حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ، طرق الحل ، الأمثلة. أوجد الحل العام للنظام و fsr

الطريقة الغاوسية لها عدد من العيوب: من المستحيل معرفة ما إذا كان النظام متسقًا أم لا حتى يتم تنفيذ جميع التحولات الضرورية في الطريقة الغاوسية ؛ الطريقة الغاوسية ليست مناسبة للأنظمة ذات معاملات الحروف.

فكر في طرق أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية. تستخدم هذه الطرق مفهوم رتبة المصفوفة وتقليل حل أي نظام مشترك إلى حل نظام تنطبق عليه قاعدة كرامر.

مثال 1أوجد الحل العام للنظام التالي من المعادلات الخطية باستخدام النظام الأساسي لحلول النظام المتجانس المختزل وحل معين للنظام غير المتجانس.

1. نصنع مصفوفة أوالمصفوفة المعززة للنظام (1)

2. استكشف النظام (1) من أجل التوافق. للقيام بذلك ، نجد رتب المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). إذا اتضح ذلك ، فإن النظام (1) غير متوافق. إذا حصلنا على ذلك ، فهذا النظام متسق وسنحلها. (تستند دراسة الاتساق إلى نظرية Kronecker-Capelli).

أ. نجد rA.

لايجاد rA، سوف ننظر على التوالي في الترتيب غير الصفري للأول ، والثاني ، إلخ. من المصفوفة أوالقصر من حولهم.

م 1= 1 ≠ 0 (1 مأخوذ من الزاوية اليسرى العليا للمصفوفة لكن).

الحدود م 1الصف الثاني والعمود الثاني من هذه المصفوفة. . نواصل الحدود م 1السطر الثاني والعمود الثالث..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. الآن نحدد الصغرى غير الصفرية М2 ′الدرجة الثانية.

نملك: (لأن أول عمودين متماثلان)

(لأن الخطين الثاني والثالث متناسبان).

نحن نرى ذلك rA = 2، وهو الأساس الصغرى للمصفوفة أ.

ب. نجد .

قاصر أساسي بما فيه الكفاية М2 ′المصفوفات أالحدود مع عمود من الأعضاء الأحرار وجميع الأسطر (لدينا السطر الأخير فقط).

. ويترتب على ذلك أن М3 ′ ′يظل الأساس الصغرى للمصفوفة https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)

لان М2 ′- الأساس الصغرى للمصفوفة أالأنظمة (2) ، فإن هذا النظام يعادل النظام (3) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (2) (إلى عن على М2 ′موجود في أول صفين من المصفوفة أ).

(3)

نظرًا لأن القاصر الأساسي هو https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

في هذا النظام ، هناك مجهولان مجانيان ( x2 و x4 ). لهذا FSR الأنظمة (4) يتكون من حلين. للعثور عليهم ، نخصص مجاهيل مجانية لـ (4) القيم أولا س 2 = 1 , س 4 = 0 ، وثم - س 2 = 0 , س 4 = 1 .

في س 2 = 1 , س 4 = 0 نحن نحصل:

.

هذا النظام لديه بالفعل الشيء الوحيد الحل (يمكن إيجاده من خلال قاعدة كرامر أو بأي طريقة أخرى). بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على:

سيكون قرارها x1 = -1 , x3 = 0 . بالنظر إلى القيم x2 و x4 ، الذي قدمناه ، نحصل على الحل الأساسي الأول للنظام (2) : .

الآن نضع (4) س 2 = 0 , س 4 = 1 . نحن نحصل:

.

نحل هذا النظام باستخدام نظرية كرامر:

.

نحصل على الحل الأساسي الثاني للنظام (2) : .

حلول β1 , β2 والمكياج FSR الأنظمة (2) . ثم سيكون حلها العام

γ= C1 β1 + С2β2 = С1 (-1 ، 1 ، 0 ، 0) + С2 (5 ، 0 ، 4 ، 1) = (- С1 + 5С2 ، С1 ، 4С2 ، С2)

هنا C1 , C2 ثوابت اعتباطية.

4. ابحث عن واحد خاص المحلول نظام غير متجانس(1) . كما في الفقرة 3 بدلا من النظام (1) النظر في النظام المكافئ (5) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (1) .

(5)

ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن x2و x4.

(6)

دعونا نعطي مجاهيل مجانية x2 و x4 قيم اعتباطية ، على سبيل المثال ، س 2 = 2 , س 4 = 1 وقم بتوصيلها (6) . دعنا نحصل على النظام

هذا النظام له حل فريد (لأنه محدده М2′0). حلها (باستخدام نظرية كرامر أو طريقة غاوس) نحصل عليها س 1 = 3 , x3 = 3 . نظرا لقيم المجاهيل الحرة x2 و x4 ، نحن نحصل حل خاص لنظام غير متجانس(1)α1 = (3،2،3،1).

5. الآن يبقى أن يكتب الحل العام α لنظام غير متجانس(1) : يساوي المجموع قرار خاصهذا النظام و الحل العام لنظامها المتجانس المختزل (2) :

α = α1 + γ = (3، 2، 3، 1) + (- С1 + 5С2، С1، 4С2، С2).

هذا يعنى: (7)

6. فحص.للتحقق مما إذا كنت قد قمت بحل النظام بشكل صحيح (1) ، نحن بحاجة إلى حل عام (7) يحل محل (1) . إذا أصبحت كل معادلة هوية ( C1 و C2 يجب تدميرها) ، ثم يتم العثور على الحل بشكل صحيح.

