طريقة المربعات الصغرى ثلاثية الأبعاد. تقريب البيانات التجريبية

الذي يجد أوسع تطبيق في مختلف مجالات العلم والممارسة. يمكن أن تكون الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد وعلم الاجتماع وعلم النفس وما إلى ذلك. بإرادة القدر ، غالبًا ما أتعامل مع الاقتصاد ، وبالتالي سأرتب لك اليوم تذكرة إلى بلد رائع يسمى الاقتصاد القياسي=) ... كيف لا تريد ذلك ؟! إنه جيد جدًا هناك - عليك فقط أن تقرر! … ولكن ما تريده بالتأكيد هو أن تتعلم كيفية حل المشكلات المربعات الصغرى. وعلى وجه الخصوص ، سيتعلم القراء المجتهدون حلها ليس فقط بدقة ، ولكن أيضًا بسرعة كبيرة ؛-) ولكن أولاً بيان عام للمشكلة+ مثال ذو صلة:

دع المؤشرات تدرس في بعض المجالات التي لها تعبير كمي. في الوقت نفسه ، هناك كل الأسباب للاعتقاد بأن المؤشر يعتمد على المؤشر. يمكن أن يكون هذا الافتراض فرضية علمية وقائمة على الفطرة السليمة. دعونا نترك العلم جانبًا ، ونستكشف المزيد من المجالات الشهية - مثل محلات البقالة. للدلالة به:

- مساحة البيع بالتجزئة لمتجر بقالة ، متر مربع ،
- حجم المبيعات السنوي لمتجر بقالة مليون روبل.

من الواضح تمامًا أنه كلما زادت مساحة المتجر ، زاد حجم مبيعاته في معظم الحالات.

افترض أنه بعد إجراء الملاحظات / التجارب / الحسابات / الرقص باستخدام الدف ، لدينا بيانات رقمية تحت تصرفنا:

مع متاجر البقالة ، أعتقد أن كل شيء واضح: - هذه هي منطقة المتجر الأول ، - حجم مبيعاتها السنوية ، - منطقة المتجر الثاني ، - حجم مبيعاتها السنوية ، إلخ. بالمناسبة ، ليس من الضروري على الإطلاق الوصول إلى المواد المصنفة - يمكن الحصول على تقييم دقيق إلى حد ما لدوران باستخدام الإحصاء الرياضي. ومع ذلك ، لا تشتت انتباهك ، مسار التجسس التجاري مدفوع بالفعل =)

يمكن أيضًا كتابة البيانات الجدولية في شكل نقاط وتصويرها بالطريقة المعتادة بالنسبة لنا. النظام الديكارتي .

دعنا نجيب على سؤال مهم: كم عدد النقاط اللازمة لدراسة نوعية؟

كلما كان ذلك أفضل ، كلما كان ذلك أفضل. الحد الأدنى المسموح به للمجموعة يتكون من 5-6 نقاط. بالإضافة إلى ذلك ، مع وجود كمية صغيرة من البيانات ، لا ينبغي تضمين النتائج "غير الطبيعية" في العينة. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن لمتجر النخبة الصغير أن يساعد في تنفيذ أوامر من حيث الحجم أكبر من "زملائهم" ، وبالتالي تشويه النمط العام الذي يجب العثور عليه!

إذا كان الأمر بسيطًا للغاية ، فنحن بحاجة إلى اختيار وظيفة ، برنامجالذي يمر أقرب ما يمكن من النقاط . تسمى هذه الوظيفة تقريبي (تقريب - تقريب)أو الوظيفة النظرية . بشكل عام ، يظهر هنا على الفور "متظاهر" واضح - متعدد الحدود من الدرجة العالية ، يمر الرسم البياني الخاص به عبر جميع النقاط. لكن هذا الخيار معقد ، وغالبًا ما يكون غير صحيح. (لأن الرسم البياني سوف "ينفخ" طوال الوقت ويعكس بشكل سيء الاتجاه الرئيسي).

وبالتالي ، يجب أن تكون الوظيفة المرغوبة بسيطة بما فيه الكفاية وتعكس في نفس الوقت التبعية بشكل كافٍ. كما قد تتخيل ، تسمى إحدى طرق العثور على هذه الوظائف المربعات الصغرى. أولاً ، دعنا نحلل جوهرها بطريقة عامة. دع بعض الوظائف تقرب البيانات التجريبية:


كيف تقيم دقة هذا التقريب؟ دعونا نحسب أيضًا الفروق (الانحرافات) بين القيم التجريبية والوظيفية (ندرس الرسم). الفكرة الأولى التي تتبادر إلى الذهن هي تقدير حجم المجموع ، لكن المشكلة هي أن الاختلافات يمكن أن تكون سلبية. (فمثلا، ) والانحرافات نتيجة لهذا الجمع تلغي بعضها البعض. لذلك ، كتقدير لدقة التقريب ، تقترح نفسها أن تأخذ المجموع وحداتالانحرافات:

أو في شكل مطوي: (فجأة ، من لا يعرف: هو رمز الجمع ، وهو متغير مساعد - "عداد" ، يأخذ القيم من 1 إلى).

من خلال تقريب النقاط التجريبية بوظائف مختلفة ، سنحصل على قيم مختلفة لـ ، ومن الواضح أنه عندما يكون هذا المجموع أصغر ، تكون هذه الوظيفة أكثر دقة.

مثل هذا الأسلوب موجود ويسمى طريقة المعامل الأقل. ومع ذلك ، فقد أصبح من الناحية العملية أكثر انتشارًا. طريقة التربيع الصغرى، حيث يتم التخلص من القيم السلبية المحتملة ليس بواسطة المعامل ، ولكن عن طريق تربيع الانحرافات:

، وبعد ذلك يتم توجيه الجهود لاختيار مثل هذه الوظيفة التي مجموع الانحرافات التربيعية كانت صغيرة بقدر الإمكان. في الواقع ، ومن هنا جاء اسم الطريقة.

والآن نعود إلى نقطة مهمة أخرى: كما هو مذكور أعلاه ، يجب أن تكون الوظيفة المحددة بسيطة للغاية - ولكن هناك أيضًا العديد من هذه الوظائف: خطي , القطعي, متسارع, لوغاريتمي, تربيعي إلخ. وبالطبع أود هنا على الفور "تقليص مجال النشاط". أي فئة من الوظائف تختار للبحث؟ تقنية بدائية لكنها فعالة:

- أسهل طريقة لرسم النقاط على الرسم وتحليل موقعهم. إذا كانت تميل إلى أن تكون في خط مستقيم ، فعليك البحث عنها معادلة الخط المستقيم مع القيم المثلى و. بعبارة أخرى ، تتمثل المهمة في إيجاد معاملات مثل هذه - بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية هو الأصغر.

إذا كانت النقاط موجودة ، على سبيل المثال ، على طول مقارنة مبالغ فيها، فمن الواضح أن الدالة الخطية ستعطي تقريبًا ضعيفًا. في هذه الحالة ، نبحث عن أكثر المعاملات "ملاءمة" لمعادلة القطع الزائد - تلك التي تعطي الحد الأدنى لمجموع المربعات .

لاحظ الآن أننا نتحدث في كلتا الحالتين وظائف متغيرين، الحجج التي البحث عن خيارات التبعية:

وفي جوهرها ، نحتاج إلى حل مشكلة معيارية - لإيجاد على الأقل دالة من متغيرين.

تذكر مثالنا: لنفترض أن نقاط "المتجر" تميل إلى أن تكون موجودة في خط مستقيم وأن هناك كل الأسباب للاعتقاد بوجود الاعتماد الخطيدوران من منطقة التجارة. دعنا نجد معاملي هذه "أ" و "تكون" بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية كان الأصغر. كل شيء كالمعتاد - أولاً المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. وفق القاعدة الخطيةيمكنك التفريق أسفل رمز المجموع:

إذا كنت ترغب في استخدام هذه المعلومات في مقال أو مقرر دراسي ، فسأكون ممتنًا جدًا للرابط الموجود في قائمة المصادر ، فلن تجد مثل هذه الحسابات التفصيلية في أي مكان:

لنصنع نظامًا قياسيًا:

نقوم باختزال كل معادلة بـ "اثنين" ، بالإضافة إلى "تفكيك" المجاميع:

ملحوظة : تحليل بشكل مستقل لماذا يمكن حذف "a" و "be" من رمز المجموع. بالمناسبة ، رسميًا يمكن عمل ذلك بالمجموع

دعنا نعيد كتابة النظام في شكل "تطبيقي":

وبعد ذلك يبدأ رسم خوارزمية حل مشكلتنا:

هل نعرف إحداثيات النقاط؟ نعلم. مسائل حسابية ممكن نجد بسهولة. نحن نؤلف أبسط نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين("a" و "beh"). نحل النظام ، على سبيل المثال ، طريقة كرامر، مما أدى إلى نقطة ثابتة. تدقيق حالة كافية لأقصى حد، يمكننا التحقق من أن الوظيفة في هذه المرحلة تصل بدقة الحد الأدنى. يرتبط التحقق بحسابات إضافية ، وبالتالي سنتركه وراء الكواليس. (إذا لزم الأمر ، يمكن عرض الإطار المفقود). نستخلص الاستنتاج النهائي:

دور أفضل طريقة (على الأقل مقارنة بأي دالة خطية أخرى)تقرب النقاط التجريبية . بشكل تقريبي ، يمر الرسم البياني الخاص به في أقرب وقت ممكن من هذه النقاط. في التقاليد الاقتصاد القياسيتسمى أيضًا وظيفة التقريب الناتجة معادلة الانحدار الخطي المقترنة .

