الملخص: المعادلات التربيعية والمعادلات ذات الرتبة الأعلى. من تاريخ المعادلات التربيعية والمعادلات التربيعية في بابل القديمة

مدرسة كوبيفسكايا الريفية الثانوية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرئيس: باتريكيفا جالينا أناتوليفنا،

مدرس رياضيات

قرية كوبيفو، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية للخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

خاتمة

الأدب

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

على الرغم من التطور الكبير في علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.

لا تحتوي عملية حسابية ديوفانتوس على عرض منهجي للجبر، ولكنها تحتوي على سلسلة منهجية من المسائل، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق بناء معادلات بدرجات مختلفة.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يعلل ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، إذ لو كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، واحد منهم سيكون أكثر من نصف مجموعهم، أي. 10 + سوالآخر أقل، أي. 10. الفرق بينهما 2x .

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2 - 4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة يساوي 12 ، آخر 8 . حل س = -2لأن ديوفانتوس غير موجود، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

ص 2 - 20ص + 96 = 0. (2)

ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. عالم هندي آخر، براهماجوبتا (القرن السابع)، أوجز قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

اه 2+ ب س = ج، أ > 0. (1)

في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناء أ، كما يمكن أن تكون سلبية. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

في الهند القديمة، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تضيء الشمس النجوم ببريقها، كذلك يتفوق العالم على مجد غيره في المجالس العامة، في اقتراح المسائل الجبرية وحلها". غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

المشكلة 13.

"قطيع من القرود المرحة، واثني عشر على طول الكروم...

السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..

هناك هم في الساحة الجزء الثامن كم قرد كان هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمشكلة 13 هي:

( س /8) 2 + 12 = س

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

× 2 - 64س = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى المربع، نضيف إلى كلا الطرفين 32 2 ، ثم الحصول على:

× 2 - 64س + 32 2 = -768 + 1024،

(س - 32) 2 = 256،

س - 32 = ± 16،

× 1 = 16، × 2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

وقد ورد في رسالة الخوارزمي الجبرية تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج = ب X.

2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: الفأس 2 = ج.

3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج = ب X.

5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: اه 2+ bx = س.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي: bx + ج = الفأس 2 .

الخوارزمي، مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في مسائل عملية محددة لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يحدد الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ثم البراهين الهندسية.

المشكلة 14."المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر" (مما يعني جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

يبدو حل المؤلف كالتالي: اقسم عدد الجذور على النصف، ستحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - السابع عشر ب

تم توضيح صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم، الذي يعكس تأثير الرياضيات، سواء من بلاد الإسلام أو من اليونان القديمة، بشموليته ووضوح عرضه. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

× 2+ bx = ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب , معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + د، مضروبا أ - أ 2 ، يساوي دينار بحريني، الذي - التي أيساوي فيوعلى قدم المساواة د ».

لكي نفهم فييتا، علينا أن نتذكر ذلك أ، مثل أي حرف علة، يعني المجهول (لدينا X)، الحروف المتحركة في، د- معاملات المجهول. في لغة الجبر الحديث، تعني صيغة فييتا المذكورة أعلاه: إذا كان هناك

(أ+ ب )س - س 2 = أب ,

× 2 - (أ + ب )س + أ ب = 0,

س 1 = أ، س 2 = ب .

من خلال التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات باستخدام صيغ عامة مكتوبة باستخدام الرموز، أثبت فييت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك، فإن رمزية فيتنام لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.

وزارة التعليم والعلوم بجمهورية تتارستان

المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية

"مدرسة أسعد الثانوية

منطقة بلدية فيسوكوجورسكي بجمهورية تتارستان"

عمل بحثي:

"قصة ظهورمربع المعادلات»

أكملها: أندريفا إيكاترينا،

طالب الصف 8B

المستشار العلمي:

بوزارسكايا تاتيانا ليونيدوفنا،

مدرس رياضيات

مقدمة

من يريد أن يقتصر على الحاضر؟

دون معرفة الماضي،

لن يفهمه أبدًا.

ج.ف. لايبنتز

تحتل المعادلات مكانة رائدة في دورة الرياضيات المدرسية، ولكن لم يجد أي من أنواع المعادلات تطبيقًا واسعًا مثل المعادلات التربيعية.

كان الناس قادرين على حل معادلات الدرجة الثانية أو المعادلات التربيعية في بابل القديمة في الألفية الثانية قبل الميلاد. تمت مناقشة المشكلات التي تؤدي إلى المعادلات التربيعية في العديد من المخطوطات والأطروحات الرياضية القديمة. وفي الوقت الحاضر، يتم أيضًا حل العديد من المشكلات في الجبر والهندسة والفيزياء باستخدام المعادلات التربيعية. من خلال حلها، يجد الناس إجابات لمختلف الأسئلة المتعلقة بالعلم والتكنولوجيا.

هدفتهدف هذه الدراسة إلى دراسة تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

لتحقيق هذا الهدف، من الضروري حل المهام التالية:

دراسة الأدبيات العلمية حول هذا الموضوع.
تتبع تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

موضوع الدراسة:المعادلات التربيعية.

موضوع الدراسة:تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

أهمية الموضوع :

لقد كان الناس يحلون المعادلات التربيعية منذ العصور القديمة. أردت أن أعرف تاريخ المعادلات التربيعية.
لا توجد معلومات في الكتب المدرسية حول تاريخ المعادلات التربيعية.

طرق البحث:

العمل بالأدبيات العلمية التربوية والشعبية.
الملاحظة والمقارنة والتحليل.

القيمة العلمية للعمل، في رأيي، هي أن هذه المادة قد تكون ذات فائدة لأطفال المدارس المهتمين بالرياضيات، والمعلمين في الفصول اللامنهجية.

المعادلات التربيعية في بابل القديمة.

في بابل القديمة، كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية، ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المرتبطة بإيجاد مساحات الأرض وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية، وكذلك مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها.

س 2 - س = 14.5

مثال مأخوذ من أحد الألواح الطينية من هذه الفترة.

"مساحة مجموع المربعين هي 1000. ضلع أحد المربعين هو جانب المربع الآخر مخفضًا بمقدار 10. ما هي جوانب المربعين؟"

يؤدي هذا إلى معادلات يتم اختزال حلها إلى حل معادلة تربيعية ذات جذر موجب.

وفي الواقع يقتصر الحل في النص المسماري، كما هو الحال في جميع المسائل الشرقية، على قائمة بسيطة من الخطوات الحسابية اللازمة لحل المعادلة التربيعية:

“مربع 10؛ وهذا يعطي 100؛ اطرح 100 من 1000؛ وهذا يعطي 900"إلخ

كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية

يقدم ديوفانتوس أحد أصعب الألغاز في تاريخ العلم. لقد كان أحد أكثر علماء الرياضيات اليونانيين القدماء أصالة، وهو ديوفانتوس السكندري، الذي كانت لأعماله أهمية كبيرة في الجبر ونظرية الأعداد. لم يتم بعد توضيح سنة ميلاد ولا تاريخ وفاة ديوفانتوس. الفترة الزمنية التي كان من الممكن أن يعيش فيها ديوفانتوس هي نصف ألف عام! ويعتقد أنه عاش في القرن الثالث الميلادي. لكن مكان إقامة ديوفانتوس معروف جيدا - هذه هي الإسكندرية الشهيرة، مركز الفكر العلمي للعالم الهلنستي.

من أهم أعمال ديوفانتوس كتاب الحساب، حيث بقي 13 كتابًا فقط حتى يومنا هذا.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

مهمة: "أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2 - 4 = 0 (1)

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

ص 2 - 20ص + 96 = 0. (2)

المعادلات التربيعية من حساب ديوفانتوس:

12س 2 + س = 1
630x2 +73x=6.

وحتى في العصور القديمة، اشتهرت الهند بعلمها في مجال الفلك والنحو وغيرها من العلوم.

لقد حقق العلماء الهنود أكبر نجاح في هذا المجال علماء الرياضيات. لقد كانوا مؤسسي الحساب والجبر، وفي تطويرهم ذهبوا إلى أبعد من الإغريق.

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي تم تجميعها في عام 499. عالم الرياضيات والفلكي الهندي أرياباتا. عالم هندي آخر، براهماجوبتا (القرن السابع)، أوجز القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد: ax 2 + bx = c, a> 0.

قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.
كانت المسابقات العامة شائعة في الهند القديمة
في حل المشاكل الصعبة . يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما أن الشمس تضيء النجوم بتألقها، فإن العالم يتفوق على مجد غيره في الاجتماعات العامة، ويقترح ويحل المسائل الجبرية."

غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.
هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. الباشكار:

« قطيع من القرود المرحة،

بعد أن أكلت حتى شبع قلبي، استمتعت.

هناك الجزء الثامن منهم مربع،

لقد كنت أستمتع في المقاصة.

واثني عشر على طول الكروم...

بدأوا بالقفز والتعليق..

كم عدد القرود كان هناك؟

قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين.

المعادلة المقابلة للمشكلة

يكتب بهاسكارا في الصورة x 2 - 64x = -768، ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع، أضف 2 32 إلى كلا الطرفين، ثم تحصل على:

× 2 -64س+32 2 = -768+1024،

× 1 = 16، × 2 = 48.

المعادلات التربيعية في الصين (الألفية الأولى قبل الميلاد).

تعود الآثار الصينية المكتوبة الأولى التي وصلت إلينا إلى عصر شانغ (القرنين الثامن عشر والثاني عشر قبل الميلاد). وبالفعل على عظام القرن الرابع عشر. قبل الميلاد قبل الميلاد، وجدت في خنان، تم الحفاظ على تسميات الأرقام. لكن الازدهار الحقيقي للعلم بدأ بعد القرن الثاني عشر. قبل الميلاد ه. تم غزو الصين من قبل بدو تشو. خلال هذه السنوات، ظهرت الرياضيات وعلم الفلك الصيني ووصلت إلى مستويات مذهلة. ظهرت أول التقاويم الدقيقة وكتب الرياضيات المدرسية. لسوء الحظ، فإن "إبادة الكتب" للإمبراطور تشين شي هوانغ (شي هوانغدي) لم تسمح للكتب المبكرة بالوصول إلينا، لكنها على الأرجح شكلت الأساس للأعمال اللاحقة.

"الرياضيات في تسعة كتب" هو أول عمل رياضي من عدد من الكلاسيكيات في الصين القديمة، وهو نصب تذكاري رائع للصين القديمة خلال عهد أسرة هان المبكرة (206 قبل الميلاد - 7 م). يحتوي هذا المقال على مواد رياضية متنوعة وغنية، بما في ذلك المعادلات التربيعية.

التحدي الصيني: "يوجد خزان طول ضلعه 10 سم. يوجد في وسطها قصبة تبرز فوق الماء لمدة ساعة واحدة. إذا قمت بسحب القصب نحو الشاطئ، فسوف يلمسه فقط. والسؤال هو: ما عمق الماء وما طول القصب؟

(س+1) 2 =س 2 +5 2،

× 2 +2س+1= × 2 +25،

الجواب: 12تشي؛ 13 مساءا

المعادلات التربيعية للخوارزمي

"لقد قمت بتأليف كتاب قصير في حساب الجبر والمقابلة، فيه مسائل حسابية بسيطة ومعقدة، لأن ذلك ضروري للناس." الخوارزمي محمد بن موسى.

اشتهر الخوارزمي (أوزبكستان) بكتابه “كتاب الإكمال والمعارضة” (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة)، ومن اسمه كلمة “الجبر” مشتق. هذه الأطروحة هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

ويعطي الخوارزمي في الجزء النظري من رسالته تصنيفاً للمعادلات من الدرجة الأولى والثانية ويحدد ستة أنواع منها:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي الفأس 2 = ب س. (مثال:)

2) "المربعات تساوي أرقاما" أي الفأس 2 = س (مثال:)

3) "الجذور تساوي العدد" أي الفأس = ج. (مثال:)

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي ax 2 + c = bx. (مثال:)

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" أي ax 2 + bx = c.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات"، أي bx + c == ax 2. (مثال:)

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقبل. قراره، بالطبع، لا يتطابق تماما مع قرارنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول، فإن الخوارزمي، مثل جميع علماء الرياضيات حتى القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في عملية محددة لا يهم في المهام. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ثم براهينها الهندسية.

دعونا نعطي مثالا.

"المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر"(مما يعني جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

يبدو حل المؤلف على النحو التالي: "اقسم عدد الجذور على النصف، تحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من المنتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5، تحصل على 3، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

معادلة الخوارزمي الشهيرة: "مربع وعشرة جذور يساوي 39." س 2 + 10س= 39 (القرن التاسع). كتب في رسالته: «القاعدة هي: مضاعفة عدد الجذور، تحصل على خمسة في هذه المشكلة. أضف ذلك إلى تسعة وثلاثين، يصبح أربعة وستين. فخذ جذر هذا فيصبح ثمانية، واطرح منه نصف عدد الجذور، أي. خمسة، يتبقى ثلاثة: هذا سيكون جذر المربع الذي كنت تبحث عنه.»

المعادلات التربيعية في أوروبا في القرنين الثاني عشر والسابع عشر.

تم تحديد نماذج حل المعادلات التربيعية على غرار نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" الذي كتب عام 1202. عالم الرياضيات الإيطالي ليونارد فيبوناتشي. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة.

ساهم هذا الكتاب في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المشكلات الواردة في هذا الكتاب في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى الشكل x 2 + bx = с لجميع المجموعات الممكنة من العلامات والمعاملات b, c تمت صياغتها في أوروبا عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

خاتمة.

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تم حل المعادلات المختلفة، سواء من الدرجة الثانية أو من الدرجات الأعلى، من قبل أسلافنا البعيدين. تم حل هذه المعادلات في بلدان مختلفة وبعيدة جدًا. وكانت الحاجة إلى المعادلات كبيرة. تم استخدام المعادلات في البناء والشؤون العسكرية وفي مواقف الحياة اليومية.

في الوقت الحاضر، أصبحت القدرة على حل المعادلات التربيعية ضرورية للجميع. إن القدرة على حل المعادلات التربيعية بسرعة وعقلانية وصحيحة تجعل من السهل إكمال العديد من المواضيع في دورة الرياضيات. يتم حل المعادلات التربيعية ليس فقط في دروس الرياضيات، ولكن أيضًا في دروس الفيزياء والكيمياء وعلوم الكمبيوتر. تتلخص معظم المشكلات العملية في العالم الحقيقي أيضًا في حل المعادلات التربيعية.