سوف نستبدل (7) على سبيل المثال ، فقط في المعادلة الأخيرة للنظام (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

نحصل على: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(С1 – С1) + (5С2 + 4С2–9С2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

حيث -1 = -1. لدينا هوية. نقوم بهذا مع جميع المعادلات الأخرى للنظام (1) .

تعليق.عادة ما يكون التحقق مرهقًا للغاية. يمكننا أن نوصي بما يلي "التحقق الجزئي": في الحل الشامل للنظام (1) تعيين بعض القيم للثوابت التعسفية واستبدال الحل المعين الناتج فقط في المعادلات المهملة (أي في تلك المعادلات من (1) التي لم يتم تضمينها في (5) ). إذا حصلت على هويات ، إذن على الأرجح، حل النظام (1) تم العثور عليها بشكل صحيح (لكن هذا الفحص لا يعطي ضمانًا كاملاً للصحة!). على سبيل المثال ، إذا كان بتنسيق (7) وضع C2 =- 1 , C1 = 1، ثم نحصل على: x1 = -3 ، x2 = 3 ، x3 = -1 ، x4 = 0. بالتعويض في المعادلة الأخيرة للنظام (1) ، لدينا: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، على سبيل المثال –1 = –1. لدينا هوية.

مثال 2ابحث عن حل عام لنظام المعادلات الخطية (1) ، معربا عن المجهول الرئيسي من حيث المجاهيل الحرة.

المحلول.كما في مثال 1، يؤلف المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> من هذه المصفوفات. الآن نترك فقط معادلات النظام (1) ، المعامِلات التي تم تضمينها في هذه الثانوية الأساسية (أي لدينا المعادلتان الأوليان) والنظر في النظام الذي يتكون منها ، وهو ما يعادل النظام (1).

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن من هذه المعادلات.

النظام (9) نحلها بالطريقة الغاوسية ، معتبرين الأجزاء الصحيحة كأعضاء حرة.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "العرض =" 202 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

الخيار 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

الخيار 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "العرض =" 179 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

أنظمة متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية

ضمن الدروس طريقة جاوسو أنظمة / أنظمة غير متوافقة مع حل مشتركاعتبرنا أنظمة غير متجانسة من المعادلات الخطية، أين عضو مجاني(التي تكون عادة على اليمين) مرة على الأقلمن المعادلات كانت مختلفة عن الصفر.
والآن ، بعد إحماء جيد مع رتبة المصفوفة، سنواصل صقل التقنية التحولات الأوليةعلى ال نظام متجانس من المعادلات الخطية.
وفقًا للفقرات الأولى ، قد تبدو المادة مملة وعادية ، لكن هذا الانطباع خادع. بالإضافة إلى المزيد من تقنيات التطوير ، سيكون هناك الكثير من المعلومات الجديدة ، لذا يرجى محاولة عدم إهمال الأمثلة الواردة في هذه المقالة.

ما هو نظام متجانس من المعادلات الخطية؟

الجواب يقترح نفسه. نظام المعادلات الخطية متجانس إذا كان المصطلح الحر كل واحدمعادلة النظام هي صفر. فمثلا:

من الواضح أن النظام المتجانس ثابت دائمًا، أي أنه دائمًا ما يكون له حل. وقبل كل شيء ، ما يسمى ب تافهالمحلول . تافهة ، بالنسبة لأولئك الذين لا يفهمون معنى الصفة على الإطلاق ، تعني bespontovoe. ليس أكاديميًا بالطبع ، ولكن بشكل واضح =) ... لماذا تتفوق على الأدغال ، دعنا نكتشف ما إذا كان لهذا النظام أي حلول أخرى:

مثال 1

المحلول: لحل نظام متجانس من الضروري الكتابة مصفوفة النظاموبمساعدة التحولات الأولية ، قم بإحضاره إلى شكل متدرج. لاحظ أنه ليست هناك حاجة لكتابة الشريط الرأسي والعمود الصفري للأعضاء الأحرار هنا - لأنه مهما فعلت مع الأصفار ، فإنها ستبقى صفرًا:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -3.

(2) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -1.

لا معنى لتقسيم الصف الثالث على 3.

نتيجة للتحولات الأولية ، يتم الحصول على نظام متجانس مكافئ ، وتطبيق الحركة العكسية للطريقة الغاوسية ، من السهل التحقق من أن الحل فريد من نوعه.

إجابه:

دعونا نصوغ معيارا واضحا: نظام متجانس من المعادلات الخطية حل تافه فقط، إذا رتبة مصفوفة النظام(في هذه الحالة ، 3) يساوي عدد المتغيرات (في هذه الحالة ، 3 قطع).

نقوم بتسخين وضبط الراديو الخاص بنا على موجة من التحولات الأولية:

مثال 2

حل نظامًا متجانسًا من المعادلات الخطية

من المقال كيف تجد مرتبة المصفوفة؟نتذكر الطريقة المنطقية المتمثلة في تقليل أعداد المصفوفة بشكل عرضي. خلاف ذلك ، سوف تضطر إلى جزار سمكة كبيرة ، وغالبا ما تعض. مثال على واجب في نهاية الدرس.

الأصفار جيدة ومريحة ، ولكن من الناحية العملية تكون الحالة أكثر شيوعًا عندما تكون صفوف مصفوفة النظام تعتمد خطيا. ومن ثم فإن ظهور الحل العام أمر لا مفر منه:

مثال 3

حل نظامًا متجانسًا من المعادلات الخطية

المحلول: نكتب مصفوفة النظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي. لا يهدف الإجراء الأول إلى الحصول على قيمة واحدة فحسب ، بل يهدف أيضًا إلى تقليل الأرقام في العمود الأول:

(1) تم إضافة الصف الثالث إلى الصف الأول ، مضروبًا في -1. تمت إضافة السطر الثالث إلى السطر الثاني ، مضروبًا في -2. في أعلى اليسار ، حصلت على وحدة بها "ناقص" ، والتي غالبًا ما تكون أكثر ملاءمة لمزيد من التحولات.

