حل المعادلات المنطقية. أسبقية العمليات المنطقية

اسمحوا أن تكون وظيفة منطقية لمتغيرات n. المعادلة المنطقية هي:

الثابت C له القيمة 1 أو 0.

يمكن أن تحتوي المعادلة المنطقية على 0 إلى حلول مختلفة. إذا كانت C تساوي 1 ، فإن الحلول هي كل مجموعات المتغيرات من جدول الحقيقة حيث تأخذ الدالة F القيمة true (1). المجموعات المتبقية هي حلول معادلة C تساوي صفرًا. يمكننا دائمًا اعتبار المعادلات من النموذج فقط:

في الواقع ، دع المعادلة تعطى:

في هذه الحالة ، يمكنك الانتقال إلى المعادلة المكافئة:

ضع في اعتبارك نظام من المعادلات المنطقية k:

حل النظام عبارة عن مجموعة من المتغيرات التي يتم استيفاء جميع معادلات النظام عليها. من حيث الوظائف المنطقية ، للحصول على حل لنظام المعادلات المنطقية ، يجب على المرء أن يجد مجموعة تكون فيها الوظيفة المنطقية Ф صحيحة ، والتي تمثل اقتران الوظائف الأصلية:

إذا كان عدد المتغيرات صغيرًا ، على سبيل المثال ، أقل من 5 ، فليس من الصعب إنشاء جدول حقيقة للوظيفة ، مما يسمح لك بتحديد عدد الحلول التي يمتلكها النظام وما هي المجموعات التي تقدم الحلول.

في بعض مهام اختبار الدولة الموحد لإيجاد حلول لنظام المعادلات المنطقية ، يصل عدد المتغيرات إلى قيمة 10. ثم يصبح بناء جدول الحقيقة مهمة غير قابلة للحل تقريبًا. يتطلب حل المشكلة مقاربة مختلفة. بالنسبة لنظام المعادلات التعسفي ، لا توجد طريقة عامة ، بخلاف التعداد ، تسمح بحل مثل هذه المشكلات.

في المشاكل المقترحة في الاختبار ، عادة ما يعتمد الحل على مراعاة خصوصيات نظام المعادلات. أكرر ، بصرف النظر عن تعداد جميع المتغيرات لمجموعة من المتغيرات ، لا توجد طريقة عامة لحل المشكلة. يجب أن يتم بناء الحل على أساس تفاصيل النظام. غالبًا ما يكون من المفيد إجراء تبسيط أولي لنظام المعادلات باستخدام قوانين المنطق المعروفة. طريقة أخرى مفيدة لحل هذه المشكلة هي كما يلي. نحن لا نهتم بكل المجموعات ، ولكن فقط تلك التي لها قيمة الوظيفة 1. بدلاً من بناء جدول حقيقة كامل ، سنبني نظيرتها - شجرة قرار ثنائية. يتوافق كل فرع من هذه الشجرة مع حل واحد ويحدد المجموعة التي لها قيمة الوظيفة 1. يتطابق عدد الفروع في شجرة القرار مع عدد الحلول لنظام المعادلات.

ما هي شجرة القرار الثنائية وكيف يتم بناؤها ، سأشرح بأمثلة للعديد من المهام.

المشكلة 18

كم عدد مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات المنطقية x1 ، x2 ، x3 ، x4 ، x5 ، y1 ، y2 ، y3 ، y4 ، y5 التي تحقق نظامًا من معادلتين؟

الإجابة: يحتوي النظام على 36 حلاً مختلفًا.

الحل: يتضمن نظام المعادلات معادلتين. لنجد عدد الحلول للمعادلة الأولى اعتمادًا على 5 متغيرات -. يمكن اعتبار المعادلة الأولى بدورها نظامًا من 5 معادلات. كما هو موضح ، يمثل نظام المعادلات في الواقع اقترانًا للوظائف المنطقية. العبارة العكسية صحيحة أيضًا - يمكن اعتبار اقتران الشروط كنظام معادلات.

لنقم ببناء شجرة قرار للتضمين () - المصطلح الأول للارتباط ، والذي يمكن اعتباره المعادلة الأولى. هذا ما تبدو عليه الصورة الرسومية لهذه الشجرة

تتكون الشجرة من مستويين حسب عدد المتغيرات في المعادلة. يصف المستوى الأول المتغير الأول. يعكس فرعين من هذا المستوى القيم المحتملة لهذا المتغير - 1 و 0. في المستوى الثاني ، تعكس فروع الشجرة فقط تلك القيم المحتملة للمتغير الذي تأخذ المعادلة القيمة الحقيقية له. نظرًا لأن المعادلة تحدد ضمنيًا ، فإن الفرع الذي تحتوي عليه القيمة 1 يتطلب أن يكون له قيمة 1 على هذا الفرع. الفرع الذي يحتوي على قيمة 0 يولد فرعين بقيم تساوي 0 و 1. تحدد الشجرة المركبة ثلاثة حلول ، حيث يأخذ المعنى القيمة 1. في كل فرع ، يتم كتابة مجموعة القيم المقابلة للمتغيرات ، مما يعطي حلاً للمعادلة.

هذه المجموعات هي: ((1 ، 1) ، (0 ، 1) ، (0 ، 0))

دعنا نواصل بناء شجرة القرار بإضافة المعادلة التالية ، المعنى التالي. خصوصية نظام المعادلات لدينا هي أن كل معادلة جديدة للنظام تستخدم متغيرًا واحدًا من المعادلة السابقة ، مضيفًا متغيرًا واحدًا جديدًا. نظرًا لأن المتغير يحتوي بالفعل على قيم في الشجرة ، ثم في جميع الفروع حيث يكون للمتغير قيمة 1 ، سيكون للمتغير أيضًا قيمة 1. بالنسبة لمثل هذه الفروع ، يستمر بناء الشجرة إلى المستوى التالي ، ولكن لا تظهر فروع جديدة. الفرع الوحيد الذي يحتوي المتغير على القيمة 0 سيعطي فرعًا إلى فرعين ، حيث سيحصل المتغير على القيمتين 0 و 1. وبالتالي ، فإن كل إضافة لمعادلة جديدة ، نظرًا لخصوصيتها ، تضيف حلاً واحدًا. المعادلة الأولى الأصلية:

لديه 6 حلول. إليك ما تبدو عليه شجرة القرار الكاملة لهذه المعادلة:

المعادلة الثانية لنظامنا تشبه الأولى:

الاختلاف الوحيد هو أن المعادلة تستخدم متغيرات Y. لهذه المعادلة أيضًا 6 حلول. نظرًا لأنه يمكن دمج كل حل متغير مع كل حل متغير ، فإن إجمالي عدد الحلول هو 36.

لاحظ أن شجرة القرار المُنشأة لا تقدم فقط عدد الحلول (وفقًا لعدد الفروع) ، ولكن أيضًا الحلول نفسها ، المكتوبة على كل فرع من فروع الشجرة.

المشكلة 19

كم عدد مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات المنطقية x1 ، x2 ، x3 ، x4 ، x5 ، y1 ، y2 ، y3 ، y4 ، y5 التي تفي بجميع الشروط التالية؟

هذه المهمة هي تعديل للمهمة السابقة. الفرق هو أنه تمت إضافة معادلة أخرى تتعلق بمتغيري X و Y.

ويترتب على المعادلة أنه عندما يكون لها القيمة 1 (يوجد أحد هذه الحلول) ، يكون عندها القيمة 1. وبالتالي ، هناك مجموعة واحدة تحتوي على القيم 1. عندما تكون مساوية لـ 0 ، يمكن أن يكون لها أي قيمة ، كل من 0 و 1. لذلك ، كل مجموعة تساوي 0 ، وهناك 5 مجموعات من هذا القبيل ، تتوافق مع جميع المجموعات الست ذات المتغيرات Y. لذلك ، العدد الإجمالي للحلول هو 31.

المشكلة 20

الحل: تذكر المعادلة الأساسية ، نكتب معادلتنا على النحو التالي:

تعني سلسلة المضامين الدورية أن المتغيرات متطابقة ، لذا فإن معادلتنا تكافئ:

هذه المعادلة لها حلين عندما تكون جميعها إما 1 أو 0.

المشكلة 21

كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة:

الحل: كما هو الحال في المسألة 20 ، ننتقل من الآثار الدورية إلى الهويات بإعادة كتابة المعادلة بالصيغة:

لنقم ببناء شجرة قرار لهذه المعادلة:

المشكلة 22

كم عدد الحلول الموجودة في نظام المعادلات التالي؟

في نهاية العام ، اتضح أن واحدًا فقط من الافتراضات الثلاثة كان صحيحًا. ما هي الأقسام التي حققت ربحًا في نهاية العام؟

المحلول. دعنا نكتب الافتراضات من حالة المشكلة في شكل بيانات منطقية: "إن الحصول على الربح حسب القسم" ب "ليس شرطًا ضروريًا للحصول على

الأرباح حسب الوحدة أ ": F 1 (A، B، C) = A → B

"لا يكفي الحصول على ربح من قبل قسم واحد على الأقل B و C لتحقيق ربح من خلال القسم A": F 2 (A، B، C) = (B + C) → A

"لن يربح القسمان A و B في نفس الوقت": F 3 (A، B، C) = A B

من المعروف من الشرط أن واحدًا فقط من الافتراضات الثلاثة صحيح. هذا يعني أنه يجب علينا إيجاد أي من التعبيرات المنطقية الثلاثة التالية ليس خاطئًا بشكل مماثل:

1) F 1F 2F 3

2) F 1F 2F 3

3) F 1F 2F 3

1) (أ → ب) ((ب + ج) → أ) (أ↔ ب) = أ ب (ب ج + أ) (أ ب + أ ب) = 0

2) (أ → ب) ((ب + ج) → أ) (أ↔ ب) = (أ + ب) (أ ب + أ ج) (أ ب + أ ب) = أ ب ج

3) (أ → ب) ((ب + ج) → أ) (أ ب) = (أ + ب) (ب ج + أ) (أ ب + أ ب) = 0

وبالتالي ، في نهاية العام ، تبين أن الافتراض الثاني صحيح ، وكان الافتراض الأول والثالث خاطئين.

