2 nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazın. Xəttin ümumi tənliyi

Evklid həndəsəsində düz xəttin xassələri.

İstənilən nöqtədən sonsuz sayda düz xətt çəkilə bilər.

İstənilən iki üst-üstə düşməyən nöqtə vasitəsilə tək düz xətt çəkilə bilər.

Bir müstəvidə iki fərqli xətt ya bir nöqtədə kəsişir, ya da olur

paralel (əvvəlkidən sonra).

Üç ölçülü məkanda iki xəttin nisbi mövqeyi üçün üç seçim var:

xətlər kəsişir;

xətlər paraleldir;

düz xətlər kəsişir.

Düz xətt— birinci dərəcəli cəbr əyrisi: Dekart koordinat sistemində düz xətt

müstəvidə birinci dərəcəli tənlik (xətti tənlik) ilə verilir.

Düz xəttin ümumi tənliyi.

Tərif. Təyyarədəki istənilən düz xətt birinci dərəcəli tənliklə təyin oluna bilər

Axe + Wu + C = 0,

və daimi A, B eyni zamanda sıfıra bərabər deyil. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır general

düz xəttin tənliyi. Sabitlərin dəyərlərindən asılı olaraq A, B Və İLƏ Aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- düz xətt başlanğıcdan keçir

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- oxa paralel düz xətt Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- oxa paralel düz xətt OU

. B = C = 0, A ≠0- düz xətt oxla üst-üstə düşür OU

. A = C = 0, B ≠0- düz xətt oxla üst-üstə düşür Oh

Düz xəttin tənliyi hər hansı verilmişdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim oluna bilər

ilkin şərtlər.

Bir nöqtədən düz xəttin və normal vektorun tənliyi.

Tərif. Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri olan vektor (A, B)

tənliklə verilən xəttə perpendikulyardır

Axe + Wu + C = 0.

Misal. Nöqtədən keçən xəttin tənliyini tapın A(1, 2) vektora perpendikulyar (3, -1).

Həll. A = 3 və B = -1 ilə düz xəttin tənliyini tərtib edək: 3x - y + C = 0. C əmsalını tapmaq üçün

Verilmiş A nöqtəsinin koordinatlarını alınan ifadədə əvəz edək: 3 - 2 + C = 0, buna görə də.

C = -1. Cəmi: tələb olunan tənlik: 3x - y - 1 = 0.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Kosmosda iki nöqtə verilsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Və M2 (x 2, y 2, z 2), Sonra xəttin tənliyi,

bu nöqtələrdən keçərək:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfırdırsa, müvafiq pay sıfıra bərabər təyin edilməlidir. Aktiv

müstəvidə yuxarıda yazılmış düz xəttin tənliyi sadələşdirilmişdir:

Əgər x 1 ≠ x 2 Və x = x 1, Əgər x 1 = x 2 .

Fraksiya = kçağırdı yamac düz.

Misal. A(1, 2) və B(3, 4) nöqtələrindən keçən xəttin tənliyini tapın.

Həll. Yuxarıda yazılmış düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Nöqtə və yamacdan istifadə edərək düz xəttin tənliyi.

Əgər xəttin ümumi tənliyi Axe + Wu + C = 0 gətirib çıxarır:

və təyin edin , onda yaranan tənlik çağırılır

yamacı k olan düz xəttin tənliyi.

Bir nöqtədən düz xəttin və istiqamət vektorunun tənliyi.

Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan nöqtəyə bənzətməklə, tapşırığı daxil edə bilərsiniz

nöqtədən keçən düz xətt və düz xəttin istiqamətləndirici vektoru.

Tərif. Hər sıfırdan fərqli vektor (α 1 , α 2), onun komponentləri şərti ödəyir

Aα 1 + Bα 2 = 0çağırdı düz xəttin yönləndirici vektoru.

Axe + Wu + C = 0.

Misal. İstiqamət vektoru (1, -1) olan və A(1, 2) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Həll. İstədiyiniz xəttin tənliyini aşağıdakı formada axtaracağıq: Ax + By + C = 0. Tərifə görə,

əmsallar aşağıdakı şərtlərə cavab verməlidir:

1 * A + (-1) * B = 0, yəni. A = B.

Sonra düz xəttin tənliyi formaya malikdir: Axe + Ay + C = 0, və ya x + y + C / A = 0.

saat x = 1, y = 2 alırıq C/A = -3, yəni. tələb olunan tənlik:

x + y - 3 = 0

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi.

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ах + Ву + С = 0 С≠0 olarsa, onda -С-yə bölməklə, alırıq:

və ya harada

Əmsalların həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, a əmsalı kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır

ox ilə düz Oh, A b- xəttin ox ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı OU.

Misal. Düz xəttin ümumi tənliyi verilmişdir x - y + 1 = 0. Bu xəttin seqmentlərdə tənliyini tapın.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Xəttin normal tənliyi.

Tənliyin hər iki tərəfi varsa Axe + Wu + C = 0ədədə bölün adlanır

normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcosφ + ysinφ - p = 0 -xəttin normal tənliyi.

Normallaşdırıcı əmsalın ± işarəsi elə seçilməlidir ki μ*C< 0.

R- başlanğıcdan düz xəttə düşən perpendikulyarın uzunluğu,

A φ - bu perpendikulyarın oxun müsbət istiqaməti ilə yaratdığı bucaq Oh.

Misal. Xəttin ümumi tənliyi verilmişdir 12x - 5y - 65 = 0. Müxtəlif növ tənliklərin yazılması tələb olunur

bu düz xətt.

Bu xəttin seqmentlərdə tənliyi:

Bu xəttin yamacla bərabərliyi: (5-ə bölün)

Xəttin tənliyi:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə tənlik ilə təmsil oluna bilməz, məsələn, düz xətlər,

oxlara paralel və ya başlanğıcdan keçən.

Bir müstəvidə düz xətlər arasındakı bucaq.

Tərif. Əgər iki sətir verilirsə y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, sonra bu xətlər arasındakı iti bucaq

kimi müəyyən ediləcək

Əgər iki xətt paraleldirsə k 1 = k 2. İki xətt perpendikulyardır

Əgər k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Birbaşa Axe + Wu + C = 0 Və A 1 x + B 1 y + C 1 = 0əmsallar mütənasib olduqda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Əgər də С 1 = λС, sonra xətlər üst-üstə düşür. İki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları

bu xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi tapılır.

Verilmiş xəttə perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Tərif. Bir nöqtədən keçən xətt M 1 (x 1, y 1) və xəttə perpendikulyar y = kx + b

tənlik ilə təmsil olunur:

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.

Teorem. Bir xal verilirsə M(x 0, y 0), sonra düz xəttə qədər olan məsafə Axe + Wu + C = 0 kimi müəyyən edilir:

Sübut. Qoy nöqtə olsun M 1 (x 1, y 1)- nöqtədən düşmüş perpendikulyarın əsası M verilmiş üçün

birbaşa. Sonra nöqtələr arasındakı məsafə M Və M 1:

(1)

Koordinatlar x 1 Və 1-də tənliklər sisteminin həlli kimi tapıla bilər:

Sistemin ikinci tənliyi verilmiş M 0 nöqtəsindən perpendikulyar keçən düz xəttin tənliyidir.

düz xətt verilmişdir. Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra həll edərək əldə edirik:

Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:

Teorem sübut edilmişdir.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi. Məqalədə" " Mən sizə söz verdim ki, funksiyanın qrafiki və bu qrafikə tangens verilməklə törəmənin tapılması ilə bağlı təqdim olunan məsələlərin həllinin ikinci yoluna baxacaqsınız. Bu üsulu məqalədə müzakirə edəcəyik , qaçırmayın! Niyə növbətisində?

Fakt budur ki, orada düz xəttin tənliyi düsturu istifadə olunacaq. Təbii ki, biz sadəcə olaraq bu düsturu göstərib öyrənməyi məsləhət görə bilərik. Ancaq onun haradan gəldiyini (necə əldə edildiyini) izah etmək daha yaxşıdır. Lazımdır! Əgər onu unutsanız, onu tez bir zamanda bərpa edə bilərsinizçətin olmayacaq. Hər şey aşağıda ətraflı təsvir edilmişdir. Beləliklə, koordinat müstəvisində iki A nöqtəmiz var(x 1;y 1) və B(x 2;y 2), göstərilən nöqtələrdən düz xətt çəkilir:

Budur birbaşa formulun özü:

*Yəni nöqtələrin xüsusi koordinatlarını əvəz etdikdə y=kx+b formalı tənlik alırıq.

**Əgər siz sadəcə olaraq bu düsturu “yadda saxlasanız”, o zaman indekslərlə qarışma ehtimalınız yüksəkdir. X. Bundan əlavə, indekslər müxtəlif yollarla təyin edilə bilər, məsələn:

Buna görə mənasını başa düşmək vacibdir.

İndi bu düsturun törəməsi. Hər şey çox sadədir!

ABE və ACF üçbucaqları kəskin bucaq baxımından oxşardır (düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlığının ilk əlaməti). Buradan belə çıxır ki, müvafiq elementlərin nisbətləri bərabərdir, yəni:

İndi biz sadəcə olaraq bu seqmentləri nöqtələrin koordinatlarındakı fərqlə ifadə edirik:

Əlbəttə ki, elementlərin əlaqələrini fərqli ardıcıllıqla yazsanız, heç bir səhv olmayacaq (əsas odur ki, ardıcıllığı qorumaqdır):

Nəticə xəttin eyni tənliyi olacaq. Hamısı budur!

Yəni, nöqtələrin özləri (və onların koordinatları) necə təyin olunmasından asılı olmayaraq, bu düsturu başa düşməklə siz həmişə düz xəttin tənliyini tapacaqsınız.

Düstur vektorların xassələrindən istifadə etməklə əldə edilə bilər, lakin onların koordinatlarının mütənasibliyindən danışacağımız üçün törəmə prinsipi eyni olacaq. Bu vəziyyətdə düzbucaqlı üçbucaqların eyni oxşarlığı işləyir. Məncə, yuxarıda təsvir edilən nəticə daha aydındır)).

Vektor koordinatları vasitəsilə çıxışa baxın >>>

Verilmiş iki A(x 1;y 1) və B(x 2;y 2) nöqtələrindən keçən koordinat müstəvisində düz xətt çəkilsin. Koordinatları olan xəttdə ixtiyari C nöqtəsini qeyd edək ( x; y). İki vektoru da qeyd edirik:

Məlumdur ki, paralel xətlərdə (və ya eyni xəttdə) uzanan vektorlar üçün onların müvafiq koordinatları mütənasibdir, yəni:

— müvafiq koordinatların nisbətlərinin bərabərliyini yazırıq:

Bir misala baxaq:

Koordinatları (2;5) və (7:3) olan iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Siz hətta düz xəttin özünü qurmaq məcburiyyətində deyilsiniz. Formulu tətbiq edirik:

Nisbəti tərtib edərkən yazışmaları başa düşməyiniz vacibdir. Yazsanız, səhv edə bilməzsiniz:

Cavab: y=-2/5x+29/5 get y=-0,4x+5,8

Yaranan tənliyin düzgün tapıldığından əmin olmaq üçün yoxlamağı unutmayın - məlumatların koordinatlarını nöqtələrin vəziyyətində əvəz edin. Tənliklər düzgün olmalıdır.

Hamısı budur. Ümid edirəm material sizin üçün faydalı oldu.

Hörmətlə, Aleksandr.

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Tərif. Təyyarədəki istənilən düz xətt birinci dərəcəli tənliklə təyin oluna bilər

Axe + Wu + C = 0,

Üstəlik, A və B sabitləri eyni zamanda sıfıra bərabər deyil. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır düz xəttin ümumi tənliyi. A, B və C sabitlərinin dəyərlərindən asılı olaraq aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – düz xətt başlanğıcdan keçir

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox oxuna paralel düz xətt

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy oxuna paralel düz xətt

B = C = 0, A ≠0 – düz xətt Oy oxu ilə üst-üstə düşür

A = C = 0, B ≠0 – düz xətt Ox oxu ilə üst-üstə düşür

Düz xəttin tənliyi hər hansı verilmiş ilkin şərtlərdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim oluna bilər.

Bir nöqtədən düz xəttin tənliyi və normal vektor

Tərif. Dekart düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri (A, B) olan vektor Ax + By + C = 0 tənliyi ilə verilmiş düz xəttə perpendikulyardır.

Misal. (3, -1) nöqtəsinə perpendikulyar olan A(1, 2) nöqtəsindən keçən xəttin tənliyini tapın.

Həll. A = 3 və B = -1 olduqda düz xəttin tənliyini quraq: 3x – y + C = 0. C əmsalını tapmaq üçün verilən A nöqtəsinin koordinatlarını nəticədə ifadədə əvəz edirik. 3 – 2 + C = 0, deməli, C = -1 . Cəmi: tələb olunan tənlik: 3x – y – 1 = 0.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi

Fəzada iki M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) nöqtəsi verilsin, onda bu nöqtələrdən keçən xəttin tənliyi belədir:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfıra bərabərdirsə, müvafiq pay sıfıra bərabər olmalıdır.Müstəvidə yuxarıda yazılmış xəttin tənliyi sadələşdirilmişdir:

x 1 ≠ x 2 və x = x 1 olarsa, x 1 = x 2 olarsa.

= k kəsrinə deyilir yamac düz.

Misal. A(1, 2) və B(3, 4) nöqtələrindən keçən xəttin tənliyini tapın.

Həll. Yuxarıda yazılmış düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Nöqtədən və yamacdan düz xəttin tənliyi

Ümumi Ax + Bu + C = 0 olarsa, formaya aparın:

və təyin edin , onda yaranan tənlik çağırılır yamaclı düz xəttin tənliyik.

Bir nöqtədən düz xəttin və istiqamət vektorunun tənliyi

Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan nöqtəyə bənzətməklə, bir nöqtədən keçən düz xəttin tərifini və düz xəttin istiqamət vektorunu daxil edə bilərsiniz.

Tərif. Komponentləri A α 1 + B α 2 = 0 şərtini ödəyən sıfırdan fərqli hər bir vektor (α 1, α 2) xəttin istiqamətləndirici vektoru adlanır.

Axe + Wu + C = 0.

Misal. İstiqamət vektoru (1, -1) olan və A(1, 2) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Həll.İstənilən xəttin tənliyini aşağıdakı formada axtaracağıq: Ax + By + C = 0. Tərifə uyğun olaraq, əmsallar şərtləri təmin etməlidir:

1 * A + (-1) * B = 0, yəni. A = B.

Onda düz xəttin tənliyi formaya malikdir: Ax + Ay + C = 0, ya da x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 üçün C/ A = -3 alırıq, yəni. tələb olunan tənlik:

Seqmentlərdə xəttin tənliyi

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ах + Ву + С = 0 С≠0 olarsa, onda –С-yə bölməklə, alırıq: və ya

Əmsalların həndəsi mənası odur ki, əmsal A xəttin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır və b– düz xəttin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı.

Misal. x – y + 1 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir.Bu xəttin seqmentlərdə tənliyini tapın.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Xəttin normal tənliyi

Ax + By + C = 0 tənliyinin hər iki tərəfi ədədə vurularsa adlanır normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

xəttin normal tənliyi. Normallaşdırıcı əmsalın ± işarəsi elə seçilməlidir ki, μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Misal. 12x – 5y – 65 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir.Bu xətt üçün müxtəlif növ tənliklərin yazılması tələb olunur.

seqmentlərdə bu xəttin tənliyi:

bu xəttin mailliklə bərabərliyi: (5-ə bölün)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə, məsələn, oxlara paralel və ya koordinatların başlanğıcından keçən düz xətlər tənliyi ilə təmsil oluna bilməz.

Misal. Düz xətt koordinat oxlarında bərabər müsbət seqmentləri kəsir. Bu seqmentlərin yaratdığı üçbucağın sahəsi 8 sm 2 olarsa, düz xətt üçün tənlik yazın.

Həll. Düz xəttin tənliyi formaya malikdir: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Misal. A(-2, -3) nöqtəsindən və başlanğıcından keçən düz xəttin tənliyini yazın.

Həll. Düz xəttin tənliyi belədir: , burada x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Bir müstəvidə düz xətlər arasındakı bucaq

Tərif.Əgər iki xətt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilsə, bu xətlər arasındakı iti bucaq aşağıdakı kimi təyin ediləcəkdir.

Əgər k 1 = k 2 olarsa, iki xətt paraleldir. Əgər k 1 = -1/ k 2 olarsa, iki xətt perpendikulyardır.

Teorem. A 1 = λA, B 1 = λB əmsalları mütənasib olduqda Ax + Bу + C = 0 və A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 xətləri paraleldir. Əgər C 1 = λC də olarsa, xətlər üst-üstə düşür. Bu xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları tapılır.

Verilmiş xəttə perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi

Tərif. M 1 (x 1, y 1) nöqtəsindən keçən və y = kx + b düz xəttinə perpendikulyar olan düz xətt tənlik ilə təmsil olunur:

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

Teorem. M(x 0, y 0) nöqtəsi verilmişdirsə, onda Ax + Bу + C = 0 xəttinə olan məsafə belə təyin olunur.

Sübut. M nöqtəsindən verilmiş düz xəttə endirilən perpendikulyarın əsası M 1 (x 1, y 1) nöqtəsi olsun. Sonra M və M nöqtələri arasındakı məsafə 1:

(1)

x 1 və y 1 koordinatlarını tənliklər sistemini həll etməklə tapmaq olar:

Sistemin ikinci tənliyi verilmiş xəttə perpendikulyar M 0 nöqtəsindən keçən xəttin tənliyidir. Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra həll edərək əldə edirik:

Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:

Teorem sübut edilmişdir.

Misal. Xətlər arasındakı bucağı təyin edin: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Misal. 3x – 5y + 7 = 0 və 10x + 6y – 3 = 0 xətlərinin perpendikulyar olduğunu göstərin.

Həll. Tapırıq: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, buna görə də xətlər perpendikulyardır.

Misal. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) üçbucağının təpələri verilmişdir. C təpəsindən çəkilmiş hündürlüyün tənliyini tapın.

Həll. AB tərəfinin tənliyini tapırıq: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Tələb olunan hündürlük tənliyi formaya malikdir: Ax + By + C = 0 və ya y = kx + b. k =. Sonra y =. Çünki hündürlük C nöqtəsindən keçir, onda onun koordinatları bu tənliyi təmin edir: buradan b = 17. Cəmi: .

Cavab: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Xətt M 1 (x 1; y 1) və M 2 (x 2; y 2) nöqtələrindən keçsin. M 1 nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyi y-y 1 = formasına malikdir k (x - x 1), (10.6)

Harada k - hələ məlum olmayan əmsal.

Düz xətt M 2 (x 2 y 2) nöqtəsindən keçdiyindən bu nöqtənin koordinatları (10.6) tənliyini təmin etməlidir: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Buradan tapılan dəyərin dəyişdirilməsini tapırıq k (10.6) tənliyinə daxil olaraq, M 1 və M 2 nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini alırıq:

Güman edilir ki, bu tənlikdə x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Əgər x 1 = x 2 olarsa, M 1 (x 1,y I) və M 2 (x 2,y 2) nöqtələrindən keçən düz xətt ordinat oxuna paraleldir. Onun tənliyi x = x 1 .

Əgər y 2 = y I olarsa, onda xəttin tənliyini y = y 1 kimi yazmaq olar, M 1 M 2 düz xətti absis oxuna paraleldir.

Seqmentlərdə xəttin tənliyi

Düz xətt Ox oxunu M 1 (a;0) nöqtəsində, Oy oxu isə M 2 (0;b) nöqtəsində kəssin. Tənlik aşağıdakı formanı alacaq:
olanlar.
. Bu tənlik adlanır seqmentlərdə düz xəttin tənliyi, çünki a və b rəqəmləri koordinat oxlarında xəttin hansı seqmentləri kəsdiyini göstərir.

Verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi

Verilmiş sıfırdan fərqli n = (A; B) vektoruna perpendikulyar Mo (x O; y o) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapaq.

Xəttin ixtiyari M(x; y) nöqtəsini götürək və M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorunu nəzərdən keçirək (şək. 1-ə bax). n və M o M vektorları perpendikulyar olduğundan onların skalyar hasilatı sıfıra bərabərdir: yəni

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) tənliyi adlanır verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi .

Xəttə perpendikulyar olan n= (A; B) vektoru normal adlanır bu xəttin normal vektoru .

(10.8) tənliyi kimi yenidən yazıla bilər Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

burada A və B normal vektorun koordinatlarıdır, C = -Ax o - Vu o sərbəst termindir. Tənlik (10.9) xəttin ümumi tənliyidir(şək. 2-ə baxın).

Şəkil 1 Şəkil 2

Xəttin kanonik tənlikləri

Harada
- xəttin keçdiyi nöqtənin koordinatları və
- istiqamət vektoru.

İkinci dərəcəli əyrilər Dairə

Dairə, mərkəz adlanan müəyyən bir nöqtədən bərabər məsafədə olan təyyarənin bütün nöqtələrinin çoxluğudur.

Radiuslu dairənin kanonik tənliyi R bir nöqtədə mərkəzləşmişdir
:

Xüsusilə, payın mərkəzi koordinatların mənşəyi ilə üst-üstə düşürsə, tənlik belə görünəcəkdir:

Ellips

Ellips müstəvidəki nöqtələr toplusudur, hər birindən verilmiş iki nöqtəyə qədər olan məsafələrin cəmidir. Və fokuslar adlanan , sabit kəmiyyətdir
, ocaqlar arasındakı məsafədən böyükdür
.

Fokusları Ox oxunda olan ellipsin kanonik tənliyi və koordinatların mənşəyi fokuslar arasında ortada olan formaya malikdir.
G de a yarım əsas ox uzunluğu; b – yarım kiçik oxun uzunluğu (şək. 2).

Müstəvidə xəttin tənliyi.

Məlum olduğu kimi, müstəvidə istənilən nöqtə hansısa koordinat sistemində iki koordinatla müəyyən edilir. Baza və mənşə seçimindən asılı olaraq koordinat sistemləri müxtəlif ola bilər.

Tərif. Xətt tənliyi bu xətti təşkil edən nöqtələrin koordinatları arasında y = f(x) əlaqəsi adlanır.

Qeyd edək ki, xəttin tənliyi parametrik şəkildə ifadə edilə bilər, yəni hər bir nöqtənin hər bir koordinatı hansısa müstəqil parametr vasitəsilə ifadə edilir. t.

Tipik bir nümunə, hərəkət edən nöqtənin trayektoriyasıdır. Bu zaman parametrin rolunu zaman oynayır.

Müstəvidə düz xəttin tənliyi.

Tərif. Təyyarədəki istənilən düz xətt birinci dərəcəli tənliklə təyin oluna bilər

Axe + Wu + C = 0,

Üstəlik, A və B sabitləri eyni zamanda sıfıra bərabər deyil, yəni. A 2 + B 2  0. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır düz xəttin ümumi tənliyi.

A, B və C sabitlərinin dəyərlərindən asılı olaraq aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

C = 0, A  0, B  0 – düz xətt başlanğıcdan keçir

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - Ox oxuna paralel düz xətt

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy oxuna paralel düz xətt

B = C = 0, A  0 – düz xətt Oy oxu ilə üst-üstə düşür

A = C = 0, B  0 – düz xətt Ox oxu ilə üst-üstə düşür

Düz xəttin tənliyi hər hansı verilmiş ilkin şərtlərdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim oluna bilər.

Bir nöqtədən düz xəttin və normal vektorun tənliyi.

Tərif. Dekart düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri (A, B) olan vektor Ax + By + C = 0 tənliyi ilə verilmiş düz xəttə perpendikulyardır.

Misal. A(1, 2) nöqtəsindən vektora perpendikulyar keçən xəttin tənliyini tapın (3, -1).

A = 3 və B = -1 ilə düz xəttin tənliyini quraq: 3x – y + C = 0. C əmsalını tapmaq üçün verilmiş A nöqtəsinin koordinatlarını nəticədə ifadədə əvəz edirik.

Alırıq: 3 – 2 + C = 0, buna görə də C = -1.

Cəmi: tələb olunan tənlik: 3x – y – 1 = 0.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi.

Fəzada iki M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) nöqtəsi verilsin, onda bu nöqtələrdən keçən xəttin tənliyi belədir:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfırdırsa, müvafiq pay sıfıra bərabər təyin edilməlidir.

Müstəvidə yuxarıda yazılmış düz xəttin tənliyi sadələşdirilmişdir:

x 1  x 2 və x = x 1 olarsa, x 1 = x 2 olarsa.

Fraksiya
=k adlanır yamac düz.

Misal. A(1, 2) və B(3, 4) nöqtələrindən keçən xəttin tənliyini tapın.

Yuxarıda yazılmış düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Nöqtə və yamacdan istifadə edərək düz xəttin tənliyi.

Ax + By + C = 0 düz xəttinin ümumi tənliyi aşağıdakı formaya endirilərsə:

və təyin edin
, onda yaranan tənlik çağırılır yamaclı düz xəttin tənliyik.

Bir nöqtədən düz xəttin və istiqamət vektorunun tənliyi.

Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan nöqtəyə bənzətməklə, bir nöqtədən keçən düz xəttin tərifini və düz xəttin istiqamət vektorunu daxil edə bilərsiniz.

Tərif. Hər sıfırdan fərqli vektor ( 1,  2), komponentləri A 1 + B 2 = 0 şərtini ödəyən xəttin istiqamət vektoru adlanır.

Axe + Wu + C = 0.

Misal.İstiqamət vektoru olan xəttin tənliyini tapın (1, -1) və A(1, 2) nöqtəsindən keçməklə.

İstənilən xəttin tənliyini aşağıdakı formada axtaracağıq: Ax + By + C = 0. Tərifə uyğun olaraq, əmsallar şərtləri təmin etməlidir:

1A + (-1)B = 0, yəni. A = B.

Onda düz xəttin tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: Ax + Ay + C = 0 və ya x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2-də biz C/A = -3 alırıq, yəni. tələb olunan tənlik:

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi.

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ах + Ву + С = 0 С 0 olarsa, onda –С-ə bölməklə, alırıq:
və ya

, Harada

Əmsalların həndəsi mənası odur ki, əmsal A xəttin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır və b– düz xəttin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı.

Misal. x – y + 1 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir.Bu xəttin seqmentlərdə tənliyini tapın.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Xəttin normal tənliyi.

Ax + By + C = 0 tənliyinin hər iki tərəfi ədədə bölünürsə
adlanır normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcos + ysin - p = 0 –

xəttin normal tənliyi.

Normallaşdırıcı əmsalın  işarəsi elə seçilməlidir ki, С< 0.

p başlanğıcdan düz xəttə endirilən perpendikulyarın uzunluğu,  isə bu perpendikulyarın Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə yaratdığı bucaqdır.

Misal. 12x – 5y – 65 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir.Bu xətt üçün müxtəlif növ tənliklərin yazılması tələb olunur.

seqmentlərdə bu xəttin tənliyi:

bu xəttin mailliklə bərabərliyi: (5-ə bölün)

xəttin normal tənliyi:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə, məsələn, oxlara paralel və ya koordinatların başlanğıcından keçən düz xətlər tənliyi ilə təmsil oluna bilməz.

Misal. Düz xətt koordinat oxlarında bərabər müsbət seqmentləri kəsir. Bu seqmentlərin yaratdığı üçbucağın sahəsi 8 sm 2 olarsa, düz xətt üçün tənlik yazın.

Düz xəttin tənliyi belədir:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 məsələnin şərtlərinə uyğun deyil.

Ümumi:
və ya x + y – 4 = 0.

Misal. A(-2, -3) nöqtəsindən və başlanğıcından keçən düz xəttin tənliyini yazın.

Düz xəttin tənliyi belədir:
, burada x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Bir müstəvidə düz xətlər arasındakı bucaq.

Tərif. Əgər iki xətt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilsə, bu xətlər arasındakı iti bucaq aşağıdakı kimi təyin ediləcəkdir.

Əgər k 1 = k 2 olarsa, iki xətt paraleldir.

Əgər k 1 = -1/k 2 olarsa, iki xətt perpendikulyardır.

Teorem. Birbaşa xətlər Ax + Wu + C = 0 və A 1 x + B 1 y + C 1 A əmsalları mütənasib olduqda = 0 paraleldir 1 =  A, B 1 =  B. Əgər C 1 =  C, sonra xətlər üst-üstə düşür.

Bu xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları tapılır.

Verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi

bu xəttə perpendikulyar.

Tərif. M 1 (x 1, y 1) nöqtəsindən keçən və y = kx + b düz xəttinə perpendikulyar olan düz xətt tənlik ilə təmsil olunur:

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.

Teorem. M(x) nöqtəsi verilmişdirsə 0 , y 0 ), onda Ах + Ву + С =0 düz xəttinə qədər olan məsafə müəyyən edilir

Sübut. M nöqtəsindən verilmiş düz xəttə endirilən perpendikulyarın əsası M 1 (x 1, y 1) nöqtəsi olsun. Sonra M və M nöqtələri arasındakı məsafə 1:

x 1 və y 1 koordinatlarını tənliklər sistemini həll etməklə tapmaq olar:

Sistemin ikinci tənliyi verilmiş xəttə perpendikulyar M 0 nöqtəsindən keçən xəttin tənliyidir.

Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra həll edərək əldə edirik:

Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:

Teorem sübut edilmişdir.

Misal. Xətlər arasındakı bucağı təyin edin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tq =
;  = /4.

Misal. 3x – 5y + 7 = 0 və 10x + 6y – 3 = 0 xətlərinin perpendikulyar olduğunu göstərin.

Tapırıq: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, buna görə də xətlər perpendikulyardır.

Misal. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçbucağının təpələri verilmişdir. C təpəsindən çəkilmiş hündürlüyün tənliyini tapın.

AB tərəfinin tənliyini tapırıq:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Tələb olunan hündürlük tənliyi formaya malikdir: Ax + By + C = 0 və ya y = kx + b.

k = . Sonra y =
. Çünki hündürlük C nöqtəsindən keçir, onda onun koordinatları bu tənliyi təmin edir:
buradan b = 17. Cəmi:
.

Cavab: 3x + 2y – 34 = 0.

Kosmosda analitik həndəsə.

Məkanda xəttin tənliyi.

Bir nöqtə verilmiş fəzada xəttin tənliyi və

istiqamət vektoru.

İxtiyari xətt və vektor götürək (m, n, p), verilmiş xəttə paralel. Vektor çağırdı bələdçi vektoru düz.

Düz xətt üzərində iki ixtiyari nöqtəni götürürük M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) və M (x, y, z).

M 1

Bu nöqtələrin radius vektorlarını kimi işarə edək Və , aydındır ki - =
.

Çünki vektorlar
Və kollineardır, onda əlaqə doğrudur
= t, burada t bəzi parametrdir.

Ümumilikdə yaza bilərik: = + t.

Çünki bu tənlik xəttin hər hansı bir nöqtəsinin koordinatları ilə təmin edilir, nəticədə alınan tənlik xəttin parametrik tənliyi.

Bu vektor tənliyi koordinat şəklində təqdim edilə bilər:

Bu sistemi çevirərək və t parametrinin qiymətlərini bərabərləşdirməklə fəzada düz xəttin kanonik tənliklərini əldə edirik:

Tərif. İstiqamət kosinusları birbaşa vektorun istiqamət kosinuslarıdır düsturlardan istifadə etməklə hesablana bilər:

;

.

Buradan alırıq: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p ədədləri adlanır bucaq əmsalları düz. Çünki sıfırdan fərqli vektordur, onda m, n və p eyni vaxtda sıfıra bərabər ola bilməz, lakin bu ədədlərdən biri və ya ikisi sıfıra bərabər ola bilər. Bu halda, xəttin tənliyində müvafiq paylar sıfıra bərabər təyin edilməlidir.

Kosmosda düz xəttin tənliyi

iki nöqtə vasitəsilə.

Əgər fəzada düz xətt üzərində iki ixtiyari nöqtəni M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) qeyd etsək, onda bu nöqtələrin koordinatları düz xətt tənliyini təmin etməlidir. yuxarıda əldə edilmişdir:

Bundan əlavə, M 1 nöqtəsi üçün yaza bilərik:

Bu tənlikləri birlikdə həll edərək əldə edirik:

Bu, fəzada iki nöqtədən keçən xəttin tənliyidir.

Kosmosda düz xəttin ümumi tənlikləri.

Düz xəttin tənliyini iki müstəvinin kəsişmə xəttinin tənliyi kimi qəbul etmək olar.

Yuxarıda müzakirə edildiyi kimi, vektor şəklində bir təyyarə tənlik ilə təyin edilə bilər:

+ D = 0, burada

- normal təyyarə; - radius müstəvidə ixtiyari nöqtənin vektorudur.