(2) أول سطرين متماثلان ، تمت إزالة أحدهما. بصراحة ، لم أعدل القرار - لقد حدث ذلك. إذا قمت بإجراء تحويلات في قالب ، فحينئذٍ الاعتماد الخطيستظهر الخطوط بعد ذلك بقليل.

(3) أضف السطر الثاني مضروبًا في 3 إلى السطر الثالث.

(4) تم تغيير علامة السطر الأول.

نتيجة للتحولات الأولية ، يتم الحصول على نظام مكافئ:

تعمل الخوارزمية تمامًا مثل أنظمة غير متجانسة. المتغيرات "الجلوس على الدرجات" هي المتغيرات الرئيسية ، المتغير الذي لم يحصل على "الخطوات" مجاني.

نعبر عن المتغيرات الأساسية من حيث المتغير الحر:

إجابه: قرار مشترك:

يتم تضمين الحل البسيط في الصيغة العامة ، وليس من الضروري كتابته بشكل منفصل.

يتم إجراء التحقق أيضًا وفقًا للمخطط المعتاد: يجب استبدال الحل العام الناتج في الجانب الأيسر من كل معادلة من النظام والحصول على صفر شرعي لجميع البدائل.

يمكن إنهاء هذا بهدوء ، ولكن غالبًا ما يلزم تمثيل حل نظام متجانس من المعادلات في شكل متجهباستخدام نظام القرار الأساسي. يرجى نسيانها مؤقتا الهندسة التحليلية، منذ الآن سنتحدث عن المتجهات بالمعنى الجبري العام ، والذي فتحته قليلاً في مقال حول رتبة المصفوفة. المصطلحات ليست ضرورية للتظليل ، كل شيء بسيط للغاية.

نظام متجانس من المعادلات الخطية على المجال

تعريف. النظام الأساسي لحلول نظام المعادلات (1) هو نظام مستقل خطيًا غير فارغ لحلوله ، ويتزامن امتداده الخطي مع مجموعة جميع حلول النظام (1).

لاحظ أن النظام المتجانس من المعادلات الخطية الذي يحتوي على حل صفري فقط لا يحتوي على نظام أساسي للحلول.

مقترح 3.11. يتكون أي نظامين أساسيين من حلول نظام متجانس من المعادلات الخطية من نفس عدد الحلول.

دليل - إثبات. في الواقع ، أي نظامين أساسيين من حلول نظام المعادلات المتجانس (1) متكافئان ومستقلان خطيًا. لذلك ، من خلال الاقتراح 1.12 ، فإن رتبهم متساوية. لذلك ، فإن عدد الحلول المضمنة في نظام أساسي واحد يساوي عدد الحلول المضمنة في أي نظام أساسي آخر للحلول.

إذا كانت المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس من المعادلات (1) هي صفر ، فإن أي متجه من هو حل للنظام (1) ؛ في هذه الحالة ، فإن أي مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا من هي نظام أساسي للحلول. إذا كانت رتبة عمود المصفوفة A ، فإن النظام (1) له حل واحد فقط - صفر ؛ لذلك ، في هذه الحالة ، لا يحتوي نظام المعادلات (1) على نظام أساسي للحلول.

نظرية 3.12. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام المتجانس للمعادلات الخطية (1) أقل من عدد المتغيرات ، فإن النظام (1) لديه نظام أساسي من الحلول يتكون من الحلول.

دليل - إثبات. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس (1) تساوي صفرًا أو ، فقد تم توضيح أن النظرية صحيحة. لذلك ، من المفترض أدناه هذا بافتراض أن الأعمدة الأولى من المصفوفة A مستقلة خطيًا. في هذه الحالة ، تكون المصفوفة A مكافئة للصفوف لمصفوفة الخطوة المختصرة ، والنظام (1) مكافئ لنظام الخطوات المختزل التالي للمعادلات:

من السهل التحقق من أن أي نظام لقيم المتغيرات الحرة للنظام (2) يتوافق مع حل واحد فقط للنظام (2) وبالتالي للنظام (1). على وجه الخصوص ، الحل الصفري للنظام (2) والنظام (1) يتوافق مع نظام القيم الصفرية.

في النظام (2) ، سنخصص قيمة تساوي 1 لأحد المتغيرات الحرة ، وقيم صفرية للمتغيرات الأخرى. نتيجة لذلك ، نحصل على حلول لنظام المعادلات (2) ، والتي نكتبها كصفوف من المصفوفة التالية C:

نظام الصف لهذه المصفوفة مستقل خطيًا. في الواقع ، لأي عددي من المساواة

يتبع المساواة

وبالتالي المساواة

دعنا نثبت أن الامتداد الخطي لنظام صفوف المصفوفة C يتطابق مع مجموعة جميع حلول النظام (1).

الحل التعسفي للنظام (1). ثم المتجه

هو أيضًا حل للنظام (1) ، و

المحلولتجد مع آلة حاسبة. خوارزمية الحل هي نفسها لأنظمة المعادلات الخطية غير المتجانسة.
بالعمل مع الصفوف فقط ، نجد رتبة المصفوفة ، الثانوية الأساسية ؛ نعلن عن المجهول التابعين والحر ونجد الحل العام.

مثال 2. ابحث عن الحل العام والنظام الأساسي لحلول النظام
المحلول.



,
ويترتب على ذلك أن مرتبة المصفوفة هي 3 وتساوي عدد المجهولين. هذا يعني أن النظام ليس لديه مجاهيل حرة ، وبالتالي لديه حل فريد - حل تافه.

ممارسه الرياضه . استكشاف وحل نظام المعادلات الخطية.
مثال 4

ممارسه الرياضه . ابحث عن حلول عامة وخاصة لكل نظام.
المحلول.نكتب المصفوفة الرئيسية للنظام:

مهمة . ابحث عن مجموعة أساسية من الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAE) هو بلا شك أهم موضوع في مقرر الجبر الخطي. يتم تقليل عدد كبير من المسائل من جميع فروع الرياضيات إلى حل أنظمة المعادلات الخطية. توضح هذه العوامل سبب إنشاء هذه المقالة. يتم تحديد مادة المقال وهيكلها بحيث يمكنك مساعدتها

• اختر الطريقة المثلى لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية ،
• دراسة نظرية الطريقة المختارة ،
• حل نظام المعادلات الخطية ، بعد النظر بالتفصيل في حلول الأمثلة والمشكلات النموذجية.

وصف موجز لمادة المقال.

أولاً ، نقدم جميع التعريفات والمفاهيم الضرورية ونقدم بعض الرموز.

بعد ذلك ، نعتبر طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية التي يكون فيها عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة والتي لها حل فريد. أولاً ، دعنا نركز على طريقة كرامر ، وثانيًا ، سنعرض طريقة المصفوفة لحل مثل هذه الأنظمة من المعادلات ، وثالثًا ، سنحلل طريقة غاوس (طريقة الحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة). لتوحيد النظرية ، سنقوم بالتأكيد بحل العديد من SLAEs بطرق مختلفة.

بعد ذلك ، ننتقل إلى حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام ، حيث لا يتطابق عدد المعادلات مع عدد المتغيرات غير المعروفة أو تتدهور المصفوفة الرئيسية للنظام. نقوم بصياغة نظرية Kronecker-Capelli ، والتي تسمح لنا بإثبات توافق SLAEs. دعونا نحلل حل الأنظمة (في حالة توافقها) باستخدام مفهوم الأساس الثانوي للمصفوفة. سننظر أيضًا في طريقة Gauss وسنصف بالتفصيل حلول الأمثلة.

تأكد من التركيز على بنية الحل العام للأنظمة المتجانسة وغير المتجانسة للمعادلات الجبرية الخطية. دعونا نعطي مفهوم النظام الأساسي للحلول ونبين كيف تتم كتابة الحل العام لـ SLAE باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول. لفهم أفضل ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

في الختام ، نحن نأخذ في الاعتبار أنظمة المعادلات التي يتم اختصارها إلى المعادلات الخطية ، وكذلك المشكلات المختلفة ، التي تنشأ في حل SLAEs.

التنقل في الصفحة.

التعاريف والمفاهيم والتسميات.

سننظر في أنظمة المعادلات الجبرية الخطية مع n متغيرات غير معروفة (قد تكون p مساوية لـ n) من النموذج

متغيرات غير معروفة ، - معاملات (بعض الأرقام الحقيقية أو المركبة) ، - الأعضاء الحرة (أيضًا أرقام حقيقية أو معقدة).

يسمى هذا الشكل من SLAE تنسيق.

في شكل المصفوفةنظام المعادلات هذا له الشكل ،
أين - المصفوفة الرئيسية للنظام ، - عمود المصفوفة للمتغيرات غير المعروفة ، - عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار.

إذا أضفنا إلى المصفوفة A باعتباره العمود (n + 1) عمود المصفوفة للمصطلحات الحرة ، فسنحصل على ما يسمى مصفوفة موسعةأنظمة المعادلات الخطية. عادة ، يتم الإشارة إلى المصفوفة المعززة بالحرف T ، ويتم فصل عمود الأعضاء الأحرار بخط رأسي عن بقية الأعمدة ، أي ،

بحل نظام المعادلات الجبرية الخطيةتسمى مجموعة من قيم المتغيرات غير المعروفة ، والتي تحول كل معادلات النظام إلى هويات. تتحول أيضًا معادلة المصفوفة للقيم المعطاة للمتغيرات غير المعروفة إلى هوية.

إذا كان نظام المعادلات يحتوي على حل واحد على الأقل ، فسيتم استدعاؤه مشترك.

إذا لم يكن لنظام المعادلات أي حلول ، فسيتم استدعاؤه غير متوافق.

إذا كان SLAE لديه حل فريد ، فسيتم استدعاؤه تأكيد؛ إذا كان هناك أكثر من حل ، إذن - غير مؤكد.

إذا كانت الشروط المجانية لجميع معادلات النظام تساوي صفرًا ، ثم يسمى النظام متجانس، خلاف ذلك - غير متجانسة.

حل الأنظمة الأولية للمعادلات الجبرية الخطية.

إذا كان عدد معادلات النظام يساوي عدد المتغيرات غير المعروفة وكان محدد مصفوفته الرئيسية لا يساوي الصفر ، فسنسمي هذه SLAEs ابتدائي. أنظمة المعادلات هذه لها حل فريد ، وفي حالة النظام المتجانس ، فإن جميع المتغيرات غير المعروفة تساوي الصفر.

