مهام التدريب على امتحان الدولة الموحدة على المشتقات. تطبيق المشتقات في مهام الامتحان

المعنى الهندسي للمشتق X Y 0 tangent α k – المعامل الزاوي للخط المستقيم (الظل) المعنى الهندسي للمشتق: إذا كان من الممكن رسم الظل على الرسم البياني للدالة y = f(x) عند النقطة مع الإحداثي السيني ، غير موازي للمحور y، فإنه يعبر عن المعامل الزاوي للظل، أي. وبما أن مساواة الخط المستقيم صحيحة

X y إذا α 0. إذا كانت α > 90°، ثم k 90°، ثم k 90°، ثم k 90°، ثم k 90°، ثم k title="x y إذا α 0. إذا α > 90 درجة، ثم ك

X y المهمة 1. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) ومماسًا لهذا الرسم البياني المرسوم عند النقطة ذات الإحداثي السيني -1. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x =

Y x x0x يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) ومماس لها عند النقطة ذات الإحداثي المحوري x 0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x 0. الجواب: -0.25

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x)، المحددة على الفاصل الزمني (-6;6). أوجد فترات زيادة الدالة f(x). في إجابتك، أشر إلى مجموع النقاط الصحيحة المضمنة في هذه الفواصل الزمنية. ب =...

يعد مشتق الدالة أحد الموضوعات الصعبة في المناهج الدراسية. لن يجيب كل خريج على سؤال ما هو المشتق.

تشرح هذه المقالة بطريقة بسيطة وواضحة ما هو المشتق ولماذا هو مطلوب.. لن نسعى الآن إلى الدقة الرياضية في العرض التقديمي. الشيء الأكثر أهمية هو فهم المعنى.

لنتذكر التعريف:

المشتق هو معدل تغير الدالة.

يوضح الشكل الرسوم البيانية لثلاث وظائف. أي واحد تعتقد أنه ينمو بشكل أسرع؟

الجواب واضح - الثالث. لديها أعلى معدل للتغيير، أي أكبر مشتق.

وهنا مثال آخر.

حصلت كوستيا وجريشا وماتفي على وظائف في نفس الوقت. دعونا نرى كيف تغير دخلهم خلال العام:

الرسم البياني يظهر كل شيء دفعة واحدة، أليس كذلك؟ تضاعف دخل كوستيا في ستة أشهر. كما زاد دخل جريشا أيضًا، ولكن قليلاً. وانخفض دخل ماتفي إلى الصفر. شروط البداية هي نفسها، ولكن معدل تغيير الوظيفة، أي المشتق، - مختلف. أما بالنسبة لماتفي، فإن مشتق دخله سلبي بشكل عام.

وبشكل بديهي، يمكننا بسهولة تقدير معدل تغير الدالة. ولكن كيف نفعل ذلك؟

ما ننظر إليه حقًا هو مدى انحدار الرسم البياني للدالة لأعلى (أو لأسفل). بمعنى آخر، ما مدى سرعة تغير y مع تغير x؟ من الواضح أن نفس الوظيفة في نقاط مختلفة يمكن أن يكون لها قيم مشتقة مختلفة - أي أنها يمكن أن تتغير بشكل أسرع أو أبطأ.

يتم الإشارة إلى مشتق الدالة .

سنوضح لك كيفية العثور عليه باستخدام الرسم البياني.

تم رسم رسم بياني لبعض الوظائف. دعونا نأخذ نقطة مع الإحداثي الإحداثي على ذلك. دعونا نرسم مماسًا للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة. نريد تقدير مدى انحدار الرسم البياني للدالة. قيمة مناسبة لهذا ظل الزاوية المماسه.

مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل زاوية الظل المرسومة على الرسم البياني للدالة عند هذه النقطة.

يرجى ملاحظة أنه كزاوية ميل المماس نأخذ الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب للمحور.

في بعض الأحيان يسأل الطلاب ما هو ظل الرسم البياني للدالة. هذا خط مستقيم له نقطة مشتركة واحدة مع الرسم البياني في هذا القسم، كما هو موضح في الشكل. يبدو وكأنه مماس لدائرة.

دعونا نجد ذلك. نتذكر أن ظل الزاوية الحادة في المثلث القائم يساوي نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. من المثلث:

لقد وجدنا المشتقة باستخدام الرسم البياني دون معرفة صيغة الدالة. غالبًا ما توجد مثل هذه المشكلات في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات تحت الرقم.

هناك علاقة أخرى مهمة. تذكر أن الخط المستقيم يُعطى بالمعادلة

تسمى الكمية في هذه المعادلة منحدر الخط المستقيم. وهو يساوي ظل زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور.

.

لقد حصلنا على ذلك

دعونا نتذكر هذه الصيغة. يعبر عن المعنى الهندسي للمشتق.

مشتقة الدالة عند نقطة ما يساوي ميل المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

بمعنى آخر، المشتقة تساوي ظل الزاوية المماسية.

لقد قلنا من قبل أن الدالة نفسها يمكن أن يكون لها مشتقات مختلفة عند نقاط مختلفة. دعونا نرى كيف يرتبط المشتق بسلوك الوظيفة.

