Törəmələr üzrə Vahid Dövlət İmtahanı təlim tapşırıqları. Törəmələrin imtahan tapşırıqlarında tətbiqi

Törəmənin həndəsi mənası X Y 0 tangensi α k – düz xəttin bucaq əmsalı (tangens) Törəmənin həndəsi mənası: y = f(x) funksiyasının qrafikinə absis ilə nöqtədə tangens çəkmək olarsa. , y oxuna paralel deyil, onda tangensin bucaq əmsalını ifadə edir, yəni e. Ona görə də düz xəttin bərabərliyi doğrudur

X y Əgər α 0. α > 90° olarsa, onda k 90°, onda k 90°, k 90°, k 90°, onda k başlıq="х y Əgər α 0 olarsa. α > olarsa. 90°, sonra k

X y Tapşırıq 1. Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki və absissa -1 nöqtəsində çəkilmiş bu qrafikin tangensi göstərilmişdir. f(x) funksiyasının x = nöqtəsindəki törəməsinin qiymətini tapın

Y x x0x Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki və x 0 absissası olan nöqtədə ona toxunan nöqtə göstərilir. f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsində törəməsinin qiymətini tapın. Cavab: -0,25

Şəkildə (-6;6) intervalında müəyyən edilmiş f(x) funksiyasının törəməsinin qrafiki göstərilir. f(x) funksiyasının artım intervallarını tapın. Cavabınızda bu intervallara daxil olan tam xalların cəmini göstərin. B =...

Funksiyanın törəməsi məktəb kurikulumundakı çətin mövzulardan biridir. Törəmənin nə olduğu sualına hər məzun cavab verməyəcək.

Bu məqalə törəmənin nə olduğunu və nə üçün lazım olduğunu sadə və aydın şəkildə izah edir.. İndi təqdimatda riyazi sərtliyə can atmayacağıq. Ən əsası mənasını anlamaqdır.

Tərifi xatırlayaq:

Törəmə funksiyanın dəyişmə sürətidir.

Şəkil üç funksiyanın qrafiklərini göstərir. Sizcə hansı daha sürətli böyüyür?

Cavab aydındır - üçüncü. Ən yüksək dəyişmə sürətinə malikdir, yəni ən böyük törəmədir.

Budur, başqa bir nümunə.

Kostya, Qrişa və Matvey eyni vaxtda işə düzəldilər. Gəlin onların il ərzində gəlirlərinin necə dəyişdiyini görək:

Qrafik hər şeyi bir anda göstərir, elə deyilmi? Kostyanın gəliri altı ayda iki dəfədən çox artdı. Qrişanın gəliri də artdı, amma bir az. Və Matveyin gəliri sıfıra endi. Başlanğıc şərtləri eynidir, lakin funksiyanın dəyişmə sürəti, yəni törəmə, - fərqli. Matveyə gəlincə, onun gəlir törəməsi ümumiyyətlə mənfidir.

İntuitiv olaraq biz funksiyanın dəyişmə sürətini asanlıqla təxmin edirik. Bəs bunu necə edək?

Həqiqətən baxdığımız şey, funksiyanın qrafikinin nə qədər dik qalxmasıdır (və ya aşağı). Başqa sözlə, x dəyişdikcə y nə qədər tez dəyişir? Aydındır ki, fərqli nöqtələrdə eyni funksiya fərqli törəmə dəyərlərə malik ola bilər - yəni daha sürətli və ya daha yavaş dəyişə bilər.

Funksiyanın törəməsi işarə olunur.

Qrafikdən istifadə edərək onu necə tapacağınızı sizə göstərəcəyik.

Bəzi funksiyaların qrafiki çəkilmişdir. Üzərində absis olan bir nöqtəni götürək. Bu nöqtədə funksiyanın qrafikinə bir tangens çəkək. Funksiya qrafikinin nə qədər dik qalxdığını təxmin etmək istəyirik. Bunun üçün əlverişli dəyər tangens bucağının tangensi.

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi bu nöqtədə funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangens bucağın tangensinə bərabərdir.

Diqqət yetirin ki, tangensin meyl bucağı kimi biz tangens ilə oxun müsbət istiqaməti arasındakı bucağı alırıq.

Bəzən tələbələr funksiyanın qrafikinə tangensin nə olduğunu soruşurlar. Bu, bu bölmədəki qrafiklə vahid ortaq nöqtəsi olan və bizim şəkildə göstərildiyi kimi düz xəttdir. Bir dairəyə toxunan kimi görünür.

Gəlin tapaq. Xatırlayırıq ki, düzbucaqlı üçbucaqdakı kəskin bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətinə bərabərdir. Üçbucaqdan:

Biz funksiyanın düsturunu belə bilmədən qrafikdən istifadə edərək törəməni tapdıq. Bu cür problemlər tez-tez riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanında nömrə altında olur.

