3 xətti tənlik sisteminin matris üsulu ilə həlli. Tərs matrisdən istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli
Gəlin nəzərdən keçirək xətti cəbri tənliklər sistemi(SLAU) nisbətən n naməlum x 1 , x 2 , ..., x n :
Bu sistem “yıxılmış” formada aşağıdakı kimi yazıla bilər:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Matris vurma qaydasına uyğun olaraq, nəzərdən keçirilən xətti tənliklər sistemi yazıla bilər matris forması balta=b, Harada
,
,.
Matris A, müvafiq tənlikdə sütunları uyğun naməlumlar üçün əmsallar, sıraları isə naməlumlar üçün əmsallar adlanır. sistemin matrisi. Sütun matrisi b, elementləri sistemin tənliklərinin sağ tərəfləri olan, sağ tərəf matrisi və ya sadəcə olaraq adlanır. sistemin sağ tərəfi. Sütun matrisi x elementləri naməlum bilinməyənlər adlanır sistem həlli.
şəklində yazılmış xətti cəbri tənliklər sistemi balta=b, edir matris tənliyi.
Əgər sistem matrisi degenerativ olmayan, onda onun tərs matrisi var və sistemin həlli belədir balta=b düsturla verilir:
x=A -1 b.
Misal Sistemi həll edin 
matris üsulu.
Həll sistemin əmsal matrisi üçün tərs matrisi tapaq
Birinci sətir boyunca genişləndirməklə determinantı hesablayaq:
Çünki Δ ≠ 0 , Bu A -1 mövcuddur.
Tərs matris düzgün tapıldı.
Gəlin sistemin həllini tapaq 
Beləliklə, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
İmtahan: 
7. Xətti cəbri tənliklər sisteminin uyğunluğu haqqında Kroneker-Kapelli teoremi.
Xətti tənliklər sistemi formaya malikdir:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Burada a i j və b i (i = ; j = ) verilmiş, x j isə naməlum həqiqi ədədlərdir. Matrislərin məhsulu anlayışından istifadə edərək (5.1) sistemini aşağıdakı formada yenidən yaza bilərik:
burada A = (a i j) (5.1) sisteminin naməlumları üçün əmsallardan ibarət olan matrisdir. sistemin matrisi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T müvafiq olaraq x j naməlumlardan və b i sərbəst həddlərindən ibarət sütun vektorlarıdır.
Sifarişli kolleksiya n həqiqi ədədlər (c 1, c 2,..., c n) adlanır sistem həlli(5.1), əgər bu ədədlərin x 1, x 2,..., x n uyğun dəyişənlərinin yerinə əvəz edilməsi nəticəsində sistemin hər bir tənliyi hesab eyniliyinə çevrilirsə; başqa sözlə, C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektoru varsa elə AC B.
Sistem (5.1) çağırılır birgə, və ya həll oluna bilən,ən azı bir həlli varsa. Sistem deyilir uyğunsuz, və ya həll olunmaz, heç bir həll yolu yoxdursa.
,
sağdakı A matrisinə sərbəst şərtlər sütununun təyin edilməsi ilə əmələ gələn adlanır sistemin genişləndirilmiş matrisi.
(5.1) sisteminin uyğunluğu məsələsi aşağıdakı teoremlə həll edilir.
Kroneker-Kapelli teoremi . Xətti tənliklər sistemi o zaman uyğundur ki, A vəA matrislərinin dərəcələri üst-üstə düşsün, yəni. r(A) = r(A) = r.
(5.1) sisteminin M həllər çoxluğu üçün üç imkan var:
1) M = (bu halda sistem uyğunsuzdur);
2) M bir elementdən ibarətdir, yəni. sistemin unikal həlli var (bu halda sistem çağırılır müəyyən);
3) M birdən çox elementdən ibarətdir (sonra sistem çağırılır qeyri-müəyyən). Üçüncü halda (5.1) sistemin sonsuz sayda həlli var.
Sistemin unikal həlli yalnız r(A) = n olduqda olur. Bu halda tənliklərin sayı naməlumların sayından (mn) az deyil; m>n olarsa, m-n tənlikləri digərlərinin nəticəsidir. Əgər 0 Xətti tənliklərin ixtiyari sistemini həll etmək üçün tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayına bərabər olan sistemləri həll etməyi bacarmalısınız - sözdə Kramer tipli sistemlər: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemlər (5.3) aşağıdakı üsullardan biri ilə həll edilir: 1) Qauss üsulu və ya naməlumların aradan qaldırılması üsulu; 2) Kramer düsturlarına görə; 3) matris üsulu. Misal 2.12. Tənliklər sistemini araşdırın və uyğun olduqda onu həll edin: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Həll. Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazırıq:
Sistemin əsas matrisinin dərəcəsini hesablayaq. Aydındır ki, məsələn, yuxarı sol küncdəki ikinci dərəcəli minor = 7 0; onu ehtiva edən üçüncü dərəcəli azyaşlılar sıfıra bərabərdir: Nəticədə, sistemin əsas matrisinin dərəcəsi 2-dir, yəni. r(A) = 2. Genişləndirilmiş A matrisinin dərəcəsini hesablamaq üçün sərhəd olan minoru nəzərə alın. bu o deməkdir ki, genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi r(A) = 3. r(A) r(A) olduğundan sistem uyğunsuzdur. Ümumilikdə tənliklər, xətti cəbri tənliklər və onların sistemləri, habelə onların həlli üsulları riyaziyyatda həm nəzəri, həm də tətbiqi cəhətdən xüsusi yer tutur. Bu onunla bağlıdır ki, fiziki, iqtisadi, texniki və hətta pedaqoji problemlərin böyük əksəriyyəti müxtəlif tənliklər və onların sistemlərindən istifadə etməklə təsvir və həll edilə bilər. Son zamanlarda riyazi modelləşdirmə demək olar ki, bütün fənlər üzrə tədqiqatçılar, elm adamları və praktikantlar arasında xüsusi populyarlıq qazanmışdır ki, bu da müxtəlif təbiətli obyektlərin, xüsusən də kompleks adlanan obyektlərin öyrənilməsi üçün digər tanınmış və sübut edilmiş metodlardan aşkar üstünlükləri ilə izah olunur. sistemləri. Elm adamları tərəfindən müxtəlif vaxtlarda verilən riyazi modelin müxtəlif tərifləri çox müxtəlifdir, lakin bizim fikrimizcə, ən uğurlusu aşağıdakı ifadədir. Riyazi model tənliklə ifadə olunan fikirdir. Beləliklə, tənlikləri və onların sistemlərini tərtib etmək və həll etmək bacarığı müasir mütəxəssisin ayrılmaz xüsusiyyətidir. Xətti cəbri tənliklər sistemlərini həll etmək üçün ən çox istifadə olunan üsullar Cramer, Jordan-Gauss və matris üsuludur. Matris həlli metodu tərs matrisdən istifadə edərək sıfırdan fərqli təyinedici ilə xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həlli üsuludur. A matrisində xi naməlum kəmiyyətləri üçün əmsalları yazsaq, naməlum kəmiyyətləri X vektor sütununda, sərbəst şərtləri B vektor sütununda toplasaq, xətti cəbri tənliklər sistemini aşağıdakı formada yazmaq olar. yalnız A matrisinin determinantı sıfıra bərabər olmadıqda unikal həlli olan aşağıdakı A · X = B matris tənliyi. Bu halda tənliklər sisteminin həllini aşağıdakı şəkildə tapmaq olar X = A-1 · B, Harada A-1 - tərs matris. Matris həll üsulu aşağıdakı kimidir. ilə xətti tənliklər sistemi verilsin n naməlum: Matris şəklində yenidən yazıla bilər: AX =
B, Harada A- sistemin əsas matrisi, B Və X- müvafiq olaraq sistemin pulsuz şərtləri və həllər sütunları: Bu matris tənliyini soldan vuraq A-1 - matrisin tərsi matris A: A -1 (AX) = A -1 B Çünki A -1 A = E, alırıq X= A -1 B. Bu tənliyin sağ tərəfi orijinal sistemin həll sütununu verəcəkdir. Bu metodun tətbiqi şərti (həmçinin tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayına bərabər olan qeyri-homogen xətti tənliklər sisteminin həllinin ümumi mövcudluğu) matrisin degenerativ olmamasıdır. A. Bunun üçün zəruri və kifayət qədər şərt matrisin determinantının sıfıra bərabər olmamasıdır A:det A≠ 0. Xətti tənliklərin homojen sistemi üçün, yəni vektor olduqda B = 0
, əslində əks qayda: sistem AX =
0 qeyri-trivial (yəni sıfır olmayan) həllə malikdir, yalnız det A= 0. Xətti tənliklərin bircins və qeyri-homogen sistemlərinin həlləri arasında belə əlaqə Fredholm alternativi adlanır. Misal xətti cəbri tənliklərin qeyri-bərabər sisteminin həlli. Xətti cəbri tənliklər sisteminin naməlumlarının əmsallarından ibarət olan matrisin təyinedicisinin sıfıra bərabər olmadığına əmin olaq. Növbəti addım naməlumların əmsallarından ibarət matrisin elementləri üçün cəbri tamamlamaların hesablanmasıdır. Onlar tərs matrisi tapmaq üçün lazım olacaq. Tərs matris metodu xüsusi bir haldır matris tənliyi Sistemi matris metodundan istifadə edərək həll edin Həll: Sistemi matris formasında yazırıq.Düsturdan istifadə edərək sistemin həllini tapırıq (sonuncu düstura bax) Düsturdan istifadə edərək tərs matrisi tapırıq: Əvvəlcə determinantı nəzərdən keçirək: Burada determinant birinci sətirdə genişlənir. Diqqət! Əgər, onda tərs matris yoxdur və sistemi matris üsulu ilə həll etmək mümkün deyil. Bu zaman sistem naməlumların aradan qaldırılması metodu (Qauss üsulu) ilə həll edilir. İndi biz 9 azyaşlı hesablayıb onları kiçiklər matrisinə yazmalıyıq İstinad: Xətti cəbrdə qoşa alt işarələrin mənasını bilmək faydalıdır. Birinci rəqəm elementin yerləşdiyi sətrin nömrəsidir. İkinci rəqəm elementin yerləşdiyi sütunun nömrəsidir: Həll zamanı yetkinlik yaşına çatmayanların hesablanmasını ətraflı təsvir etmək daha yaxşıdır, baxmayaraq ki, müəyyən təcrübə ilə onları şifahi olaraq səhvlərlə hesablamağa alışa bilərsiniz. Yetkinlik yaşına çatmayanların hesablanması qaydası tamamilə əhəmiyyətsizdir, burada onları soldan sağa sətir-sətir hesabladım. Yetkinlik yaşına çatmayanları sütunlar üzrə hesablamaq mümkün idi (bu, daha rahatdır). Beləliklə: – cəbri əlavələr matrisi. – cəbri əlavələrin köçürülmüş matrisi. Yenə deyirəm, dərsdə yerinə yetirilən addımları ətraflı müzakirə etdik. Bir matrisin tərsini necə tapmaq olar? İndi tərs matrisi yazırıq: Heç bir halda onu matrisə daxil etməməliyik, bu, sonrakı hesablamaları ciddi şəkildə çətinləşdirəcək.. Matrisdəki bütün ədədlər 60-a qalıqsız bölünərsə, bölmə yerinə yetirilməlidir. Ancaq bu vəziyyətdə matrisə bir mənfi əlavə etmək çox lazımdır, əksinə, sonrakı hesablamaları sadələşdirəcəkdir. Qalır ki, matrisin vurulmasını yerinə yetirsin. Siz sinifdə matrisləri çoxaltmağı öyrənə bilərsiniz. Matrislərlə hərəkətlər. Yeri gəlmişkən, orada da eyni nümunə təhlil edilir. Qeyd edək ki, 60-a bölmə aparılır ən son. Cavab verin: Misal 12 Tərs matrisdən istifadə edərək sistemi həll edin. Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir (yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavab). Sistemi həll etməyin ən universal yolu naməlumların aradan qaldırılması üsulu (Qauss üsulu). Alqoritmi aydın şəkildə izah etmək o qədər də asan deyil, amma cəhd etdim! Sənə uğurlar arzu edirəm! Cavablar: Misal 3:
Misal 6:
Misal 8:
,
. Siz bu nümunə üçün həll nümunəsinə baxa və ya yükləyə bilərsiniz (aşağıdakı link). Nümunələr 10, 12: Xətti tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirməyə davam edirik. Bu dərs mövzu üzrə üçüncü dərsdir. Ümumiyyətlə xətti tənliklər sisteminin nə olduğu barədə qeyri-müəyyən bir fikriniz varsa, özünüzü çaydan kimi hiss edirsinizsə, o zaman səhifədəki əsaslardan başlamağı məsləhət görürəm Sonra, dərsi öyrənmək faydalıdır. Gauss metodu asandır! Niyə? Məşhur alman riyaziyyatçısı İohann Karl Fridrix Qauss sağlığında bütün dövrlərin ən böyük riyaziyyatçısı, dahi kimi tanınıb və hətta “Riyaziyyatın Kralı” ləqəbini də alıb. Və bildiyiniz kimi, hər şey sadədir! Yeri gəlmişkən, təkcə əmicilər deyil, dahilər də pul alırlar - Qaussun portreti 10 Deutschmark əskinasında idi (avro dövriyyəyə buraxılmazdan əvvəl) və Gauss hələ də adi poçt markalarından almanlara müəmmalı şəkildə gülümsəyir. Qauss metodu sadədir ki, onu mənimsəmək üçün BEŞİNCİ SİNF ŞƏHƏRİNİN BİLİKLƏRİ KƏFƏDDİR. Siz əlavə və çoxaltmağı bilməlisiniz! Təsadüfi deyil ki, müəllimlər çox vaxt məktəb riyaziyyatının seçmə fənlərində naməlumların ardıcıl xaric edilməsi metodunu nəzərdən keçirirlər. Bu paradoksdur, lakin tələbələr Qauss metodunu ən çətin hesab edirlər. Təəccüblü heç nə yoxdur - hamısı metodologiyaya aiddir və mən metodun alqoritmi haqqında əlçatan formada danışmağa çalışacağam. Əvvəlcə xətti tənliklər sistemləri haqqında bir az bilikləri sistemləşdirək. Xətti tənliklər sistemi: 1) Unikal bir həll yolu var. Gauss metodu həll tapmaq üçün ən güclü və universal vasitədir hər hansı xətti tənliklər sistemləri. Xatırladığımız kimi, Kramer qaydası və matris metodu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Və naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu Hər halda bizi cavaba aparacaq! Bu dərsdə biz 1-ci hal (sistemin yeganə həlli) üçün yenidən Gauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik, məqalə 2-3 nömrəli bəndlərin vəziyyətlərinə həsr edilmişdir. Qeyd edim ki, metodun özünün alqoritmi hər üç halda eyni işləyir. Dərsdən ən sadə sistemə qayıdaq Xətti tənliklər sistemini necə həll etmək olar? İlk addım yazmaqdır genişləndirilmiş sistem matrisi: İstinad:
xatırlamağınızı tövsiyə edirəmşərtlər
xətti cəbr.Sistem matrisi
yalnız naməlumlar üçün əmsallardan ibarət matrisdir, bu misalda sistemin matrisi:
.
Genişləndirilmiş Sistem Matrisi
– bu sistemin eyni matrisi və pulsuz şərtlər sütunudur, bu halda:
. Qısalıq üçün matrislərdən hər hansı birini sadəcə olaraq matris adlandırmaq olar. Genişləndirilmiş matris sistemi yazıldıqdan sonra onunla bəzi hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır ki, bu da adlanır elementar çevrilmələr. Aşağıdakı elementar çevrilmələr mövcuddur: 1) Simlər matrislər yenidən təşkil edilə bilər bəzi yerlərdə. Məsələn, nəzərdən keçirilən matrisdə birinci və ikinci sıraları ağrısız şəkildə yenidən təşkil edə bilərsiniz: 2) Əgər matrisdə mütənasib (xüsusi halda - eyni) sətirlər varsa (və ya yaranıbsa), onda siz silin matrisdən birindən başqa bütün bu sıralar. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək 3) Transformasiyalar zamanı matrisdə sıfır cərgəsi görünürsə, o da olmalıdır silin. Mən çəkməyəcəyəm, əlbəttə ki, sıfır xətti olan xəttdir bütün sıfırlar. 4) Matris sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) istənilən nömrəyə sıfırdan fərqli. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək. Burada birinci sətri –3-ə bölmək, ikinci sətri isə 2-yə vurmaq məsləhətdir: 5) Bu çevrilmə ən çox çətinliklərə səbəb olur, amma əslində mürəkkəb bir şey də yoxdur. Bir matrisin sırasına edə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli. Praktiki misaldan matrisimizi nəzərdən keçirək: . Əvvəlcə transformasiyanı ətraflı təsvir edəcəyəm. Birinci sətri -2-yə vurun: Təcrübədə, əlbəttə ki, bunu o qədər də təfərrüatlı yazmırlar, ancaq qısaca yazırlar: “Matrisi yenidən yazıram və birinci sətri yenidən yazıram:” “Birinci sütun. Aşağıda sıfır almalıyam. Ona görə də yuxarıdakını –2: ilə vururam və birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 2 + (–2) = 0. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: “İndi ikinci sütun. Yuxarıda -1-i -2-yə vururam: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 1 + 2 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: " “Və üçüncü sütun. Yuxarıda -5-i -2-yə vururam: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: –7 + 10 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: Zəhmət olmasa bu nümunəni diqqətlə anlayın və ardıcıl hesablama alqoritmini anlayın, əgər bunu başa düşsəniz, Gauss metodu praktiki olaraq cibinizdədir. Amma təbii ki, biz hələ də bu transformasiya üzərində işləyəcəyik. Elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir ! DİQQƏT: manipulyasiyalar hesab olunur istifadə edə bilməz, sizə matrislərin “öz-özünə” verildiyi bir tapşırıq təklif olunarsa. Məsələn, "klassik" ilə matrislərlə əməliyyatlar Heç bir halda matrislərin içərisində heç bir şeyi yenidən təşkil etməməlisiniz! Sistemimizə qayıdaq. Demək olar ki, həll olunub. Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu azaldaq pilləli görünüş: (1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Yeri gəlmişkən, niyə birinci sətri –2-yə vururuq? Aşağıda sıfır əldə etmək üçün, yəni ikinci sətirdəki bir dəyişəndən xilas olmaq deməkdir. (2) İkinci sətri 3-ə bölün. Elementar çevrilmələrin məqsədi–
matrisi mərhələli formaya endirin: Elementar çevrilmələr nəticəsində əldə etdik ekvivalent orijinal tənliklər sistemi: İndi sistemin əks istiqamətdə "açılması" lazımdır - aşağıdan yuxarıya, bu proses adlanır Qauss metodunun tərsi. Aşağı tənlikdə artıq hazır nəticəmiz var: . Sistemin birinci tənliyini nəzərdən keçirək və ona artıq məlum olan “y” dəyərini əvəz edək: Qauss metodu üç naməlumlu üç xətti tənlik sisteminin həllini tələb edən ən ümumi vəziyyəti nəzərdən keçirək. Misal 1 Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin: Sistemin uzadılmış matrisini yazaq: İndi həll zamanı çatacağımız nəticəni dərhal çəkəcəyəm: Əvvəlcə yuxarı sol rəqəmə baxın: İndi birinci sətir həllin sonuna qədər dəyişməz qalacaq. İndi yaxşı. Sol üst küncdəki bölmə təşkil olunub. İndi bu yerlərdə sıfırlar əldə etməlisiniz: “Çətin” çevrilmədən istifadə edərək sıfırları əldə edirik. Əvvəlcə ikinci sətirlə məşğul oluruq (2, –1, 3, 13). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün nə etmək lazımdır? Lazımdır ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada birinci sətri –2-yə vurun: (–2, –4, 2, –18). Biz ardıcıl olaraq (yenidən zehni olaraq və ya qaralamada) əlavə edirik, ikinci sətirə artıq –2-yə vurulmuş birinci sətri əlavə edirik: Nəticəni ikinci sətirdə yazırıq: Üçüncü sətirlə də eyni şəkildə məşğul oluruq (3, 2, –5, –1). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün sizə lazımdır üçüncü sətirə –3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada birinci sətri –3-ə vurun: (–3, –6, 3, –27). VƏ üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edirik: Nəticəni üçüncü sətirə yazırıq: Praktikada bu hərəkətlər adətən şifahi olaraq həyata keçirilir və bir addımda yazılır: Hər şeyi bir anda və eyni zamanda hesablamağa ehtiyac yoxdur. Hesablamaların qaydası və nəticələrin “yazılması” ardıcıl və adətən belə olur: əvvəlcə birinci sətri yenidən yazırıq və yavaş-yavaş özümüzə puflayırıq - ARADDALI və DİQQƏTLƏ: Bu misalda bunu etmək asandır, ikinci sətri -5-ə bölürük (çünki orada bütün ədədlər 5-ə qalıqsız bölünür). Eyni zamanda, üçüncü sətri -2-yə bölürük, çünki rəqəmlər nə qədər kiçik olsa, həlli bir o qədər sadədir: Elementar çevrilmələrin son mərhələsində burada başqa bir sıfır əldə etməlisiniz: Bunun üçün üçüncü sətirə -2 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik: Sonuncu yerinə yetirilən hərəkət nəticənin saç düzümüdür, üçüncü xətti 3-ə bölün. Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent xətti tənliklər sistemi əldə edildi: İndi Qauss metodunun əksi işə düşür. Tənliklər aşağıdan yuxarıya doğru “açılır”. Üçüncü tənlikdə artıq hazır nəticəmiz var: İkinci tənliyə baxaq: . "Zet" sözünün mənası artıq məlumdur, beləliklə: Və nəhayət, birinci tənlik: . "Igrek" və "zet" məlumdur, bu, sadəcə kiçik şeylər məsələsidir: Cavab: Artıq bir neçə dəfə qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir tənlik sistemi üçün tapılan həlli yoxlamaq mümkündür və lazımdır, xoşbəxtlikdən, bu asan və tezdir. Misal 2 Bu müstəqil həll nümunəsi, yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavabdır. Qeyd etmək lazımdır ki, sizin qərarın gedişi qərar vermə prosesimlə üst-üstə düşməyə bilər, və bu Gauss metodunun xüsusiyyətidir. Amma cavablar eyni olmalıdır! Misal 3 Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək: Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Orada birimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə vahidlər yoxdur, ona görə də sətirlərin yenidən təşkili heç nəyi həll etməyəcək. Belə hallarda vahid elementar transformasiyadan istifadə edərək təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Mən bunu etdim: (1) Birinci sətirə -1-ə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci sətri –1-ə vurub birinci və ikinci sətirləri əlavə etdik, ikinci sətir isə dəyişmədi. İndi yuxarı sol tərəf -1-dir, bu da bizə çox uyğundur. +1 almaq istəyən hər kəs əlavə hərəkət edə bilər: birinci sətri –1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin). (2) 5-ə vurulan birinci sətir ikinci sətirə, 3-ə vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi. (3) Birinci sətir -1-ə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü sətrin işarəsi də dəyişdirildi və ikinci yerə köçürüldü ki, ikinci “addım”da bizə lazım olan vahid gəldi. (4) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, 2-yə vuruldu. (5) Üçüncü sətir 3-ə bölündü. Hesablamalarda səhvi göstərən pis işarə (daha nadir hallarda yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıdakı kimi bir şey əldə etdiksə və müvafiq olaraq, Biz bunun əksini tapırıq, nümunələrin dizaynında onlar çox vaxt sistemin özünü yenidən yazmırlar, lakin tənliklər "birbaşa verilmiş matrisdən götürülür". Tərs hərəkət, sizə xatırladıram, aşağıdan yuxarıya doğru işləyir: Cavab: Misal 4 Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin Bu, özünüz həll edə biləcəyiniz bir nümunədir, bir az daha mürəkkəbdir. Kiminsə çaşqın olması yaxşıdır. Dərsin sonunda tam həll və nümunə dizaynı. Sizin həlliniz mənim həllimdən fərqli ola bilər. Son hissədə Qauss alqoritminin bəzi xüsusiyyətlərinə baxacağıq. İkinci xüsusiyyət budur. Nəzərdən keçirilən bütün nümunələrdə “addımlar” üzərinə ya –1, ya da +1 qoyduq. Orada başqa rəqəmlər ola bilərmi? Bəzi hallarda edə bilərlər. Sistemi nəzərdən keçirin: Budur, yuxarı sol "addımda" ikimiz var. Ancaq birinci sütundakı bütün rəqəmlərin 2-yə qalıqsız bölünməsi faktını görürük - digəri isə iki və altıdır. Və yuxarı solda iki bizə uyğun olacaq! Birinci addımda aşağıdakı çevrilmələri yerinə yetirməlisiniz: ikinci sətirə –1 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin; üçüncü sətirə –3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Beləliklə, birinci sütunda tələb olunan sıfırları alacağıq. Və ya başqa bir şərti nümunə: Gauss metodu universaldır, lakin bir özəlliyi var. Başqa üsullardan (Kramer metodu, matris metodu) istifadə edərək sistemləri həll etməyi ilk dəfə inamla öyrənə bilərsiniz - onların çox ciddi alqoritmi var. Ancaq Gauss metoduna inamlı olmaq üçün "dişlərinizi daxil edin" və ən azı 5-10 on sistemi həll etməlisiniz. Buna görə də əvvəlcə hesablamalarda çaşqınlıq və səhvlər ola bilər və bunda qeyri-adi və faciəli heç nə yoxdur. Pəncərədən kənarda yağışlı payız havası.... Buna görə də, daha mürəkkəb bir nümunəni öz başına həll etmək istəyən hər kəs üçün: Misal 5 Qauss metodundan istifadə etməklə dörd naməlumlu 4 xətti tənlik sistemini həll edin. Belə bir vəzifə praktikada o qədər də nadir deyil. Düşünürəm ki, hətta bu səhifəni hərtərəfli öyrənmiş çaynik belə bir sistemin intuitiv şəkildə həllinin alqoritmini başa düşəcək. Prinsipcə, hər şey eynidir - sadəcə daha çox hərəkət var. Dərsdə sistemin heç bir həlli olmadığı (uyğunsuz) və ya sonsuz sayda həllin olduğu hallar müzakirə olunur. Uyğun olmayan sistemlər və ümumi həlli olan sistemlər. Orada Gauss metodunun nəzərdən keçirilən alqoritmini düzəldə bilərsiniz. Sənə uğurlar arzu edirəm! Həll və cavablar: Nümunə 2: Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək. Ters:
Nümunə 4: Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək: Həyata keçirilən çevrilmələr: İkinci "addım" ilə hər şey daha da pisləşir
, bunun üçün "namizədlər" 17 və 23 rəqəmləridir və bizə ya bir, ya da -1 lazımdır. Transformasiyalar (3) və (4) istədiyiniz vahidi əldə etməyə yönəldiləcəkdir (3) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. Matris üsulu SLAU həlləri tənliklərin sayının naməlumların sayına uyğun olduğu tənliklər sistemlərinin həllinə tətbiq edilir. Metod aşağı səviyyəli sistemləri həll etmək üçün ən yaxşı şəkildə istifadə olunur. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulu matrisin vurulmasının xassələrinin tətbiqinə əsaslanır. Bu üsul, başqa sözlə tərs matris metodu, belə adlanır, çünki həll adi matris tənliyinə endirilir, onu həll etmək üçün tərs matrisi tapmaq lazımdır. Matris həll üsulu Sıfırdan böyük və ya kiçik olan determinantlı SLAE aşağıdakı kimidir: Fərz edək ki, SLE (xətti tənliklər sistemi) var n naməlum (ixtiyari sahədə): Bu o deməkdir ki, onu asanlıqla matris formasına çevirmək olar: AX=B, Harada A- sistemin əsas matrisi, B Və X— müvafiq olaraq sistemin sərbəst şərtləri və həllər sütunları: Bu matris tənliyini soldan vuraq A−1— matrisa tərs A: A −1 (AX)=A −1 B. Çünki A −1 A=E, Vasitələri, X=A −1 B. Tənliyin sağ tərəfi ilkin sistemin həll sütununu verir. Matris metodunun tətbiqi şərti matrisin degenerasiyaya uğramamasıdır A. Bunun üçün zəruri və kifayət qədər şərt matrisin determinantının sıfıra bərabər olmamasıdır A: deA≠0. üçün xətti tənliklərin homojen sistemi, yəni. vektor əgər B=0, əks qayda var: sistem AX=0 yalnız olduqda qeyri-trivial (yəni sıfıra bərabər olmayan) həll var detA=0. Bircins və qeyri-homogen xətti tənlik sistemlərinin həlləri arasındakı bu əlaqə deyilir Fredholm alternativi. Beləliklə, SLAE-nin matris metodundan istifadə edərək həlli düstura uyğun olaraq həyata keçirilir Məlumdur ki, kvadrat matris üçün A sifariş n haqqında n tərs matris var A−1 yalnız onun təyinedicisi sıfırdan fərqli olduqda. Beləliklə, sistem n ilə xətti cəbri tənliklər n Naməlumları matris metodundan istifadə etməklə yalnız sistemin əsas matrisinin determinantı sıfıra bərabər olmadığı halda həll edirik. Belə bir metodun tətbiqi ilə bağlı məhdudiyyətlərin olmasına və böyük əmsallar və yüksək səviyyəli sistemlər üçün hesablamaların çətinliklərinə baxmayaraq, metod kompüterdə asanlıqla həyata keçirilə bilər. Əvvəlcə naməlum SLAE-lərin əmsal matrisinin determinantının sıfıra bərabər olmadığını yoxlayaq. İndi tapırıq birlik matrisi, onu köçürün və tərs matrisi müəyyən etmək üçün formulda əvəz edin. Dəyişənləri düsturla əvəz edin: İndi tərs matrisi və sərbəst şərtlər sütununu vuraraq naməlumları tapırıq. Belə ki, x=2; y=1; z=4. SLAE-nin adi formasından matris formasına keçərkən sistemin tənliklərində naməlum dəyişənlərin sırasına diqqət yetirin. Misal üçün: Bunu belə yazmaq OLMAZ: Əvvəlcə sistemin hər bir tənliyində naməlum dəyişənləri sıralamaq lazımdır və yalnız bundan sonra matris qeydinə keçin: Bundan əlavə, naməlum dəyişənlərin təyin edilməsində diqqətli olmalısınız x 1, x 2 , …, x n başqa hərflər ola bilər. Məs: matris şəklində bunu belə yazırıq: Matris metodu, tənliklərin sayının naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşdüyü və sistemin əsas matrisinin determinantının sıfıra bərabər olmadığı xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün daha yaxşıdır. Bir sistemdə 3-dən çox tənlik olduqda, tərs matrisin tapılması daha çox hesablama səyi tələb edəcəkdir, buna görə də bu vəziyyətdə həll üçün Qauss metodundan istifadə etmək məsləhətdir. (bəzən bu üsula matris metodu və ya tərs matris metodu da deyilir) SLAE-nin qeydinin matris forması kimi anlayışla ilkin tanışlığı tələb edir. Tərs matris metodu, sistem matrisinin determinantının sıfırdan fərqli olduğu xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün nəzərdə tutulmuşdur. Təbii ki, bu, sistemin matrisinin kvadrat olmasını nəzərdə tutur (determinant anlayışı yalnız kvadrat matrislər üçün mövcuddur). Tərs matris metodunun mahiyyəti üç nöqtədə ifadə edilə bilər: İstənilən SLAE matris şəklində $A\cdot X=B$ kimi yazıla bilər, burada $A$ sistemin matrisidir, $B$ sərbəst şərtlər matrisidir, $X$ naməlumlar matrisidir. $A^(-1)$ matrisi mövcud olsun. $A\cdot X=B$ bərabərliyinin hər iki tərəfini soldakı $A^(-1)$ matrisinə vuraq: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ $A^(-1)\cdot A=E$ olduğundan ($E$ eynilik matrisidir), yuxarıda yazılmış bərabərlik belə olur: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ $E\cdot X=X$ olduğundan, onda: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Nümunə №1 SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ həllini tərs matrisdən istifadə edərək həll edin. $$ A=\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(massiv)\sağ);\; B=\left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\sağ);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\sağ). $$ Sistem matrisinə tərs matrisi tapaq, yəni. Gəlin $A^(-1)$ hesablayaq. 2 nömrəli misalda $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\sağ) . $$ İndi gəlin hər üç matrisi ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ bərabərliyinə əvəz edək. Sonra matris vurma həyata keçiririk $$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\sağ)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\sağ)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\sağ)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(massiv)\sağ)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 309\\ -206 \end(massiv)\sağ)=\left( \begin(massiv) (c) -3\\ 2\end(massiv)\sağ). $$ Beləliklə, $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) -3\\ 2\end() bərabərliyini əldə etdik. massiv )\sağ)$. Bu bərabərlikdən əldə edirik: $x_1=-3$, $x_2=2$. Cavab verin: $x_1=-3$, $x_2=2$. Nümunə № 2 SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6) həll edin. \end(aligned)\right .$ tərs matris metodundan istifadə etməklə. $A$ sisteminin matrisini, $B$ sərbəst şərtlər matrisini və $X$ naməlumlar matrisini yazaq. $$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(massiv)\sağ);\; B=\left(\begin(massiv) (c) -1\\0\\6\end(massiv)\sağ);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\sağ). $$ İndi növbə sistem matrisinə tərs matrisi tapmaqdır, yəni. $A^(-1)$ tapın. Tərs matrislərin tapılmasına həsr olunmuş səhifədəki 3 nömrəli misalda tərs matris artıq tapılıb. Hazır nəticədən istifadə edək və $A^(-1)$ yazaq: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(massiv)\sağ). $$ İndi gəlin hər üç matrisi ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ bərabərliyinə əvəz edək və sonra sağ tərəfdə matrisa vurma əməliyyatını yerinə yetirək. bu bərabərlikdən. $$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\sağ)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \sağ)\cdot \left(\begin(massiv) (c) -1\\0\ \6\end(massiv)\sağ)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(massiv)\sağ)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 0\\-104\\234\end(massiv)\sağ)=\left( \begin(massiv) (c) 0\\-4\\9\end(massiv)\sağ) $$ Beləliklə, $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) 0\\-4 bərabərliyini əldə etdik. \ \9\end(massiv)\sağ)$. Bu bərabərlikdən əldə edirik: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
.
, burada matrisin müvafiq elementlərinin cəbri tamamlamalarının köçürülmüş matrisi.
Yəni, qoşa alt işarə elementin birinci cərgədə, üçüncü sütunda və məsələn, elementin 3 sıra, 2 sütunda olduğunu göstərir.
– matrisin müvafiq elementlərinin kiçiklərinin matrisi.
Bəzən tamamilə ayrılmaya bilər, yəni. “pis” fraksiyalarla nəticələnə bilər. Artıq Kramerin qaydasını nəzərdən keçirəndə belə hallarda nə edəcəyimizi söylədim.
2) Sonsuz bir çox həll yolu var.
3) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun birgə olmayan).
və onu Qauss üsulu ilə həll edin.
. Məncə, əmsalların hansı prinsiplə yazıldığını hər kəs görə bilər. Matris daxilindəki şaquli xəttin heç bir riyazi mənası yoxdur - bu, dizaynın asanlığı üçün sadəcə olaraq cızıqdır.
. Bu matrisdə son üç sıra mütənasibdir, ona görə də onlardan yalnız birini tərk etmək kifayətdir: 
.
. Bu hərəkət çox faydalıdır, çünki matrisin sonrakı çevrilmələrini asanlaşdırır.
, Və ikinci sətirə birinci sətri –2 ilə vururuq: . İndi birinci sətir “geriyə” –2-yə bölünə bilər: . Gördüyünüz kimi, ƏLAVƏ EDİLƏN sətir LI – dəyişməyib. HəmişəƏLAVƏ EDİLƏN sətir dəyişir UT.
Bir daha: ikinci sıraya -2 ilə vurulan birinci sətir əlavə edildi. Xətt adətən şifahi olaraq və ya qaralama üzərində vurulur, zehni hesablama prosesi belə bir şey gedir:
» »
. Tapşırığın dizaynında onlar sadəcə "pilləkənləri" sadə qələmlə qeyd edirlər, həmçinin "addımlar" üzərində yerləşən nömrələri dairə edirlər. "Pilləli baxış" termininin özü tamamilə nəzəri deyil, elmi və tədris ədəbiyyatında tez-tez deyilir trapezoidal görünüş və ya üçbucaqlı görünüş.
Yenə deyirəm, bizim məqsədimiz elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisi mərhələli formaya gətirməkdir. Haradan başlamaq lazımdır?
Demək olar ki, həmişə burada olmalıdır vahid. Ümumiyyətlə, -1 (və bəzən başqa nömrələr) edəcək, lakin ənənəvi olaraq bir qayda olaraq orada yerləşdirilir. Bölməni necə təşkil etmək olar? Birinci sütuna baxırıq - bitmiş bir vahidimiz var! Birinci transformasiya: birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin: 
Mən artıq yuxarıda hesablamaların zehni prosesini müzakirə etdim.
Bu hərəkəti özünüz anlamağa çalışın - zehni olaraq ikinci sətri -2-yə vurun və əlavə edin.
Sərin.
, onda yüksək ehtimal dərəcəsi ilə elementar çevrilmələr zamanı səhvə yol verildiyini deyə bilərik.
Bəli, burada bir hədiyyə var: 
.
Birinci xüsusiyyət ondan ibarətdir ki, bəzən sistem tənliklərində bəzi dəyişənlər yoxdur, məsələn: 
Genişləndirilmiş sistem matrisini necə düzgün yazmaq olar? Mən artıq dərsdə bu mövzuda danışmışam. Kramer qaydası. Matris üsulu. Sistemin genişləndirilmiş matrisində çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyuruq: 
Yeri gəlmişkən, bu kifayət qədər asan bir nümunədir, çünki birinci sütunda artıq bir sıfır var və yerinə yetirmək üçün daha az elementar çevrilmə var. .
. Burada ikinci “addım”dakı üçlük də bizə uyğun gəlir, çünki 12 (sıfır almalı olduğumuz yer) 3-ə qalıqsız bölünür. Aşağıdakı çevrilməni həyata keçirmək lazımdır: ikinci sətri üçüncü sətirə əlavə edin, -4-ə vurun, nəticədə bizə lazım olan sıfır alınacaq.
Elementar çevrilmələr həyata keçirilir:
(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.Diqqət!
Burada üçüncü sətirdən birincini çıxarmaq şirnikləndirilə bilər, onu çıxarmamağı çox tövsiyə edirəm - səhv riski xeyli artır. Sadəcə qatlayın!
(2) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). İkinci və üçüncü sətirlər dəyişdirilib.Qeyd
, “addımlarda” biz təkcə birlə deyil, həm də –1 ilə kifayətlənirik ki, bu da daha rahatdır.
(3) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 5-ə vuruldu.
(4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). Üçüncü sətir 14-ə bölündü.
Cavab: 
.
(1) Birinci sətirə ikinci sətir əlavə edildi. Beləliklə, istədiyiniz vahid yuxarı sol "addımda" təşkil edilir.
(2) 7-yə vurulan birinci sətir ikinci sətirə, 6-ya vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.
(4) Üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -3 ilə vuruldu.
İkinci addımda tələb olunan element alındı.
.
(5) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 6-ya vuruldu.
(6) İkinci sətir –1-ə vuruldu, üçüncü sətir -83-ə bölündü. Aydındır ki, müstəvi eyni xətt üzərində olmayan üç fərqli nöqtə ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. Buna görə də, təyyarələrin üç hərfli təyinatları olduqca populyardır - onlara aid olan nöqtələrə görə, məsələn, ; .Əgər pulsuz üzvlər
. Və ya SLAE-nin həlli istifadə edərək tapılır tərs matris A−1.Qeyri-homogen SLAE-nin həlli nümunəsi.
