات

الزاوية ثنائية السطوح هي شكل هندسي مكاني يتكون من نصفين ينبثقان من خط مستقيم واحد. بعبارة أخرى ، هذا هو الجزء من الفضاء الذي تحده هذه الطائرات النصفية.

لنفترض أن لدينا طائرتان بالمعادلات التالية:

نحن نعلم أن المتجهات N = (A ، B ، C) و N¹ = (A¹ ، B¹ ، C¹) متعامدة وفقًا للمستويات المحددة. في هذا الصدد ، فإن الزاوية φ بين المتجهين N و N¹ تساوي الزاوية (ثنائية السطوح) ، الواقعة بين هذين المستويين. المنتج العددي له الشكل:

NN¹ = | N || N¹ | كوس φ ،

على وجه التحديد بسبب

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + BB¹ + CC¹) / ((√ (A² + B² + C²)) * (√ (A¹) ² + (B¹) ² + (C¹) ²)).

يكفي أن تأخذ في الاعتبار أن 0≤φ≤π.

في الواقع ، مستويان يتقاطعان يشكلان زاويتين (ثنائي الوجوه): φ 1 و 2. مجموعهم يساوي π (φ 1 + φ 2 = π). بالنسبة لجيب التمام ، فإن قيمها المطلقة متساوية ، لكنها تختلف في العلامات ، أي cos φ 1 = -cos φ 2. إذا استبدلنا في المعادلة (0) A و B و C بالأرقام -A و -B و -C على التوالي ، فإن المعادلة التي نحصل عليها ستحدد نفس المستوى ، الزاوية الوحيدة φ في المعادلة cos φ = NN 1 / | N || N 1 | سيتم استبداله بـ π-φ.

معادلة المستوى العمودي

تسمى المستويات المتعامدة إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة. باستخدام المادة الموضحة أعلاه ، يمكننا إيجاد معادلة مستوى متعامد على مستوى آخر. لنفترض أن لدينا طائرتان: Ax + By + Cz + D = 0 و A¹x + B¹y + C¹z + D = 0. يمكننا القول إنهما سيكونان عموديين إذا كان cosφ = 0. هذا يعني أن NN¹ = AA¹ + BB¹ + CC¹ = 0.

معادلة المستوى المتوازي

بالتوازي طائرتان لا تحتويان على نقاط مشتركة.

الشرط (معادلاتهم هي نفسها كما في الفقرة السابقة) هو أن المتجهين N و N¹ ، المتعامدين معهما ، متعامدين. وهذا يعني أن شروط التناسب التالية مستوفاة:

A / A¹ = B / B¹ = C / C¹.

إذا تم تمديد شروط التناسب - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹ ،

هذا يدل على أن هذه الطائرات تتزامن. هذا يعني أن المعادلتين Ax + By + Cz + D = 0 و A¹x + B¹y + C¹z + D¹ = 0 تصف مستوى واحدًا.

المسافة إلى الطائرة من النقطة

لنفترض أن لدينا المستوى P ، وهو معطى بالمعادلة (0). من الضروري إيجاد المسافة إليها من النقطة ذات الإحداثيات (xₒ، yₒ، zₒ) = Qₒ. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تحويل معادلة المستوى P إلى الشكل العادي:

(ρ، v) = p (p≥0).

في هذه الحالة ، ρ (x ، y ، z) هو متجه نصف قطر النقطة Q ، الواقعة على P ، p هو طول P العمودي ، والذي تم إطلاقه من نقطة الصفر ، v هو متجه الوحدة ، وهو تقع في الاتجاه.

الفرق ρ-ρº في متجه نصف القطر لنقطة ما Q \ u003d (x ، y ، z) التي تنتمي إلى P ، وكذلك متجه نصف القطر لنقطة معينة Q 0 \ u003d (xₒ ، yₒ ، zₒ) هو مثل متجه ، القيمة المطلقة للإسقاط على v تساوي المسافة d ، والتي يجب إيجادها من Q 0 \ u003d (xₒ، yₒ، zₒ) إلى P:

د = | (ρ-ρ 0 ، ت) | ، لكن

(ρ-ρ 0، v) = (، v) - (ρ 0، v) = р- (0، v).