الأدب

باشماكوفا آي جي ديوفانتوس ومعادلات ديوفانتاين. م: ناوكا، 1972.
بيريسكينا إي. رياضيات الصين القديمة - م: ناوكا، 1980
بيتشورين إل إف. خلف صفحات كتاب الجبر المدرسي: كتاب. للطلاب

7-9 درجات متوسط المدرسة - م: التربية، 1990

Glazer G.I. تاريخ الرياضيات في المدرسة من الصف السابع إلى الثامن. دليل للمعلمين. - م: التربية، 1982.

المعادلات التربيعية في بابل القديمة كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب الطبيعة العسكرية، وكذلك مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. لقد تمكن البابليون من حل المعادلات التربيعية قبل حوالي 2000 سنة من إيماننا. وباستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص المسمارية غير الكاملة، على سبيل المثال، معادلات تربيعية كاملة: وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القواعد. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون الإشارة إلى كيفية العثور عليها. على الرغم من المستوى العالي لتطور علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية "أوجد رقمين، مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96." يستنتج ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يستنتج أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، لأن إذا كانا متساويين، فلن يكون ناتجهما 96، بل 100. وبالتالي، سيكون أحدهما أكثر من نصف مجموعهما، أي. 10+X، والآخر أقل، أي. 10-X. الفرق بينهما هو 2X وبالتالي X = 2. أحد الأرقام المطلوبة هو 12، والآخر هو 8. الحل X = -2 غير موجود عند ديوفانتوس، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأرقام الموجبة فقط. المعادلة: أو:

المعادلات التربيعية في الهند توجد أيضًا مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam" التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta عام 499. عالم هندي آخر، براهماجوبتا، أوجز القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد: ax² +bx=c, a>0 إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر بهاسكارا قطيع من القرود المرحة بعد أن تناولوا الطعام حتى شبع قلوبهم، استمتعوا. الجزء الثامن منهم في الساحة كنت أستمتع به في المقاصة. واثني عشر على الكروم... بدأوا يقفزون وهم معلقون... أخبرني كم عدد القرود الموجودة في هذا القطيع؟ والمعادلة المقابلة للمسألة هي: يكتب بسكارة تحت الصورة: أكمل الجانب الأيسر إلى مربع، 0 إحدى مسائل عالم الرياضيات الهندي الشهير باسكارا في القرن الثاني عشر: قطيع من القرود المرحة، بعد أن تناولت طعامها حتى شبعها، استمتعت بوقتها. الجزء الثامن منهم في الساحة كنت أستمتع به في المقاصة. واثني عشر على الكروم... بدأوا يقفزون وهم معلقون... أخبرني كم عدد القرود الموجودة في هذا القطيع؟ المعادلة المقابلة للمسألة: يكتب بسكارة تحت الصورة: أكمل الجانب الأيسر إلى مربع،">

المعادلات التربيعية في آسيا القديمة هكذا حل عالم آسيا الوسطى الخوارزمي هذه المعادلة: كتب: “القاعدة هي: ضاعف عدد الجذور، x = 2x5، تحصل على خمسة في هذه المسألة، اضرب 5 بهذا يساوي إليه يكون خمسة وعشرين، 5·5=25 أضف هذا إلى تسعة وثلاثين، فيكون أربعة وستون، 64 خذ جذر هذا فيكون ثمانية، 8 واطرح من هذا النصف عدد الجذور، أي خمسة، 8-5 سيبقى 3 وهذا سيكون جذر المربع الذي كنت أبحث عنه." وماذا عن الجذر الثاني؟ لم يتم العثور على الجذر الثاني، حيث لم تكن الأرقام السالبة معروفة. س س = 39

المعادلات التربيعية في أوروبا في القرنين الثالث عشر والسابع عشر. تمت صياغة القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد x2+inx+c=0 في أوروبا فقط في عام 1544 على يد ستيفل، كما تم ذكر صيغ حل المعادلات التربيعية في أوروبا لأول مرة في عام 1202 من قبل عالم الرياضيات الإيطالي ليونارد فيبوناتشي. اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال ديكارت ونيوتن وغيرهما من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا

حول نظرية فييتا إن النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي تحمل اسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: “إذا كان B + D مضروبًا في A-A يساوي BD، فإن A يساوي B ويساوي D." لفهم Vieta، يجب على المرء أن يتذكر أن A، مثل أي حرف متحرك، يعني المجهول (x لدينا)، في حين أن حروف العلة B، D هي معاملات للمجهول. في لغة الجبر الحديث، تعني صيغة فييتا أعلاه: إذا كانت المعادلة التربيعية المعطاة x 2 +px+q=0 لها جذور حقيقية، فإن مجموعها يساوي -p، وحاصل الضرب يساوي q، أي، x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (مجموع جذور المعادلة التربيعية أعلاه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر ).

تجلب طريقة التحليل معادلة تربيعية عامة إلى الشكل: A(x)·B(x)=0، حيث A(x) وB(x) متعددو الحدود بالنسبة إلى x. الهدف: إخراج العامل المشترك من القوسين؛ استخدام صيغ الضرب المختصرة؛ طريقة التجميع. الطرق: مثال:

جذور المعادلة التربيعية: إذا كان D > 0، إذا كان D 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title="جذور المعادلة التربيعية: إذا D>0, إذا D"> title="جذور المعادلة التربيعية: إذا كان D > 0، إذا كان D"> !}

X 1 و x 2 – جذور المعادلة حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 · X 2 = – 10، مما يعني أن الجذور لها إشارات مختلفة X 1 + X 2 = – 3، مما يعني الجذر له معامل أكبر - سلبي وبالاختيار نجد الجذور: X 1 = - 5، X 2 = 2 على سبيل المثال:

0، من خلال النظرية العكسية لنظرية فييتا، نحصل على الجذور: 5;6، ثم نعود إلى جذور المعادلة الأصلية: 2.5؛ 3. الإجابة: 2.5؛ 3. حل المعادلة" title="حل المعادلة: 2x 2 - 11x +15 = 0. لننقل المعامل 2 إلى الحد الحر 2 - 11y +30= 0. D>0، وفقًا إلى النظرية العكسية لنظرية فييتا نحصل على الجذور: 5؛6، ثم نعود إلى جذور المعادلة الأصلية: 2.5؛ 3. الإجابة: 2.5؛ 3. حل المعادلة" class="link_thumb"> 14 !}حل المعادلة: 2x x +15 = 0. دعنا ننقل المعامل 2 إلى الحد الحر y y +30= 0. D>0، وفقًا للنظرية العكسية لنظرية فييتا، نحصل على الجذور: 5;6، ثم نحصل على العودة إلى جذور المعادلة الأصلية: 2، 5؛ 3. الإجابة: 2.5؛ 3. حل المعادلات بطريقة الرمي 0، من خلال النظرية العكسية لنظرية فييتا، نحصل على الجذور: 5;6، ثم نعود إلى جذور المعادلة الأصلية: 2.5؛ 3. الإجابة: 2.5؛ 3. حل المعادلة "> 0 حسب النظرية العكسية لنظرية فييتا نحصل على الجذور: 5;6 ثم نعود إلى جذور المعادلة الأصلية: 2.5; 3. الإجابة: 2.5; 3. الحل من المعادلات بطريقة "النقل".> 0، من خلال النظرية العكسية لنظرية فييتا نحصل على الجذور: 5؛6، ثم نعود إلى جذور المعادلة الأصلية: 2.5؛ 3. الإجابة: 2.5؛ 3. حل المعادلة" title="حل المعادلة: 2x 2 - 11x +15 = 0. لننقل المعامل 2 إلى الحد الحر 2 - 11y +30= 0. D>0، وفقًا إلى النظرية العكسية لنظرية فييتا نحصل على الجذور: 5؛6، ثم نعود إلى جذور المعادلة الأصلية: 2.5؛ 3. الإجابة: 2.5؛ 3. حل المعادلة"> title="حل المعادلة: 2x 2 - 11x +15 = 0. دعنا ننقل المعامل 2 إلى الحد الحر y 2 - 11y +30= 0. D>0، من خلال عكس النظرية لنظرية فييتا، نحصل على الجذور: 5؛ 6، ثم نعود إلى جذور المعادلات الأصلية: 2.5؛ 3. الإجابة: 2.5؛ 3. حل المعادلة"> !}

إذا كان في معادلة تربيعية أ+ب+ج=0، فإن أحد الجذور يساوي 1، والثاني حسب نظرية فيتا يساوي الثاني حسب نظرية فييتا يساوي إذا في معادلة تربيعية أ+ج=ب ، فإن أحد الجذور يساوي (-1)، والثاني حسب نظرية فيتا يساوي مثال: خواص معاملات المعادلة التربيعية 137س x – 157 = 0. أ = 137، ب = 20، ج = أ + ب+ ج = – 157 =0. × 1 = 1، الإجابة: 1؛ 137س س – 157 = 0. أ = 137، ب = 20، ج = أ + ب+ ج = – 157 =0. × 1 = 1، الإجابة: 1؛

طريقة رسومية لحل المعادلة التربيعية بدون استخدام الصيغ، يمكن حل المعادلة التربيعية بيانيا. دعونا نحل المعادلة، للقيام بذلك، سنقوم ببناء رسمين بيانيين: X Y X 01 Y012 الإجابة: ستكون حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية هي جذور المعادلة. إذا تقاطع التمثيلان البيانيان عند نقطتين، فإن المعادلة لها جذرين. إذا تقاطعت الرسوم البيانية عند نقطة واحدة، فإن المعادلة لها جذر واحد. إذا لم تتقاطع الرسوم البيانية، فإن المعادلة ليس لها جذور. 1)ص=س2 2)ص=س+1

حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني هذه طريقة قديمة ومنسية لحل المعادلات التربيعية، موضوعة في ص 83 "الجداول الرياضية المكونة من أربعة أرقام" Bradis V.M. الجدول الثاني والعشرون. الرسم البياني لحل المعادلة يسمح هذا الرسم البياني، دون حل معادلة تربيعية، بتحديد جذور المعادلة من معاملاتها. بالنسبة للمعادلة، فإن الرسم البياني يعطي الجذور

الطريقة الهندسية لحل المعادلات التربيعية في العصور القديمة، عندما كانت الهندسة أكثر تطوراً من الجبر، لم يتم حل المعادلات التربيعية جبرياً، بل هندسياً. لكن على سبيل المثال كيف قام اليونانيون القدماء بحل المعادلة: أو التعابير وتمثل هندسيا نفس المربع، والمعادلة الأصلية هي نفس المعادلة. من أين نحصل على ماذا، أو

الاستنتاج تستحق طرق الحل هذه الاهتمام، لأنها لا تنعكس جميعها في كتب الرياضيات المدرسية؛ إن إتقان هذه التقنيات سيساعد الطلاب على توفير الوقت وحل المعادلات بشكل فعال؛ الحاجة إلى حل سريع ترجع إلى استخدام نظام اختبار لامتحانات القبول؛

مقدمة

تحتل المعادلات مكانة رائدة في مقرر الجبر المدرسي. يتم تخصيص المزيد من الوقت لدراستهم أكثر من أي موضوع آخر في دورة الرياضيات المدرسية. تكمن قوة نظرية المعادلات في أنها لا تتمتع بأهمية نظرية لمعرفة القوانين الطبيعية فحسب، بل إنها تخدم أيضًا أغراضًا عملية محددة. معظم المشاكل المتعلقة بالأشكال المكانية والعلاقات الكمية في العالم الحقيقي تتلخص في حل أنواع مختلفة من المعادلات. ومن خلال إتقان طرق حلها، يجد الناس إجابات لأسئلة مختلفة تتعلق بالعلم والتكنولوجيا (النقل والزراعة والصناعة والاتصالات وما إلى ذلك). أيضًا، لتطوير القدرة على حل المعادلات، فإن العمل المستقل للطالب عند تعلم حل المعادلات له أهمية كبيرة. عند دراسة أي موضوع، يمكن استخدام المعادلات كوسيلة فعالة لتعزيز وتعميق وتكرار وتوسيع المعرفة النظرية، لتطوير النشاط الرياضي الإبداعي للطلاب.

في العالم الحديث، تُستخدم المعادلات على نطاق واسع في مختلف فروع الرياضيات وفي حل المشكلات التطبيقية المهمة. ويتميز هذا الموضوع بعمق العرض الكبير وثراء الروابط التي تنشأ بمساعدته في التدريس، وبالصلاحية المنطقية للعرض. ولذلك، فإنها تحتل مكانة استثنائية في خط المعادلات. يبدأ الطلاب في دراسة موضوع "ثلاثية الحدود المربعة" بعد أن اكتسبوا بالفعل بعض الخبرة، وامتلاك مخزون كبير بما فيه الكفاية من المفاهيم والمفاهيم والمهارات الرياضية الجبرية والعامة. إلى حد كبير، من الضروري على مادة هذا الموضوع تجميع المواد المتعلقة بالمعادلات، لتنفيذ مبادئ التاريخية وإمكانية الوصول.

ملاءمةالموضوع هو ضرورة تطبيق مبادئ التاريخية وعدم كفاية المواد لتنفيذ ذلك في موضوع “حل المعادلات التربيعية”.

مشكلة بحث:التعرف على مادة تاريخية لتدريس حل المعادلات التربيعية.

الهدف من العمل: تكوين أفكار حول العمل على المعادلات التربيعية في دروس الرياضيات، اختيار مجموعة من الدروس مع عناصر تاريخية حول موضوع "المعادلات التربيعية".

موضوع الدراسة: حل المعادلات التربيعية في الصف الثامن باستخدام عناصر التاريخية.

موضوع الدراسة: المعادلات التربيعية وتطوير دروس لتعليم حل المعادلات التربيعية باستخدام المواد التاريخية.

مهام:

إجراء تحليل للأدبيات العلمية والمنهجية حول مشكلة البحث؛

تحليل الكتب المدرسية وإبراز مكانة تدريس حل المعادلات التربيعية فيها؛

اختيار مجموعة من الدروس الخاصة بحل المعادلات التربيعية باستخدام المواد التاريخية.

طرق البحث:

تحليل الأدبيات حول موضوع "حل المعادلات التربيعية"؛

ملاحظة الطلاب خلال درس حول موضوع "حل المعادلات التربيعية"؛

اختيار المواد: دروس حول موضوع "حل المعادلات التربيعية" باستخدام المعلومات التاريخية.

§ 1. من تاريخ ظهور المعادلات التربيعية

نشأ الجبر فيما يتعلق بحل المشكلات المختلفة باستخدام المعادلات. عادة، تتطلب المسائل إيجاد واحد أو أكثر من المجهولات، مع معرفة نتائج بعض الإجراءات التي يتم إجراؤها على الكميات المطلوبة والمعطى. تتلخص مثل هذه المسائل في حل واحدة أو نظام من عدة معادلات، أو إيجاد المعادلات المطلوبة باستخدام العمليات الجبرية على كميات معينة. يدرس الجبر الخصائص العامة للعمليات على الكميات.

