Matrisin dərəcəsi sıfıra bərabər ola bilərmi? Matris dərəcəsi və matrisin əsası minor

Bəzi matris verilsin:

Gəlin bu matrisdə seçim edək ixtiyari sətirlər və ixtiyari sütunlar
. Sonra determinant matris elementlərindən ibarət olan ci sıra
, seçilmiş sətir və sütunların kəsişməsində yerləşir, minor adlanır ci sıra matrisi
.

Tərif 1.13. Matris dərəcəsi
bu matrisin sıfırdan fərqli minorunun ən böyük sırasıdır.

Bir matrisin rütbəsini hesablamaq üçün onun ən aşağı dərəcəli bütün kiçiklərini nəzərə almaq lazımdır və onlardan ən azı biri sıfırdan fərqlidirsə, ən yüksək dərəcəli kiçikləri nəzərə almağa davam etmək lazımdır. Matrisin rütbəsini təyin etmək üçün bu yanaşma sərhədləşdirmə üsulu (və ya yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi üsulu) adlanır.

Problem 1.4. Yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodundan istifadə edərək, matrisin dərəcəsini müəyyənləşdirin
.

Birinci dərəcəli haşiyəni nəzərdən keçirək, məsələn,
. Sonra bəzi ikinci dərəcəli kənarları nəzərdən keçirməyə davam edirik.

Misal üçün,
.

Nəhayət, üçüncü dərəcəli haşiyəni təhlil edək.

Deməli, sıfır olmayan minorun ən yüksək sırası 2-dir
.

Problem 1.4-ü həll edərkən, bir sıra ikinci dərəcəli həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanların sıfırdan fərqli olduğunu görə bilərsiniz. Bu baxımdan aşağıdakı konsepsiya tətbiq olunur.

Tərif 1.14. Bir matrisin əsas minoru sırası matrisin dərəcəsinə bərabər olan sıfırdan fərqli hər hansı bir minordur.

Teorem 1.2.(Əsas minor teoremi). Əsas sətirlər (əsas sütunlar) xətti müstəqildir.

Nəzərə alın ki, matrisin sətirləri (sütunları) yalnız və yalnız onlardan ən azı biri digərlərinin xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bildikdə xətti asılıdır.

Teorem 1.3. Xətti müstəqil matrisin sətirlərinin sayı xətti müstəqil matrisin sütunlarının sayına bərabərdir və matrisin dərəcəsinə bərabərdir.

Teorem 1.4.(Müəyyənedicinin sıfıra bərabər olması üçün zəruri və kafi şərt). Determinant üçün -ci sifariş sıfıra bərabər idi, onun sətirlərinin (sütunlarının) xətti asılı olması zəruri və kifayətdir.

Tərifinə əsasən matrisin dərəcəsini hesablamaq çox çətin olur. Bu, yüksək dərəcəli matrislər üçün xüsusilə vacib olur. Bununla əlaqədar olaraq, praktikada matrisin dərəcəsi 10.2 - 10.4 teoremlərinin tətbiqi, həmçinin matrisin ekvivalentliyi və elementar çevrilmə anlayışlarının istifadəsi əsasında hesablanır.

Tərif 1.15.İki matris
Və dərəcələri bərabər olduqda ekvivalent adlanır, yəni.
.

Əgər matrislər
Və ekvivalentdir, sonra qeyd edin
 .

Teorem 1.5. Elementar çevrilmələrə görə matrisin dərəcəsi dəyişmir.

Biz elementar matris çevrilmələri adlandıracağıq
matris üzərində aşağıdakı əməliyyatlardan hər hansı biri:

Sətirlərin sütunlarla və sütunların müvafiq sətirlərlə əvəz edilməsi;

Matris sıralarının yenidən təşkili;

Elementlərinin hamısı sıfır olan xəttin kəsilməsi;

Sətri sıfırdan başqa bir rəqəmə vurmaq;

Bir sətrin elementlərinə digər sətrin müvafiq elementlərinin əlavə edilməsi eyni ədədə vurulur
.

Teorem 1.5-in nəticəsi.Əgər matris
matrisdən əldə edilir sonlu sayda elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, sonra matris
Və ekvivalentdirlər.

Matrisin rütbəsini hesablayarkən, sonlu sayda elementar çevrilmələrdən istifadə edərək trapezoidal formaya salınmalıdır.

Tərif 1.16. Biz trapezoidi matrisin təsvir forması adlandıracağıq, o zaman ki, ən yüksək dərəcəli sərhəd minorunda sıfırdan fərqli olaraq diaqonaldan aşağı olan bütün elementlər yox olur. Misal üçün:

Budur
, matris elementləri
sıfıra gedin. Sonra belə bir matrisin təsvir forması trapezoidal olacaqdır.

Bir qayda olaraq, matrislər Qauss alqoritmindən istifadə edərək trapezoidal formaya salınır. Gauss alqoritminin ideyası ondan ibarətdir ki, matrisin birinci sətirinin elementlərini müvafiq amillərə vurmaqla birinci sütunun bütün elementlərinin elementin altında yerləşməsinə nail olunur.
, sıfıra dönərdi. Sonra, ikinci sütunun elementlərini müvafiq amillərlə çarparaq, ikinci sütunun bütün elementlərinin elementin altında olmasını təmin edirik.
, sıfıra dönərdi. Sonra eyni şəkildə davam edin.

Problem 1.5. Bir matrisin dərəcəsini trapezoidal formaya endirərək təyin edin.

Qauss alqoritmindən istifadəni asanlaşdırmaq üçün birinci və üçüncü sətirləri dəyişə bilərsiniz.








.

Buradan aydındır
. Bununla belə, nəticəni daha zərif bir forma gətirmək üçün sütunları dəyişdirməyə davam edə bilərsiniz.










.

Mövzunun mühüm praktik tətbiqini də nəzərdən keçirəcəyik: ardıcıllıq üçün xətti tənliklər sisteminin öyrənilməsi.

Bir matrisin dərəcəsi nədir?

Məqalənin yumoristik epiqrafında çoxlu həqiqət var. Biz adətən “rütbə” sözünü bir növ iyerarxiya ilə, çox vaxt karyera nərdivanı ilə əlaqələndiririk. İnsanda nə qədər çox bilik, təcrübə, qabiliyyət, əlaqələr və s. – onun mövqeyi və imkanları nə qədər yüksəkdir. Gənclik baxımından rütbə ümumi “sıldırım” dərəcəsinə aiddir.

Riyaziyyatçı qardaşlarımız da eyni prinsiplərlə yaşayırlar. Gəlin bir neçə təsadüfi olanı gəzməyə aparaq sıfır matrislər:

Matrisdə olarsa, bu barədə düşünək bütün sıfırlar, onda hansı rütbədən danışmaq olar? “Ümumi sıfır” qeyri-rəsmi ifadəsi ilə hər kəs tanışdır. Matrislər cəmiyyətində hər şey eynidir:

Sıfır matrisin dərəcəsiistənilən ölçü sıfıra bərabərdir.

Qeyd : Sıfır matrisi yunan hərfi "teta" ilə işarələnir

Matrisin dərəcəsini daha yaxşı başa düşmək üçün bundan sonra kömək etmək üçün materiallardan istifadə edəcəyəm analitik həndəsə. Sıfır hesab edin vektor konkret istiqamət təyin etməyən və tikinti üçün yararsız olan üçölçülü məkanımız afin əsas. Cəbr nöqteyi-nəzərindən bu vektorun koordinatları yazılır matris“bir-üç” və məntiqlidir (göstərilən həndəsi mənada) fərz edək ki, bu matrisin dərəcəsi sıfırdır.

İndi bir neçəsinə nəzər salaq sıfırdan fərqli sütun vektorları Və sıra vektorları:

Hər bir nümunənin ən azı bir sıfırdan fərqli elementi var və bu bir şeydir!

İstənilən sıfırdan fərqli cərgə vektorunun (sütun vektorunun) dərəcəsi birinə bərabərdir

Və ümumiyyətlə desək - matrisdə olarsa ixtiyari ölçülərən azı bir sıfırdan fərqli element var, sonra onun dərəcəsi az deyil vahidlər.

Cəbr cərgə vektorları və sütun vektorları müəyyən dərəcədə mücərrəddir, ona görə də yenidən həndəsi assosiasiyaya müraciət edək. Sıfır olmayan vektor kosmosda çox dəqiq istiqamət təyin edir və tikinti üçün əlverişlidir əsas, buna görə də matrisin dərəcəsi birə bərabər hesab ediləcək.

Nəzəri məlumat : xətti cəbrdə vektor vektor fəzasının elementidir (8 aksiom vasitəsilə müəyyən edilir), o, xüsusilə müəyyən edilmiş həqiqi ədədə toplama və vurma əməliyyatları ilə həqiqi ədədlərin sıralı sırasını (və ya sütununu) təmsil edə bilər. onlar üçün. Vektorlar haqqında daha ətraflı məlumatı məqalədə tapa bilərsiniz Xətti çevrilmələr.

xətti asılıdır(bir-biri vasitəsilə ifadə olunur). Həndəsi baxımdan ikinci sətir kollinear vektorun koordinatlarını ehtiva edir , bu da tikintidə məsələni heç də irəli aparmadı üçölçülü əsas, bu mənada lüzumsuz olmaq. Beləliklə, bu matrisin dərəcəsi də birə bərabərdir.

vektorların koordinatlarını yenidən sütunlara yazaq ( matrisi köçürün):

Reytinq baxımından nə dəyişdi? heç nə. Sütunlar mütənasibdir, yəni dərəcə birə bərabərdir. Yeri gəlmişkən, qeyd edək ki, hər üç xətt də mütənasibdir. Onları koordinatlarla müəyyən etmək olar üç təyyarənin kollinear vektorları, bunlardan yalnız bir"düz" əsasın qurulması üçün faydalıdır. Və bu, bizim həndəsi dərəcə anlayışımızla tamamilə uyğundur.

Yuxarıdakı nümunədən əhəmiyyətli bir ifadə gəlir:

Satırlardakı matrisin dərəcəsi sütunlardakı matrisin dərəcəsinə bərabərdir. Effektivlik haqqında dərsdə artıq bir az qeyd etdim determinantın hesablanması üsulları.

Qeyd : sətirlərin xətti asılılığı sütunların xətti asılılığını nəzərdə tutur (və əksinə). Ancaq vaxta qənaət etmək üçün və vərdişdən kənar, demək olar ki, həmişə simlərin xətti asılılığından danışacağam.

Sevimli ev heyvanımızı öyrətməyə davam edək. Üçüncü sıradakı matrisə başqa bir kollinear vektorun koordinatlarını əlavə edək :

O, bizə üçölçülü baza qurmağa kömək etdimi? Əlbəttə yox. Hər üç vektor eyni yolda irəli və geri gedir və matrisin dərəcəsi birinə bərabərdir. İstədiyiniz qədər kollinear vektor götürə bilərsiniz, məsələn, 100, onların koordinatlarını "yüzdən üçə" matrisinə qoya bilərsiniz və belə bir göydələnin rütbəsi hələ də bir olaraq qalacaqdır.

Gəlin sətirləri olan matrislə tanış olaq xətti müstəqil. Üçölçülü baza qurmaq üçün bir cüt qeyri-kollinear vektor uyğun gəlir. Bu matrisin dərəcəsi ikidir.

Matrisin dərəcəsi nədir? Xətlər mütənasib görünmür... deməli, nəzəri cəhətdən onlar üçdür. Bununla belə, bu matrisin dərəcəsi də ikidir. İlk iki sətri əlavə etdim və nəticəni aşağıya yazdım, yəni. xətti şəkildə ifadə edilir ilk iki vasitəsilə üçüncü sətir. Həndəsi olaraq matrisin sıraları üçünün koordinatlarına uyğun gəlir koplanar vektorlar, və bu üçlük arasında bir cüt qeyri-collinear yoldaş var.

Gördüyünüz kimi, xətti asılılıq Nəzərə alınan matrisdə aydın deyil və bu gün onu açıq yerə necə çıxaracağımızı öyrənəcəyik.

Düşünürəm ki, bir çox insan matrisin dərəcəsinin nə olduğunu təxmin edə bilər!

Satırları olan matrisi nəzərdən keçirək xətti müstəqil. Vektorlar formalaşır afin əsas, və bu matrisin dərəcəsi üçdür.

Bildiyiniz kimi, üçölçülü fəzanın istənilən dördüncü, beşinci, onuncu vektoru bazis vektorları ilə xətti şəkildə ifadə olunacaq. Buna görə də, matrisə istənilən sayda cərgə əlavə etsəniz, o zaman onun dərəcəsi yenə də üçə bərabər olacaq.

Oxşar mülahizə daha böyük ölçülü matrislər üçün də aparıla bilər (əlbəttə ki, heç bir həndəsi məna olmadan).

Tərif : Matrisin dərəcəsi xətti müstəqil cərgələrin maksimum sayıdır. Və ya: Matrisin dərəcəsi xətti müstəqil sütunların maksimum sayıdır. Bəli, onların sayı həmişə eynidir.

Bundan əlavə, yuxarıda qeyd olunanlardan əhəmiyyətli bir praktiki təlimat var: matrisin dərəcəsi onun minimum ölçüsünü keçmir. Məsələn, matrisdə dörd sıra və beş sütun. Minimum ölçü dörddür, buna görə də bu matrisin dərəcəsi, şübhəsiz ki, 4-dən çox olmayacaqdır.

Təyinatlar: dünya nəzəriyyəsində və praktikasında matrisin rütbəsini təyin etmək üçün ümumi qəbul edilmiş standart yoxdur; çox vaxt tapa bilərsiniz: - necə deyərlər, ingilis bir şey yazır, alman başqa bir şey. Buna görə də, Amerika və Rus cəhənnəmi haqqında məşhur zarafata əsaslanaraq, matrisin dərəcəsini doğma sözlə qeyd edək. Misal üçün: . Əgər matris "adsız"dırsa, onlardan çoxu var, onda sadəcə yaza bilərsiniz.

Yetkinlik yaşına çatmayanlardan istifadə edərək matrisin dərəcəsini necə tapmaq olar?

Nənəmin matrisində beşinci sütun olsaydı, o, 4-cü dərəcəli başqa bir kiçik hesablamalı olardı ("mavi", "moruq" + 5-ci sütun).

Nəticə: sıfır olmayan minorun maksimum sırası üçdür, yəni .

Bəlkə də hamı bu ifadəni tam başa düşməyib: 4-cü dərəcəli kiçik sıfıra bərabərdir, lakin 3-cü dərəcəli kiçiklər arasında sıfırdan fərqli bir var idi - buna görə də maksimum sıra sıfırdan fərqli kiçik və üçə bərabərdir.

Sual yaranır, niyə determinantı dərhal hesablamırıq? Yaxşı, birincisi, əksər tapşırıqlarda matris kvadrat deyil, ikincisi, sıfırdan fərqli bir dəyər alsanız belə, tapşırıq çox güman ki, rədd ediləcək, çünki o, adətən standart "aşağıdan yuxarı" həlli ehtiva edir. Və nəzərdən keçirilən nümunədə 4-cü sıranın sıfır determinantı matrisin dərəcəsinin yalnız dörddən az olduğunu bildirməyə imkan verir.

Etiraf edim ki, azyaşlıları həmsərhədləşdirmə üsulunu daha yaxşı izah etmək üçün özüm təhlil etdiyim problemlə çıxış etdim. Həqiqi praktikada hər şey daha sadədir:

Misal 2

Kənar kiçiklər metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsini tapın

Həll və cavab dərsin sonundadır.

Alqoritm nə vaxt ən sürətli işləyir? Gəlin eyni dördə dörd matrisə qayıdaq. . Aydındır ki, "yaxşı" vəziyyətində həll ən qısa olacaq. künc azyaşlıları:

Və əgər , onda , əks halda – .

Düşüncə heç də hipotetik deyil - bütün məsələnin yalnız açısal azyaşlılarla məhdudlaşdığı bir çox nümunə var.

Ancaq bəzi hallarda başqa bir üsul daha təsirli və üstünlük təşkil edir:

Qauss metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsini necə tapmaq olar?

Paraqraf artıq tanış olan oxucular üçün nəzərdə tutulub Qauss üsulu və az-çox əllərinə düşdülər.

Texniki baxımdan metod yeni deyil:

1) elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, matrisi addımlı bir formaya endiririk;

2) matrisin dərəcəsi sətirlərin sayına bərabərdir.

Bu tamamilə aydındır Qauss metodundan istifadə etməklə matrisin rütbəsi dəyişmir, və burada mahiyyət olduqca sadədir: alqoritmə görə, elementar çevrilmələr zamanı bütün lazımsız mütənasib (xətti asılı) sıralar müəyyən edilir və çıxarılır, nəticədə "quru qalıq" - xətti müstəqil cərgələrin maksimum sayı yaranır.

Köhnə tanış matrisi üç kollinear vektorun koordinatları ilə çevirək:

(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Üçüncü sətirə birinci sətir əlavə edildi.

(2) Sıfır xətlər silinir.

Beləliklə, bir sətir qalıb, deməli. Deməyə ehtiyac yoxdur ki, bu, 2-ci dərəcəli doqquz sıfır yetkinlik yaşına çatmayanı hesablamaqdan və yalnız bundan sonra nəticə çıxarmaqdan daha sürətlidir.

Bunu sizə xatırladıram ki, özlüyündə cəbri matris heç bir şey dəyişdirilə bilməz və çevrilmələr yalnız rütbəni təyin etmək üçün edilir! Yeri gəlmişkən, gəlin bir daha sual üzərində dayanaq, niyə olmasın? Mənbə matrisi matrisin və cərgənin məlumatlarından əsaslı şəkildə fərqli olan məlumatları daşıyır. Bəzi riyazi modellərdə (mübaliğəsiz) bir ədəddəki fərq ölüm-dirim məsələsi ola bilər. ...Xırda bir qeyri-dəqiqliyə və ya alqoritmdən yayınmağa görə qiymətləri amansızcasına 1-2 bal kəsən ibtidai və orta məktəb riyaziyyat müəllimlərini xatırladım. Zəmanətli görünən "A" əvəzinə "yaxşı" və ya daha da pis olduğu çox məyus oldu. Anlama çox sonra gəldi - peykləri, nüvə başlıqlarını və elektrik stansiyalarını bir insana başqa necə əmanət etmək olar? Amma narahat olma, mən bu sahələrdə işləmirəm =)

Gəlin daha mənalı tapşırıqlara keçək, burada digər şeylərlə yanaşı, vacib hesablama texnikaları ilə tanış olacağıq. Gauss üsulu:

Misal 3

Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisin dərəcəsini tapın

Həll: "dörddən beşə" matrisi verilir, bu o deməkdir ki, onun dərəcəsi mütləq 4-dən çox deyil.

Birinci sütunda 1 və ya -1 yoxdur, buna görə də ən azı bir vahid əldə etmək üçün əlavə tədbirlər tələb olunur. Saytın mövcudluğu boyu mənə dəfələrlə sual verilmişdir: "Elementar çevrilmələr zamanı sütunları yenidən təşkil etmək mümkündürmü?" Burada birinci və ikinci sütunları yenidən təşkil etdik və hər şey qaydasındadır! İstifadə olunduğu əksər işlərdə Qauss üsulu, sütunlar həqiqətən yenidən təşkil edilə bilər. AMMA LAZIM DEYİL. Məsələ hətta dəyişənlərlə mümkün qarışıqlıqda da deyil, məsələ ondadır ki, ali riyaziyyatın klassik kursunda bu hərəkət ənənəvi olaraq nəzərə alınmır, ona görə də belə bir baş əyməyə ÇOX əyri baxılacaq (və ya hətta hər şeyi yenidən düzəltməyə məcbur olacaq).

İkinci məqam rəqəmlərə aiddir. Qərar verərkən aşağıdakı əsas qaydadan istifadə etmək faydalı olar: elementar çevrilmələr, mümkünsə, matris ədədlərini azaltmalıdır. Axı, bir, iki, üç ilə işləmək, məsələn, 23, 45 və 97 ilə işləməkdən daha asandır. Və ilk hərəkət yalnız birinci sütunda birini əldə etməyə deyil, həm də rəqəmləri aradan qaldırmağa yönəldilmişdir. 7 və 11.

Əvvəlcə tam həll, sonra şərhlər:

(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -3-ə vuruldu. Və yığına: 1-ci sətir 4-cü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.

(2) Son üç sətir mütənasibdir. 3-cü və 4-cü sətirlər çıxarıldı, ikinci sətir birinci yerə köçürüldü.

(3) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -3 ilə vuruldu.

Eşelon formaya salınmış matrisin iki cərgəsi var.

Cavab verin:

İndi dördə dörd matrisə işgəncə vermək növbənizdir:

Misal 4

Qauss metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsini tapın

Bunu sizə xatırladıram Qauss üsulu birmənalı sərtlik demək deyil və sizin qərarınız çox güman ki, mənim qərarımdan fərqli olacaq. Dərsin sonunda tapşırığın qısa nümunəsi.

Matrisin dərəcəsini tapmaq üçün hansı üsuldan istifadə etməliyəm?

Təcrübədə rütbəni tapmaq üçün hansı üsuldan istifadə edilməli olduğu çox vaxt ümumiyyətlə göstərilmir. Belə bir vəziyyətdə vəziyyət təhlil edilməlidir - bəzi matrislər üçün kiçiklər vasitəsilə həll etmək daha rasionaldır, digərləri üçün elementar çevrilmələri tətbiq etmək daha sərfəlidir:

Misal 5

Matrisin dərəcəsini tapın

Həll: birinci üsul birtəhər dərhal yox olur =)

Bir az yuxarıda, matrisin sütunlarına toxunmamağı tövsiyə etdim, lakin sıfır sütun və ya mütənasib/üst-üstə düşən sütunlar olduqda, yenə də amputasiya etməyə dəyər:

(1) Beşinci sütun sıfırdır, onu matrisdən çıxarın. Beləliklə, matrisin dərəcəsi dörddən çox deyil. Birinci sətir -1-ə vuruldu. Bu, aşağıdakı hərəkəti xoş bir gəzintiyə çevirən Gauss metodunun başqa bir əlamətidir:

(2) İkincidən başlayaraq bütün sətirlərə birinci sətir əlavə edildi.

(3) Birinci sətir –1-ə, üçüncü sətir 2-yə, dördüncü sətir 3-ə bölündü. İkinci sətir beşinci sətirə əlavə edilərək –1-ə vuruldu.

(4) Beşinci sətirə üçüncü sətir əlavə edilib, -2 ilə vurulub.

(5) Son iki sətir mütənasibdir, beşincisi silinir.

Nəticə 4 sətirdir.

Cavab verin:

Müstəqil təhsil üçün standart beş mərtəbəli bina:

Misal 6

Matrisin dərəcəsini tapın

Qısa bir həll və dərsin sonunda cavab.

Qeyd etmək lazımdır ki, "matris dərəcəsi" ifadəsi praktikada o qədər də tez-tez rast gəlinmir və əksər problemlərdə onsuz da edə bilərsiniz. Ancaq sözügedən konsepsiyanın əsas xarakter olduğu bir vəzifə var və məqaləni bu praktik tətbiq ilə yekunlaşdıracağıq:

Ardıcıllıq üçün xətti tənliklər sistemini necə öyrənmək olar?

Çox vaxt həllə əlavə olaraq xətti tənliklər sistemlərişərtə görə, ilk növbədə onu uyğunluq baxımından yoxlamaq, yəni hər hansı bir həll yolunun ümumiyyətlə mövcud olduğunu sübut etmək tələb olunur. Belə yoxlamada əsas rol oynayır Kroneker-Kapelli teoremi, lazımi formada tərtib edəcəyəm:

Əgər dərəcə sistem matrisləri dərəcəyə bərabərdir genişləndirilmiş matris sistemi, onda sistem ardıcıldır və əgər bu ədəd naməlumların sayı ilə üst-üstə düşürsə, onda həll unikaldır.

Beləliklə, sistemin uyğunluğunu öyrənmək üçün bərabərliyi yoxlamaq lazımdır , Harada - sistem matrisi(dərsdən terminologiyanı xatırlayın Gauss üsulu), A - genişləndirilmiş sistem matrisi(yəni dəyişənlərin əmsalları olan matris + sərbəst şərtlər sütunu).

Bir matrisin rütbəsini hesablamaq üçün siz yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodundan və ya Qauss metodundan istifadə edə bilərsiniz. Qauss metodunu və ya elementar çevrilmə üsulunu nəzərdən keçirək.

Bir matrisin dərəcəsi onun kiçiklərinin maksimum sırasıdır, onların arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri var.

Sətirlər (sütunlar) sisteminin dərəcəsi bu sistemin xətti müstəqil sətirlərinin (sütunlarının) maksimum sayıdır.

Sərhədsiz kiçiklər metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsini tapmaq üçün alqoritm:

Kiçik M k-bu sifariş sıfır deyil.
Yetkinlik yaşına çatmayanlar üçün həmsərhəddirsə M (k+1)-ci sifariş etmək mümkün deyil (yəni matris ehtiva edir k xətlər və ya k sütunlar), onda matrisin dərəcəsi bərabərdir k. Əgər həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlar varsa və hamısı sıfırdırsa, o zaman dərəcə k-dir. Əgər həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri varsa, o zaman yeni bir azyaşlı tərtib etməyə çalışırıq. k+2 və s.

Alqoritmi daha ətraflı təhlil edək. Əvvəlcə matrisin birinci (matris elementləri) sırasının kiçiklərini nəzərdən keçirin A. Əgər onların hamısı sıfıra bərabərdirsə, deməli dərəcəA = 0. Sıfıra bərabər olmayan birinci dərəcəli kiçiklər (matris elementləri) varsa M 1 ≠ 0, sonra dərəcə dərəcəA ≥ 1.

M 1. Əgər belə yetkinlik yaşına çatmayanlar varsa, o zaman ikinci dərəcəli azyaşlılar olacaq. Bütün yetkinlik yaşına çatmayanlar yetkinlik yaşına çatmayanla həmsərhəddirsə M 1 onda sıfıra bərabərdir dərəcəA = 1. İkinci dərəcəli ən azı bir minor varsa, sıfıra bərabər deyil M2 ≠ 0, sonra dərəcə dərəcəA ≥ 2.

Gəlin yoxlayaq ki, azyaşlı üçün sərhəddə olan yetkinlik yaşına çatmayanlar varmı M 2. Əgər belə yetkinlik yaşına çatmayanlar varsa, o zaman üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar olacaq. Bütün yetkinlik yaşına çatmayanlar yetkinlik yaşına çatmayanla həmsərhəddirsə M 2 onda sıfıra bərabərdir dərəcəA = 2. Sıfıra bərabər olmayan üçüncü dərəcəli ən azı bir minor varsa M 3 ≠ 0, sonra dərəcə dərəcəA ≥ 3.

Gəlin yoxlayaq ki, azyaşlı üçün sərhəddə olan yetkinlik yaşına çatmayanlar varmı M 3. Əgər belə yetkinlik yaşına çatmayanlar varsa, o zaman dördüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar olacaq. Bütün yetkinlik yaşına çatmayanlar yetkinlik yaşına çatmayanla həmsərhəddirsə M 3 onda sıfıra bərabərdir dərəcəA = 3. Dördüncü dərəcəli ən azı bir minor varsa, sıfıra bərabər deyil M4 ≠ 0, sonra dərəcə dərəcəA ≥ 4.

Yetkinlik yaşına çatmayan üçün sərhəddə olan yetkinlik yaşına çatmayan şəxsin olub-olmadığını yoxlamaq M 4, və s. Əgər hansısa mərhələdə sərhədyanı kiçiklər sıfıra bərabər olarsa və ya sərhədyanı minor əldə edilə bilməzsə (matris sətir və ya sütunlardan “tutar”) alqoritm dayanır. Yaradılan sıfırdan fərqli minorun sırası matrisin rütbəsi olacaq.

Misal

Bir nümunədən istifadə edərək bu üsula baxaq. 4x5 matris verilmişdir:

Bu matrisin 4-dən böyük rütbəsi ola bilməz. Həmçinin, bu matrisin sıfırdan fərqli elementləri var (birinci dərəcəli kiçik), yəni matrisin dərəcəsi ≥ 1-dir.

Gəlin bir azyaşlı bəstələək 2-ci sifariş. Küncdən başlayaq.

Deməli, determinant sıfıra bərabərdir, başqa minor yaradaq.

Bu minorun təyinedicisini tapaq.

Verilmiş minoru bərabər müəyyənləşdirin -2 . Beləliklə, matrisin dərəcəsi ≥ 2 .

Əgər bu azyaşlı 0-a bərabər olsaydı, o zaman digər azyaşlılar yaranardı. Sona qədər 1-ci və 2-ci sətirlərdəki bütün azyaşlıları bəstələyəcəkdilər. Sonra 1 və 3-cü sətirləri, 2-ci və 3-cü sətirləri, 2-ci və 4-cü sətirləri 0-a bərabər olmayan bir azyaşlı tapana qədər, məsələn:

Əgər bütün ikinci dərəcəli kiçiklər 0 olsaydı, matrisin rütbəsi 1 olardı. Həlli dayandırıla bilərdi.

3-cü sifariş.

Azyaşlının sıfır olmadığı ortaya çıxdı. matrisin dərəcəsini bildirir ≥ 3 .

Əgər bu azyaşlı sıfır olsaydı, o zaman digər yetkinlik yaşına çatmayanlar tərtib edilməlidir. Misal üçün:

Əgər bütün üçüncü dərəcəli kiçiklər 0 olsaydı, matrisin dərəcəsi 2 olardı. Həll dayandırıla bilər.

Matrisin dərəcəsini axtarmağa davam edək. Gəlin bir azyaşlı bəstələək 4-cü sifariş.

Gəlin bu minorun təyinedicisini tapaq.

Azyaşlının determinantının bərabər olduğu ortaya çıxdı 0 . Gəlin başqa bir azyaşlı quraq.

Gəlin bu minorun təyinedicisini tapaq.

Azyaşlının bərabər olduğu ortaya çıxdı 0 .

Kiçik tikmək 5-ci sifariş işləməyəcək, bu matrisdə bunun üçün heç bir sıra yoxdur. Sonuncu minor sıfıra bərabər deyildi 3-cü sifariş, yəni matrisin dərəcəsi bərabərdir 3 .

İbtidai Aşağıdakı matris çevrilmələri adlanır:

1) hər hansı iki sətrin (və ya sütunun) dəyişdirilməsi,

2) sətri (və ya sütunu) sıfırdan fərqli bir ədədə vurmaq,

3) bir sətirə (və ya sütuna) başqa bir sətir (və ya sütun) əlavə etmək, müəyyən bir ədədə vurulur.

İki matris deyilir ekvivalent, əgər onlardan biri digərindən sonlu elementar çevrilmələr toplusundan istifadə edilməklə alınarsa.

Ekvivalent matrislər, ümumiyyətlə, bərabər deyil, lakin onların dərəcələri bərabərdir. Əgər A və B matrisləri ekvivalentdirsə, o zaman aşağıdakı kimi yazılır: A ~ B.

Kanonik Bir matris, əsas diaqonalın əvvəlində bir sıra bir neçəsinin olduğu (sayı sıfır ola bilər) və bütün digər elementlərin sıfıra bərabər olduğu bir matrisdir, məsələn,

Satırların və sütunların elementar çevrilmələrindən istifadə edərək istənilən matrisi kanonik hala gətirmək olar. Kanonik matrisin dərəcəsi onun əsas diaqonalındakıların sayına bərabərdir.

Misal 2 Matrisin dərəcəsini tapın

və onu kanonik formaya gətirin.

Həll.İkinci sətirdən birincini çıxarın və bu sətirləri yenidən təşkil edin:

İndi ikinci və üçüncü sətirlərdən müvafiq olaraq 2 və 5-ə vurulan birincini çıxarırıq:

;

üçüncü sətirdən birincini çıxarın; matris alırıq

B = ,

A matrisinə ekvivalentdir, çünki ondan sonlu elementar çevrilmələr toplusundan istifadə etməklə əldə edilir. Aydındır ki, B matrisinin dərəcəsi 2-dir və buna görə də r(A)=2. B matrisi asanlıqla kanonikə endirilə bilər. Uyğun ədədlərlə vurulan birinci sütunu bütün sonrakılardan çıxararaq, birincidən başqa birinci sətirin bütün elementlərini sıfıra çeviririk və qalan sətirlərin elementləri dəyişmir. Sonra, uyğun ədədlərə vurulan ikinci sütunu bütün sonrakılardan çıxararaq, ikincidən başqa ikinci cərgənin bütün elementlərini sıfıra çeviririk və kanonik matrisi alırıq:

Kroneker - Kapelli teoremi- xətti cəbri tənliklər sistemi üçün uyğunluq meyarı:

Xətti sistemin ardıcıl olması üçün bu sistemin uzadılmış matrisinin dərəcəsinin onun əsas matrisinin dərəcəsinə bərabər olması zəruri və kifayətdir.

Sübut (sistem uyğunluğu şərtləri)

Zərurət

Qoy sistemi birgə Sonra elə rəqəmlər var ki. Buna görə də, sütun matrisin sütunlarının xətti birləşməsidir. Başqa sətirlərin (sütunların) xətti kombinasiyası olan sətir (sütun) onun sətirlər (sütunlar) sistemindən silindikdə və ya əlavə edildikdə matrisin dərəcəsinin dəyişməyəcəyindən belə nəticə çıxır ki, .

Adekvatlıq

Qoy . Matrisdə bəzi əsas minorları götürək. O vaxtdan o, həm də matrisin əsas minoru olacaq. Sonra əsas teoreminə uyğun olaraq azyaşlı, matrisin son sütunu əsas sütunların, yəni matrisin sütunlarının xətti kombinasiyası olacaq. Beləliklə, sistemin sərbəst şərtləri sütunu matrisin sütunlarının xətti birləşməsidir.

Nəticələr

Əsas dəyişənlərin sayı sistemləri sistemin dərəcəsinə bərabərdir.

Birgə sistemi sistemin rütbəsi onun bütün dəyişənlərinin sayına bərabər olarsa, müəyyən ediləcək (onun həlli unikaldır).

Homojen tənliklər sistemi

Təklif15 . 2 Homojen tənliklər sistemi

həmişə birgədir.

Sübut. Bu sistem üçün , , , ədədlər çoxluğu həll yoludur.

Bu bölmədə sistemin matris qeydindən istifadə edəcəyik: .

Təklif15 . 3 Homojen xətti tənliklər sisteminin həllərinin cəmi bu sistemin həllidir. Ədədlə vurulan həll də həlldir.

Sübut. Sistem üçün həll yolu kimi xidmət etsinlər. Sonra və. Qoy . Sonra

O vaxtdan bəri - həll.

İxtiyari bir ədəd olsun, . Sonra

O vaxtdan bəri - həll.

Nəticə15 . 1 Əgər homojen xətti tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlli varsa, onun sonsuz sayda müxtəlif həlli var.

Həqiqətən, sıfırdan fərqli bir həlli müxtəlif ədədlərlə çarparaq, fərqli həllər əldə edəcəyik.

Tərif15 . 5 Çözüm yollarını deyəcəyik sistemləri formalaşdırır əsas həllər sistemi, əgər sütunlar xətti müstəqil sistem təşkil edir və sistemin istənilən həlli bu sütunların xətti birləşməsidir.

>>Matrix dərəcəsi

Matris dərəcəsi

Matrisin dərəcəsinin müəyyən edilməsi

Düzbucaqlı matrisi nəzərdən keçirək. Əgər bu matrisdə biz özbaşına seçirik k xətlər və k sütunlar, sonra seçilmiş sətirlərin və sütunların kəsişməsindəki elementlər k-ci dərəcəli kvadrat matris təşkil edir. Bu matrisin təyinedicisi adlanır k-ci dərəcəli kiçik A matrisi. Aydındır ki, A matrisi m və n ədədlərinin 1-dən ən kiçiyinə qədər hər hansı bir sıradan kiçiklərə malikdir. A matrisinin bütün sıfırdan fərqli kiçikləri arasında sırası ən böyük olan ən azı bir minor var. Verilmiş matrisin sıfırdan fərqli kiçik sıralarından ən böyüyü adlanır dərəcə matrislər. Əgər A matrisinin dərəcəsi olarsa r, bu o deməkdir ki, A matrisinin sıfırdan fərqli minor sırası var r, lakin daha böyük sifariş hər kiçik r, sıfıra bərabərdir. A matrisinin dərəcəsi r(A) ilə işarələnir. Aydındır ki, münasibət davam edir

Kiçiklərdən istifadə edərək matrisin rütbəsinin hesablanması

Matrisin dərəcəsi ya yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi üsulu ilə, ya da elementar çevrilmə üsulu ilə tapılır. Birinci üsuldan istifadə edərək matrisin rütbəsini hesablayarkən, aşağı dərəcəli azyaşlılardan daha yüksək dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlara keçməlisiniz. Əgər A matrisinin sıfırdan fərqli k-ci dərəcəli kiçik D-i artıq tapılıbsa, onda yalnız kiçik D-ni həmsərhəd olan (k+1) dərəcəli kiçiklər hesablama tələb edir, yəni. azyaşlı kimi ehtiva edir. Hamısı sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi bərabərdir k.

Misal 1.Yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsini tapın

Həll.1-ci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlarla başlayırıq, yəni. A matrisinin elementlərindən. Məsələn, birinci sətirdə və birinci sütunda yerləşən kiçik (element) M 1 = 1 seçək. İkinci cərgənin və üçüncü sütunun köməyi ilə həmsərhədləşərək, sıfırdan fərqli bir kiçik M 2 = alırıq. İndi M2 ilə həmsərhəd olan 3-cü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlara müraciət edirik. Onlardan yalnız ikisi var (ikinci və ya dördüncü sütun əlavə edə bilərsiniz). Onları hesablayaq: = 0. Beləliklə, üçüncü dərəcəli bütün həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanların sıfıra bərabər olduğu ortaya çıxdı. A matrisinin dərəcəsi ikidir.

Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisin dərəcəsinin hesablanması

İbtidaiAşağıdakı matris çevrilmələri adlanır: