MS EXCEL-də vahid davamlı paylama. Davamlı təsadüfi kəmənin paylanmasının vahid və eksponensial qanunları

Bu məsələ uzun müddət ətraflı şəkildə öyrənilmiş və ən çox istifadə edilən üsul 1958-ci ildə Corc Box, Mervyn Muller və George Marsaglia tərəfindən təklif edilən qütb koordinat metodudur. Bu üsul aşağıdakı kimi riyazi gözlənti 0 və dispersiya 1 olan müstəqil normal paylanmış təsadüfi dəyişənlər cütünü əldə etməyə imkan verir:

Burada Z 0 və Z 1 arzu olunan qiymətlərdir, s = u 2 + v 2, u və v isə (-1, 1) intervalında bərabər paylanmış təsadüfi dəyişənlərdir, 0 şərti təmin ediləcək şəkildə seçilmişdir.< s < 1.
Bir çox insanlar bu düsturları düşünmədən istifadə edir və bir çoxları hazır tətbiqlərdən istifadə etdikləri üçün onların mövcudluğundan belə şübhələnmirlər. Ancaq sualları olan insanlar var: “Bu formula haradan gəldi? Bəs niyə birdən bir neçə miqdar alırsan?” Sonra bu suallara aydın cavab verməyə çalışacağam.

Başlamaq üçün sizə ehtimal sıxlığının, təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasının və tərs funksiyanın nə olduğunu xatırlatdım. Tutaq ki, müəyyən bir təsadüfi dəyişən var, onun paylanması f(x) sıxlıq funksiyası ilə müəyyən edilir, onun aşağıdakı forması var:

Bu o deməkdir ki, verilmiş təsadüfi dəyişənin dəyərinin (A, B) intervalında olma ehtimalı kölgəli sahənin sahəsinə bərabərdir. Nəticədə, bütün kölgə sahəsinin sahəsi birinə bərabər olmalıdır, çünki hər halda təsadüfi dəyişənin dəyəri f funksiyasının təyini sahəsinə düşəcəkdir.
Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası sıxlıq funksiyasının inteqralıdır. Və bu halda onun təxmini görünüşü belə olacaq:

Buradakı məna odur ki, təsadüfi dəyişənin dəyəri B ehtimalı ilə A-dan kiçik olacaq. Nəticədə funksiya heç vaxt azalmır və onun dəyərləri intervalda olur.

Tərs funksiya, orijinal funksiyanın dəyəri ona ötürülürsə, orijinal funksiyaya arqument qaytaran funksiyadır. Məsələn, x 2 funksiyası üçün tərs kökün çıxarılması funksiyasıdır, sin(x) üçün arcsin(x) və s.

Əksər psevdor-təsadüfi ədəd generatorları çıxış kimi yalnız vahid paylama istehsal etdiyinə görə, çox vaxt onu başqa birinə çevirməyə ehtiyac var. Bu halda, normal Gauss üçün:

Vahid paylanmanı hər hansı digərinə çevirmək üçün bütün üsulların əsası tərs çevrilmə üsuludur. Aşağıdakı kimi işləyir. Tələb olunan paylanma funksiyasına tərs olan funksiya tapılır və arqument kimi ona (0, 1) intervalında bərabər paylanmış təsadüfi kəmiyyət verilir. Çıxışda tələb olunan paylama ilə bir dəyər əldə edirik. Aydınlıq üçün aşağıdakı şəkli təqdim edirəm.

Beləliklə, vahid bir seqment, sanki, yeni paylanmaya uyğun olaraq ləkələnir, tərs funksiya vasitəsilə başqa oxa proqnozlaşdırılır. Ancaq problem ondadır ki, Qauss paylanmasının sıxlığının inteqralını hesablamaq asan deyil, ona görə də yuxarıdakı alimlər aldatmağa məcbur oldular.

k müstəqil normal təsadüfi dəyişənlərin kvadratlarının cəminin paylanması olan X-kvadrat paylanması (Pirson paylanması) mövcuddur. Və k = 2 olduqda, bu paylanma eksponensialdır.

Bu o deməkdir ki, düzbucaqlı koordinat sistemindəki bir nöqtənin təsadüfi X və Y koordinatları normal paylanmışdırsa, bu koordinatları qütb sisteminə çevirdikdən sonra (r, θ), radiusun kvadratı (mənşədən nöqtəyə qədər olan məsafə) radiusun kvadratı koordinatların kvadratlarının cəmi olduğundan (Pifaqor qanununa görə) eksponensial qanuna görə paylanacaq. Təyyarədə bu cür nöqtələrin paylanma sıxlığı belə olacaq:

Bütün istiqamətlərdə bərabər olduğundan, θ bucağı 0 ilə 2π aralığında vahid paylanmaya malik olacaqdır. Bunun əksi də doğrudur: iki müstəqil təsadüfi dəyişəndən (birbucaqlı paylanmış bucaq və eksponent olaraq paylanmış radius) istifadə edərək, qütb koordinat sistemində bir nöqtəni təyin etsəniz, bu nöqtənin düzbucaqlı koordinatları müstəqil normal təsadüfi dəyişənlər olacaqdır. Eyni tərs çevrilmə metodundan istifadə edərək vahid birdən eksponensial paylanma əldə etmək daha asandır. Polar Box-Muller metodunun mahiyyəti budur.
İndi düsturları əldə edək.

(1)

r və θ-ı əldə etmək üçün (0, 1) intervalında bərabər paylanmış iki təsadüfi kəmiyyət yaratmaq lazımdır (onları u və v adlandıraq), onlardan birinin paylanması (deyək v) eksponensialına çevrilməlidir. radiusunu əldə edin. Eksponensial paylama funksiyası belə görünür:

Onun tərs funksiyası:

Vahid paylanma simmetrik olduğundan, çevrilmə funksiya ilə eyni şəkildə işləyəcək

Xi-kvadrat paylanma düsturundan belə çıxır ki, λ = 0,5. Bu funksiyaya λ, v əvəz edin və radiusun kvadratını, sonra isə radiusun özünü alın:

Vahid seqmenti 2π-ə uzatmaqla bucağı əldə edirik:

İndi r və θ-i düsturlarda (1) əvəz edirik və əldə edirik:

(2)

Bu düsturlar artıq istifadəyə hazırdır. X və Y müstəqil olacaq və dispersiya 1 və riyazi gözlənti 0 ilə normal paylanacaq. Digər xüsusiyyətlərə malik paylanma əldə etmək üçün funksiyanın nəticəsini standart kənara vurmaq və riyazi gözləntiləri əlavə etmək kifayətdir.
Amma dairədəki təsadüfi nöqtənin düzbucaqlı koordinatları vasitəsilə bucağı birbaşa deyil, dolayısı ilə təyin etməklə triqonometrik funksiyalardan xilas olmaq olar. Sonra bu koordinatlar vasitəsilə radius vektorunun uzunluğunu hesablamaq, sonra isə müvafiq olaraq x və y-ni ona bölməklə kosinusu və sinusunu tapmaq mümkün olacaq. Necə və niyə işləyir?
Gəlin vahid radiuslu dairədə bərabər paylanmış nöqtələrdən təsadüfi bir nöqtə seçək və bu nöqtənin radius vektorunun uzunluğunun kvadratını s hərfi ilə işarə edək:

Seçim (-1, 1) intervalında bərabər paylanmış təsadüfi düzbucaqlı x və y koordinatlarını göstərməklə və dairəyə aid olmayan nöqtələri, həmçinin radius vektorunun bucağının düşdüyü mərkəzi nöqtəni silməklə aparılır. müəyyən edilmir. Yəni 0 şərti yerinə yetirilməlidir< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Məqalənin əvvəlində olduğu kimi düsturları alırıq. Bu metodun dezavantajı odur ki, o, dairəyə daxil olmayan nöqtələri atır. Yəni yaradılan təsadüfi dəyişənlərin yalnız 78,5%-ni istifadə etməklə. Köhnə kompüterlərdə triqonometriya funksiyalarının olmaması hələ də böyük üstünlük idi. İndi bir prosessor əmri həm sinusu, həm də kosinusu bir anda hesablayanda, məncə, bu üsullar hələ də rəqabət apara bilər.

Şəxsən mənim hələ iki sualım var:

• Niyə s dəyəri bərabər paylanır?
• Nə üçün iki normal təsadüfi dəyişənin kvadratlarının cəmi eksponensial şəkildə paylanır?

Normal təsadüfi dəyişən üçün oxşar çevrilmə aparılarsa, onun kvadratının sıxlıq funksiyası hiperbolaya bənzəyir. Normal təsadüfi dəyişənlərin iki kvadratının əlavə edilməsi ikiqat inteqrasiya ilə əlaqəli daha mürəkkəb bir prosesdir. Nəticənin eksponensial paylanma olması faktını şəxsən mən yalnız praktiki metoddan istifadə edərək yoxlamalı və ya aksioma kimi qəbul etməliyəm. Maraqlananlara isə bu kitablardan bilik əldə edərək mövzuya daha yaxından nəzər salmağı təklif edirəm:

• Ventzel E.S. Ehtimal nəzəriyyəsi
• Knut D.E. Proqramlaşdırma sənəti, 2-ci cild

Yekun olaraq JavaScript-də normal paylanmış təsadüfi ədəd generatorunun tətbiqi nümunəsidir:

Funksiya Gauss() ( var hazır = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == müəyyən edilməmiş ? 0.0: mean; dev = dev == müəyyən edilməmiş ? 1.0: dev; əgər ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Riyaziyyat. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(lar) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // obyekt yaradın a = g.next(); // bir cüt dəyər yaradın və birincisini əldə edin b = g.next(); // ikinci alın c = g.next(); // yenidən bir cüt dəyər yaradın və birincisini əldə edin
Orta (riyazi gözlənti) və dev (standart sapma) parametrləri isteğe bağlıdır. Loqarifmin təbii olmasına diqqətinizi çəkirəm.

Bu halda (5.7) uyğun olaraq paylanma funksiyası aşağıdakı formanı alacaq:

burada: m – riyazi gözlənti, s – standart kənarlaşma.

Normal paylanma alman riyaziyyatçısı Qaussun şərəfinə Qauss da adlanır. Təsadüfi kəmənin parametrləri ilə normal paylanmaya malik olması faktı: m, aşağıdakı kimi işarələnir: N (m,s), burada: m =a =M ;

Çox vaxt düsturlarda riyazi gözlənti ilə işarələnir A . Əgər təsadüfi kəmiyyət N(0,1) qanununa əsasən paylanmışdırsa, o zaman o, normallaşdırılmış və ya standartlaşdırılmış normal dəyişən adlanır. Bunun üçün paylama funksiyası formaya malikdir:

Normal əyri və ya Qauss əyrisi adlanan normal paylanmanın sıxlıq qrafiki Şəkil 5.4-də göstərilmişdir.

düyü. 5.4. Normal paylanma sıxlığı

Təsadüfi dəyişənin ədədi xarakteristikalarının onun sıxlığı ilə müəyyən edilməsi nümunədən istifadə etməklə nəzərdən keçirilir.

Misal 6.

Davamlı təsadüfi dəyişən paylanma sıxlığı ilə müəyyən edilir: .

Paylanma növünü təyin edin, M(X) riyazi gözləntisini və D(X) dispersiyasını tapın.

Verilmiş paylanma sıxlığını (5.16) ilə müqayisə edərək belə nəticəyə gəlmək olar ki, m = 4 olan normal paylanma qanunu verilmişdir. Buna görə də riyazi gözlənti M(X)=4, dispersiya D(X)=9.

Standart kənarlaşma s=3.

Formaya malik olan Laplas funksiyası:

normal paylanma funksiyası ilə bağlıdır (5.17), əlaqə:

F 0 (x) = Ф(x) + 0,5.

Laplas funksiyası qəribədir.

Ф(-x)=-Ф(x).

Laplas funksiyasının F(х) qiymətləri x-in dəyərinə uyğun olaraq cədvələ salınır və cədvəldən götürülür (bax. Əlavə 1).

Davamlı təsadüfi dəyişənin normal paylanması ehtimal nəzəriyyəsində və reallığın təsvirində mühüm rol oynayır, təsadüfi təbiət hadisələrində çox geniş yayılmışdır. Təcrübədə çox vaxt çox təsadüfi şərtlərin cəmlənməsi nəticəsində dəqiq əmələ gələn təsadüfi dəyişənlərlə qarşılaşırıq. Xüsusilə, ölçmə xətalarının təhlili göstərir ki, onlar müxtəlif növ xətaların cəmidir. Təcrübə göstərir ki, ölçmə xətalarının ehtimal paylanması normal qanuna yaxındır.

Laplas funksiyasından istifadə edərək, verilmiş intervala düşmə ehtimalının və normal təsadüfi kəmiyyətin verilmiş kənarlaşmasının hesablanması məsələsini həll etmək olar.

Vahid davamlı paylamanı nəzərdən keçirək. Riyazi gözlənti və dispersiyanı hesablayaq. MS EXCEL funksiyasından istifadə edərək təsadüfi qiymətlər yaradaqRAND() və Analiz Paketi əlavələri ilə biz orta dəyəri və standart kənarlaşmanı qiymətləndirəcəyik.

Bərabər paylanmışdır seqmentdə təsadüfi dəyişən var:

diapazondan 50 ədəddən ibarət massiv yaradaq)