Elementar çevrilmələr üsulu ilə matrisin dərəcəsinin tapılması. Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisin dərəcəsinin hesablanması

Tərif. Matris dərəcəsi vektor hesab edilən xətti müstəqil cərgələrin maksimum sayıdır.

Matrisin dərəcəsi üzrə teorem 1. Matris dərəcəsi matrisin sıfırdan fərqli minorunun maksimum sırasıdır.

Biz artıq determinantlar dərsində azyaşlı anlayışını müzakirə etdik, indi isə onu ümumiləşdirəcəyik. Matrisdəki bəzi sətirləri və bəzi sütunları götürək və bu "nəsə" matrisin sətir və sütunlarının sayından az olmalıdır və sətir və sütunlar üçün bu "nəsə" eyni sayda olmalıdır. Sonra neçə sətir və neçə sütunun kəsişməsində ilkin matrisimizdən daha kiçik sıralı bir matris olacaq. Əgər qeyd olunan “nəsə” (sətir və sütunların sayı) k ilə işarələnərsə, bu matrisin determinantı k-ci dərəcəli minor olacaqdır.

Tərif. Kiçik ( r+1)-ci sıra, içərisində seçilmiş yetkinlik yaşına çatmayan şəxs yerləşir r-ci sıra, verilmiş azyaşlı üçün sərhəd adlanır.

Ən çox istifadə edilən iki üsul matrisin dərəcəsinin tapılması. Bu yetkinlik yaşına çatmayanları döymək yolu Və elementar çevrilmələr üsulu(Qauss üsulu ilə).

Yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodu aşağıdakı teoremdən istifadə edir.

Matrisin dərəcəsinə dair teorem 2.Əgər matrisin elementlərindən minor tərtib etmək olarsa r sıfıra bərabər olmayan ci sıra, onda matrisin dərəcəsi bərabərdir r.

Elementar çevrilmə üsulu ilə aşağıdakı xüsusiyyət istifadə olunur:

Elementar çevrilmələr yolu ilə orijinalına ekvivalent olan trapezoidal matris alınırsa, onda bu matrisin dərəcəsi tamamilə sıfırlardan ibarət sətirlər istisna olmaqla, içindəki sətirlərin sayıdır.

Yetkinlik yaşına çatmayanların haşiyələnməsi üsulu ilə matrisin rütbəsinin tapılması

Sərhəddə olan yetkinlik yaşına çatmayan şəxs, əgər bu daha yüksək dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanda verilmiş yetkinlik yaşına çatmayanı ehtiva edirsə, verilənə nisbətən daha yüksək dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayandır.

Məsələn, matris verilmişdir

Gəlin bir azyaşlı götürək

kənar belə azyaşlılar olacaq:

Matrisin dərəcəsini tapmaq üçün alqoritm növbəti.

1. Biz sıfıra bərabər olmayan ikinci dərəcəli azyaşlıları tapırıq. Bütün ikinci dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi birə bərabər olacaqdır ( r =1 ).

2. Sıfıra bərabər olmayan ən azı bir ikinci dərəcəli minor varsa, o zaman biz həmsərhəd üçüncü dərəcəli kiçiklər təşkil edirik. Bütün üçüncü dərəcəli həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfırdırsa, matrisin dərəcəsi ikidir ( r =2 ).

3. Əgər üçüncü dərəcəli həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlardan heç olmasa biri sıfra bərabər deyilsə, onda biz onu sərhədləyən yetkinlik yaşına çatmayanları tərtib edirik. Əgər dördüncü dərəcəli azyaşlıların hamısı həmsərhəddirsə, onda matrisin dərəcəsi üçdür ( r =2 ).

4. Matrisin ölçüsü imkan verdiyi müddətcə davam edin.

Misal 1 Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. İkinci dərəcəli kiçik .

Çərçivəyə qoyuruq. Sərhəddə dörd azyaşlı olacaq:

Beləliklə, bütün həmsərhəd üçüncü dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdir, buna görə də bu matrisin dərəcəsi ikidir ( r =2 ).

Misal 2 Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. Bu matrisin dərəcəsi 1-dir, çünki bu matrisin bütün ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları sıfıra bərabərdir (burada, növbəti iki nümunədə həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanların vəziyyətində olduğu kimi, əziz tələbələr özləri üçün yoxlamağa dəvət olunur, bəlkə də determinantların hesablanması qaydalarından istifadə etməklə) və birinci dərəcəli kiçiklər arasında, yəni matrisin elementləri arasında sıfıra bərabər deyil.

Misal 3 Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. Bu matrisin ikinci dərəcəli kiçikləri, bu matrisin bütün üçüncü dərəcəli minorları isə sıfırdır. Beləliklə, bu matrisin dərəcəsi ikidir.

Misal 4 Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. Bu matrisin dərəcəsi 3-dür, çünki bu matrisin yeganə üçüncü dərəcəli kiçik 3-dür.

Elementar çevrilmələr üsulu ilə matrisin dərəcəsinin tapılması (Qauss üsulu ilə)

Artıq 1-ci misalda görmək olar ki, matrisin rütbəsinin yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi üsulu ilə müəyyən edilməsi problemi çoxlu sayda determinantın hesablanmasını tələb edir. Bununla belə, hesablamaların miqdarını minimuma endirməyin bir yolu var. Bu üsul elementar matris çevrilmələrinin istifadəsinə əsaslanır və Gauss metodu da adlanır.

Matrisin elementar çevrilmələri aşağıdakı əməliyyatları nəzərdə tutur:

1) matrisin istənilən sətirinin və ya sütununun sıfırdan fərqli bir ədədə vurulması;

2) matrisin hər hansı sətir və ya sütununun elementlərinə eyni ədədə vurulan başqa sətir və ya sütunun müvafiq elementlərinin əlavə edilməsi;

3) matrisin iki sətir və ya sütununun dəyişdirilməsi;

4) "null" sətirlərin, yəni bütün elementləri sıfıra bərabər olanların çıxarılması;

5) bir istisna olmaqla, bütün mütənasib xətlərin silinməsi.

teorem. Elementar çevrilmə matrisin dərəcəsini dəyişmir. Başqa sözlə, matrisdən elementar çevrilmələrdən istifadə etsək A matrisə keçin B, sonra .

Bəzi matris verilsin:

Bu matrisdə seçin ixtiyari xətlər və ixtiyari sütunlar
. Sonra determinant matris elementlərindən ibarət olan ci sıra
seçilmiş sətir və sütunların kəsişməsində yerləşən minor adlanır -ci sıra matrisi
.

Tərif 1.13. Matris dərəcəsi
bu matrisin sıfırdan fərqli minorunun ən böyük sırasıdır.

Bir matrisin rütbəsini hesablamaq üçün onun ən kiçik sıradakı bütün kiçiklərini nəzərə almaq lazımdır və onlardan ən azı biri sıfırdan fərqlidirsə, ən yüksək dərəcəli kiçiklərin nəzərdən keçirilməsinə keçin. Matrisin rütbəsini təyin etmək üçün bu yanaşma sərhədləşdirmə metodu (və ya sərhədyanı kiçiklər metodu) adlanır.

Tapşırıq 1.4. Yetkinlik yaşına çatmayanları həmsərhədləşdirmə üsulu ilə matrisin dərəcəsini müəyyənləşdirin
.

Birinci dərəcəli haşiyəni nəzərdən keçirək, məsələn,
. Sonra ikinci sıranın bəzi sərhədlərinin nəzərdən keçirilməsinə müraciət edirik.

Misal üçün,
.

Nəhayət, üçüncü sıranın sərhədlənməsini təhlil edək.

Beləliklə, sıfır olmayan minorun ən yüksək sırası 2-dir, deməli
.

1.4-cü məsələni həll edərkən, ikinci dərəcəli həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanların sırasının sıfırdan fərqli olduğunu görmək olar. Bununla bağlı aşağıdakı anlayış baş verir.

Tərif 1.14. Bir matrisin əsas minoru, sırası matrisin dərəcəsinə bərabər olan hər hansı sıfır olmayan minordur.

Teorem 1.2.(Əsas kiçik teorem). Əsas sətirlər (əsas sütunlar) xətti müstəqildir.

Nəzərə alın ki, matrisin sətirləri (sütunları) yalnız və yalnız onlardan ən azı biri digərlərinin xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bildikdə xətti asılıdır.

Teorem 1.3. Xətti müstəqil matrisin sətirlərinin sayı xətti müstəqil matrisin sütunlarının sayına bərabərdir və matrisin dərəcəsinə bərabərdir.

Teorem 1.4.(Müəyyənedicinin sıfıra bərabər olması üçün zəruri və kafi şərt). Determinant üçün -ci sifariş sıfıra bərabərdirsə, onun sətirlərinin (sütunlarının) xətti asılı olması zəruri və kifayətdir.

Tərifinə əsasən matrisin dərəcəsini hesablamaq çox çətin olur. Bu, yüksək dərəcəli matrislər üçün xüsusilə vacibdir. Bununla əlaqədar olaraq, praktikada matrisin dərəcəsi 10.2 - 10.4 teoremlərinin tətbiqi, həmçinin matrisin ekvivalentliyi və elementar çevrilmə anlayışlarının istifadəsi əsasında hesablanır.

Tərif 1.15.İki matris
Və dərəcələri bərabər olduqda ekvivalent adlanır, yəni.
.

Əgər matrislər
Və ekvivalentdir, sonra işarələyin
 .

Teorem 1.5. Matrisin dərəcəsi elementar çevrilmələrdən dəyişmir.

Biz matrisin elementar çevrilmələrini adlandıracağıq
matrisdə aşağıdakı hərəkətlərdən hər hansı biri:

Sətirlərin sütunlarla və sütunların müvafiq sətirlərlə əvəz edilməsi;

Matris sıralarının dəyişdirilməsi;

Bütün elementləri sıfıra bərabər olan xətti kəsmək;

İstənilən sətri sıfırdan fərqli rəqəmə vurmaq;

Bir cərgənin elementlərinə digər cərgənin müvafiq elementlərinin əlavə edilməsi eyni ədədə vurulur
.

Teorem 1.5-in nəticəsi.Əgər matris
matrisdən əldə edilir sonlu sayda elementar çevrilmələrdən, sonra matrislərdən istifadə etməklə
Və ekvivalentdirlər.

Matrisin rütbəsini hesablayarkən, sonlu sayda elementar çevrilmələrdən istifadə edərək trapesiya formasına endirmək lazımdır.

Tərif 1.16. Biz trapesiyanı matrisin belə təsvir forması adlandıracağıq, o zaman ki, ən böyük sıfırdan fərqli nizamın sərhədyanı minorunda diaqonaldan aşağı olan bütün elementlər yox olur. Misal üçün:

Budur
, matris elementləri
sıfıra çevirin. Sonra belə bir matrisin təsvir forması trapezoidal olacaqdır.

Bir qayda olaraq, matrislər Qauss alqoritmindən istifadə edərək trapezoidal formaya salınır. Qauss alqoritminin ideyası ondan ibarətdir ki, matrisin birinci cərgəsinin elementlərini müvafiq amillərə vurmaqla birinci sütunun bütün elementlərinin elementin altında yerləşməsinə nail olurlar.
, sıfıra çevriləcək. Sonra, ikinci sütunun elementlərini müvafiq çarpanlara vuraraq, ikinci sütunun bütün elementlərinin elementin altında yerləşdiyinə nail oluruq.
, sıfıra çevriləcək. Eyni şəkildə davam edin.

Tapşırıq 1.5. Matrisin dərəcəsini trapesiya formasına endirərək müəyyən edin.

Qauss alqoritmini tətbiq etmək rahatlığı üçün birinci və üçüncü sıraları dəyişə bilərsiniz.








.

Aydındır ki, burada
. Bununla belə, nəticəni daha zərif bir forma gətirmək üçün sütunlar üzərində əlavə çevrilmələr davam etdirilə bilər.










.

>>Matrix dərəcəsi

Matris dərəcəsi

Matrisin dərəcəsinin müəyyən edilməsi

Düzbucaqlı matrisi nəzərdən keçirək. Əgər bu matrisdə biz özbaşına seçirik k xətlər və k sütunlar, sonra seçilmiş sətirlərin və sütunların kəsişməsindəki elementlər k-ci sıranın kvadrat matrisini təşkil edir. Bu matrisin təyinedicisi adlanır k-ci dərəcəli kiçik A matrisi. Aydındır ki, A matrisində m və n ədədlərinin 1-dən ən kiçiyinə qədər istənilən düzülüşlü kiçiklər var. A matrisinin bütün sıfır olmayan kiçikləri arasında sırası ən böyük olan ən azı bir minor var. Verilmiş matrisin kiçiklərinin sıfırdan fərqli sıralarından ən böyüyü deyilir dərəcə matrislər. Əgər A matrisinin dərəcəsi olarsa r, onda bu o deməkdir ki, A matrisi sıfırdan fərqli qaydada minora malikdir r, lakin daha böyük sifariş hər kiçik r, sıfıra bərabərdir. A matrisinin dərəcəsi r(A) ilə işarələnir. Münasibətin olduğu aydındır

Kiçiklərdən istifadə edərək matrisin rütbəsinin hesablanması

Bir matrisin dərəcəsi ya yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi, ya da elementar çevrilmə üsulu ilə tapılır. Birinci üsulla matrisin rütbəsini hesablayarkən aşağı dərəcəli azyaşlılardan daha yüksək dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlara keçmək lazımdır. Əgər A matrisinin k-ci dərəcəsinin sıfırdan fərqli kiçik D-i artıq tapılıbsa, onda yalnız kiçik D ilə həmsərhəd olan (k + 1)-ci dərəcəli kiçiklər hesablanmalıdır, yəni. azyaşlı kimi ehtiva edir. Əgər onların hamısı sıfırdırsa, matrisin dərəcəsi belədir k.

Misal 1Yetkinlik yaşına çatmayanların haşiyələnməsi üsulu ilə matrisin dərəcəsini tapın

Həll.1-ci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlarla başlayırıq, yəni. A matrisinin elementlərindən. Məsələn, birinci sətirdə və birinci sütunda yerləşən kiçik (element) М 1 = 1-i seçək. İkinci sıra və üçüncü sütunun köməyi ilə həmsərhədləşərək, sıfırdan fərqli olan kiçik M 2 = alırıq. İndi M 2 ilə həmsərhəd olan 3-cü dərəcəli azyaşlılara müraciət edirik. Onlardan yalnız ikisi var (ikinci və ya dördüncü sütun əlavə edə bilərsiniz). Onları hesablayırıq: = 0. Beləliklə, üçüncü dərəcəli həmsərhəd olan bütün yetkinlik yaşına çatmayanların sıfıra bərabər olduğu ortaya çıxdı. A matrisinin dərəcəsi ikidir.

Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisin dərəcəsinin hesablanması

İbtidaiAşağıdakı matris çevrilmələri adlanır:

1) hər hansı iki sətrin (və ya sütunun) dəyişdirilməsi,

2) bir sətri (və ya sütunu) sıfırdan fərqli bir ədədə vurmaq,

3) bir sıraya (və ya sütuna) başqa bir sətir (və ya sütun) əlavə edərək hansısa ədədə vurulur.

İki matris deyilir ekvivalent, əgər onlardan biri digərindən sonlu elementar çevrilmələr toplusunun köməyi ilə alınarsa.

Ekvivalent matrislər, ümumiyyətlə, bərabər deyil, lakin onların dərəcələri bərabərdir. A və B matrisləri ekvivalentdirsə, bu aşağıdakı kimi yazılır: A~b.

Kanonikmatris əsas diaqonalın əvvəlində ard-arda bir neçə 1 olan matrisdir (onların sayı sıfır ola bilər) və bütün digər elementlər sıfıra bərabərdir, məsələn,

Satırların və sütunların elementar çevrilməsinin köməyi ilə istənilən matris kanonik birinə endirilə bilər. Kanonik matrisin dərəcəsi onun əsas diaqonalında olanların sayına bərabərdir.

Misal 2Matrisin dərəcəsini tapın

və onu kanonik formaya gətirin.

Həll.İkinci cərgədən birinci cərgəni çıxarın və bu sıraları yenidən təşkil edin:

İndi ikinci və üçüncü cərgələrdən müvafiq olaraq 2 və 5-ə vurulan birincini çıxarın:

;

üçüncü sıradan birincini çıxarın; matrisi alırıq

B = ,

A matrisinə ekvivalentdir, çünki ondan sonlu elementar çevrilmələr toplusundan istifadə etməklə əldə edilir. Aydındır ki, B matrisinin dərəcəsi 2-dir və deməli, r(A)=2. B matrisi asanlıqla kanonik birinə endirilə bilər. Uyğun nömrələrlə vurulan birinci sütunu bütün sonrakılardan çıxararaq, birincidən başqa birinci sətrin bütün elementlərini sıfıra çeviririk və qalan sətirlərin elementləri dəyişmir. Sonra, müvafiq nömrələrə vurulan ikinci sütunu bütün sonrakılardan çıxararaq, ikincidən başqa ikinci cərgənin bütün elementlərini sıfıra çeviririk və kanonik matrisi alırıq:

İbtidai Aşağıdakı matris çevrilmələri adlanır:

1) hər hansı iki sətrin (və ya sütunun) dəyişdirilməsi,

2) bir sətri (və ya sütunu) sıfırdan fərqli bir ədədə vurmaq,

3) bir sıraya (və ya sütuna) başqa bir sətir (və ya sütun) əlavə edərək hansısa ədədə vurulur.

İki matris deyilir ekvivalent, əgər onlardan biri digərindən sonlu elementar çevrilmələr toplusunun köməyi ilə alınarsa.

Ekvivalent matrislər, ümumiyyətlə, bərabər deyil, lakin onların dərəcələri bərabərdir. A və B matrisləri ekvivalentdirsə, bu belə yazılır: A ~ B.

Kanonik matris əsas diaqonalın əvvəlində ard-arda bir neçə 1 olan matrisdir (onların sayı sıfır ola bilər) və bütün digər elementlər sıfıra bərabərdir, məsələn,

Misal 2 Matrisin dərəcəsini tapın

və onu kanonik formaya gətirin.

Həll.İkinci cərgədən birinci cərgəni çıxarın və bu sıraları yenidən təşkil edin:

İndi ikinci və üçüncü cərgələrdən müvafiq olaraq 2 və 5-ə vurulan birincini çıxarın:

;

üçüncü sıradan birincini çıxarın; matrisi alırıq

B = ,

Kroneker - Kapelli teoremi- xətti cəbri tənliklər sisteminin uyğunluq meyarı:

Xətti sistemin uyğun olması üçün bu sistemin genişləndirilmiş matrisinin dərəcəsinin onun əsas matrisinin dərəcəsinə bərabər olması zəruri və kifayətdir.

Sübut (sistem uyğunluğu şərtləri)

Ehtiyac

Qoy olsun sistemi birgə. Sonra belə rəqəmlər var. Buna görə də, sütun matrisin sütunlarının xətti birləşməsidir. Bir sətir (sütun) onun sətir (sütun) sistemindən və ya digər cərgələrin (sütunların) xətti kombinasiyası olan sətir (sütun) silinərsə, matrisin dərəcəsinin dəyişməyəcəyindən belə nəticə çıxır ki, .

Adekvatlıq

Qoy olsun. Matrisdə bəzi əsas minorları götürək. Bundan sonra o, həm də matrisin əsas minoru olacaqdır. Sonra əsas teoreminə uyğun olaraq azyaşlı, matrisin son sütunu əsas sütunların, yəni matrisin sütunlarının xətti kombinasiyası olacaq. Buna görə də sistemin sərbəst üzvlərinin sütunu matrisin sütunlarının xətti birləşməsidir.

Nəticələr

Əsas dəyişənlərin sayı sistemləri sistemin dərəcəsinə bərabərdir.

birgə sistemi sistemin rütbəsi onun bütün dəyişənlərinin sayına bərabər olarsa, müəyyən ediləcək (onun həlli unikaldır).

Homojen tənliklər sistemi

Cümlə15 . 2 Homojen tənliklər sistemi

həmişə əməkdaşlıq edir.

Sübut. Bu sistem üçün , , , ədədlər çoxluğu həll yoludur.

Bu bölmədə sistemin matris notasiyasından istifadə edəcəyik: .

Cümlə15 . 3 Homojen xətti tənliklər sisteminin həllərinin cəmi bu sistemin həllidir. Ədəmə vurulan həll də həlldir.

Sübut. İcazə verin və sistemin həlli olaraq xidmət edin. Sonra və . Qoy olsun. Sonra

Çünki, o zaman bir həlldir.

İxtiyari bir ədəd olsun, . Sonra

Çünki, o zaman bir həlldir.

Nəticə15 . 1 Əgər homojen xətti tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlli varsa, onun sonsuz sayda müxtəlif həlləri var.

Həqiqətən, sıfırdan fərqli bir həlli müxtəlif ədədlərlə çarparaq, fərqli həllər əldə edəcəyik.

Tərif15 . 5 Həll yolları olduğunu söyləyəcəyik sistemləri formalaşdırır əsas qərar sistemiəgər sütunlar xətti müstəqil sistem təşkil edir və sistemin istənilən həlli bu sütunların xətti birləşməsidir.