لنرسم رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. وتزداد هذه الوظيفة في بعض المناطق، وتنقص في مناطق أخرى، وبنسب متفاوتة. ودع هذه الوظيفة تحتوي على الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

عند نقطة ما تزداد الوظيفة. يشكل مماس الرسم البياني المرسوم عند النقطة زاوية حادة؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. وهذا يعني أن المشتقة عند هذه النقطة موجبة.

عند هذه النقطة تنخفض وظيفتنا. يشكل المماس عند هذه النقطة زاوية منفرجة؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. بما أن ظل الزاوية المنفرجة يكون سالبًا، فإن المشتقة عند هذه النقطة تكون سالبة.

إليك ما يحدث:

إذا كانت الدالة متزايدة، فإن مشتقتها تكون موجبة.

فإذا نقصت تكون مشتقتها سالبة.

ماذا سيحدث عند الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط؟ نلاحظ أنه عند نقطتي (النقطة القصوى) و(النقطة الدنيا) يكون المماس أفقيًا. ومن ثم، فإن ظل المماس عند هذه النقاط يساوي صفرًا، والمشتقة تساوي صفرًا أيضًا.

النقطة - النقطة القصوى. عند هذه النقطة، يتم استبدال الزيادة في الدالة بالنقصان. وبالتالي تتغير إشارة المشتقة عند النقطة من "موجب" إلى "سالب".

عند النقطة - النقطة الدنيا - يكون المشتق أيضًا صفرًا، لكن علامته تتغير من "ناقص" إلى "زائد".

الخلاصة: باستخدام المشتقة يمكننا معرفة كل ما يهمنا حول سلوك الوظيفة.

إذا كانت المشتقة موجبة، تزيد الدالة.

إذا كانت المشتقة سالبة، فإن الدالة تنخفض.

عند النقطة القصوى، يكون المشتق صفرًا وتتغير الإشارة من "زائد" إلى "سالب".

عند النقطة الدنيا، يكون المشتق أيضًا صفرًا وتتغير الإشارة من "ناقص" إلى "زائد".

لنكتب هذه الاستنتاجات في شكل جدول:

دعونا نقدم توضيحين صغيرين. سوف تحتاج واحد منهم عند حل المشكلة. آخر - في السنة الأولى، مع دراسة أكثر جدية للوظائف والمشتقات.

من الممكن أن تكون مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي صفرًا، لكن الدالة ليس لها قيمة عظمى أو قيمة صغرى عند هذه النقطة. هذا هو ما يسمى :

عند نقطة ما، يكون مماس الرسم البياني أفقيًا وتكون المشتقة صفرًا. ومع ذلك، قبل النقطة زادت الدالة - وبعد النقطة استمرت في الزيادة. إشارة المشتقة لا تتغير، بل تبقى موجبة كما كانت.

ويحدث أيضًا أنه عند نقطة الحد الأقصى أو الأدنى لا يكون المشتق موجودًا. على الرسم البياني، يتوافق هذا مع كسر حاد، عندما يكون من المستحيل رسم مماس عند نقطة معينة.

كيف يمكن العثور على المشتق إذا كانت الدالة لا تُعطى من خلال رسم بياني، بل من خلال صيغة؟ في هذه الحالة ينطبق

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

نوع الدرس:التكرار والتعميم.

تنسيق الدرس:استشارة الدرس.

أهداف الدرس:

• التعليمية: تكرار وتعميم المعرفة النظرية حول موضوعات: "المعنى الهندسي للمشتق" و"تطبيق المشتق في دراسة الوظائف"؛ النظر في جميع أنواع مشاكل B8 التي تمت مواجهتها في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات؛ تزويد الطلاب بفرصة اختبار معرفتهم من خلال حل المشكلات بشكل مستقل؛ تعليم كيفية ملء استمارة الإجابة على الامتحان؛
• النامية: تعزيز تطوير الاتصال كوسيلة للمعرفة العلمية والذاكرة الدلالية والاهتمام الطوعي؛ تكوين كفاءات أساسية مثل المقارنة، والتجاور، وتصنيف الأشياء، وتحديد الطرق المناسبة لحل مهمة تعليمية بناءً على خوارزميات معينة، والقدرة على التصرف بشكل مستقل في حالات عدم اليقين، ومراقبة وتقييم أنشطة الفرد، وإيجاد الأسباب والقضاء عليها من الصعوبات؛
• التعليمية: تطوير الكفاءات التواصلية لدى الطلاب (ثقافة الاتصال، والقدرة على العمل في مجموعات)؛ تعزيز تنمية الحاجة إلى التعليم الذاتي.

التقنيات: التعليم التنموي، تكنولوجيا المعلومات والاتصالات.

طرق التدريس:لفظي، بصري، عملي، إشكالي.

أشكال العمل:فردي، أمامي، جماعي.

الدعم التربوي والمنهجي:

1. الجبر وبدايات التحليل الرياضي الصف الحادي عشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / (Yu. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin)؛ حرره A. B. Zhizhchenko. – الطبعة الرابعة. - م: التربية، 2011.

