Mexanik vibrasiya nəzəriyyəsi. Mexanik sistemlərin vibrasiya nəzəriyyəsinin əsasları

Biz artıq klassik mexanikanın mənşəyinə, materialların gücünə və elastiklik nəzəriyyəsinə baxmışıq. Mexanikanın ən mühüm komponenti həm də rəqslər nəzəriyyəsidir. Titrəmələr maşın və konstruksiyaların məhv edilməsinin əsas səbəbidir. 1950-ci illərin sonunda. Avadanlıq qəzalarının 80%-i artan vibrasiya səbəbindən baş verib. Titrəmə avadanlıqların istismarı ilə məşğul olan insanlara da zərərli təsir göstərir. Onlar həmçinin idarəetmə sistemlərinin sıradan çıxmasına səbəb ola bilər.

Bütün bunlara baxmayaraq, rəqslər nəzəriyyəsi müstəqil bir elm kimi yalnız 19-cu əsrin əvvəllərində meydana çıxdı. Bununla belə, əvvəlinə qədər maşın və mexanizmlərin hesablamaları XX əsr statik şəraitdə həyata keçirilirdi. Maşınqayırmanın inkişafı, buxar maşınlarının gücünün və sürətinin yüksəldilməsi, eyni zamanda çəkisinin azaldılması, yeni mühərrik növlərinin - daxili yanma mühərriklərinin və buxar turbinlərinin meydana çıxması dinamik enerjini nəzərə alaraq güc hesablamalarının aparılması zərurətinə səbəb oldu. Yüklər. Bir qayda olaraq, vibrasiya nəzəriyyəsində yeni problemlər texnologiyada qəzaların və ya artan vibrasiya nəticəsində yaranan fəlakətlərin təsiri altında yarandı.

Salınımlar müxtəlif dərəcələrdə təkrarlana bilən hərəkətlər və ya vəziyyət dəyişiklikləridir.

Salınma nəzəriyyəsini dörd dövrə bölmək olar.

Idövr– nəzəri mexanika çərçivəsində rəqslər nəzəriyyəsinin yaranması (XVI əsrin sonu – XVIII əsrin sonu). Bu dövr Qaliley, Huygens, Nyuton, d'Alember, Eyler, D. Bernulli və Laqranjın əsərlərində dinamikanın yaranması və inkişafı ilə xarakterizə olunur.

Salınmalar nəzəriyyəsinin banisi Leonhard Eyler olmuşdur. 1737-ci ildə L. Eyler Sankt-Peterburq Elmlər Akademiyası adından gəminin tarazlığı və hərəkəti ilə bağlı tədqiqatlara başladı və 1749-cu ildə Peterburqda onun “Gəmi elmi” kitabı nəşr olundu. Məhz Eylerin bu əsərində statik sabitlik nəzəriyyəsinin və rəqslər nəzəriyyəsinin əsasları qoyulmuşdur.

Jean Leron d'Alembert çoxsaylı əsərlərində Yerin presessiya və nutasiyası problemi ilə əlaqədar olaraq cismin kütlə mərkəzi və fırlanma oxu ətrafında kiçik rəqsləri, sarkacın rəqsləri kimi fərdi problemləri araşdırdı. , üzən cisim, bulaq və s.. Amma d'Alemberin ümumi nəzəriyyəsi heç bir tərəddüd yaratmadı.

Vibrasiya nəzəriyyəsi üsullarının ən mühüm tətbiqi, Charles Coulomb tərəfindən həyata keçirilən telin burulma sərtliyinin eksperimental təyini idi. Kulon da bu problemdə kiçik rəqslərin izoxronizmi xassəsini təcrübi olaraq müəyyən etmişdir. Titrəmələrin sönümlənməsini öyrənən bu böyük təcrübəçi belə qənaətə gəldi ki, onun əsas səbəbi hava müqaviməti deyil, məftil materialındakı daxili sürtünmə itkiləridir.

Statik sabitlik nəzəriyyəsinin və kiçik rəqslər nəzəriyyəsinin əsaslarını qoyan L.Euler, d'Alember, D. Bernoulli və Laqranc tərəfindən rəqslər nəzəriyyəsinin əsaslarına böyük töhfələr verilmişdir.Əsərlərində rəqslərin dövrü və tezliyi, salınımların forması haqqında anlayışlar formalaşdı və kiçik rəqslər termini istifadəyə verildi, məhlulların superpozisiya prinsipi formalaşdırıldı və məhlulu triqonometrik sıraya genişləndirməyə cəhd edildi.

Salınımlar nəzəriyyəsinin ilk problemləri sarkaç və simin rəqsləri problemləri idi. Biz artıq sarkacın salınımları haqqında danışdıq - bu problemin həllinin praktiki nəticəsi Huygens tərəfindən saatın ixtirası oldu.

Simli titrəyişlər probleminə gəlincə, bu, riyaziyyat və mexanikanın inkişaf tarixinin ən mühüm problemlərindən biridir. Gəlin buna daha yaxından nəzər salaq.

Akustik sim Bu, iki sabit nöqtə arasında uzanan, möhkəm materialdan hazırlanmış, sonlu uzunluqda ideal, hamar, nazik və çevik bir ipdir. Müasir təfsirdə, uzunluqlu bir simin eninə vibrasiya problemi l qismən törəmələrdə diferensial tənliyin (1) həllini tapmaq üçün azaldır. Burada x uzunluğu boyunca sim nöqtəsinin koordinatıdır və y– onun eninə yerdəyişməsi; H- simli gərginlik, - qaçış çəkisi. a dalğanın yayılma sürətidir. Bənzər bir tənlik də borudakı hava sütununun uzununa vibrasiyalarını təsvir edir.

Bu halda, simli nöqtələrin düz xəttdən sapmalarının ilkin paylanması və onların sürətləri göstərilməlidir, yəni. (1) tənliyi ilkin şərtlərə (2) və sərhəd şərtlərinə (3) cavab verməlidir.

Simli titrəmələrin ilk fundamental eksperimental tədqiqatlarını holland riyaziyyatçısı və mexaniki İsaak Bekman (1614–1618) və M. Mersenne aparmış, bir sıra qanunauyğunluqları müəyyən etmiş və öz nəticələrini 1636-cı ildə “Konsonanslar Kitabı”nda dərc etmişdir:

Mersen qanunları nəzəri cəhətdən 1715-ci ildə Nyutonun tələbəsi Bruk Taylor tərəfindən təsdiq edilmişdir. O, simi maddi nöqtələr sistemi hesab edir və aşağıdakı fərziyyələri qəbul edir: simin bütün nöqtələri eyni vaxtda öz tarazlıq mövqelərindən keçir (oxla üst-üstə düşür) x) və hər bir nöqtəyə təsir edən qüvvə onun yerdəyişməsinə mütənasibdir y oxa nisbətən x. Bu o deməkdir ki, o, problemi bir sərbəstlik dərəcəsi olan sistemə - tənliyə (4) endirir. Teylor ilk təbii tezliyi (fundamental ton) düzgün əldə etmişdir - (5).

D'Alember 1747-ci ildə bu problem üçün dinamika probleminin azaldılması metodunu statika məsələsinə tətbiq etdi (d'Alember prinsipi) və qismən törəmələrdə bircins səpin rəqslərinin diferensial tənliyini (1) - birinci tənliyi əldə etdi. riyazi fizika. O, bu tənliyin həllini iki ixtiyari funksiyanın cəmi şəklində axtardı (6)

Harada Və – 2-ci dövrün dövri funksiyaları l. Funksiyaların növü ilə bağlı suala aydınlıq gətirərkən Və d'Alember, nə vaxt olduğunu fərz edərək, sərhəd şərtlərini (1.2) nəzərə alır
sim oxla üst-üstə düşür x. Mənası budur
problem bəyanatında göstərilməyib.

Eyler xüsusi halı nəzərə alır
sim tarazlıq mövqeyindən yayınır və ilkin sürət olmadan buraxılır. Əhəmiyyətli olan odur ki, Eyler simin ilkin formasına heç bir məhdudiyyət qoymur, yəni. onun “əllə çəkilə bilən” hər hansı əyrini nəzərə alaraq analitik olaraq dəqiqləşdirilməsini tələb etmir. Müəllifin əldə etdiyi yekun nəticə: əgər
simin forması tənliklə təsvir edilir
, onda salınımlar belə görünür (7). Eyler funksiya anlayışı ilə bağlı fikirlərini əvvəlki fikrindən fərqli olaraq yalnız analitik ifadə kimi yenidən nəzərdən keçirdi. Beləliklə, analizdə öyrəniləcək funksiyalar sinfi genişləndi və Eyler belə nəticəyə gəldi ki, “hər hansı bir funksiya müəyyən bir xətti təyin edəcəyi üçün bunun əksi də doğrudur - əyri xətlər funksiyalara endirilə bilər”.

D'Alembert və Euler tərəfindən alınan həllər bir-birinə doğru uzanan iki dalğa şəklində simli rəqslər qanununu təmsil edir.Lakin onlar əyilmə xəttini təyin edən funksiyanın forması məsələsində razılaşa bilmədilər.

D.Bernulli simlərin titrəyişlərini öyrənməkdə fərqli yol tutmuş, simi maddi nöqtələrə parçalayaraq sayını sonsuz hesab etmişdir. O, sistemin sadə harmonik salınımı anlayışını təqdim edir, yəni. belə bir hərəkət ki, sistemin bütün nöqtələri eyni tezlikdə, lakin müxtəlif amplitudalarla sinxron titrəyir. Səsləndirici cisimlərlə aparılan təcrübələr D.Bernullini belə bir fikrə gətirdi ki, simin ən ümumi hərəkəti onun üçün mövcud olan bütün hərəkətlərin eyni vaxtda yerinə yetirilməsindən ibarətdir. Bu, həllərin superpozisiyası adlanır. Beləliklə, o, 1753-cü ildə fiziki mülahizələrə əsaslanaraq, sim titrəmələri üçün ümumi həll yolu əldə etdi, onu qismən həllərin cəmi kimi təqdim etdi, hər biri üçün sim xarakterik əyri şəklində əyilir (8).

Bu seriyada birinci rəqs rejimi yarım sinus dalğa, ikincisi tam sinus dalğa, üçüncüsü üç yarım sinus dalğasından ibarətdir və s. Onların amplitudaları zamanın funksiyaları kimi təqdim olunur və mahiyyət etibarilə baxılan sistemin ümumiləşdirilmiş koordinatlarıdır. D.Bernullinin həllinə görə simin hərəkəti dövrlərlə sonsuz harmonik rəqslər silsiləsi olur.
. Bu halda qovşaqların (sabit nöqtələrin) sayı təbii tezliklərin sayından bir azdır. (8) seriyasını sonlu sayda şərtlərlə məhdudlaşdıraraq, kontinuum sistemi üçün sonlu sayda tənliklər əldə edirik.

Bununla belə, D.Bernullinin həllində qeyri-dəqiqlik var - o, hər bir rəqs harmonikasının faza sürüşməsinin fərqli olduğunu nəzərə almır.

D. Bernoulli həlli triqonometrik sıra şəklində təqdim edərək, həllin tam funksiyalar sisteminə superpozisiya və genişləndirilməsi prinsipindən istifadə etdi. O, haqlı olaraq hesab edirdi ki, düsturun (8) müxtəlif terminlərinin köməyi ilə simin əsas tonu ilə eyni vaxtda yaydığı harmonik tonları izah etmək olar. O, bunu kiçik rəqsləri yerinə yetirən istənilən cisimlər sistemi üçün keçərli olan ümumi qanun hesab edirdi. Lakin fiziki motivasiya o zaman təqdim olunmayan riyazi sübutu əvəz edə bilməz. Buna görə də, həmkarları D.Bernullinin həllini başa düşmədilər, baxmayaraq ki, hələ 1737-ci ildə K. A. Clairaut funksiyaların genişlənməsi seriyasından istifadə etdi.

Simli vibrasiya problemini həll etmək üçün iki fərqli yolun mövcudluğu 18-ci əsrin aparıcı alimləri arasında səs-küyə səbəb oldu. qızğın mübahisə - "simli mübahisə". Bu mübahisə, əsasən, problemin məqbul həllərinin hansı formada olması, funksiyanın analitik təsviri və ixtiyari funksiyanı triqonometrik sıra şəklində təqdim etməyin mümkün olub-olmaması ilə bağlı suallara aid idi. “Simli mübahisədə” təhlilin ən vacib anlayışlarından biri – funksiya konsepsiyası işlənib hazırlanmışdır.

D'Alembert və Euler D. Bernoulli tərəfindən təklif olunan həllin ümumi ola biləcəyi ilə razılaşmırdılar.Xüsusən də Eyler bu seriyanın hər hansı "sərbəst çəkilmiş əyrini" təmsil edə biləcəyi ilə razılaşa bilməzdi, çünki indi özü funksiya anlayışını müəyyən etmişdir.

Mübahisəyə girən Cozef Lui Laqranc simi mərkəzdə cəmlənmiş kütlə ilə bərabər uzunluqda kiçik qövslərə ayırdı və sonlu sayda sərbəstlik dərəcəsi olan adi diferensial tənliklər sisteminin həllini araşdırdı. Daha sonra həddinə keçən Laqranj D.Bernullinin nəticəsinə oxşar nəticə əldə etdi, lakin əvvəlcədən ümumi həllin qismən həllərin sonsuz cəmi olması lazım olduğunu irəli sürmədən. Eyni zamanda o, D.Bernullinin həllini təkmilləşdirir, onu (9) şəklində təqdim edir, həmçinin bu seriyanın əmsallarını təyin etmək üçün düsturlar alır. Analitik mexanikanın banisinin həlli riyazi sərtliyin bütün tələblərinə cavab verməsə də, irəliyə doğru mühüm addım idi.

Həllin triqonometrik sıraya genişlənməsinə gəlincə, Laqranj ixtiyari ilkin şərtlərdə sıraların ayrıldığına inanırdı. 40 il sonra, 1807-ci ildə J.Fourier üçüncü dəfə funksiyanın triqonometrik sıraya genişlənməsini yenidən tapdı və bunun problemi həll etmək üçün necə istifadə oluna biləcəyini göstərdi və bununla da D.Bernullinin həllinin düzgünlüyünü təsdiq etdi. Birqiymətli dövri funksiyanın triqonometrik sıraya genişləndirilməsi haqqında Furye teoreminin tam analitik sübutu Todqonterin inteqral hesabında və Tomsonda (Lord Kelvin) və Taitin Təbiət Fəlsəfəsi haqqında traktatında verilmişdir.

Bekmanın işinə əsaslanaraq, uzanan bir simin sərbəst vibrasiyasının tədqiqi iki əsr davam etdi. Bu problem riyaziyyatın inkişafı üçün güclü stimul rolunu oynadı. Kontinuum sistemlərinin salınımlarını nəzərə alaraq, Eyler, d'Alember və D. Bernoulli yeni bir fənni - riyazi fizikanı yaratdılar.Fizikanın riyaziləşdirilməsi, yəni yeni təhlil yolu ilə təqdim edilməsi Eylerin ən böyük məziyyətidir ki, bunun sayəsində elmdə yeni yollar açılmışdır. Nəticələrin məntiqi inkişafı Eyler və Furye iki çoxluğun bir-bir uyğunluğu ideyasına əsaslanaraq, Lobaçevski və Lejen Dirixlet tərəfindən funksiyanın məşhur tərifi ilə çıxış etdilər. hissə-hissə davamlı və monoton funksiyaların Furye sırasına genişləndirilməsi.Birölçülü dalğa tənliyi də əldə edildi və onun iki həllinin bərabərliyi quruldu ki, bu da vibrasiya və dalğalar arasındakı əlaqəni riyazi olaraq təsdiqləyir.Titrəməli simin səs əmələ gətirməsi alimləri sövq etdi. səsin yayılma prosesinin və simin titrəməsi prosesinin eyniliyi haqqında düşünmək.Belə məsələlərdə sərhəd və ilkin şərtlərin ən mühüm rolu da müəyyən edilmişdir.Mexanikanın inkişafı üçün mühüm nəticə d'Alemberin istifadəsi olmuşdur. hərəkətin diferensial tənliklərinin yazılması prinsipi və rəqslər nəzəriyyəsi üçün bu məsələ də çox mühüm rol oynamışdır, yəni titrəmələrin təbii rejimləri baxımından superpozisiya və həllin genişləndirilməsi prinsipi tətbiq edilmiş, nəzəriyyənin əsas anlayışları titrəmələrin təbii tezliyi və vibrasiya rejimi formalaşdırıldı.

Telin sərbəst vibrasiyaları üçün alınan nəticələr kontinuum sistemlərinin vibrasiya nəzəriyyəsinin yaradılması üçün əsas olmuşdur. Bircins olmayan simlərin, membranların və çubuqların titrəyişlərinin sonrakı tədqiqi ikinci və dördüncü dərəcəli ən sadə hiperbolik tənliklərin həlli üçün xüsusi üsulların kəşfini tələb etdi.

Uzatılmış simin sərbəst vibrasiya problemi, əlbəttə ki, elm adamlarını onun praktik tətbiqinə görə maraqlandırmırdı; bu titrəmələrin qanunları bu və ya digər dərəcədə musiqi alətləri hazırlayan ustalara məlum idi. Bunu Amati, Stradivari, Quarneri və s. kimi ustaların misilsiz simli alətləri sübut edir, onların şah əsərləri hələ 17-ci əsrdə yaradılmışdır. Bu problem üzərində işləyən ən böyük alimlərin maraqları, çox güman ki, simli vibrasiyanın artıq mövcud qanunları üçün riyazi əsas vermək istəyində idi. Bu məsələdə naməlum hadisələri tapıb tədqiq etmək üçün artıq məlum olan faktları izah edən nəzəriyyənin yaradılmasından başlayaraq istənilən elmin ənənəvi yolu üzə çıxarılırdı.

IIdövr - analitik(18-ci əsrin sonu - 19-cu əsrin sonu). Mexanikanın inkişafında ən mühüm addımı yeni elm - analitik mexanikanı yaradan Laqranj əldə etdi. Salınımlar nəzəriyyəsinin inkişafının ikinci dövrünün başlanğıcı Laqranjın işi ilə bağlıdır. 1788-ci ildə Parisdə nəşr olunan "Analitik mexanika" kitabında Laqranj 18-ci əsrdə mexanikada görülən hər şeyi yekunlaşdırdı və onun problemlərinin həllinə yeni bir yanaşma formalaşdırdı. O, tarazlıq doktrinasında statikanın həndəsi üsullarından imtina edərək, mümkün yerdəyişmələr prinsipini (Laqranj prinsipi) təklif etdi. Dinamikada Laqranj d'Alember prinsipini və mümkün yerdəyişmələr prinsipini eyni vaxtda tətbiq edərək, dinamikanın ümumi variasiya tənliyini əldə etdi ki, bu da d'Alembert-Laqranj prinsipi adlanır. Nəhayət, o, ümumiləşdirilmiş koordinatlar anlayışını təqdim etdi və hərəkət tənliklərini ən əlverişli formada - ikinci növ Laqranj tənliklərini əldə etdi.

Bu tənliklər sabit əmsallı xətti diferensial tənliklərlə təsvir edilən kiçik rəqslər nəzəriyyəsinin yaradılması üçün əsas oldu. Xəttilik nadir hallarda mexaniki sistemə xasdır və əksər hallarda onun sadələşdirilməsinin nəticəsidir. Aşağı sürətlərdə baş verən tarazlıq vəziyyətinə yaxın kiçik rəqsləri nəzərə alaraq, ümumiləşdirilmiş koordinatlara və sürətlərə münasibətdə hərəkət tənliklərində ikinci və daha yüksək dərəcələrin şərtlərindən imtina etmək olar.

Konservativ sistemlər üçün ikinci növ Laqranj tənliklərinin tətbiqi

sistemi alacağıq s sabit əmsallı ikinci dərəcəli xətti diferensial tənliklər

, (11)

Harada I Və C– müvafiq olaraq, komponentləri ətalət və elastiklik əmsalları olacaq ətalət və sərtlik matrisləri.

Xüsusi həll (11) formada axtarılır

və tezliyi olan monoharmonik salınım rejimini təsvir edir k, bütün ümumiləşdirilmiş koordinatlar üçün eynidir. (12) ilə bağlı iki dəfə fərqləndirmək t və nəticəni tənliklərdə (11) əvəz edərək, matris şəklində amplitudaları tapmaq üçün xətti bircinsli tənliklər sistemini əldə edirik.

. (13)

Sistem salındıqda bütün amplitüdlər sıfıra bərabər ola bilmədiyi üçün determinant sıfıra bərabərdir.

. (14)

Tezlik tənliyi (14) dünyəvi tənlik adlanırdı, çünki o, ilk dəfə Laqranj və Laplas tərəfindən planet orbitlərinin elementlərinin dünyəvi pozulmaları nəzəriyyəsində nəzərdən keçirilmişdir. Bu bir tənlikdir s- dərəcə qohumu , onun köklərinin sayı sistemin sərbəstlik dərəcələrinin sayına bərabərdir. Bu köklər adətən artan qaydada düzülür və onlar öz tezliklərinin spektrini təşkil edirlər. Hər kökə formanın (12), çoxluğun xüsusi həllinə uyğun gəlir s amplitüdlər vibrasiyaların formasını təmsil edir və ümumi həll bu məhlulların cəmidir.

Laqranj D.Bernullinin ifadəsini verdi ki, diskret nöqtələr sisteminin ümumi rəqs hərəkəti onun bütün harmonik rəqslərinin eyni vaxtda yerinə yetirilməsindən ibarətdir, riyazi teorem forması, sabit əmsallı diferensial tənliklərin inteqrasiyası nəzəriyyəsindən istifadə etməklə yaradılmışdır. 18-ci əsrin 40-cı illərində Eyler tərəfindən. və belə tənliklər sistemlərinin necə inteqral edildiyini göstərən d'Alemberin nailiyyətləri.Eyni zamanda, əsrlərdən bəri mövcud olan tənliyin köklərinin həqiqi, müsbət və bir-birinə bərabər olmadığını sübut etmək lazım idi.

Beləliklə, Analitik Mexanikada Laqranj tezlik tənliyini ümumi formada əldə etdi. Eyni zamanda, o, d'Alemberin 1761-ci ildə etdiyi səhvi təkrarlayır ki, dünyəvi tənliyin çoxsaylı kökləri qeyri-sabit həllə uyğundur, çünki guya bu halda dünyəvi və ya dünyəvi terminlər ehtiva edir. t sinus və ya kosinus işarəsi altında deyil. Bu baxımdan, həm d'Alembert, həm də Laqranj tezlik tənliyinin çox köklü ola bilməyəcəyinə inanırdılar (d'Alembert-Lagrange paradoksu). Laqranca mühafizəkar mexaniki sistemlərdə çoxlu tezliklərin mümkün olduğuna əmin olmaq üçün ən azı sferik sarkac və ya kəsiyi, məsələn, dəyirmi və ya kvadrat olan çubuqun salınımlarını nəzərdən keçirmək kifayət idi. Analitik Mexanikanın birinci nəşrində edilən səhv Laqranjın sağlığında nəşr olunan ikinci nəşrdə (1812), üçüncü nəşrdə (1853) təkrarlandı. D'Alembert və Lagrange-in elmi nüfuzu o qədər yüksək idi ki, bu səhv həm Laplas, həm də Puasson tərəfindən təkrarlandı və yalnız təxminən 100 il sonra bir-birindən asılı olmayaraq 1858-ci ildə K. Weierstrass və 1859-cu ildə Osip İvanoviç Somov tərəfindən düzəldildi. diskret sistemlərin rəqsləri nəzəriyyəsinin inkişafına böyük töhfə verən.

Beləliklə, müqavimətsiz xətti sistemin sərbəst rəqslərinin tezliklərini və formalarını təyin etmək üçün dünyəvi tənliyi həll etmək lazımdır (13). Bununla belə, beşincidən yüksək dərəcə tənliklərinin analitik həlli yoxdur.

Problem təkcə dünyəvi tənliyi həll etmək deyil, həm də daha böyük dərəcədə onu tərtib etmək idi, çünki genişləndirilmiş determinant (13)
terminlər, məsələn, 20 sərbəstlik dərəcəsi olan bir sistem üçün terminlərin sayı 2,4 10 18, saniyədə 1 milyon əməliyyat yerinə yetirən 1970-ci illərin ən güclü kompüteri üçün belə bir determinantın aşkarlanması vaxtı təxminən 1,5-dir. milyon ildir və müasir kompüter üçün onun "cəmi" bir neçə yüz yaşı var.

Sərbəst vibrasiyaların tezliklərinin və formalarının təyini məsələsini də xətti cəbr məsələsi kimi nəzərdən keçirmək və ədədi yolla həll etmək olar. Bərabərliyin (13) formada yenidən yazılması

, (14)

Qeyd edək ki, sütun matrisi matrisin xüsusi vektorudur

, (15)

A öz mənası.

Şəxsi dəyərlər və vektorlar probleminin həlli ədədi analizdə ən cəlbedici problemlərdən biridir. Eyni zamanda praktikada rast gəlinən bütün problemləri həll etmək üçün vahid alqoritm təklif etmək mümkün deyil. Alqoritmin seçimi matrisin növündən, eləcə də bütün öz dəyərləri və ya yalnız ən kiçik (ən böyük) və ya verilmiş ədədə yaxın olanı müəyyən etmək lazım olub-olmamasından asılıdır. 1846-cı ildə Carl Gustav Jacob Jacobi tam öz dəyər problemini həll etmək üçün iterativ fırlanma metodunu təklif etdi. Metod limitdə matrisi (15) diaqonal birinə çevirən sonsuz elementar fırlanma ardıcıllığına əsaslanır. Alınan matrisin diaqonal elementləri arzu olunan öz qiymətləri olacaqdır. Bu halda, öz dəyərlərini müəyyən etmək tələb olunur
arifmetik əməliyyatlar və ayrıca vektorlar üçün
əməliyyatlar. Bu baxımdan 19-cu əsrdə üsul. heç bir tətbiq tapılmadı və yüz ildən çox müddət ərzində unudulub.

Salınımlar nəzəriyyəsinin inkişafında növbəti mühüm addım Reylinin işi, xüsusən də onun fundamental əsəri olan “Səs nəzəriyyəsi” idi. Bu kitabda Rayleigh mexanika, akustika və elektrik sistemlərindəki salınım hadisələrini vahid nöqteyi-nəzərdən araşdırır. Rayleigh, rəqslərin xətti nəzəriyyəsinin bir sıra fundamental teoremlərinə (təbii tezliklərin stasionarlığı və xassələrinə dair teoremlər) malikdir. Rayleigh həmçinin qarşılıqlılıq prinsipini formalaşdırmışdır. Kinetik və potensial enerjiyə bənzətməklə, o, Rayleigh adlandırılan və enerjinin yayılmasının yarısını təmsil edən dissipativ funksiyanı təqdim etdi.

Rayleigh “Səs nəzəriyyəsi” əsərində konservativ sistemin ilk təbii tezliyini təyin etmək üçün təxmini metod təklif edir.

, (16)

Harada
. Bu vəziyyətdə, potensial və kinetik enerjilərin maksimum dəyərlərini hesablamaq üçün müəyyən bir vibrasiya forması alınır. Sistemin birinci salınım rejimi ilə üst-üstə düşərsə, biz birinci təbii tezliyin dəqiq qiymətini alacağıq, lakin əks halda bu dəyər həmişə həddindən artıq qiymətləndirilir. Sistemin statik deformasiyası ilk vibrasiya rejimi kimi qəbul edilərsə, metod təcrübə üçün olduqca məqbul bir dəqiqlik verir.

Beləliklə, hələ 19-cu əsrdə Somov və Reyleigh-in əsərlərində ikinci növ Laqranj tənliklərindən istifadə edərək diskret mexaniki sistemlərin kiçik salınımlı hərəkətlərini təsvir edən diferensial tənliklərin qurulması metodologiyası formalaşmışdır.

ümumiləşdirilmiş qüvvədə olduğu yerdə
funksiyaların əhatə etdiyi elastik və dissipativlər istisna olmaqla, bütün qüvvə amilləri daxil edilməlidir R və P.

Bütün funksiyaları əvəz etdikdən sonra mexaniki sistemin məcburi rəqslərini təsvir edən matris şəklində Laqranj tənlikləri (17) belə görünür.

. (18)

Burada sönüm matrisidir və
– müvafiq olaraq ümumiləşdirilmiş koordinatların, sürətlərin və təcillərin sütun vektorları. Bu tənliyin ümumi həlli həmişə sönümlənən sərbəst və müşayiət olunan rəqslərdən və narahatedici qüvvənin tezliyində baş verən məcburi rəqslərdən ibarətdir. Gəlin özümüzü yalnız məcburi salınımlara uyğun gələn xüsusi həlli nəzərdən keçirməklə məhdudlaşdıraq. Həyəcan kimi, Reyli harmonik qanuna görə dəyişən ümumiləşdirilmiş qüvvələri hesab edirdi. Çoxları bu seçimi nəzərdən keçirilən işin sadəliyi ilə əlaqələndirdi, lakin Rayleigh daha inandırıcı izahat verir - Furye seriyasının genişləndirilməsi.

Beləliklə, sərbəstliyi iki dərəcədən çox olan mexaniki sistem üçün tənliklər sisteminin həlli müəyyən çətinliklər yaradır ki, bu da sistemin sırası artdıqca eksponent olaraq artır. Beş-altı dərəcə sərbəstlik olsa belə, məcburi salınımlar problemi klassik üsulla əl ilə həll edilə bilməz.

Mexanik sistemlərin titrəyişləri nəzəriyyəsində diskret sistemlərin kiçik (xətti) vibrasiyaları xüsusi rol oynamışdır. Xətti sistemlər üçün hazırlanmış spektral nəzəriyyə hətta diferensial tənliklərin qurulmasını tələb etmir və həllini əldə etmək üçün dərhal xətti cəbri tənliklər sistemlərini yazmaq olar. 19-cu əsrin ortalarında xüsusi vektorların və xüsusi qiymətlərin (Jacobi) müəyyən edilməsi, eləcə də xətti cəbri tənliklərin (Gauss) sistemlərinin həlli üçün üsullar işlənib hazırlansa da, onların hətta az sayda sərbəstlik dərəcəsi olan sistemlər üçün praktik tətbiqi söz ola bilməz. Buna görə də kifayət qədər güclü kompüterlərin meydana çıxmasından əvvəl xətti mexaniki sistemlərin sərbəst və məcburi rəqsləri problemini həll etmək üçün bir çox müxtəlif üsullar hazırlanmışdır. Bir çox görkəmli alimlər - riyaziyyatçılar və mexaniklər - bu problemlərlə məşğul olmuşlar, onlar aşağıda müzakirə olunacaq. Güclü hesablama texnologiyasının yaranması nəinki böyük miqyaslı xətti məsələləri bir neçə saniyə ərzində həll etməyə, həm də tənliklər sistemlərinin tərtibi prosesini avtomatlaşdırmağa imkan verdi.

Beləliklə, 18-ci əsrdə. sonlu sayda sərbəstlik dərəcəsi olan sistemlərin kiçik rəqsləri və kontinuum elastik sistemlərin rəqsləri nəzəriyyəsində əsas fiziki sxemlər işlənib hazırlanmış və məsələlərin riyazi təhlili üçün vacib olan prinsiplər izah edilmişdir. Bununla belə, müstəqil bir elm kimi mexaniki vibrasiya nəzəriyyəsini yaratmaq üçün dinamika problemlərinin həllinə vahid yanaşma mövcud deyildi və texnologiyadan onun daha sürətli inkişafı üçün heç bir müraciət olmadı.

18-ci əsrin sonu - 19-cu əsrin əvvəllərində buxar maşınının geniş tətbiqi ilə əlaqədar iri sənayenin inkişafı tətbiqi mexanikanın ayrıca bir fənnə ayrılmasına səbəb oldu. Lakin 19-cu əsrin sonlarına qədər maşınlar hələ də aşağı gücə malik və yavaş hərəkət etdiyi üçün güc hesablamaları statik bir formada aparılırdı.

19-cu əsrin sonunda maşınların artan sürəti və ölçülərinin azalması ilə dalğalanmaları laqeyd etmək qeyri-mümkün oldu. Titrəmələr zamanı rezonansın başlaması və ya yorğunluq çatışmazlığı səbəbindən baş verən çoxsaylı qəzalar mühəndisləri salınım proseslərinə diqqət yetirməyə məcbur etdi. Bu dövrdə yaranan problemlər arasında aşağıdakıları qeyd etmək lazımdır: keçən qatarlardan körpülərin dağılması, valların burulma vibrasiyası və balanssız maşınların hərəkət edən hissələrinin inertial qüvvələri tərəfindən həyəcanlanan gəmi gövdələrinin titrəməsi.

IIIdövr– rəqslərin tətbiqi nəzəriyyəsinin formalaşması və inkişafı (1900–1960-cı illər). Maşınqayırmanın inkişafı, lokomotivlərin və gəmilərin təkmilləşdirilməsi, buxar və qaz turbinlərinin, yüksək sürətli daxiliyanma mühərriklərinin, avtomobillərin, təyyarələrin və s. maşın hissələrində gərginliklərin daha dəqiq təhlilini tələb edirdi. Bu, metalın daha qənaətcil istifadəsi tələbləri ilə diktə edildi. İşıqlandırma konstruksiyaları maşın gücü məsələlərində getdikcə həlledici olan vibrasiya problemlərinə səbəb oldu. 20-ci əsrin əvvəllərində çoxsaylı qəzalar vibrasiyalara etinasız yanaşmanın və ya onları bilməməyin hansı fəlakətli nəticələrinin ola biləcəyini inandırıcı şəkildə göstərir.

Yeni texnologiyanın yaranması, bir qayda olaraq, salınımlar nəzəriyyəsi qarşısında yeni problemlər yaradır. Beləliklə, 30-40-cı illərdə. Yeni problemlər yarandı, məsələn, aviasiyada stall flutter və shimmy, fırlanan valların əyilmə və əyilmə-burulma vibrasiyaları və s., vibrasiyaların hesablanması üçün yeni üsulların işlənib hazırlanmasını tələb etdi. 20-ci illərin sonunda əvvəlcə fizikada, sonra isə mexanikada qeyri-xətti rəqslərin öyrənilməsinə başlanıldı. Avtomatik idarəetmə sistemlərinin inkişafı və digər texniki ehtiyaclarla əlaqədar olaraq, 30-cu illərdən başlayaraq hərəkət sabitliyi nəzəriyyəsi geniş şəkildə işlənib hazırlanmış və tətbiq edilmişdir ki, bunun əsasını A. M. Lyapunovun “Hərəkət sabitliyinin ümumi problemi” adlı doktorluq dissertasiyası təşkil etmişdir.

Bir tərəfdən rəqslər nəzəriyyəsində, hətta xətti tənzimləmədə belə problemlərin analitik həllinin olmaması, digər tərəfdən isə kompüter texnologiyası onların həlli üçün çoxlu sayda müxtəlif ədədi üsulların inkişafına səbəb oldu.

Müxtəlif növ avadanlıqlar üçün vibrasiya hesablamalarının aparılması ehtiyacı 1930-cu illərdə vibrasiya nəzəriyyəsi üzrə ilk təlim kurslarının meydana çıxmasına səbəb oldu.

keçid IVdövr(1960-cı illərin əvvəlləri - indiki) elmi-texniki inqilab dövrü ilə bağlıdır və yeni texnologiyanın, ilk növbədə aviasiya və kosmos və robot sistemlərinin yaranması ilə xarakterizə olunur. Bundan əlavə, energetikanın, nəqliyyatın və s. inkişafı dinamik möhkəmlik və etibarlılıq problemlərini ön plana çıxardı. Bu, maşınların xidmət müddətini artırmaq istəyi ilə işləmə sürətinin artması və material istehlakının azalması ilə izah olunur. Salınımlar nəzəriyyəsində getdikcə daha çox problem qeyri-xətti formulada həll olunur. Davamlı sistemlərin vibrasiyaları sahəsində, aviasiya və kosmik texnologiyanın tələblərinin təsiri altında, plitələr və qabıqların dinamikasında problemlər yaranır.

Bu dövrdə salınımlar nəzəriyyəsinin inkişafına ən böyük təsiri elektron hesablama texnikasının yaranması və sürətli inkişafı göstərdi ki, bu da rəqslərin hesablanması üçün ədədi üsulların inkişafına səbəb oldu.

Salınım hərəkəti Hər hansı bir hərəkət və ya vəziyyət dəyişikliyi, bu hərəkəti və ya vəziyyəti müəyyən edən fiziki kəmiyyətlərin dəyərlərinin zamanında bu və ya digər təkrarlanma dərəcəsi ilə xarakterizə olunur. Salınımlar bütün təbiət hadisələri üçün xarakterikdir: ulduzların şüalanması pulsasiya edir; günəş sisteminin planetləri yüksək dövriliklə fırlanır; küləklər suyun səthində vibrasiya və dalğaları həyəcanlandırır; Hər hansı bir canlı orqanizmin daxilində davamlı olaraq müxtəlif, ritmik olaraq təkrarlanan proseslər baş verir, məsələn, insan ürəyi heyrətamiz etibarlılıqla döyünür.

Fizikada salınımlar önə çıxır mexaniki Və elektromaqnit. Səs kimi qəbul etdiyimiz hava sıxlığı və təzyiqindəki mexaniki tərəddüdləri, eləcə də işıq kimi qəbul etdiyimiz elektrik və maqnit sahələrində çox sürətli dalğalanmaları yaymaqla biz ətrafımızdakı dünya haqqında çoxlu miqdarda birbaşa məlumat alırıq. Mexanikada salınan hərəkətə misal olaraq sarkaçların, simlərin, körpülərin və s. salınımları göstərmək olar.

Salınımlar deyilir dövri, rəqslər zamanı dəyişən fiziki kəmiyyətlərin dəyərləri müntəzəm olaraq təkrarlanırsa. Dövri rəqslərin ən sadə növü harmonik rəqslərdir. Harmonik rəqslər sinus (və ya kosinus) qanununa uyğun olaraq zamanla dəyişən kəmiyyətin dəyişdiyi rəqslərdir:

burada x tarazlıq mövqeyindən yerdəyişmədir;

A – rəqsin amplitudası – tarazlıq vəziyyətindən maksimum yerdəyişmə;

- siklik tezlik;

- rəqsin ilkin mərhələsi;

- salınım mərhələsi; zamanın istənilən nöqtəsində yerdəyişməni təyin edir, yəni. salınım sisteminin vəziyyətini müəyyən edir.

A böyüklüyündə ciddi harmonik salınımlar olduqda, Və zamandan asılı olmayın.

Dövr tezliyi rəqslərin və tezliyin T dövrü ilə əlaqələndirilir nisbət:

(2)

Dövr T salınımlar, rəqsləri xarakterizə edən bütün fiziki kəmiyyətlərin qiymətlərinin təkrarlandığı ən qısa müddətdir.

Tezlik salınımlar hertzlə ölçülən zaman vahidi üçün yerinə yetirilən tam rəqslərin sayıdır (1 Hz = 1).
).

Dövr tezliyi ədədi olaraq 2-də tamamlanan salınımların sayına bərabərdir saniyə

Dəyişən xarici qüvvələrin təsirinə məruz qalmayan sistemdə bu sistemin sabit tarazlıq vəziyyətindən hər hansı ilkin kənara çıxması nəticəsində baş verən rəqslərə deyilir. pulsuz(və ya öz).

Əgər sistem mühafizəkardırsa, onda salınımlar zamanı enerji itkisi baş vermir. Bu vəziyyətdə sərbəst vibrasiyalar deyilir sönümsüz.

Sürət Nöqtənin salınımlarını zamanla yerdəyişmənin törəməsi kimi təyin edirik:

(3)

Sürətlənmə salınma nöqtəsi sürətin zamana görə törəməsinə bərabərdir:

(4)

Tənlik (4) göstərir ki, harmonik rəqslər zamanı sürətlənmə dəyişkəndir, buna görə də rəqs dəyişən qüvvənin təsiri ilə yaranır.

Nyutonun ikinci qanunu F qüvvəsi ilə sürətlənmə arasındakı əlaqəni ümumi şəkildə yazmağa imkan verir kütləsi olan maddi nöqtənin düzxətti harmonik rəqsləri üçün
:

Harada
, (6)

k – elastiklik əmsalı.

Beləliklə, harmonik titrəmələrə səbəb olan qüvvə yerdəyişmə ilə mütənasibdir və yerdəyişməyə qarşı yönəldilmişdir. Bu baxımdan harmonik rəqsin dinamik tərifini verə bilərik: harmonik x yerdəyişməsinə düz mütənasib olan və yerdəyişməyə qarşı yönəlmiş qüvvənin yaratdığı rəqsdir.

Bərpaedici qüvvə, məsələn, elastik qüvvə ola bilər. Elastik qüvvələrdən fərqli təbiətə malik olan, lakin (5) şərtini də ödəyən qüvvələr adlanır kvazi elastik.

x oxu boyunca düzxətli salınımlar olduqda, sürətlənmə bərabərdir:

.

Bu ifadəni sürətləndirmə ilə əvəz etmək və gücün mənası
Nyutonun ikinci qanununa daxil oluruq düzxətli harmonik rəqslərin əsas tənliyi:

və ya
(7)

Bu tənliyin həlli (1) tənliyidir.

Tələbələr üçün rəqslərin nəzəriyyəsi kurs proqramı 4 FACI kursu

İntizam klassik ümumi cəbr, adi diferensial tənliklər nəzəriyyəsi, nəzəri mexanika və mürəkkəb dəyişənlərin funksiyaları nəzəriyyəsi kimi fənlərin nəticələrinə əsaslanır. İntizamın öyrənilməsinin bir xüsusiyyəti riyazi analiz aparatlarından və digər əlaqəli riyazi fənlərdən tez-tez istifadə etmək, nəzəri mexanika, fizika, elektrotexnika və akustika fənnindən praktiki əhəmiyyətli nümunələrdən istifadə etməkdir.

1. Bir sərbəstlik dərəcəsi olan mühafizəkar sistemdə hərəkətin keyfiyyət təhlili

• Faza müstəvisi üsulu
• Salınma dövrünün amplitudadan asılılığı. Yumşaq və sərt sistemlər

2. Duffing tənliyi

• Elliptik funksiyalarda Duffinq tənliyinin ümumi həlli üçün ifadə

3. Kvazilinear sistemlər

• Van der Pol Dəyişənləri
• Ortalama üsulu

4. İstirahət salınımları

• Van der Pol tənliyi
• Diferensial tənliklərin sinqulyar pozulmuş sistemləri

5. Bir sərbəstlik dərəcəsi olan ümumi formalı qeyri-xətti avtonom sistemlərin dinamikası

• Dinamik sistemin "kobudluğu" anlayışı
• Dinamik sistemlərin bifurkasiyası

6. Floquet nəzəriyyəsinin elementləri

• Dövri əmsallı diferensial tənliklərin xətti sistemlərinin normal həlləri və çarpanları
• Parametrik rezonans

7. Hill tənliyi

• Floquet nəzəriyyəsinin dövri əmsallı xətti Hamilton sistemlərinə tətbiqinin bir nümunəsi kimi Hill tipli tənliyin həllərinin davranışının təhlili
• Matye tənliyi Hill tipli tənliyin xüsusi halı kimi. İnes-Strett diaqramı

8. Qeyri-xətti bərpa qüvvəsi olan sistemdə məcburi rəqslər

• Salınımların amplitudası ilə sistemə tətbiq edilən hərəkətverici qüvvənin böyüklüyü arasında əlaqə
• Hərəkətçi qüvvənin tezliyini dəyişdirərkən sürücülük rejiminin dəyişdirilməsi. "Dinamik" histerezis anlayışı

9. Adiabatik invariantlar

• Fəaliyyət Bucağı Dəyişənləri
• Hərəkətin təbiətində keyfiyyət dəyişikliyi ilə adiabatik invariantların saxlanması

10. Çoxölçülü dinamik sistemlərin dinamikası

• Dinamik sistemlərdə erqodiklik və qarışdırma anlayışı
• Puancaré xəritəsi

11. Lorentz tənlikləri. Qəribə cəlbedici

• Lorentz tənlikləri termokonveksiya modeli kimi
• Lorentz tənliklərinin həllərinin bifurkasiyası. Xaosa keçid
• Qəribə bir cəlbedicinin fraktal quruluşu

12. Birölçülü ekranlar. Feigenbaumun çox yönlü olması

• Kvadrat xəritələşdirmə - ən sadə qeyri-xətti xəritəçəkmə
• Xəritəçəkmələrin dövri orbitləri. Dövri orbitlərin bifurkasiyası

Ədəbiyyat (əsas)

1. Moiseev N.N. Qeyri-xətti mexanikanın asimptotik üsulları. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinoviç M.İ., Trubetskov D.İ. Salınmalar və dalğalar nəzəriyyəsinə giriş. Ed. 2-ci. Tədqiqat Mərkəzi “Davamlı və Xaotik Dinamiklər”, 2000.

3. Boqolyubov N.N., Mitropolski Yu.A. Qeyri-xətti rəqslər nəzəriyyəsində asimptotik üsullar. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Qeyri-xətti salınımlar nəzəriyyəsinə giriş. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mixaylov A.S. Sinergetikaya giriş. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kiriçenko N.A. Salınımlar, dalğalar, strukturlar.. - M.: Fizmətlit, 2003.

Ədəbiyyat (əlavə)

7. Juravlev V.F., Klimov D.M. Vibrasiya nəzəriyyəsində tətbiqi üsullar. "Elm" nəşriyyatı, 1988.

8. Stocker J. Mexanik və elektrik sistemlərində qeyri-xətti rəqslər. – M.: Xarici ədəbiyyat, 1952.

9. Starzhinsky V.M., Qeyri-xətti salınımların tətbiqi üsulları. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Fiziki sistemlərdə qeyri-xətti rəqslər. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Xaikin S.E. Salınma nəzəriyyəsi. – M.: Fizmətqız, 1959.

Kitab oxucunu radiotexnika, optik və digər sistemlərdə baş verən salınım proseslərinin ümumi xassələri, eləcə də onların öyrənilməsinin müxtəlif keyfiyyət və kəmiyyət üsulları ilə tanış edir. Parametrik, öz-özünə salınan və digər qeyri-xətti salınım sistemlərinin nəzərə alınmasına böyük diqqət yetirilir.
Kitabda təsvir edilən salınım sistemlərinin və onlarda proseslərin tədqiqi, ətraflı təqdimat və metodların özünü əsaslandırmadan rəqslər nəzəriyyəsinin tanınmış metodlarından istifadə etməklə təqdim olunur. Əsas diqqət ən adekvat analiz metodlarından istifadə etməklə real sistemlərin tədqiq olunan salınım modellərinin fundamental xüsusiyyətlərinin aydınlaşdırılmasına yönəldilir.

Qeyri-xətti endüktansı olan dövrədə sərbəst rəqslər.
İndi elektrik qeyri-xətti konservativ sistemin başqa bir nümunəsini, yəni içindən keçən cərəyandan asılı olaraq endüktansı olan bir dövrəni nəzərdən keçirək. Bu halın aydın və sadə qeyri-relativistik mexaniki analoqu yoxdur, çünki özünüinduksiyanın cərəyandan asılılığı mexanika üçün kütlənin sürətdən asılılığı vəziyyətinə bərabərdir.

Ferromaqnit materialdan hazırlanmış nüvələr endüktanslarda istifadə edildikdə, bu tip elektrik sistemləri ilə qarşılaşırıq. Belə hallarda hər bir verilmiş nüvə üçün maqnitləşmə sahəsi ilə maqnit induksiya axını arasında əlaqəni əldə etmək olar. Bu asılılığı təsvir edən əyriyə maqnitləşmə əyrisi deyilir. Əgər histerezis fenomeninə laqeyd yanaşsaq, onda onun təxmini gedişi Şəkil 1-də göstərilən qrafiklə göstərilə bilər. 1.13. H sahəsinin böyüklüyü rulonda axan cərəyana mütənasib olduğundan, cərəyan birbaşa absis oxu boyunca müvafiq miqyasda çəkilə bilər.

Elektron kitabı rahat formatda pulsuz yükləyin, baxın və oxuyun:
"Vəziyyətlər nəzəriyyəsinin əsasları" kitabını yükləyin, Miqulin V.V., Medvedev V.İ., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, sürətli və pulsuz yükləyin.

• Nəzəri fizikanın prinsipləri, Mexanika, sahə nəzəriyyəsi, kvant mexanikasının elementləri, Medvedev B.V., 2007
• Fizika kursu, Erşov A.P., Fedotoviç G.V., Xaritonov V.G., Pruuel E.R., Medvedev D.A.
• İstilik ötürülməsi və hidravlikanın əsasları ilə texniki termodinamika, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988