لذلك ، فإن هذا القسم C سيحصل على ربح ، لكن القسمين A و B لن يحصلان على ربح.

حل المعادلات المنطقية

في نصوص الاختبار المركزي للدولة ، توجد مهمة (A8) ، يُقترح فيها العثور على جذر المعادلة المنطقية. دعونا نلقي نظرة على كيفية حل مثل هذه المهام بمثال.

أوجد جذر المعادلة المنطقية: (A + B) (X AB) = B + X → A.

الحل الأول هو بناء جدول الحقيقة. دعونا نبني جداول الحقيقة للجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة ونرى ما هي X ، والقيم الموجودة في الأعمدة الأخيرة من هذه الجداول سوف تتطابق.

F1 (أ ، ب ، س) = (أ + ب) (س أب)

F2 (أ ، ب ، س) = ب + س → أ

دعنا نقارن جداول الحقيقة التي تم الحصول عليها وحدد تلك الصفوف التي تتطابق فيها القيم F 1 (A ، B ، X) و F 2 (A ، B ، X).

نعيد كتابة الصفوف المحددة فقط ، مع ترك أعمدة الوسيطة فقط. لننظر إلى المتغير X كدالة في A و B.

من الواضح أن X = B → A.

الحل الثاني هو استبدال علامة التساوي في المعادلة بعلامة مكافئة ، ثم تبسيط المعادلة المنطقية الناتجة.

لتسهيل المزيد من العمل ، نقوم أولاً بتبسيط الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة المنطقية وإيجاد نفيها:

F1 = (A + B) (X AB) = A + B + (X↔ AB) = A B + X A B + X A + X B

F1 = (A + B) (X AB) = (A + B) (X A + X B + X A B) = X A B + X A B + X A B

F2 = B + X → A = B (X → A) = B (X + A) = X B + A B F2 = B + X → A = B + X + A = B + X A

دعنا نستبدل علامة المساواة في معادلتنا المنطقية بعلامة التكافؤ:

F1 ↔ F2 = F1 F2 + F1 F2 = (A B + X A B + X A + X B) (X B + A B) +

+ (X A B + X A B + X A B) (B + X A) =

= (X A B + X B + X A B) + (X A B + X A B) =

دعنا نعيد تجميع المصطلحات المنطقية لهذا المقدار ، مع إخراج العاملين X و X من القوس.

س (أ ب) + س (ب + أب) = س (أ ب) + س (ب + أ) =

دلالة T = A B ، إذن

X T + X T = X↔ T.

لذلك ، للحصول على حل للمعادلة المنطقية: X = A B = B + A = B → A.

العناصر المنطقية للكمبيوتر. بناء المخططات الوظيفية

كان المنطق الرياضي مع تطور تكنولوجيا الكمبيوتر على علاقة وثيقة بتصميم وبرمجة تكنولوجيا الكمبيوتر. وجد جبر المنطق تطبيقًا واسعًا في البداية في تطوير تتابع الاتصالالمخططات. نُشر البحث الأساسي الأول الذي لفت انتباه المهندسين المشاركين في تصميم أجهزة الكمبيوتر إلى إمكانية تحليل الدوائر الكهربائية باستخدام الجبر المنطقي في ديسمبر 1938 في مقال أمريكي كلود شانون بعنوان "التحليل الرمزي لدارات التتابع والاتصال". بعد هذه المقالة ، لم يكتمل تصميم أجهزة الكمبيوتر بدون استخدام الجبر البولي.

عنصر المنطقهي دائرة تنفذ العمليات المنطقية للانفصال والاقتران والانعكاس. ضع في اعتبارك تنفيذ العناصر المنطقية من خلال دارات اتصال الترحيل الكهربائية ، المألوفة لك من دورة الفيزياء المدرسية.

الاتصال التسلسلي لجهات الاتصال

اتصال متوازي من الاتصالات

دعنا نصنع جدول تبعيات حالة الدوائر على جميع الحالات الممكنة لجهات الاتصال. دعنا نقدم الترميز: 1 - جهة الاتصال مغلقة ، يوجد تيار في الدائرة ؛ 0 - جهة الاتصال مفتوحة ، لا يوجد تيار في الدائرة.

كما ترى ، تتوافق الدائرة ذات الاتصال التسلسلي مع التشغيل المنطقي للارتباط ، حيث يظهر التيار في الدائرة فقط عند إغلاق جهات الاتصال A و B في وقت واحد. تتوافق الدائرة ذات الاتصال المتوازي مع فصل العملية المنطقية ، حيث لا يوجد تيار في الدائرة فقط في الوقت الذي يكون فيه كل من جهات الاتصال مفتوحة.

يتم تنفيذ العملية المنطقية للانعكاس من خلال دائرة الاتصال لمرحل كهرومغناطيسي ، تتم دراسة مبدأه في مقرر الفيزياء المدرسية. جهة الاتصال x مفتوحة عند إغلاق x والعكس صحيح.

إن استخدام عناصر اتصال الترحيل لبناء دوائر منطقية لأجهزة الكمبيوتر لم يبرر نفسه بسبب الموثوقية المنخفضة والأبعاد الكبيرة والاستهلاك العالي للطاقة والسرعة المنخفضة. أتاح ظهور الأجهزة الإلكترونية (الفراغ وأشباه الموصلات) بناء عناصر منطقية بسرعة مليون تبديل في الثانية وأكثر. تعمل العناصر المنطقية في أشباه الموصلات في الوضع الرئيسي ، على غرار المرحل الكهرومغناطيسي. يتم نقل النظرية الكاملة المنصوص عليها لدارات التلامس إلى عناصر أشباه الموصلات. لا تتميز العناصر المنطقية في أشباه الموصلات بحالة جهات الاتصال ، ولكن من خلال وجود إشارات عند الإدخال والإخراج.

ضع في اعتبارك العناصر المنطقية التي تنفذ العمليات المنطقية الأساسية:

الرسم البياني المقابل للوظيفة:

& F (X ، Y ، Z)

حل المسائل باستخدام حرف العطف العادي

و فصل عادينماذج

في في كتب المشكلات المنطقية ، غالبًا ما توجد مشكلات قياسية تحتاج فيها إلى تدوين وظيفة تنفذهامخطط سلم ، قم بتبسيطه وإنشاء جدول حقيقة لهذه الوظيفة. كيف تحل المشكلة العكسية؟ بالنظر إلى جدول الحقيقة التعسفي ، تحتاج إلى بناء دائرة اتصال وظيفية أو مرحل. سنتعامل مع هذه القضية اليوم.

يمكن تمثيل أي وظيفة من وظائف الجبر المنطقي من خلال مجموعة من ثلاث عمليات: الاقتران والفصل والانعكاس. دعونا نرى كيف يتم ذلك. للقيام بذلك ، نكتب عدة تعريفات.

المصغر هو دالة تتكون من اقتران عدد معين من المتغيرات أو نفيها. يأخذ Minterm القيمة 1 لكل المجموعات الممكنة فقط

الحجج ، والقيمة 0 لجميع الآخرين. مثال: x 1 x 2 x 3 x 4.

Maksterm هي وظيفة تتكون من فصل عدد معين من المتغيرات أو نفيها. يأخذ Maxterm القيمة 0 في إحدى المجموعات الممكنة ، و 1 في كل المجموعات الأخرى.

مثال: x 1 + x 2 + x 3.

وظيفة في الشكل العادي المنفصل(DNF) هو مجموع منطقي من minterms.

مثال: x 1x 2+ x 1x 2+ x 1x 2x 3.

الشكل العادي المترابط(CNF) هو منتج منطقي للانفصال الأولي (maxterms).

مثال: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2).

شكل عادي مفكك مثالي يسمى DNF ، يحتوي كل مصطلح منه على جميع المتغيرات أو نفيها.

مثال: x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3

شكل عادي مترابط مثالي يسمى CNF ، وفي كل حد أقصى توجد فيه جميع المتغيرات أو نفيها.

مثال: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3)

تسجيل وظيفة منطقية في جدول

يمكن التعبير عن أي وظيفة منطقية كـ SDNF أو SKNF. كمثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة f المعروضة في الجدول.

الوظائف G0 و G1 و G4 و G5 و G7 هي minterms (انظر التعريف). كل من هذه الوظائف هي نتاج ثلاثة متغيرات أو انعكاساتها وتأخذ القيمة 1 في موقف واحد فقط. يمكن ملاحظة أنه من أجل الحصول على 1 في قيمة الدالة f ، هناك حاجة إلى minterm واحد. لذلك ، فإن عدد minterms التي تشكل SDNF لهذه الوظيفة يساوي عدد الوحدات في قيمة الوظيفة: f = G0 + G1 + G4 + G5 + G7. وهكذا ، فإن SDNF لها الشكل:

f (x 1، x 2، x 3) = x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يبني SKNF. عدد العوامل يساوي عدد الأصفار في قيم الدالة:

f (x 1 ، x 2 ، x 3) = (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3).