2. امتحان الدولة الموحد: 3000 مسألة مع إجاباتها في الرياضيات. جميع مهام المجموعة ب/أ.ل. سيمينوف، الرابع. ياشينكو وآخرون؛ حرره أ.ل. سيمينوفا ، آي.في. ياشينكو. – م: دار النشر “امتحان” 2011.

3. افتح بنك المهام.

المعدات والمواد اللازمة للدرس:جهاز عرض، شاشة، جهاز كمبيوتر لكل طالب مع العرض التقديمي المثبت عليه، نسخة مطبوعة من المذكرة لجميع الطلاب (المرفق 1)وورقة الدرجات ( الملحق 2) .

التحضير الأولي للدرس:كواجب منزلي، يُطلب من الطلاب تكرار المواد النظرية من الكتاب المدرسي حول المواضيع: "المعنى الهندسي للمشتق"، "تطبيق المشتق في دراسة الوظائف"؛ ينقسم الفصل إلى مجموعات (4 أشخاص لكل مجموعة)، في كل منها طلاب من مستويات مختلفة.

شرح الدرس:يتم تدريس هذا الدرس في الصف الحادي عشر في مرحلة الإعادة والتحضير لامتحان الدولة الموحدة. يهدف الدرس إلى تكرار وتعميم المواد النظرية وتطبيقها على حل مسائل الامتحان. مدة الدرس - 1.5 ساعة .

هذا الدرس غير مرفق بالكتاب المدرسي، لذا يمكن تدريسه أثناء العمل على أي مادة تعليمية. يمكن أيضًا تقسيم هذا الدرس إلى درسين منفصلين وتدريسهما كدروس نهائية حول الموضوعات التي يتم تناولها.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية.

ثانيا. درس تحديد الأهداف.

ثالثا. التكرار في موضوع "المعنى الهندسي للمشتقات".

العمل الأمامي عن طريق الفم باستخدام جهاز العرض (الشرائح رقم 3-7)

العمل في مجموعات: حل المشكلات بالتلميحات والإجابات واستشارة المعلم (الشرائح رقم 8-17)

رابعا. العمل المستقل 1.

يعمل الطلاب بشكل فردي على جهاز كمبيوتر (الشرائح رقم 18-26)، ويدخلون إجاباتهم في ورقة التقييم. إذا لزم الأمر، يمكنك استشارة المعلم، ولكن في هذه الحالة سوف يخسر الطالب 0.5 نقطة. إذا أكمل الطالب العمل مبكرًا، فيمكنه اختيار حل المهام الإضافية من المجموعة، الصفحات 242، 306-324 (يتم تقييم المهام الإضافية بشكل منفصل).

خامسا: التحقق المتبادل.

يتبادل الطلاب أوراق التقييم، ويراجعون عمل أحد الأصدقاء، ويخصصون النقاط (الشريحة رقم 27)

السادس. تصحيح المعرفة.

سابعا. التكرار في موضوع "تطبيق المشتق لدراسة الوظائف"

العمل الأمامي عن طريق الفم باستخدام جهاز العرض (الشرائح رقم 28-30)

العمل في مجموعات: حل المشكلات بالتلميحات والإجابات واستشارة المعلم (الشريحتان رقم 31-33)

ثامنا. العمل المستقل 2.

يعمل الطلاب بشكل فردي على جهاز كمبيوتر (الشرائح رقم 34-46)، ويدخلون إجاباتهم في نموذج الإجابة. إذا لزم الأمر، يمكنك استشارة المعلم، ولكن في هذه الحالة سوف يخسر الطالب 0.5 نقطة. إذا أكمل الطالب العمل مبكرًا، فيمكنه اختيار حل المهام الإضافية من المجموعة، الصفحات 243-305 (يتم تقييم المهام الإضافية بشكل منفصل).

تاسعا. استعراض النظراء.

يتبادل الطلاب أوراق التقييم، ويتحققون من عمل أصدقائهم، ويخصصون النقاط (الشريحة رقم 47).

عاشراً: تصحيح المعرفة.

يعمل الطلاب مرة أخرى في مجموعاتهم ويناقشون الحل ويصححون الأخطاء.

الحادي عشر. تلخيص.

يقوم كل طالب بحساب نقاطه ويضع درجة على ورقة النتيجة.

يقدم الطلاب إلى المعلم ورقة تقييم وحلول للمشكلات الإضافية.

يتلقى كل طالب مذكرة (الشريحة رقم 53-54).

الثاني عشر. انعكاس.

يُطلب من الطلاب تقييم معرفتهم باختيار إحدى العبارات:

• انا نجحت!!!
• نحن بحاجة إلى حل بضعة أمثلة أخرى.
• حسنا، من جاء بهذه الرياضيات!

الثالث عشر. العمل في المنزل.

بالنسبة للواجبات المنزلية، يُطلب من الطلاب اختيار المهام من المجموعة، الصفحات 242-334، وكذلك من بنك المهام المفتوح.