هكذا اتضح

د = | (ρ 0، v) -p |.

وبالتالي ، سنجد القيمة المطلقة للتعبير الناتج ، أي ، d المطلوب.

باستخدام لغة المعلمات ، نحصل على ما هو واضح:

د = | Axₒ + Vuₒ + Cz | / √ (A² + B² + C²).

إذا كانت النقطة المعطاة Q 0 على الجانب الآخر من المستوى P ، وكذلك الأصل ، إذن بين المتجه ρ-ρ 0 و v يكون:

د = - (ρ-ρ 0، v) = (0، v) -p> 0.

في الحالة التي تكون فيها النقطة Q 0 ، جنبًا إلى جنب مع الأصل ، على نفس الجانب من P ، فإن الزاوية التي تم إنشاؤها تكون حادة ، أي:

د \ u003d (ρ-ρ 0 ، v) \ u003d ص - (ρ 0 ، v)> 0.

نتيجة لذلك ، اتضح أنه في الحالة الأولى (ρ 0 ، v)> р ، في الحالة الثانية (ρ 0 ، v)<р.

مستوى الظل ومعادلته

المستوى المماس للسطح عند نقطة الظل Mº هو المستوى الذي يحتوي على جميع الظلال الممكنة للمنحنيات المرسومة عبر هذه النقطة على السطح.

مع هذا الشكل من معادلة السطح F (x ، y ، z) = 0 ، ستبدو معادلة مستوى الظل عند نقطة الظل Mº (xº ، yº ، zº) كما يلي:

F x (xº، yº، zº) (x- xº) + F x (xº، yº، zº) (y-yº) + F x (xº، yº، zº) (z-zº) = 0.

إذا حددت السطح في شكل صريح z = f (x ، y) ، فسيتم وصف مستوى الظل بالمعادلة:

z-zº = f (xº، yº) (x- xº) + f (xº، yº) (y-yº).

تقاطع طائرتين

في نظام الإحداثيات (المستطيل) يوجد Oxyz ، يتم إعطاء طائرتين П ′ و П ″ ، والتي تتقاطع ولا تتطابق. نظرًا لأن أي مستوى يقع في نظام إحداثيات مستطيل يتم تحديده بواسطة معادلة عامة ، سنفترض أن P ′ و P ″ يتم الحصول عليها من خلال المعادلتين A′x + B′y + C′z + D ′ = 0 و A x + B ″ y + С ″ z + D ″ = 0. في هذه الحالة ، لدينا المستوى الطبيعي n ′ (A ′، B ′، C ′) للمستوى P ′ والطبيعي n ″ (A ″، B ″، C ″) للمستوى P ″. نظرًا لأن طائراتنا ليست متوازية ولا تتطابق ، فإن هذه المتجهات ليست على خط واحد. باستخدام لغة الرياضيات ، يمكننا كتابة هذا الشرط على النحو التالي: n ′ ≠ n ″ ↔ (A ′، B ′، C ′) ≠ (λ * A ″، λ * B ″، λ * C ″)، λϵR. دع الخط الذي يقع عند تقاطع P ′ و P ″ يُرمز إليه بالحرف a ، في هذه الحالة a = P ′ ∩ P ″.

a هو خط مستقيم يتكون من مجموعة من جميع نقاط المستويات (المشتركة) П ′ و П ″. هذا يعني أن إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى الخط a يجب أن تحقق في نفس الوقت المعادلات A′x + B′y + C′z + D ′ = 0 و A ″ x + B y + C ″ z + D ″ = 0. هذا يعني أن إحداثيات النقطة ستكون حلاً خاصًا لنظام المعادلات التالي:

نتيجة لذلك ، اتضح أن الحل (العام) لنظام المعادلات هذا سيحدد إحداثيات كل نقطة من نقاط الخط المستقيم ، والتي ستكون بمثابة نقطة تقاطع П ′ و П ″ ، وتحدد المستقيم خط أ في نظام الإحداثيات Oxyz (مستطيل) في الفضاء.