وبالتالي ، فإن أي دالة منطقية معطاة في شكل جدول يمكن كتابتها كصيغة.

خوارزمية لبناء SDNF وفقًا لجدول الحقيقة

جدول الحقيقة لبعض الوظائف معطى. من أجل بناء SDNF ، تحتاج إلى تنفيذ التسلسل التالي من الخطوات:

1. حدد جميع الصفوف في الجدول حيث تأخذ الوظيفة القيمة 1.

2. يتم تعيين كل سطر من هذا القبيل على ربط جميع الوسائط أو انعكاساتها (minterm). في هذه الحالة ، تدخل الوسيطة التي تأخذ القيمة 0 الحد الأدنى مع النفي ، وتدخل القيمة 1 إلى الحد الأدنى بدون نفي.

3. أخيرًا ، نشكل فصلًا لجميع minterms التي تم الحصول عليها. يجب أن يتطابق عدد minterms مع عدد وحدات الدالة المنطقية.

خوارزمية لبناء SKNF وفقًا لجدول الحقيقة

جدول الحقيقة لبعض الوظائف معطى. لإنشاء SKNF ، يجب عليك تنفيذ التسلسل التالي من الخطوات:

1. حدد جميع صفوف الجدول حيث تأخذ الوظيفة القيمة 0.

2. يتم تعيين فصل لجميع الوسائط أو انعكاساتها (maxterm) لكل سطر. في هذه الحالة ، يتم تضمين الوسيطة التي تأخذ القيمة 1 في الحد الأقصى مع النفي ، ويتم تضمين القيمة 1 بدون نفي.

3. أخيرًا ، نشكل ارتباطًا لجميع الحدود القصوى التي تم الحصول عليها. يجب أن يتطابق عدد maxterms مع عدد أصفار الدالة المنطقية.

إذا اتفقنا من شكلين (SDNF أو SKNF) على إعطاء الأفضلية للصيغة التي تحتوي على عدد أقل من الأحرف ، فإن SDNF هو الأفضل إذا كان هناك عدد أقل بين قيم دالة جدول الحقيقة ، SKNF - إذا كان هناك عدد أقل من الأصفار.

مثال. تم إعطاء جدول الحقيقة لوظيفة منطقية لثلاثة متغيرات. أنشئ صيغة منطقية تنفذ هذه الوظيفة.

نختار تلك الصفوف في جدول الحقيقة المقدم حيث قيمة الوظيفة تساوي 0.

و (أ ، ب ، ج) = (أ + ب + ج) (أ + ب + ج)

دعنا نتحقق من الوظيفة المشتقة عن طريق تجميع جدول الحقيقة.

بمقارنة جدول الحقيقة الأولي والنهائي ، يمكننا أن نستنتج أن الوظيفة المنطقية مبنية بشكل صحيح.

حل المشاكل

1. ثلاثة معلمين يختارون المهام للأولمبياد. هناك العديد من المهام للاختيار من بينها. لكل مهمة ، يعبر كل معلم عن رأيه: مهمة سهلة (0) أو مهمة صعبة (1). يتم تضمين مهمة في مهمة الأولمبياد إذا قام اثنان على الأقل من المعلمين بتحديدها على أنها صعبة ، ولكن إذا اعتبرها المعلمون الثلاثة أمرًا صعبًا ، فلن يتم تضمين هذه المهمة في مهمة الأولمبياد على أنها صعبة للغاية. قم بعمل رسم تخطيطي منطقي للجهاز الذي سينتج 1 إذا تم تضمين المشكلة في مهمة الأولمبياد ، و 0 إذا لم يتم تضمينها.

دعونا نبني جدول الحقيقة للوظيفة المطلوبة. لدينا ثلاثة متغيرات إدخال (ثلاثة معلمين). لذلك ، ستكون الوظيفة المطلوبة دالة من ثلاثة متغيرات.

عند تحليل حالة المشكلة ، نحصل على جدول الحقيقة التالي:

نبني SDNF. F (A، B، C) = ABC + ABC + ABC

الآن نبني الدائرة المنطقية لهذه الوظيفة.

B & 1F (أ ، ب ، ج)

2. أولمبياد المدينة في الدورة الأساسية للمعلوماتية 2007.قم ببناء مخطط دائرة كهربائية لمدخل منزل من ثلاثة طوابق بحيث يمكن لمفتاح في أي طابق تشغيل أو إطفاء الضوء في المنزل بأكمله.

لذلك ، لدينا ثلاثة مفاتيح يجب أن نفتحها ونطفئها. يحتوي كل مفتاح على حالتين: مرتفع (0) ومنخفض (1). افترض أنه إذا كانت المفاتيح الثلاثة جميعها في الموضع 0 ، فإن الضوء الموجود في المدخل مطفأ. بعد ذلك ، عند تحريك أي من المفاتيح الثلاثة إلى الموضع 1 ، يجب أن يضيء الضوء الموجود في المدخل. من الواضح ، عندما تحرك أي مفتاح آخر إلى الموضع 1 ، سينطفئ الضوء الموجود في المدخل. إذا تم نقل المفتاح الثالث إلى الموضع 1 ، فسيتم تشغيل الضوء الموجود في المدخل. نحن نبني جدول الحقيقة.

ثم F (A، B، C) = ABC + ABC + ABC + ABC.

ملحوظة. لحل هذه المشكلة بنجاح ، تذكر الصيغ المنطقية التالية:

س → ص = س + ص س ص = س ص + س ص

س ↔ ص = س ص + س ص

لدينا دالة منطقية لثلاثة متغيرات F 1 (A ، B ، C) = C → A + B = C + A B.

دعنا نغير المتغيرين B و C في نفس الوقت: F 2 (A ، B ، C) = F 1 (A ، B ، C) = C + A B. لنقم ببناء جداول الحقيقة لهاتين الوظيفتين:

دعنا نحلل الجدول الناتج. من بين ثمانية صفوف من الجدول ، فقط في صفين (الثاني والثالث) لا تغير الوظيفة قيمتها. لاحظ أن المتغير A في هذه السطور لا يعكس قيمته ، بينما المتغير B و C يعملان.

نقوم ببناء وظائف SKNF وفقًا لهذه الأسطر:

F3 (A، B، C) = (A + B + C) (A + B C) = A + AB + AC + AB + BC + AC + B C =.

أ + (ب↔ ج) = أ + ب ج = (ب ج) → أ

لذلك ، الإجابة المطلوبة هي 4.

4. شرط لتغيير قيمة دالة منطقية F (A ، B ، C) = C + AB أثناء تغيير الوسيطات A و B يساوي:

دعنا نحلل الجدول الناتج. من بين ثمانية صفوف من الجدول ، فقط في صفين (الأول والسابع) تغير الوظيفة قيمتها. لاحظ أنه في هذه السطور ، لا يغير المتغير C قيمته ، بينما المتغيران A و B يفعلان ذلك.

نقوم ببناء وظائف SDNF وفقًا لهذه الأسطر:

F3 (أ ، ب ، ج) = أ ب ج + أ ب ج = ج (أ ب + أ ب) = ج (أ↔ ب) = ج + (أ ب)

لذلك ، الإجابة المطلوبة هي 2.

مراجع

1. شابيرو إس. حل مشاكل المنطق واللعبة(دراسات منطقية ونفسية). - م: الراديو والاتصال ، 1984. - 152 ص.

2. Sholomov L.A. أساسيات نظرية المنطق المنفصل وأجهزة الحوسبة. - م: العلوم. الفصل إد. بدني - حصيرة. مضاءة ، 1980. - 400 ص.

3. بوخالسكي جي ، نوفوسيلتسيفا تي يا. تصميم الأجهزة المنفصلة على الدوائر المتكاملة: كتيب. - م: الإذاعة والتواصل 1990.

طرق حل أنظمة المعادلات المنطقية

Kirgizova E.V. ، Nemkova A.E.

معهد ليسوسيبيرسك التربوي -

فرع جامعة سيبيريا الفيدرالية ، روسيا

القدرة على التفكير المستمر ، الجدال بشكل قاطع ، بناء الفرضيات ، دحض الاستنتاجات السلبية ، لا تأتي من تلقاء نفسها ، هذه المهارة تم تطويرها بواسطة علم المنطق. المنطق علم يدرس طرق إثبات صحة أو زيف بعض الأقوال على أساس صحة أو زيف أقوال أخرى.

إن إتقان أساسيات هذا العلم مستحيل دون حل المشكلات المنطقية. يتم التحقق من تكوين المهارات لتطبيق معرفتهم في موقف جديد عن طريق المرور. على وجه الخصوص ، هذه هي القدرة على حل المشكلات المنطقية. المهام B15 في الاختبار هي مهام ذات تعقيد متزايد ، لأنها تحتوي على أنظمة من المعادلات المنطقية. هناك طرق مختلفة لحل أنظمة المعادلات المنطقية. هذا هو الاختزال إلى معادلة واحدة ، وبناء جدول الحقيقة ، والتحلل ، والحل المتسلسل للمعادلات ، إلخ.

مهمة:حل نظام المعادلات المنطقية:

انصح طريقة الاختزال لمعادلة واحدة . تتضمن هذه الطريقة تحويل المعادلات المنطقية ، بحيث تكون جوانبها اليمنى مساوية لقيمة الحقيقة (أي ، 1). للقيام بذلك ، استخدم عملية النفي المنطقي. ثم ، إذا كانت هناك عمليات منطقية معقدة في المعادلات ، فإننا نستبدلها بعمليات أساسية: "AND" ، "OR" ، "NOT". الخطوة التالية هي دمج المعادلات في واحدة ، مكافئة للنظام ، باستخدام العملية المنطقية "AND". بعد ذلك ، يجب إجراء تحويلات للمعادلة الناتجة بناءً على قوانين جبر المنطق والحصول على حل محدد للنظام.

الحل 1:طبق الانعكاس على طرفي المعادلة الأولى:

دعنا نمثل المعنى الضمني من خلال العمليات الأساسية "OR" ، "NOT":

نظرًا لأن الجوانب اليسرى من المعادلات تساوي 1 ، يمكنك دمجها باستخدام العملية "AND" في معادلة واحدة تكافئ النظام الأصلي:

نفتح القوس الأول وفقًا لقانون De Morgan ونحول النتيجة:

المعادلة الناتجة لها حل واحد:أ = 0 ، ب = 0 ، ج = 1.

الطريقة التالية هي بناء جداول الحقيقة . نظرًا لأن الكميات المنطقية لها قيمتان فقط ، يمكنك ببساطة الاطلاع على جميع الخيارات والعثور من بينها على تلك التي يرضي نظام المعادلات المحدد لها. أي أننا نبني جدول حقيقة واحدًا مشتركًا لجميع معادلات النظام ونجد خطًا بالقيم المرغوبة.

الحل 2:لنضع جدول الحقيقة للنظام:

الخط العريض هو الخط الذي يتم من أجله استيفاء شروط المشكلة. إذن أ = 0 ، ب = 0 ، ج = 1.

طريق تقسيم . الفكرة هي إصلاح قيمة أحد المتغيرات (ضعها تساوي 0 أو 1) وبالتالي تبسيط المعادلات. ثم يمكنك إصلاح قيمة المتغير الثاني ، وهكذا.

الحل 3:يترك أ = 0 ، ثم:

من المعادلة الأولى نحصل عليهاب = 0 ، ومن الثانية - С = 1. حل النظام: أ = 0 ، ب = 0 ، ج = 1.

يمكنك أيضًا استخدام الطريقة الحل المتسلسل للمعادلات ، بإضافة متغير واحد إلى المجموعة قيد الدراسة في كل خطوة. للقيام بذلك ، من الضروري تحويل المعادلات بطريقة يتم فيها إدخال المتغيرات بترتيب أبجدي. بعد ذلك ، نبني شجرة قرار ، ونضيف المتغيرات إليها بالتتابع.

تعتمد المعادلة الأولى للنظام فقط على A و B ، والمعادلة الثانية على A و C. يمكن أن يأخذ المتغير A قيمتين 0 و 1:

ويترتب على ذلك من المعادلة الأولى ، اذن متى A = 0 نحصل على B = 0 ، وبالنسبة لـ A = 1 لدينا B = 1. إذن ، للمعادلة الأولى حلين فيما يتعلق بالمتغيرين A و B.

نرسم المعادلة الثانية ، والتي نحدد منها قيم C لكل خيار. بالنسبة إلى A = 1 ، لا يمكن أن يكون المعنى خاطئًا ، أي أن الفرع الثاني من الشجرة ليس له حل. فيأ = 0 نحصل على الحل الوحيدج = 1 :

وهكذا ، حصلنا على حل النظام: أ = 0 ، ب = 0 ، ج = 1.

في الاستخدام في علوم الكمبيوتر ، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية ، دون إيجاد الحلول نفسها ، هناك أيضًا طرق معينة لذلك. الطريقة الرئيسية لإيجاد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية هي تغيير المتغيرات. أولاً ، من الضروري تبسيط كل معادلة قدر الإمكان بناءً على قوانين الجبر المنطقي ، ثم استبدال الأجزاء المعقدة من المعادلات بمتغيرات جديدة وتحديد عدد الحلول للنظام الجديد. ثم ارجع إلى البديل وحدد عدد الحلول الخاصة به.

مهمة:كم عدد الحلول المعادلة (أ → ب) + (ج → د ) = 1؟ حيث A ، B ، C ، D متغيرات منطقية.

المحلول:دعنا نقدم متغيرات جديدة: X = A → B و Y = C → D . مع الأخذ في الاعتبار المتغيرات الجديدة ، يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:س + ص = 1.

يكون الانفصال صحيحًا في ثلاث حالات: (0 ؛ 1) و (1 ؛ 0) و (1 ؛ 1) ، بينما X و Y ضمنيًا ، أي أنه صحيح في ثلاث حالات وخطأ في حالة واحدة. لذلك ، فإن الحالة (0 ؛ 1) سوف تتوافق مع ثلاث مجموعات محتملة من المعلمات. الحالة (1 ؛ 1) - سوف تتوافق مع تسع مجموعات محتملة من معلمات المعادلة الأصلية. وبالتالي ، هناك 3 + 9 = 15 حلًا ممكنًا لهذه المعادلة.

الطريقة التالية لتحديد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية هي - شجرة ثنائية. لنفكر في هذه الطريقة بمثال.

مهمة:كم عدد الحلول المختلفة التي يمتلكها نظام المعادلات المنطقية:

نظام المعادلات المعطى يعادل المعادلة:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( س م -1 → س م) = 1.

دعونا نتظاهر بذلكx 1 هذا صحيح ، ثم من المعادلة الأولى نحصل على ذلكx 2 صحيح أيضًا ، من الثانية -x 3 = 1 ، وهكذا دواليك حتى س م= 1. ومن هنا جاءت المجموعة (1 ؛ 1 ؛ ... ؛ 1) منم الوحدات هي حل النظام. دعنا الآنx 1 = 0 ، إذن من المعادلة الأولى لديناx 2 = 0 أو x 2 =1.

متي x 2 صحيح ، نحصل على أن المتغيرات الأخرى صحيحة أيضًا ، أي أن المجموعة (0 ؛ 1 ؛ ... ؛ 1) هي حل النظام. فيx 2 = 0 حصلنا على ذلك x 3 = 0 أو x 3 = ، وهكذا. بالاستمرار إلى المتغير الأخير ، نجد أن حلول المعادلة هي مجموعات المتغيرات التالية (م +1 حل في كل حلم القيم المتغيرة):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

يتضح هذا النهج جيدًا من خلال بناء شجرة ثنائية. عدد الحلول الممكنة هو عدد الفروع المختلفة للشجرة المبنية. من السهل أن نرى ذلكم + 1.

في حالة وجود صعوبات في التفكير وبناء شجرة قرار ، يمكنك البحث عن حل باستخدام جداول الحقيقة، لمعادلة واحدة أو اثنتين.

نعيد كتابة نظام المعادلات بالصيغة:

ودعنا نصنع جدول الحقيقة بشكل منفصل لمعادلة واحدة:

لنقم بعمل جدول حقيقة لمعادلتين:

بعد ذلك ، يمكنك أن ترى أن معادلة واحدة صحيحة في الحالات الثلاث التالية: (0 ؛ 0) ، (0 ؛ 1) ، (1 ؛ 1). يكون نظام المعادلتين صحيحًا في أربع حالات (0 ؛ 0 ؛ 0) ، (0 ؛ 0 ؛ 1) ، (0 ؛ 1 ؛ 1) ، (1 ؛ 1 ؛ 1). في هذه الحالة ، من الواضح على الفور أن هناك حلًا يتكون من أصفار فقط وأكثر مالحلول التي يتم فيها إضافة وحدة واحدة ، بدءًا من الموضع الأخير حتى يتم ملء جميع الأماكن الممكنة. يمكن افتراض أن الحل العام سيكون له نفس الشكل ، ولكن لكي يصبح مثل هذا النهج حلاً ، يلزم إثبات صحة الافتراض.

بتلخيص كل ما سبق ، أود أن ألفت الانتباه إلى حقيقة أنه ليست كل الطرق المدروسة عالمية. عند حل كل نظام من المعادلات المنطقية ، يجب أن تؤخذ ميزاته في الاعتبار ، والتي على أساسها يجب اختيار طريقة الحل.

المؤلفات:

1. المهام المنطقية / O.B. بوغومولوف - الطبعة الثانية. - م: بينوم. معمل المعرفة 2006. - 271 ص: مريض.

2. بولياكوف ك. نظم المعادلات المنطقية / جريدة تربوية ومنهجية لمعلمي علوم الحاسوب: المعلوماتية العدد 14 ، 2011

موضوع الدرس: حل المعادلات المنطقية

التعليمية - تهيئة الظروف لتنمية الاهتمام المعرفي للطلاب ، وتعزيز تنمية الذاكرة والانتباه والتفكير المنطقي ؛

تعليمي : المساهمة في تثقيف القدرة على الاستماع لآراء الآخرين ،تعليم الإرادة والمثابرة لتحقيق النتائج النهائية.

نوع الدرس: درس مشترك

معدات: الكمبيوتر ، جهاز عرض الوسائط المتعددة ، العرض التقديمي 6.

خلال الفصول

التكرار وتحديث المعرفة الأساسية. فحص الواجب المنزلي (10 دقائق).

في الدروس السابقة ، تعرفنا على القوانين الأساسية لجبر المنطق ، وتعلمنا كيفية استخدام هذه القوانين لتبسيط التعابير المنطقية.

دعنا نتحقق من الواجب المنزلي لتبسيط التعبيرات المنطقية:

1. أي من الكلمات التالية يستوفي الشرط المنطقي:

(الحرف الساكن الأول ← الحرف الساكن الثاني)٨ (حرف العلة الأخير → حرف العلة قبل الأخير)؟ إذا كانت هناك عدة كلمات من هذا القبيل ، فاذكر أصغرها.

1) آنا 2) ماريا 3) أوليغ 4) ستيبان

دعونا نقدم التدوين:

A هو الحرف الأول من الحرف الساكن

B هو الحرف الثاني من الحرف الساكن

S هو حرف العلة الأخير

د - حرف العلة قبل الأخير

لنقدم تعبيرًا:

لنصنع طاولة:

2. حدد التعبير المنطقي الذي يعادل التعبير

لنبسط كتابة التعبير الأصلي والخيارات المقترحة:

3. تم تقديم جزء من جدول الحقيقة للتعبير F:

دعنا نحدد قيم هذه التعبيرات للقيم المحددة للوسيطات:

التعرف على موضوع الدرس ، وتقديم مواد جديدة (30 دقيقة)

نواصل دراسة أساسيات المنطق وموضوع درسنا اليوم "حل المعادلات المنطقية". بعد دراسة هذا الموضوع ، ستتعلم الطرق الأساسية لحل المعادلات المنطقية ، واكتساب المهارات اللازمة لحل هذه المعادلات باستخدام لغة الجبر المنطقي والقدرة على تكوين تعبير منطقي على جدول الحقيقة.

1. حل المعادلة المنطقية

(¬K م) → (¬L م N) = 0

اكتب إجابتك في شكل سلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات K و L و M و N (بهذا الترتيب). لذلك ، على سبيل المثال ، يتوافق السطر 1101 مع K = 1 ، L = 1 ، M = 0 ، N = 1.

المحلول:

دعونا نحول التعبير(¬K  م) → (¬L  م  ن)

يكون التعبير خطأ عندما يكون كلا المصطلحين خطأ. المصطلح الثاني يساوي 0 إذا كان M = 0 ، N = 0 ، L = 1. في المصطلح الأول ، K = 0 ، منذ M = 0 ، و
.

الجواب: 0100

2. كم عدد الحلول التي تحتويها المعادلة (حدد فقط الرقم في إجابتك)؟

الحل: قم بتحويل التعبير

(أ + ب) * (ج + د) = 1

أ + ب = 1 ، ج + د = 1

الطريقة الثانية: تجميع جدول الحقيقة

دعنا نحول التعبير الأصلي ، ونفتح الأقواس من أجل فصل وصلات العطف:

(أ + ب) * (ج + د) = أ * ج + ب * ج + أ * د + ب * د =

دعنا نكمل أدوات العطف لإكمال روابط العطف (حاصل ضرب كل الوسيطات) ، افتح الأقواس:

ضع في اعتبارك نفس عمليات الاقتران:

نتيجة لذلك ، نحصل على SDNF يحتوي على 9 اقترانات. لذلك ، يحتوي جدول الحقيقة لهذه الوظيفة على قيمة 1 في 9 صفوف من 2 4 = 16 مجموعة من القيم المتغيرة.

3. كم عدد الحلول التي تحتويها المعادلة (حدد فقط الرقم في إجابتك)؟

لنبسط التعبير:

,

3 طريقة: بناء SDNF

ضع في اعتبارك نفس عمليات الاقتران:

نتيجة لذلك ، نحصل على SDNF يحتوي على 5 اقترانات. لذلك ، يحتوي جدول الحقيقة لهذه الوظيفة على قيمة 1 في 5 صفوف من 2 4 = 16 مجموعة من القيم المتغيرة.

بناء تعبير منطقي وفقًا لجدول الحقيقة:

لكل صف من جدول الحقيقة يحتوي على 1 ، نقوم بتكوين ناتج الوسيطات ، ويتم تضمين المتغيرات التي تساوي 0 في المنتج مع النفي ، والمتغيرات التي تساوي 1 - بدون نفي. سوف يتكون التعبير المطلوب F من مجموع المنتجات التي تم الحصول عليها. ثم ، إذا أمكن ، يجب تبسيط هذا التعبير.

مثال: يتم إعطاء جدول الحقيقة للتعبير. بناء تعبير منطقي.

3. الواجب المنزلي (5 دقائق)

حل المعادلة:

كم عدد الحلول التي تحتويها المعادلة (أجب فقط على الرقم)؟

وفقًا لجدول الحقيقة المقدم ، قم بعمل تعبير منطقي و

تبسيطها.

كيفية حل بعض المشكلات في القسمين "أ" و "ب" من اختبار علوم الكمبيوتر

رقم الدرس 3. المنطق. وظائف المنطق. حل المعادلات

يتم تخصيص عدد كبير من مهام الاستخدام لمنطق المقترحات. لحل معظمها ، يكفي معرفة القوانين الأساسية لمنطق الافتراض ، ومعرفة جداول الحقيقة للوظائف المنطقية لمتغير واحد ومتغيرين. سأقدم القوانين الأساسية لمنطق الافتراض.

1. تبادلية الانفصال والاقتران:
   أ ، ب ، ب ، أ
   أ ^ ب ≡ ب ^ أ
2. قانون التوزيع فيما يتعلق بالانفصال والاقتران:
   أ ˅ (ب ^ ج) ≡ (أ ˅ ب) ^ (أ ˅ ج)
   أ ^ (ب ˅ ج) ≡ (أ ^ ب) ˅ (أ ^ ج)
3. نفي سلبي:
   ¬ (a) ≡ أ
4. التناسق:
   أ ^ ¬a ≡ خطأ
5. الثالث الحصري:
   أ ˅ أ صحيح
6. قوانين دي مورغان:
   ¬ (أ ˅ ب) ≡ ¬ أ ب
   ¬ (أ ˄ ب) ≡ ¬ أ ب
7. تبسيط:
   أ ˄ أ ≡ أ
   أ ˅ أ ≡ أ
   أ ˄ صحيح أ
   أ ˄ خطأ ≡ خطأ
8. استيعاب:
   أ ˄ (أ ˅ ب) ≡ أ
   أ ˅ (أ ˄ ب) ≡ أ
9. استبدال التضمين
   أ → ب ≡ ¬a ˅ ب
10. تغيير الهوية
    أ ≡ ب ≡ (أ ˄ ب) ˅ (¬a ˄ ب)

تمثيل الوظائف المنطقية

يمكن تعريف أي دالة منطقية لمتغيرات n - F (x 1، x 2، ... x n) بواسطة جدول الحقيقة. يحتوي هذا الجدول على مجموعتين من المتغيرات ، يتم تحديد قيمة الوظيفة في هذه المجموعة لكل منها. هذه الطريقة جيدة عندما يكون عدد المتغيرات صغيرًا نسبيًا. حتى بالنسبة لـ n> 5 ، يصبح التمثيل ضعيفًا.

هناك طريقة أخرى لتعريف الوظيفة من خلال بعض الصيغ ، باستخدام دوال بسيطة إلى حد ما معروفة. يُطلق على نظام الوظائف (f 1، f 2،… f k) اسم كامل إذا كان من الممكن التعبير عن أي دالة منطقية بواسطة صيغة تحتوي فقط على الوظائف f i.

اكتمل نظام الوظائف (¬ ، ˄ ، ˅). القانونان 9 و 10 هما مثالان على كيفية التعبير عن التضمين والهوية من خلال النفي والاقتران والفصل.

في الواقع ، نظام وظيفتين كامل أيضًا - النفي والاقتران أو النفي والفصل. تأتي الإقرارات من قوانين De Morgan التي تسمح بالتعبير عن اقتران من خلال النفي والفصل ، وبالتالي التعبير عن الانفصال من خلال النفي والاقتران:

(أ ˅ ب) ≡ ¬ (¬a ˄ b)
(أ ˄ ب) ≡ ¬ (¬a ˅ b)

ومن المفارقات أن نظامًا يتألف من وظيفة واحدة فقط مكتمل. هناك وظيفتان ثنائيتان - مضاد التقاطع ومضاد للانفصال ، يُطلق عليهما سهم بيرس وسكتة شيفر ، ويمثلان نظامًا مجوفًا.

تتضمن الوظائف الأساسية للغات البرمجة عادةً الهوية والنفي والاقتران والفصل. في مهام الامتحان ، إلى جانب هذه الوظائف ، غالبًا ما يكون هناك تأثير ضمني.

دعونا نلقي نظرة على بعض المهام البسيطة المتعلقة بالوظائف المنطقية.

المهمة 15:

يتم إعطاء جزء من جدول الحقيقة. أي من الوظائف الثلاث المعطاة تتوافق مع هذا الجزء؟

1. (X 1 → X 2) ˄ ¬ X 3 ˅ X 4
2. (¬X 1 ˄ X 2) ˅ (X 3 ˄ X 4)
3. ¬ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

رقم الميزة 3.

