مشتق مع المعلمة على الانترنت. مشتق من وظيفة محددة حدوديا

ضع في اعتبارك تحديد خط على المستوى الذي تكون فيه المتغيرات x وy دوال لمتغير ثالث t (يسمى المعلمة):

لكل قيمة رمن فترة معينة تتوافق بعض القيم سو ذ، أوبالتالي نقطة معينة M (x، y) من المستوى. متى ريمر عبر جميع القيم من فترة زمنية معينة، ثم النقطة م (س، ص) يصف بعض الخط ل. تسمى المعادلات (2.2) بمعادلات الخطوط البارامترية ل.

إذا كانت الدالة x = φ(t) لها معكوس t = Ф(x)، فعند استبدال هذا التعبير في المعادلة y = g(t)، نحصل على y = g(Ф(x))، والتي تحدد ذك وضيفة من س. في هذه الحالة نقول إن المعادلات (2.2) تحدد الدالة ذحدوديا.

مثال 1.يترك م (س، ص)- نقطة تعسفية على دائرة نصف قطرها روتمركزت في الأصل. يترك ر- الزاوية بين المحور ثورونصف القطر أوم(انظر الشكل 2.3). ثم س، صيتم التعبير عنها من خلال ر:

المعادلات (2.3) هي معادلات حدودية للدائرة. دعونا نستبعد المعلمة t من المعادلات (2.3). للقيام بذلك، نقوم بتربيع كل معادلة ونضيفها، نحصل على: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) أو x 2 + y 2 = R 2 - معادلة الدائرة في الدالة الديكارتية نظام الإحداثيات. ويحدد دالتين: كل واحدة من هذه الدوال تعطى بمعادلات بارامترية (2.3)، ولكن بالنسبة للدالة الأولى، وللثانية.

مثال 2. المعادلات البارامترية

تحديد القطع الناقص مع أنصاف المحاور أ، ب(الشكل 2.4). استبعاد المعلمة من المعادلات ر، نحصل على المعادلة القانونية للقطع الناقص:

مثال 3. الدائري هو خط موصوف بنقطة تقع على دائرة إذا كانت هذه الدائرة تدور دون انزلاق في خط مستقيم (الشكل 2.5). دعونا نقدم المعادلات البارامترية للدويري. دع نصف قطر الدائرة المتداول يكون أنقطة م، واصفًا الدائري، في بداية الحركة تزامن مع أصل الإحداثيات.

دعونا نحدد الإحداثيات س، نقاط ص مبعد أن تدور الدائرة بزاوية ر
(الشكل 2.5)، ر = ÐMCB. طول القوس م.ب.يساوي طول القطعة أو.ب.لأن الدائرة تدور دون أن تنزلق

OB = at، AB = MD = asint، CD = acost، x = OB – AB = at – asint = a(t – sint)،

y = AM = CB – CD = a – التكلفة = a(1 – التكلفة).

وبذلك يتم الحصول على المعادلات البارامترية للدويري:

عند تغيير المعلمة رمن 0 إلى 2πالدائرة تدور ثورة واحدة، والنقطة ميصف قوسًا واحدًا من الشكل الدائري. المعادلات (2.5) تعطي ذك وضيفة من س. على الرغم من أن الوظيفة س = أ(ر – خطيئة)لها دالة عكسية، ولكن لا يتم التعبير عنها بدلالة الدوال الأولية، لذا فإن الدالة ص = و(س)لا يتم التعبير عنها من خلال الوظائف الأولية.

دعونا نفكر في التمايز بين دالة محددة حدوديًا بواسطة المعادلات (2.2). الدالة x = φ(t) في فترة زمنية معينة من التغيير t لها دالة عكسية ر = Ф(س)، ثم ص = ز(Ф(خ)). يترك س = φ(ر), ص = ز(ر)لها مشتقات، و س "ر ≠0. وفقا لقاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة ص"x=y"t×t"x.واستنادا إلى قاعدة اشتقاق الدالة العكسية، فإن:

تسمح الصيغة الناتجة (2.6) بالعثور على مشتق لدالة محددة حدوديًا.

مثال 4. دع الوظيفة ذ، اعتمادا علي س، محدد بارامتريًا:

حل. .
مثال 5.أوجد المنحدر كمماس للدائري عند النقطة M 0 المقابلة لقيمة المعلمة.
حل.من المعادلات الدائرية: y" t = asint، x" t = a(1 - التكلفة)،لهذا

منحدر المماس عند نقطة ما م0يساوي القيمة في ر 0 = ط/4:

وظيفة تفاضلية

دع الوظيفة عند هذه النقطة × 0لديه مشتق. أ-بريوري:
وبالتالي، وفقا لخصائص الحد (القسم 1.8)، حيث أ- متناهية الصغر في Δس → 0. من هنا

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

مثل Δx → 0، الحد الثاني في المساواة (2.7) هو متناهية الصغر من رتبة أعلى، مقارنة ب وبالتالي فإن Δy وf " (x 0)×Δx متكافئان، متناهيان في الصغر (بالنسبة إلى f "(x 0) ≠ 0).

وبالتالي، فإن زيادة الدالة Δy تتكون من حدين، الأول منهما f "(x 0)×Δx هو الجزء الرئيسي زيادة Δy، خطية بالنسبة إلى Δx (لـ f "(x 0)≠ 0).

التفاضليتسمى الدالة f(x) عند النقطة x 0 الجزء الرئيسي من زيادة الدالة ويشار إليها: ديأو مدافع (x0). لذلك،

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

مثال 1.أوجد تفاضل دالة ديوزيادة الدالة Δy للدالة y = x 2 عند:
1) تعسفي سو Δ س; 2) × 0 = 20، Δx = 0.1.

حل

1) Δy = (x + Δx) 2 - x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 = 2xΔx + (Δx) 2، dy = 2xΔx.

2) إذا كانت x 0 = 20، Δx = 0.1، فإن Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01؛ دي = 40×0.1= 4.

دعونا نكتب المساواة (2.7) في النموذج:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

الزيادة Δy تختلف عن التفاضلية ديإلى قيمة متناهية الصغر من الترتيب الأعلى، مقارنة بـ Δx، لذلك، في الحسابات التقريبية، يتم استخدام المساواة التقريبية Δy ≈ dy إذا كانت Δx صغيرة بدرجة كافية.

بالنظر إلى أن Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0)، نحصل على صيغة تقريبية:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

مثال 2. حساب تقريبا.

حل.يعتبر:

وباستخدام الصيغة (2.10) نحصل على:

إذن، ≈ 2.025.

دعونا نفكر في المعنى الهندسي للتفاضل مدافع (× 0)(الشكل 2.6).

لنرسم مماسًا للرسم البياني للدالة y = f(x) عند النقطة M 0 (x0, f(x 0)))، ولتكن φ هي الزاوية بين المماس KM0 ومحور الثور، ثم f"( x 0) = tanφ.من ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). لكن PN هي زيادة إحداثي الظل مع تغير x من x 0 إلى x 0 + Δx.

وبالتالي، فإن تفاضل الدالة f(x) عند النقطة x 0 يساوي زيادة إحداثيات المماس.

دعونا نجد التفاضلية للوظيفة
ص = س. بما أن (x)" = 1، إذن dx = 1×Δx = Δx. سنفترض أن تفاضل المتغير المستقل x يساوي زيادته، أي dx = Δx.

إذا كان x رقمًا عشوائيًا، فمن المساواة (2.8) نحصل على df(x) = f "(x)dx، ومن هنا .
وبالتالي، فإن مشتق الدالة y = f(x) يساوي نسبة تفاضلها إلى تفاضل الوسيطة.

دعونا ننظر في خصائص التفاضلية للدالة.

إذا كانت u(x) وv(x) دوال قابلة للتفاضل، فإن الصيغ التالية صالحة:

لإثبات هذه الصيغ، يتم استخدام الصيغ المشتقة لمجموع ومنتج وحاصل الدالة. ولنثبت مثلا الصيغة (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

دعونا نفكر في تفاضل دالة معقدة: y = f(x)، x = φ(t)، أي. ص = و(φ(ر)).

ثم dy = y" t dt، لكن y" t = y" x ×x" t، لذا dy = y" x x" t dt. مع مراعاة،

أن x" t = dx، نحصل على dy = y" x dx =f "(x)dx.

وبالتالي، فإن تفاضل دالة معقدة y = f(x)، حيث x =φ(t)، له الشكل dy = f "(x)dx، كما هو الحال عندما يكون x متغيرًا مستقلاً. هذه الخاصية يسمى ثبات شكل التفاضل أ.