Başqa bir mühüm əlaqə var. Xatırladaq ki, düz xətt tənliklə verilir

Bu tənlikdəki kəmiyyət deyilir düz xəttin yamacı. Düz xəttin oxa meyl bucağının tangensinə bərabərdir.

.

Bunu anlayırıq

Bu düsturu xatırlayaq. Törəmənin həndəsi mənasını ifadə edir.

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi həmin nöqtədə funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangensin mailliyinə bərabərdir.

Başqa sözlə, törəmə toxunan bucağın tangensinə bərabərdir.

Artıq dedik ki, eyni funksiya müxtəlif nöqtələrdə müxtəlif törəmələrə malik ola bilər. Gəlin görək törəmə funksiyanın davranışı ilə necə əlaqəlidir.

Bəzi funksiyaların qrafikini çəkək. Qoy bu funksiya bəzi sahələrdə artsın, digərlərində azalsın və fərqli templərlə. Və bu funksiyanın maksimum və minimum nöqtələri olsun.

Bir nöqtədə funksiya artır. Nöqtədə çəkilmiş qrafikə toxunan iti bucaq əmələ gətirir; müsbət ox istiqaməti ilə. Bu o deməkdir ki, nöqtədəki törəmə müsbətdir.

Bu nöqtədə funksiyamız azalır. Bu nöqtədəki tangens küt bucaq əmələ gətirir; müsbət ox istiqaməti ilə. Küt bucağın tangensi mənfi olduğundan, nöqtədəki törəmə mənfi olur.

Nə baş verir:

Əgər funksiya artırsa, onun törəməsi müsbətdir.

Əgər azalırsa, onun törəməsi mənfi olur.

Maksimum və minimum nöqtələrdə nə baş verəcək? Biz (maksimum nöqtə) və (minimum nöqtə) nöqtələrində tangensin üfüqi olduğunu görürük. Ona görə də bu nöqtələrdəki tangensin tangensi sıfır, törəməsi də sıfırdır.

Nöqtə - maksimum nöqtə. Bu zaman funksiyanın artması azalma ilə əvəz olunur. Nəticə etibarilə, törəmənin işarəsi nöqtədə “artı”dan “mənfi”yə dəyişir.

Nöqtədə - minimum nöqtədə - törəmə də sıfırdır, lakin işarəsi "mənfi"dən "artı"ya dəyişir.

Nəticə: törəmədən istifadə edərək funksiyanın davranışı ilə bağlı bizi maraqlandıran hər şeyi tapa bilərik.

Törəmə müsbət olarsa, funksiya artır.

Törəmə mənfi olarsa, funksiya azalır.

Maksimum nöqtədə törəmə sıfırdır və işarəni “artı”dan “mənfi”yə dəyişir.

Minimum nöqtədə törəmə də sıfırdır və işarəni “mənfi”dən “artı”ya dəyişir.

Gəlin bu nəticələri cədvəl şəklində yazaq:

Gəlin iki kiçik dəqiqləşdirmə aparaq. Problemi həll edərkən onlardan birinə ehtiyacınız olacaq. Başqa bir - birinci ildə, funksiyaların və törəmələrin daha ciddi öyrənilməsi ilə.

Ola bilər ki, hansısa nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfıra bərabər olsun, lakin funksiyanın bu nöqtədə nə maksimumu, nə də minimumu var. Bu sözdə :

Bir nöqtədə qrafikə toxunan üfüqi, törəmə isə sıfırdır. Ancaq nöqtədən əvvəl funksiya artdı və nöqtədən sonra artmağa davam edir. Törəmə işarəsi dəyişmir - olduğu kimi müsbət olaraq qalır.

Bu da olur ki, maksimum və ya minimum nöqtəsində törəmə mövcud olmur. Qrafikdə bu, müəyyən bir nöqtədə bir tangens çəkmək mümkün olmadıqda kəskin qırılmaya uyğundur.

Funksiya qrafiklə deyil, düsturla verilirsə, törəməni necə tapmaq olar? Bu halda tətbiq edilir

Geri irəli

Diqqət! Slayd önizləmələri yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın bütün xüsusiyyətlərini əks etdirməyə bilər. Bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Dərsin növü: təkrar və ümumiləşdirmə.

Dərs formatı: dərs-məsləhətləşmə.