كانت بعض التقنيات الجبرية لحل المعادلات الخطية والتربيعية معروفة منذ 4000 عام في بابل القديمة.

المعادلات التربيعية في بابل القديمة

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. تمكن البابليون من حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:

وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها. على الرغم من التطور الكبير في علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 2. "أوجد رقمين، مع العلم أن مجموعهما هو 20 وحاصل ضربهما هو 96."

يعلل ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، إذ لو كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، واحد منهم سيكون أكثر من نصف مجموعهم، أي.
. والآخر أصغر، أي.
. الفرق بينهما
. ومن هنا المعادلة:

من هنا
. أحد الأرقام المطلوبة هو 12، والآخر هو 8. الحل
لأن ديوفانتوس غير موجود، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا قمت بحل هذه المشكلة باختيار أحد الأرقام المطلوبة كمجهول، يمكنك التوصل إلى حل للمعادلة:

ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة.

المعادلات التربيعية في الهند

(1)

وفي المعادلة (1)، قد تكون المعاملات سالبة أيضًا. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

كانت المسابقات العامة لحل المشكلات الصعبة شائعة في الهند. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: «كما تضيء الشمس النجوم ببريقها، كذلك يتألق العالم بمجده في المجالس العامة باقتراح المسائل الجبرية وحلها». غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

ويشير حل بهاسكارا إلى أن المؤلف كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين.

المعادلة المقابلة للمشكلة 3 هي:

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى المربع، أضف 322 إلى كلا الطرفين، ثم نحصل على:

معادلات الخوارزمي التربيعية

تعطي أطروحة الخوارزمي الجبرية تصنيفاً للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

دعونا نعطي مثالا.

المشكلة 4. "المربع والرقم 21 يساويان 10 جذور. ابحث عن الجذر" (يعني جذر المعادلة
).

الحل: اقسم عدد الجذور على النصف، تحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5، تحصل على 3، هذا سيكون الجذر الذي تبحث عنه. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

المعادلات التربيعية في أوروباالثاني عشر- السابع عشرالخامس.

ساهم هذا الكتاب في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المشكلات الواردة في هذا الكتاب في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد
لجميع المجموعات الممكنة من العلامات والمعاملات b، c، تمت صياغتها في أوروبا عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

ترتبط أصول الأساليب الجبرية لحل المشكلات العملية بعلم العالم القديم. كما هو معروف من تاريخ الرياضيات، فإن جزءًا كبيرًا من المشكلات الرياضية التي حلها الكتبة والآلات الحاسبة المصرية والسومرية والبابلية (القرنين XX-VI قبل الميلاد) كانت ذات طبيعة حسابية. ومع ذلك، حتى ذلك الحين، من وقت لآخر، ظهرت مشاكل حيث تم تحديد القيمة المطلوبة للكمية من خلال بعض الشروط غير المباشرة التي تتطلب، من وجهة نظرنا الحديثة، تكوين معادلة أو نظام من المعادلات. في البداية، تم استخدام الطرق الحسابية لحل مثل هذه المسائل. وفي وقت لاحق، بدأت بدايات المفاهيم الجبرية في التشكل. على سبيل المثال، تمكنت الآلات الحاسبة البابلية من حل المسائل التي يمكن، من وجهة نظر التصنيف الحديث، اختزالها إلى معادلات من الدرجة الثانية. تم إنشاء طريقة لحل المشكلات اللفظية، والتي كانت فيما بعد بمثابة الأساس لعزل المكون الجبري ودراسته المستقلة.

تم إجراء هذه الدراسة في عصر آخر، أولاً من قبل علماء الرياضيات العرب (القرنين السادس إلى العاشر الميلادي)، الذين حددوا الإجراءات المميزة التي يتم من خلالها إحضار المعادلات إلى شكل قياسي: جلب الحدود المتشابهة، ونقل الحدود من جزء من المعادلة إلى جزء آخر باستخدام تغيير العلامة. ثم من قبل علماء الرياضيات الأوروبيين في عصر النهضة، الذين، نتيجة بحث طويل، ابتكروا لغة الجبر الحديث، واستخدام الحروف، وإدخال الرموز للعمليات الحسابية، والأقواس، وما إلى ذلك. القرن السابع عشر. لقد تم بالفعل تشكيل الجبر كجزء محدد من الرياضيات، مع موضوعه وطريقته ومجالات تطبيقه. كان تطويرها الإضافي، حتى عصرنا، يتمثل في تحسين الأساليب، وتوسيع نطاق التطبيقات، وتوضيح المفاهيم وعلاقاتها بمفاهيم فروع الرياضيات الأخرى.