بدأنا في دراسة SLAE في المدرسة الثانوية. عند حلها ، أخذنا معادلة واحدة ، وعبرنا عن متغير واحد غير معروف من حيث المتغيرات الأخرى واستبدلناها في المعادلات المتبقية ، ثم أخذنا المعادلة التالية ، وعبّرنا عن المتغير المجهول التالي واستبدلناه في معادلات أخرى ، وهكذا. أو استخدموا طريقة الجمع ، أي أضافوا معادلتين أو أكثر للتخلص من بعض المتغيرات غير المعروفة. لن نتطرق إلى هذه الأساليب بالتفصيل ، لأنها تعديلات أساسية لطريقة غاوس.

الطرق الرئيسية لحل الأنظمة الأولية للمعادلات الخطية هي طريقة كرامر وطريقة المصفوفة وطريقة غاوس. دعونا نفرزها.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر.

دعونا نحل نظام المعادلات الجبرية الخطية

حيث يكون عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة ويكون محدد المصفوفة الرئيسية للنظام مختلفًا عن الصفر ، أي.

اسمحوا أن يكون محددا للمصفوفة الرئيسية للنظام ، و هي محددات المصفوفات التي تم الحصول عليها من A عن طريق الاستبدال 1 ، 2 ، ... ، نالعمود على التوالي إلى عمود الأعضاء الأحرار:

باستخدام هذا الترميز ، يتم حساب المتغيرات غير المعروفة بواسطة صيغ طريقة كرامر كـ . هذه هي الطريقة التي يتم بها إيجاد حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر.

مثال.

طريقة كرامر .

المحلول.

المصفوفة الرئيسية للنظام لها الشكل . احسب محددها (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

نظرًا لأن محدد المصفوفة الرئيسية للنظام غير صفري ، فإن النظام لديه حل فريد يمكن العثور عليه بواسطة طريقة كرامر.

يؤلف ويحسب المحددات الضرورية (يتم الحصول على المحدد عن طريق استبدال العمود الأول في المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار ، المحدد - عن طريق استبدال العمود الثاني بعمود من الأعضاء الأحرار ، - عن طريق استبدال العمود الثالث من المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار ):

البحث عن متغيرات غير معروفة باستخدام الصيغ :

إجابه:

العيب الرئيسي لطريقة كرامر (إذا كان من الممكن تسميتها عيبًا) هو تعقيد حساب المحددات عندما يكون عدد معادلات النظام أكثر من ثلاثة.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة (باستخدام معكوس المصفوفة).

دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى في شكل مصفوفة ، حيث يكون للمصفوفة A بعد n × n ومحددها غير صفري.

بما أن المصفوفة A قابلة للعكس ، أي أن هناك مصفوفة معكوسة. إذا ضربنا كلا جزأي المساواة في جهة اليسار ، فسنحصل على صيغة لإيجاد مصفوفة العمود لمتغيرات غير معروفة. إذن ، حصلنا على حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة المصفوفة.

المحلول.

دعنا نعيد كتابة نظام المعادلات في شكل مصفوفة:

لان

ثم يمكن حل SLAE بطريقة المصفوفة. باستخدام معكوس المصفوفة ، يمكن إيجاد حل هذا النظام بالصيغة .

لنقم ببناء مصفوفة معكوسة باستخدام مصفوفة مكملة جبرية لعناصر المصفوفة A (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

يبقى حساب - مصفوفة متغيرات غير معروفة بضرب معكوس المصفوفة في عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

إجابه:

أو في طريقة أخرى x 1 = 4 ، x 2 = 0 ، x 3 = -1.

المشكلة الرئيسية في إيجاد حلول لأنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة هي تعقيد إيجاد المصفوفة العكسية ، خاصةً للمصفوفات المربعة ذات الترتيب الأعلى من الثالثة.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل لنظام من المعادلات الخطية n ذات المتغيرات غير المعروفة n
محدد المصفوفة الرئيسية يختلف عن الصفر.

جوهر طريقة غاوسيتكون من الاستبعاد المتتالي للمتغيرات غير المعروفة: أولاً ، يتم استبعاد x 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من الثانية ، ثم يتم استبعاد x 2 من جميع المعادلات ، بدءًا من الثالث ، وهكذا ، حتى المتغير المجهول فقط تبقى x n في المعادلة الأخيرة. تسمى هذه العملية لتحويل معادلات النظام من أجل الإزالة المتتالية للمتغيرات غير المعروفة طريقة جاوس المباشرة. بعد اكتمال التشغيل الأمامي لطريقة Gauss ، يتم العثور على x n من المعادلة الأخيرة ، ويتم حساب x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة باستخدام هذه القيمة ، وهكذا ، تم العثور على x 1 من المعادلة الأولى. تسمى عملية حساب المتغيرات غير المعروفة عند الانتقال من المعادلة الأخيرة للنظام إلى الأولى طريقة غاوس العكسي.

دعونا نصف بإيجاز الخوارزمية للتخلص من المتغيرات غير المعروفة.

سنفترض ذلك ، حيث يمكننا دائمًا تحقيق ذلك من خلال إعادة ترتيب معادلات النظام. نستبعد المتغير المجهول x 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من المتغير الثاني. للقيام بذلك ، أضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثانية للنظام ، وأضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثالثة ، وهكذا ، أضف أول مضروب في المعادلة رقم n. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا .

سنصل إلى نفس النتيجة إذا عبرنا عن x 1 من حيث المتغيرات الأخرى غير المعروفة في المعادلة الأولى للنظام واستبدلنا التعبير الناتج في جميع المعادلات الأخرى. وبالتالي ، يتم استبعاد المتغير x 1 من جميع المعادلات ، بدءًا من الثانية.

