Xətti cəbri tənliklər sistemi verilmişdir. Xətti tənliklər sisteminin ümumi və xüsusi həllini necə tapmaq olar
Dərsin məzmunuİki Dəyişənli Xətti Tənliklər
Məktəbdə nahar etmək üçün tələbənin 200 rublu var. Bir tort 25 rubl, bir fincan qəhvə isə 10 rubldur. 200 rubla neçə tort və fincan qəhvə ala bilərsiniz?
Keklərin sayını qeyd edin x, və vasitəsilə qəhvə fincanlarının sayı y. Sonra tortların dəyəri 25 ifadəsi ilə işarələnəcəkdir x, və 10 fincan qəhvənin qiyməti y .
25x- qiymət x tortlar
10y- qiymət y fincan qəhvə
Ümumi məbləğ 200 rubl olmalıdır. Sonra iki dəyişənli bir tənlik alırıq x və y
25x+ 10y= 200
Bu tənliyin neçə kökü var?
Hər şey tələbənin iştahından asılıdır. Əgər o, 6 tort və 5 stəkan kofe alsa, onda tənliyin kökləri 6 və 5 rəqəmləri olacaq.
6 və 5 cütlüyünün 25-ci tənliyin kökləri olduğu deyilir x+ 10y= 200. (6; 5) kimi yazılır, birinci rəqəm dəyişənin qiymətidir x, ikincisi isə dəyişənin dəyəri y .
6 və 5 tənlik 25-i tərsinə çevirən yeganə kök deyil x+ 10y= şəxsiyyətə 200. İstəyirsinizsə, eyni 200 rubla bir tələbə 4 tort və 10 stəkan qəhvə ala bilər:
Bu halda 25-ci tənliyin kökləri x+ 10y= 200 dəyər cütüdür (4; 10) .
Üstəlik, bir tələbə ümumiyyətlə qəhvə almaya bilər, ancaq bütün 200 rubl üçün tortlar ala bilər. Sonra 25-ci tənliyin kökləri x+ 10y= 200 8 və 0 dəyərləri olacaqdır
Və ya əksinə, tortlar almayın, ancaq bütün 200 rubl üçün qəhvə alın. Sonra 25-ci tənliyin kökləri x+ 10y= 200 0 və 20 dəyərləri olacaqdır
25-ci tənliyin bütün mümkün köklərini sadalamağa çalışaq x+ 10y= 200. Gəlin razılaşaq ki, dəyərlər x və y tam ədədlər çoxluğuna aiddir. Və bu dəyərlər sıfırdan böyük və ya sıfıra bərabər olsun:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Beləliklə, tələbənin özü üçün əlverişli olacaq. Tortları bütöv almaq, məsələn, bir neçə bütöv tort və yarım tortdan daha rahatdır. Qəhvə, məsələn, bir neçə bütöv fincan və yarım stəkandansa, bütöv stəkanlarda qəbul etmək daha rahatdır.
Qəribə olduğunu unutmayın x heç bir halda bərabərliyə nail olmaq mümkün deyil y. Sonra dəyərlər x aşağıdakı rəqəmlər olacaq 0, 2, 4, 6, 8. Və bilərək x asanlıqla müəyyən edilə bilər y
Beləliklə, aşağıdakı dəyərlər cütlərini əldə etdik (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Bu cütlər 25-ci tənliyin həlləri və ya kökləridir x+ 10y= 200. Bu tənliyi eyniliyə çevirirlər.
Tip tənliyi balta + ilə = cçağırdı iki dəyişənli xətti tənlik. Bu tənliyin həlli və ya kökləri bir cüt dəyərdir ( x; y), onu şəxsiyyətə çevirir.
Onu da qeyd edək ki, əgər iki dəyişənli xətti tənlik kimi yazılırsa ax + b y = c , sonra deyirlər ki, içində yazılıb kanonik(normal) forma.
İki dəyişənli bəzi xətti tənliklər kanonik formaya salına bilər.
Məsələn, tənlik 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) yada salmaq olar balta + ilə = c. Bu tənliyin hər iki hissəsindəki mötərizələri açaq, əldə edirik 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tərkibində naməlum olan terminlər tənliyin sol tərəfində, naməlumlardan azad olanlar isə sağda qruplaşdırılır. Sonra alırıq 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Hər iki hissədə oxşar terminlər gətiririk, 16-cı tənliyi alırıq x+ 8y= 32. Bu tənlik formaya endirilmişdir balta + ilə = c və kanonikdir.
25-ci tənlik daha əvvəl nəzərdən keçirilmişdir x+ 10y= 200 həm də kanonik formada ikidəyişənli xətti tənlikdir. Bu tənlikdə parametrlər a , b və c müvafiq olaraq 25, 10 və 200 qiymətlərinə bərabərdir.
Əslində tənlik balta + ilə = c sonsuz sayda həlli var. Tənliyin həlli 25x+ 10y= 200, onun köklərini yalnız tam ədədlər çoxluğunda axtardıq. Nəticədə, bu tənliyi şəxsiyyətə çevirən bir neçə cüt dəyər əldə etdik. Ancaq rasional ədədlər çoxluğunda tənlik 25 x+ 10y= 200-ün sonsuz sayda həlli olacaq.
Yeni dəyər cütləri əldə etmək üçün ixtiyari dəyər götürməlisiniz x, sonra ifadə edin y. Məsələn, dəyişəni götürək x qiymət 7. Sonra bir dəyişənli tənlik alırıq 25×7 + 10y= 200 ifadə etmək üçün y
Qoy x= 15. Sonra tənlik 25x+ 10y= 200 25 × 15 olur + 10y= 200. Buradan biz bunu tapırıq y = −17,5
Qoy x= −3. Sonra tənlik 25x+ 10y= 200 25 × (−3) olur + 10y= 200. Buradan biz bunu tapırıq y = −27,5
İki dəyişənli iki xətti tənliklər sistemi
Tənlik üçün balta + ilə = cüçün ixtiyari dəyərləri istənilən sayda götürə bilərsiniz x və dəyərləri tapın y. Ayrılıqda götürsək, belə bir tənliyin sonsuz sayda həlli olacaqdır.
Amma dəyişənlər də olur x və y bir deyil, iki tənliklə bağlıdır. Bu vəziyyətdə, onlar sözdə meydana gətirirlər iki dəyişənli xətti tənliklər sistemi. Belə bir tənliklər sistemi bir cüt dəyərə malik ola bilər (və ya başqa sözlə: "bir həll").
Sistemin heç bir həll yolu olmadığı da ola bilər. Xətti tənliklər sisteminin nadir və müstəsna hallarda sonsuz sayda həlli ola bilər.
İki xətti tənlik bir sistem meydana gətirdikdə dəyərlər x və y bu tənliklərin hər birinə daxildir.
Gəlin birinci tənliyə qayıdaq 25 x+ 10y= 200. Bu tənlik üçün qiymət cütlərindən biri (6; 5) cütü idi. Bu, 200 rubla 6 tort və 5 stəkan kofe ala biləcəyi vəziyyətdir.
Problemi elə tərtib edirik ki, (6; 5) cütü 25-ci tənliyin yeganə həlli olsun. x+ 10y= 200. Bunu etmək üçün eynini birləşdirəcək başqa bir tənlik tərtib edirik x tortlar və y fincan qəhvə.
Tapşırığın mətnini aşağıdakı kimi yerləşdirək:
“Bir məktəbli 200 rubla bir neçə tort və bir neçə fincan kofe aldı. Bir tort 25 rubl, bir fincan qəhvə isə 10 rubldur. Tortların sayının qəhvə fincanlarının sayından bir çox olduğu məlumdursa, şagird neçə tort və fincan kofe almışdır?
Artıq birinci tənliyi əldə etdik. Bu tənlik 25-dir x+ 10y= 200. İndi şərt üçün tənlik yazaq "tortların sayı qəhvə fincanlarının sayından bir vahid çoxdur" .
Tortların sayı x, və qəhvə fincanlarının sayı y. Bu ifadəni tənlikdən istifadə edərək yaza bilərsiniz x − y= 1. Bu tənlik tortlar və qəhvə arasındakı fərqin 1 olduğunu ifadə edərdi.
x=y+ 1. Bu tənlik o deməkdir ki, tortların sayı qəhvə fincanlarının sayından bir çoxdur. Buna görə də bərabərliyi əldə etmək üçün qəhvə fincanlarının sayına bir əlavə edilir. Ən sadə məsələləri öyrənərkən nəzərə aldığımız çəki modelindən istifadə etsək bunu asanlıqla başa düşmək olar:
İki tənlik var: 25 x+ 10y= 200 və x=y+ 1. Dəyərlərdən bəri x və y, yəni 6 və 5 bu tənliklərin hər birinə daxil edilir, sonra birlikdə bir sistem yaradırlar. Gəlin bu sistemi yazaq. Əgər tənliklər sistem təşkil edirsə, o zaman sistemin işarəsi ilə çərçivəyə salınır. Sistem işarəsi əyri mötərizədir:
Gəlin bu sistemi həll edək. Bu, bizə 6 və 5 dəyərlərinə necə çatdığımızı görməyə imkan verəcək. Belə sistemlərin həlli üçün bir çox üsul var. Onlardan ən populyarını nəzərdən keçirin.
Əvəzetmə üsulu
Bu metodun adı özü üçün danışır. Onun mahiyyəti əvvəllər dəyişənlərdən birini ifadə edərək bir tənliyi digərinə əvəz etməkdir.
Bizim sistemdə heç nəyi ifadə etmək lazım deyil. İkinci tənlikdə x = y+ 1 dəyişən x artıq ifadə olunub. Bu dəyişən ifadəyə bərabərdir y+ 1. Sonra bu ifadəni dəyişənin yerinə birinci tənlikdə əvəz edə bilərsiniz x
İfadəsini əvəz etdikdən sonra y Bunun əvəzinə birinci tənliyə + 1 daxil edin x, tənliyini alırıq 25(y+ 1) + 10y= 200 . Bu bir dəyişənli xətti tənlikdir. Bu tənliyi həll etmək olduqca asandır:
Dəyişənin dəyərini tapdıq y. İndi bu dəyəri tənliklərdən birinə əvəz edirik və dəyəri tapırıq x. Bunun üçün ikinci tənliyi istifadə etmək rahatdır x = y+ 1. Gəlin ona dəyər verək y
Beləliklə, (6; 5) cütü nəzərdə tutduğumuz kimi tənliklər sisteminin həllidir. Cütlüyün (6; 5) sistemi təmin etdiyini yoxlayırıq və əmin edirik:
Misal 2
Birinci tənliyi əvəz edin x= 2 + y ikinci tənliyə 3 x - 2y= 9. Birinci tənlikdə dəyişən x 2 + ifadəsinə bərabərdir y. Bu ifadəni yerinə ikinci tənlikdə əvəz edirik x
İndi dəyəri tapaq x. Bunu etmək üçün dəyəri əvəz edin y birinci tənliyə salın x= 2 + y
Beləliklə, sistemin həlli cüt qiymətidir (5; 3)
Misal 3. Əvəzetmə metodundan istifadə edərək aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Burada əvvəlki nümunələrdən fərqli olaraq dəyişənlərdən biri açıq şəkildə ifadə olunmur.
Bir tənliyi digərinə əvəz etmək üçün əvvəlcə lazımdır.
Bir əmsalı olan dəyişəni ifadə etmək məqsədəuyğundur. Əmsal vahidinin dəyişəni var x, birinci tənlikdə olan x+ 2y= 11. Bu dəyişəni ifadə edək.
Dəyişən ifadədən sonra x, sistemimiz belə görünəcək:
İndi birinci tənliyi ikinciyə əvəz edirik və dəyəri tapırıq y
Əvəz etmək y x
Beləliklə, sistemin həlli bir cüt dəyərdir (3; 4)
Təbii ki, siz dəyişəni də ifadə edə bilərsiniz y. Köklər dəyişməyəcək. Amma ifadə etsəniz y, nəticə çox sadə bir tənlik deyil, onun həlli daha çox vaxt aparacaqdır. Bu belə görünəcək:
Bunu ifadə etmək üçün bu nümunədə görürük x ifadə etməkdən daha əlverişlidir y .
Misal 4. Əvəzetmə metodundan istifadə edərək aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Birinci tənlikdə ifadə edin x. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
y
Əvəz etmək y birinci tənliyə daxil edin və tapın x. Orijinal tənlik 7-dən istifadə edə bilərsiniz x+ 9y= 8 və ya dəyişənin ifadə olunduğu tənliyi istifadə edin x. Rahat olduğu üçün bu tənliyi istifadə edəcəyik:
Beləliklə, sistemin həlli qiymətlər cütüdür (5; −3)
Əlavə üsulu
Əlavə metodu sistemə daxil olan tənlikləri müddətli terminlərlə əlavə etməkdir. Bu əlavə yeni bir dəyişənli tənliklə nəticələnir. Və bu tənliyi həll etmək olduqca asandır.
Aşağıdakı tənliklər sistemini həll edək:
Birinci tənliyin sol tərəfini ikinci tənliyin sol tərəfinə əlavə edin. Və birinci tənliyin sağ tərəfi ilə ikinci tənliyin sağ tərəfi. Aşağıdakı bərabərliyi əldə edirik:
Budur oxşar terminlər:
Nəticədə ən sadə 3-cü tənliyi əldə etdik x= kökü 9 olan 27. Qiyməti bilmək x dəyərini tapa bilərsiniz y. Dəyəri əvəz edin x ikinci tənliyə salın x − y= 3. 9 - alırıq y= 3. Buradan y= 6 .
Beləliklə, sistemin həlli bir cüt dəyərdir (9; 6)
Misal 2
Birinci tənliyin sol tərəfini ikinci tənliyin sol tərəfinə əlavə edin. Və birinci tənliyin sağ tərəfi ilə ikinci tənliyin sağ tərəfi. Nəticədə bərabərlikdə biz aşağıdakı şərtləri təqdim edirik:
Nəticədə ən sadə 5 tənliyini əldə etdik x= 20, kökü 4. Qiyməti bilmək x dəyərini tapa bilərsiniz y. Dəyəri əvəz edin x birinci tənliyə 2 x+y= 11. Gəlin 8+ alırıq y= 11. Buradan y= 3 .
Beləliklə, sistemin həlli qiymətlər cütüdür (4;3)
Əlavə prosesi ətraflı təsvir edilmir. Bunu ağılda etmək lazımdır. Əlavə edərkən hər iki tənlik kanonik formaya salınmalıdır. Yəni ağıl üçün ac+by=c .
Nəzərdən keçirilən nümunələrdən belə görünür ki, tənliklərin əlavə edilməsində əsas məqsəd dəyişənlərdən birindən xilas olmaqdır. Lakin tənliklər sistemini toplama üsulu ilə dərhal həll etmək həmişə mümkün olmur. Çox vaxt sistem əvvəlcədən bu sistemə daxil olan tənlikləri əlavə etmək mümkün olan bir formaya gətirilir.
Məsələn, sistem 
birbaşa əlavə üsulu ilə həll edilə bilər. Hər iki tənliyi əlavə edərkən, şərtlər y və −y yox olur, çünki onların cəmi sıfırdır. Nəticədə ən sadə tənlik 11 əmələ gəlir x= 22 , onun kökü 2. Onda müəyyən etmək mümkün olacaq y 5-ə bərabərdir.
Və tənliklər sistemi 
əlavə metodu dərhal həll edilə bilməz, çünki bu, dəyişənlərdən birinin yox olmasına səbəb olmayacaqdır. Əlavə 8-ci tənliklə nəticələnəcək x+ y= 28 , sonsuz sayda həlli var.
Tənliyin hər iki hissəsi sıfıra bərabər olmayan eyni ədədə vurularsa və ya bölünərsə, verilmiş birinə ekvivalent tənlik alınacaqdır. Bu qayda iki dəyişənli xətti tənliklər sistemi üçün də keçərlidir. Tənliklərdən biri (və ya hər iki tənlik) hansısa ədədə vurula bilər. Nəticə, kökləri əvvəlki ilə üst-üstə düşəcək ekvivalent bir sistemdir.
Şagirdin neçə tort və fincan qəhvə aldığını təsvir edən ilk sistemə qayıdaq. Bu sistemin həlli bir cüt dəyər idi (6; 5) .
Bu sistemə daxil olan hər iki tənliyi bəzi ədədlərə vururuq. Tutaq ki, birinci tənliyi 2-yə, ikincini isə 3-ə vururuq
Nəticə bir sistemdir 
Bu sistemin həlli hələ də dəyər cütüdür (6; 5)
Bu o deməkdir ki, sistemə daxil olan tənliklər əlavə üsulunu tətbiq etmək üçün uyğun olan formaya salına bilər.
Sistemə qayıt əlavə üsulu ilə həll edə bilmədiyimiz.
Birinci tənliyi 6-ya, ikincini isə -2-yə vurun
Sonra aşağıdakı sistemi alırıq:
Bu sistemə daxil olan tənlikləri əlavə edirik. Komponentlərin əlavə edilməsi 12 x və -12 x nəticə 0, əlavə 18 olacaq y və 4 y 22 verəcək y, və 108 və −20-ni toplamaq 88-i verir. Sonra 22 tənliyini əldə edirsiniz. y= 88, deməli y = 4 .
Əgər əvvəlcə ağlınıza tənliklər əlavə etmək çətindirsə, onda birinci tənliyin sol tərəfinin ikinci tənliyin sol tərəfinə, birinci tənliyin sağ tərəfinin isə sağ tərəfinə necə əlavə olunduğunu yaza bilərsiniz. ikinci tənlik:
Dəyişənin dəyərini bilmək y 4-dür, dəyəri tapa bilərsiniz x. Əvəz etmək y tənliklərdən birinə, məsələn, birinci tənliyə 2 x+ 3y= 18. Sonra bir dəyişən 2 olan bir tənlik alırıq x+ 12 = 18. 12-ni sağ tərəfə köçürür, işarəni dəyişdirərək 2-ni alırıq x= 6, deməli x = 3 .
Misal 4. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
İkinci tənliyi −1-ə vurun. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
Hər iki tənliyi əlavə edək. Komponentlərin əlavə edilməsi x və −x nəticə 0, əlavə 5 olacaq y və 3 y 8 verəcək y, və 7 və 1-in toplanması 8-i verir. Nəticə 8-ci tənlikdir y= 8 , kimin kökü 1. Dəyərini bilmək y 1-dir, dəyəri tapa bilərsiniz x .
Əvəz etmək y birinci tənliyə daxil oluruq x+ 5 = 7, buna görə də x= 2
Misal 5. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Eyni dəyişənləri ehtiva edən terminlərin bir-birinin altında yerləşməsi arzu edilir. Buna görə də, ikinci tənlikdə 5 terminləri y və −2 x yerləri dəyişdirin. Nəticədə sistem aşağıdakı formanı alacaq:
İkinci tənliyi 3-ə vurun. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
İndi hər iki tənliyi əlavə edək. Əlavənin nəticəsi olaraq 8-ci tənliyi alırıq y= 16, kökü 2-dir.
Əvəz etmək y birinci tənliyə daxil olsaq, 6 alırıq x− 14 = 40. -14 terminini sağ tərəfə köçürür, işarəni dəyişdirərək 6 alırıq x= 54. Buradan x= 9.
Misal 6. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Gəlin fraksiyalardan xilas olaq. Birinci tənliyi 36-ya, ikincini isə 12-yə vurun
Yaranan sistemdə 
birinci tənliyi -5-ə, ikincini isə 8-ə vurmaq olar
Əldə edilən sistemdəki tənlikləri əlavə edək. Onda ən sadə tənliyi -13 alırıq y= -156. Buradan y= 12. Əvəz etmək y birinci tənliyə daxil edin və tapın x
Misal 7. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Hər iki tənliyi normal formaya gətiririk. Burada hər iki tənlikdə mütənasiblik qaydasını tətbiq etmək rahatdır. Əgər birinci tənlikdə sağ tərəfi , ikinci tənliyin sağ tərəfi isə kimi göstərilibsə, sistem aşağıdakı formanı alacaq:
Bizim nisbətimiz var. Onun ifrat və orta şərtlərini çoxaldırıq. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
Birinci tənliyi -3-ə vururuq və ikincisində mötərizələri açırıq:
İndi hər iki tənliyi əlavə edək. Bu tənlikləri toplamaq nəticəsində hər iki hissədə sıfır olacaq bərabərlik əldə edirik:
Belə çıxır ki, sistemin sonsuz sayda həlli var.
Ancaq biz sadəcə olaraq göydən özbaşına dəyərlər götürə bilmərik x və y. Dəyərlərdən birini təyin edə bilərik, digəri isə göstərdiyimiz dəyərdən asılı olaraq müəyyən olunacaq. Məsələn, qoy x= 2. Bu dəyəri sistemdə əvəz edin:
Tənliklərdən birinin həlli nəticəsində üçün qiymət y, hər iki tənliyi təmin edəcək:
Nəticədə alınan dəyər cütü (2; −2) sistemi təmin edəcək:
Gəlin başqa bir cüt dəyər tapaq. Qoy x= 4. Bu dəyəri sistemdə əvəz edin:
Bunu gözlə müəyyən etmək olar y sıfıra bərabərdir. Sonra sistemimizi qane edən bir cüt dəyər alırıq (4; 0):
Misal 8. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Birinci tənliyi 6-ya, ikincini isə 12-yə vurun
Qalanları yenidən yazaq:
Birinci tənliyi −1-ə vurun. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
İndi hər iki tənliyi əlavə edək. Toplama nəticəsində 6-cı tənlik yaranır b= 48 , onun kökü 8. Əvəz edin b birinci tənliyə daxil edin və tapın a
Üç dəyişənli xətti tənliklər sistemi
Üç dəyişənli xətti tənliyə əmsallı üç dəyişən, həmçinin kəsişmə daxildir. Kanonik formada aşağıdakı kimi yazıla bilər:
ax + by + cz = d
Bu tənliyin sonsuz sayda həlli var. İki dəyişənə fərqli qiymətlər verməklə üçüncü dəyəri tapmaq olar. Bu vəziyyətdə həll üçlü dəyərlərdir ( x; y; z) tənliyi eyniliyə çevirən.
Əgər dəyişənlər x, y, züç tənlik ilə bir-birinə bağlıdır, sonra üç dəyişənli üç xətti tənliklər sistemi yaranır. Belə bir sistemi həll etmək üçün iki dəyişənli xətti tənliklərə tətbiq olunan eyni üsulları tətbiq edə bilərsiniz: əvəzetmə üsulu və əlavə metodu.
Misal 1. Əvəzetmə metodundan istifadə edərək aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Üçüncü tənlikdə ifadə edirik x. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
İndi əvəzetməni edək. Dəyişən x ifadəsinə bərabərdir 3 − 2y − 2z . Bu ifadəni birinci və ikinci tənliklərdə əvəz edin:
Gəlin hər iki tənlikdə mötərizələri açıb oxşar şərtləri verək:
Biz iki dəyişənli xətti tənliklər sisteminə gəldik. Bu vəziyyətdə əlavə üsulunu tətbiq etmək rahatdır. Nəticədə, dəyişən y yox olacaq və biz dəyişənin qiymətini tapa bilərik z
İndi dəyəri tapaq y. Bunun üçün − tənliyindən istifadə etmək rahatdır y+ z= 4. Dəyəri əvəz edin z
İndi dəyəri tapaq x. Bunun üçün tənlikdən istifadə etmək rahatdır x= 3 − 2y − 2z . Onun içindəki dəyərləri əvəz edin y və z
Beləliklə, dəyərlərin üçlüyü (3; −2; 2) sistemimizin həllidir. Yoxlamaqla bu dəyərlərin sistemi təmin etdiyinə əmin oluruq:
Misal 2. Əlavə üsulu ilə sistemi həll edin
Birinci tənliyi ikincinin −2-yə vurulması ilə əlavə edək.
İkinci tənlik −2 ilə vurularsa, o, formasını alacaqdır −6x+ 6y- 4z = −4 . İndi onu birinci tənliyə əlavə edin:
Elementar çevrilmələr nəticəsində dəyişənin qiymətinin müəyyən edildiyini görürük x. Birə bərabərdir.
Əsas sistemə qayıdaq. Üçüncünün −1-ə vurulması ilə ikinci tənliyi əlavə edək. Üçüncü tənlik −1-ə vurularsa, o, formasını alacaqdır −4x + 5y − 2z = −1 . İndi onu ikinci tənliyə əlavə edin:
Tənliyi əldə etdim x - 2y= −1 . Onun dəyərini əvəz edin xəvvəllər tapdığımız. Bundan sonra dəyəri müəyyən edə bilərik y
Biz indi dəyərləri bilirik x və y. Bu, dəyəri müəyyən etməyə imkan verir z. Sistemə daxil olan tənliklərdən birini istifadə edirik:
Beləliklə, dəyərlərin üçlüyü (1; 1; 1) sistemimizin həllidir. Yoxlamaqla bu dəyərlərin sistemi təmin etdiyinə əmin oluruq:
Xətti tənliklər sistemlərinin tərtibi üçün tapşırıqlar
Tənliklər sistemlərinin tərtibi vəzifəsi bir neçə dəyişən təqdim etməklə həll edilir. Sonra məsələnin şərtlərinə əsasən tənliklər tərtib edilir. Tərtib edilmiş tənliklərdən sistem təşkil edir və onu həll edirlər. Sistemi həll etdikdən sonra onun həllinin problemin şərtlərinə cavab verib-vermədiyini yoxlamaq lazımdır.
Tapşırıq 1. “Volqa” markalı maşın şəhərdən kolxoza getdi. O, birincidən 5 km qısa olan başqa bir yol ilə geri qayıtdı. Ümumilikdə avtomobil hər iki istiqamətdə 35 km getdi. Hər yolun uzunluğu neçə kilometrdir?
Həll
Qoy x- birinci yolun uzunluğu, y- ikincinin uzunluğu. Əgər avtomobil hər iki tərəfə 35 km getmişdirsə, onda birinci tənliyi belə yazmaq olar x+ y= 35. Bu tənlik hər iki yolun uzunluqlarının cəmini təsvir edir.
Deyilənə görə, avtomobil birincidən 5 km qısa olan yol ilə geri qayıdırdı. Onda ikinci tənliyi belə yazmaq olar x− y= 5. Bu tənlik göstərir ki, yolların uzunluqları arasındakı fərq 5 km-dir.
Və ya ikinci tənliyi belə yazmaq olar x= y+ 5. Bu tənlikdən istifadə edəcəyik.
Dəyişənlərdən bəri x və y hər iki tənlikdə eyni ədədi ifadə edir, onda onlardan sistem yarada bilərik:
Bu sistemi əvvəllər öyrənilmiş üsullardan birini istifadə edərək həll edək. Bu vəziyyətdə əvəzetmə metodundan istifadə etmək rahatdır, çünki ikinci tənlikdə dəyişən x artıq ifadə olunub.
İkinci tənliyi birinci ilə əvəz edin və tapın y
Tapılan dəyəri əvəz edin y ikinci tənliyə salın x= y+ 5 və tapın x
Birinci yolun uzunluğu dəyişən ilə işarələnmişdir x. İndi biz onun mənasını tapdıq. Dəyişən x 20-dir. Beləliklə, birinci yolun uzunluğu 20 km-dir.
İkinci yolun uzunluğu isə göstərilib y. Bu dəyişənin qiyməti 15-dir. Beləliklə, ikinci yolun uzunluğu 15 km-dir.
Gəlin yoxlayaq. Əvvəlcə sistemin düzgün həll olunduğuna əmin olaq:
İndi (20; 15) həllinin məsələnin şərtlərinə cavab verib-vermədiyini yoxlayaq.
Ümumilikdə avtomobilin hər iki tərəfə 35 km getdiyi bildirilib. Hər iki yolun uzunluqlarını cəmləyirik və həllin (20; 15) bu şərti ödədiyinə əmin oluruq: 20 km + 15 km = 35 km
Növbəti şərt: avtomobil birincidən 5 km qısa olan başqa bir yol ilə geri qayıtdı . Görürük ki, həll (20; 15) də bu şərti ödəyir, çünki 15 km 20 km-dən 5 km qısadır: 20 km − 15 km = 5 km
Sistemi tərtib edərkən, bu sistemə daxil olan bütün tənliklərdə dəyişənlərin eyni ədədləri göstərməsi vacibdir.
Beləliklə, sistemimiz iki tənlikdən ibarətdir. Bu tənliklər öz növbəsində dəyişənləri ehtiva edir x və y, hər iki tənlikdə eyni rəqəmləri, yəni 20 km və 15 km-ə bərabər olan yolların uzunluqlarını ifadə edir.
Tapşırıq 2. Platformaya palıd və şam şpalları yüklənib, cəmi 300 şpal. Məlumdur ki, bütün palıd şpallarının çəkisi bütün şam şpallarından 1 ton azdır. Hər bir palıd şpalının çəkisi 46 kq, şam şpalının isə 28 kq olması halında, ayrı-ayrılıqda neçə palıd və şam şpalının olduğunu müəyyən edin.
Həll
Qoy x palıd və yşam şpalları platformaya yüklənirdi. Cəmi 300 şpal varsa, birinci tənliyi belə yazmaq olar x+y = 300 .
Bütün palıd şpallarının çəkisi 46 idi x kq, şam ağacının çəkisi isə 28 idi y Kiloqram. Palıd şpallarının çəkisi şam şpallarından 1 ton az olduğundan ikinci tənliyi belə yazmaq olar 28y- 46x= 1000 . Bu tənlik palıd və şam şpallarının kütlə fərqinin 1000 kq olduğunu göstərir.
Palıd və şam şpallarının kütləsi kiloqramla ölçüldüyü üçün tonlar kiloqrama çevrilmişdir.
Nəticədə sistemi təşkil edən iki tənlik əldə edirik
Gəlin bu sistemi həll edək. Birinci tənlikdə ifadə edin x. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
Birinci tənliyi ikinci ilə əvəz edin və tapın y
Əvəz etmək y tənliyə salın x= 300 − y və nə tapın x
Bu o deməkdir ki, platformaya 100 palıd və 200 şam şpal yüklənib.
Həllin (100; 200) məsələnin şərtlərinə cavab verib-vermədiyini yoxlayaq. Əvvəlcə sistemin düzgün həll olunduğuna əmin olaq:
Ümumilikdə 300 şpalın olduğu deyilirdi. Palıd və şam şpallarının sayını əlavə edirik və məhlulun (100; 200) bu şərti ödədiyinə əmin oluruq: 100 + 200 = 300.
Növbəti şərt: bütün palıd şpallarının çəkisi bütün şam ağaclarından 1 ton az idi . Görürük ki, məhlul (100; 200) də bu şərti ödəyir, çünki 46 × 100 kq palıd şpalları 28 × 200 kq şam şpallarından yüngüldür: 5600 kq − 4600 kq = 1000 kq.
Tapşırıq 3. Ağırlığa görə 2: 1, 3: 1 və 5: 1 nisbətində üç parça mis və nikel ərintisi götürdük. Bunlardan 12 kq ağırlığında bir parça 4: 1 mis və nikel nisbəti ilə əridildi. Əgər birincinin kütləsi ikincinin kütləsindən iki dəfə böyükdürsə, hər bir orijinal parçanın kütləsini tapın.
Qauss metodunun bir sıra çatışmazlıqları var: Qauss metodunda lazım olan bütün çevrilmələr həyata keçirilməyənə qədər sistemin ardıcıl olub-olmadığını bilmək mümkün deyil; Qauss metodu hərf əmsallı sistemlər üçün uyğun deyil.
Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün digər üsulları nəzərdən keçirin. Bu üsullar matrisin dərəcə anlayışından istifadə edir və hər hansı birgə sistemin həllini Kramer qaydasının tətbiq olunduğu sistemin həllinə endirir.
Misal 1 Aşağıdakı xətti tənliklər sisteminin ümumi həllini aşağı salınmış homojen sistemin əsas həllər sistemindən və qeyri-homogen sistemin xüsusi həllindən istifadə edərək tapın.
1. Bir matris düzəldirik A və sistemin genişlənmiş matrisi (1)
2. Sistemi araşdırın (1) uyğunluq üçün. Bunun üçün matrislərin dərəcələrini tapırıq A və https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Əgər belə çıxırsa, o zaman sistem (1) uyğunsuz. Bunu alsaq , onda bu sistem ardıcıldır və biz onu həll edəcəyik. (Ardıcıllıq tədqiqatı Kronecker-Capelli teoreminə əsaslanır).
a. Tapdıq rA.
Tapmaq rA, biz ardıcıl olaraq matrisin birinci, ikinci və s. sıralarının sıfırdan fərqli kiçiklərini nəzərdən keçirəcəyik. A və onları əhatə edən azyaşlılar.
M1=1≠0 (1 matrisin yuxarı sol küncündən götürülür A).
Sərhəd M1 bu matrisin ikinci sətri və ikinci sütunu. 
. Biz sərhədə davam edirik M1 ikinci sətir və üçüncü sütun..gif" width="37" height="20 src=">. İndi sıfırdan fərqli minoru haşiyələyirik. М2′ ikinci sifariş.
Bizdə: 
(çünki ilk iki sütun eynidir)
(çünki ikinci və üçüncü sətirlər mütənasibdir).
Biz bunu görürük rA=2, və matrisin əsas minorudur A.
b. Tapdıq .
Kifayət qədər əsas kiçik М2′ matrislər A sərbəst üzvlər sütunu və bütün sətirlərlə haşiyələnir (bizdə yalnız sonuncu sətir var).
. Bundan belə çıxır ki М3′′ matrisin əsas minoru olaraq qalır https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Çünki М2′- matrisin əsas minoru A sistemləri (2) , onda bu sistem sistemə bərabərdir (3) , sistemin ilk iki tənliyindən ibarətdir (2) (üçün М2′ A) matrisinin ilk iki cərgəsindədir.
(3)
Əsas kiçik olduğundan https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Bu sistemdə iki pulsuz naməlum ( x2 və x4 ). Belə ki FSR sistemləri (4) iki məhluldan ibarətdir. Onları tapmaq üçün biz pulsuz bilinməyənləri təyin edirik (4) ilk növbədə dəyərlər x2=1 , x4=0 , daha sonra - x2=0 , x4=1 .
At x2=1 , x4=0 alırıq:
.
Bu sistem artıq var yeganə şey həll (onu Kramer qaydası və ya hər hansı başqa üsulla tapmaq olar). Birinci tənliyi ikinci tənlikdən çıxarsaq, alırıq:
Onun qərarı olacaq x1= -1 , x3=0 . Dəyərləri nəzərə alaraq x2 və x4 , verdiyimiz sistemin ilk fundamental həllini əldə edirik (2) : .
İndi qoyuruq (4) x2=0 , x4=1 . Biz əldə edirik:
.
Bu sistemi Kramer teoremindən istifadə edərək həll edirik:
.
Sistemin ikinci əsas həllini əldə edirik (2) : .
Həll yolları β1 , β2 və makiyaj edin FSR sistemləri (2) . Sonra onun ümumi həlli olacaq
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Budur C1 , C2 ixtiyari sabitlərdir.
4. Birini tapın özəl həll heterojen sistem(1) . Paraqrafda olduğu kimi 3 , sistemin əvəzinə (1) ekvivalent sistemi nəzərdən keçirin (5) , sistemin ilk iki tənliyindən ibarətdir (1) .
(5)
Sərbəst bilinməyənləri sağ tərəflərə köçürürük x2 və x4.
(6)
Pulsuz bilinməyənləri verək x2 və x4 ixtiyari dəyərlər, məsələn, x2=2 , x4=1 və onları daxil edin (6) . Gəlin sistemi əldə edək
Bu sistemin unikal həlli var (çünki onun determinantı М2′0). Onu həll etməklə (Kramer teoremindən və ya Qauss metodundan istifadə etməklə) əldə edirik x1=3 , x3=3 . Sərbəst bilinməyənlərin dəyərlərini nəzərə alaraq x2 və x4 , alırıq qeyri-homogen sistemin xüsusi həlli(1)α1=(3,2,3,1).
5. İndi yazmaq qalır qeyri-homogen sistemin ümumi həlli α(1) : cəminə bərabərdir şəxsi qərar bu sistem və onun azaldılmış homojen sisteminin ümumi həlli (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Bu o deməkdir: 
(7)
6. İmtahan. Sistemi düzgün həll edib-etmədiyinizi yoxlamaq üçün (1) , bizə ümumi bir həll lazımdır (7) ilə əvəz etmək (1) . Əgər hər bir tənlik eyniliyə çevrilirsə ( C1 və C2 məhv edilməlidir), onda həll düzgün tapılır.
əvəz edəcəyik (7) məsələn, yalnız sistemin sonuncu tənliyində (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Alırıq: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Burada -1=-1. Şəxsiyyətimiz var. Bunu sistemin bütün digər tənlikləri ilə edirik (1) .
Şərh. Doğrulama adətən olduqca çətin olur. Biz aşağıdakı "qismən yoxlamanı" tövsiyə edə bilərik: sistemin ümumi həllində (1) ixtiyari sabitlərə bəzi dəyərlər təyin edin və əldə edilən xüsusi həlli yalnız atılmış tənliklərə (yəni, həmin tənliklərə) əvəz edin. (1) daxil olmayanlar (5) ). Əgər şəxsiyyətləriniz varsa, o zaman çox güman ki, sistemin həlli (1) düzgün tapıldı (lakin belə bir çek düzgünlüyünə tam zəmanət vermir!). Məsələn, əgər varsa (7) qoy C2=- 1 , C1=1, onda alırıq: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Sistemin (1) sonuncu tənliyini əvəz etsək, əldə edirik: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yəni –1=–1. Şəxsiyyətimiz var.
Misal 2 Xətti tənliklər sisteminin ümumi həllini tapın (1) , əsas bilinməyənləri sərbəst olanlar baxımından ifadə edir.
Həll. kimi misal 1, matrisləri tərtib edin A və bu matrislərdən https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. İndi biz sistemin yalnız həmin tənliklərini buraxırıq. (1) , əmsalları bu əsas minora daxil olan (yəni ilk iki tənliyimiz var) və onlardan ibarət sistemi nəzərdən keçirək ki, bu sistem (1) ilə bərabərdir.
Sərbəst naməlumları bu tənliklərin sağ tərəflərinə köçürək.
sistemi (9) düzgün hissələri sərbəst üzvlər hesab edərək Qauss üsulu ilə həll edirik.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Seçim 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" eni="192" hündürlük="106 src=">
Seçim 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" eni="172" hündürlük="80">
Seçim 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" eni="179 hündürlük=106" hündürlük="106">
Variant 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" eni="195" hündürlük="106">
Göründüyü kimi Kramer teoremləri, xətti tənliklər sistemini həll edərkən üç hal baş verə bilər:
Birinci hal: xətti tənliklər sisteminin unikal həlli var
(sistem ardıcıl və müəyyəndir)
İkinci hal: xətti tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var
(sistem ardıcıl və qeyri-müəyyəndir)
** 
,
olanlar. naməlumların və sərbəst şərtlərin əmsalları mütənasibdir.
Üçüncü hal: xətti tənliklər sisteminin həlli yoxdur
(sistem uyğunsuz)
Beləliklə, sistem m ilə xətti tənliklər n dəyişənlər deyilir uyğunsuz heç bir həll yolu yoxdursa və birgəən azı bir həll yolu varsa. Yalnız bir həlli olan birgə tənliklər sistemi adlanır müəyyən, və birdən çox qeyri-müəyyən.
Xətti tənlik sistemlərinin Kramer üsulu ilə həlli nümunələri
Sistem olsun
.
Kramer teoreminə əsaslanır
………….
,
harada 
-
sistem identifikatoru. Qalan determinantlar sütunu müvafiq dəyişənin (naməlum) əmsalları ilə sərbəst üzvlərlə əvəz etməklə əldə edilir:
Misal 2
.
Buna görə də sistem müəyyəndir. Onun həllini tapmaq üçün determinantları hesablayırıq
Kramerin düsturlarına görə tapırıq:
Beləliklə, (1; 0; -1) sistemin yeganə həllidir.
3 X 3 və 4 X 4 tənlik sistemlərinin həllərini yoxlamaq üçün onlayn kalkulyatordan, Kramer həll üsulundan istifadə edə bilərsiniz.
Bir və ya bir neçə tənlikdə xətti tənliklər sistemində dəyişənlər yoxdursa, determinantda onlara uyğun gələn elementlər sıfıra bərabərdir! Bu növbəti nümunədir.
Misal 3 Xətti tənliklər sistemini Kramer üsulu ilə həll edin:
.
Həll. Sistemin determinantını tapırıq:
Tənliklər sisteminə və sistemin determinantına diqqətlə baxın və determinantın bir və ya bir neçə elementinin sıfıra bərabər olduğu sualına cavabı təkrarlayın. Deməli, determinant sıfıra bərabər deyil, ona görə də sistem müəyyəndir. Onun həllini tapmaq üçün naməlumlar üçün təyinediciləri hesablayırıq
Kramerin düsturlarına görə tapırıq:
Beləliklə, sistemin həlli (2; -1; 1) olur.
6. Xətti cəbri tənliklərin ümumi sistemi. Gauss üsulu.
Xatırladığımız kimi, sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda Kramer qaydası və matris üsulu uyğun deyil. Gauss üsulu – istənilən xətti tənliklər sisteminin həlli üçün ən güclü və çox yönlü vasitədir, hansı hər halda bizi cavaba apar! Hər üç halda metodun alqoritmi eyni şəkildə işləyir. Əgər Kramer və matris üsulları determinantlar haqqında bilik tələb edirsə, o zaman Qauss metodunun tətbiqi yalnız arifmetik əməliyyatlar haqqında bilik tələb edir ki, bu da onu hətta ibtidai sinif şagirdləri üçün də əlçatan edir.
Əvvəlcə xətti tənliklər sistemləri haqqında bilikləri bir az sistemləşdiririk. Xətti tənliklər sistemi:
1) Unikal həll yolu var.
2) Sonsuz bir çox həll yolu var.
3) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun uyğunsuz).
Gauss metodu həll tapmaq üçün ən güclü və çox yönlü vasitədir hər hansı xətti tənliklər sistemləri. xatırladığımız kimi Kramer qaydası və matris üsulu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu hər halda bizi cavaba apar! Bu dərsdə biz 1-ci hal (sistemin yeganə həlli) üçün yenidən Qauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik, məqalə 2-3 nömrəli bəndlərin vəziyyətləri üçün ayrılmışdır. Qeyd edim ki, metod alqoritminin özü hər üç halda eyni şəkildə işləyir.
Dərsdən ən sadə sistemə qayıdaq Xətti tənliklər sistemini necə həll etmək olar?
və onu Qauss üsulu ilə həll edin.
İlk addım yazmaqdır genişləndirilmiş matris sistemi:
. Əmsalların hansı prinsiplə qeydə alındığını düşünürəm ki, hamı görə bilər. Matris daxilində şaquli xətt heç bir riyazi məna daşımır - bu, dizaynın asanlığı üçün sadəcə üstü xəttdir.
istinad:xatırlamağı tövsiyə edirəm şərtlər xətti cəbr. Sistem matrisi yalnız naməlumlar üçün əmsallardan ibarət matrisdir, bu misalda sistemin matrisi: . Genişləndirilmiş Sistem Matrisi sistemin eyni matrisi üstəgəl sərbəst şərtlər sütunudur, bu halda: . Matrislərdən hər hansı birini qısalıq üçün sadəcə matris adlandırmaq olar.
Sistemin uzadılmış matrisi yazıldıqdan sonra onunla bəzi hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır ki, bunlara da deyilir. elementar çevrilmələr.
Aşağıdakı elementar çevrilmələr var:
1) Simlər matrislər yenidən təşkil edilə bilər yerlər. Məsələn, nəzərdən keçirilən matrisdə birinci və ikinci sıraları təhlükəsiz şəkildə yenidən təşkil edə bilərsiniz: 
2) Əgər matrisdə mütənasib (xüsusi hal kimi - eyni) sətirlər varsa (və ya yaranıbsa), o zaman aşağıdakı kimi olur: silin matrisdən, biri istisna olmaqla, bütün bu sıralar. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək 
. Bu matrisdə son üç sıra mütənasibdir, ona görə də onlardan yalnız birini tərk etmək kifayətdir: 
.
3) Dönüştürmələr zamanı matrisdə sıfır cərgə yaranıbsa, o da əmələ gəlir silin. Mən çəkməyəcəyəm, əlbəttə ki, sıfır xətti olan xəttdir yalnız sıfırlar.
4) Matrisin sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) istənilən nömrə üçün sıfırdan fərqli. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək. Burada birinci sətri -3-ə bölmək, ikinci sətri isə 2-yə vurmaq məsləhətdir: 
. Bu hərəkət çox faydalıdır, çünki matrisin sonrakı çevrilmələrini asanlaşdırır.
5) Bu çevrilmə ən çox çətinliklərə səbəb olur, amma əslində mürəkkəb bir şey də yoxdur. Matrisin sırasına, edə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli. Praktik nümunədən matrisimizi nəzərdən keçirək: . Birincisi, transformasiyanı çox ətraflı təsvir edəcəyəm. Birinci sıranı -2-yə vurun: 
, və ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edirik: 
. İndi birinci sətir "geri" -2 ilə bölünə bilər: . Gördüyünüz kimi, ƏLAVƏ edilmiş xətt LI – dəyişməyib. Həmişə sətir dəyişdirilir, ƏLAVƏ OLUNUR UT.
Təcrübədə, əlbəttə ki, bu qədər təfərrüatla rənglənmirlər, lakin daha qısa yazırlar: 
Bir daha: ikinci sıraya -2 ilə vurulan birinci sıra əlavə edildi. Xətt adətən şifahi və ya qaralama üzərində vurulur, hesablamaların zehni gedişatı isə belədir:
“Matrisi yenidən yazıram və birinci sətri yenidən yazıram: 
»
Birinci sütun birinci. Aşağıda sıfır almalıyam. Buna görə də yuxarıdakı vahidi -2: ilə vururam və birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 2 + (-2) = 0. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: 
»
“İndi ikinci sütun. -1 dəfədən yuxarı -2: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 1 + 2 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: 
»
“Və üçüncü sütun. -5 dəfədən yuxarı -2: . Birinci sətri ikinci sətirə əlavə edirəm: -7 + 10 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »
Zəhmət olmasa, bu nümunə üzərində diqqətlə düşünün və ardıcıl hesablama alqoritmini anlayın, əgər bunu başa düşsəniz, Gauss metodu praktiki olaraq "cibinizdədir". Amma təbii ki, biz hələ də bu transformasiya üzərində işləyirik.
Elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir
! DİQQƏT: hesab edilən manipulyasiyalar istifadə edə bilməz, sizə matrislərin "öz-özünə" verildiyi bir tapşırıq təklif olunarsa. Məsələn, "klassik" ilə matrislər heç bir halda matrislərin içərisində bir şeyi yenidən təşkil etməməlisiniz!
Sistemimizə qayıdaq. O, demək olar ki, parçalara bölünüb.
Sistemin artırılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu azaldaq pilləli görünüş:
(1) Birinci sətir ikinci sıraya əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Və yenə: niyə birinci sıranı -2-yə vururuq? Aşağıda sıfır əldə etmək üçün, yəni ikinci sətirdə bir dəyişəndən xilas olmaq deməkdir.
(2) İkinci sıranı 3-ə bölün.
Elementar çevrilmələrin məqsədi –
matrisi addım formasına çevirin: 
. Tapşırığın dizaynında onlar birbaşa sadə qələmlə "nərdivan" çəkirlər, həmçinin "addımlar" üzərində yerləşən nömrələri dairə edirlər. "Pilləli baxış" termininin özü tamamilə nəzəri deyil, elmi və tədris ədəbiyyatında ona tez-tez deyilir. trapezoidal görünüş və ya üçbucaqlı görünüş.
Elementar çevrilmələr nəticəsində əldə etdik ekvivalent orijinal tənliklər sistemi:
İndi sistemin əks istiqamətdə "burulması" lazımdır - aşağıdan yuxarıya, bu proses adlanır əks Gauss üsulu.
Aşağı tənlikdə artıq bitmiş nəticəyə sahibik: .
Sistemin ilk tənliyini nəzərdən keçirin və artıq məlum olan “y” dəyərini ona əvəz edin:
Üç naməlumlu üç xətti tənlik sistemini həll etmək üçün Qauss metodunun tələb olunduğu ən ümumi vəziyyəti nəzərdən keçirək.
Misal 1
Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin: 
Sistemin artırılmış matrisini yazaq: 
İndi dərhal həll prosesində gələcəyimiz nəticəni çəkəcəyəm: 
Yenə deyirəm, məqsədimiz elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisi pilləli formaya gətirməkdir. Tədbirə haradan başlamaq lazımdır?
Əvvəlcə yuxarı sol rəqəmə baxın: 
Demək olar ki, həmişə burada olmalıdır vahid. Ümumiyyətlə, -1 (və bəzən başqa nömrələr) də uyğun olacaq, lakin ənənəvi olaraq bir vahidin ümumiyyətlə orada yerləşdirildiyi baş verdi. Bölməni necə təşkil etmək olar? Birinci sütuna baxırıq - bitmiş bir vahidimiz var! Birinci transformasiya: birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin: 
İndi birinci sətir həllin sonuna qədər dəyişməz qalacaq. İndi yaxşı.
Yuxarı solda olan bölmə təşkil olunub. İndi bu yerlərdə sıfırlar əldə etməlisiniz: 
Sıfırlar yalnız "çətin" çevrilmənin köməyi ilə əldə edilir. Əvvəlcə ikinci sətirlə məşğul oluruq (2, -1, 3, 13). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün nə etmək lazımdır? Lazımdır ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada ilk sətri -2 ilə çarpırıq: (-2, -4, 2, -18). Və biz ardıcıl olaraq (yenidən zehni və ya qaralama) əlavə edirik, ikinci sətirə artıq -2 ilə vurulmuş birinci sətri əlavə edirik:
Nəticə ikinci sətirdə yazılır: 
Eynilə, üçüncü sətirlə məşğul oluruq (3, 2, -5, -1). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün sizə lazımdır üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada ilk sətri -3-ə vururuq: (-3, -6, 3, -27). VƏ üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edirik:
Nəticə üçüncü sətirdə yazılır:
Praktikada bu hərəkətlər adətən şifahi şəkildə həyata keçirilir və bir addımda yazılır: 
Hər şeyi bir anda və eyni anda hesablamağa ehtiyac yoxdur. Hesablamaların ardıcıllığı və nəticələrin "daxil edilməsi" ardıcıl və adətən belə olur: əvvəlcə birinci sətri yenidən yazırıq və özümüzü sakitcə ovuşdururuq - ARADDALI və DİQQƏTLİ:
Mən yuxarıda hesablamaların zehni gedişatını artıq nəzərdən keçirdim.
Bu misalda bunu etmək asandır, ikinci sətri -5-ə bölürük (çünki orada bütün ədədlər 5-ə qalıqsız bölünür). Eyni zamanda, üçüncü sətri -2-yə bölürük, çünki nömrə nə qədər kiçik olsa, həlli bir o qədər sadədir:
Elementar çevrilmələrin son mərhələsində burada daha bir sıfır əldə edilməlidir: 
Bunun üçün üçüncü sətirə -2 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik:
Bu hərəkəti özünüz təhlil etməyə çalışın - zehni olaraq ikinci sətri -2-yə vurun və əlavə edin.
Sonuncu yerinə yetirilən hərəkət nəticənin saç düzümüdür, üçüncü xətti 3-ə bölün.
Elementar çevrilmələr nəticəsində xətti tənliklərin ekvivalent ilkin sistemi əldə edildi: 
Sərin.
İndi Qauss metodunun tərs kursu işə düşür. Tənliklər aşağıdan yuxarıya doğru "açılır".
Üçüncü tənlikdə artıq bitmiş nəticəyə sahibik:
İkinci tənliyə baxaq: . "Z" hərfinin mənası artıq məlumdur, beləliklə:
Və nəhayət, birinci tənlik: . “Y” və “Z” məlumdur, məsələ kiçikdir:
Cavab verin: 
Dəfələrlə qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir tənlik sistemi üçün tapılan həlli yoxlamaq mümkündür və lazımdır, xoşbəxtlikdən, bu çətin və sürətli deyil.
Misal 2
Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunə, bitirmə nümunəsi və dərsin sonunda cavabdır.
Qeyd etmək lazımdır ki, sizin hərəkət kurs hərəkətlərimlə üst-üstə düşməyə bilər, və bu Gauss metodunun xüsusiyyətidir. Amma cavablar eyni olmalıdır!
Misal 3
Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin 
Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu pilləli formaya gətirək:
Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Orada bir vahidimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə heç kim yoxdur, ona görə də sətirləri yenidən yerləşdirməklə heç nə həll edilə bilməz. Belə hallarda vahid elementar çevrilmə ilə təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Mən bunu etdim:
(1) Birinci sətirə -1-ə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci xətti -1-ə vurduq və birinci və ikinci sətirlərin əlavəsini yerinə yetirdik, ikinci sətir dəyişmədi.
İndi yuxarı solda "mənfi bir" bizə mükəmməl uyğun gəlir. +1 almaq istəyən əlavə bir jest edə bilər: birinci sətri -1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin).
(2) 5-ə vurulan birinci cərgə ikinci sıraya, 3-ə vurulan birinci cərgə üçüncü sıraya əlavə edildi.
(3) Birinci sətir -1-ə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü xəttin işarəsi də dəyişdirilərək ikinci yerə köçürüldü, beləliklə, ikinci “addımda istədiyimiz vahid oldu.
(4) 2-yə vurulan ikinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.
(5) Üçüncü sıra 3-ə bölündü.
Hesablama səhvini göstərən pis işarə (daha az tez-tez yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıdakı kimi bir şey əldə etdiksə və müvafiq olaraq, 
, onda yüksək ehtimal dərəcəsi ilə elementar çevrilmələr zamanı səhvə yol verildiyini iddia etmək olar.
Biz tərs hərəkəti yükləyirik, nümunələrin dizaynında sistemin özü çox vaxt yenidən yazılmır və tənliklər "birbaşa verilmiş matrisdən götürülür". Tərs hərəkət, sizə xatırladıram, aşağıdan yuxarıya doğru işləyir. Bəli, burada bir hədiyyə var:
Cavab verin: 
.
Misal 4
Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin 
Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir, bir qədər daha mürəkkəbdir. Kiminsə çaşqın olması yaxşıdır. Dərsin sonunda tam həll və dizayn nümunəsi. Sizin həlliniz mənimkindən fərqli ola bilər.
Sonuncu hissədə biz Gauss alqoritminin bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçiririk.
Birinci xüsusiyyət ondan ibarətdir ki, bəzən sistemin tənliklərində bəzi dəyişənlər yoxdur, məsələn: 
Sistemin artırılmış matrisini necə düzgün yazmaq olar? Artıq dərsdə bu an haqqında danışdım. Kramer qaydası. Matris üsulu. Sistemin genişləndirilmiş matrisində çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyuruq: 
Yeri gəlmişkən, bu, kifayət qədər asan bir nümunədir, çünki birinci sütunda artıq bir sıfır var və yerinə yetirmək üçün daha az elementar çevrilmə var.
İkinci xüsusiyyət budur. Nəzərdən keçirilən bütün nümunələrdə “addımlar” üzərinə ya –1, ya da +1 qoyduq. Başqa rəqəmlər ola bilərmi? Bəzi hallarda edə bilərlər. Sistemi nəzərdən keçirin: 
.
Burada yuxarı sol "addım" biz bir ikili var. Ancaq birinci sütundakı bütün nömrələrin 2-yə qalıqsız bölünməsi faktını görürük - və daha iki və altı. Və yuxarı solda ikili bizə uyğun olacaq! İlk addımda aşağıdakı çevrilmələri yerinə yetirməlisiniz: ikinci sətirə -1 ilə vurulmuş birinci sətri əlavə edin; üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Beləliklə, birinci sütunda istədiyiniz sıfırları alacağıq.
Və ya başqa bir hipotetik nümunə: 
. Burada ikinci “pillə”dəki üçlük də bizə uyğun gəlir, çünki 12 (sıfır almalı olduğumuz yer) 3-ə qalıqsız bölünür. Aşağıdakı çevrilməni həyata keçirmək lazımdır: üçüncü sətirə -4-ə vurulan ikinci sətri əlavə edin, bunun nəticəsində bizə lazım olan sıfır alınacaq.
Gauss metodu universaldır, lakin bir xüsusiyyəti var. Sistemləri başqa üsullarla (Kramer metodu, matris metodu) hərfi mənada ilk dəfədən inamla həll etməyi öyrənə bilərsiniz - çox sərt bir alqoritm var. Ancaq Gauss metodunda əmin olmaq üçün "əlinizi doldurmalı" və ən azı 5-10 sistemi həll etməlisiniz. Buna görə əvvəlcə çaşqınlıq, hesablamalarda səhvlər ola bilər və bunda qeyri-adi və ya faciəli bir şey yoxdur.
Pəncərədən kənarda yağışlı payız havası .... Buna görə də, hər kəs üçün müstəqil bir həll üçün daha mürəkkəb bir nümunə:
Misal 5
Qauss metodundan istifadə etməklə dörd naməlumlu dörd xətti tənlik sistemini həll edin. 
Praktikada belə bir vəzifə o qədər də nadir deyil. Düşünürəm ki, hətta bu səhifəni təfərrüatı ilə öyrənmiş çaynik belə bir sistemin intuitiv şəkildə həllinin alqoritmini başa düşür. Əsasən eyni - daha çox hərəkət.
Dərsdə sistemin həlli olmadığı (uyğunsuz) və ya sonsuz sayda həlli olduğu hallar nəzərdən keçirilir. Uyğun olmayan sistemlər və ümumi həlli olan sistemlər. Orada Gauss metodunun nəzərdən keçirilən alqoritmini düzəldə bilərsiniz.
Sizə uğurlar arzulayıram!
Həll və cavablar:
Misal 2: Həll: Sistemin artırılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrin köməyi ilə onu pilləli formaya gətirək.
Elementar çevrilmələri həyata keçirdi:
(1) Birinci sətir ikinci sıraya əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. Diqqət! Burada üçüncü sətirdən birincini çıxarmaq cazibədar ola bilər, mən çıxarmağı qətiliklə tövsiyə etmirəm - səhv riski çox artır. Sadəcə qatlayırıq!
(2) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). İkinci və üçüncü sətirlər dəyişdirilib. Qeyd ki, "addımlar" da biz yalnız bir ilə deyil, həm də -1 ilə kifayətlənirik, bu daha rahatdır.
(3) Üçüncü sətirə 5-ə vurulan ikinci sətri əlavə edin.
(4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). Üçüncü sətir 14-ə bölündü.
Ters hərəkət:
Cavab verin: 
.
Misal 4: Həll: Sistemin artırılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrin köməyi ilə onu pilləli formaya gətirək:
Həyata keçirilən çevrilmələr:
(1) Birinci sətirə ikinci sətir əlavə edildi. Beləliklə, istədiyiniz vahid yuxarı sol "addımda" təşkil edilir.
(2) 7-yə vurulan birinci cərgə ikinci sıraya, 6-ya vurulan birinci cərgə üçüncü sıraya əlavə edildi.
İkinci "addım" ilə hər şey daha pisdir, bunun üçün "namizədlər" 17 və 23 rəqəmləridir və bizə ya bir, ya da -1 lazımdır. Transformasiyalar (3) və (4) istədiyiniz vahidi əldə etməyə yönəldiləcəkdir
(3) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.
(4) -3-ə vurulan üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi.
İkinci addımda lazım olan şey alınır
.
(5) Üçüncü sətirə ikinci əlavə edildi, 6-ya vuruldu.
Dərslər daxilində Gauss üsulu və Ümumi həlli olan uyğun olmayan sistemlər/sistemlər hesab etdik xətti tənliklərin qeyri-homogen sistemləri, harada pulsuz üzv(adətən sağdadır) ən azı bir tənliklərin sıfırdan fərqli idi.
İndi də yaxşı istiləşmədən sonra matris dərəcəsi, texnikanı cilalamağa davam edəcəyik elementar çevrilmələrüstündə xətti tənliklərin homojen sistemi.
Birinci bəndlərə görə, material darıxdırıcı və adi görünə bilər, lakin bu təəssürat aldadıcıdır. Texnikaları daha da inkişaf etdirməklə yanaşı, çoxlu yeni məlumatlar olacaq, buna görə də bu məqalədəki nümunələri nəzərdən qaçırmamağa çalışın.
Tənliklər sistemləri iqtisadi sənayedə müxtəlif proseslərin riyazi modelləşdirilməsində geniş istifadə olunur. Məsələn, istehsalın idarə edilməsi və planlaşdırılması, logistik marşrutlar (nəqliyyat problemi) və ya avadanlığın yerləşdirilməsi problemlərini həll edərkən.
Tənlik sistemləri təkcə riyaziyyat sahəsində deyil, həm də fizika, kimya və biologiyada əhalinin sayının tapılması məsələlərinin həlli zamanı istifadə olunur.
Xətti tənliklər sistemi bir neçə dəyişəni olan iki və ya daha çox tənlik üçün ümumi həll tapmaq lazım olan termindir. Bütün tənliklərin həqiqi bərabərliyə çevrildiyi və ya ardıcıllığın mövcud olmadığını sübut etdiyi nömrələr ardıcıllığı.
Xətti tənlik
ax+by=c şəklində olan tənliklər xətti adlanır. X, y təyinləri naməlumlardır, onların qiyməti tapılmalıdır, b, a dəyişənlərin əmsalları, c tənliyin sərbəst həddidir.
Tənliyin qrafikini çəkməklə həll etmək, bütün nöqtələri çoxhədlinin həlli olan düz xətt kimi görünəcəkdir.
Xətti tənliklər sistemlərinin növləri
Ən sadələri iki dəyişəni X və Y olan xətti tənlik sistemlərinin nümunələridir.
F1(x, y) = 0 və F2(x, y) = 0, burada F1,2 funksiyalar və (x, y) funksiya dəyişənləridir.
Tənliklər sistemini həll edin - sistemin həqiqi bərabərliyə çevrildiyi belə dəyərləri (x, y) tapmaq və ya x və y-nin uyğun qiymətlərinin olmadığını müəyyən etmək deməkdir.
Nöqtə koordinatları kimi yazılmış qiymət cütü (x, y) xətti tənliklər sisteminin həlli adlanır.
Sistemlərin bir ümumi həlli varsa və ya həlli yoxdursa, onlara ekvivalent deyilir.
Xətti tənliklərin homojen sistemləri sağ tərəfi sıfıra bərabər olan sistemlərdir. Əgər “bərabər” işarəsindən sonra sağ hissə qiymətə malikdirsə və ya funksiya ilə ifadə edilirsə, belə sistem bircins deyil.
Dəyişənlərin sayı ikidən çox ola bilər, onda üç və ya daha çox dəyişəni olan xətti tənliklər sisteminin nümunəsi haqqında danışmalıyıq.
Sistemlərlə qarşılaşan məktəblilər hesab edirlər ki, tənliklərin sayı mütləq bilinməyənlərin sayı ilə üst-üstə düşməlidir, lakin bu belə deyil. Sistemdəki tənliklərin sayı dəyişənlərdən asılı deyil, onların sayı ixtiyari olaraq çox ola bilər.
Tənlik sistemlərinin həlli üçün sadə və mürəkkəb üsullar
Belə sistemlərin həllinin ümumi analitik yolu yoxdur, bütün üsullar ədədi həllər üzərində qurulur. Məktəbin riyaziyyat kursunda dəyişdirmə, cəbri toplama, əvəzetmə, həmçinin qrafik və matris metodu, Qauss üsulu ilə həll kimi üsullar ətraflı təsvir olunur.
Həll üsullarının öyrədilməsi zamanı əsas vəzifə sistemi düzgün təhlil etməyi və hər bir misal üçün optimal həll alqoritmini tapmağı öyrətməkdir. Əsas odur ki, hər bir üsul üçün qaydalar və hərəkətlər sistemini yadda saxlamaq deyil, müəyyən bir metodun tətbiqi prinsiplərini başa düşməkdir.
Ümumtəhsil məktəbi proqramının 7-ci sinfinin xətti tənliklər sistemləri nümunələrinin həlli olduqca sadədir və çox ətraflı izah olunur. İstənilən riyaziyyat dərsliyində bu bölməyə kifayət qədər diqqət yetirilir. Xətti tənliklər sistemləri nümunələrinin Qauss və Kramer üsulu ilə həlli ali təhsil müəssisələrinin birinci kurslarında daha ətraflı öyrənilir.
Əvəzetmə üsulu ilə sistemlərin həlli
Əvəzetmə metodunun hərəkətləri bir dəyişənin dəyərini ikinci vasitəsilə ifadə etməyə yönəldilmişdir. İfadə qalan tənliyə əvəz edilir, sonra tək dəyişən formaya endirilir. Sistemdəki naməlumların sayından asılı olaraq hərəkət təkrarlanır
Əvəzetmə üsulu ilə 7-ci sinif xətti tənliklər sisteminə misal verək:
Nümunədən göründüyü kimi, x dəyişəni F(X) = 7 + Y vasitəsilə ifadə edilmişdir. X yerinə sistemin 2-ci tənliyində əvəz edilmiş nəticə 2-ci tənlikdə bir Y dəyişənini əldə etməyə kömək etmişdir. . Bu misalın həlli çətinlik yaratmır və Y qiymətini almağa imkan verir.Sonuncu addım alınan qiymətləri yoxlamaqdır.
Xətti tənliklər sisteminin nümunəsini əvəzetmə yolu ilə həll etmək həmişə mümkün olmur. Tənliklər mürəkkəb ola bilər və dəyişənin ikinci naməlum baxımından ifadəsi sonrakı hesablamalar üçün çox çətin olacaq. Sistemdə 3-dən çox naməlum olduqda, əvəzetmə həlli də praktiki deyil.
Xətti qeyri-bərabər tənliklər sisteminin nümunəsinin həlli:
Cəbri toplamadan istifadə edərək həll
Toplama üsulu ilə sistemlərin həlli axtarılarkən tənliklərin müxtəlif ədədlərə bölünməsi və çoxaldılması həyata keçirilir. Riyazi əməliyyatların son məqsədi bir dəyişənli tənlikdir.
Bu metodun tətbiqi təcrübə və müşahidə tələb edir. Dəyişənlərin sayı 3 və ya daha çox olan əlavə üsulu ilə xətti tənliklər sistemini həll etmək asan deyil. Cəbri əlavə tənliklərdə kəsrlər və onluq ədədlər olduqda faydalıdır.
Həll hərəkəti alqoritmi:
- Tənliyin hər iki tərəfini bir ədədə vurun. Arifmetik əməliyyat nəticəsində dəyişənin əmsallarından biri 1-ə bərabər olmalıdır.
- Yaranan ifadə terminini terminə görə əlavə edin və naməlumlardan birini tapın.
- Qalan dəyişəni tapmaq üçün alınan dəyəri sistemin 2-ci tənliyində əvəz edin.
Yeni dəyişən təqdim etməklə həll üsulu
Sistem ikidən çox olmayan tənliyin həllini tapmaq lazımdırsa, yeni dəyişən təqdim edilə bilər, naməlumların sayı da ikidən çox olmamalıdır.
Metod yeni dəyişən təqdim etməklə tənliklərdən birini sadələşdirmək üçün istifadə olunur. Yeni tənlik daxil edilmiş naməlumla bağlı həll edilir və alınan qiymət ilkin dəyişəni təyin etmək üçün istifadə olunur.
Nümunədən görmək olar ki, yeni t dəyişənini təqdim etməklə sistemin 1-ci tənliyini standart kvadrat üçhəcmliyə endirmək mümkün olmuşdur. Diskriminantı tapmaqla çoxhədli həll edə bilərsiniz.
Məlum düsturdan istifadə edərək diskriminantın qiymətini tapmaq lazımdır: D = b2 - 4*a*c, burada D - arzu olunan diskriminant, b, a, c çoxhədlinin çarpanlarıdır. Verilmiş misalda a=1, b=16, c=39, deməli, D=100. Əgər diskriminant sıfırdan böyükdürsə, onda iki həll yolu var: t = -b±√D / 2*a, əgər diskriminant sıfırdan kiçikdirsə, onda yalnız bir həll var: x= -b / 2*a.
Yaranan sistemlərin həlli əlavə üsulu ilə tapılır.
Sistemlərin həlli üçün vizual üsul
3 tənliyi olan sistemlər üçün uyğundur. Metod sistemə daxil olan hər bir tənliyin qrafiklərinin koordinat oxunda çəkilməsindən ibarətdir. Əyrilərin kəsişmə nöqtələrinin koordinatları sistemin ümumi həlli olacaqdır.
Qrafik metod bir sıra nüanslara malikdir. Xətti tənliklər sistemlərinin vizual şəkildə həllinin bir neçə nümunəsini nəzərdən keçirin.
Nümunədən göründüyü kimi, hər sətir üçün iki nöqtə quruldu, x dəyişəninin dəyərləri ixtiyari olaraq seçildi: 0 və 3. X-in dəyərlərinə əsasən, y üçün qiymətlər tapıldı: 3 və 0. Qrafikdə koordinatları (0, 3) və (3, 0) olan nöqtələr işarələnib və xətlə birləşdirilib.
İkinci tənlik üçün addımlar təkrarlanmalıdır. Xətlərin kəsişmə nöqtəsi sistemin həllidir.
Aşağıdakı misalda xətti tənliklər sisteminin qrafik həllini tapmaq tələb olunur: 0,5x-y+2=0 və 0,5x-y-1=0.
Nümunədən göründüyü kimi, sistemin həlli yoxdur, çünki qrafiklər paraleldir və bütün uzunluğu boyunca kəsişmir.
2 və 3-cü Nümunələrdəki sistemlər oxşardır, lakin qurulduqda onların həlli yollarının fərqli olduğu aydın olur. Yadda saxlamaq lazımdır ki, sistemin həlli olub-olmadığını söyləmək həmişə mümkün deyil, həmişə qrafik qurmaq lazımdır.
Matris və onun növləri
Matrislər xətti tənliklər sistemini qısaca yazmaq üçün istifadə olunur. Matris nömrələrlə doldurulmuş xüsusi bir cədvəl növüdür. n*m-in n - sətirləri və m - sütunları var.
Sütun və sətirlərin sayı bərabər olduqda matris kvadratdır. Matris-vektor sonsuz mümkün sıra sayına malik tək sütunlu matrisdir. Diaqonallardan biri və digər sıfır elementləri boyunca vahidləri olan matrisə eynilik deyilir.
Tərs matris elə bir matrisdir, ona vurulduqda ilkin vahid vahidə çevrilir, belə bir matris yalnız orijinal kvadrat üçün mövcuddur.
Tənliklər sisteminin matrisə çevrilməsi qaydaları
Tənlik sistemlərinə gəldikdə, tənliklərin əmsalları və sərbəst üzvləri matrisin nömrələri kimi yazılır, bir tənlik matrisin bir sırasıdır.
Əgər cərgənin ən azı bir elementi sıfıra bərabər deyilsə, matris sırası sıfırdan fərqli adlanır. Buna görə də, tənliklərin hər hansı birində dəyişənlərin sayı fərqlidirsə, onda çatışmayan naməlumun yerinə sıfır daxil etmək lazımdır.
Matrisin sütunları dəyişənlərə ciddi şəkildə uyğun gəlməlidir. Bu o deməkdir ki, x dəyişəninin əmsalları yalnız bir sütunda, məsələn, birincidə, naməlum y-nin əmsalı - yalnız ikincidə yazıla bilər.
Bir matrisi vurarkən, bütün matrisin elementləri ardıcıl olaraq ədədə vurulur.
Tərs matrisin tapılması üçün seçimlər
Tərs matrisin tapılması düsturu olduqca sadədir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 tərs matrisdir və |K| - matris təyinedicisi. |K| sıfıra bərabər olmamalıdır, onda sistemin həlli var.
Determinant asanlıqla iki-iki matris üçün hesablanır, yalnız elementləri diaqonal olaraq bir-birinə vurmaq lazımdır. "Üçdən üçə" variantı üçün |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c düsturu var. 3 + a 3 b 2 c 1 . Düsturdan istifadə edə bilərsiniz və ya elementlərin sütun və sətir nömrələrinin məhsulda təkrarlanmaması üçün hər sətirdən və hər sütundan bir element götürməyiniz lazım olduğunu xatırlaya bilərsiniz.
Xətti tənliklər sistemləri nümunələrinin matris üsulu ilə həlli
Həll tapmağın matris üsulu çox sayda dəyişən və tənlik olan sistemləri həll edərkən çətin girişləri azaltmağa imkan verir.
Nümunədə a nm tənliklərin əmsalları, matris vektor x n dəyişənlər, b n isə sərbəst şərtlərdir.
Sistemlərin Gauss üsulu ilə həlli
Ali riyaziyyatda Qauss metodu Kramer üsulu ilə birlikdə öyrənilir və sistemlərin həllinin tapılması prosesi Qauss-Kramer həll üsulu adlanır. Bu üsullar çoxlu sayda xətti tənlikləri olan sistemlərin dəyişənlərini tapmaq üçün istifadə olunur.
Qauss metodu əvəzetmə və cəbri toplama həllərinə çox bənzəyir, lakin daha sistematikdir. Məktəb kursunda 3 və 4 tənlik sistemləri üçün Qauss həllindən istifadə olunur. Metodun məqsədi sistemi ters çevrilmiş trapezoid formasına gətirməkdir. Cəbri çevrilmələr və əvəzetmələrlə bir dəyişənin qiyməti sistemin tənliklərindən birində tapılır. İkinci tənlik 2 naməlum, 3 və 4 isə müvafiq olaraq 3 və 4 dəyişəni olan ifadədir.
Sistemi təsvir olunan formaya gətirdikdən sonra sonrakı həll məlum dəyişənlərin sistemin tənliklərində ardıcıl əvəzlənməsinə qədər azaldılır.
7-ci sinif üçün məktəb dərsliklərində Gauss həllinin nümunəsi aşağıdakı kimi təsvir edilmişdir:
Nümunədən göründüyü kimi (3) addımda 3x 3 -2x 4 =11 və 3x 3 +2x 4 =7 iki tənlik əldə edilmişdir. Tənliklərdən hər hansı birinin həlli x n dəyişənlərindən birini tapmağa imkan verəcəkdir.
Mətndə qeyd olunan 5-ci teoremdə deyilir ki, sistemin tənliklərindən biri ekvivalenti ilə əvəz olunarsa, nəticədə yaranan sistem də ilkin tənliyə bərabər olacaqdır.
Gauss metodu orta məktəb şagirdləri üçün çətin başa düşülür, lakin riyaziyyat və fizika dərslərində təkmil təhsil proqramında təhsil alan uşaqların ixtiraçılıq qabiliyyətini inkişaf etdirməyin ən maraqlı üsullarından biridir.
Hesablamaları qeyd etmək asanlığı üçün aşağıdakıları etmək adətdir:
Tənlik əmsalları və sərbəst şərtlər matris şəklində yazılır, burada matrisin hər sətri sistemin tənliklərindən birinə uyğun gəlir. tənliyin sol tərəfini sağ tərəfdən ayırır. Roma rəqəmləri sistemdəki tənliklərin sayını bildirir.
Əvvəlcə işləyəcək matrisi, sonra cərgələrdən biri ilə həyata keçirilən bütün hərəkətləri yazır. Nəticə matris "ox" işarəsindən sonra yazılır və nəticə əldə olunana qədər lazımi cəbri əməliyyatları yerinə yetirməyə davam edir.
Nəticədə, diaqonallardan birinin 1 olduğu və bütün digər əmsalların sıfıra bərabər olduğu bir matris alınmalıdır, yəni matris tək bir formaya endirilməlidir. Tənliyin hər iki tərəfinin nömrələri ilə hesablamalar aparmağı unutmamalıyıq.
Bu qeyd daha az çətin olur və çoxsaylı naməlumları sadalamaqla diqqətinizi yayındırmamağa imkan verir.
Hər hansı bir həll metodunun pulsuz tətbiqi qayğı və müəyyən bir təcrübə tələb edəcəkdir. Bütün üsullar tətbiq edilmir. Bəzi həll yolları insan fəaliyyətinin müəyyən bir sahəsində daha çox üstünlük təşkil edir, digərləri isə öyrənmək üçün mövcuddur.
n naməlumlu m xətti tənliklər sistemi forma sistemi adlanır
harada aij və b i (i=1,…,m; b=1,…,n) bəzi məlum ədədlərdir və x 1 ,…,x n- naməlum. Əmsalların qeydində aij birinci indeks i tənliyin sayını, ikincisini bildirir j bu əmsalın dayandığı naməlumun sayıdır.
Naməlumlar üçün əmsallar matris şəklində yazılacaq 
, biz zəng edəcəyik sistem matrisi.
Tənliklərin sağ tərəfindəki rəqəmlər b 1 ,…,b mçağırdı pulsuz üzvlər.
Ümumi n nömrələri c 1 ,…,c nçağırdı qərar bu sistemin, əgər sistemin hər bir tənliyi ədədləri ona əvəz etdikdən sonra bərabərliyə çevrilirsə c 1 ,…,c n uyğun naməlumlar yerinə x 1 ,…,x n.
Bizim vəzifəmiz sistemin həlli yollarını tapmaq olacaq. Bu vəziyyətdə üç vəziyyət yarana bilər:
Ən azı bir həlli olan xətti tənliklər sistemi adlanır birgə. Əks halda, yəni. sistemin həlli yoxdursa, o zaman çağırılır uyğunsuz.
Sistemin həlli yollarını nəzərdən keçirin.
XƏTTİ TƏNLƏR SİSTEMLƏRİNİN HƏLLİ ÜÇÜN MATRİS ÜSULU
Matrislər xətti tənliklər sistemini qısaca yazmağa imkan verir. Üç naməlum olan 3 tənlik sistemi verilsin:
Sistemin matrisini nəzərdən keçirin 
və naməlum və sərbəst üzvlərin matris sütunları 
Məhsulu tapaq
olanlar. hasil nəticəsində bu sistemin tənliklərinin sol tərəflərini alırıq. Sonra matris bərabərliyinin tərifindən istifadə edərək bu sistemi belə yazmaq olar
və ya daha qısa A∙X=B.
Burada matrislər A və B məlumdur və matris X naməlum. Onu tapmaq lazımdır, çünki. onun elementləri bu sistemin həllidir. Bu tənlik adlanır matris tənliyi.
Matris determinantı sıfırdan fərqli olsun | A| ≠ 0. Onda matris tənliyi aşağıdakı kimi həll edilir. Soldakı tənliyin hər iki tərəfini matrislə çarpın A-1, matrisin tərsi A: . kimi A -1 A = E və E∙X=X, onda matris tənliyinin həllini formada alırıq X = A -1 B .
Qeyd edək ki, tərs matris yalnız kvadrat matrislər üçün tapıla bildiyi üçün matris metodu yalnız o sistemləri həll edə bilər ki, tənliklərin sayı naməlumların sayı ilə eynidir. Bununla belə, sistemin matris notasiyası o halda da mümkündür ki, tənliklərin sayı naməlumların sayına bərabər deyil, onda matris A kvadrat deyil və ona görə də formada sistemin həllini tapmaq mümkün deyil X = A -1 B.
Nümunələr. Tənliklər sistemlərini həll edin.
KRAMER QAYDASI
Üç naməlum olan 3 xətti tənlik sistemini nəzərdən keçirək:
Sistemin matrisinə uyğun gələn üçüncü dərəcəli determinant, yəni. naməlumlardakı əmsallardan ibarətdir,
çağırdı sistem təyinedicisi.
Daha üç təyinedicini aşağıdakı kimi tərtib edirik: D determinantında ardıcıl olaraq 1, 2 və 3 sütunları sərbəst üzvlər sütunu ilə əvəz edirik.
Sonra aşağıdakı nəticəni sübut edə bilərik.
Teorem (Kramer qaydası). Sistemin determinantı Δ ≠ 0 olarsa, baxılan sistemin bir və yalnız bir həlli var və
Sübut. Beləliklə, üç naməlum olan 3 tənlik sistemini nəzərdən keçirin. Sistemin 1-ci tənliyini cəbri tamamlayıcıya vurun A 11 element a 11, 2-ci tənlik - açıq A21 və 3-cü A 31:
Bu tənlikləri əlavə edək:
Mötərizənin hər birini və bu tənliyin sağ tərəfini nəzərdən keçirin. Determinantın 1-ci sütunun elementləri baxımından genişlənməsi teoreminə görə
Eynilə, göstərilə bilər ki və .
Nəhayət, bunu görmək asandır 
Beləliklə, bərabərliyi əldə edirik: .
Beləliklə, .
və bərabərlikləri oxşar şəkildə alınır, buradan teoremin təsdiqi gəlir.
Beləliklə, qeyd edirik ki, sistemin təyinedicisi Δ ≠ 0 olarsa, sistemin unikal həlli var və əksinə. Sistemin determinantı sıfıra bərabərdirsə, o zaman sistem ya sonsuz həllər toplusuna malikdir, ya da həlli yoxdur, yəni. uyğunsuz.
Nümunələr. Tənliklər sistemini həll edin
QAZS METOD
Əvvəllər nəzərdən keçirilən üsullar yalnız tənliklərin sayının naməlumların sayı ilə üst-üstə düşdüyü və sistemin determinantının sıfırdan fərqli olması lazım olan sistemləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Qauss metodu daha universaldır və istənilən sayda tənliyi olan sistemlər üçün uyğundur. Sistemin tənliklərindən naməlumların ardıcıl olaraq aradan qaldırılmasından ibarətdir.
Üç naməlum olan üç tənlik sistemini yenidən nəzərdən keçirək:
.
Birinci tənliyi dəyişməz qoyuruq və 2-ci və 3-cü tənliyi ehtiva edən şərtləri istisna edirik. x 1. Bunun üçün ikinci tənliyi bölürük a 21 və çarpın - a 11 və sonra 1-ci tənliklə əlavə edin. Eynilə üçüncü tənliyi də bölürük a 31 və çarpın - a 11 və sonra birinciyə əlavə edin. Nəticədə, orijinal sistem aşağıdakı formanı alacaq:
İndi, sonuncu tənlikdən ehtiva edən termini aradan qaldırırıq x2. Bunu etmək üçün üçüncü tənliyi bölmək, vurmaq və ikinciyə əlavə etmək lazımdır. Sonra tənliklər sistemimiz olacaq:
Beləliklə, sonuncu tənlikdən onu tapmaq asandır x 3, sonra 2-ci tənlikdən x2 və nəhayət 1-dən - x 1.
Qauss metodundan istifadə edərkən, lazım gələrsə, tənliklər bir-birini əvəz edə bilər.
Çox vaxt yeni tənliklər sistemi yazmaq əvəzinə, sistemin genişləndirilmiş matrisini yazmaqla məhdudlaşırlar:
sonra elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu üçbucaqlı və ya diaqonal formaya gətirin.
TO elementar çevrilmələr matrislərə aşağıdakı çevrilmələr daxildir:
- sətirlərin və ya sütunların dəyişdirilməsi;
- sətri sıfırdan fərqli bir ədədə vurmaq;
- bir sətirə digər sətirlərin əlavə edilməsi.
Nümunələr: Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemlərini həll edin.
Beləliklə, sistemin sonsuz sayda həlli var.