لحل المشكلة ، تحتاج إلى معرفة جداول الحقيقة للوظائف الأساسية وتذكر أولويات العمليات. دعني أذكرك أن الاقتران (الضرب المنطقي) له أولوية أعلى ويتم إجراؤه قبل الفصل (إضافة منطقية). عند الحساب ، من السهل رؤية أن الوظائف ذات الأرقام 1 و 2 في المجموعة الثالثة لها القيمة 1 ولهذا السبب لا تتوافق مع الجزء.

المهمة 16:

أي من الأرقام التالية يستوفي الشرط:

(الأرقام ، بدءًا من الرقم الأكثر أهمية ، انتقل بترتيب تنازلي) → (رقم - زوجي) ˄ (أدنى رقم - زوجي) ˄ (أعلى رقم - فردي)

إذا كان هناك العديد من هذه الأرقام ، فقم بالإشارة إلى أكبرها.

1. 13579
2. 97531
3. 24678
4. 15386

يتم استيفاء الشرط من خلال الرقم 4.

أول رقمين لا يستوفيان الشرط لأن أدنى رقم فردي. يكون اقتران الشروط خاطئًا إذا كان أحد شروط أداة العطف خاطئًا. بالنسبة للرقم الثالث ، لم يتم استيفاء شرط الرقم الأعلى. بالنسبة للرقم الرابع ، يتم استيفاء الشروط المفروضة على الخانات الصغيرة والكبيرة من الرقم. المصطلح الأول من أداة الاقتران صحيح أيضًا ، لأن الضمني يكون صحيحًا إذا كانت فرضيته خاطئة ، وهذا هو الحال هنا.

المشكلة 17: شهد شاهدان على النحو التالي:

الشاهد الأول: إذا كان "أ" مذنباً ، فإن "ب" مذنب بالتأكيد ، وج "بريء".

الشاهد الثاني: اثنان مذنبان. وواحد من المتبقين هو بالتأكيد مذنب ومذنب ، لكن لا يمكنني تحديد من بالضبط.

ما هي الاستنتاجات حول ذنب "أ" و "ب" و "ج" التي يمكن استخلاصها من الأدلة؟

الجواب: يستنتج من الشهادة أن (أ) و (ب) مذنبان و (ج) بريء.

الحل: بالطبع ، يمكن إعطاء الإجابة على أساس الفطرة السليمة. لكن دعونا نلقي نظرة على كيفية القيام بذلك بشكل صارم ورسمي.

أول شيء يجب القيام به هو إضفاء الطابع الرسمي على البيانات. دعنا نقدم ثلاثة متغيرات منطقية ، A و B و C ، كل منها صحيح (1) إذا كان المشتبه به المقابل مذنبًا. ثم تُعطى شهادة الشاهد الأول بالصيغة:

أ → (ب ، ¬ ج)

تُعطى شهادة الشاهد الثاني بالصيغة:

أ ˄ ((ب ˄ ¬ ج) ˅ (ب ج))

يُفترض أن شهادات كلا الشاهدين صحيحة وتمثل اقتران الصيغ المقابلة.

دعونا نبني جدول الحقيقة لهذه القراءات:

الدليل الموجز صحيح في حالة واحدة فقط ، مما يؤدي إلى إجابة واضحة - A و B مذنبان و C بريء.

ويترتب على تحليل هذا الجدول أيضًا أن شهادة الشاهد الثاني مفيدة أكثر. من صحة شهادته ، يتبعه خياران محتملان فقط - A و B مذنبان ، و C بريء ، أو A و C مذنبان ، و B بريء. شهادة الشاهد الأول أقل إفادة - هناك 5 خيارات مختلفة تتوافق مع شهادته. تقدم شهادات الشاهدين معًا إجابة لا لبس فيها حول ذنب المشتبه بهم.

المعادلات المنطقية وأنظمة المعادلات

لنفترض أن F (x 1، x 2،… x n) دالة منطقية لمتغيرات n. المعادلة المنطقية هي:

F (x 1 ، x 2 ، ... x n) \ u003d C ،

الثابت C له القيمة 1 أو 0.

يمكن أن تحتوي المعادلة المنطقية على من 0 إلى 2 ن حلول مختلفة. إذا كانت C تساوي 1 ، فإن الحلول هي كل مجموعات المتغيرات من جدول الحقيقة حيث تأخذ الدالة F القيمة true (1). المجموعات المتبقية هي حلول معادلة C تساوي صفرًا. يمكننا دائمًا اعتبار المعادلات من النموذج فقط:

F (x 1، x 2،… x n) = 1

في الواقع ، دع المعادلة تعطى:

F (x 1، x 2،… x n) = 0

في هذه الحالة ، يمكنك الانتقال إلى المعادلة المكافئة:

¬F (x 1، x 2،… x n) = 1

ضع في اعتبارك نظام من المعادلات المنطقية k:

F 1 (x 1 ، x 2 ، ... x n) \ u003d 1

F 2 (x 1، x 2، ... x n) \ u003d 1

و ك (س 1 ، س 2 ، ... س ن) = 1

حل النظام عبارة عن مجموعة من المتغيرات التي يتم استيفاء جميع معادلات النظام عليها. من حيث الوظائف المنطقية ، للحصول على حل لنظام المعادلات المنطقية ، يجب على المرء أن يجد مجموعة تكون فيها الوظيفة المنطقية Ф صحيحة ، والتي تمثل اقتران الوظائف الأصلية F:

Ф = F 1 ˄ F 2 ˄… F ك

إذا كان عدد المتغيرات صغيرًا ، على سبيل المثال ، أقل من 5 ، فليس من الصعب إنشاء جدول حقيقة للوظيفة Ф ، والذي يسمح لك بتحديد عدد الحلول التي يمتلكها النظام وما هي المجموعات التي تقدم الحلول.

في بعض مهام اختبار الدولة الموحد لإيجاد حلول لنظام المعادلات المنطقية ، يصل عدد المتغيرات إلى قيمة 10. ثم يصبح بناء جدول الحقيقة مهمة غير قابلة للحل تقريبًا. يتطلب حل المشكلة مقاربة مختلفة. بالنسبة لنظام المعادلات التعسفي ، لا توجد طريقة عامة ، بخلاف التعداد ، تسمح بحل مثل هذه المشكلات.

في المشاكل المقترحة في الاختبار ، عادة ما يعتمد الحل على مراعاة خصوصيات نظام المعادلات. أكرر ، بصرف النظر عن تعداد جميع المتغيرات لمجموعة من المتغيرات ، لا توجد طريقة عامة لحل المشكلة. يجب أن يتم بناء الحل على أساس تفاصيل النظام. غالبًا ما يكون من المفيد إجراء تبسيط أولي لنظام المعادلات باستخدام قوانين المنطق المعروفة. طريقة أخرى مفيدة لحل هذه المشكلة هي كما يلي. لسنا مهتمين بجميع المجموعات ، ولكن فقط تلك التي تحتوي على الوظيفة Ф القيمة 1. بدلاً من إنشاء جدول حقيقة كامل ، سنبني نظيرتها - شجرة قرار ثنائية. يتوافق كل فرع من فروع هذه الشجرة مع حل واحد ويحدد مجموعة يكون فيها للدالة Ф القيمة 1. يتطابق عدد الفروع في شجرة القرار مع عدد الحلول لنظام المعادلات.

ما هي شجرة القرار الثنائية وكيف يتم بناؤها ، سأشرح بأمثلة للعديد من المهام.

المشكلة 18

كم عدد مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات المنطقية x1 ، x2 ، x3 ، x4 ، x5 ، y1 ، y2 ، y3 ، y4 ، y5 التي تحقق نظامًا من معادلتين؟

الإجابة: يحتوي النظام على 36 حلاً مختلفًا.

الحل: يتضمن نظام المعادلات معادلتين. لنجد عدد الحلول للمعادلة الأولى ، اعتمادًا على 5 متغيرات - x 1 ، x 2 ، ... x 5. يمكن اعتبار المعادلة الأولى بدورها نظامًا من 5 معادلات. كما هو موضح ، يمثل نظام المعادلات في الواقع اقترانًا للوظائف المنطقية. العبارة العكسية صحيحة أيضًا - يمكن اعتبار اقتران الشروط كنظام معادلات.

لنقم ببناء شجرة قرار للتضمين (x1 → x2) ، المصطلح الأول للارتباط ، والذي يمكن اعتباره المعادلة الأولى. إليك ما يبدو عليه التمثيل الرسومي لهذه الشجرة:

تتكون الشجرة من مستويين حسب عدد المتغيرات في المعادلة. يصف المستوى الأول المتغير الأول X 1. يعكس فرعين من هذا المستوى القيم المحتملة لهذا المتغير - 1 و 0. في المستوى الثاني ، تعكس فروع الشجرة فقط تلك القيم الممكنة للمتغير X 2 الذي تأخذ المعادلة القيمة الحقيقية له. نظرًا لأن المعادلة تحدد ضمنيًا ، فإن الفرع الذي يحتوي X 1 على القيمة 1 يتطلب أن X 2 لها القيمة 1 على هذا الفرع. الفرع الذي يحتوي X 1 على القيمة 0 يولد فرعين بقيم X 2 تساوي 0 و 1 تحدد الشجرة المُنشأة ثلاثة حلول ، حيث يأخذ الضمني X 1 → X 2 القيمة 1. في كل فرع ، يتم كتابة مجموعة القيم المقابلة للمتغيرات ، مما يعطي الحل للمعادلة.