المشكلة قيد النظر لها أهمية عملية كبيرة. في الحالة مع مثالنا ، المعادلة يسمح لك بالتنبؤ بنوع دوران ("yig")سيكون في المتجر بقيمة أو أخرى من قيمة منطقة البيع (معنى واحد أو آخر لـ "س"). نعم ، ستكون التوقعات الناتجة مجرد توقع ، ولكن في كثير من الحالات ستصبح دقيقة تمامًا.

سأحلل مشكلة واحدة فقط بالأرقام "الحقيقية" ، حيث لا توجد صعوبات فيها - كل الحسابات تتم على مستوى المناهج الدراسية في الصفوف 7-8. في 95 بالمائة من الحالات ، سيُطلب منك العثور على دالة خطية فقط ، ولكن في نهاية المقالة سأوضح أنه لم يعد من الصعب العثور على معادلات القطع الزائد والأسس وبعض الدوال الأخرى.

في الواقع ، يبقى توزيع الأشياء الجيدة الموعودة - حتى تتعلم كيفية حل مثل هذه الأمثلة ليس فقط بدقة ، ولكن أيضًا بسرعة. ندرس بعناية المعيار:

مهمة

نتيجة لدراسة العلاقة بين مؤشرين ، تم الحصول على أزواج الأرقام التالية:

باستخدام طريقة المربعات الصغرى ، أوجد الدالة الخطية التي تقترب بشكل أفضل من العملية التجريبية (يختبر)بيانات. ارسم رسمًا ، في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، يرسم نقاطًا تجريبية ورسمًا بيانيًا لوظيفة التقريب . أوجد مجموع الانحرافات التربيعية بين القيم التجريبية والنظرية. اكتشف ما إذا كانت الوظيفة أفضل (من حيث طريقة المربعات الصغرى)نقاط تجريبية تقريبية.

لاحظ أن قيم "x" هي قيم طبيعية ، وهذا له معنى مميز وذا معنى ، والذي سأتحدث عنه بعد قليل ؛ لكنها بالطبع يمكن أن تكون كسرية. بالإضافة إلى ذلك ، اعتمادًا على محتوى مهمة معينة ، يمكن أن تكون قيمتا "X" و "G" سالبة كليًا أو جزئيًا. حسنًا ، لقد تم تكليفنا بمهمة "مجهولة الهوية" ، ونبدأها المحلول:

نجد معاملات الوظيفة المثلى كحل للنظام:

لأغراض تدوين أكثر اندماجًا ، يمكن حذف متغير "العداد" ، لأنه من الواضح بالفعل أن الجمع يتم من 1 إلى.

من الأنسب حساب المبالغ المطلوبة في شكل جدول:


يمكن إجراء الحسابات باستخدام آلة حاسبة صغيرة ، ولكن من الأفضل استخدام برنامج Excel - سواء بشكل أسرع أو بدون أخطاء ؛ شاهد فيديو قصير:

وهكذا ، نحصل على ما يلي النظام:

هنا يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 3 و اطرح الثاني من مصطلح المعادلة الأول حسب المصطلح. لكن هذا هو الحظ - في الممارسة العملية ، غالبًا ما تكون الأنظمة غير موهوبة ، وفي مثل هذه الحالات يتم حفظها طريقة كرامر:
، لذلك فإن النظام لديه حل فريد.

لنقم بفحص. أتفهم أنني لا أريد ذلك ، لكن لماذا تتخطى الأخطاء حيث لا يمكنك تفويتها مطلقًا؟ عوّض عن الحل الموجود في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام:

يتم الحصول على الأجزاء الصحيحة من المعادلات المقابلة ، مما يعني أن النظام قد تم حله بشكل صحيح.

وبالتالي ، فإن وظيفة التقريب المطلوبة: - from جميع الوظائف الخطيةمن الأفضل تقريب البيانات التجريبية بواسطتها.

على عكس مستقيم اعتماد دوران المتجر على منطقته ، والاعتماد الموجود هو يعكس (مبدأ "الأكثر - الأقل")، ويتم الكشف عن هذه الحقيقة على الفور من خلال السلبية معامل الزاوي. دور يخبرنا أنه مع زيادة مؤشر معين بمقدار وحدة واحدة ، تنخفض قيمة المؤشر التابع معدلبمقدار 0.65 وحدة. كما يقولون ، كلما ارتفع سعر الحنطة السوداء ، قل بيعها.

لرسم دالة التقريب ، نجد اثنين من قيمها:

وتنفيذ الرسم:


يسمى الخط الذي تم إنشاؤه خط الاتجاه (أي ، خط الاتجاه الخطي ، أي في الحالة العامة ، الاتجاه ليس بالضرورة خطًا مستقيمًا). الجميع على دراية بتعبير "أن نكون في الاتجاه" ، وأعتقد أن هذا المصطلح لا يحتاج إلى تعليقات إضافية.

احسب مجموع الانحرافات التربيعية بين القيم التجريبية والنظرية. هندسيًا ، هذا هو مجموع مربعات أطوال المقاطع "القرمزية" (اثنان منها صغيرتان جدًا ولا يمكنك حتى رؤيتهما).

دعونا نلخص العمليات الحسابية في جدول:


يمكن تنفيذها يدويًا مرة أخرى ، فقط في حالة ما إذا سأقدم مثالاً للنقطة الأولى:

ولكن من الأكثر فاعلية القيام بالطريقة المعروفة بالفعل:

دعنا نكرر: ما معنى النتيجة؟من جميع الوظائف الخطيةوظيفة الأس هو الأصغر ، أي أنه أفضل تقريب في عائلته. وهنا ، بالمناسبة ، السؤال الأخير للمشكلة ليس عرضيًا: ماذا لو الوظيفة الأسية المقترحة هل سيكون من الأفضل تقريب النقاط التجريبية؟

دعنا نجد المجموع المقابل للانحرافات التربيعية - لتمييزها ، سأقوم بتعيينها بالحرف "إبسيلون". التقنية هي نفسها تمامًا:


ومرة أخرى لكل حساب حريق للنقطة الأولى:

في Excel ، نستخدم الوظيفة القياسية EXP (يمكن العثور على بناء الجملة في تعليمات Excel).

استنتاج: ، لذا فإن الدالة الأسية تقترب من النقاط التجريبية أسوأ من الخط المستقيم .

ولكن تجدر الإشارة هنا إلى أن "الأسوأ" هو لا يعني بعد، ما المشكله. لقد قمت الآن ببناء رسم بياني لهذه الدالة الأسية - وهو أيضًا يمر بالقرب من النقاط - لدرجة أنه بدون دراسة تحليلية يصعب تحديد الوظيفة الأكثر دقة.

هذا يكمل الحل ، وأعود إلى مسألة القيم الطبيعية للحجة. في دراسات مختلفة ، كقاعدة عامة ، يتم ترقيم الأشهر أو السنوات أو الفترات الزمنية المتساوية الأخرى بعلامة "X" طبيعية أو اقتصادية أو اجتماعية. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، مثل هذه المشكلة.

طريقة المربعات الصغرى

في الدرس الأخير من الموضوع ، سنتعرف على التطبيق الأكثر شهرة FNPالذي يجد أوسع تطبيق في مختلف مجالات العلم والممارسة. يمكن أن تكون الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد وعلم الاجتماع وعلم النفس وما إلى ذلك. بإرادة القدر ، غالبًا ما أتعامل مع الاقتصاد ، وبالتالي سأرتب لك اليوم تذكرة إلى بلد رائع يسمى الاقتصاد القياسي=) ... كيف لا تريد ذلك ؟! إنه جيد جدًا هناك - عليك فقط أن تقرر! … ولكن ما تريده بالتأكيد هو أن تتعلم كيفية حل المشكلات المربعات الصغرى. وعلى وجه الخصوص ، سيتعلم القراء المجتهدون حلها ليس فقط بدقة ، ولكن أيضًا بسرعة كبيرة ؛-) ولكن أولاً بيان عام للمشكلة+ مثال ذو صلة:

دع المؤشرات تدرس في بعض المجالات التي لها تعبير كمي. في الوقت نفسه ، هناك كل الأسباب للاعتقاد بأن المؤشر يعتمد على المؤشر. يمكن أن يكون هذا الافتراض فرضية علمية وقائمة على الفطرة السليمة. دعونا نترك العلم جانبًا ، ونستكشف المزيد من المجالات الشهية - مثل محلات البقالة. للدلالة به:

- مساحة البيع بالتجزئة لمتجر بقالة ، متر مربع ،
- حجم المبيعات السنوي لمتجر بقالة مليون روبل.