لنتخيل طريقًا مستقيمًا يمر عبر منطقة جبلية. أي أنه يصعد ويهبط، لكنه لا يلتفت يمينًا أو يسارًا. إذا تم توجيه المحور أفقيًا على طول الطريق وعموديًا، فسيكون خط الطريق مشابهًا جدًا للرسم البياني لبعض الوظائف المستمرة:

المحور هو مستوى معين من الارتفاع صفر، في الحياة نستخدم مستوى سطح البحر كما هو.

وبينما نتحرك للأمام على طول هذا الطريق، فإننا نتحرك أيضًا لأعلى أو لأسفل. يمكننا أن نقول أيضًا: عندما يتغير الوسيط (الحركة على طول محور الإحداثي) تتغير قيمة الدالة (الحركة على طول المحور الإحداثي). الآن دعونا نفكر في كيفية تحديد "انحدار" طريقنا؟ أي نوع من القيمة يمكن أن يكون هذا؟ الأمر بسيط للغاية: ما مدى تغير الارتفاع عند المضي قدمًا لمسافة معينة. في الواقع، في أجزاء مختلفة من الطريق، عند التحرك للأمام (على طول المحور السيني) بمقدار كيلومتر واحد، سنرتفع أو نهبط بعدد مختلف من الأمتار بالنسبة لمستوى سطح البحر (على طول المحور الصادي).

دعونا نشير إلى التقدم (اقرأ "دلتا x").

يُستخدم الحرف اليوناني (دلتا) بشكل شائع في الرياضيات كبادئة تعني "التغيير". وهذا هو - هذا تغيير في الكمية، - التغيير؛ ما هي اذا؟ هذا صحيح، تغيير في الحجم.

هام: التعبير هو كل واحد ومتغير واحد. لا تفصل أبدًا "دلتا" عن "x" أو أي حرف آخر! وهذا هو، على سبيل المثال،.

لذلك، تقدمنا ​​للأمام، أفقيًا، بمقدار. إذا قارنا خط الطريق بالرسم البياني للدالة، فكيف نشير إلى الارتفاع؟ بالتأكيد، . أي أننا كلما تقدمنا ​​للأمام، نرتفع إلى أعلى.

القيمة سهلة الحساب: إذا كنا في البداية على ارتفاع، وبعد التحرك وجدنا أنفسنا على ارتفاع، إذن. إذا كانت نقطة النهاية أقل من نقطة البداية، فستكون سلبية - وهذا يعني أننا لا نصعد، بل ننزل.

دعنا نعود إلى "الانحدار": هذه قيمة توضح مدى زيادة الارتفاع (بشكل حاد) عند التحرك للأمام بوحدة مسافة واحدة:

لنفترض أنه في جزء ما من الطريق، عند التحرك للأمام بمقدار كيلومتر، يرتفع الطريق بمقدار كيلومتر. إذن الميل عند هذا المكان متساوي. وإذا كان الطريق أثناء التقدم بمقدار متر انخفض بمقدار كيلومتر؟ ثم الميل متساوي.

الآن دعونا ننظر إلى أعلى التل. إذا أخذت بداية المقطع قبل القمة بنصف كيلومتر، والنهاية بعد نصف كيلومتر منها، يمكنك أن ترى أن الارتفاع هو نفسه تقريبًا.

وهذا يعني أنه وفقًا لمنطقنا، يتبين أن الميل هنا يساوي الصفر تقريبًا، وهو ما من الواضح أنه غير صحيح. على مسافة كيلومترات قليلة يمكن أن يتغير الكثير. من الضروري النظر في مناطق أصغر لإجراء تقييم أكثر دقة ودقة للانحدار. على سبيل المثال، إذا قمت بقياس التغير في الارتفاع أثناء تحركك مترًا واحدًا، فستكون النتيجة أكثر دقة. ولكن حتى هذه الدقة قد لا تكون كافية بالنسبة لنا - لأنه إذا كان هناك عمود في منتصف الطريق، فيمكننا ببساطة تجاوزه. ما المسافة التي يجب أن نختارها إذن؟ سنتيمتر؟ ملليمتر؟ اقل هو الافضل!

في الحياة الواقعية، يعد قياس المسافات إلى أقرب ملليمتر أكثر من كافي. لكن علماء الرياضيات يسعون دائمًا إلى الكمال. ولذلك، تم اختراع هذا المفهوم متناهي الصغرأي أن القيمة المطلقة أقل من أي رقم يمكننا تسميته. مثلاً تقول: واحد على تريليون! كم أقل؟ وقمت بتقسيم هذا الرقم على - وسيكون أقل. وما إلى ذلك وهلم جرا. إذا أردنا أن نكتب أن الكمية متناهية الصغر، نكتب هكذا: (نقرأ "x تميل إلى الصفر"). من المهم جدا أن نفهم أن هذا الرقم ليس صفراً!ولكن قريبة جدا منه. هذا يعني أنه يمكنك القسمة عليه.

المفهوم المعاكس لل متناهية الصغر هو كبير بلا حدود (). من المحتمل أنك صادفت هذا بالفعل عندما كنت تعمل على المتباينات: هذا الرقم أكبر بمقياس من أي رقم يمكن أن يخطر ببالك. إذا حصلت على أكبر عدد ممكن، فما عليك سوى ضربه في اثنين وستحصل على رقم أكبر. واللانهاية أعظم مما يحدث. في الواقع، الكبير بلا حدود والصغير بلا حدود هما عكس بعضهما البعض، أي عند، والعكس صحيح: عند.

الآن دعونا نعود إلى طريقنا. الميل المحسوب بشكل مثالي هو الميل المحسوب لجزء متناهٍ في الصغر من المسار، وهو:

وألاحظ أنه مع الإزاحة المتناهية الصغر، فإن التغير في الارتفاع سيكون أيضًا متناهيًا في الصغر. ولكن اسمحوا لي أن أذكركم أن متناهية الصغر لا تعني يساوي الصفر. إذا قمت بقسمة أعداد متناهية الصغر على بعضها البعض، فيمكنك الحصول على رقم عادي تمامًا، على سبيل المثال، . وهذا يعني أن قيمة صغيرة واحدة يمكن أن تكون أكبر من الأخرى تمامًا.

لماذا كل هذا؟ الطريق والانحدار... لن نشارك في مسيرة بالسيارات، ولكننا نقوم بتدريس الرياضيات. وفي الرياضيات، كل شيء هو نفسه تمامًا، ولكن يُسمى بشكل مختلف.

مفهوم المشتقة

مشتق الدالة هو نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة.

تدريجيافي الرياضيات يسمونه التغيير. يسمى المدى الذي تتغير به الوسيطة () أثناء تحركها على طول المحور زيادة الحجةويتم تعيينه، ويسمى مقدار تغير الوظيفة (الارتفاع) عند التحرك للأمام على طول المحور لمسافة زيادة الوظيفةويتم تعيينه.

إذن، مشتقة الدالة هي النسبة إلى متى. نشير إلى المشتق بنفس حرف الدالة، فقط برمز أولي في أعلى اليمين: أو ببساطة. لذلك، دعونا نكتب الصيغة المشتقة باستخدام هذه الرموز:

وكما في التشبيه بالطريق، هنا عندما تزيد الدالة تكون المشتقة موجبة، وعندما تنقص تكون سالبة.

هل يمكن أن تكون المشتقة مساوية للصفر؟ بالتأكيد. على سبيل المثال، إذا كنا نسير على طريق أفقي مسطح، فإن درجة الانحدار تكون صفرًا. وهذا صحيح، الارتفاع لا يتغير على الإطلاق. وهكذا الحال مع المشتقة: مشتقة دالة ثابتة (ثابتة) تساوي صفرًا:

حيث أن زيادة هذه الدالة تساوي صفرًا لأي.

دعونا نتذكر مثال قمة التل. اتضح أنه من الممكن ترتيب نهايات المقطع على جوانب متقابلة من الرأس بحيث يكون الارتفاع عند الأطراف هو نفسه، أي أن المقطع موازي للمحور:

لكن الأجزاء الكبيرة هي علامة على قياس غير دقيق. سنرفع القطعة موازية لنفسها، ثم سينخفض ​​طولها.

في النهاية، عندما نقترب بشكل لا نهائي من القمة، سيصبح طول القطعة متناهية الصغر. لكنه بقي في نفس الوقت موازيا للمحور، أي أن فرق الارتفاعات عند طرفيه يساوي الصفر (لا يميل إلى بل يساوي). لذلك المشتقة

يمكن فهم ذلك بهذه الطريقة: عندما نقف في القمة، فإن التحول البسيط إلى اليسار أو اليمين يغير ارتفاعنا بشكل ضئيل.

يوجد أيضًا تفسير جبري بحت: تزداد الوظيفة على يسار الرأس، وتتناقص إلى اليمين. كما عرفنا سابقًا، عندما تزيد الدالة، تكون المشتقة موجبة، وعندما تقل تكون سالبة. لكنه يتغير بسلاسة، دون قفزات (لأن الطريق لا يغير منحدره بشكل حاد في أي مكان). ولذلك يجب أن يكون هناك بين القيم السلبية والإيجابية. سيكون حيث لا تزيد الدالة ولا تنقص - عند نقطة القمة.

وينطبق الشيء نفسه على الحوض الصغير (المنطقة التي تقل فيها الدالة على اليسار وتزداد على اليمين):

المزيد عن الزيادات.

لذلك نغير الحجة إلى الحجم. نتغير من أي قيمة؟ ماذا أصبحت (الحجة) الآن؟ يمكننا اختيار أي نقطة، والآن سنرقص منها.

النظر في نقطة مع الإحداثيات. قيمة الدالة فيه متساوية. ثم نقوم بنفس الزيادة: نزيد الإحداثيات بمقدار. ما هي الحجة الآن؟ سهل جدا: . ما هي قيمة الدالة الآن؟ أينما تذهب الوسيطة، تذهب الدالة أيضًا: . ماذا عن زيادة الوظيفة؟ لا شيء جديد: لا يزال هذا هو المقدار الذي تغيرت به الوظيفة:

ممارسة العثور على الزيادات:

1. أوجد زيادة الدالة عند نقطة تكون فيها زيادة الوسيطة مساوية لـ.
2. وينطبق الشيء نفسه على الوظيفة عند نقطة ما.

حلول:

في نقاط مختلفة بنفس زيادة الوسيطة، ستكون زيادة الوظيفة مختلفة. هذا يعني أن المشتق عند كل نقطة يختلف (ناقشنا هذا في البداية - يختلف انحدار الطريق عند نقاط مختلفة). لذلك، عندما نكتب مشتقًا، يجب أن نشير إلى أي نقطة:

وظيفة الطاقة.

دالة القوة هي دالة يكون فيها الوسيط إلى حد ما (منطقي، أليس كذلك؟).

علاوة على ذلك - إلى أي حد: .

أبسط حالة هي عندما يكون الأس:

دعونا نجد مشتقتها عند نقطة ما. لنتذكر تعريف المشتق:

لذلك تتغير الحجة من إلى. ما هي الزيادة في الدالة؟

الزيادة هي هذه. لكن الدالة عند أي نقطة تساوي حجتها. لهذا السبب:

المشتق يساوي:

مشتق يساوي:

ب) الآن فكر في الدالة التربيعية (): .

الآن دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكن إهمال قيمة الزيادة، لأنها متناهية الصغر، وبالتالي غير ذات أهمية على خلفية المصطلح الآخر:

لذلك توصلنا إلى قاعدة أخرى:

ج) نواصل السلسلة المنطقية : .

يمكن تبسيط هذا التعبير بطرق مختلفة: افتح القوس الأول باستخدام صيغة الضرب المختصر لمكعب المجموع، أو قم بتحليل التعبير بأكمله باستخدام صيغة فرق المكعبات. حاول أن تفعل ذلك بنفسك باستخدام أي من الطرق المقترحة.

لذلك حصلت على ما يلي:

ومرة أخرى دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكننا إهمال جميع المصطلحات التي تحتوي على:

نحن نحصل: .

د) يمكن الحصول على قواعد مماثلة للقوى الكبرى:

هـ) اتضح أنه يمكن تعميم هذه القاعدة على دالة قوى ذات أس اعتباطي، ولا حتى عددًا صحيحًا:

يمكن صياغة القاعدة بالكلمات التالية: "يتم تقديم الدرجة كمعامل، ثم يتم تخفيضها بمقدار".

سنثبت هذه القاعدة لاحقًا (في النهاية تقريبًا). الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة. أوجد مشتقة الدوال:

1. (بطريقتين: بالصيغة وباستخدام تعريف المشتق - بحساب زيادة الدالة)؛

الدوال المثلثية.

هنا سوف نستخدم حقيقة واحدة من الرياضيات العليا:

مع التعبير.

سوف تتعلم الدليل في السنة الأولى من المعهد (وللوصول إلى هناك، تحتاج إلى اجتياز اختبار الدولة الموحدة جيدًا). والآن سأعرضها بيانيًا فقط:

نرى أنه في حالة عدم وجود الدالة، يتم قطع النقطة الموجودة على الرسم البياني. ولكن كلما اقتربنا من القيمة، كلما اقتربت الوظيفة منها، وهذا هو "الهدف".

بالإضافة إلى ذلك، يمكنك التحقق من هذه القاعدة باستخدام الآلة الحاسبة. نعم، نعم، لا تخجل، استخدم الآلة الحاسبة، فنحن لم نصل إلى امتحان الدولة الموحدة بعد.

إذا دعنا نحاول: ؛

لا تنس تحويل الآلة الحاسبة إلى وضع الراديان!

إلخ. ونلاحظ أنه كلما كانت النسبة أصغر، كلما اقتربت قيمة النسبة منها.

أ) النظر في الوظيفة. كالعادة، لنجد زيادتها:

دعونا نحول فرق الجيوب إلى منتج. للقيام بذلك نستخدم الصيغة (تذكر الموضوع ""): .

الآن المشتقة:

فلنقم بالاستبدال : . ثم بالنسبة إلى متناهية الصغر فهي أيضًا متناهية الصغر: . التعبير لـ يأخذ الشكل:

والآن نتذكر ذلك بالتعبير. وأيضًا، ماذا لو كان من الممكن إهمال كمية متناهية الصغر في المجموع (أي في).

وبذلك نحصل على القاعدة التالية: مشتق الجيب يساوي جيب التمام:

هذه هي المشتقات الأساسية ("الجدولية"). وهنا هم في قائمة واحدة:

سنضيف إليها لاحقًا بعضًا منها، لكن هذه هي الأهم، حيث يتم استخدامها في أغلب الأحيان.

يمارس:

1. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما؛
2. العثور على مشتق من وظيفة.

حلول:

الأس واللوغاريتم الطبيعي.

هناك دالة في الرياضيات مشتقتها لأي قيمة تساوي قيمة الدالة نفسها في نفس الوقت. وتسمى "الأس"، وهي دالة أسية

أساس هذه الدالة - الثابت - هو كسر عشري لا نهائي، أي عدد غير نسبي (مثل). يُطلق عليه "رقم أويلر"، ولهذا يُشار إليه بالحرف.

إذن القاعدة:

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا، دعونا لا نذهب بعيدًا، فلنفكر فورًا في الدالة العكسية. ما هي الدالة المعكوسة للدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا، الأساس هو الرقم:

يُطلق على مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) اسم "طبيعي" ، ونستخدم له رمزًا خاصًا: نكتب بدلاً من ذلك.

ما هو يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الدالة؟

الإجابات: اللوغاريتم الأسي والطبيعي هما دالتان بسيطتان بشكل فريد من منظور مشتق. إن الدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي أساس آخر سيكون لها مشتق مختلف، وهو ما سنحلله لاحقا، بعد أن نتعرف على قواعد الاشتقاق.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التفاضلهي عملية العثور على المشتق.

هذا كل شئ. ماذا يمكنك أن تسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليست مشتقة... يطلق علماء الرياضيات على التفاضل نفس زيادة الدالة عند. يأتي هذا المصطلح من التمايز اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند استخلاص كل هذه القواعد، سنستخدم دالتين، على سبيل المثال، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة.

إذا - بعض الأرقام الثابتة (ثابت)، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا على الاختلاف: .

دعونا نثبت ذلك. فليكن، أو أبسط.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

1. عند نقطة ما؛
2. عند نقطة ما؛
3. عند نقطة ما؛
4. عند هذه النقطة.

حلول:

مشتق من المنتج

كل شيء مشابه هنا: فلنقدم دالة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. أوجد مشتقات الدوال و؛
2. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتقة أي دالة أسية، وليس فقط الأسس (هل نسيت ما هو حتى الآن؟).

لذلك، أين هو بعض العدد.

نحن نعرف بالفعل مشتقة الدالة، لذا دعونا نحاول اختزال الدالة إلى أساس جديد:

للقيام بذلك، سوف نستخدم قاعدة بسيطة: . ثم:

حسنًا، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

وهنا راجع نفسك:

تبين أن الصيغة مشابهة جدًا لمشتقة الأس: كما كانت، ظلت كما هي، ولم يظهر سوى عامل، وهو مجرد رقم، ولكنه ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي:

ولذلك، للعثور على لوغاريتم اختياري مع قاعدة مختلفة، على سبيل المثال:

علينا اختزال هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو ببساطة ثابت (رقم ثابت، بدون متغير). يتم الحصول على المشتق بكل بساطة:

لا يتم العثور على مشتقات الوظائف الأسية واللوغاريتمية أبدًا في امتحان الدولة الموحدة، لكن معرفتها لن تكون زائدة عن الحاجة.

مشتق من وظيفة معقدة.

ما هي "الوظيفة المعقدة"؟ لا، هذا ليس لوغاريتمًا، وليس ظلًا قوسيًا. يمكن أن يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنك إذا وجدت اللوغاريتمات صعبة، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وستكون بخير)، ولكن من وجهة نظر رياضية، فإن كلمة "معقدة" لا تعني "صعبة".

تخيل حزامًا ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الإجراءات باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال، يقوم الأول بتغليف قطعة من الشوكولاتة في غلاف، والثاني يربطها بشريط. والنتيجة هي كائن مركب: قطعة من الشوكولاتة ملفوفة ومربوطة بشريط. لتناول قطعة من الشوكولاتة، عليك القيام بالخطوات العكسية بترتيب عكسي.

لنقم بإنشاء مسار رياضي مماثل: أولاً سنجد جيب تمام الرقم، ثم نقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك، حصلنا على رقم (الشوكولاتة)، وأجد جيب تمامها (الغلاف)، ثم قمت بتربيع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: للعثور على قيمتها، نقوم بالإجراء الأول مباشرة مع المتغير، ثم الإجراء الثاني بما نتج عن الأول.

يمكننا بسهولة القيام بنفس الخطوات بترتيب عكسي: أولاً تقوم بتربيعه، ثم أبحث عن جيب التمام للرقم الناتج: . من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. من السمات المهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات، تتغير الوظيفة.

بعبارة أخرى، الدالة المعقدة هي دالة تكون حجتها دالة أخرى: .

بالنسبة للمثال الأول، .

المثال الثاني: (نفس الشيء). .

سيتم استدعاء الإجراء الذي قمنا به أخيرًا وظيفة "خارجية".، ويتم تنفيذ الإجراء أولاً - وفقًا لذلك وظيفة "داخلية".(هذه أسماء غير رسمية، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأي وظيفة داخلية:

الإجابات:إن فصل الوظائف الداخلية والخارجية يشبه إلى حد كبير تغيير المتغيرات: على سبيل المثال، في دالة

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا، الآن سوف نستخرج لوح الشوكولاتة الخاص بنا ونبحث عن المشتق. يتم دائمًا عكس الإجراء: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية، ثم نضرب النتيجة في مشتقة الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي، يبدو كما يلي:

مثال آخر:

لذا، دعونا أخيرًا صياغة القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو الأمر بسيطا، أليس كذلك؟

دعونا نتحقق من الأمثلة:

المشتق. باختصار عن الأشياء الرئيسية

مشتق من وظيفة- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة:

مشتق من المبلغ:

مشتق من المنتج:

مشتق الحاصل:

مشتق من وظيفة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الدالة "الداخلية" ونجد مشتقتها.
2. نحدد الدالة "الخارجية" ونجد مشتقتها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

الخط المستقيم y=3x+2 مماس للرسم البياني للدالة y=-12x^2+bx-10. أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أقل من الصفر.

حل

اجعل x_0 هو الحد الفاصل للنقطة على الرسم البياني للدالة y=-12x^2+bx-10 التي يمر من خلالها ظل هذا الرسم البياني.

قيمة المشتق عند النقطة x_0 تساوي ميل المماس، أي y"(x_0)=-24x_0+b=3. ومن ناحية أخرى، فإن نقطة التماس تنتمي في نفس الوقت إلى كل من الرسم البياني للدالة الدالة والظل، أي -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. نحصل على نظام من المعادلات \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(الحالات)

لحل هذا النظام، نحصل على x_0^2=1، وهو ما يعني إما x_0=-1 أو x_0=1. وفقًا لشرط الإحداثي السيني، تكون نقاط الظل أقل من الصفر، لذا x_0=-1، ثم b=3+24x_0=-21.

إجابة

حالة

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x) (وهو خط متقطع يتكون من ثلاثة أجزاء مستقيمة). باستخدام الشكل، احسب F(9)-F(5)، حيث F(x) هي إحدى المشتقات العكسية للدالة f(x).

حل

وفقًا لصيغة نيوتن-لايبنيز، فإن الفرق F(9)-F(5)، حيث F(x) هو أحد المشتقات العكسية للدالة f(x)، يساوي مساحة شبه منحرف منحني محدود بواسطة الرسم البياني للدالة y=f(x)، الخطوط المستقيمة y=0 و x=9 و x=5. من الرسم البياني نحدد أن شبه المنحرف المنحني المشار إليه هو شبه منحرف قاعدته 4 و 3 وارتفاعه 3.

مساحتها متساوية \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

حالة

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y=f"(x) - مشتقة الدالة f(x)، المحددة في الفترة (-4؛ 10). أوجد فترات الدالة المتناقصة f(x). في إجابتك، تشير إلى طول أكبر منهم.

حل

كما هو معروف، فإن الدالة f(x) تتناقص على تلك الفواصل الزمنية عند كل نقطة يكون مشتقها f"(x) أقل من الصفر. وبالنظر إلى أنه من الضروري العثور على طول أكبرها، فإن ثلاث فترات من هذا القبيل هي يتميز بشكل طبيعي عن الشكل: (-4؛ -2) ؛ (0؛ 3)؛ (5؛ 9).

طول أكبرهم - (5؛ 9) هو 4.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

حالة

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y=f"(x) - مشتق الدالة f(x)، المحددة في الفترة (-8؛ 7). أوجد عدد النقاط القصوى للدالة f(x) التي تنتمي إلى الفاصل الزمني [-6؛ -2].

حل

يوضح الرسم البياني أن المشتقة f"(x) للدالة f(x) تغير الإشارة من الموجب إلى الناقص (عند هذه النقاط سيكون هناك حد أقصى) عند نقطة واحدة بالضبط (بين -5 و -4) من الفاصل الزمني [ -6; -2 ] لذلك، في الفترة [-6; -2] هناك نقطة قصوى واحدة بالضبط.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

حالة

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)، المحددة على الفاصل الزمني (-2؛ 8). حدد عدد النقاط التي يكون عندها مشتق الدالة f(x) يساوي 0.

حل

إن مساواة المشتقة عند نقطة إلى الصفر تعني أن مماس الرسم البياني للدالة المرسومة عند هذه النقطة يوازي محور الثور. لذلك، نجد النقاط التي يكون فيها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا لمحور الثور. على هذا الرسم البياني، هذه النقاط هي النقاط القصوى (الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط). كما ترون، هناك 5 نقاط متطرفة.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

حالة

الخط المستقيم y=-3x+4 يوازي مماس الرسم البياني للدالة y=-x^2+5x-7. أوجد حدود نقطة المماس.

حل

المعامل الزاوي للخط المستقيم للرسم البياني للدالة y=-x^2+5x-7 عند نقطة عشوائية x_0 يساوي y"(x_0). لكن y"=-2x+5، مما يعني y" (x_0)=-2x_0+5.معامل الخط الزاوي y=-3x+4 المحدد في الشرط يساوي -3.الخطوط المتوازية لها نفس معاملات الميل.لذلك نجد القيمة x_0 بحيث =- 2x_0 +5=-3.

نحصل على: x_0 = 4.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

حالة

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x) وتم وضع علامة على النقاط -6، -1، 1، 4 على الإحداثي الإحداثي. في أي من هذه النقاط يكون المشتق الأصغر؟ يرجى الإشارة إلى هذه النقطة في إجابتك.