في هذا الدرس ، سوف ننظر في كيفية استخدام المحدد للتكوين معادلة الطائرة. إذا كنت لا تعرف ما هو المحدد ، فانتقل إلى الجزء الأول من الدرس - "المصفوفات والمحددات". وإلا فإنك تخاطر بعدم فهم أي شيء في مادة اليوم.

معادلة مستوى بثلاث نقاط

لماذا نحتاج إلى معادلة المستوى على الإطلاق؟ الأمر بسيط: بمعرفة ذلك ، يمكننا بسهولة حساب الزوايا والمسافات والأشياء الأخرى في المسألة C2. بشكل عام ، هذه المعادلة لا غنى عنها. لذلك نصوغ المشكلة:

مهمة. هناك ثلاث نقاط في الفراغ لا تقع على نفس الخط المستقيم. إحداثياتهم:

م = (س 1 ، ص 1 ، ض 1) ؛
N \ u003d (× 2 ، ص 2 ، ض 2) ؛
ك = (س 3 ، ص 3 ، ض 3) ؛

مطلوب كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر هذه النقاط الثلاث. ويجب أن تبدو المعادلة كما يلي:

الفأس + By + Cz + D = 0

حيث الأرقام A و B و C و D هي المعاملات التي تريد إيجادها في الواقع.

حسنًا ، كيف نحصل على معادلة المستوى ، إذا كانت إحداثيات النقاط معروفة فقط؟ أسهل طريقة هي استبدال الإحداثيات في المعادلة Ax + By + Cz + D = 0. تحصل على نظام من ثلاث معادلات يمكن حلها بسهولة.

يجد العديد من الطلاب هذا الحل مملاً للغاية وغير موثوق به. أظهر اختبار الرياضيات العام الماضي أن احتمال ارتكاب خطأ حسابي مرتفع حقًا.

لذلك ، بدأ المعلمون الأكثر تقدمًا في البحث عن حلول أبسط وأكثر أناقة. وقد وجدوا ذلك! صحيح ، من المرجح أن تكون التقنية التي تم الحصول عليها مرتبطة بالرياضيات العليا. شخصياً ، كان عليّ البحث في القائمة الفيدرالية الكاملة للكتب المدرسية للتأكد من أن لدينا الحق في استخدام هذه التقنية دون أي مبرر أو دليل.

معادلة المستوى من خلال المحدد

يكفي صراخ ، دعنا نبدأ العمل. بادئ ذي بدء ، نظرية حول كيفية ارتباط محدد المصفوفة ومعادلة المستوى.

نظرية. دع إحداثيات النقاط الثلاث التي يجب رسم المستوى من خلالها: M = (x 1 ، y 1 ، z 1) ؛ N \ u003d (× 2 ، ص 2 ، ض 2) ؛ ك = (س 3 ، ص 3 ، ض 3). ثم يمكن كتابة معادلة هذا المستوى من حيث المحدد:

على سبيل المثال ، دعنا نحاول إيجاد زوج من المستويات يحدث بالفعل في مشاكل C2. ألقِ نظرة على مدى سرعة كل شيء:

أ 1 = (0 ، 0 ، 1) ؛
ب = (1 ، 0 ، 0) ؛
ج 1 = (1 ، 1 ، 1) ؛

نؤلف المحدد ونساويها بالصفر:

فتح المحدد:

أ = 1 1 (ض - 1) + 0 0 س + (−1) 1 ص = ض - 1 - ص ؛
ب = (1) 1 س + 0 1 (ض - 1) + 1 0 ص = −x ؛
د = أ - ب = ض - 1 - ص - (−x) = ض - 1 - ص + س = س - ص + ع - 1 ؛
د = 0 ⇒ س - ص + ض - 1 = 0 ؛

كما ترى ، عند حساب الرقم d ، قمت بتعديل المعادلة قليلاً بحيث تكون المتغيرات x و y و z في التسلسل الصحيح. هذا كل شئ! معادلة الطائرة جاهزة!