هذه المجموعات هي: ((1 ، 1) ، (0 ، 1) ، (0 ، 0))

دعنا نواصل بناء شجرة القرار بإضافة المعادلة التالية ، المعنى التالي X 2 → X 3. خصوصية نظام المعادلات لدينا هي أن كل معادلة جديدة للنظام تستخدم متغيرًا واحدًا من المعادلة السابقة ، مضيفًا متغيرًا واحدًا جديدًا. نظرًا لأن المتغير X 2 يحتوي بالفعل على قيم في الشجرة ، ثم في جميع الفروع حيث يكون للمتغير X 2 القيمة 1 ، فإن المتغير X 3 سيكون له أيضًا القيمة 1. بالنسبة لمثل هذه الفروع ، يستمر بناء الشجرة في المستوى التالي ، ولكن لا تظهر فروع جديدة. الفرع الوحيد حيث يكون للمتغير X 2 القيمة 0 سيعطي فرعًا إلى فرعين ، حيث سيحصل المتغير X 3 على القيم 0 و 1. وبالتالي ، فإن كل إضافة لمعادلة جديدة ، نظرًا لخصوصيتها ، تضيف واحدًا المحلول. المعادلة الأولى الأصلية:

(x1 → x2) / \ (x2 → x3) / \ (x3 → x4) / \ (x4 → x5) = 1
لديه 6 حلول. إليك ما تبدو عليه شجرة القرار الكاملة لهذه المعادلة:

المعادلة الثانية لنظامنا تشبه الأولى:

(y1 → y2) / \ (y2 → y3) / \ (y3 → y4) / \ (y4 → y5) = 1

الاختلاف الوحيد هو أن المعادلة تستخدم متغيرات Y. لهذه المعادلة أيضًا 6 حلول. نظرًا لأنه يمكن دمج كل حل متغير X i مع كل حل متغير Y j ، فإن إجمالي عدد الحلول هو 36.

لاحظ أن شجرة القرار المُنشأة لا تقدم فقط عدد الحلول (وفقًا لعدد الفروع) ، ولكن أيضًا الحلول نفسها ، المكتوبة على كل فرع من فروع الشجرة.

المشكلة 19

كم عدد مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات المنطقية x1 ، x2 ، x3 ، x4 ، x5 ، y1 ، y2 ، y3 ، y4 ، y5 التي تفي بجميع الشروط التالية؟

(x1 → x2) / \ (x2 → x3) / \ (x3 → x4) / \ (x4 → x5) = 1
(y1 → y2) / \ (y2 → y3) / \ (y3 → y4) / \ (y4 → y5) = 1
(x1 → y1) = 1

هذه المهمة هي تعديل للمهمة السابقة. الفرق هو أنه تمت إضافة معادلة أخرى تتعلق بمتغيري X و Y.

من المعادلة X 1 → Y 1 ، يترتب على ذلك أنه عندما يكون لدى X 1 القيمة 1 (يوجد حل واحد من هذا القبيل) ، فإن Y 1 له القيمة 1. وبالتالي ، هناك مجموعة واحدة فيها X 1 و Y 1 لها القيم 1. عندما تكون X 1 تساوي 0 ، يمكن أن يكون لـ Y 1 أي قيمة ، كلاهما 0 و 1. لذلك ، كل مجموعة مع X 1 تساوي 0 ، وهناك 5 مجموعات من هذا القبيل ، تتوافق مع جميع المجموعات الست ذات المتغيرات Y. لذلك ، العدد الإجمالي للحلول هو 31.

المشكلة 20

(¬X 1 ˅ X 2) ˄ (X 2 ˅ X 3) ˄ (¬X 3 ˅ X 4) ˄ (¬X 4 ˅ X 5) ˄ (¬X 5 X 1) = 1

الحل: تذكر المعادلة الأساسية ، نكتب معادلتنا على النحو التالي:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 5) ˄ (X 5 → X 1) = 1

تعني سلسلة المضامين الدورية أن المتغيرات متطابقة ، لذا فإن معادلتنا تكافئ:

X 1 ≡ X 2 ≡ X 3 ≡ X 4 ≡ X 5 = 1

تحتوي هذه المعادلة على حلين عندما تكون كل X i إما 1 أو 0.

المشكلة 21

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 2) ˄ (X 4 → X 5) = 1

الحل: كما هو الحال في المسألة 20 ، ننتقل من الآثار الدورية إلى الهويات بإعادة كتابة المعادلة بالصيغة:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 ≡ X 3 ≡ X 4) ˄ (X 4 → X 5) = 1

لنقم ببناء شجرة قرار لهذه المعادلة:

المشكلة 22

كم عدد الحلول الموجودة في نظام المعادلات التالي؟

((× 1X 2) ˄ (X 3 ≡X 4)) ˅ (¬ (× 1X 2) ˄ ¬ (X 3 ≡X4)) = 0

((X 3 ≡× 4) ˄ (X5 ≡X 6)) ˅ (¬ (X 3 ≡× 4) ˄ ¬ (X5 ≡X 6)) = 0

((X5 ≡X 6) ˄ (X 7X 8)) ˅ (¬ (X5 ≡× 6) ˄ ¬ (X 7X8)) = 0

((X 7X 8) ˄ (X9 ≡X 10)) ˅ (¬ (X 7× 8) ˄ ¬ (X9 ≡X10)) = 0

الجواب: 64

الحل: دعنا ننتقل من 10 متغيرات إلى 5 متغيرات عن طريق إدخال التغيير التالي في المتغيرات:

ص 1 = (س 1 ≡ × 2) ؛ ص 2 \ u003d (X 3 ≡ X 4) ؛ ص 3 = (س 5 × 6) ؛ ص 4 \ u003d (X 7 ≡ X 8) ؛ Y 5 \ u003d (X 9 ≡ X 10) ؛

ثم تأخذ المعادلة الأولى الشكل:

(Y 1 ˄ Y 2) ˅ (¬Y 1 ¬Y 2) = 0

يمكن تبسيط المعادلة بكتابتها على النحو التالي:

(ص 1 ≡ ص 2) = 0

بالانتقال إلى النموذج التقليدي ، نكتب النظام بعد التبسيط بالشكل:

¬ (ص 1 ≡ ص 2) = 1

¬ (ص 2 ≡ ص 3) = 1

¬ (ص 3 ≡ ص 4) = 1

¬ (ص 4 ≡ ص 5) = 1

شجرة القرار لهذا النظام بسيطة وتتكون من فرعين بقيم متغيرة بديلة:

بالعودة إلى متغيرات X الأصلية ، لاحظ أن كل قيمة للمتغير Y تتوافق مع قيمتين من متغيرات X ، لذا فإن كل حل في المتغيرات Y يولد 2 5 حلاً في متغيرات X. ينتج عن فرعين 2 * 2 5 حلاً ، إذن إجمالي عدد الحلول هو 64.

كما ترى ، تتطلب كل مهمة لحل نظام المعادلات منهجها الخاص. الحيلة الشائعة هي إجراء تحويلات مكافئة لتبسيط المعادلات. الأسلوب الشائع هو بناء أشجار القرار. يشبه النهج المطبق جزئيًا بناء جدول الحقيقة بخصوصية أنه لا يتم إنشاء جميع مجموعات القيم المحتملة للمتغيرات ، ولكن فقط تلك التي تأخذ فيها الوظيفة القيمة 1 (صواب). في كثير من الأحيان في المشاكل المقترحة ليست هناك حاجة لبناء شجرة قرار كاملة ، لأنه بالفعل في المرحلة الأولية من الممكن تحديد انتظام ظهور الفروع الجديدة في كل مستوى تالي ، كما تم القيام به ، على سبيل المثال ، في المشكلة 18 .

بشكل عام ، تعتبر مشاكل إيجاد حلول لنظام المعادلات المنطقية تمارين رياضية جيدة.

إذا كان من الصعب حل المشكلة يدويًا ، فيمكنك تكليف الكمبيوتر بحل المشكلة عن طريق كتابة برنامج مناسب لحل المعادلات وأنظمة المعادلات.

من السهل كتابة مثل هذا البرنامج. مثل هذا البرنامج سوف يتعامل بسهولة مع جميع المهام المعروضة في الامتحان.

من الغريب أن مهمة إيجاد حلول لأنظمة المعادلات المنطقية صعبة أيضًا على الكمبيوتر ، فقد اتضح أن الكمبيوتر له حدوده. يمكن للكمبيوتر التعامل بسهولة مع المهام التي يكون فيها عدد المتغيرات 20-30 ، لكنه سيبدأ في التفكير لفترة طويلة في المهام الأكبر. النقطة المهمة هي أن الدالة 2 n التي تحدد عدد المجموعات هي الأس الذي ينمو بسرعة مع n. سريع جدًا لدرجة أن الكمبيوتر الشخصي العادي لا يمكنه التعامل مع مهمة تحتوي على 40 متغيرًا في اليوم.

برنامج C # لحل المعادلات المنطقية

من المفيد كتابة برنامج لحل المعادلات المنطقية لأسباب عديدة ، وذلك فقط لأنه يمكن استخدامه للتحقق من صحة الحل الخاص بك لمشاكل اختبار الاستخدام. سبب آخر هو أن مثل هذا البرنامج هو مثال ممتاز لمشكلة البرمجة التي تفي بمتطلبات مشاكل الفئة C في الاستخدام.

إن فكرة إنشاء برنامج بسيطة - فهي تستند إلى تعداد كامل لجميع المجموعات الممكنة من القيم المتغيرة. نظرًا لأن عدد المتغيرات n معروف بمعادلة منطقية معينة أو نظام معادلات ، فإن عدد المجموعات معروف أيضًا - 2 n التي يجب فرزها. باستخدام الوظائف الأساسية للغة C # - النفي والفصل والاقتران والهوية ، من السهل كتابة برنامج يقوم ، لمجموعة معينة من المتغيرات ، بحساب قيمة دالة منطقية تقابل معادلة منطقية أو نظام معادلات.

في مثل هذا البرنامج ، تحتاج إلى بناء دورة بعدد المجموعات ، في جسم الدورة ، بعدد المجموعة ، وتشكيل المجموعة نفسها ، وحساب قيمة الوظيفة في هذه المجموعة ، وإذا كانت هذه القيمة تساوي 1 ، ثم تعطي المجموعة حلاً للمعادلة.

ترتبط الصعوبة الوحيدة التي تنشأ في تنفيذ البرنامج بمهمة تكوين مجموعة القيم المتغيرة نفسها بواسطة الرقم المحدد. يكمن جمال هذه المهمة في أن هذه المهمة التي تبدو صعبة ، في الواقع ، ترجع إلى مهمة بسيطة نشأت بالفعل بشكل متكرر. في الواقع ، يكفي أن نفهم أن مجموعة قيم المتغيرات المقابلة للرقم i ، والتي تتكون من الأصفار والآحاد ، تمثل التمثيل الثنائي للرقم i. لذا فإن المهمة المعقدة المتمثلة في الحصول على مجموعة من قيم المتغيرات بواسطة الرقم المحدد يتم تقليلها إلى المشكلة المعروفة المتمثلة في تحويل رقم إلى نظام ثنائي.

هذه هي الطريقة التي تبدو بها وظيفة C # التي تحل مشكلتنا:

///

///

/// دالة منطقية - طريقة ،

/// الذي تم تعيين توقيعه بواسطة مفوض DF

///

/// عدد المتغيرات

/// عدد الحلول

ثابت int SolveEquations (DF fun، int n)

مجموعة منطقية = منطقية جديدة [n] ؛

int m = (int) Math.Pow (2، n) ؛ // عدد المجموعات

int p = 0 ، q = 0 ، k = 0 ؛

// العد الكامل بعدد المجموعات

لـ (int i = 0 ؛ i< m; i++)

// تشكيل المجموعة التالية - المجموعة ،

// معطى بالتمثيل الثنائي للرقم i

لـ (int j = 0 ؛ j< n; j++)

k = (int) Math.Pow (2، j) ؛

// حساب قيمة الوظيفة في المجموعة

لفهم البرنامج أتمنى أن يكتفي بشرح فكرة البرنامج والتعليقات في نصه. سوف أسهب فقط في شرح عنوان الوظيفة المذكورة أعلاه. تحتوي الدالة SolveEquations على معلمتين للإدخال. تحدد معلمة fun وظيفة منطقية تتوافق مع المعادلة أو نظام المعادلات التي يتم حلها. تحدد المعلمة n عدد المتغيرات في دالة المرح. نتيجة لذلك ، تُرجع الدالة SolveEquations عدد حلول الدالة المنطقية ، أي عدد المجموعات التي يتم تقييم الدالة على أساسها على أنها صحيحة.

بالنسبة لأطفال المدارس ، من المعتاد أن تكون معلمة الإدخال x في بعض الوظائف F (x) متغيرًا من النوع الحسابي أو السلسلة أو المنطقية. في حالتنا ، يتم استخدام تصميم أكثر قوة. تشير دالة SolveEquations إلى وظائف ذات ترتيب أعلى - وظائف من النوع F (f) ، والتي لا يمكن أن تكون معلماتها متغيرات بسيطة فحسب ، بل وظائف أيضًا.

يتم تعريف فئة الوظائف التي يمكن تمريرها كمعامل لوظيفة SolveEquations على النحو التالي:

مندوب منطقي DF (bool vars) ؛

تتضمن هذه الفئة جميع الوظائف التي تم تمريرها كمعامل مجموعة من قيم المتغيرات المنطقية المحددة بواسطة مصفوفة vars. والنتيجة هي قيمة منطقية تمثل قيمة الوظيفة في هذه المجموعة.

في الختام ، سأقدم برنامجًا تُستخدم فيه وظيفة SolveEquations لحل العديد من أنظمة المعادلات المنطقية. دالة SolveEquations هي جزء من فئة ProgramCommon التالية:

برنامج الفصل

مندوب منطقي DF (bool vars) ؛

ثابت الفراغ الرئيسي (سلسلة args)

Console.WriteLine ("الوظيفة والحلول -" +

حل المعادلات (FunAnd ، 2)) ؛

Console.WriteLine ("الوظيفة لها 51 حلًا -" +

حل المعادلات (Fun51، 5)) ؛

Console.WriteLine ("الوظيفة بها 53 حلًا -" +

حل المعادلات (Fun53 ​​، 10)) ؛

ثابت منطقي FunAnd (بول فارز)

عودة vars && vars؛

ثابت منطقي Fun51 (فارز منطقي)

f = f && (! vars || vars) ؛

f = f && (! vars || vars) ؛

f = f && (! vars || vars) ؛

f = f && (! vars || vars) ؛

f = f && (! vars || vars) ؛

ثابت منطقي Fun53 ​​(فارز منطقي)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars)) ؛

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars)) ؛

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars)) ؛

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars)) ؛

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars)) ؛

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars)) ؛

f = f && (! ((vars == vars) || (vars == vars))) ؛

إليك ما تبدو عليه نتائج الحل لهذا البرنامج:

10 مهام للعمل المستقل

1. أي من الوظائف الثلاث متكافئة:
   1. (X → Y) ˅ ¬Y
   2. ¬ (X ˅ ¬Y) ˄ (X → ¬Y)
   3. ¬X ˄ Y
2. تم تقديم جزء من جدول الحقيقة:

أي من الوظائف الثلاث تتوافق مع هذا الجزء:

1. (X 1 ˅ ¬X 2) ˄ (X 3 → X 4)
2. (X 1 → X 3) ˄ X 2 ˅ X 4
3. X 1 ˄ X 2 ˅ (X 3 → (X 1 ˅ X 4))
4. هيئة المحلفين تتكون من ثلاثة أشخاص. يتم اتخاذ القرار إذا صوت له رئيس لجنة التحكيم ، مدعومًا بواحد على الأقل من أعضاء لجنة التحكيم. خلاف ذلك ، لم يتم اتخاذ أي قرار. بناء وظيفة منطقية تضفي الطابع الرسمي على عملية صنع القرار.
5. يفوز X على Y إذا ظهرت أربع دفعات من العملات على الوجه ثلاث مرات. حدد دالة منطقية تصف العائد X.
6. يتم ترقيم الكلمات في الجملة بدءًا من واحد. تعتبر الجملة جيدة التشكيل إذا تم استيفاء القواعد التالية:
   1. إذا انتهت الكلمة المرقمة الزوجية بحرف متحرك ، فيجب أن تبدأ الكلمة التالية ، إن وجدت ، بحرف متحرك.
   2. إذا انتهت الكلمة المرقمة الفردية بحرف ساكن ، فيجب أن تبدأ الكلمة التالية ، إن وجدت ، بحرف ساكن وتنتهي بحرف متحرك.
      أي الجمل التالية صحيحة:
   3. تغسل أمي ماشا بالصابون.
   4. القائد دائما نموذج.
   5. الحقيقة جيدة ، لكن السعادة أفضل.
7. كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة:
   (أ ˄ ¬ ب) ˅ (¬a ˄ ب) → (ج ˄ د) = 1
8. ضع قائمة بجميع حلول المعادلة:
   (أ → ب) → ج = 0
9. كم عدد الحلول التي يمتلكها نظام المعادلات التالي:
   X 0 → X 1 ˄ X 1 → X 2 = 1
   X 2 → X 3 ˄ X 3 → X 4 = 1
   X 5 → X 6 ˄ X 6 → X 7 = 1
   X 7 ← X 8 ˄ X 8 ← X 9 = 1
   X 0 → X 5 = 1
10. كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة:
    ((((X 0 → X 1) → X 2) → X 3) → X 4) → X 5 = 1

إجابات على المهام:

1. الوظائف b و c متكافئة.
2. الجزء يتوافق مع الوظيفة ب.
3. دع المتغير المنطقي P يأخذ القيمة 1 عندما يصوت رئيس لجنة التحكيم "لصالح" القرار. يمثل المتغيران M 1 و M 2 رأي أعضاء لجنة التحكيم. يمكن كتابة الوظيفة المنطقية التي تحدد اعتماد قرار إيجابي على النحو التالي:
   ف ˄ (م 1 ˅ م 2)
4. دع المتغير المنطقي P i يأخذ القيمة 1 عندما تظهر عملة i-th بشكل رأسي. يمكن كتابة الوظيفة المنطقية التي تحدد العائد X على النحو التالي:
   ¬ ((P 1 ˄ (P 2 ˅ ¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
   (¬P 2 ˄ (P 3 ˅ P 4)) ˅
   (P 3 ˄ ¬P 4))
5. عرض ب.
6. تحتوي المعادلة على 3 حلول: (أ = 1 ؛ ب = 1 ؛ ج = 0) ؛ (أ = 0 ؛ ب = 0 ؛ ج = 0) ؛ (أ = 0 ؛ ب = 1 ؛ ج = 0)