من الواضح تمامًا أنه كلما زادت مساحة المتجر ، زاد حجم مبيعاته في معظم الحالات.

افترض أنه بعد إجراء الملاحظات / التجارب / الحسابات / الرقص باستخدام الدف ، لدينا بيانات رقمية تحت تصرفنا:

مع متاجر البقالة ، أعتقد أن كل شيء واضح: - هذه هي منطقة المتجر الأول ، - حجم مبيعاتها السنوية ، - منطقة المتجر الثاني ، - حجم مبيعاتها السنوية ، إلخ. بالمناسبة ، ليس من الضروري على الإطلاق الوصول إلى المواد المصنفة - يمكن الحصول على تقييم دقيق إلى حد ما لدوران باستخدام الإحصاء الرياضي. ومع ذلك ، لا تشتت انتباهك ، مسار التجسس التجاري مدفوع بالفعل =)

يمكن أيضًا كتابة البيانات الجدولية في شكل نقاط وتصويرها بالطريقة المعتادة بالنسبة لنا. النظام الديكارتي .

دعنا نجيب على سؤال مهم: كم عدد النقاط اللازمة لدراسة نوعية؟

كلما كان ذلك أفضل ، كلما كان ذلك أفضل. الحد الأدنى المسموح به للمجموعة يتكون من 5-6 نقاط. بالإضافة إلى ذلك ، مع وجود كمية صغيرة من البيانات ، لا ينبغي تضمين النتائج "غير الطبيعية" في العينة. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن لمتجر النخبة الصغير أن يساعد في تنفيذ أوامر من حيث الحجم أكبر من "زملائهم" ، وبالتالي تشويه النمط العام الذي يجب العثور عليه!

إذا كان الأمر بسيطًا للغاية ، فنحن بحاجة إلى اختيار وظيفة ، برنامجالذي يمر أقرب ما يمكن من النقاط . تسمى هذه الوظيفة تقريبي (تقريب - تقريب)أو الوظيفة النظرية . بشكل عام ، يظهر هنا على الفور "متظاهر" واضح - متعدد الحدود من الدرجة العالية ، يمر الرسم البياني الخاص به عبر جميع النقاط. لكن هذا الخيار معقد ، وغالبًا ما يكون غير صحيح. (لأن الرسم البياني سوف "ينفخ" طوال الوقت ويعكس بشكل سيء الاتجاه الرئيسي).

وبالتالي ، يجب أن تكون الوظيفة المرغوبة بسيطة بما فيه الكفاية وتعكس في نفس الوقت التبعية بشكل كافٍ. كما قد تتخيل ، تسمى إحدى طرق العثور على هذه الوظائف المربعات الصغرى. أولاً ، دعنا نحلل جوهرها بطريقة عامة. دع بعض الوظائف تقرب البيانات التجريبية:


كيف تقيم دقة هذا التقريب؟ دعونا نحسب أيضًا الفروق (الانحرافات) بين القيم التجريبية والوظيفية (ندرس الرسم). الفكرة الأولى التي تتبادر إلى الذهن هي تقدير حجم المجموع ، لكن المشكلة هي أن الاختلافات يمكن أن تكون سلبية. (فمثلا، ) والانحرافات نتيجة لهذا الجمع تلغي بعضها البعض. لذلك ، كتقدير لدقة التقريب ، تقترح نفسها أن تأخذ المجموع وحداتالانحرافات:

أو في شكل مطوي: (لمن لا يعرفون: هو رمز المجموع ، و - المتغير المساعد - "العداد" ، الذي يأخذ القيم من 1 إلى ) .

عند تقريب النقاط التجريبية بوظائف مختلفة ، سنحصل على قيم مختلفة ، ومن الواضح أين يكون هذا المجموع أقل - هذه الوظيفة أكثر دقة.

مثل هذا الأسلوب موجود ويسمى طريقة المعامل الأقل. ومع ذلك ، فقد أصبح من الناحية العملية أكثر انتشارًا. طريقة التربيع الصغرى، حيث يتم التخلص من القيم السلبية المحتملة ليس بواسطة المعامل ، ولكن عن طريق تربيع الانحرافات:

، وبعد ذلك يتم توجيه الجهود لاختيار مثل هذه الوظيفة التي مجموع الانحرافات التربيعية كانت صغيرة بقدر الإمكان. في الواقع ، ومن هنا جاء اسم الطريقة.

والآن نعود إلى نقطة مهمة أخرى: كما هو مذكور أعلاه ، يجب أن تكون الوظيفة المحددة بسيطة للغاية - ولكن هناك أيضًا العديد من هذه الوظائف: خطي , القطعي , متسارع , لوغاريتمي , تربيعي إلخ. وبالطبع أود هنا على الفور "تقليص مجال النشاط". أي فئة من الوظائف تختار للبحث؟ تقنية بدائية لكنها فعالة:

- أسهل طريقة لرسم النقاط على الرسم وتحليل موقعهم. إذا كانت تميل إلى أن تكون في خط مستقيم ، فعليك البحث عنها معادلة الخط المستقيم مع القيم المثلى و. بعبارة أخرى ، تتمثل المهمة في إيجاد معاملات مثل هذه - بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية هو الأصغر.

إذا كانت النقاط موجودة ، على سبيل المثال ، على طول مقارنة مبالغ فيها، فمن الواضح أن الدالة الخطية ستعطي تقريبًا ضعيفًا. في هذه الحالة ، نبحث عن أكثر المعاملات "ملاءمة" لمعادلة القطع الزائد - تلك التي تعطي الحد الأدنى لمجموع المربعات .

لاحظ الآن أننا نتحدث في كلتا الحالتين وظائف متغيرين، الحجج التي البحث عن خيارات التبعية:

وفي جوهرها ، نحتاج إلى حل مشكلة معيارية - لإيجاد على الأقل دالة من متغيرين.

تذكر مثالنا: لنفترض أن نقاط "المتجر" تميل إلى أن تكون موجودة في خط مستقيم وأن هناك كل الأسباب للاعتقاد بوجود الاعتماد الخطيدوران من منطقة التجارة. دعنا نجد معاملي هذه "أ" و "تكون" بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية كان الأصغر. كل شيء كالمعتاد - أولاً المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. وفق القاعدة الخطيةيمكنك التفريق أسفل رمز المجموع:

إذا كنت ترغب في استخدام هذه المعلومات في مقال أو مقرر دراسي ، فسأكون ممتنًا جدًا للرابط الموجود في قائمة المصادر ، فلن تجد مثل هذه الحسابات التفصيلية في أي مكان:

لنصنع نظامًا قياسيًا:

نقوم باختزال كل معادلة بـ "اثنين" ، بالإضافة إلى "تفكيك" المجاميع:

ملحوظة : تحليل بشكل مستقل لماذا يمكن حذف "a" و "be" من رمز المجموع. بالمناسبة ، رسميًا يمكن عمل ذلك بالمجموع

دعنا نعيد كتابة النظام في شكل "تطبيقي":

وبعد ذلك يبدأ رسم خوارزمية حل مشكلتنا:

هل نعرف إحداثيات النقاط؟ نعلم. مسائل حسابية ممكن نجد بسهولة. نحن نؤلف أبسط نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين("a" و "beh"). نحل النظام ، على سبيل المثال ، طريقة كرامر، مما أدى إلى نقطة ثابتة. تدقيق حالة كافية لأقصى حد، يمكننا التحقق من أن الوظيفة في هذه المرحلة تصل بدقة الحد الأدنى. يرتبط التحقق بحسابات إضافية ، وبالتالي سنتركه وراء الكواليس. (إذا لزم الأمر ، يمكن عرض الإطار المفقودهنا ) . نستخلص الاستنتاج النهائي:

دور أفضل طريقة (على الأقل مقارنة بأي دالة خطية أخرى)تقرب النقاط التجريبية . بشكل تقريبي ، يمر الرسم البياني الخاص به في أقرب وقت ممكن من هذه النقاط. في التقاليد الاقتصاد القياسيتسمى أيضًا وظيفة التقريب الناتجة معادلة الانحدار الخطي المقترنة .

المشكلة قيد النظر لها أهمية عملية كبيرة. في الحالة مع مثالنا ، المعادلة يسمح لك بالتنبؤ بنوع دوران ("yig")سيكون في المتجر بقيمة أو أخرى من قيمة منطقة البيع (معنى واحد أو آخر لـ "س"). نعم ، ستكون التوقعات الناتجة مجرد توقع ، ولكن في كثير من الحالات ستصبح دقيقة تمامًا.

سأحلل مشكلة واحدة فقط بالأرقام "الحقيقية" ، حيث لا توجد صعوبات فيها - كل الحسابات تتم على مستوى المناهج الدراسية في الصفوف 7-8. في 95 بالمائة من الحالات ، سيُطلب منك العثور على دالة خطية فقط ، ولكن في نهاية المقالة سأوضح أنه لم يعد من الصعب العثور على معادلات القطع الزائد والأسس وبعض الدوال الأخرى.

في الواقع ، يبقى توزيع الأشياء الجيدة الموعودة - حتى تتعلم كيفية حل مثل هذه الأمثلة ليس فقط بدقة ، ولكن أيضًا بسرعة. ندرس بعناية المعيار:

مهمة

نتيجة لدراسة العلاقة بين مؤشرين ، تم الحصول على أزواج الأرقام التالية:

باستخدام طريقة المربعات الصغرى ، أوجد الدالة الخطية التي تقترب بشكل أفضل من العملية التجريبية (يختبر)بيانات. ارسم رسمًا ، في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، يرسم نقاطًا تجريبية ورسمًا بيانيًا لوظيفة التقريب . أوجد مجموع الانحرافات التربيعية بين القيم التجريبية والنظرية. اكتشف ما إذا كانت الوظيفة أفضل (من حيث طريقة المربعات الصغرى)نقاط تجريبية تقريبية.

لاحظ أن قيم "x" هي قيم طبيعية ، وهذا له معنى مميز وذا معنى ، والذي سأتحدث عنه بعد قليل ؛ لكنها بالطبع يمكن أن تكون كسرية. بالإضافة إلى ذلك ، اعتمادًا على محتوى مهمة معينة ، يمكن أن تكون قيمتا "X" و "G" سالبة كليًا أو جزئيًا. حسنًا ، لقد تم تكليفنا بمهمة "مجهولة الهوية" ، ونبدأها المحلول:

نجد معاملات الوظيفة المثلى كحل للنظام:

لأغراض تدوين أكثر اندماجًا ، يمكن حذف متغير "العداد" ، لأنه من الواضح بالفعل أن الجمع يتم من 1 إلى.

من الأنسب حساب المبالغ المطلوبة في شكل جدول:


يمكن إجراء الحسابات باستخدام آلة حاسبة صغيرة ، ولكن من الأفضل استخدام برنامج Excel - سواء بشكل أسرع أو بدون أخطاء ؛ شاهد فيديو قصير:

وهكذا ، نحصل على ما يلي النظام:

هنا يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 3 و اطرح الثاني من مصطلح المعادلة الأول حسب المصطلح. لكن هذا هو الحظ - في الممارسة العملية ، غالبًا ما تكون الأنظمة غير موهوبة ، وفي مثل هذه الحالات يتم حفظها طريقة كرامر:
، لذلك فإن النظام لديه حل فريد.

لنقم بفحص. أتفهم أنني لا أريد ذلك ، لكن لماذا تتخطى الأخطاء حيث لا يمكنك تفويتها مطلقًا؟ عوّض عن الحل الموجود في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام:

يتم الحصول على الأجزاء الصحيحة من المعادلات المقابلة ، مما يعني أن النظام قد تم حله بشكل صحيح.

وبالتالي ، فإن وظيفة التقريب المطلوبة: - from جميع الوظائف الخطيةمن الأفضل تقريب البيانات التجريبية بواسطتها.

على عكس مستقيم اعتماد دوران المتجر على منطقته ، والاعتماد الموجود هو يعكس (مبدأ "الأكثر - الأقل")، ويتم الكشف عن هذه الحقيقة على الفور من خلال السلبية معامل الزاوي. تخبرنا الوظيفة أنه مع زيادة مؤشر معين بمقدار وحدة واحدة ، تنخفض قيمة المؤشر التابع معدلبمقدار 0.65 وحدة. كما يقولون ، كلما ارتفع سعر الحنطة السوداء ، قل بيعها.

لرسم دالة التقريب ، نجد اثنين من قيمها:

وتنفيذ الرسم:

يسمى الخط الذي تم إنشاؤه خط الاتجاه (أي ، خط الاتجاه الخطي ، أي في الحالة العامة ، الاتجاه ليس بالضرورة خطًا مستقيمًا). الجميع على دراية بتعبير "أن نكون في الاتجاه" ، وأعتقد أن هذا المصطلح لا يحتاج إلى تعليقات إضافية.

احسب مجموع الانحرافات التربيعية بين القيم التجريبية والنظرية. هندسيًا ، هذا هو مجموع مربعات أطوال المقاطع "القرمزية" (اثنان منها صغيرتان جدًا ولا يمكنك حتى رؤيتهما).

دعونا نلخص العمليات الحسابية في جدول:


يمكن تنفيذها يدويًا مرة أخرى ، فقط في حالة ما إذا سأقدم مثالاً للنقطة الأولى:

ولكن من الأكثر فاعلية القيام بالطريقة المعروفة بالفعل:

دعنا نكرر: ما معنى النتيجة؟من جميع الوظائف الخطيةأس الدالة هو الأصغر ، أي أنه أفضل تقريب في عائلته. وهنا ، بالمناسبة ، السؤال الأخير للمشكلة ليس عرضيًا: ماذا لو الوظيفة الأسية المقترحة هل سيكون من الأفضل تقريب النقاط التجريبية؟

دعنا نجد المجموع المقابل للانحرافات التربيعية - لتمييزها ، سأقوم بتعيينها بالحرف "إبسيلون". التقنية هي نفسها تمامًا:

ومرة أخرى لكل حساب حريق للنقطة الأولى:

في Excel ، نستخدم الوظيفة القياسية EXP (يمكن العثور على بناء الجملة في تعليمات Excel).

استنتاج: ، لذا فإن الدالة الأسية تقترب من النقاط التجريبية أسوأ من الخط المستقيم.

ولكن تجدر الإشارة هنا إلى أن "الأسوأ" هو لا يعني بعد، ما المشكله. لقد قمت الآن ببناء رسم بياني لهذه الوظيفة الأسية - وهو أيضًا يمر بالقرب من النقاط - لدرجة أنه بدون دراسة تحليلية يصعب تحديد الوظيفة الأكثر دقة.

هذا يكمل الحل ، وأعود إلى مسألة القيم الطبيعية للحجة. في دراسات مختلفة ، كقاعدة عامة ، يتم ترقيم الأشهر أو السنوات أو الفترات الزمنية المتساوية الأخرى بعلامة "X" طبيعية أو اقتصادية أو اجتماعية. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، المشكلة التالية:

لدينا البيانات التالية عن حجم مبيعات التجزئة في المتجر للنصف الأول من العام:

باستخدام المحاذاة التحليلية للخط المستقيم ، ابحث عن حجم المبيعات لشهر يوليو.

نعم ، لا مشكلة: نقوم بترقيم الأشهر 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ونستخدم الخوارزمية المعتادة ، ونتيجة لذلك نحصل على معادلة - الشيء الوحيد عندما يتعلق الأمر بالوقت هو عادةً الحرف "te " (على الرغم من أنها ليست حرجة). تظهر المعادلة الناتجة أنه في النصف الأول من العام ، زاد حجم الأعمال بمتوسط ​​27.74 وحدة عملة. كل شهر. احصل على توقعات لشهر يوليو (الشهر # 7): الاتحاد الأوروبي.

ومهام مماثلة - الظلام حالك. يمكن لأولئك الذين يرغبون في استخدام خدمة إضافية ، وهي بلدي آلة حاسبة Excel (النسخة التجريبية)، الذي يحل المشكلة على الفور تقريبا!نسخة العمل من البرنامج متاحة قيد التحويلأو ل الدفع الرمزي.

في نهاية الدرس ، معلومات موجزة حول إيجاد التبعيات لبعض الأنواع الأخرى. في الواقع ، لا يوجد شيء خاص يمكن إخباره ، لأن النهج الأساسي وخوارزمية الحل تظل كما هي.

لنفترض أن موقع النقاط التجريبية يشبه القطع الزائد. بعد ذلك ، من أجل العثور على معاملات أفضل القطع الزائد ، تحتاج إلى إيجاد الحد الأدنى من الوظيفة - أولئك الذين يرغبون في إجراء حسابات مفصلة والتوصل إلى نظام مشابه:

من وجهة نظر فنية رسمية ، يتم الحصول عليها من النظام "الخطي" (دعنا نميزها بعلامة النجمة)استبدال "x" بـ. حسنًا ، المبالغ احسب ، وبعد ذلك إلى المعاملين الأمثل "a" و "be" في المتناول.

إذا كان هناك كل سبب للاعتقاد بأن النقاط يتم ترتيبها على طول منحنى لوغاريتمي ، ثم للبحث عن القيم المثلى والعثور على الحد الأدنى من الوظيفة . رسميًا ، في النظام (*) يجب استبداله بما يلي:

عند الحساب في Excel ، استخدم الوظيفة LN. أعترف أنه لن يكون من الصعب بالنسبة لي إنشاء حاسبات لكل حالة من الحالات قيد الدراسة ، ولكن سيكون من الأفضل أن تقوم "ببرمجة" الحسابات بنفسك. دروس الفيديو للمساعدة.

مع الاعتماد الأسي ، يكون الوضع أكثر تعقيدًا بعض الشيء. لتقليل الأمر إلى الحالة الخطية ، نأخذ لوغاريتم الدالة ونستخدمها خصائص اللوغاريتم:

الآن ، بمقارنة الوظيفة التي تم الحصول عليها مع الوظيفة الخطية ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أنه في النظام (*) يجب استبداله ، و - بواسطة. للراحة ، نشير إلى:

يرجى ملاحظة أن النظام تم حله فيما يتعلق ، وبالتالي بعد العثور على الجذور ، يجب ألا تنسى إيجاد المعامل نفسه.

لتقريب النقاط التجريبية القطع المكافئ الأمثل ، يجب العثور عليها على الأقل دالة من ثلاثة متغيرات . بعد تنفيذ الإجراءات القياسية ، نحصل على ما يلي "يعمل" النظام:

نعم ، بالطبع ، هناك مبالغ أكثر هنا ، لكن لا توجد صعوبات على الإطلاق عند استخدام التطبيق المفضل لديك. وأخيرًا ، سأخبرك بكيفية التحقق سريعًا من استخدام Excel وإنشاء خط الاتجاه المطلوب: قم بإنشاء مخطط مبعثر ، وحدد أيًا من النقاط بالماوس وانقر بزر الماوس الأيمن فوق خيار التحديد "إضافة خط اتجاه". بعد ذلك ، حدد نوع الرسم البياني وعلى علامة التبويب "خيارات"تفعيل الخيار "إظهار المعادلة على الرسم البياني". نعم

كالعادة ، أريد أن أنهي المقال بعبارة جميلة ، وكدت أكتب عبارة "كن في الترند!". لكن في الوقت المناسب غير رأيه. وليس لأنها صيغة. لا أعرف كيف يمكن لأي شخص ، لكني لا أريد أن أتبع الترند الأمريكي وخاصة الأوروبي على الإطلاق =) لذلك ، أتمنى أن يلتزم كل واحد منكم بخطه الخاص!

http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/metod-naimenshih-kvadratov.html

طريقة المربعات الصغرى هي واحدة من أكثر الطرق شيوعًا والأكثر تطورًا بسببها بساطة وكفاءة طرق تقدير معاملات النماذج الاقتصادية القياسية الخطية. في الوقت نفسه ، يجب مراعاة بعض الحذر عند استخدامه ، نظرًا لأن النماذج التي تم إنشاؤها باستخدامه قد لا تلبي عددًا من المتطلبات لجودة معلماتها ، ونتيجة لذلك ، لا تعكس "جيدًا" أنماط تطوير العملية.

دعونا نفكر في إجراء تقدير معلمات نموذج الاقتصاد القياسي الخطي باستخدام طريقة المربعات الصغرى بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل هذا النموذج بشكل عام بالمعادلة (1.2):

y t = a 0 + a 1 x 1t + ... + a n x nt + t.

البيانات الأولية عند تقدير المعلمات a 0 ، a 1 ، ... ، a n هي متجه قيم المتغير التابع ذ= (y 1، y 2، ...، y T) "ومصفوفة قيم المتغيرات المستقلة

حيث يتوافق العمود الأول المكون من الآحاد مع معامل النموذج.

حصلت طريقة المربعات الصغرى على اسمها بناءً على المبدأ الأساسي الذي يجب أن تفي به تقديرات المعلمات التي تم الحصول عليها على أساسها: يجب أن يكون مجموع المربعات لخطأ النموذج ضئيلاً.

أمثلة على حل المشكلات بطريقة المربعات الصغرى

مثال 2.1.تمتلك المؤسسة التجارية شبكة تتكون من 12 متجرًا ، وترد معلومات عن أنشطتها في الجدول. 2.1.

تود إدارة الشركة معرفة كيف يعتمد حجم المبيعات السنوية على مساحة البيع بالتجزئة في المتجر.

الجدول 2.1

حل المربعات الصغرى.دعونا نحدد - حجم المبيعات السنوي لمتجر -th ، مليون روبل ؛ - مساحة البيع بالمخزن الالف م 2.

الشكل 2.1. مخطط مبعثر للمثال 2.1

لتحديد شكل العلاقة الوظيفية بين المتغيرات وبناء مخطط مبعثر (الشكل 2.1).

استنادًا إلى الرسم البياني المبعثر ، يمكننا أن نستنتج أن حجم المبيعات السنوي يعتمد بشكل إيجابي على منطقة البيع (أي أن y ستزداد مع نمو). أنسب شكل من أشكال الاتصال الوظيفي خطي.

يتم عرض معلومات لمزيد من العمليات الحسابية في الجدول. 2.2. باستخدام طريقة المربعات الصغرى ، قمنا بتقدير معاملات النموذج الاقتصادي القياسي الخطي أحادي العامل

الجدول 2.2

في هذا الطريق،

لذلك ، مع زيادة مساحة التجارة بمقدار 1000 م 2 ، مع تساوي الأشياء الأخرى ، يزداد متوسط ​​حجم التداول السنوي بمقدار 67.8871 مليون روبل.

مثال 2.2.لاحظت إدارة المؤسسة أن حجم المبيعات السنوي لا يعتمد فقط على منطقة مبيعات المتجر (انظر المثال 2.1) ، ولكن أيضًا على متوسط ​​عدد الزوار. المعلومات ذات الصلة معروضة في الجدول. 2.3

الجدول 2.3

المحلول.دلالة - متوسط ​​عدد زوار المتجر في اليوم ، ألف شخص.

لتحديد شكل العلاقة الوظيفية بين المتغيرات وبناء مخطط مبعثر (الشكل 2.2).

استنادًا إلى الرسم التخطيطي المبعثر ، يمكننا أن نستنتج أن معدل الدوران السنوي يرتبط ارتباطًا إيجابيًا بمتوسط ​​عدد الزوار يوميًا (أي أن y ستزداد مع نمو). شكل الاعتماد الوظيفي خطي.

أرز. 2.2. مخطط مبعثر على سبيل المثال 2.2

الجدول 2.4

بشكل عام ، من الضروري تحديد معلمات نموذج الاقتصاد القياسي ذي العاملين

y t \ u003d a 0 + a 1 x 1t + a 2 x 2t + t

يتم عرض المعلومات المطلوبة لمزيد من العمليات الحسابية في الجدول. 2.4

دعونا نقدر معلمات نموذج اقتصادي قياسي خطي من عاملين باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

في هذا الطريق،

يُظهر تقييم المعامل = 61.6583 أنه ، مع تساوي جميع الأشياء الأخرى ، مع زيادة مساحة المبيعات بمقدار 1000 متر مربع ، سيزداد حجم المبيعات السنوي بمعدل 61.6583 مليون روبل.

يُظهر تقدير المعامل = 2.2748 أنه ، مع تساوي الأشياء الأخرى ، مع زيادة متوسط ​​عدد الزوار لكل ألف شخص. في اليوم ، سيزداد حجم المبيعات السنوي بمعدل 2.2748 مليون روبل.

مثال 2.3.باستخدام المعلومات الواردة في الجدول. 2.2 و 2.4 ، تقدير معامل نموذج اقتصادي قياسي أحادي العامل

أين هي القيمة المركزية لدوران المتجر السنوي ، مليون روبل ؛ - القيمة المركزية لمتوسط ​​العدد اليومي لزوار المتجر ، ألف شخص. (انظر الأمثلة 2.1-2.2).

المحلول.يتم عرض المعلومات الإضافية المطلوبة للحسابات في الجدول. 2.5

الجدول 2.5

باستخدام الصيغة (2.35) نحصل عليها

في هذا الطريق،

http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html

مثال.

بيانات تجريبية على قيم المتغيرات Xو فيترد في الجدول.

نتيجة محاذاة الوظيفة

استخدام طريقة التربيع الصغرى، تقريب هذه البيانات بالاعتماد الخطي ص = الفأس + ب(ابحث عن الخيارات أو ب). اكتشف أي من الخطين أفضل (بمعنى طريقة المربعات الصغرى) يضبط البيانات التجريبية. جعل الرسم.

المحلول.

في مثالنا ن = 5. نقوم بملء الجدول لتسهيل حساب المبالغ التي تم تضمينها في صيغ المعاملات المطلوبة.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الرابع من الجدول بضرب قيم الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل رقم أنا.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الخامس من الجدول بتربيع قيم الصف الثاني لكل رقم أنا.

قيم العمود الأخير في الجدول هي مجاميع القيم عبر الصفوف.

نستخدم معادلات طريقة المربعات الصغرى لإيجاد المعاملات أو ب. نستبدل بها القيم المقابلة من العمود الأخير في الجدول:

بالتالي، ص = 0.165 س + 2.184هو الخط المستقيم التقريبي المطلوب.

يبقى معرفة أي من الخطوط ص = 0.165 س + 2.184أو تقارب البيانات الأصلية بشكل أفضل ، أي لعمل تقدير باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

دليل - إثبات.

لذلك عندما وجدت أو بتأخذ الدالة أصغر قيمة ، فمن الضروري في هذه المرحلة أن تكون مصفوفة الصيغة التربيعية للتفاضل من الدرجة الثانية للوظيفة كانت ايجابية مؤكدة. دعونا نظهر ذلك.

فارق الرتبة الثانية له الشكل:

هذا هو

لذلك ، فإن مصفوفة الصيغة التربيعية لها الشكل

وقيم العناصر لا تعتمد على أو ب.

دعونا نظهر أن المصفوفة موجبة محددة. هذا يتطلب أن تكون الزاوية الصغرى موجبة.

الصغرى الزاوي من الدرجة الأولى . عدم المساواة صارم ، منذ النقاط

بعد المحاذاة ، نحصل على دالة بالشكل التالي: g (x) = x + 1 3 + 1.

يمكننا تقريب هذه البيانات بعلاقة خطية y = a x + b بحساب المعلمات المناسبة. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى تطبيق ما يسمى بطريقة المربعات الصغرى. ستحتاج أيضًا إلى عمل رسم للتحقق من الخط الذي سيعمل على محاذاة البيانات التجريبية بشكل أفضل.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ما هو بالضبط OLS (طريقة المربعات الصغرى)

الشيء الرئيسي الذي يتعين علينا القيام به هو إيجاد معاملات الاعتماد الخطي التي عندها تكون قيمة دالة متغيرين F ​​(a، b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ستكون هي أصغر. بمعنى آخر ، بالنسبة لقيم معينة من a و b ، سيكون لمجموع الانحرافات التربيعية للبيانات المقدمة من الخط المستقيم الناتج قيمة دنيا. هذا هو معنى طريقة المربعات الصغرى. كل ما علينا فعله لحل هذا المثال هو إيجاد الحد الأقصى لدالة متغيرين.

كيفية اشتقاق الصيغ لحساب المعاملات

من أجل اشتقاق الصيغ لحساب المعاملات ، من الضروري تكوين وحل نظام من المعادلات بمتغيرين. للقيام بذلك ، نحسب المشتقات الجزئية للتعبير F (a، b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 بالنسبة إلى a و b ونساويهما بـ 0.

δ F (a، b) δ a = 0 δ F (a، b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0-2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n y i ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

لحل نظام المعادلات ، يمكنك استخدام أي طرق ، مثل الاستبدال أو طريقة كرامر. نتيجة لذلك ، يجب أن نحصل على الصيغ التي تحسب المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n

لقد قمنا بحساب قيم المتغيرات التي تعمل من أجلها
F (a، b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ستأخذ القيمة الصغرى. في الفقرة الثالثة ، سنثبت سبب ذلك.

هذا هو تطبيق طريقة المربعات الصغرى في الممارسة العملية. تتضمن صيغته ، التي تُستخدم للعثور على المعلمة a ، ∑ i = 1 n x i ، ∑ i = 1 n y i ، ∑ i = 1 n x i y i ، ∑ i = 1 n x i 2 ، والمعلمة
ن - تشير إلى كمية البيانات التجريبية. ننصحك بحساب كل مبلغ على حدة. يتم حساب قيمة المعامل ب مباشرة بعد أ.

دعنا نعود إلى المثال الأصلي.

مثال 1

لدينا هنا n يساوي خمسة. لتسهيل حساب الكميات المطلوبة المدرجة في معادلات المعامل ، نقوم بملء الجدول.

المحلول

يحتوي الصف الرابع على البيانات التي تم الحصول عليها بضرب القيم من الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل فرد i. يحتوي السطر الخامس على البيانات من المربع الثاني. يُظهر العمود الأخير مجاميع قيم الصفوف الفردية.

دعنا نستخدم طريقة المربعات الصغرى لحساب المعاملين a و b اللذين نحتاجهما. للقيام بذلك ، استبدل القيم المرغوبة من العمود الأخير وحساب المجاميع:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n ⇒ a = 5 33، 8 - 12 12، 9 5 46 - 12 2 ب = 12، 9 - أ 12 5 أ ≈ 0، 165 ب ≈ 2، 184

لقد توصلنا إلى أن الخط المستقيم التقريبي المطلوب سيبدو مثل y = 0 ، 165 x + 2 ، 184. نحتاج الآن إلى تحديد الخط الأفضل لتقريب البيانات - g (x) = x + 1 3 + 1 أو 0، 165 x + 2، 184. لنقم بتقدير باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

لحساب الخطأ ، نحتاج إلى إيجاد مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات من الخطوط σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 و σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 ، تتوافق القيمة الدنيا مع سطر أكثر ملاءمة.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0، 165 x i + 2، 184)) 2 ≈ 0، 019 σ 2 = i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0، 096

إجابه:منذ σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
ص = 0 ، 165 س + 2 ، 184.

تظهر طريقة المربعات الصغرى بوضوح في الرسم التوضيحي. يشير الخط الأحمر إلى الخط المستقيم g (x) = x + 1 3 + 1 ، والخط الأزرق يشير إلى y = 0 ، 165 x + 2 ، 184. يتم تمييز البيانات الأولية بنقاط وردية اللون.

دعونا نوضح سبب الحاجة إلى تقديرات تقريبية من هذا النوع بالضبط.

يمكن استخدامها في المشكلات التي تتطلب تجانس البيانات ، وكذلك في المشكلات التي تحتاج فيها البيانات إلى الاستيفاء أو الاستقراء. على سبيل المثال ، في المسألة التي نوقشت أعلاه ، يمكن للمرء أن يجد قيمة الكمية المرصودة y عند x = 3 أو عند x = 6. لقد خصصنا مقالة منفصلة لمثل هذه الأمثلة.

إثبات طريقة LSM

لكي تأخذ الوظيفة الحد الأدنى للقيمة المحسوبة أ و ب ، من الضروري عند نقطة معينة أن تكون مصفوفة الشكل التربيعي للتفاضل للوظيفة في النموذج F (أ ، ب) = ∑ أنا = 1 ن ( y i - (a x i + b)) 2 يكون موجبًا محددًا. دعنا نريك كيف يجب أن تبدو.

مثال 2

لدينا فارق من الدرجة الثانية بالشكل التالي:

د 2 و (أ ؛ ب) = δ 2 و (أ ؛ ب) δ أ 2 د 2 أ + 2 2 ف (أ ؛ ب) δ أ δ ب د أ د ب + 2 و (أ ؛ ب) ب 2 د 2 ب

المحلول

δ 2 F (a؛ b) δ a 2 = δ F (a؛ b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a؛ b) δ a δ b = δ δ F (a؛ b) δ a δ b = = - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a؛ b) δ b 2 = δ F (a؛ b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + ب)) δ ب = 2 ∑ أنا = 1 ن (1) = 2 ن

بمعنى آخر ، يمكن كتابتها على النحو التالي: d 2 F (a ؛ b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.

لقد حصلنا على مصفوفة من الصيغة التربيعية M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n.

في هذه الحالة ، لن تتغير قيم العناصر الفردية اعتمادًا على أ و ب. هل هذه المصفوفة إيجابية محددة؟ للإجابة على هذا السؤال ، دعنا نتحقق مما إذا كانت الزوايا الصغرى موجبة.

احسب الدرجة الأولى الزاوية الصغرى: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2> 0. بما أن النقطتين x i لا تتطابقان ، فإن المتباينة صارمة. سنضع هذا في الاعتبار في مزيد من الحسابات.

نحسب الزاوية الصغرى من الدرجة الثانية:

د e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2

بعد ذلك ننتقل إلى إثبات المتباينة n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2> 0 باستخدام الاستقراء الرياضي.

1. دعنا نتحقق مما إذا كانت هذه المتباينة صالحة لـ n التعسفي. لنأخذ 2 ونحسب:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = س 1 + س 2 2> 0

حصلنا على المساواة الصحيحة (إذا لم تتطابق القيمتان x 1 و x 2).

1. لنفترض أن عدم المساواة هذه ستكون صحيحة لـ n ، أي n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2> 0 - صحيح.
2. الآن دعنا نثبت صحة n + 1 ، أي أن (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2> 0 إذا n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2> 0.

نحسب:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 × 2 + × 2 2 +. . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - × 2) 2 +. . . + (x n - 1 - x n) 2> 0

سيكون التعبير المحاط بأقواس معقوفة أكبر من 0 (بناءً على ما افترضناه في الخطوة 2) ، وستكون بقية المصطلحات أكبر من 0 لأنها كلها مربعات من الأرقام. لقد أثبتنا عدم المساواة.

إجابه:سيتوافق الموجودان a و b مع أصغر قيمة للدالة F (a، b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ، مما يعني أنها المعلمات المطلوبة لطريقة المربعات الصغرى (LSM).

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

تتيح لك طريقة المربعات الصغرى (LSM) تقدير كميات مختلفة باستخدام نتائج العديد من القياسات التي تحتوي على أخطاء عشوائية.

خاصية MNC

الفكرة الرئيسية لهذه الطريقة هي أن مجموع الأخطاء التربيعية يعتبر معيارًا لدقة حل المشكلة التي يسعى إلى تصغيرها. عند استخدام هذه الطريقة ، يمكن تطبيق النهجين العددي والتحليلي.

على وجه الخصوص ، كتطبيق عددي ، تتضمن طريقة المربعات الصغرى إجراء أكبر عدد ممكن من القياسات لمتغير عشوائي غير معروف. علاوة على ذلك ، كلما زادت الحسابات ، كان الحل أكثر دقة. في هذه المجموعة من الحسابات (البيانات الأولية) ، يتم الحصول على مجموعة أخرى من الحلول المقترحة ، والتي يتم بعد ذلك تحديد أفضلها. إذا كانت مجموعة الحلول ذات معلمات ، فسيتم تقليل طريقة المربعات الصغرى لإيجاد القيمة المثلى للمعلمات.

كنهج تحليلي لتنفيذ LSM على مجموعة البيانات الأولية (القياسات) ومجموعة الحلول المقترحة ، يتم تعريف البعض (الوظيفية) ، والتي يمكن التعبير عنها من خلال صيغة تم الحصول عليها كفرضية معينة تحتاج إلى تأكيد . في هذه الحالة ، يتم تقليل طريقة المربعات الصغرى لإيجاد الحد الأدنى من هذه الوظيفة في مجموعة الأخطاء التربيعية للبيانات الأولية.

لاحظ أنه ليس الأخطاء نفسها ، بل مربعات الأخطاء. لماذا ا؟ الحقيقة هي أنه غالبًا ما تكون انحرافات القياسات عن القيمة الدقيقة موجبة وسالبة. عند تحديد المتوسط ​​، يمكن أن يؤدي الجمع البسيط إلى استنتاج غير صحيح حول جودة التقدير ، لأن الإلغاء المتبادل للقيم الإيجابية والسلبية سيقلل من قوة أخذ العينات لمجموعة القياسات. وبالتالي دقة التقييم.

لمنع حدوث ذلك ، يتم تلخيص الانحرافات التربيعية. أكثر من ذلك ، من أجل معادلة أبعاد القيمة المقاسة والتقدير النهائي ، يتم استخدام مجموع الأخطاء التربيعية لاستخراج

بعض تطبيقات الشركات متعددة الجنسيات

يستخدم MNC على نطاق واسع في مختلف المجالات. على سبيل المثال ، في نظرية الاحتمالات والإحصاءات الرياضية ، تُستخدم الطريقة لتحديد خاصية متغير عشوائي مثل الانحراف المعياري ، الذي يحدد عرض نطاق قيم المتغير العشوائي.

• الدورة التعليمية

مقدمة

أنا مبرمج الكمبيوتر. لقد حققت أكبر قفزة في مسيرتي عندما تعلمت أن أقول: "أنا لا أفهم شيئا!"الآن لا أخجل من إخبار نجم العلم أنه يلقي لي محاضرة ، وأنني لا أفهم ما يتحدث عنه ، النجم اللامع. وهذا صعب للغاية. نعم ، من الصعب والمحرج الاعتراف بأنك لا تعرف. من يحب أن يعترف بأنه لا يعرف أساسيات شيء ما هناك. بحكم مهنتي ، لا بد لي من حضور عدد كبير من العروض والمحاضرات ، حيث أعترف ، في الغالبية العظمى من الحالات ، أنني أشعر بالنعاس ، لأنني لا أفهم شيئًا. وأنا لا أفهم لأن المشكلة الضخمة للوضع الحالي في العلوم تكمن في الرياضيات. يفترض أن جميع الطلاب على دراية بجميع مجالات الرياضيات (وهو أمر سخيف). الاعتراف بأنك لا تعرف ما هو المشتق (أن هذا متأخر قليلاً) هو عار.

لكنني تعلمت أن أقول إنني لا أعرف ما هو الضرب. نعم ، لا أعرف ما هو الجبر الفرعي على جبر الكذب. نعم ، لا أعرف سبب الحاجة إلى المعادلات التربيعية في الحياة. بالمناسبة ، إذا كنت متأكدًا من أنك تعرف ، فلدينا شيء نتحدث عنه! الرياضيات عبارة عن سلسلة من الحيل. يحاول علماء الرياضيات إرباك الجمهور وتخويفهم ؛ حيث لا يوجد ارتباك ولا سمعة ولا سلطة. نعم ، إنه لأمر مرموق التحدث بأكثر لغة مجردة ممكنة ، وهذا مجرد هراء في حد ذاته.

هل تعرف ما هو المشتق؟ على الأرجح ستخبرني عن حد علاقة الاختلاف. في السنة الأولى من الرياضيات في جامعة ولاية سانت بطرسبرغ ، فيكتور بتروفيتش خافين لي مُعرفمشتق كمعامل للمصطلح الأول لسلسلة تايلور للوظيفة عند النقطة (كان جمبازًا منفصلاً لتحديد سلسلة تايلور بدون مشتقات). ضحكت على هذا التعريف لفترة طويلة ، حتى فهمت أخيرًا ما يدور حوله. المشتق ليس أكثر من مجرد قياس لمدى تشابه الدالة التي نشتقها مع الدالة y = x ، y = x ^ 2 ، y = x ^ 3.

يشرفني الآن أن أحاضر الطلاب الذين يخافالرياضيات. إذا كنت تخاف من الرياضيات - فنحن في الطريق. بمجرد أن تحاول قراءة بعض النصوص ويبدو لك أنها معقدة للغاية ، فاعلم أنها مكتوبة بشكل سيئ. أنا أزعم أنه لا توجد منطقة واحدة في الرياضيات لا يمكن التحدث عنها "على الأصابع" دون فقدان الدقة.

التحدي الذي يواجه المستقبل القريب: لقد وجهت طلابي لفهم ماهية أداة التحكم الخطية التربيعية. لا تخجل ، تضيع ثلاث دقائق من حياتك ، اتبع الرابط. إذا كنت لا تفهم شيئًا ، فنحن في الطريق. أنا (عالم رياضيات-مبرمج محترف) لم أفهم شيئًا أيضًا. وأنا أؤكد لكم أنه يمكن تسوية ذلك "على الأصابع". في الوقت الحالي لا أعرف ما هو ، لكنني أؤكد لكم أننا سنكون قادرين على معرفة ذلك.

لذا ، فإن المحاضرة الأولى التي سأقدمها لطلابي بعد أن يأتوا إليّ وهم يركضون في حالة من الرعب مع الكلمات التي تقول إن وحدة التحكم الخطية التربيعية هي خلل فظيع لن تتقنه أبدًا في حياتك طرق المربعات الصغرى. هل يمكنك حل المعادلات الخطية؟ إذا كنت تقرأ هذا النص ، فعلى الأرجح لا.

إذن ، بالنظر إلى نقطتين (x0 ، y0) ، (x1 ، y1) ، على سبيل المثال ، (1،1) و (3،2) ، فإن المهمة هي إيجاد معادلة خط مستقيم يمر عبر هاتين النقطتين:

توضيح

يجب أن يكون لهذا الخط المستقيم معادلة مثل ما يلي:

هنا لا نعرف ألفا وبيتا ، لكن نقطتين من هذا الخط معروفان:

يمكنك كتابة هذه المعادلة في شكل مصفوفة:

هنا يجب أن نجري استطراداً غنائياً: ما هي المصفوفة؟ المصفوفة ليست سوى مصفوفة ثنائية الأبعاد. هذه طريقة لتخزين البيانات ، ولا يجب إعطاء المزيد من القيم لها. الأمر متروك لنا بالضبط لتفسير مصفوفة معينة. بشكل دوري ، سأفسرها على أنها رسم خرائط خطي ، وبشكل دوري كشكل تربيعي ، وأحيانًا ببساطة كمجموعة من المتجهات. سيتم توضيح كل هذا في السياق.

دعنا نستبدل المصفوفات المحددة بتمثيلها الرمزي:

ثم يمكن العثور بسهولة على (alpha، beta):

بشكل أكثر تحديدًا لبياناتنا السابقة:

مما يؤدي إلى المعادلة التالية لخط مستقيم يمر بالنقطتين (1،1) و (3،2):

حسنًا ، كل شيء واضح هنا. ولنجد معادلة الخط المستقيم المار ثلاثةالنقاط: (x0، y0)، (x1، y1) و (x2، y2):

أوه أوه أوه ، لكن لدينا ثلاث معادلات لاثنين من المجهولين! سيقول عالم الرياضيات القياسي أنه لا يوجد حل. ماذا سيقول المبرمج؟ وسيعيد كتابة نظام المعادلات السابق أولاً بالشكل التالي:

في حالتنا ، المتجهات i و j و b ثلاثية الأبعاد ، لذلك (في الحالة العامة) لا يوجد حل لهذا النظام. أي متجه (alpha \ * i + beta \ * j) يقع في المستوى الممتد بواسطة المتجهات (i ، j). إذا كانت b لا تنتمي إلى هذا المستوى ، فلا يوجد حل (لا يمكن تحقيق المساواة في المعادلة). ماذا أفعل؟ دعونا نبحث عن حل وسط. دعونا نشير بواسطة ه (ألفا ، بيتا)كيف بالضبط لم نحقق المساواة:

وسنحاول تقليل هذا الخطأ:

لماذا مربع؟

نحن لا نبحث فقط عن الحد الأدنى من القاعدة ، ولكن عن الحد الأدنى من مربع القاعدة. لماذا ا؟ تتطابق النقطة الدنيا نفسها ، ويعطي المربع وظيفة سلسة (دالة تربيعية للوسيطات (ألفا ، بيتا)) ، بينما يعطي الطول فقط وظيفة في شكل مخروط ، غير قابل للتفاضل عند أدنى نقطة. برر. المربع هو أكثر ملاءمة.

من الواضح أن الخطأ يتم تصغيره عندما يكون المتجه همتعامد مع الطائرة التي امتدت من قبل المتجهات أناو ي.

توضيح

بمعنى آخر: نحن نبحث عن خط بحيث يكون مجموع الأطوال التربيعية للمسافات من جميع النقاط إلى هذا الخط ضئيلًا:

تحديث: هنا لدي دعامة ، يجب قياس المسافة إلى الخط عموديًا ، وليس الإسقاط الإملائي. هذا المعلق صحيح.

توضيح

بكلمات مختلفة تمامًا (بعناية ، غير رسمية بشكل جيد ، ولكن يجب أن تكون واضحة على الأصابع): نأخذ جميع الخطوط الممكنة بين جميع أزواج النقاط ونبحث عن الخط المتوسط ​​بين الكل:

توضيح

تفسير آخر على الأصابع: نعلق زنبركًا بين جميع نقاط البيانات (لدينا هنا ثلاث نقاط) والخط الذي نبحث عنه ، وخط حالة التوازن هو بالضبط ما نبحث عنه.

شكل تربيعي الحد الأدنى

بمعنى آخر ، نحن نبحث عن متجه x = (alpha، beta) بحيث:

أذكرك أن هذا المتجه x = (alpha، beta) هو الحد الأدنى للدالة التربيعية || e (alpha، beta) || ^ 2:

من المفيد هنا أن نتذكر أنه يمكن تفسير المصفوفة وكذلك الشكل التربيعي ، على سبيل المثال ، يمكن تفسير مصفوفة الهوية ((1،0) ، (0،1)) على أنها دالة في x ^ 2 + y ^ 2:

شكل تربيعي

يُعرف كل هذا الجمباز بالانحدار الخطي.

معادلة لابلاس مع شرط حدود ديريتشليت

الالتزام الأصلي متاح. لتقليل التبعيات الخارجية ، أخذت رمز عارض البرامج الخاص بي ، الموجود بالفعل على Habré. لحل النظام الخطي ، أستخدم OpenNL ، إنه حل رائع ، لكن من الصعب جدًا تثبيته: تحتاج إلى نسخ ملفين (.h + .c) إلى مجلد مشروعك. كل التجانس يتم بواسطة الكود التالي:

لـ (int د = 0 ؛ د<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i& الوجه = الوجوه [i] ؛ لـ (int j = 0 ؛ j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

إحداثيات X و Y و Z قابلة للفصل ، وأنا أقوم بتنعيمها بشكل منفصل. أي أنني قمت بحل ثلاثة أنظمة من المعادلات الخطية ، لكل منها نفس عدد المتغيرات مثل عدد الرؤوس في نموذجي. الصفوف n الأولى من المصفوفة A بها صف واحد فقط لكل صف ، وأول n من الصفوف من المتجه b لها إحداثيات النموذج الأصلي. أي أنني أربط بين موضع الرأس الجديد وموضع الرأس القديم - لا ينبغي أن تكون الموضع الجديد بعيدًا جدًا عن الوضع القديم.

جميع الصفوف اللاحقة من المصفوفة A (الوجوه. الحجم () * 3 = عدد حواف كل المثلثات في الشبكة) لها تكرار واحد للعدد 1 وتكرار واحد هو -1 ، بينما المتجه ب له مكونات صفرية متقابلة. هذا يعني أنني وضعت زنبركًا على كل حافة من شبكتنا المثلثية: تحاول جميع الحواف الحصول على نفس رأس نقطة البداية والنهاية.

مرة أخرى: جميع الرؤوس متغيرات ، ولا يمكنها أن تنحرف بعيدًا عن موضعها الأصلي ، لكنها في نفس الوقت تحاول أن تصبح متشابهة مع بعضها البعض.

ها هي النتيجة:

سيكون كل شيء على ما يرام ، فالنموذج ناعم حقًا ، لكنه ابتعد عن حافته الأصلية. دعنا نغير الكود قليلاً:

لـ (int i = 0 ؛ i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

في المصفوفة A ، بالنسبة للرؤوس الموجودة على الحافة ، لا أضيف صفًا من الفئة v_i = verts [i] [d] ، ولكن أضف 1000 * v_i = 1000 * verts [i] [d]. ماذا تغير؟ وهذا يغير الصيغة التربيعية للخطأ. الآن لن يكلف الانحراف الفردي عن القمة عند الحافة وحدة واحدة ، كما كان من قبل ، ولكن 1000 * 1000 وحدة. أي أننا علقنا زنبركًا أقوى على القمم المتطرفة ، يفضل الحل أن يمد الآخرين بقوة أكبر. ها هي النتيجة:

لنضاعف قوة الينابيع بين القمم:
معامل nl (الوجه [j] ، 2) ؛ معامل nl (الوجه [(j + 1)٪ 3] ، -2) ؛

من المنطقي أن يصبح السطح أكثر سلاسة:

والآن أقوى بمئة مرة:

ما هذا؟ تخيل أننا غمسنا حلقة سلكية في الماء والصابون. نتيجة لذلك ، سيحاول فيلم الصابون الناتج الحصول على أقل انحناء ممكن ، ولمس نفس الحد - حلقة الأسلاك الخاصة بنا. هذا بالضبط ما حصلنا عليه من خلال إصلاح الحدود وطلب سطح أملس بالداخل. تهانينا ، لقد حللنا للتو معادلة لابلاس بشروط حدود ديريتشليت. يبدو جيدا؟ ولكن في الواقع ، هناك نظام واحد فقط من المعادلات الخطية لحلها.

معادلة بواسون

لنفترض أن لدي صورة مثل هذه:

الجميع بخير ، لكني لا أحب الكرسي.

قطعت الصورة إلى نصفين:

وسأختار كرسي بيدي:

ثم سأقوم بسحب كل ما هو أبيض في القناع إلى الجانب الأيسر من الصورة ، وفي نفس الوقت سأقول طوال الصورة بأكملها أن الاختلاف بين وحدتي بكسل متجاورتين يجب أن يكون مساويًا للفرق بين وحدتي بكسل متجاورتين. الصورة الصحيحة:

لـ (int i = 0 ؛ i

ها هي النتيجة:

الكود والصور متوفرة