مهمة. اكتب معادلة لمستوى يمر بالنقاط:

أ = (0 ، 0 ، 0) ؛
ب 1 = (1 ، 0 ، 1) ؛
د 1 = (0 ، 1 ، 1) ؛

استبدل إحداثيات النقاط في المحدد على الفور:

توسيع المحدد مرة أخرى:

أ = 1 1 ع + 0 1 س + 1 0 ص = ع ؛
ب = 1 1 س + 0 0 ع + 1 1 ص = س + ص ؛
د \ u003d أ - ب \ u003d ض - (س + ص) \ u003d ض - س - ص ؛
د = 0 ⇒ ض - س - ص = 0 س + ص - ع = 0 ؛

لذلك ، يتم الحصول على معادلة المستوى مرة أخرى! مرة أخرى ، في الخطوة الأخيرة ، اضطررت إلى تغيير العلامات الموجودة فيه للحصول على صيغة أكثر "جمالًا". ليس من الضروري القيام بذلك في هذا الحل ، ولكن لا يزال يوصى به - من أجل تبسيط الحل الإضافي للمشكلة.

كما ترى ، أصبح من الأسهل الآن كتابة معادلة المستوى. نعوض بالنقاط في المصفوفة ، ونحسب المحدد - وهذا كل شيء ، المعادلة جاهزة.

قد تكون هذه نهاية الدرس. ومع ذلك ، ينسى العديد من الطلاب باستمرار ما هو داخل المحدد. على سبيل المثال ، أي سطر يحتوي على x 2 أو x 3 وأي سطر يحتوي على x فقط. للتعامل مع هذا أخيرًا ، دعنا نتتبع مصدر كل رقم.

من أين تأتي الصيغة مع المحدد؟

لذا ، دعونا نكتشف من أين تأتي مثل هذه المعادلة القاسية ذات المحددات. سيساعدك هذا على تذكره وتطبيقه بنجاح.

يتم تحديد جميع المستويات التي تحدث في المشكلة C2 بثلاث نقاط. يتم تمييز هذه النقاط دائمًا على الرسم ، أو حتى يشار إليها مباشرةً في نص المشكلة. في أي حال ، لتجميع المعادلة ، نحتاج إلى كتابة إحداثياتها:

م = (س 1 ، ص 1 ، ض 1) ؛
N \ u003d (× 2 ، ص 2 ، ض 2) ؛
ك = (س 3 ، ص 3 ، ض 3).

ضع في اعتبارك نقطة أخرى على طائرتنا ذات إحداثيات عشوائية:

T = (س ، ص ، ض)

نأخذ أي نقطة من الثلاثة الأولى (على سبيل المثال ، النقطة M) ونرسم المتجهات منها إلى كل نقطة من النقاط الثلاث المتبقية. نحصل على ثلاثة نواقل:

MN = (x 2 - x 1، y 2 - y 1، z 2 - z 1) ؛
MK = (x 3 - x 1، y 3 - y 1، z 3 - z 1) ؛
MT = (x - x 1، y - y 1، z - z 1).

لنصنع الآن مصفوفة مربعة من هذين المتجهين ونساوي محددها بصفر. ستصبح إحداثيات المتجهات هي صفوف المصفوفة - وسنحصل على نفس المحدد المشار إليه في النظرية:

تعني هذه الصيغة أن حجم الصندوق المبني على المتجهات MN و MK و MT يساوي صفرًا. لذلك ، جميع المتجهات الثلاثة تقع في نفس المستوى. على وجه الخصوص ، النقطة العشوائية T = (x ، y ، z) هي بالضبط ما كنا نبحث عنه.

استبدال نقاط وصفوف المحدد

المحددات لها بعض الخصائص الرائعة التي تجعلها أكثر سهولة حل المشكلة C2. على سبيل المثال ، لا يهمنا من أي نقطة نرسم المتجهات. لذلك ، تعطي المحددات التالية نفس معادلة المستوى مثل المعادلة أعلاه:

يمكنك أيضًا تبديل خطوط المحدد. ستبقى المعادلة دون تغيير. على سبيل المثال ، يحب العديد من الأشخاص كتابة سطر بإحداثيات النقطة T = (x ؛ y ؛ z) في الأعلى. من فضلك ، إذا كان ذلك مناسبًا لك:

يربك البعض أن أحد الأسطر يحتوي على متغيرات x و y و z ، والتي لا تختفي عند استبدال النقاط. لكن لا ينبغي أن يختفوا! من خلال استبدال الأرقام في المحدد ، يجب أن تحصل على البنية التالية:

ثم يتم توسيع المحدد وفقًا للمخطط المعطى في بداية الدرس ، ويتم الحصول على المعادلة القياسية للمستوى:

الفأس + By + Cz + D = 0

الق نظرة على مثال. هو الأخير في درس اليوم. سوف أقوم بتبديل الأسطر عن عمد للتأكد من أن الإجابة ستكون نفس معادلة المستوى.

مهمة. اكتب معادلة لمستوى يمر بالنقاط:

ب 1 = (1 ، 0 ، 1) ؛
ج = (1 ، 1 ، 0) ؛
D1 = (0 ، 1 ، 1).

لذلك ، فإننا نعتبر 4 نقاط:

ب 1 = (1 ، 0 ، 1) ؛
ج = (1 ، 1 ، 0) ؛
د 1 = (0 ، 1 ، 1) ؛
T = (س ، ص ، ض).

أولاً ، لنضع محددًا قياسيًا ونساويها بالصفر:

فتح المحدد:

أ = 0 1 (ض - 1) + 1 0 (س - 1) + (1) (−1) ص = 0 + 0 + ص ؛
ب = (1) 1 (س - 1) + 1 (−1) (ض - 1) + 0 0 ص = 1 - س + 1 - ع = 2 - س - ض ؛
د \ u003d أ - ب \ u003d ص - (2 - س - ض) \ u003d ص - 2 + س + ض \ u003d س + ص + ض - 2 ؛
د = 0 ⇒ س + ص + ض - 2 = 0 ؛

هذا كل شيء ، لقد حصلنا على الإجابة: x + y + z - 2 = 0.

لنقم الآن بإعادة ترتيب سطرين في المحدد ونرى ما سيحدث. على سبيل المثال ، لنكتب سطرًا يحتوي على المتغيرات x و y و z ليس في الأسفل بل في الأعلى:

دعنا نوسع المحدد الناتج مرة أخرى:

أ = (س - 1) 1 (−1) + (ض - 1) (−1) 1 + ص 0 0 = 1 - س + 1 - ع = 2 - س - ض ؛
ب = (ض - 1) 1 0 + ص (−1) (−1) + (س - 1) 1 0 = ص ؛
د = أ - ب = 2 - س - ض - ص ؛
د = 0 ⇒ 2 - س - ص - ع = 0 س + ص + ع - 2 = 0 ؛

لقد حصلنا بالضبط على نفس معادلة المستوى: x + y + z - 2 = 0. لذا ، فهي لا تعتمد حقًا على ترتيب الصفوف. يبقى لكتابة الجواب.

لذلك ، رأينا أن معادلة المستوى لا تعتمد على تسلسل الخطوط. يمكننا إجراء حسابات مماثلة وإثبات أن معادلة المستوى لا تعتمد على النقطة التي نطرح إحداثياتها من النقاط الأخرى.

في المشكلة المذكورة أعلاه ، استخدمنا النقطة B 1 = (1 ، 0 ، 1) ، لكن كان من الممكن تمامًا أخذ C = (1 ، 1 ، 0) أو D 1 = (0 ، 1 ، 1). بشكل عام ، أي نقطة ذات إحداثيات معروفة ملقاة على المستوى المطلوب.