لذا، ونظراً لأهمية وضخامة المادة المتعلقة بمفهوم المعادلة، فإن دراستها بالطرق الحديثة في الرياضيات ترتبط بثلاثة مجالات رئيسية هي أصلها وعملها.

من تاريخ المعادلات التربيعية.

أ) المعادلات التربيعية في بابل القديمة

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. يمكن حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. البابليون. باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:

س 2 + س = , س 2 – س = 14

لا يحتوي حساب ديوفانتوس على عرض منهجي للجبر، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق بناء معادلات بدرجات مختلفة.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 2. "أوجد رقمين، مع العلم أن مجموعهما هو 20 وحاصل ضربهما هو 96."

يبرر ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، لأنها إذا كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، سيكون واحد منهم أكثر من نصف مجموعهم، أي .10 + س. والآخر أقل، أي 10 - س. الفرق بينهما 2x. ومن هنا المعادلة:

(10+س)(10-س) =96،

أو

100 -س 2 = 96.

ومن ثم فإن x = 2. أحد الأرقام المطلوبة هو 12، والآخر هو 8. الحل x = - 2 غير موجود عند ديوفانتوس، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأرقام الموجبة فقط.

إذا قمت بحل هذه المشكلة باختيار أحد الأرقام المطلوبة كمجهول، يمكنك التوصل إلى حل للمعادلة:

ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة.
ب) المعادلات التربيعية في الهند.

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. عالم هندي آخر، براهماغوبتا (القرن السابع)، وضع قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد

أوه 2 + بس = ج، أ > 0

في المعادلة، المعاملات باستثناء أ، قد تكون سلبية. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

المهمة 3.

ويشير حل بهاسكارا إلى أن المؤلف كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين.

المعادلة المقابلة للمشكلة 3 هي:

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

× 2 - 64س = - 768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع، أضف 32 2 إلى كلا الطرفين، ثم نحصل على:

س 2 - ب4س + 32 2 = -768 + 1024،

(س - 32) 2 = 256،

× 1 = 16، × 2 = 48.

ج) المعادلات التربيعية للخوارزمي

"المربعات تساوي الجذور" أي الفأس 2 = ب س.
"المربعات تساوي أرقاما" أي الفأس 2 = ج.
"الجذور تساوي العدد" أي الفأس = ج.
"المربعات والأرقام تساوي الجذور"، أي ax 2 + c = bx.
"المربعات والجذور تساوي العدد"، أي ax 2 + bx = c.
"الجذور والأعداد تساوي المربعات"، أي bx + c == ax 2.

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقبل. قراره، بالطبع، لا يتطابق تماما مع قرارنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول، فإن الخوارزمي، مثل جميع علماء الرياضيات حتى القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الصفر الحل، ربما لأنه في عملية محددة لا يهم في المهام. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ومن ثم براهينها الهندسية.

دعونا نعطي مثالا.

المشكلة 4. "المربع والرقم 21 يساويان 10 جذور. أوجد الجذر” (أي جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

الحل: اقسم عدد الجذور على النصف، تحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5، تحصل على 3، هذا سيكون الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

أطروحة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

د) المعادلات التربيعية في أوروبا في القرنين الثالث عشر والسابع عشر.

تم تحديد صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد"، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم، الذي يعكس تأثير الرياضيات في كل من البلدان الإسلامية واليونان القديمة، باكتماله ووضوح عرضه. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد

س 2 + ب س = ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب، معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح في فييتا، لكن فيتا تعرفت على الجذور الموجبة فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

ترتبط أصول الأساليب الجبرية لحل المشكلات العملية بعلم العالم القديم. كما هو معروف من تاريخ الرياضيات، فإن جزءًا كبيرًا من المشكلات ذات الطبيعة الرياضية، التي تم حلها بواسطة الكتبة والحاسبات المصرية والسومرية والبابلية (القرنين العشرين والسادس قبل الميلاد)، كانت ذات طبيعة حسابية. ومع ذلك، حتى ذلك الحين، من وقت لآخر، ظهرت مشاكل حيث تم تحديد القيمة المرغوبة للكمية من خلال بعض الشروط غير المباشرة التي تتطلب، من وجهة نظرنا الحديثة، تكوين معادلة أو نظام من المعادلات. في البداية، تم استخدام الطرق الحسابية لحل مثل هذه المسائل. وفي وقت لاحق، بدأت بدايات المفاهيم الجبرية في التشكل. على سبيل المثال، تمكنت الآلات الحاسبة البابلية من حل المسائل التي يمكن، من وجهة نظر التصنيف الحديث، اختزالها إلى معادلات من الدرجة الثانية. تم إنشاء طريقة لحل المشكلات اللفظية، والتي كانت فيما بعد بمثابة الأساس لعزل المكون الجبري ودراسته المستقلة.

لذا، ونظراً لأهمية وضخامة المادة المتعلقة بمفهوم المعادلة، فإن دراستها بالطرق الحديثة في الرياضيات ترتبط بثلاثة مجالات رئيسية هي نشأتها وعملها.