دعونا لا نؤكد أن كل شيء في هذه الفقرة بسيط جدًا أيضًا. يمكنك كتابة الصيغة العامة لوظيفة محددة حدوديا، ولكن لتوضيح الأمر، سأكتب على الفور مثالا محددا. في الصورة البارامترية، يتم إعطاء الدالة بواسطة معادلتين: . في كثير من الأحيان لا تتم كتابة المعادلات تحت أقواس متعرجة، ولكن بالتسلسل: ، .

يسمى المتغير معلمة ويمكن أن يأخذ القيم من "ناقص اللانهاية" إلى "زائد اللانهاية". خذ على سبيل المثال القيمة واستبدلها في المعادلتين: . أو بالمصطلح البشري: "إذا كانت x تساوي أربعة، فإن y تساوي واحدًا". يمكنك وضع علامة على نقطة على المستوى الإحداثي، وهذه النقطة سوف تتوافق مع قيمة المعلمة. وبالمثل، يمكنك العثور على نقطة لأي قيمة للمعلمة "te". أما بالنسبة للدالة "العادية"، فبالنسبة للهنود الأمريكيين الذين لديهم وظيفة محددة حدوديًا، يتم احترام جميع الحقوق أيضًا: يمكنك إنشاء رسم بياني، والعثور على المشتقات، وما إلى ذلك. بالمناسبة، إذا كنت بحاجة إلى رسم رسم بياني لدالة محددة حدوديًا، فقم بتنزيل برنامجي الهندسي على الصفحة الصيغ والجداول الرياضية.

في أبسط الحالات، من الممكن تمثيل الدالة بشكل صريح. دعونا نعبر عن المعلمة من المعادلة الأولى: – ونعوض بها في المعادلة الثانية : . والنتيجة هي دالة مكعبة عادية.

في الحالات الأكثر "شدة"، لا تعمل هذه الخدعة. لكن هذا لا يهم، لأن هناك صيغة لإيجاد مشتقة دالة بارامترية:

نجد مشتقة "اللعبة بالنسبة للمتغير te":

جميع قواعد التفاضل وجدول المشتقات صالحة بطبيعة الحال للحرف، وبالتالي، لا يوجد حداثة في عملية إيجاد المشتقات. ما عليك سوى استبدال جميع علامات "X" الموجودة في الجدول عقليًا بالحرف "Te".

نجد مشتقة "x بالنسبة للمتغير te":

الآن كل ما تبقى هو استبدال المشتقات الموجودة في صيغتنا:

مستعد. المشتق، مثل الدالة نفسها، يعتمد أيضًا على المعلمة.

أما بالنسبة للتدوين، فبدلاً من كتابته في الصيغة، يمكن للمرء ببساطة كتابته بدون حرف منخفض، لأن هذا مشتق "منتظم" "فيما يتعلق بـ X". ولكن في الأدب هناك دائما خيار، لذلك لن أخرج عن المعيار.

مثال 6

نحن نستخدم الصيغة

في هذه الحالة:

هكذا:

السمة الخاصة لإيجاد مشتق الدالة البارامترية هي حقيقة ذلك ومن المفيد في كل خطوة تبسيط النتيجة قدر الإمكان. لذلك، في المثال قيد النظر، عندما وجدته، قمت بفتح الأقواس تحت الجذر (على الرغم من أنني ربما لم أفعل ذلك). هناك فرصة جيدة أنه عند الاستبدال في الصيغة، سيتم تقليل العديد من الأشياء بشكل جيد. على الرغم من وجود أمثلة بإجابات خرقاء بالطبع.

مثال 7

أوجد مشتقة دالة محددة بارامتريًا

هذا مثال لك لحله بنفسك.

في المقالة أبسط المشاكل النموذجية مع المشتقات لقد نظرنا إلى الأمثلة التي أردنا فيها إيجاد المشتقة الثانية للدالة. بالنسبة لدالة محددة حدوديًا، يمكنك أيضًا العثور على المشتق الثاني، ويتم العثور عليه باستخدام الصيغة التالية: . من الواضح تمامًا أنه لكي تتمكن من العثور على المشتقة الثانية، عليك أولًا العثور على المشتقة الأولى.

مثال 8

أوجد المشتقتين الأولى والثانية لدالة معطاة بارامتريًا

أولًا، دعونا نوجد المشتقة الأولى.
نحن نستخدم الصيغة

في هذه الحالة:

يستبدل المشتقات الموجودة في الصيغة. ولأغراض التبسيط، نستخدم الصيغة المثلثية:

لقد لاحظت أنه في مشكلة العثور على مشتق دالة بارامترية، غالبًا ما يكون من الضروري استخدامها بغرض التبسيط الصيغ المثلثية . تذكرها أو احتفظ بها في متناول يدك، ولا تفوت فرصة تبسيط كل نتيجة وإجابات وسيطة. لماذا؟ الآن علينا أن نأخذ مشتقة , ومن الواضح أن هذا أفضل من إيجاد مشتقة .

دعونا نجد المشتق الثاني.
نستخدم الصيغة: .

دعونا ننظر إلى الصيغة لدينا. تم العثور على المقام بالفعل في الخطوة السابقة. يبقى العثور على البسط - مشتق المشتق الأول بالنسبة للمتغير "te":

يبقى استخدام الصيغة:

لتعزيز المادة، أقدم لك بضعة أمثلة أخرى لتتمكن من حلها بنفسك.

مثال 9

مثال 10

ابحث عن وظيفة محددة حدوديًا

أتمنى لك النجاح!

أتمنى أن يكون هذا الدرس مفيدًا، ويمكنك الآن بسهولة العثور على مشتقات الدوال المحددة ضمنيًا ومن الدوال البارامترية

الحلول والأجوبة:

مثال 3: الحل:






هكذا:

لقد تناولنا حتى الآن معادلات الخطوط الموجودة على المستوى الذي يربط بشكل مباشر الإحداثيات الحالية لنقاط هذه الخطوط. ومع ذلك، غالبًا ما يتم استخدام طريقة أخرى لتعريف الخط، حيث تعتبر الإحداثيات الحالية بمثابة دوال لمتغير ثالث.

دعونا نعطي وظيفتين للمتغير

تعتبر لنفس قيم t. ثم أي من قيم t هذه تتوافق مع قيمة معينة وقيمة معينة من y، وبالتالي إلى نقطة معينة. عندما يمر المتغير t عبر جميع القيم من مجال تعريف الدوال (73)، فإن النقطة تصف خطًا معينًا C في المستوى، وتسمى المعادلات (73) بالمعادلات البارامترية لهذا الخط، ويسمى المتغير معلمة.

لنفترض أن الدالة لها دالة عكسية، وبالتعويض بهذه الدالة في الثانية من المعادلات (73) نحصل على المعادلة

التعبير عن y كدالة

دعونا نتفق على القول بأن هذه الوظيفة تُعطى بارامتريًا بواسطة المعادلات (73). ويسمى الانتقال من هذه المعادلات إلى المعادلة (74) بحذف المعلمة. عند النظر في الوظائف المحددة بشكل حدودي، فإن استبعاد المعلمة ليس فقط غير ضروري، ولكنه أيضًا ليس ممكنًا من الناحية العملية دائمًا.

في كثير من الحالات، يكون الأمر أكثر ملاءمة، بالنظر إلى قيم مختلفة للمعلمة، ثم حساب القيم المقابلة للوسيطة والوظيفة y باستخدام الصيغ (73).

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1. دع نقطة اعتباطية على دائرة مركزها عند الأصل ونصف قطرها R. يتم التعبير عن الإحداثيات الديكارتية x و y لهذه النقطة من خلال نصف القطر القطبي والزاوية القطبية، والتي نشير إليها هنا بـ t، على النحو التالي ( انظر الفصل الأول، § 3، الفقرة 3):

تسمى المعادلات (75) بالمعادلات البارامترية للدائرة. المعلمة فيها هي الزاوية القطبية، والتي تتراوح من 0 إلى .

إذا تم تربيع المعادلات (75) حداً حداً وأضيفت، فإنه بحكم الهوية يتم حذف المعلمة ويتم الحصول على معادلة الدائرة في نظام الإحداثيات الديكارتية، والتي تحدد دالتين أوليتين:

يتم تحديد كل من هذه الوظائف بشكل بارامتري بواسطة المعادلات (75)، ولكن نطاقات المعلمات لهذه الوظائف مختلفة. لأولهم؛ الرسم البياني لهذه الوظيفة هو نصف الدائرة العلوي. بالنسبة للدالة الثانية، الرسم البياني لها هو نصف الدائرة السفلية.

مثال 2. فكر في شكل بيضاوي في نفس الوقت

ودائرة مركزها عند الأصل ونصف قطرها أ (الشكل 138).

نربط بكل نقطة M من القطع الناقص نقطة N من الدائرة، والتي لها نفس الإحداثي المحوري مثل النقطة M وتقع معها على نفس الجانب من محور الثور. يتم تحديد موضع النقطة N، وبالتالي النقطة M، بالكامل من خلال الزاوية القطبية t للنقطة، وفي هذه الحالة، للحصول على الإحداثي المحوري المشترك نحصل على التعبير التالي: x = a. نجد الإحداثي عند النقطة M من معادلة القطع الناقص:

تم اختيار العلامة لأن إحداثي النقطة M وإحداثي النقطة N يجب أن يكون لهما نفس الإشارات.

وبالتالي، يتم الحصول على المعادلات البارامترية التالية للقطع الناقص:

هنا تختلف المعلمة t من 0 إلى .

مثال 3. خذ بعين الاعتبار دائرة مركزها النقطة أ) ونصف قطرها أ، والذي يلامس بوضوح المحور السيني عند نقطة الأصل (الشكل 139). لنفترض أن هذه الدائرة تدور دون الانزلاق على طول المحور السيني. ثم النقطة M من الدائرة، والتي تزامنت في اللحظة الأولى مع أصل الإحداثيات، تصف خطًا يسمى الدائري.

دعونا نشتق المعادلات البارامترية للدويري، مع أخذ المعلمة t زاوية MSV لدوران الدائرة عند تحريك نقطتها الثابتة من الموضع O إلى الموضع M. ثم بالنسبة للإحداثيات وy للنقطة M نحصل على التعبيرات التالية:

نظرًا لحقيقة أن الدائرة تتدحرج على طول المحور دون الانزلاق، فإن طول القطعة OB يساوي طول القوس BM. بما أن طول القوس BM يساوي حاصل ضرب نصف القطر a والزاوية المركزية t، إذن. لهذا . ولكن لذلك،

هذه المعادلات هي المعادلات البارامترية للدويري. عندما تتغير المعلمة t من 0 إلى الدائرة ستحدث ثورة كاملة. سوف تصف النقطة M قوسًا واحدًا من الشكل الدائري.

يؤدي استبعاد المعلمة t هنا إلى تعبيرات مرهقة وغير عملي عمليًا.

غالبًا ما يستخدم التعريف البارامترى للخطوط في الميكانيكا، ويتم لعب دور المعلمة حسب الوقت.

مثال 4. دعونا نحدد مسار مقذوف تم إطلاقه من مسدس بسرعة ابتدائية بزاوية أ مع الأفقي. ونهمل مقاومة الهواء وأبعاد المقذوف معتبرين إياها نقطة مادية.

دعونا نختار نظام الإحداثيات. لنأخذ نقطة انطلاق المقذوف من الكمامة كنقطة أصل للإحداثيات. دعونا نوجه محور الثور أفقيًا، ومحور أوي عموديًا، ونضعهما في نفس المستوى مع كمامة البندقية. إذا لم تكن هناك قوة جاذبية، فإن المقذوف سيتحرك في خط مستقيم، مكونًا زاوية a مع محور الثور، وبمرور الوقت t سيكون قد قطع المسافة. وستكون إحداثيات المقذوف عند الزمن t متساوية على التوالي ل: . بسبب الجاذبية، يجب أن ينحدر المقذوف في هذه اللحظة رأسيًا بمقدار معين، لذلك، في الواقع، في الوقت t، يتم تحديد إحداثيات المقذوف بواسطة الصيغ:

تحتوي هذه المعادلات على كميات ثابتة. عندما يتغير t، ستتغير أيضًا الإحداثيات عند نقطة مسار القذيفة. المعادلات هي معادلات بارامترية لمسار المقذوف، حيث يكون المعامل هو الزمن

التعبير عن المعادلة الأولى وتعويضها في

أما المعادلة الثانية فنحصل على معادلة مسار المقذوف على الصورة وهي معادلة القطع المكافئ.

مشتق من وظيفة محددة ضمنيا.
مشتق من وظيفة محددة حدوديا

في هذه المقالة، سنلقي نظرة على مهمتين نموذجيتين أخريين غالبًا ما توجدان في اختبارات الرياضيات العليا. من أجل إتقان المادة بنجاح، يجب أن تكون قادرًا على العثور على المشتقات على الأقل في المستوى المتوسط. يمكنك تعلم كيفية العثور على المشتقات عمليا من الصفر في درسين أساسيين و مشتق من وظيفة معقدة. إذا كانت مهاراتك في التمايز على ما يرام، فلنذهب.

مشتق من وظيفة محددة ضمنيا

أو باختصار مشتقة دالة ضمنية. ما هي الوظيفة الضمنية؟ دعونا نتذكر أولاً تعريف دالة متغير واحد:

دالة متغيرة واحدةهي القاعدة التي بموجبها تتوافق كل قيمة من المتغير المستقل مع قيمة واحدة فقط من الدالة.

يسمى المتغير متغير مستقلأو دعوى.
يسمى المتغير المتغير التابعأو وظيفة .

لقد نظرنا حتى الآن في الوظائف المحددة في صريحةاستمارة. ماذا يعني ذلك؟ دعونا نجري استخلاص المعلومات باستخدام أمثلة محددة.

النظر في الوظيفة

نرى أنه على اليسار لدينا "لاعب" وحيد، وعلى اليمين - فقط "X". وهذا هو، الوظيفة صراحةويعبر عنها من خلال المتغير المستقل.

دعونا نلقي نظرة على وظيفة أخرى:

هذا هو المكان الذي تختلط فيه المتغيرات. علاوة على ذلك مستحيل بأي حال من الأحوالالتعبير عن "Y" فقط من خلال "X". ما هي هذه الأساليب؟ نقل الحدود من جزء إلى جزء مع تغيير الإشارة، وإخراجها من الأقواس، ورمي العوامل وفقا لقاعدة التناسب، وما إلى ذلك. أعد كتابة المساواة وحاول التعبير عن "y" صراحة: . يمكنك تحريف المعادلة وقلبها لساعات، لكنك لن تنجح.

اسمحوا لي أن أقدم لكم: – مثال وظيفة ضمنية.

في سياق التحليل الرياضي ثبت أن الوظيفة الضمنية موجود(ومع ذلك، ليس دائمًا)، فهي تحتوي على رسم بياني (تمامًا مثل الدالة "العادية"). الوظيفة الضمنية هي نفسها تمامًا موجودالمشتقة الأولى، المشتقة الثانية، الخ. وكما يقولون، يتم احترام جميع حقوق الأقليات الجنسية.

وفي هذا الدرس سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتقة دالة محددة ضمنيًا. الأمر ليس بهذه الصعوبة! تظل جميع قواعد التمايز وجدول مشتقات الوظائف الأولية سارية. الفرق يكمن في لحظة واحدة فريدة سننظر إليها الآن.

نعم، وسأخبرك بالأخبار السارة - يتم تنفيذ المهام الموضحة أدناه وفقًا لخوارزمية صارمة وواضحة إلى حد ما دون حجر أمام ثلاثة مسارات.

مثال 1

1) في المرحلة الأولى، نعلق ضربات على كلا الجزأين:

2) نستخدم قواعد خطية المشتقة (أول قاعدتين من الدرس كيفية العثور على المشتق؟ أمثلة على الحلول):

3) التمايز المباشر.
كيفية التمييز واضحة تماما. ماذا تفعل حيث توجد "ألعاب" تحت السكتات الدماغية؟

- فقط إلى حد العار، مشتقة الدالة تساوي مشتقتها: .

كيفية التفريق
لدينا هنا وظيفة معقدة. لماذا؟ يبدو أنه يوجد تحت الجيب حرف واحد فقط "Y". ولكن الحقيقة هي أنه لا يوجد سوى حرف واحد "y" - هي في حد ذاتها وظيفة(انظر التعريف في بداية الدرس). وبالتالي فإن الجيب هو وظيفة خارجية وهي وظيفة داخلية. نستخدم القاعدة للتمييز بين دالة معقدة :

نحن نفرق المنتج وفقًا للقاعدة المعتادة :

يرجى ملاحظة أن – هي أيضًا وظيفة معقدة، أي "لعبة بالأجراس والصفارات" هي وظيفة معقدة:

يجب أن يبدو الحل نفسه كما يلي:


إذا كانت هناك أقواس، قم بتوسيعها:

4) على الجانب الأيسر نقوم بجمع المصطلحات التي تحتوي على حرف "Y" برقم أولي. انقل كل شيء آخر إلى الجانب الأيمن:

5) على الجانب الأيسر نخرج المشتقة من القوسين:

6) ووفقاً لقاعدة التناسب، نسقط هذه الأقواس في مقام الطرف الأيمن:

تم العثور على المشتق. مستعد.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه يمكن إعادة كتابة أي وظيفة ضمنيًا. على سبيل المثال، الدالة يمكن إعادة كتابتها مثل هذا: . وتمييزها باستخدام الخوارزمية التي تمت مناقشتها للتو. في الواقع، تختلف عبارتا "الوظيفة الضمنية" و"الوظيفة الضمنية" في فارق بسيط من حيث الدلالة. أما عبارة "وظيفة محددة ضمنيا" فهي أعم وأصح، - تم تحديد هذه الوظيفة ضمنيًا، لكن هنا يمكنك التعبير عن "اللعبة" وتقديم الوظيفة بشكل صريح. تشير عبارة "الوظيفة الضمنية" إلى الوظيفة الضمنية "الكلاسيكية" عندما لا يمكن التعبير عن "y".

الحل الثاني

انتباه!لا يمكنك التعرف على الطريقة الثانية إلا إذا كنت تعرف كيفية العثور عليها بثقة المشتقات الجزئية. مبتدئين حساب التفاضل والتكامل والدمى، من فضلك لا تقرأ وتخطي هذه النقطةوإلا سيكون رأسك في حالة من الفوضى الكاملة.

لنجد مشتقة الدالة الضمنية باستخدام الطريقة الثانية.

ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

والنظر في وظيفة من متغيرين:

ومن ثم يمكن إيجاد المشتقة باستخدام الصيغة
لنجد المشتقات الجزئية:

هكذا:

الحل الثاني يسمح لك بإجراء فحص. لكن لا يُنصح بكتابة النسخة النهائية من المهمة، حيث يتم إتقان المشتقات الجزئية لاحقًا، ولا ينبغي للطالب الذي يدرس موضوع "مشتق دالة لمتغير واحد" أن يعرف المشتقات الجزئية بعد.

دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا

أضف حدودًا إلى كلا الجزأين:

نحن نستخدم القواعد الخطية:

إيجاد المشتقات:

فتح جميع الأقواس:

ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر، والباقي إلى الجانب الأيمن:

الجواب النهائي:

مثال 3

أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا

الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية الدرس.

ليس من غير المألوف أن تنشأ الكسور بعد التمايز. في مثل هذه الحالات، تحتاج إلى التخلص من الكسور. دعونا نلقي نظرة على مثالين آخرين.

مثال 4

أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا

نحيط كلا الجزأين بالحدود ونستخدم قاعدة الخطية:

التفريق باستخدام قاعدة التفريق بين دالة معقدة وقاعدة التمايز بين الحاصلات :

توسيع الأقواس:

الآن نحن بحاجة للتخلص من الكسر. يمكن القيام بذلك لاحقًا، ولكن من الأكثر عقلانية القيام بذلك على الفور. مقام الكسر يحتوي على . تتضاعف على . وبالتفصيل سيكون بالشكل التالي:

في بعض الأحيان بعد التمايز تظهر 2-3 كسور. إذا كان لدينا كسر آخر، على سبيل المثال، فسيلزم تكرار العملية - الضرب كل مصطلح من كل جزءعلى

على الجانب الأيسر قمنا بإخراجها من الأقواس:

الجواب النهائي:

مثال 5

أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا

هذا مثال لك لحله بنفسك. الشيء الوحيد هو أنه قبل التخلص من الكسر، ستحتاج أولا إلى التخلص من هيكل الكسر نفسه المكون من ثلاثة طوابق. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

مشتق من وظيفة محددة حدوديا

دعونا لا نؤكد أن كل شيء في هذه الفقرة بسيط جدًا أيضًا. يمكنك كتابة الصيغة العامة لوظيفة محددة حدوديا، ولكن لتوضيح الأمر، سأكتب على الفور مثالا محددا. في الصورة البارامترية، يتم إعطاء الدالة بواسطة معادلتين: . في كثير من الأحيان لا تتم كتابة المعادلات تحت أقواس متعرجة، ولكن بالتسلسل: ، .

يسمى المتغير معلمةويمكن أن تأخذ القيم من "ناقص اللانهاية" إلى "زائد اللانهاية". خذ على سبيل المثال القيمة واستبدلها في المعادلتين: . أو بالمصطلح البشري: "إذا كانت x تساوي أربعة، فإن y تساوي واحدًا". يمكنك وضع علامة على نقطة على المستوى الإحداثي، وهذه النقطة سوف تتوافق مع قيمة المعلمة. وبالمثل، يمكنك العثور على نقطة لأي قيمة للمعلمة "te". أما بالنسبة للدالة "العادية"، فبالنسبة للهنود الأمريكيين الذين لديهم وظيفة محددة حدوديًا، يتم احترام جميع الحقوق أيضًا: يمكنك إنشاء رسم بياني، والعثور على المشتقات، وما إلى ذلك. بالمناسبة، إذا كنت بحاجة إلى رسم رسم بياني لدالة محددة حدوديًا، فيمكنك استخدام برنامجي.

في أبسط الحالات، من الممكن تمثيل الدالة بشكل صريح. دعونا نعبر عن المعلمة من المعادلة الأولى: – ونعوض بها في المعادلة الثانية : . والنتيجة هي دالة مكعبة عادية.

في الحالات الأكثر "شدة"، لا تعمل هذه الخدعة. لكن هذا لا يهم، لأن هناك صيغة لإيجاد مشتقة دالة بارامترية:

نجد مشتقة "اللعبة بالنسبة للمتغير te":

جميع قواعد التفاضل وجدول المشتقات صالحة بطبيعة الحال للحرف، وبالتالي، لا يوجد حداثة في عملية إيجاد المشتقات. ما عليك سوى استبدال جميع علامات "X" الموجودة في الجدول عقليًا بالحرف "Te".

نجد مشتقة "x بالنسبة للمتغير te":

الآن كل ما تبقى هو استبدال المشتقات الموجودة في صيغتنا:

مستعد. المشتق، مثل الدالة نفسها، يعتمد أيضًا على المعلمة.

أما بالنسبة للتدوين، فبدلاً من كتابته في الصيغة، يمكن للمرء ببساطة كتابته بدون حرف منخفض، لأن هذا مشتق "منتظم" "فيما يتعلق بـ X". ولكن في الأدب هناك دائما خيار، لذلك لن أخرج عن المعيار.

مثال 6

نحن نستخدم الصيغة

في هذه الحالة:

هكذا:

السمة الخاصة لإيجاد مشتق الدالة البارامترية هي حقيقة ذلك ومن المفيد في كل خطوة تبسيط النتيجة قدر الإمكان. لذلك، في المثال قيد النظر، عندما وجدته، قمت بفتح الأقواس تحت الجذر (على الرغم من أنني ربما لم أفعل ذلك). هناك فرصة جيدة أنه عند الاستبدال في الصيغة، سيتم تقليل العديد من الأشياء بشكل جيد. على الرغم من وجود أمثلة بإجابات خرقاء بالطبع.

مثال 7

أوجد مشتقة دالة محددة بارامتريًا

هذا مثال لك لحله بنفسك.

في المقالة أبسط المشاكل النموذجية مع المشتقاتلقد نظرنا إلى الأمثلة التي أردنا فيها إيجاد المشتقة الثانية للدالة. بالنسبة لدالة محددة حدوديًا، يمكنك أيضًا العثور على المشتق الثاني، ويتم العثور عليه باستخدام الصيغة التالية: . من الواضح تمامًا أنه لكي تتمكن من العثور على المشتقة الثانية، عليك أولًا العثور على المشتقة الأولى.

مثال 8

أوجد المشتقتين الأولى والثانية لدالة معطاة بارامتريًا

أولًا، دعونا نوجد المشتقة الأولى.
نحن نستخدم الصيغة

في هذه الحالة:

نعوض بالمشتقات الموجودة في الصيغة. ولأغراض التبسيط، نستخدم الصيغة المثلثية: