Qauss metodunun izahından istifadə edərək matrisin həlli. Qauss metodu (naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması)

1. Xətti cəbri tənliklər sistemi

1.1 Xətti cəbri tənliklər sistemi anlayışı

Tənliklər sistemi bir neçə dəyişənə münasibətdə bir neçə tənliyin eyni vaxtda yerinə yetirilməsindən ibarət şərtdir. m tənlik və n naməlum olan xətti cəbri tənliklər sistemi (bundan sonra SLAE) aşağıdakı formada sistem adlanır:

burada a ij ədədləri sistem əmsalları, b i ədədləri sərbəst terminlər adlanır, a ij Və b i(i=1,…, m; b=1,…, n) bəzi məlum ədədləri və x-i təmsil edir 1 ,…, x n- naməlum. Əmsalların təyin edilməsində a ij birinci indeks i tənliyin sayını, ikinci j isə bu əmsalın dayandığı naməlumun nömrəsini bildirir. x n ədədləri tapılmalıdır. Belə bir sistemi kompakt matris şəklində yazmaq rahatdır: AX=B. Burada A əsas matris adlanan sistem əmsallarının matrisidir;

A*X matrislərinin hasili müəyyən edilir, çünki A matrisində X matrisində sətirlərin sayı qədər sütun var (n ədəd).

Sistemin genişləndirilmiş matrisi, sərbəst şərtlər sütunu ilə tamamlanan sistemin A matrisidir.

1.2 Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli

Tənliklər sisteminin həlli nizamlı ədədlər toplusudur (dəyişənlərin dəyərləri), onları dəyişənlərin əvəzinə əvəz etdikdə sistemin hər bir tənliyi həqiqi bərabərliyə çevrilir.

Sistemin həlli x1=c1, x2=c2,…, xn=cn naməlumların n qiymətidir, əvəz edildikdə sistemin bütün tənlikləri həqiqi bərabərliyə çevrilir. Sistemin istənilən həlli sütun matrisi kimi yazıla bilər

Tənliklər sistemi ən azı bir həlli varsa ardıcıl, heç bir həlli yoxdursa uyğunsuz adlanır.

Ardıcıl sistemin tək həlli varsa müəyyən, birdən çox həlli varsa qeyri-müəyyən sistem deyilir. Sonuncu halda onun hər bir həlli sistemin xüsusi həlli adlanır. Bütün xüsusi həllər toplusuna ümumi həll deyilir.

Sistemin həlli onun uyğun və ya uyğunsuz olduğunu öyrənmək deməkdir. Sistem ardıcıldırsa, onun ümumi həllini tapın.

İki sistem eyni ümumi həllə malikdirsə, ekvivalent (ekvivalent) adlanır. Başqa sözlə, sistemlərdən birinin hər bir həlli digərinin həlli olarsa və əksinə sistemlər ekvivalentdir.

Tətbiqi sistemi orijinalına ekvivalent olan yeni sistemə çevirən transformasiya ekvivalent və ya ekvivalent çevrilmə adlanır. Ekvivalent çevrilmələrə misal olaraq aşağıdakı çevrilmələri göstərmək olar: sistemin iki tənliyinin dəyişdirilməsi, bütün tənliklərin əmsalları ilə birlikdə iki naməlumun dəyişdirilməsi, sistemin istənilən tənliyinin hər iki tərəfinin sıfırdan fərqli ədədə vurulması.

Bütün sərbəst şərtlər sıfıra bərabərdirsə, xətti tənliklər sistemi homojen adlanır:

Homojen sistem həmişə ardıcıldır, çünki x1=x2=x3=…=xn=0 sistemin həllidir. Bu həll sıfır və ya əhəmiyyətsiz adlanır.

2. Qauss aradan qaldırılması üsulu

2.1 Qauss eliminasiya metodunun mahiyyəti

Xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün klassik üsul naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur - Qauss üsulu(buna Qauss eliminasiya üsulu da deyilir). Bu, elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, tənliklər sistemi bütün digər dəyişənlərin sonuncudan başlayaraq ardıcıl olaraq tapıldığı pilləli (və ya üçbucaqlı) formanın ekvivalent sisteminə endirildikdə dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur. sayı) dəyişənləri.

Gauss metodundan istifadə edərək həll prosesi iki mərhələdən ibarətdir: irəli və geri hərəkətlər.

1. Birbaşa vuruş.

Birinci mərhələdə sözdə birbaşa hərəkət, cərgələr üzərində elementar çevrilmələr vasitəsilə sistem pilləli və ya üçbucaqlı bir forma gətirildikdə və ya sistemin uyğunsuzluğu müəyyən edildikdə həyata keçirilir. Məhz, matrisin birinci sütununun elementləri arasında sıfırdan fərqli birini seçin, cərgələri yenidən yerləşdirməklə onu ən yuxarı mövqeyə aparın və nəticədə yaranan birinci sətiri yenidən düzüldükdən sonra qalan sətirlərdən çıxarın, onu dəyərə vurun. bu sətirlərin hər birinin birinci elementinin birinci sətrin birinci elementinə nisbətinə bərabərdir, beləliklə onun altındakı sütun sıfırlanır.

Bu çevrilmələr tamamlandıqdan sonra, birinci sətir və birinci sütun əqli olaraq kəsilir və sıfır ölçülü matris qalana qədər davam etdirilir. Hər hansı iterasiyada birinci sütunun elementləri arasında sıfırdan fərqli element yoxdursa, növbəti sütuna keçin və oxşar əməliyyatı yerinə yetirin.

Birinci mərhələdə (birbaşa vuruş) sistem pilləli (xüsusən də üçbucaqlı) formaya endirilir.

Aşağıdakı sistemin mərhələli forması var:

aii əmsalları sistemin əsas (aparıcı) elementləri adlanır.

Birincidən başqa bütün tənliklərdə naməlum x1-i aradan qaldıraraq sistemi çevirək (sistemin elementar çevrilmələrindən istifadə etməklə). Bunu etmək üçün birinci tənliyin hər iki tərəfini çarpın

Bu prosesi davam etdirərək, ekvivalent bir sistem əldə edirik:

Beləliklə, ilk addımda a 11-in birinci aparıcı elementinin altında yatan bütün əmsallar məhv edilir

Sistemin pilləli bir formaya salınması prosesində sıfır tənliklər görünürsə, yəni. 0=0 formasındakı bərabərliklər atılır. Formanın tənliyi görünsə

Gauss metodunun bilavasitə irəliləyişinin sona çatdığı yer budur.

2. Əks vuruş.

İkinci mərhələdə sözdə tərs hərəkət həyata keçirilir, bunun mahiyyəti nəticədə bütün əsas dəyişənləri qeyri-əsaslar baxımından ifadə etmək və əsas həllər sistemi qurmaq və ya bütün dəyişənlər əsasdırsa. , onda xətti tənliklər sisteminin yeganə həllini ədədi ilə ifadə edin.

Bu prosedur, müvafiq əsas dəyişənin ifadə olunduğu (onda yalnız bir var) və əvvəlki tənliklərlə əvəz olunduğu və "addımları" yuxarı qalxan sonuncu tənlikdən başlayır.

Hər bir sətir tam olaraq bir əsas dəyişənə uyğundur, buna görə də sonuncu (ən yuxarı) istisna olmaqla, hər addımda vəziyyət sonuncu sətrin vəziyyətini tam olaraq təkrarlayır.

Qeyd: praktikada sistemlə deyil, onun sətirlərində bütün elementar çevrilmələri yerinə yetirərək genişləndirilmiş matrisi ilə işləmək daha rahatdır. a11 əmsalının 1-ə bərabər olması əlverişlidir (tənlikləri yenidən təşkil edin və ya tənliyin hər iki tərəfini a11-ə bölün).

2.2 Qauss metodundan istifadə etməklə SLAE-lərin həlli nümunələri

Bu bölmədə üç fərqli nümunədən istifadə edərək, Qauss metodunun SLAE-ləri necə həll edə biləcəyini göstərəcəyik.

Misal 1. 3-cü dərəcəli SLAE həll edin.

Gəlin əmsalları sıfırlayaq

Gauss üsulu xətti cəbr tənlikləri (SLAE) sistemlərinin həlli üçün mükəmməldir. Digər üsullarla müqayisədə bir sıra üstünlüklərə malikdir:

• birincisi, ardıcıllıq üçün əvvəlcə tənliklər sistemini yoxlamağa ehtiyac yoxdur;
• ikincisi, Gauss metodu təkcə tənliklərin sayının naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşdüyü və sistemin əsas matrisinin tək olmayan olduğu SLAE-ləri deyil, həm də tənliklərin sayının üst-üstə düşməyən tənlik sistemlərini həll edə bilər. naməlum dəyişənlərin sayı və ya əsas matrisin determinantı sıfıra bərabərdir;
• üçüncüsü, Qauss metodu nisbətən az sayda hesablama əməliyyatı ilə nəticələrə gətirib çıxarır.

Məqalənin qısa icmalı.

Əvvəlcə lazımi tərifləri veririk və qeydləri təqdim edirik.

Sonra, ən sadə hal üçün, yəni xətti cəbri tənliklər sistemləri üçün, naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşən tənliklərin sayı və sistemin əsas matrisinin determinantı olan Gauss metodunun alqoritmini təsvir edəcəyik. sıfıra bərabər deyil. Bu cür tənlik sistemlərini həll edərkən, naməlum dəyişənlərin ardıcıl olaraq aradan qaldırılması olan Gauss metodunun mahiyyəti ən aydın görünür. Buna görə də Qauss metodu naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması metodu da adlanır. Bir neçə nümunənin ətraflı həllərini göstərəcəyik.

Yekun olaraq, əsas matrisi düzbucaqlı və ya tək olan xətti cəbri tənliklər sistemlərinin Gauss üsulu ilə həllini nəzərdən keçirəcəyik. Bu cür sistemlərin həlli bəzi xüsusiyyətlərə malikdir, biz onları nümunələrdən istifadə edərək ətraflı araşdıracağıq.

Səhifə naviqasiyası.

Əsas təriflər və qeydlər.

n naməlumlu p xətti tənliklər sistemini nəzərdən keçirək (p n-ə bərabər ola bilər):

Harada naməlum dəyişənlər, ədədlərdir (həqiqi və ya mürəkkəb) və sərbəst şərtlərdir.

Əgər , onda xətti cəbri tənliklər sistemi adlanır homojen, əks halda - heterojen.

Sistemin bütün tənliklərinin eyniliyə çevrildiyi naməlum dəyişənlərin qiymətlər toplusu adlanır SLAU-nun qərarı.

Xətti cəbri tənliklər sisteminin ən azı bir həlli varsa, ona deyilir birgə, əks halda - birgə olmayan.

SLAE-nin unikal həlli varsa, o zaman çağırılır müəyyən. Birdən çox həll varsa, sistem çağırılır qeyri-müəyyən.

Sistemdə yazıldığını deyirlər koordinat forması, forması varsa
.

Bu sistemdə matris forması qeydlər formasına malikdir , burada - SLAE-nin əsas matrisi, - naməlum dəyişənlər sütununun matrisi, - sərbəst şərtlər matrisi.

Sərbəst şərtlərdən ibarət matris sütununu A matrisinə (n+1)-ci sütun kimi əlavə etsək, adlananı alarıq. uzadılmış matris xətti tənliklər sistemləri. Tipik olaraq, uzadılmış matris T hərfi ilə işarələnir və sərbəst şərtlər sütunu qalan sütunlardan şaquli bir xətt ilə ayrılır, yəni

A kvadrat matrisi adlanır degenerasiya etmək, əgər onun təyinedicisi sıfırdırsa. Əgər , onda A matrisi adlanır degenerativ olmayan.

Aşağıdakı məqamı qeyd etmək lazımdır.

Xətti cəbri tənliklər sistemi ilə aşağıdakı hərəkətləri yerinə yetirsəniz

• iki tənliyi dəyişdirin,
• hər hansı bir tənliyin hər iki tərəfini ixtiyari və sıfırdan fərqli real (və ya kompleks) k ədədinə çarpın,
• hər hansı bir tənliyin hər iki tərəfinə başqa bir tənliyin müvafiq hissələrini əlavə edin, ixtiyari k ədədi ilə vurulur,

onda siz eyni həlləri olan ekvivalent sistem əldə edirsiniz (və ya ilkin kimi heç bir həlli yoxdur).

Xətti cəbri tənliklər sisteminin genişləndirilmiş matrisi üçün bu hərəkətlər sətirlərlə elementar çevrilmələrin aparılmasını nəzərdə tutur:

• iki xəttin dəyişdirilməsi,
• T matrisinin istənilən cərgəsinin bütün elementlərini sıfırdan fərqli k ədədinə vurmaq,
• matrisin hər hansı sətirinin elementlərinə başqa sətirin müvafiq elementlərinin əlavə edilməsi, ixtiyari k ədədinə vurulması.

İndi Gauss metodunun təsvirinə keçə bilərik.

Tənliklərin sayı naməlumların sayına bərabər, sistemin əsas matrisi isə qeyri-tək olan xətti cəbri tənliklərin Qauss metodundan istifadə etməklə həlli.

Əgər bizə tənliklər sisteminin həllini tapmaq tapşırığı verilsəydi, məktəbdə nə edərdik? .

Bəziləri bunu edərdi.

Qeyd edək ki, birincinin sol tərəfini ikinci tənliyin sol tərəfinə, sağ tərəfini isə sağ tərəfə əlavə etməklə, x 2 və x 3 naməlum dəyişənlərindən xilas ola və dərhal x 1-i tapa bilərsiniz:

Tapılan x 1 =1 dəyərini sistemin birinci və üçüncü tənliklərində əvəz edirik:

Sistemin üçüncü tənliyinin hər iki tərəfini -1-ə vursaq və birinci tənliyin uyğun hissələrinə əlavə etsək, x 3 naməlum dəyişəndən xilas olarıq və x 2-ni tapa bilərik:

Nəticədə x 2 = 2 dəyərini üçüncü tənliyə əvəz edirik və qalan naməlum dəyişən x 3-ü tapırıq:

Başqaları başqa cür edərdilər.

Naməlum dəyişən x 1 ilə bağlı sistemin birinci tənliyini həll edək və bu dəyişəni onlardan xaric etmək üçün əldə edilən ifadəni sistemin ikinci və üçüncü tənliklərində əvəz edək:

İndi sistemin ikinci tənliyini x 2 üçün həll edək və əldə edilən nəticəni üçüncü tənlikdə əvəz edək ki, naməlum x 2 dəyişəni ondan silinsin:

Sistemin üçüncü tənliyindən aydın olur ki, x 3 =3. İkinci tənlikdən tapırıq , və birinci tənlikdən alırıq.

Tanış həllər, elə deyilmi?

Burada ən maraqlısı odur ki, ikinci həll üsulu mahiyyət etibarilə naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur, yəni Qauss üsuludur. Naməlum dəyişənləri ifadə etdikdə (ilk x 1, sonrakı mərhələdə x 2) və onları sistemin qalan tənliklərində əvəz etdikdə, biz onları xaric etdik. Son tənlikdə yalnız bir naməlum dəyişən qalana qədər aradan qaldırdıq. Naməlumların ardıcıl olaraq aradan qaldırılması prosesi adlanır birbaşa Qauss üsulu. İrəli hərəkəti tamamladıqdan sonra sonuncu tənlikdə tapılan naməlum dəyişəni hesablamaq imkanımız var. Onun köməyi ilə biz sondan əvvəlki tənlikdən növbəti naməlum dəyişəni tapırıq və s. Son tənlikdən birinciyə keçərkən naməlum dəyişənlərin ardıcıl tapılması prosesi adlanır Qauss metodunun tərsi.

Nəzərə almaq lazımdır ki, birinci tənlikdə x 1-i x 2 və x 3 baxımından ifadə etdikdə və sonra yaranan ifadəni ikinci və üçüncü tənliklərdə əvəz etdikdə aşağıdakı hərəkətlər eyni nəticəyə gətirib çıxarır:

Həqiqətən, belə bir prosedur həm də sistemin ikinci və üçüncü tənliklərindən naməlum x 1 dəyişənini aradan qaldırmağa imkan verir:

Qauss metodundan istifadə edərək naməlum dəyişənlərin aradan qaldırılması ilə nüanslar sistemin tənliklərində bəzi dəyişənlər olmadıqda yaranır.

Məsələn, SLAU-da birinci tənlikdə x 1 naməlum dəyişən yoxdur (başqa sözlə onun qarşısındakı əmsal sıfırdır). Buna görə də bu naməlum dəyişəni qalan tənliklərdən çıxarmaq üçün x 1 üçün sistemin birinci tənliyini həll edə bilmərik. Bu vəziyyətdən çıxış yolu sistemin tənliklərini dəyişdirməkdir. Əsas matrislərin determinantları sıfırdan fərqli olan xətti tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirdiyimiz üçün həmişə bizə lazım olan dəyişənin mövcud olduğu bir tənlik var və biz bu tənliyi lazım olan mövqeyə yenidən təşkil edə bilərik. Bizim nümunəmiz üçün sistemin birinci və ikinci tənliklərini dəyişdirmək kifayətdir , onda siz x 1 üçün birinci tənliyi həll edə və sistemin qalan tənliklərindən xaric edə bilərsiniz (baxmayaraq ki, x 1 artıq ikinci tənlikdə yoxdur).

Ümid edirik ki, mahiyyəti başa düşəcəksiniz.

təsvir edək Qauss metodu alqoritmi.

Tutaq ki, formanın n naməlum dəyişəni ilə n xətti cəbri tənliklər sistemini həll etməliyik. , və onun əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olsun.

Güman edirik ki, sistemin tənliklərini yenidən təşkil etməklə həmişə buna nail ola bilərik. İkincidən başlayaraq sistemin bütün tənliklərindən naməlum x 1 dəyişənini silək. Bunun üçün sistemin ikinci tənliyinə birincini vururuq, üçüncü tənliyə birincini vururuq və s., n-ci tənliyə birincini vururuq. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır

harada və .

Sistemin birinci tənliyində x 1-i digər naməlum dəyişənlər baxımından ifadə etsəydik və yaranan ifadəni bütün digər tənliklərdə əvəz etsəydik, eyni nəticəyə çatmış olardıq. Beləliklə, x 1 dəyişəni ikincidən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.

Sonra, oxşar şəkildə davam edirik, ancaq nəticədə göstərilən sistemin yalnız şəkildə qeyd olunan bir hissəsi ilə

Bunun üçün sistemin üçüncü tənliyinə ikincini vururuq, dördüncü tənliyə ikincini əlavə edirik, vururuq və s., n-ci tənliyə ikincini vururuq. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır

harada və . Beləliklə, x 2 dəyişəni üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.

Sonra, naməlum x 3-ü aradan qaldırmağa davam edirik, eyni zamanda sistemin şəkildə qeyd olunan hissəsi ilə eyni şəkildə hərəkət edirik.

Beləliklə, sistem formanı alana qədər Qauss metodunun birbaşa irəliləməsini davam etdiririk

Bu andan Qauss metodunun tərsinə başlayırıq: biz axırıncı tənlikdən x n-i belə hesablayırıq, x n-in alınan qiymətindən istifadə edərək sondan əvvəlki tənlikdən x n-1 tapırıq və s., birinci tənlikdən x 1-i tapırıq. .

Bir nümunədən istifadə edərək alqoritmə baxaq.

Misal.

Gauss üsulu.

Həll.

a 11 əmsalı sıfırdan fərqlidir, ona görə də gəlin Qauss metodunun birbaşa irəliləyişinə, yəni birincidən başqa sistemin bütün tənliklərindən x 1 naməlum dəyişəninin xaric edilməsinə keçək. Bunun üçün ikinci, üçüncü və dördüncü tənliklərin sol və sağ tərəflərinə müvafiq olaraq birinci tənliyin sol və sağ tərəflərini əlavə edin. Və:

Naməlum dəyişən x 1 aradan qaldırıldı, gəlin x 2-nin ləğvinə keçək. Sistemin üçüncü və dördüncü tənliklərinin sol və sağ tərəflərinə müvafiq olaraq vurulan ikinci tənliyin sol və sağ tərəflərini əlavə edirik. Və :

Qauss metodunun irəli gedişini başa çatdırmaq üçün sistemin sonuncu tənliyindən naməlum x 3 dəyişənini silməliyik. Dördüncü tənliyin sol və sağ tərəflərinə müvafiq olaraq üçüncü tənliyin sol və sağ tərəflərini əlavə edək, :

Qauss metodunun tərsinə başlaya bilərsiniz.

Əldə etdiyimiz son tənlikdən ,
üçüncü tənlikdən alırıq,
ikincidən,
birincidən.

Yoxlamaq üçün naməlum dəyişənlərin əldə edilmiş dəyərlərini orijinal tənliklər sisteminə əvəz edə bilərsiniz. Bütün tənliklər eyniliyə çevrilir, bu da Gauss metodundan istifadə edərək həllin düzgün tapıldığını göstərir.

Cavab:

İndi matris qeydində Qauss metodundan istifadə edərək eyni nümunənin həllini verək.

Misal.

Tənliklər sisteminin həllini tapın Gauss üsulu.

Həll.

Sistemin genişləndirilmiş matrisi formaya malikdir . Hər bir sütunun yuxarı hissəsində matrisin elementlərinə uyğun gələn naməlum dəyişənlər var.

Burada Qauss metodunun bilavasitə yanaşması elementar çevrilmələrdən istifadə edərək sistemin uzadılmış matrisinin trapezoidal formaya endirilməsini nəzərdə tutur. Bu proses koordinat şəklində sistemlə etdiyimiz naməlum dəyişənlərin aradan qaldırılmasına bənzəyir. İndi bunu görəcəksiniz.

Matrisi elə çevirək ki, ikinci sütundan başlayaraq birinci sütunun bütün elementləri sıfır olsun. Bunun üçün ikinci, üçüncü və dördüncü sətirlərin elementlərinə birinci sətrin müvafiq elementlərini əlavə edirik, və müvafiq olaraq:

Sonra, əldə edilən matrisi elə çeviririk ki, ikinci sütunda üçüncüdən başlayaraq bütün elementlər sıfıra bərabər olsun. Bu, naməlum x 2 dəyişəninin aradan qaldırılmasına uyğun gəlir. Bunu etmək üçün üçüncü və dördüncü sıraların elementlərinə müvafiq olaraq vurulan matrisin birinci cərgəsinin müvafiq elementlərini əlavə edirik. Və :

Sistemin son tənliyindən naməlum x 3 dəyişənini çıxarmaq qalır. Bunu etmək üçün, nəticədə alınan matrisin son cərgəsinin elementlərinə sondan əvvəlki sətirin müvafiq elementlərini əlavə edirik, :

Qeyd etmək lazımdır ki, bu matris xətti tənliklər sisteminə uyğundur

daha əvvəl irəliləyişdən sonra əldə edilmişdi.

Geri dönməyin vaxtıdır. Matris notasiyasında Qauss metodunun tərsi nəticədə alınan matrisin şəkildə işarələnmiş matrisin çevrilməsini nəzərdə tutur.

diaqonal oldu, yəni forma aldı

bəzi nömrələr haradadır.

Bu çevrilmələr Qauss metodunun irəli çevrilmələrinə bənzəyir, lakin birinci sətirdən sonuncuya deyil, sonuncudan birinciyə qədər həyata keçirilir.

Üçüncü, ikinci və birinci sətirlərin elementlərinə sonuncu sətrin müvafiq elementlərini əlavə edin , yenə müvafiq olaraq:

İndi ikinci və birinci sətirlərin elementlərinə üçüncü sətrin müvafiq elementlərini müvafiq olaraq və ilə əlavə edin:

Əks Gauss metodunun son addımında birinci cərgənin elementlərinə ikinci cərgənin müvafiq elementlərini əlavə edirik, bunlara vurulur:

Alınan matris tənliklər sisteminə uyğundur , naməlum dəyişənləri haradan tapırıq.

Cavab:

QEYD.

Xətti cəbri tənliklər sistemlərini həll etmək üçün Gauss metodundan istifadə edərkən, təxmini hesablamalardan qaçınmaq lazımdır, çünki bu, tamamilə yanlış nəticələrə səbəb ola bilər. Onluqları yuvarlaqlaşdırmamağı tövsiyə edirik. Onluq kəsrlərdən adi kəsrlərə keçmək daha yaxşıdır.

Misal.

Gauss metodundan istifadə edərək üç tənlik sistemini həll edin .

Həll.

Qeyd edək ki, bu misalda naməlum dəyişənlərin fərqli təyinatı var (x 1, x 2, x 3 deyil, x, y, z). Adi kəsrlərə keçək:

Naməlum x-i sistemin ikinci və üçüncü tənliklərindən xaric edək:

Əldə edilən sistemdə naməlum dəyişən y ikinci tənlikdə yoxdur, lakin üçüncü tənlikdə y mövcuddur, ona görə də ikinci və üçüncü tənlikləri əvəz edək:

Bu, Gauss metodunun birbaşa irəliləməsini tamamlayır (üçüncü tənlikdən y-ni çıxarmağa ehtiyac yoxdur, çünki bu naməlum dəyişən artıq mövcud deyil).

Gəlin tərs hərəkətə başlayaq.

Son tənlikdən tapırıq ,
sondan əvvəlki


əldə etdiyimiz birinci tənlikdən

Cavab:

X = 10, y = 5, z = -20.

Tənliklərin sayı naməlumların sayı ilə üst-üstə düşməyən və ya sistemin əsas matrisi tək olan xətti cəbri tənliklərin Qauss metodundan istifadə etməklə həlli.

Əsas matrisi düzbucaqlı və ya kvadrat tək olan tənlik sistemlərinin həlli olmaya bilər, tək həlli ola bilər və ya sonsuz sayda həlli ola bilər.

İndi Gauss metodunun xətti tənliklər sisteminin uyğunluğunu və ya uyğunsuzluğunu qurmağa necə imkan verdiyini başa düşəcəyik və onun uyğunluğu vəziyyətində bütün həlləri (və ya bir həlli) müəyyənləşdirəcəyik.

Prinsipcə, belə SLAE-lər halında naməlum dəyişənlərin aradan qaldırılması prosesi eyni olaraq qalır. Bununla belə, yarana biləcək bəzi vəziyyətlər haqqında ətraflı məlumat verməyə dəyər.

Ən vacib mərhələyə keçək.

Beləliklə, tutaq ki, xətti cəbri tənliklər sistemi Qauss metodunun irəli gedişini tamamladıqdan sonra formanı alır. və heç bir tənlik azaldılmadı (bu halda sistemin uyğunsuz olduğu qənaətinə gələrik). Məntiqi sual yaranır: “Bundan sonra nə etməli”?

Yaranan sistemin bütün tənliklərində birinci gələn naməlum dəyişənləri yazaq:

Bizim nümunəmizdə bunlar x 1, x 4 və x 5-dir. Sistemin tənliklərinin sol tərəflərində yalnız x 1, x 4 və x 5 yazılı naməlum dəyişənləri ehtiva edən şərtləri buraxırıq, qalan şərtlər əks işarə ilə tənliklərin sağ tərəfinə köçürülür:

Tənliklərin sağ tərəflərində olan naməlum dəyişənlərə ixtiyari qiymətlər verək, burada - ixtiyari nömrələr:

Bundan sonra, SLAE-nin bütün tənliklərinin sağ tərəflərində ədədlər var və biz Gauss metodunun tərsinə keçə bilərik.

Əldə etdiyimiz sistemin son tənliyindən, tapdığımız sondan əvvəlki tənlikdən, birinci tənlikdən alırıq.

Tənliklər sisteminin həlli naməlum dəyişənlərin qiymətləri toplusudur

Nömrələrin verilməsi müxtəlif qiymətlər, biz tənliklər sisteminin müxtəlif həlləri əldə edəcəyik. Yəni bizim tənliklər sistemimizin sonsuz sayda həlli var.

Cavab:

Harada - ixtiyari nömrələr.

Materialı birləşdirmək üçün daha bir neçə nümunənin həllini ətraflı təhlil edəcəyik.

Misal.

Xətti cəbri tənliklərin homojen sistemini həll edin Gauss üsulu.

Həll.

Sistemin ikinci və üçüncü tənliklərindən naməlum x dəyişənini xaric edək. Bunun üçün ikinci tənliyin sol və sağ tərəflərinə müvafiq olaraq birinci tənliyin sol və sağ tərəflərini əlavə edirik, , üçüncü tənliyin sol və sağ tərəflərinə isə sol və sağ tərəflərini əlavə edirik. birinci tənliyin sağ tərəfləri ilə vurulur:

İndi yaranan tənliklər sisteminin üçüncü tənliyindən y-ni xaric edək:

Nəticədə əldə edilən SLAE sistemə bərabərdir .

Sistem tənliklərinin sol tərəfində yalnız x və y naməlum dəyişənlərini ehtiva edən şərtləri qoyuruq və naməlum dəyişəni z olan şərtləri sağ tərəfə keçirik:

Xətti cəbri sistemlərin həlli üçün universal və effektiv üsullardan biri Qauss üsulu , naməlumların ardıcıl aradan qaldırılmasından ibarətdir.

Xatırladaq ki, iki sistem çağırılır ekvivalent (ekvivalent) onların həllər çoxluqları üst-üstə düşərsə. Başqa sözlə, sistemlərdən birinin hər bir həlli digərinin həlli olarsa və əksinə sistemlər ekvivalentdir. Ekvivalent sistemlər olduqda əldə edilir elementar çevrilmələr sistemin tənlikləri:

tənliyin hər iki tərəfinin sıfırdan fərqli bir ədədə vurulması;

bəzi tənliyə başqa bir tənliyin uyğun hissələrinin sıfırdan fərqli bir ədədə vurulması;

iki tənliyin yenidən təşkili.

Tənliklər sistemi verilsin

Bu sistemin Qauss üsulu ilə həlli prosesi iki mərhələdən ibarətdir. Birinci mərhələdə (birbaşa hərəkət) sistem elementar çevrilmələrdən istifadə edərək azaldılır addım-addım , və ya üçbucaqlı forma, ikinci mərhələdə (əks) son dəyişən nömrədən başlayaraq ardıcıl, nəticədə yaranan pillə sistemindən naməlumların təyini olur.

Fərz edək ki, bu sistemin əmsalı
, əks halda sistemdə birinci cərgə istənilən digər cərgə ilə dəyişdirilə bilər ki, əmsal sıfırdan fərqli idi.

Bilinməyənləri aradan qaldıraraq sistemi çevirək birincidən başqa bütün tənliklərdə. Bunu etmək üçün birinci tənliyin hər iki tərəfini çarpın və sistemin ikinci tənliyi ilə həd-həd əlavə edin. Sonra birinci tənliyin hər iki tərəfini çarpın və sistemin üçüncü tənliyinə əlavə edin. Bu prosesi davam etdirərək, ekvivalent sistemi əldə edirik

Burada
– birinci addımdan sonra əldə edilən əmsalların və sərbəst şərtlərin yeni dəyərləri.

Eynilə, əsas elementi nəzərə alaraq
, bilinməyənləri istisna edin birinci və ikinci istisna olmaqla, sistemin bütün tənliklərindən. Gəlin bu prosesi mümkün qədər davam etdirək və nəticədə pilləli sistem əldə edəcəyik

,

Harada ,
,…,- sistemin əsas elementləri
.

Sistemin mərhələli formaya endirilməsi prosesində tənliklər, yəni formanın bərabərlikləri yaranırsa.
, hər hansı nömrələr dəsti ilə kifayətləndikləri üçün atılır
. Əgər at
Heç bir həlli olmayan forma tənliyi görünsə, bu sistemin uyğunsuzluğunu göstərir.

Ters vuruş zamanı ilk naməlum çevrilmiş addım sisteminin son tənliyindən ifadə edilir bütün digər bilinməyənlər vasitəsilə
adlanır pulsuz . Sonra dəyişən ifadəsi sistemin sonuncu tənliyindən sondan əvvəlki tənliyə əvəz edilir və dəyişən ondan ifadə edilir
. Dəyişənlər oxşar şəkildə ardıcıl olaraq müəyyən edilir
. Dəyişənlər
Sərbəst dəyişənlər vasitəsilə ifadə olunan , adlanır əsas (asılı). Nəticə xətti tənliklər sisteminin ümumi həllidir.

Tapmaq şəxsi həll sistemləri, pulsuz naməlum
ümumi həlldə ixtiyari qiymətlər təyin edilir və dəyişənlərin qiymətləri hesablanır.
.

Elementar çevrilmələrə sistem tənliklərinin deyil, sistemin genişləndirilmiş matrisinin məruz qalması texniki cəhətdən daha rahatdır.

.

Gauss metodu təkcə kvadrat deyil, həm də naməlumların sayının olduğu düzbucaqlı sistemləri həll etməyə imkan verən universal bir üsuldur.
tənliklərin sayına bərabər deyil
.

Bu metodun üstünlüyü ondan ibarətdir ki, həll prosesində eyni vaxtda sistemin uyğunluğunu yoxlayırıq, çünki genişləndirilmiş matris verilmişdir.
addım-addım formalaşdırmaq üçün matrisin dərəcələrini təyin etmək asandır və uzadılmış matris
və müraciət edin Kroneker-Kapelli teoremi .

Misal 2.1 Sistemi Gauss metodundan istifadə edərək həll edin

Həll. Tənliklərin sayı
və naməlumların sayı
.

Matrisin sağ tərəfinə əmsallar təyin edərək sistemin uzadılmış matrisini yaradaq. pulsuz üzvlər sütunu .

Matrisi təqdim edək üçbucaqlı görünüşə; Bunun üçün elementar çevrilmələrdən istifadə edərək əsas diaqonalda yerləşən elementlərin altında “0” alacağıq.

Birinci sütunun ikinci mövqeyində "0" almaq üçün birinci sətri (-1) ilə çoxaltın və ikinci sıraya əlavə edin.

Bu çevrilməni birinci sətrin qarşısına (-1) rəqəmi kimi yazırıq və birinci sətirdən ikinci sətirə gedən oxla işarə edirik.

Birinci sütunun üçüncü mövqeyində "0" almaq üçün birinci cərgəni (-3)-ə vurun və üçüncü sıraya əlavə edin; Gəlin birinci sətirdən üçüncü sətirə gedən oxdan istifadə edərək bu hərəkəti göstərək.

.

Nəticədə matrislər zəncirində ikinci yazılmış matrisdə üçüncü mövqedə ikinci sütunda "0" alırıq. Bunun üçün ikinci sətri (-4) vurub üçüncüyə əlavə etdik. Yaranan matrisdə ikinci cərgəni (-1) çarpın və üçüncüsü (-8) ilə bölün. Diaqonal elementlərin altında yerləşən bu matrisin bütün elementləri sıfırdır.

Çünki , sistem əməkdaşlıq edir və müəyyən edilir.

Son matrisə uyğun gələn tənliklər sistemi üçbucaqlı formaya malikdir:

Sonuncu (üçüncü) tənlikdən
. İkinci tənliyi əvəz edin və alın
.

Əvəz edək
Və
birinci tənlikdə tapırıq


.

Qauss metodunun tərifi və təsviri

Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss çevrilmə metodu (həmçinin tənlikdən və ya matrisdən naməlum dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsulu kimi də tanınır) cəbri tənliklər sistemlərinin (SLAE) həlli üçün klassik üsuldur. Bu klassik üsul tərs matrislərin alınması və matrisin rütbəsinin müəyyən edilməsi kimi məsələlərin həllində də istifadə olunur.

Qauss metodundan istifadə edərək çevrilmə xətti cəbri tənliklər sisteminə kiçik (elementar) ardıcıl dəyişikliklərin edilməsindən ibarətdir ki, bu da orijinala ekvivalent olan yeni üçbucaqlı tənliklər sisteminin formalaşması ilə yuxarıdan aşağıya doğru dəyişənlərin aradan qaldırılmasına gətirib çıxarır. bir.

Tərif 1

Məhlulun bu hissəsi irəli Qauss həlli adlanır, çünki bütün proses yuxarıdan aşağıya doğru aparılır.

Orijinal tənliklər sistemini üçbucaqlıya endirdikdən sonra sistemin bütün dəyişənləri aşağıdan yuxarıya doğru tapılır (yəni tapılan ilk dəyişənlər dəqiq olaraq sistemin və ya matrisin son sətirlərində yerləşir). Həllin bu hissəsi Qauss həllinin tərsi kimi də tanınır. Onun alqoritmi belədir: əvvəlcə tənliklər sisteminin və ya matrisin altına ən yaxın olan dəyişənlər hesablanır, sonra alınan qiymətlər daha yüksək əvəzlənir və beləliklə, başqa dəyişən tapılır və s.

Qauss metodu alqoritminin təsviri

Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sisteminin ümumi həlli üçün hərəkətlərin ardıcıllığı SLAE əsasında matrisə irəli və geri vuruşların növbə ilə tətbiqindən ibarətdir. İlkin tənliklər sistemi aşağıdakı formada olsun:

$\begin(hallar) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(hallar)$

SLAE-ləri Gauss metodundan istifadə edərək həll etmək üçün orijinal tənliklər sistemini matris şəklində yazmaq lazımdır:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

$A$ matrisi əsas matris adlanır və ardıcıllıqla yazılmış dəyişənlərin əmsallarını, $b$ isə onun sərbəst şərtlərinin sütunu adlanır. Sərbəst şərtlər sütunu olan çubuq vasitəsilə yazılan $A$ matrisi uzadılmış matris adlanır:

$A = \begin(massiv)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(massiv)$

İndi tənliklər sistemində (və ya matrisdə, çünki bu daha rahatdır) elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu aşağıdakı formaya gətirmək lazımdır:

$\begin(hallar) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(hallar)$ (1)

Dönüşdürülmüş (1) tənlik sisteminin əmsallarından alınan matrisa addım matrisası deyilir; addım matrisləri adətən belə görünür:

$A = \begin(massiv)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(massiv)$

Bu matrislər aşağıdakı xüsusiyyətlər dəsti ilə xarakterizə olunur:

1. Onun bütün sıfır xətləri sıfırdan fərqli xətlərdən sonra gəlir
2. Əgər $k$ nömrəli matrisin bəzi cərgəsi sıfırdan fərqlidirsə, eyni matrisin əvvəlki cərgəsində $k$ nömrəli bu sətirdən daha az sıfır var.

Addım matrisini əldə etdikdən sonra yaranan dəyişənləri qalan tənliklərə (sondan başlayaraq) əvəz etmək və dəyişənlərin qalan dəyərlərini almaq lazımdır.

Gauss metodundan istifadə edərkən əsas qaydalar və icazə verilən çevrilmələr

Bu üsuldan istifadə edərək matrisi və ya tənliklər sistemini sadələşdirərkən yalnız elementar çevrilmələrdən istifadə etməlisiniz.

Bu cür çevrilmələr matrisə və ya tənliklər sisteminə mənasını dəyişdirmədən tətbiq edilə bilən əməliyyatlar hesab olunur:

• bir neçə xəttin yenidən təşkili,
• matrisin bir cərgəsindən başqa bir sətir əlavə etmək və ya çıxmaq;
• sətri sıfıra bərabər olmayan sabitə vurmaq və ya bölmək,
• sistemin hesablanması və sadələşdirilməsi prosesində əldə edilən yalnız sıfırlardan ibarət bir xətt silinməlidir,
• Əlavə hesablamalar üçün daha uyğun və rahat olan əmsalları olan sistem üçün yeganə olanı seçərək, lazımsız mütənasib xətləri də aradan qaldırmalısınız.

Bütün elementar çevrilmələr geri çevrilir.

Sadə Qauss çevrilmələri metodundan istifadə edərək xətti tənliklərin həlli zamanı yaranan üç əsas halın təhlili

Sistemləri həll etmək üçün Gauss metodundan istifadə edərkən yaranan üç hal var:

1. Sistem uyğunsuz olduqda, yəni heç bir həll yolu yoxdur
2. Tənliklər sisteminin bir həlli var və unikaldır və matrisdəki sıfırdan fərqli sətir və sütunların sayı bir-birinə bərabərdir.
3. Sistem müəyyən sayda və ya mümkün həllər toplusuna malikdir və içindəki sətirlərin sayı sütunların sayından azdır.

Uyğun olmayan sistemlə həllin nəticəsi

Bu seçim üçün Gauss metodundan istifadə edərək matris tənliyini həll edərkən bərabərliyi yerinə yetirməyin qeyri-mümkün olduğu bir xətt əldə etmək tipikdir. Buna görə də, ən azı bir səhv bərabərlik baş verərsə, nəticədə yaranan və orijinal sistemlərin, ehtiva etdikləri digər tənliklərdən asılı olmayaraq həlləri yoxdur. Uyğun olmayan matrisin nümunəsi:

$\begin(massiv)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiv)$

Sonuncu sətirdə qeyri-mümkün bərabərlik yarandı: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Yalnız bir həlli olan tənliklər sistemi

Bu sistemlər pilləli matrisə endirildikdən və sıfırları olan sətirləri sildikdən sonra əsas matrisdə eyni sayda sətir və sütuna sahib olurlar. Belə bir sistemin ən sadə nümunəsi:

$\begin(hallar) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(hallar)$

Onu matris şəklində yazaq:

$\begin(massiv)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(massiv)$

İkinci cərgənin birinci xanasını sıfıra çatdırmaq üçün yuxarı cərgəni $-2$-a vurub matrisin aşağı cərgəsindən çıxarırıq və yuxarı cərgəni öz orijinal formasında qoyuruq, nəticədə biz aşağıdakıları əldə edirik. :

$\begin(massiv)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(massiv)$

Bu nümunə bir sistem kimi yazıla bilər:

$\begin(hallar) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(hallar)$

Aşağı tənlik $x$ üçün aşağıdakı dəyəri verir: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Bu dəyəri yuxarı tənliyə əvəz edin: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, biz $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ alırıq.

Çoxlu mümkün həlləri olan sistem

Bu sistem içindəki sütunların sayından daha az əhəmiyyətli sətir sayı ilə xarakterizə olunur (əsas matrisin sətirləri nəzərə alınır).

Belə bir sistemdə dəyişənlər iki növə bölünür: əsas və sərbəst. Belə bir sistemi transformasiya edərkən onun tərkibində olan əsas dəyişənlər “=” işarəsinə qədər sol sahədə qalmalı, qalan dəyişənlər isə bərabərliyin sağ tərəfinə keçirilməlidir.

Belə bir sistemin yalnız müəyyən ümumi həlli var.

Aşağıdakı tənliklər sistemini təhlil edək:

$\begin(hallar) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(hallar)$

Onu matris şəklində yazaq:

$\begin(massiv)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(massiv)$

Bizim vəzifəmiz sistemin ümumi həllini tapmaqdır. Bu matris üçün bazis dəyişənləri $y_1$ və $y_3$ olacaq ($y_1$ üçün - birinci olduğu üçün və $y_3$ vəziyyətində - sıfırlardan sonra yerləşir).

Baza dəyişənləri olaraq, biz məhz cərgədə birinci olan və sıfıra bərabər olmayanları seçirik.

Qalan dəyişənlər sərbəst adlanır, biz onların vasitəsilə əsaslarını ifadə etməliyik.

Sözdə tərs vuruşdan istifadə edərək, sistemi aşağıdan yuxarıya doğru təhlil edirik; bunun üçün əvvəlcə sistemin aşağı sətirindən $y_3$ ifadə edirik:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

İndi biz $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) sistemin yuxarı tənliyində ifadə olunan $y_3$-ı əvəz edirik. + y_4 = 1$

Biz $y_1$-ı $y_2$ və $y_4$ sərbəst dəyişənləri ilə ifadə edirik:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Həll hazırdır.

Misal 1

Qauss metodundan istifadə edərək sökmə problemini həll edin. Nümunələr. Qauss metodundan istifadə edərək 3-ə 3 matrislə verilmiş xətti tənliklər sisteminin həllinə nümunə

$\begin(hallar) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(hallar)$

Sistemimizi uzadılmış matris şəklində yazaq:

$\begin(massiv)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiv)$

İndi rahatlıq və praktiklik üçün matrisi elə çevirməlisiniz ki, $1$ ən kənar sütunun yuxarı küncündə olsun.

Bunu etmək üçün 1-ci sətirə ortadan $-1$-a vurulan sətri əlavə etməli və orta xəttin özünü olduğu kimi yazmalısınız, belə çıxır:

$\begin(massiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiv)$

$\begin(massiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(massiv) $

Üst və son sətirləri $-1$-a vurun, həmçinin son və orta sətirləri dəyişdirin:

$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(massiv)$

$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(massiv)$

Və son sətri $3$-a bölün:

$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(massiv)$

Orijinala bərabər olan aşağıdakı tənliklər sistemini əldə edirik:

$\begin(hallar) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(hallar)$

Üst tənlikdən $x_1$ ifadə edirik:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Misal 2

Qauss metodundan istifadə edərək 4-ə 4 matrisi istifadə edərək müəyyən edilmiş sistemin həllinə nümunə

$\begin(massiv)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 və 37 \\ \end(massiv)$.

Başlanğıcda yuxarı sol küncdə $1$ əldə etmək üçün ondan sonrakı yuxarı sətirləri dəyişdiririk:

$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 və 37 \\ \end(massiv)$.

İndi yuxarı xətti $-2$-a vurun və 2-ci və 3-cüyə əlavə edin. 4-cü sətirə $-3$ ilə vurulan 1-ci sətri əlavə edirik:

$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(massiv)$

İndi 3-cü sətirə 2-ci sətri $4$-a, 4-cü sətirə isə $-1$-a vurulan 2-ni əlavə edirik.

$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(massiv)$

2-ci sətri $-1$-a vururuq və 4-cü sətri $3$-a bölüb 3-cü sətri əvəz edirik.

$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 və 10 \\ \end(massiv)$

İndi biz sonuncu sətirə $-5$-a vurulan sondan əvvəlkini əlavə edirik.

$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 və 0 \\ \end(massiv)$

Yaranan tənliklər sistemini həll edirik:

$\begin(hallar) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(hallar)$

Xətti tənliklər sistemini həll etməyin ən sadə yollarından biri determinantların hesablanmasına əsaslanan texnikadır ( Kramer qaydası). Onun üstünlüyü ondan ibarətdir ki, o, həlli dərhal qeyd etməyə imkan verir, sistemin əmsallarının rəqəmlər deyil, bəzi parametrlər olduğu hallarda xüsusilə rahatdır. Onun dezavantajı çox sayda tənlik olduqda hesablamaların çətinliyidir; üstəlik, Kramer qaydası tənliklərin sayının naməlumların sayı ilə üst-üstə düşməyən sistemlərə birbaşa tətbiq edilmir. Belə hallarda adətən istifadə olunur Qauss üsulu.

Həllləri eyni olan xətti tənliklər sistemləri adlanır ekvivalent. Aydındır ki, hər hansı bir tənlik dəyişdirilərsə və ya tənliklərdən biri sıfırdan fərqli bəzi ədədə vurularsa və ya bir tənlik digərinə əlavə edilərsə, xətti sistemin həllər çoxluğu dəyişməyəcək.

Gauss üsulu (naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu) elementar çevrilmələrin köməyi ilə sistemin pilləli tipli ekvivalent sistemə endirilməsidir. Əvvəlcə 1-ci tənliyi istifadə edərək aradan qaldırırıq x Sistemin bütün sonrakı tənliklərindən 1-i. Sonra 2-ci tənliyi istifadə edərək aradan qaldırırıq x 3-cü və bütün sonrakı tənliklərdən 2. Bu proses adlanır birbaşa Qauss üsulu, sonuncu tənliyin sol tərəfində yalnız bir naməlum qalana qədər davam edir x n. Bundan sonra edilir Qauss metodunun tərsi– sonuncu tənliyi həll edərək tapırıq x n; bundan sonra bu dəyərdən istifadə edərək sondan əvvəlki tənlikdən hesablayırıq x n-1 və s. Sonuncunu tapırıq x Birinci tənlikdən 1.

Qauss çevrilmələrini tənliklərin özləri ilə deyil, onların əmsallarının matrisləri ilə çevirməklə həyata keçirmək rahatdır. Matrisi nəzərdən keçirin:

çağırdı sistemin genişləndirilmiş matrisi,çünki o, sistemin əsas matrisindən əlavə, sərbəst şərtlər sütununu ehtiva edir. Qauss metodu sistemin uzadılmış matrisinin elementar cərgə çevrilmələrindən (!) istifadə etməklə sistemin əsas matrisini üçbucaqlı formaya (və ya kvadrat olmayan sistemlərdə trapesiya formasına) endirməyə əsaslanır.

Misal 5.1. Sistemi Gauss metodundan istifadə edərək həll edin:

Həll. Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və birinci cərgədən istifadə edərək, bundan sonra qalan elementləri sıfırlayacağıq:

birinci sütunun 2-ci, 3-cü və 4-cü sətirlərində sıfırları alırıq:

İndi 2-ci cərgənin altındakı ikinci sütunun bütün elementlərinin sıfıra bərabər olması lazımdır. Bunun üçün ikinci sətri –4/7-yə vurub 3-cü sətirə əlavə edə bilərsiniz. Ancaq kəsrlərlə məşğul olmamaq üçün ikinci sütunun 2-ci sətirində vahid yaradaq və yalnız

İndi üçbucaqlı bir matris əldə etmək üçün 3-cü sütunun dördüncü sırasının elementini sıfırlamalısınız, bunun üçün üçüncü sıranı 8/54-ə vurub dördüncüyə əlavə edə bilərsiniz. Ancaq fraksiyalarla məşğul olmamaq üçün 3-cü və 4-cü sətirləri və 3-cü və 4-cü sütunları dəyişdirəcəyik və yalnız bundan sonra göstərilən elementi sıfırlayacağıq. Qeyd edək ki, sütunları yenidən təşkil edərkən müvafiq dəyişənlər yerləri dəyişir və bunu yadda saxlamaq lazımdır; sütunlu digər elementar çevrilmələr (bir nömrəyə əlavə və vurma) həyata keçirilə bilməz!

Sonuncu sadələşdirilmiş matris orijinalına ekvivalent tənliklər sisteminə uyğundur:

Buradan, Qauss metodunun tərsinə istifadə edərək, dördüncü tənlikdən tapırıq x 3 = –1; üçüncüdən x 4 = -2, ikincidən x 2 = 2 və birinci tənlikdən x 1 = 1. Matris formasında cavab kimi yazılır

Sistemin müəyyən olduğu halı nəzərdən keçirdik, yəni. yalnız bir həll olduqda. Gəlin görək sistem uyğunsuz və ya qeyri-müəyyən olarsa nə baş verəcək.

Misal 5.2. Qauss metodundan istifadə edərək sistemi araşdırın:

Həll. Sistemin uzadılmış matrisini yazır və çeviririk

Sadələşdirilmiş tənliklər sistemini yazırıq:

Burada, sonuncu tənlikdə belə çıxır ki, 0=4, yəni. ziddiyyət. Nəticədə, sistemin heç bir həlli yoxdur, yəni. o uyğunsuz. à

Misal 5.3. Qauss metodundan istifadə edərək sistemi araşdırın və həll edin:

Həll. Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazırıq və çeviririk:

Çevrilmələr nəticəsində sonuncu sətir yalnız sıfırları ehtiva edir. Bu o deməkdir ki, tənliklərin sayı bir azalıb:

Beləliklə, sadələşdirmələrdən sonra iki tənlik qalır və dörd naməlum, yəni. iki naməlum "əlavə". Qoy “artıq” olsunlar, ya da necə deyərlər, pulsuz dəyişənlər, olacaq x 3 və x 4 . Sonra

İnanmaq x 3 = 2a Və x 4 = b, alırıq x 2 = 1–a Və x 1 = 2b–a; və ya matris şəklində

Bu şəkildə yazılmış həll adlanır general, çünki, parametrlərin verilməsi a Və b müxtəlif dəyərlər, sistemin bütün mümkün həlləri təsvir edilə bilər. a