Nöqtələrin koordinatlarını tapmaq üçün düz xəttin tənliyindən necə istifadə etmək olar. Xəttin ümumi tənliyi

Müstəvidə xəttin tənliyi.

Məlum olduğu kimi, müstəvidə istənilən nöqtə hansısa koordinat sistemində iki koordinatla müəyyən edilir. Baza və mənşə seçimindən asılı olaraq koordinat sistemləri müxtəlif ola bilər.

Tərif. Xətt tənliyi bu xətti təşkil edən nöqtələrin koordinatları arasında y = f(x) əlaqəsi adlanır.

Qeyd edək ki, xəttin tənliyi parametrik şəkildə ifadə edilə bilər, yəni hər bir nöqtənin hər bir koordinatı hansısa müstəqil parametr vasitəsilə ifadə edilir. t.

Tipik bir nümunə, hərəkət edən nöqtənin trayektoriyasıdır. Bu zaman parametrin rolunu zaman oynayır.

Müstəvidə düz xəttin tənliyi.

Tərif. Təyyarədəki istənilən düz xətt birinci dərəcəli tənliklə təyin oluna bilər

Axe + Wu + C = 0,

Üstəlik, A və B sabitləri eyni zamanda sıfıra bərabər deyil, yəni. A 2 + B 2  0. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır düz xəttin ümumi tənliyi.

A, B və C sabitlərinin dəyərlərindən asılı olaraq aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

C = 0, A  0, B  0 – düz xətt başlanğıcdan keçir

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - Ox oxuna paralel düz xətt

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy oxuna paralel düz xətt

B = C = 0, A  0 – düz xətt Oy oxu ilə üst-üstə düşür

A = C = 0, B  0 – düz xətt Ox oxu ilə üst-üstə düşür

Düz xəttin tənliyi hər hansı verilmiş ilkin şərtlərdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim oluna bilər.

Bir nöqtədən düz xəttin və normal vektorun tənliyi.

Tərif. Dekart düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri (A, B) olan vektor Ax + By + C = 0 tənliyi ilə verilmiş düz xəttə perpendikulyardır.

Misal. A(1, 2) nöqtəsindən vektora perpendikulyar keçən xəttin tənliyini tapın (3, -1).

A = 3 və B = -1 ilə düz xəttin tənliyini quraq: 3x – y + C = 0. C əmsalını tapmaq üçün verilmiş A nöqtəsinin koordinatlarını nəticədə ifadədə əvəz edirik.

Alırıq: 3 – 2 + C = 0, buna görə də C = -1.

Cəmi: tələb olunan tənlik: 3x – y – 1 = 0.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Fəzada iki M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) nöqtəsi verilsin, onda bu nöqtələrdən keçən xəttin tənliyi belədir:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfırdırsa, müvafiq pay sıfıra bərabər təyin edilməlidir.

Müstəvidə yuxarıda yazılmış düz xəttin tənliyi sadələşdirilmişdir:

x 1  x 2 və x = x 1 olarsa, x 1 = x 2 olarsa.

Fraksiya
=k deyilir yamac düz.

Misal. A(1, 2) və B(3, 4) nöqtələrindən keçən xəttin tənliyini tapın.

Yuxarıda yazılmış düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Nöqtə və yamacdan istifadə edərək düz xəttin tənliyi.

Ax + By + C = 0 düz xəttinin ümumi tənliyi aşağıdakı formaya endirilərsə:

və təyin edin
, onda yaranan tənlik çağırılır yamaclı düz xəttin tənliyik.

Bir nöqtədən düz xəttin və istiqamət vektorunun tənliyi.

Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan nöqtəyə bənzətməklə, bir nöqtədən keçən düz xəttin tərifini və düz xəttin istiqamət vektorunu daxil edə bilərsiniz.

Tərif. Hər sıfırdan fərqli vektor ( 1,  2), komponentləri A 1 + B 2 = 0 şərtini ödəyən xəttin istiqamət vektoru adlanır.

Axe + Wu + C = 0.

Misal.İstiqamət vektoru olan xəttin tənliyini tapın (1, -1) və A(1, 2) nöqtəsindən keçməklə.

İstənilən xəttin tənliyini aşağıdakı formada axtaracağıq: Ax + By + C = 0. Tərifə uyğun olaraq, əmsallar şərtləri təmin etməlidir:

1A + (-1)B = 0, yəni. A = B.

Onda düz xəttin tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: Ax + Ay + C = 0 və ya x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2-də biz C/A = -3 alırıq, yəni. tələb olunan tənlik:

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi.

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ах + Ву + С = 0 С 0 olarsa, onda –С-ə bölməklə, alırıq:
və ya

, Harada

Əmsalların həndəsi mənası odur ki, əmsal A xəttin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır və b– düz xəttin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı.

Misal. x – y + 1 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir.Bu xəttin seqmentlərdə tənliyini tapın.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Xəttin normal tənliyi.

Ax + By + C = 0 tənliyinin hər iki tərəfi ədədə bölünürsə
adlanır normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcos + ysin - p = 0 –

xəttin normal tənliyi.

Normallaşdırıcı əmsalın  işarəsi elə seçilməlidir ki, С< 0.

p başlanğıcdan düz xəttə endirilən perpendikulyarın uzunluğu,  isə bu perpendikulyarın Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə yaratdığı bucaqdır.

Misal. 12x – 5y – 65 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir.Bu xətt üçün müxtəlif növ tənliklərin yazılması tələb olunur.

seqmentlərdə bu xəttin tənliyi:

bu xəttin mailliklə bərabərliyi: (5-ə bölün)

xəttin normal tənliyi:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə, məsələn, oxlara paralel və ya koordinatların başlanğıcından keçən düz xətlərdə tənlik ilə təmsil oluna bilməz.

Misal. Düz xətt koordinat oxlarında bərabər müsbət seqmentləri kəsir. Bu seqmentlərin yaratdığı üçbucağın sahəsi 8 sm 2 olarsa, düz xətt üçün tənlik yazın.

Düz xəttin tənliyi belədir:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 məsələnin şərtlərinə uyğun deyil.

Ümumi:
və ya x + y – 4 = 0.

Misal. A(-2, -3) nöqtəsindən və başlanğıcından keçən düz xəttin tənliyini yazın.

Düz xəttin tənliyi belədir:
, burada x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Bir müstəvidə düz xətlər arasındakı bucaq.

Tərif. Əgər iki xətt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilsə, bu xətlər arasındakı iti bucaq aşağıdakı kimi təyin ediləcəkdir.

.

Əgər k 1 = k 2 olarsa, iki xətt paraleldir.

Əgər k 1 = -1/k 2 olarsa, iki xətt perpendikulyardır.

Teorem. Birbaşa xətlər Ax + Wu + C = 0 və A 1 x + B 1 y + C 1 A əmsalları mütənasib olduqda = 0 paraleldir 1 =  A, B 1 =  B. Əgər C 1 =  C, sonra xətlər üst-üstə düşür.

Bu xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları tapılır.

Verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi

bu xəttə perpendikulyar.

Tərif. M 1 (x 1, y 1) nöqtəsindən keçən və y = kx + b düz xəttinə perpendikulyar olan düz xətt tənlik ilə təmsil olunur:

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.

Teorem. M(x) nöqtəsi verilmişdirsə 0 , y 0 ), onda Ах + Ву + С =0 düz xəttinə qədər olan məsafə müəyyən edilir

.

Sübut. M nöqtəsindən verilmiş düz xəttə endirilən perpendikulyarın əsası M 1 (x 1, y 1) nöqtəsi olsun. Sonra M və M nöqtələri arasındakı məsafə 1:

x 1 və y 1 koordinatlarını tənliklər sistemini həll etməklə tapmaq olar:

Sistemin ikinci tənliyi verilmiş xəttə perpendikulyar M 0 nöqtəsindən keçən xəttin tənliyidir.

Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra həll edərək əldə edirik:

Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:

.

Teorem sübut edilmişdir.

Misal. Xətlər arasındakı bucağı təyin edin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tq =
;  = /4.

Misal. 3x – 5y + 7 = 0 və 10x + 6y – 3 = 0 xətlərinin perpendikulyar olduğunu göstərin.

Tapırıq: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, buna görə də xətlər perpendikulyardır.

Misal. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçbucağının təpələri verilmişdir. C təpəsindən çəkilmiş hündürlüyün tənliyini tapın.

AB tərəfinin tənliyini tapırıq:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Tələb olunan hündürlük tənliyi formaya malikdir: Ax + By + C = 0 və ya y = kx + b.

k = . Sonra y =
. Çünki hündürlük C nöqtəsindən keçir, onda onun koordinatları bu tənliyi təmin edir:
buradan b = 17. Cəmi:
.

Cavab: 3x + 2y – 34 = 0.

Kosmosda analitik həndəsə.

Məkanda xəttin tənliyi.

Bir nöqtə verilmiş fəzada xəttin tənliyi və

istiqamət vektoru.

İxtiyari xətt və vektor götürək (m, n, p), verilmiş xəttə paralel. Vektor çağırdı bələdçi vektoru düz.

Düz xətt üzərində iki ixtiyari nöqtəni götürürük M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) və M (x, y, z).

z

M 1

Bu nöqtələrin radius vektorlarını kimi işarə edək Və , aydındır ki - =
.

Çünki vektorlar
Və kollineardır, onda əlaqə doğrudur
= t, burada t bəzi parametrdir.

Ümumilikdə yaza bilərik: = + t.

Çünki bu tənlik xəttin hər hansı bir nöqtəsinin koordinatları ilə təmin edilir, nəticədə alınan tənlik xəttin parametrik tənliyi.

Bu vektor tənliyi koordinat şəklində təqdim edilə bilər:

Bu sistemi çevirərək və t parametrinin qiymətlərini bərabərləşdirməklə fəzada düz xəttin kanonik tənliklərini əldə edirik:

.

Tərif. İstiqamət kosinusları birbaşa vektorun istiqamət kosinuslarıdır düsturlardan istifadə etməklə hesablana bilər:

;

.

Buradan alırıq: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p ədədləri adlanır bucaq əmsalları düz. Çünki sıfırdan fərqli vektordur, onda m, n və p eyni vaxtda sıfıra bərabər ola bilməz, lakin bu ədədlərdən biri və ya ikisi sıfıra bərabər ola bilər. Bu halda, xəttin tənliyində müvafiq paylar sıfıra bərabər təyin edilməlidir.

Kosmosda düz xəttin tənliyi

iki nöqtə vasitəsilə.

Əgər fəzada düz xətt üzərində iki ixtiyari nöqtəni M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) qeyd etsək, onda bu nöqtələrin koordinatları düz xətt tənliyini təmin etməlidir. yuxarıda əldə edilmişdir:

.

Bundan əlavə, M 1 nöqtəsi üçün yaza bilərik:

.

Bu tənlikləri birlikdə həll edərək əldə edirik:

.

Bu, fəzada iki nöqtədən keçən xəttin tənliyidir.

Kosmosda düz xəttin ümumi tənlikləri.

Düz xəttin tənliyini iki müstəvinin kəsişmə xəttinin tənliyi kimi qəbul etmək olar.

Yuxarıda müzakirə edildiyi kimi, vektor şəklində bir təyyarə tənlik ilə təyin edilə bilər:

+ D = 0, burada

- normal təyyarə; - radius müstəvidə ixtiyari nöqtənin vektorudur.

Evklid həndəsəsində düz xəttin xassələri.

İstənilən nöqtədən sonsuz sayda düz xətt çəkilə bilər.

İstənilən iki üst-üstə düşməyən nöqtə vasitəsilə tək düz xətt çəkilə bilər.

Bir müstəvidə iki fərqli xətt ya bir nöqtədə kəsişir, ya da olur

paralel (əvvəlkidən sonra).

Üç ölçülü məkanda iki xəttin nisbi mövqeyi üçün üç seçim var:

• xətlər kəsişir;

• xətlər paraleldir;

• düz xətlər kəsişir.

Düz xətt— birinci dərəcəli cəbr əyrisi: Dekart koordinat sistemində düz xətt

müstəvidə birinci dərəcəli tənlik (xətti tənlik) ilə verilir.

Düz xəttin ümumi tənliyi.

Tərif. Təyyarədəki istənilən düz xətt birinci dərəcəli tənliklə təyin oluna bilər

Axe + Wu + C = 0,

və daimi A, B eyni zamanda sıfıra bərabər deyil. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır general

düz xəttin tənliyi. Sabitlərin dəyərlərindən asılı olaraq A, B Və İLƏ Aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- düz xətt başlanğıcdan keçir

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- oxa paralel düz xətt Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- oxa paralel düz xətt OU

. B = C = 0, A ≠0- düz xətt oxla üst-üstə düşür OU

. A = C = 0, B ≠0- düz xətt oxla üst-üstə düşür Oh

Düz xəttin tənliyi hər hansı verilmişdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim oluna bilər

ilkin şərtlər.

Bir nöqtədən düz xəttin və normal vektorun tənliyi.

Tərif. Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri olan vektor (A, B)

tənliklə verilən xəttə perpendikulyardır

Axe + Wu + C = 0.

Misal. Nöqtədən keçən xəttin tənliyini tapın A(1, 2) vektora perpendikulyar (3, -1).

Həll. A = 3 və B = -1 ilə düz xəttin tənliyini tərtib edək: 3x - y + C = 0. C əmsalını tapmaq üçün

Verilmiş A nöqtəsinin koordinatlarını alınan ifadədə əvəz edək: 3 - 2 + C = 0, buna görə də.

C = -1. Cəmi: tələb olunan tənlik: 3x - y - 1 = 0.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Kosmosda iki nöqtə verilsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Və M2 (x 2, y 2, z 2), Sonra xəttin tənliyi,

bu nöqtələrdən keçərək:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfırdırsa, müvafiq pay sıfıra bərabər təyin edilməlidir. Aktiv

müstəvidə yuxarıda yazılmış düz xəttin tənliyi sadələşdirilmişdir:

Əgər x 1 ≠ x 2 Və x = x 1, Əgər x 1 = x 2 .

Fraksiya = kçağırdı yamac düz.

Misal. A(1, 2) və B(3, 4) nöqtələrindən keçən xəttin tənliyini tapın.

Həll. Yuxarıda yazılmış düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Nöqtə və yamacdan istifadə edərək düz xəttin tənliyi.

Əgər xəttin ümumi tənliyi Axe + Wu + C = 0 gətirib çıxarır:

və təyin edin , onda yaranan tənlik çağırılır

yamacı k olan düz xəttin tənliyi.

Bir nöqtədən düz xəttin və istiqamət vektorunun tənliyi.

Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan nöqtəyə bənzətməklə, tapşırığı daxil edə bilərsiniz

nöqtədən keçən düz xətt və düz xəttin istiqamətləndirici vektoru.

Tərif. Hər sıfırdan fərqli vektor (α 1 , α 2), onun komponentləri şərti ödəyir

Aα 1 + Bα 2 = 0çağırdı düz xəttin yönləndirici vektoru.

Axe + Wu + C = 0.

Misal. İstiqamət vektoru (1, -1) olan və A(1, 2) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Həll. İstədiyiniz xəttin tənliyini aşağıdakı formada axtaracağıq: Ax + By + C = 0. Tərifə görə,

əmsallar aşağıdakı şərtlərə cavab verməlidir:

1 * A + (-1) * B = 0, yəni. A = B.

Sonra düz xəttin tənliyi formaya malikdir: Axe + Ay + C = 0, və ya x + y + C / A = 0.

saat x = 1, y = 2 alırıq C/A = -3, yəni. tələb olunan tənlik:

x + y - 3 = 0

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi.

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ах + Ву + С = 0 С≠0 olarsa, onda -С-yə bölməklə, alırıq:

və ya harada

Əmsalların həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, a əmsalı kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır

ox ilə düz Oh, A b- xəttin ox ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı OU.

Misal. Düz xəttin ümumi tənliyi verilmişdir x - y + 1 = 0. Bu xəttin seqmentlərdə tənliyini tapın.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Xəttin normal tənliyi.

Tənliyin hər iki tərəfi varsa Axe + Wu + C = 0ədədə bölün adlanır

normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcosφ + ysinφ - p = 0 -xəttin normal tənliyi.

Normallaşdırıcı əmsalın ± işarəsi elə seçilməlidir ki μ*C< 0.

R- başlanğıcdan düz xəttə düşən perpendikulyarın uzunluğu,

A φ - bu perpendikulyarın oxun müsbət istiqaməti ilə yaratdığı bucaq Oh.

Misal. Xəttin ümumi tənliyi verilmişdir 12x - 5y - 65 = 0. Müxtəlif növ tənliklərin yazılması tələb olunur

bu düz xətt.

Bu xəttin seqmentlərdə tənliyi:

Bu xəttin yamacla bərabərliyi: (5-ə bölün)

Xəttin tənliyi:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə tənlik ilə təmsil oluna bilməz, məsələn, düz xətlər,

oxlara paralel və ya başlanğıcdan keçən.

Bir müstəvidə düz xətlər arasındakı bucaq.

Tərif. Əgər iki sətir verilirsə y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, sonra bu xətlər arasındakı iti bucaq

kimi müəyyən ediləcək

Əgər iki xətt paraleldirsə k 1 = k 2. İki xətt perpendikulyardır

Əgər k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Birbaşa Axe + Wu + C = 0 Və A 1 x + B 1 y + C 1 = 0əmsallar mütənasib olduqda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Əgər də С 1 = λС, sonra xətlər üst-üstə düşür. İki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları

bu xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi tapılır.

Verilmiş xəttə perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Tərif. Bir nöqtədən keçən xətt M 1 (x 1, y 1) və xəttə perpendikulyar y = kx + b

tənlik ilə təmsil olunur:

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.

Teorem. Bir xal verilirsə M(x 0, y 0), sonra düz xəttə qədər olan məsafə Axe + Wu + C = 0 kimi müəyyən edilir:

Sübut. Qoy nöqtə olsun M 1 (x 1, y 1)- nöqtədən düşmüş perpendikulyarın əsası M verilmiş üçün

birbaşa. Sonra nöqtələr arasındakı məsafə M Və M 1:

(1)

Koordinatlar x 1 Və 1-də tənliklər sisteminin həlli kimi tapıla bilər:

Sistemin ikinci tənliyi verilmiş M 0 nöqtəsindən perpendikulyar keçən düz xəttin tənliyidir.

düz xətt verilmişdir. Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra həll edərək əldə edirik:

Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:

Teorem sübut edilmişdir.

K(x 0 ; y 0) nöqtəsindən keçən və y = kx + a xəttinə paralel olan xətt düsturla tapılır:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Burada k xəttin yamacıdır.

Alternativ formula:
M 1 (x 1 ; y 1) nöqtəsindən keçən və Ax+By+C=0 xəttinə paralel olan xətt tənliyi ilə təmsil olunur.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Nümunə № 2. 2x + 5y = 0 xəttinə paralel olan xəttin tənliyini yazın və koordinat oxları ilə birlikdə sahəsi 5 olan üçbucaq yaradın.
Həll . Xətlər paralel olduğundan, istədiyiniz xəttin tənliyi 2x + 5y + C = 0-dır. Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi, burada a və b onun ayaqlarıdır. İstədiyiniz xəttin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq:
;
.
Beləliklə, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Onu sahə düsturu ilə əvəz edək: . İki həll alırıq: 2x + 5y + 10 = 0 və 2x + 5y – 10 = 0.

Nümunə № 3. (-2; 5) nöqtəsindən keçən və 5x-7y-4=0 xəttinə paralel olan xəttin tənliyini yazın.
Həll. Bu düz xətt y = 5 / 7 x – 4 / 7 (burada a = 5 / 7) tənliyi ilə göstərilə bilər. İstədiyiniz xəttin tənliyi y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), yəni. 7(y-5)=5(x+2) və ya 5x-7y+45=0 .

Nümunə № 4. 3-cü nümunəni (A=5, B=-7) (2) düsturu ilə həll etdikdən sonra 5(x+2)-7(y-5)=0 tapırıq.

Nümunə № 5. (-2;5) nöqtəsindən keçən və 7x+10=0 xəttinə paralel olan xəttin tənliyini yazın.
Həll. Burada A=7, B=0. Formula (2) 7(x+2)=0 verir, yəni. x+2=0. Formula (1) tətbiq edilmir, çünki bu tənliyi y-ə münasibətdə həll etmək mümkün deyil (bu düz xətt ordinat oxuna paraleldir).

Evklid həndəsəsində düz xəttin xassələri.

İstənilən nöqtədən sonsuz sayda düz xətt çəkilə bilər.

İstənilən iki üst-üstə düşməyən nöqtə vasitəsilə tək düz xətt çəkilə bilər.

Bir müstəvidə iki fərqli xətt ya bir nöqtədə kəsişir, ya da olur

paralel (əvvəlkidən sonra).

Üç ölçülü məkanda iki xəttin nisbi mövqeyi üçün üç seçim var:

• xətlər kəsişir;

• xətlər paraleldir;

• düz xətlər kəsişir.

Düz xətt— birinci dərəcəli cəbr əyrisi: Dekart koordinat sistemində düz xətt

müstəvidə birinci dərəcəli tənlik (xətti tənlik) ilə verilir.

Düz xəttin ümumi tənliyi.

Tərif. Təyyarədəki istənilən düz xətt birinci dərəcəli tənliklə təyin oluna bilər

Axe + Wu + C = 0,

və daimi A, B eyni zamanda sıfıra bərabər deyil. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır general

düz xəttin tənliyi. Sabitlərin dəyərlərindən asılı olaraq A, B Və İLƏ Aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- düz xətt başlanğıcdan keçir

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- oxa paralel düz xətt Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- oxa paralel düz xətt OU

. B = C = 0, A ≠0- düz xətt oxla üst-üstə düşür OU

. A = C = 0, B ≠0- düz xətt oxla üst-üstə düşür Oh

Düz xəttin tənliyi hər hansı verilmişdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim oluna bilər

ilkin şərtlər.

Bir nöqtədən düz xəttin və normal vektorun tənliyi.

Tərif. Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri olan vektor (A, B)

tənliklə verilən xəttə perpendikulyardır

Axe + Wu + C = 0.

Misal. Nöqtədən keçən xəttin tənliyini tapın A(1, 2) vektora perpendikulyar (3, -1).

Həll. A = 3 və B = -1 ilə düz xəttin tənliyini tərtib edək: 3x - y + C = 0. C əmsalını tapmaq üçün

Verilmiş A nöqtəsinin koordinatlarını alınan ifadədə əvəz edək: 3 - 2 + C = 0, buna görə də.

C = -1. Cəmi: tələb olunan tənlik: 3x - y - 1 = 0.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Kosmosda iki nöqtə verilsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Və M2 (x 2, y 2, z 2), Sonra xəttin tənliyi,

bu nöqtələrdən keçərək:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfırdırsa, müvafiq pay sıfıra bərabər təyin edilməlidir. Aktiv

müstəvidə yuxarıda yazılmış düz xəttin tənliyi sadələşdirilmişdir:

Əgər x 1 ≠ x 2 Və x = x 1, Əgər x 1 = x 2 .

Fraksiya = kçağırdı yamac düz.

Misal. A(1, 2) və B(3, 4) nöqtələrindən keçən xəttin tənliyini tapın.

Həll. Yuxarıda yazılmış düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Nöqtə və yamacdan istifadə edərək düz xəttin tənliyi.

Əgər xəttin ümumi tənliyi Axe + Wu + C = 0 gətirib çıxarır:

və təyin edin , onda yaranan tənlik çağırılır

yamacı k olan düz xəttin tənliyi.

Bir nöqtədən düz xəttin və istiqamət vektorunun tənliyi.

Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan nöqtəyə bənzətməklə, tapşırığı daxil edə bilərsiniz

nöqtədən keçən düz xətt və düz xəttin istiqamətləndirici vektoru.

Tərif. Hər sıfırdan fərqli vektor (α 1 , α 2), onun komponentləri şərti ödəyir

Aα 1 + Bα 2 = 0çağırdı düz xəttin yönləndirici vektoru.

Axe + Wu + C = 0.

Misal. İstiqamət vektoru (1, -1) olan və A(1, 2) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Həll. İstədiyiniz xəttin tənliyini aşağıdakı formada axtaracağıq: Ax + By + C = 0. Tərifə görə,

əmsallar aşağıdakı şərtlərə cavab verməlidir:

1 * A + (-1) * B = 0, yəni. A = B.

Sonra düz xəttin tənliyi formaya malikdir: Axe + Ay + C = 0, və ya x + y + C / A = 0.

saat x = 1, y = 2 alırıq C/A = -3, yəni. tələb olunan tənlik:

x + y - 3 = 0

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi.

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ах + Ву + С = 0 С≠0 olarsa, onda -С-yə bölməklə, alırıq:

və ya harada

Əmsalların həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, a əmsalı kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır

ox ilə düz Oh, A b- xəttin ox ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı OU.

Misal. Düz xəttin ümumi tənliyi verilmişdir x - y + 1 = 0. Bu xəttin seqmentlərdə tənliyini tapın.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Xəttin normal tənliyi.

Tənliyin hər iki tərəfi varsa Axe + Wu + C = 0ədədə bölün adlanır

normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcosφ + ysinφ - p = 0 -xəttin normal tənliyi.

Normallaşdırıcı əmsalın ± işarəsi elə seçilməlidir ki μ*C< 0.

R- başlanğıcdan düz xəttə düşən perpendikulyarın uzunluğu,

A φ - bu perpendikulyarın oxun müsbət istiqaməti ilə yaratdığı bucaq Oh.

Misal. Xəttin ümumi tənliyi verilmişdir 12x - 5y - 65 = 0. Müxtəlif növ tənliklərin yazılması tələb olunur

bu düz xətt.

Bu xəttin seqmentlərdə tənliyi:

Bu xəttin yamacla bərabərliyi: (5-ə bölün)

Xəttin tənliyi:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə tənlik ilə təmsil oluna bilməz, məsələn, düz xətlər,

oxlara paralel və ya başlanğıcdan keçən.

Bir müstəvidə düz xətlər arasındakı bucaq.

Tərif. Əgər iki sətir verilirsə y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, sonra bu xətlər arasındakı iti bucaq

kimi müəyyən ediləcək

Əgər iki xətt paraleldirsə k 1 = k 2. İki xətt perpendikulyardır

Əgər k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Birbaşa Axe + Wu + C = 0 Və A 1 x + B 1 y + C 1 = 0əmsallar mütənasib olduqda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Əgər də С 1 = λС, sonra xətlər üst-üstə düşür. İki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları

bu xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi tapılır.

Verilmiş xəttə perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Tərif. Bir nöqtədən keçən xətt M 1 (x 1, y 1) və xəttə perpendikulyar y = kx + b

tənlik ilə təmsil olunur:

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.

Teorem. Bir xal verilirsə M(x 0, y 0), sonra düz xəttə qədər olan məsafə Axe + Wu + C = 0 kimi müəyyən edilir:

Sübut. Qoy nöqtə olsun M 1 (x 1, y 1)- nöqtədən düşmüş perpendikulyarın əsası M verilmiş üçün

birbaşa. Sonra nöqtələr arasındakı məsafə M Və M 1:

(1)

Koordinatlar x 1 Və 1-də tənliklər sisteminin həlli kimi tapıla bilər:

Sistemin ikinci tənliyi verilmiş M 0 nöqtəsindən perpendikulyar keçən düz xəttin tənliyidir.

düz xətt verilmişdir. Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra həll edərək əldə edirik:

Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:

Teorem sübut edilmişdir.

Bu məqalədə müstəvidə yerləşən düzbucaqlı koordinat sistemində verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyinin törəməsi açıqlanır. Düzbucaqlı koordinat sistemində verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini çıxaraq. Biz əhatə olunan materialla bağlı bir neçə nümunəni aydın şəkildə göstərib həll edəcəyik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Verilmiş iki nöqtədən keçən xəttin tənliyini əldə etməzdən əvvəl bəzi faktlara diqqət yetirmək lazımdır. Bir müstəvidə iki fərqli nöqtə vasitəsilə düz xətt çəkmək olar və yalnız bir aksioma var. Başqa sözlə, müstəvidə verilmiş iki nöqtə bu nöqtələrdən keçən düz xətt ilə müəyyən edilir.

Təyyarə düzbucaqlı Oxy koordinat sistemi ilə müəyyən edilirsə, onda təsvir olunan istənilən düz xətt müstəvidəki düz xəttin tənliyinə uyğun olacaq. Düz xəttin istiqamət vektoru ilə də əlaqə var.Bu məlumat verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tərtib etmək üçün kifayətdir.

Bənzər bir problemi həll etmək üçün bir nümunəyə baxaq. Dekart koordinat sistemində yerləşən M 1 (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2) iki fərqli nöqtədən keçən a düz xətti üçün tənlik yaratmaq lazımdır.

X - x 1 a x = y - y 1 a y formasına malik olan müstəvidəki xəttin kanonik tənliyində düzbucaqlı koordinat sistemi O x y koordinatları M 1 (x) olan bir nöqtədə onunla kəsişən xətt ilə təyin olunur. 1, y 1) bələdçi vektoru ilə a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2) koordinatları olan iki nöqtədən keçəcək a düz xəttinin kanonik tənliyini yaratmaq lazımdır.

Düz a, M 1 və M 2 nöqtələrini kəsdiyi üçün koordinatları (x 2 - x 1, y 2 - y 1) olan M 1 M 2 → istiqamət vektoruna malikdir. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) istiqamət vektorunun koordinatları və onların üzərində yerləşən M 1 nöqtələrinin koordinatları ilə kanonik tənliyi çevirmək üçün lazımi məlumatları əldə etdik. (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 və ya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 formasının tənliyini alırıq.

Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Hesablamalardan sonra koordinatları M 1 (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2) olan iki nöqtədən keçən müstəvidə xəttin parametrik tənliklərini yazırıq. x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ və ya x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ formasının tənliyini alırıq. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Bir neçə nümunənin həllinə daha yaxından nəzər salaq.

Misal 1

Koordinatları M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 olan verilmiş 2 nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazın.

Həll

Koordinatları x 1, y 1 və x 2, y 2 olan iki nöqtədə kəsişən xətt üçün kanonik tənlik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 formasını alır. Məsələnin şərtlərinə görə bizdə x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 olur. Rəqəmi dəyərləri x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 tənliyinə əvəz etmək lazımdır. Buradan əldə edirik ki, kanonik tənlik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 formasını alır.

Cavab: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Fərqli bir tənlik növü ilə bir problemi həll etməlisinizsə, əvvəlcə kanonik birinə keçə bilərsiniz, çünki ondan hər hansı digərinə keçmək daha asandır.

Misal 2

O x y koordinat sistemində koordinatları M 1 (1, 1) və M 2 (4, 2) olan nöqtələrdən keçən düz xəttin ümumi tənliyini qurun.

Həll

Əvvəlcə verilmiş iki nöqtədən keçən xəttin kanonik tənliyini yazmalısınız. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 formasının tənliyini alırıq.

Kanonik tənliyi istədiyiniz formaya gətirək, sonra əldə edirik:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Cavab: x - 3 y + 2 = 0 .

Belə tapşırıqların nümunələri cəbr dərsləri zamanı məktəb dərsliklərində müzakirə edilmişdir. Məktəb problemləri y = k x + b formasına malik olan bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyinin məlum olması ilə fərqlənirdi. Əgər y = k x + b tənliyinin O x y sistemində M 1 (x 1, y 1) və M 2 ( nöqtələrindən keçən xətti müəyyən etdiyi k yamacının qiymətini və b ədədini tapmaq lazımdırsa. x 2, y 2) , burada x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 olduqda , onda bucaq əmsalı sonsuzluq qiymətini alır və M 1 M 2 düz xətti x - x 1 = 0 formasının ümumi natamam tənliyi ilə müəyyən edilir. .

Çünki xallar M 1 Və M 2 düz xətt üzərindədirlər, onda onların koordinatları y 1 = k x 1 + b və y 2 = k x 2 + b tənliyini təmin edir. k və b üçün y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b tənliklər sistemini həll etmək lazımdır.

Bunun üçün k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 və ya k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = tapırıq. y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Bu k və b qiymətləri ilə verilmiş iki nöqtədən keçən xəttin tənliyi y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x olur. 1 və ya y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Bir anda belə çox sayda düsturları xatırlamaq mümkün deyil. Bunun üçün problemlərin həllində təkrarların sayını artırmaq lazımdır.

Misal 3

Koordinatları M 2 (2, 1) və y = k x + b olan nöqtələrdən keçən bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyini yazın.

Həll

Məsələni həll etmək üçün y = k x + b şəklində bucaq əmsalı olan düsturdan istifadə edirik. k və b əmsalları elə qiymət almalıdır ki, bu tənlik M 1 (- 7, - 5) və M 2 (2, 1) koordinatları olan iki nöqtədən keçən düz xəttə uyğun olsun.

Xallar M 1 Və M 2 düz xətt üzərində yerləşir, onda onların koordinatları y = k x + b tənliyini həqiqi bərabərliyə çevirməlidir. Buradan alırıq ki, - 5 = k · (- 7) + b və 1 = k · 2 + b. Tənliyi sistemə birləşdirək - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b və həll edək.

Əvəz etdikdən sonra bunu əldə edirik

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

İndi k = 2 3 və b = - 1 3 dəyərləri y = k x + b tənliyində əvəz olunur. Tapırıq ki, verilmiş nöqtələrdən keçən tələb olunan tənlik y = 2 3 x - 1 3 formalı tənlik olacaqdır.

Bu həll üsulu çox vaxt itkisini əvvəlcədən müəyyənləşdirir. Tapşırığın hərfi mənada iki addımda həll olunduğu bir yol var.

M 2 (2, 1) və M 1 (- 7, - 5) nöqtələrindən keçən xəttin x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) formasına malik olan kanonik tənliyini yazaq. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

İndi isə yamac tənliyinə keçək. Bunu alırıq: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Cavab: y = 2 3 x - 1 3 .

Əgər üçölçülü fəzada M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatları olan iki verilmiş üst-üstə düşməyən nöqtəsi olan O x y z düzbucaqlı koordinat sistemi varsa, onlardan 1 M 2 keçən M düz xətti bu xəttin tənliyini almaq lazımdır.

Bizdə x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z formalı kanonik tənliklər və x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z formalı parametrik tənliklər var. 1 + a z · λ istiqamət vektoru a → = (a x, a y, a z) olan koordinatları (x 1, y 1, z 1) olan nöqtələrdən keçən O x y z koordinat sistemində xətti təyin edə bilir.

Düz M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) formasında istiqamət vektoruna malikdir, burada düz xətt M 1 (x 1, y 1,) nöqtəsindən keçir. z 1) və M 2 (x 2 , y 2 , z 2), deməli, kanonik tənlik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 şəklində ola bilər. z 2 - z 1 və ya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, öz növbəsində parametrik x = x 1 + (x 2 - x 1) ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ və ya x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Məkanda verilmiş 2 nöqtəni və düz xəttin tənliyini göstərən rəsmə nəzər salaq.

Misal 4

Koordinatları M 1 (2, - 3, 0) və M 2 (1, - 3, - 5) olan verilmiş iki nöqtədən keçən üçölçülü fəzanın O x y z düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş xəttin tənliyini yazın.

Həll

Kanonik tənliyi tapmaq lazımdır. Söhbət üçölçülü fəzadan getdiyindən, bu o deməkdir ki, xətt verilmiş nöqtələrdən keçəndə istənilən kanonik tənlik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z formasını alacaq. - z 1 z 2 - z 1 .

Şərtlə bizdə var ki, x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Buradan belə çıxır ki, lazımi tənliklər aşağıdakı kimi yazılacaq:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Cavab: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın