Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun uzunluğunu necə tapmaq olar. Hipotenuza məlumdursa, ayaqları necə tapmaq olar

-dən tərcümə edilmişdir yunan, hipotenuz "uzanmış" deməkdir. Düzgün başa düşmək üçün çevik bir çubuğun iki ucunu birləşdirən bir yay simini təsəvvür edin. Burada da düz üçbucaq, ən uzun tərəfi, düzgün bucağın qarşısında yerləşən hipotenuzdur. Ayaqlar adlanan digər iki tərəfin birləşdiricisi kimi çıxış edir. Bu "simlin" nə qədər uzun olduğunu öyrənmək üçün ayaqların uzunluqlarına və ya iki kəskin bucağın dəyərinə sahib olmaq lazımdır. Bu məlumatların birləşdirilməsi düsturlardan istifadə edərək hesablana bilər istədiyiniz dəyər.

Ayaqlarla hipotenuzanı necə tapmaq olar

İki ayağın dəyərini bilirsinizsə, hesablamağın ən asan yolu (bir A, ikinci B-ni qeyd edək). Pifaqor özü və onun dünyası xilas etməyə gəlir məşhur teorem. O, bizə deyir ki, ayaqların uzunluğunu kvadratlaşdırsaq və hesablanmış dəyərləri əlavə etsək, nəticədə hipotenuzun kvadratının uzunluğunun dəyərini tapacağıq. Yuxarıdakılardan belə nəticəyə gəlirik: hipotenuzanın dəyərini tapmaq üçün C \u003d √ (A² + B²) ayaqlarının kvadratlarının ümumi cəminin kvadrat kökünü çıxarmaq lazımdır. Misal: ayaq A \u003d 10 sm, ayaq B \u003d 20 sm. Hipotenuz 22,36 sm-dir. Hesablama aşağıdakı kimidir: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √3.2.

Bucaq vasitəsilə hipotenuzanı necə tapmaq olar

Verilmiş bucaq vasitəsilə hipotenuzanın uzunluğunu hesablamaq bir az daha çətindir. Əgər siz iki ayaqdan birinin ölçüsünü (A-nı işarə edək) və onun qarşısında yerləşən bucağın ölçüsünü (α-nı işarə edək) bilirsinizsə, onda hipotenuzanın ölçüsü triqonometriyadan və konkret olaraq sinusdan istifadə etməklə tapılır. Sizə lazım olan tək şey məlum ayağın dəyərini bucağın sinusuna bölməkdir. C=A/sin(α). Misal: ayağın uzunluğu A = 30 sm, onun qarşısındakı bucaq 45 °, hipotenuz 42,25 sm olacaq.Hesablama aşağıdakı kimidir: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Başqa bir yol, kosinusdan istifadə edərək hipotenuzun ölçüsünü tapmaqdır. Ayağın ölçüsünü (B-i işarə edək) və ona bitişik olan iti bucağı (α-nı işarə edək) bilirsinizsə istifadə olunur. Sizə lazım olan tək şey ayaq dəyərini bucağın sinusuna bölməkdir. С=В/cos(α). Misal: ayağın uzunluğu B = 30 sm, onun qarşısındakı bucaq 45 °, hipotenuz 42,25 sm olacaq.Hesablama aşağıdakı kimidir: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

İkitərəfli düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunu necə tapmaq olar

Özünə hörmət edən hər bir tələbə üç tərəfdən ikisinin bir-birinə bərabər olması şərti ilə üçbucağın ikitərəfli olduğunu bilir. Bu tərəflər yanal adlanır, qalanı isə əsasdır. Bucaqlardan biri 90 °-dirsə, onda siz ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağa sahibsiniz.

Belə bir üçbucaqda hipotenuzanı tapmaq sadədir, çünki o, kömək edəcək bir neçə xüsusiyyətə malikdir. Baza bitişik bucaqlar qiymətcə eynidir, bucaqların ümumi cəmi 180°-dir. Bu o deməkdir ki, düz bucaq bazanın qarşısında yerləşir, yəni baza hipotenuza, ayaqlar isə tərəflərdir.

Təlimat

Əlaqədar videolar

Qeyd

Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərini hesablayarkən onun xüsusiyyətləri haqqında bilik oynaya bilər:
1) Düz bucağın ayağı 30 dərəcə bucaq qarşısında yerləşirsə, hipotenuzanın yarısına bərabərdir;
2) Hipotenuz həmişə ayaqların hər hansı birindən uzundur;
3) Əgər dairə düzbucaqlı üçbucağın ətrafında çəkilibsə, onun mərkəzi hipotenuzanın ortasında olmalıdır.

Hipotenuza düzbucaqlı üçbucağın 90 dərəcə bucağa qarşı olan tərəfidir. Onun uzunluğunu hesablamaq üçün ayaqlardan birinin uzunluğunu və üçbucağın iti bucaqlarından birinin qiymətini bilmək kifayətdir.

Təlimat

Ayaqlardan birini və ona bitişik bucağı bizə bildirin. Dəqiqlik üçün bu, |AB| ayağı olsun və bucaq α. Sonra triqonometrik kosinus - bitişik ayağın kosinus nisbəti üçün düsturdan istifadə edə bilərik. Bunlar. qeydimizdə cos α = |AB| / |AC|. Buradan hipotenuzanın uzunluğunu |AC| alırıq = |AB| / cosα.
Ayağı bilsək |BC| və bucaq α, onda biz bucağın sinusunu hesablamaq üçün düsturdan istifadə edirik - bucağın sinusu əks ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir: sin α = |BC| / |AC|. Hipotenuzun uzunluğunun |AC| kimi tapıldığını alırıq = |BC| / cosα.

Aydınlıq üçün bir nümunə nəzərdən keçirin. Ayağın uzunluğu |AB| olsun = 15. Və bucaq α = 60°-dir. |AC| alırıq = 15 / cos 60 ° = 15 / 0,5 = 30.
Pifaqor teoremindən istifadə edərək nəticənizi necə yoxlaya biləcəyinizi düşünün. Bunun üçün ikinci ayağın |BC| uzunluğunu hesablamalıyıq. tg α = |BC| bucağının tangensi düsturundan istifadə etməklə / |AC|, biz |BC| əldə edirik = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Sonra Pifaqor teoremini tətbiq edirik, 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 alırıq. Doğrulama aparılır.

Faydalı məsləhət

Hipotenuzanı hesabladıqdan sonra alınan qiymətin Pifaqor teoreminə uyğun olub-olmadığını yoxlayın.

Mənbələr:

Ayaqlar Düzbucaqlı üçbucağın təpə nöqtəsini təşkil edən iki qısa tərəfini adlandırın, dəyəri 90 °. Belə üçbucağın üçüncü tərəfi hipotenuz adlanır. Üçbucağın bütün bu tərəfləri və bucaqları bir neçə digər parametrlər məlum olduqda ayağın uzunluğunu hesablamağa imkan verən müəyyən əlaqələrlə bir-birinə bağlıdır.

Təlimat

Düzbucaqlı üçbucağın digər iki tərəfinin (B və C) uzunluğunu bilirsinizsə, ayaq (A) üçün Pifaqor teoremindən istifadə edin. Bu teoremdə deyilir ki, ayaqların uzunluğunun kvadratı cəmi hipotenuzanın kvadratına bərabərdir. Buradan belə çıxır ki, ayaqların hər birinin uzunluğu bərabərdir kvadrat kök hipotenuzanın və ikinci ayağın uzunluqlarından: A=√(C²-B²).

Hesablanmış ayağın qarşısındakı bucağın (α) dəyərini və hipotenuzanın uzunluğunu (C) bilirsinizsə, kəskin bucaq üçün "sine" birbaşa triqonometrik funksiyasının tərifindən istifadə edin. Bu, məlum olan sinusun istədiyiniz ayağın uzunluğunun hipotenuzanın uzunluğuna nisbəti olduğunu bildirir. Bu, arzu olunan ayağın uzunluğunun hipotenuzanın uzunluğu ilə məlum bucağın sinusunun hasilinə bərabər olmasıdır: A=C∗sin(α). Eyni məlum qiymətlər üçün siz kosekantdan istifadə edə və hipotenuzanın uzunluğunu məlum A=C/kosek(α) bucağının kosekantına bölməklə istədiyiniz uzunluğu hesablaya bilərsiniz.

Hipotenuzanın uzunluğuna (C) əlavə olaraq, tələb olunana bitişik kəskin bucağın (β) qiyməti də məlumdursa, birbaşa triqonometrik kosinus funksiyasının tərifindən istifadə edin. Bu bucağın kosinusu istənilən ayağın və hipotenuzanın uzunluqlarının nisbətidir və buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, ayağın uzunluğu hipotenuzanın uzunluğu ilə məlum bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir: A=C∗cos(β). Siz sekant funksiyasının tərifindən istifadə edə və hipotenuzanın uzunluğunu məlum olan A=C/san(β) bucağının sekantına bölməklə istədiyiniz dəyəri hesablaya bilərsiniz.

Çıxar istədiyiniz formula triqonometrik funksiya tangensinin törəməsi üçün oxşar tərifdən, əgər istədiyiniz ayağın (A) qarşısında yerləşən kəskin bucağın (α) dəyərinə əlavə olaraq, ikinci ayağın (B) uzunluğu məlumdursa. İstədiyiniz ayağın qarşısındakı bucağın tangensi bu ayağın uzunluğunun ikinci ayağın uzunluğuna nisbətidir. Bu o deməkdir ki, istənilən qiymət məlum ayağın uzunluğunun və məlum bucağın tangensinin hasilinə bərabər olacaqdır: A=B∗tg(α). Eyni məlum kəmiyyətlərdən kotangent funksiyasının tərifindən istifadə edərək başqa bir düstur əldə etmək olar. Bu halda ayağın uzunluğunu hesablamaq üçün məlum ayağın uzunluğunun məlum bucağın kotangentinə nisbətini tapmaq lazım gələcək: A=B/ctg(α).

Əlaqədar videolar

"Katet" sözü rus dilinə yunan dilindən daxil olub. IN dəqiq tərcümə plumb, yəni yerin səthinə perpendikulyar deməkdir. Riyaziyyatda ayaqlara düzbucaqlı üçbucağın düz bucağını təşkil edən tərəflər deyilir. Bu bucağın qarşı tərəfi hipotenuz adlanır. "Ayaq" termini memarlıq və qaynaq texnologiyasında da istifadə olunur.

ACB düzbucaqlı üçbucağını çəkin. Onun ayaqlarını a və b və hipotenuzunu c etiketləyin. Düzbucaqlı üçbucağın bütün tərəfləri və bucaqları bir-birinə müəyyən edilir. Kəskin bucaqlardan birinə qarşı olan ayağın hipotenuzaya nisbəti bu bucağın sinusu adlanır. Bu üçbucaqda sinCAB=a/c. Kosinus qonşu ayağın hipotenuza nisbətidir, yəni cosCAB=b/c. Tərs əlaqələrə sekant və kosekant deyilir.

Bu bucağın sekantı hipotenuzanı bitişik ayaqla bölməklə əldə edilir, yəni secCAB=c/b. Kosinusun əksi çıxır, yəni onu secCAB=1/cosSAB düsturu ilə ifadə etmək olar.
Kosekant hipotenuzanı əks ayaqla bölən hissəyə bərabərdir və sinusun əksidir. cosecCAB=1/sinCAB düsturu ilə hesablana bilər

Hər iki ayaq bir-birinə bağlıdır və kotangentdir. Bu halda, tangens a tərəfinin b tərəfinə nisbəti, yəni əks ayağın bitişik tərəfə nisbəti olacaqdır. Bu nisbəti tgCAB=a/b düsturu ilə ifadə etmək olar. Müvafiq olaraq, tərs nisbət kotangent olacaq: ctgCAB=b/a.

Hipotenuzanın və hər iki ayağın ölçüləri arasındakı nisbət qədim yunan Pifaqorları tərəfindən müəyyən edilmişdir. Teorem, onun adı, insanlar hələ də istifadə edirlər. Orada deyilir ki, hipotenuzanın kvadratı cəminə bərabərdir ayaqların kvadratları, yəni c2=a2+b2. Müvafiq olaraq, hər bir ayaq hipotenuzanın və digər ayağın kvadratları arasındakı fərqin kvadrat kökünə bərabər olacaqdır. Bu düstur b=√(c2-a2) kimi yazıla bilər.

Ayağın uzunluğu da bildiyiniz əlaqələr vasitəsilə ifadə edilə bilər. Sinuslar və kosinuslar teoremlərinə görə ayaq hipotenuzanın və bu funksiyalardan birinin hasilinə bərabərdir. Siz onu və ya kotangensi ifadə edə bilərsiniz. A ayağını, məsələn, a \u003d b * tan CAB düsturu ilə tapmaq olar. Məhz eyni şəkildə verilmiş tangensdən asılı olaraq və ya , ikinci ayaq müəyyən edilir.

Memarlıqda "ayaq" termini də istifadə olunur. İon kapitalına tətbiq olunur və arxasının ortasından keçir. Yəni, bu halda, bu terminlə, verilmiş xəttə perpendikulyar.

Qaynaq texnologiyasında "filet qaynağının ayağı" var. Digər hallarda olduğu kimi, bu, ən qısa məsafədir. Burada danışırıq digər hissənin səthində yerləşən tikişin sərhədinə qaynaq ediləcək hissələrdən biri arasındakı boşluq haqqında.

Əlaqədar videolar

Mənbələr:

  • 2019-cu ildə ayaq və hipotenuz nədir

Bu problemi həll etmək üçün üç variant var. Birincisi, əgər məsələnin şərtlərində ayaqların bərabər olduğu verilirsə (əslində bizdə düzbucaqlı ikitərəfli üçbucaq var). İkincisi - başqa bir bucaq verilirsə (45% bucaq istisna olmaqla, bizdə eyni isosceles üçbucağı var və birinci seçimə qayıdırıq). Üçüncüsü - ayaqlardan biri məlum olduqda. Bu variantları daha ətraflı nəzərdən keçirək.

Bərabər ayaqları, bilinən hipotenuza ilə necə tapmaq olar

  • birinci ayaq (onu “a” hərfi ilə qeyd edək) ikinci ayaqla bərabərdir ((bunu “b” hərfi ilə işarə edək): a=b;
  • ayaqların ölçüsü;

Bu versiyada məsələnin həlli Pifaqor teoreminin istifadəsinə əsaslanır. Düzgün üçbucaqlara tətbiq edilir və onun əsas versiyası belə səslənir: "Hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir." Ayaqlarımız bərabər olduğundan, hər iki ayağı eyni xarakterlə təyin edə bilərik: a=b, yəni - a=a.

  1. Bizimlə əvəz edin konvensiyalar teoremə (yuxarıda göstərilənləri nəzərə alaraq):
    c^2=a^2+a^2,
  2. Sonra, düsturu mümkün qədər sadələşdiririk:
    с^2=2*(a^2) - qrup,
    c \u003d √ 2 * a - tənliyin hər iki hissəsini kvadrat kökə gətiririk,
    a=c/√2 - istədiyinizi çıxarın.
  3. Əvəz etmək verilmiş dəyər hipotenuz və həllini alırıq:
    a=x/√2

Bilinən hipotenuza və bucaqla ayaqları necə tapmaq olar

  • hipotenuz ("c" hərfi ilə qeyd olunur) x sm-ə bərabərdir: c=x;
  • β bucağı q-a bərabərdir: β=q;
  • ayaqların ölçüsü;

Bu problemi həll etmək üçün triqonometrik funksiyalardan istifadə etmək lazımdır. Onlardan ən populyar ikisi:

  • sinus funksiyası - istənilən bucağın sinusu əks ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir;
  • kosinus funksiyası - istədiyiniz bucağın kosinusu bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir;

İstəniləndən istifadə edə bilərsiniz. Birincidən istifadə edərək bir nümunə verəcəyəm. Ayaqları "a" (künclə bitişik) və "b" (küncün əksinə) simvolları ilə qeyd edək. Müvafiq olaraq, bucağımız "a" ayağı ilə hipotenuza arasında yerləşir.

  1. Seçilmiş simvolları düsturda əvəz edirik:
    sinβ = b/c
  2. Kateti əldə edirik:
    b=c*sinβ
  3. Məlumatlarımızı əvəz edirik və bir ayağımız var.
    b=c*sinq

İkinci ayağı ikincidən istifadə edərək tapmaq olar triqonometrik funksiya, və ya üçüncü seçimə keçin.

Hipotenuz və digər ayağı məlumdursa, bir ayağı necə tapmaq olar

  • hipotenuz ("c" hərfi ilə qeyd olunur) x sm-ə bərabərdir: c=x;
  • ayaq (“b” hərfi ilə işarə edək) y sm-ə bərabərdir: b=y;
  • digər ayağın ölçüsü (“a” hərfi ilə qeyd edək);

Bu variantda məsələnin həlli birinci variantda olduğu kimi Pifaqor teoremindən istifadə etməkdir.

  1. Konvensiyalarımızı teoremə əvəz etməklə:
    c^2=a^2+b^2,
  2. Lazımi ayağı çıxarırıq:
    a^2=c^2-b^2
  3. Tənliyin hər iki tərəfini kvadrat kökə gətiririk:
    a=√(c^2-b^2)
  4. Bu dəyərləri əvəz edirik və həllimiz var:
    a=√(x^2-y^2)

“Və bizə deyirlər ki, ayağı hipotenuzdan qısadır...” “Elektronikanın sərgüzəştləri” bədii filmində səslənən məşhur mahnının bu sətirləri, həqiqətən də, Evklidin həndəsəsi baxımından düzgündür. Axı, ayaqlar bir açı meydana gətirən iki tərəfdir, dərəcə ölçüsü 90 dərəcədir. Hipotenuz isə bir-birinə perpendikulyar olan iki ayağı birləşdirən və əks tərəfdə yerləşən ən uzun "uzanmış" tərəfdir. düz bucaq. Məhz buna görə də ayaqları boyunca hipotenuzanı yalnız düzbucaqlı üçbucaqda tapmaq mümkündür və əgər ayaq hipotenuzdan uzun olsaydı, belə üçbucaq olmazdı.

Hər iki ayaq məlumdursa, Pifaqor teoremindən istifadə edərək hipotenuzanı necə tapmaq olar

Teoremdə deyilir ki, hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəmindən başqa bir şey deyil: x^2+y^2=z^2, burada:

  • x - ilk ayaq;
  • y - ikinci ayaq;
  • z hipotenuzdur.

Ancaq bunun kvadratını deyil, hipotenuzunu tapmaq lazımdır. Bunu etmək üçün kökü çıxarın.

Hipotenuzu iki ilə tapmaq alqoritmi məşhur ayaqları:

  • Özünüz üçün ayaqların harada olduğunu və hipotenuzun harada olduğunu təyin edin.
  • Birinci ayağı kvadrat edin.
  • İkinci ayağı kvadrat.
  • Yaranan dəyərləri əlavə edin.
  • 4-cü addımda alınan ədədin kökünü götürün.

Ayaq və ona qarşı uzanan kəskin bucaq məlumdursa, sinus vasitəsilə hipotenuzanı necə tapmaq olar

Məlum ayağın onun qarşısında yerləşən kəskin bucağa nisbəti hipotenuzanın qiymətinə bərabərdir: a/sin A = c. Bu, sinusun tərifinin nəticəsidir:

Qarşı ayağın hipotenuzaya nisbəti: sin A \u003d a / c, burada:

  • a - ilk ayaq;
  • A - ayağın əksinə olan kəskin bucaq;
  • c hipotenuzdur.

Sinus teoremindən istifadə edərək hipotenuzun tapılması alqoritmi:

  • Özünüz üçün məlum ayağı və ona qarşı olan bucağı təyin edin.
  • Ayağı əks küncə bölün.
  • Hipotenuzanı alın.

Ayaq və ona bitişik kəskin bucaq məlumdursa, kosinus vasitəsilə hipotenuzanı necə tapmaq olar

Məlum ayağın kəskin daxil edilmiş bucağa nisbəti hipotenuzanın a/cos B = c dəyərinə bərabərdir. Bu, kosinusun tərifinin nəticəsidir: bitişik ayağın hipotenuzaya nisbəti: cos B \u003d a / s, burada:

  • a - ikinci ayaq;
  • B ikinci ayağa bitişik kəskin bucaqdır;
  • c hipotenuzdur.

Kosinus teoremindən istifadə edərək hipotenuzun tapılması alqoritmi:

  • Özünüz üçün məlum ayağı və ona bitişik bucağı təyin edin.
  • Ayağı bitişik bir açıya bölün.
  • Hipotenuzanı alın.

"Misir üçbucağı"ndan istifadə edərək hipotenuzanı necə tapmaq olar

"Misir üçbucağı" hipotenuzanı və ya hətta başqa bir naməlum ayağı tapmaq üçün vaxta qənaət edə biləcəyinizi bilən rəqəmlər üçlüyüdür. Üçbucağın belə bir adı var, çünki Misirdə bəzi rəqəmlər tanrıları simvollaşdırır və piramidaların və digər müxtəlif strukturların tikintisi üçün əsas idi.

  • Rəqəmlərin ilk üçlüyü: 3-4-5. Buradakı ayaqlar 3 və 4-ə bərabərdir. Sonra hipotenuz mütləq 5-ə bərabər olacaqdır. Yoxlayın: (9 + 16 = 25).
  • Rəqəmlərin ikinci üçlüyü: 5-12-13. Burada da ayaqlar 5 və 12-dir. Deməli, hipotenuza 13 olacaq. Yoxlayın: (25+144=169).

Bu cür ədədlər hətta hansısa tək ədədə bölünəndə və ya vurulanda da kömək edir. Ayaqlar 3 və 4 olarsa, onda hipotenuz 5 olacaq. Bu ədədləri 2-yə vursanız, hipotenuz 2-yə çarpacaq. Məsələn, 6-8-10 ədədlərinin üçlüyü də Pifaqor teoreminə uyğun olacaq. və bu üçlü ədədləri əzbərləsəniz, hipotenuzanı hesablaya bilməzsiniz.



Beləliklə, məlum ayaqlardan istifadə edərək hipotenuzanı tapmağın 4 yolu var. ən çox ən yaxşı variantdır Pifaqor teoremidir, lakin “Misir üçbucağını” təşkil edən üçlü ədədləri xatırlamaq da zərər verməz, çünki belə dəyərlərə rast gəlsəniz, çox vaxta qənaət edə bilərsiniz.