بعد ذلك ، نتصرف بشكل مشابه ، ولكن فقط مع جزء من النظام الناتج ، والذي تم تمييزه في الشكل

للقيام بذلك ، أضف المعادلة الثانية مضروبة في المعادلة الثالثة للنظام ، أضف الثانية مضروبة في المعادلة الرابعة ، وهكذا ، أضف الثانية مضروبة في المعادلة رقم n. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا . وبالتالي ، يتم استبعاد المتغير x 2 من جميع المعادلات ، بدءًا من المتغير الثالث.

بعد ذلك ، ننتقل إلى إزالة المجهول x 3 ، بينما نتصرف بالمثل مع جزء النظام المميز في الشكل

لذلك نواصل المسار المباشر لطريقة غاوس حتى يأخذ النظام الشكل

من هذه اللحظة ، نبدأ المسار العكسي لطريقة غاوس: نحسب x n من المعادلة الأخيرة ، باستخدام القيمة التي تم الحصول عليها من x n نجد x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة ، وهكذا ، نجد x 1 من المعادلة الأولى.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة جاوس.

المحلول.

دعنا نستبعد المتغير المجهول x 1 من المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. للقيام بذلك ، إلى كلا الجزأين من المعادلتين الثانية والثالثة ، نضيف الأجزاء المقابلة من المعادلة الأولى ، مضروبة في وفي ، على التوالي:

الآن نستبعد x 2 من المعادلة الثالثة بإضافة الجزأين الأيسر والأيمن من المعادلة الثانية ، مضروبًا في:

في هذا ، اكتمل المسار الأمامي لطريقة غاوس ، نبدأ المسار العكسي.

من المعادلة الأخيرة لنظام المعادلات الناتج ، نجد x 3:

من المعادلة الثانية نحصل عليها.

من المعادلة الأولى نجد المتغير المجهول المتبقي وهذا يكمل المسار العكسي لطريقة غاوس.

إجابه:

X 1 \ u003d 4 ، × 2 \ u003d 0 ، × 3 \ u003d -1.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.

في الحالة العامة ، لا يتطابق عدد معادلات النظام p مع عدد المتغيرات غير المعروفة n:

قد لا يكون لمثل هذه SLAEs حلول ، أو لديها حل واحد ، أو لديها عدد لا نهائي من الحلول. ينطبق هذا البيان أيضًا على أنظمة المعادلات التي تكون مصفوفتها الرئيسية مربعة ومنحطة.

نظرية كرونيكر كابيلي.

قبل إيجاد حل لنظام المعادلات الخطية ، من الضروري إثبات توافقه. الإجابة على السؤال عندما يكون SLAE متوافقًا ، وعندما يكون غير متوافق ، يعطي نظرية كرونيكر كابيلي:
لكي يكون نظام المعادلات p مع n مجهولة (يمكن أن تكون p تساوي n) لتكون متسقة ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة ، أي الرتبة ( أ) = الرتبة (T).

دعونا ننظر في تطبيق نظرية Kronecker-Cappelli لتحديد مدى توافق نظام المعادلات الخطية كمثال.

مثال.

اكتشف ما إذا كان نظام المعادلات الخطية حلول.

المحلول.

. دعونا نستخدم طريقة تجاور القاصرين. الصغرى من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر. دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المحيطين به:

نظرًا لأن كل الحدود الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي اثنان.

بدوره ، رتبة المصفوفة المعززة يساوي ثلاثة ، لأن القاصر من الدرجة الثالثة

يختلف عن الصفر.

في هذا الطريق، لذلك ، وفقًا لـ Rang (A) ، وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli ، يمكننا أن نستنتج أن النظام الأصلي للمعادلات الخطية غير متسق.

إجابه:

لا يوجد نظام حل.

لذلك ، تعلمنا إثبات عدم تناسق النظام باستخدام نظرية Kronecker-Capelli.

ولكن كيف تجد حل SLAE إذا تم إثبات توافقه؟

للقيام بذلك ، نحتاج إلى مفهوم الأساس الصغير للمصفوفة والنظرية في رتبة المصفوفة.

يسمى أعلى رتبة ثانوية في المصفوفة A ، بخلاف الصفر أساسي.

يترتب على تعريف الأساس الثانوي أن ترتيبها يساوي رتبة المصفوفة. بالنسبة للمصفوفة غير الصفرية A ، يمكن أن يكون هناك عدة قاصرين أساسيين ؛ هناك دائمًا قاصر أساسي واحد.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المصفوفة .

جميع العناصر الثانوية من الرتبة الثالثة في هذه المصفوفة تساوي صفرًا ، نظرًا لأن عناصر الصف الثالث من هذه المصفوفة هي مجموع العناصر المقابلة للصفين الأول والثاني.

القاصرون التاليون من الرتبة الثانية أساسيون ، لأنهم ليسوا صفريًا

القصر ليست أساسية ، لأنها تساوي الصفر.

نظرية رتبة المصفوفة.

إذا كانت رتبة مصفوفة من الرتبة p في n هي r ، فإن جميع عناصر الصفوف (والأعمدة) في المصفوفة التي لا تشكل الأساس المختار الثانوي يتم التعبير عنها خطيًا من حيث العناصر المقابلة للصفوف (والأعمدة ) التي تشكل أساس القاصر.

ماذا تعطينا نظرية رتبة المصفوفة؟

إذا قمنا ، من خلال نظرية Kronecker-Capelli ، بتأسيس توافق النظام ، فإننا نختار أي ثانوي أساسي من المصفوفة الرئيسية للنظام (ترتيبها يساوي r) ، واستبعد من النظام جميع المعادلات التي لا تفعل ذلك. تشكيل القاصر الأساسي المختار. ستكون SLAE التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة معادلة للمعادلة الأصلية ، نظرًا لأن المعادلات المهملة لا تزال زائدة عن الحاجة (وفقًا لنظرية رتبة المصفوفة ، فهي عبارة عن مجموعة خطية من المعادلات المتبقية).

نتيجة لذلك ، بعد التخلص من المعادلات المفرطة للنظام ، هناك حالتان ممكنتان.

إذا كان عدد المعادلات r في النظام الناتج مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة ، فسيكون ذلك محددًا ويمكن إيجاد الحل الوحيد بطريقة Cramer أو طريقة المصفوفة أو طريقة Gauss.

مثال.

.

المحلول.

رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام يساوي اثنين ، لأن القاصر من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر. تمديد رتبة المصفوفة يساوي أيضًا اثنين ، لأن الصغرى الوحيدة من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا

والصغرى من الدرجة الثانية المذكورة أعلاه تختلف عن الصفر. استنادًا إلى نظرية Kronecker-Capelli ، يمكن للمرء أن يؤكد توافق النظام الأصلي للمعادلات الخطية ، منذ الرتبة (A) = الرتبة (T) = 2.

كأساس ثانوي ، نأخذ . يتكون من معاملات المعادلتين الأولى والثانية:


لا تشارك المعادلة الثالثة للنظام في تكوين الصغرى الأساسية ، لذلك نستبعدها من النظام بناءً على نظرية رتبة المصفوفة:


وهكذا حصلنا على نظام أولي من المعادلات الجبرية الخطية. لنحلها بطريقة كرامر:


إجابه:

× 1 \ u003d 1 ، × 2 \ u003d 2.

إذا كان عدد المعادلات r في SLAE الناتج أقل من عدد المتغيرات غير المعروفة n ، فإننا نترك المصطلحات التي تشكل الثانوية الأساسية في الأجزاء اليسرى من المعادلات ، وننقل المصطلحات المتبقية إلى الأجزاء اليمنى من معادلات النظام مع الإشارة المعاكسة.

المتغيرات غير المعروفة (هناك r منها) المتبقية على الجانب الأيسر من المعادلات تسمى رئيسي.

يتم استدعاء المتغيرات غير المعروفة (هناك n - r) التي انتهى بها الأمر على الجانب الأيمن مجانا.

نفترض الآن أن المتغيرات المجانية غير المعروفة يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية ، في حين سيتم التعبير عن المتغيرات غير المعروفة الرئيسية من حيث المتغيرات غير المعروفة بطريقة فريدة. يمكن العثور على تعبيرهم عن طريق حل SLAE الناتج عن طريق طريقة كرامر أو طريقة المصفوفة أو طريقة غاوس.

لنأخذ مثالا.

مثال.

حل نظام المعادلات الجبرية الخطية .

المحلول.

ابحث عن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام بطريقة القاصرين المجاورة. لنأخذ 1 1 = 1 على أنه قاصر غير صفري من الدرجة الأولى. لنبدأ البحث عن قاصر غير صفري من الدرجة الثانية يحيط بهذا القاصر:


إذن وجدنا صغرى غير صفرية من الرتبة الثانية. لنبدأ في البحث عن قاصر حدودي غير صفري من الدرجة الثالثة:


وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي ثلاثة. رتبة المصفوفة المعززة تساوي أيضًا ثلاثة ، أي أن النظام ثابت.

سيتم اعتبار الصغرى غير الصفرية التي تم العثور عليها من الترتيب الثالث على أنها الترتيب الأساسي.

من أجل الوضوح ، نعرض العناصر التي تشكل الأساس الثانوي:


نترك المصطلحات المشاركة في الثانوية الأساسية على الجانب الأيسر من معادلات النظام ، وننقل الباقي بإشارات معاكسة إلى الجانب الأيمن:


نعطي المتغيرات غير المعروفة المجانية x 2 و x 5 قيمًا عشوائية ، أي أننا نأخذها ، أين الأرقام التعسفية. في هذه الحالة ، يأخذ SLAE النموذج


نحل النظام الأولي الذي تم الحصول عليه من المعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر:


بالتالي، .

في الإجابة ، لا تنس الإشارة إلى المتغيرات المجانية غير المعروفة.

إجابه:

أين الأرقام التعسفية.

لخص.

لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام ، نكتشف أولاً توافقها باستخدام نظرية Kronecker-Capelli. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لا تساوي مرتبة المصفوفة الممتدة ، فإننا نستنتج أن النظام غير متسق.

إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة ، فإننا نختار الثانوية الأساسية ونتجاهل معادلات النظام التي لا تشارك في تشكيل القاصر الأساسي المختار.

إذا كان ترتيب الأساس الثانوي يساوي عدد المتغيرات غير المعروفة ، فإن SLAE لديه حل فريد يمكن العثور عليه بأي طريقة معروفة لنا.

إذا كان ترتيب الثانوية الأساسية أقل من عدد المتغيرات غير المعروفة ، فعندئذٍ على الجانب الأيسر من معادلات النظام نترك المصطلحات ذات المتغيرات الرئيسية غير المعروفة ، وننقل المصطلحات المتبقية إلى الأطراف اليمنى ونخصص قيمًا عشوائية إلى المتغيرات غير المعروفة المجانية. من نظام المعادلات الخطية الناتج ، نجد المتغيرات الرئيسية غير المعروفة بواسطة طريقة كرامر أو طريقة المصفوفة أو طريقة غاوس.

طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.

باستخدام طريقة Gauss ، يمكن للمرء حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية من أي نوع دون التحقيق الأولي من أجل التوافق. تجعل عملية الاستبعاد المتتالي للمتغيرات غير المعروفة من الممكن استخلاص استنتاج حول كل من توافق وتضارب SLAE ، وإذا كان هناك حل ، فإنه يجعل من الممكن العثور عليه.

من وجهة نظر العمل الحسابي ، يفضل الأسلوب Gaussian.

انظر وصفها التفصيلي والأمثلة التي تم تحليلها في المقالة طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.

تسجيل الحل العام للأنظمة الجبرية الخطية المتجانسة وغير المتجانسة باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول.

في هذا القسم ، سوف نركز على أنظمة مشتركة متجانسة وغير متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية التي لديها عدد لا حصر له من الحلول.

دعونا نتعامل مع الأنظمة المتجانسة أولاً.

نظام القرار الأساسيالنظام المتجانس من المعادلات الجبرية الخطية مع n متغيرات غير معروفة عبارة عن مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا (n - r) لهذا النظام ، حيث r هو ترتيب الأساس الثانوي للمصفوفة الرئيسية للنظام.

إذا قمنا بتعيين حلول مستقلة خطيًا لـ SLAE متجانسة مثل X (1) ، X (2) ، ... ، X (n-r) (X (1) ، X (2) ، ... ، X (n-r) هي أعمدة مصفوفات ذات أبعاد n بواسطة 1) ، ثم يتم تمثيل الحل العام لهذا النظام المتجانس كمجموعة خطية من ناقلات النظام الأساسي للحلول ذات المعاملات الثابتة التعسفية С 1 ، С 2 ، ... ، С (n-r) ، أي.

ماذا يعني مصطلح الحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية (oroslau)؟

المعنى بسيط: تحدد الصيغة جميع الحلول الممكنة لـ SLAE الأصلي ، بمعنى آخر ، أخذ أي مجموعة من قيم الثوابت التعسفية C 1 ، C 2 ، ... ، C (n-r) ، وفقًا للصيغة نحن سوف تحصل على أحد حلول SLAE الأصلية المتجانسة.

وبالتالي ، إذا وجدنا نظامًا أساسيًا للحلول ، فيمكننا تعيين جميع حلول SLAE المتجانسة مثل.

دعونا نظهر عملية بناء نظام أساسي من الحلول لـ SLAE متجانس.

نختار الأساسي الثانوي للنظام الأصلي للمعادلات الخطية ، ونستبعد جميع المعادلات الأخرى من النظام ، وننقل إلى الجانب الأيمن من معادلات النظام بعلامات معاكسة جميع المصطلحات التي تحتوي على متغيرات مجانية غير معروفة. دعنا نعطي المتغيرات المجانية غير المعروفة القيم 1،0،0 ، ... ، 0 ونحسب المجهول الرئيسي عن طريق حل النظام الأولي الناتج من المعادلات الخطية بأي طريقة ، على سبيل المثال ، بطريقة كرامر. وبالتالي ، سيتم الحصول على X (1) - الحل الأول للنظام الأساسي. إذا أعطينا القيم المجهولة المجانية 0،1،0،0 ،… ، 0 وحساب المجهول الرئيسي ، نحصل على X (2). وهلم جرا. إذا أعطينا المتغيرات المجانية المجهولة القيم 0،0،…، 0،1 وحساب المجهول الرئيسي ، نحصل على X (n-r). هذه هي الطريقة التي سيتم بها بناء النظام الأساسي للحلول لـ SLAE المتجانس ويمكن كتابة الحل العام في النموذج.

بالنسبة للأنظمة غير المتجانسة من المعادلات الجبرية الخطية ، يتم تمثيل الحل العام كـ

لنلق نظرة على الأمثلة.

مثال.

أوجد النظام الأساسي للحلول والحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية .

المحلول.

إن رتبة المصفوفة الرئيسية للأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية تساوي دائمًا رتبة المصفوفة الممتدة. دعونا نجد رتبة المصفوفة الرئيسية بطريقة تهديب القصر. كقاصر غير صفري من الدرجة الأولى ، نأخذ العنصر 1 1 = 9 من المصفوفة الرئيسية للنظام. أوجد الحد الأدنى غير الصفري من الرتبة الثانية:

تم العثور على ثانوية من الدرجة الثانية ، تختلف عن الصفر. دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المجاورة لها بحثًا عن واحد غير صفري:

جميع القاصرات الحدودية من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة الرئيسية والممتدة هي اثنان. لنأخذ القاصر الأساسي. من أجل الوضوح ، نلاحظ عناصر النظام التي يتكون منها:

لا تشارك المعادلة الثالثة لـ SLAE الأصلية في تكوين القاصر الأساسي ، لذلك يمكن استبعادها:

نترك المصطلحات التي تحتوي على المجهول الرئيسي على الجانب الأيمن من المعادلات ، وننقل المصطلحات ذات المجهول الحر إلى الجانب الأيمن:

دعونا نبني نظامًا أساسيًا من الحلول للنظام المتجانس الأصلي للمعادلات الخطية. يتكون النظام الأساسي للحلول الخاصة بـ SLAE من حلين ، نظرًا لأن SLAE الأصلي يحتوي على أربعة متغيرات غير معروفة ، وترتيب ثانوي أساسي هو اثنين. للعثور على X (1) ، نعطي المتغيرات المجانية غير المعروفة القيم x 2 \ u003d 1 ، x 4 \ u003d 0 ، ثم نجد المجهول الرئيسي من نظام المعادلات
.