Dərsin məqsədləri:

• maarifləndirici: “Törəmənin həndəsi mənası” və “Törəmənin funksiyaların öyrənilməsində tətbiqi” mövzuları üzrə nəzəri bilikləri təkrarlayır və ümumiləşdirir; riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanında rast gəlinən bütün növ B8 problemlərini nəzərdən keçirin; tələbələrə problemləri müstəqil həll etməklə öz biliklərini yoxlamaq imkanı vermək; imtahan cavab formasını necə doldurmağı öyrətmək;
• inkişaf edir: elmi bilik, semantik yaddaş və könüllü diqqət metodu kimi ünsiyyətin inkişafına kömək etmək; müqayisə, qarşı-qarşıya qoyulma, obyektlərin təsnifatı, verilmiş alqoritmlər əsasında tədris tapşırığını həll etmək üçün adekvat yolların müəyyən edilməsi, qeyri-müəyyənlik vəziyyətlərində müstəqil hərəkət etmək, öz fəaliyyətini izləmək və qiymətləndirmək, səbəbləri tapmaq və aradan qaldırmaq kimi əsas bacarıqların formalaşdırılması. çətinliklərdən;
• maarifləndirici: tələbələrin kommunikativ bacarıqlarını inkişaf etdirmək (ünsiyyət mədəniyyəti, qruplarda işləmək bacarığı); özünütəhsil ehtiyacının inkişafına kömək etmək.

Texnologiyalar: inkişaf etdirici təhsil, İKT.

Tədris üsulları:şifahi, vizual, praktiki, problemli.

İş formaları: fərdi, frontal, qrup.

Tədris və metodik dəstək:

1. Cəbr və riyazi analizin başlanğıcları 11-ci sinif: dərslik. Ümumi təhsil üçün Qurumlar: əsas və profil. səviyyələr / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); A. B. Jizhchenko tərəfindən redaktə edilmişdir. – 4-cü nəşr. – M.: Təhsil, 2011.

2. Vahid Dövlət İmtahanı: Riyaziyyatdan cavabları olan 3000 problem. B / A.L qrupunun bütün tapşırıqları. Semenov, I.V. Yaşçenko və başqaları; redaktə edən A.L. Semyonova, I.V. Yaşçenko. – M.: “İmtahan” nəşriyyatı, 2011.

3. Tapşırıq bankını açın.

Dərs üçün avadanlıq və materiallar: proyektor, ekran, hər bir tələbə üçün təqdimat quraşdırılmış fərdi kompüter, bütün tələbələr üçün qeydin çapı (Əlavə 1) və xal vərəqi ( Əlavə 2) .

Dərs üçün ilkin hazırlıq: ev tapşırığı kimi tələbələrə dərslikdən “Törəmənin həndəsi mənası”, “Törəmənin funksiyaların öyrənilməsinə tətbiqi” mövzularında nəzəri materialı təkrar etmək tapşırılır; Sinif qruplara bölünür (hər biri 4 nəfər), hər birində müxtəlif səviyyəli tələbələr var.

Dərsin izahı: Bu dərs 11-ci sinifdə təkrar və Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq mərhələsində tədris olunur. Dərs nəzəri materialın təkrarlanmasına və ümumiləşdirilməsinə, onu imtahan problemlərinin həllinə tətbiq etməyə yönəldilmişdir. Dərsin müddəti - 1,5 saat .

Bu dərs dərsliyə əlavə olunmadığından onu istənilən tədris materialı üzərində işləyərkən tədris etmək olar. Bu dərsi də iki ayrı dərsə bölmək və keçilən mövzular üzrə yekun dərs kimi tədris etmək olar.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam.

II. Məqsədlərin qoyulması dərsi.

III. “Törəmələrin həndəsi mənası” mövzusunda təkrar.

Proyektordan istifadə edərək şifahi frontal iş (slaydlar № 3-7)

Qruplarda işləmək: göstərişlər, cavablar, müəllim məsləhəti ilə problemlərin həlli (slayd № 8-17)

IV. Müstəqil iş 1.

Şagirdlər fərdi kompüterdə işləyirlər (slayd №18-26) və cavablarını qiymətləndirmə vərəqinə daxil edirlər. Lazım gələrsə, müəllimlə məsləhətləşə bilərsiniz, lakin bu halda şagird 0,5 bal itirəcək. Tələbə işi daha tez tamamlayırsa, o, topludan əlavə tapşırıqların həllini seçə bilər, s. 242, 306-324 (əlavə tapşırıqlar ayrıca qiymətləndirilir).

V. Qarşılıqlı yoxlama.

Şagirdlər qiymətləndirmə vərəqlərini mübadilə edir, dostunun işini yoxlayır və xallar təyin edir (slayd №27)

VI. Biliyin korreksiyası.

VII. “Funksiyaların öyrənilməsində törəmənin tətbiqi” mövzusunda təkrar.

Proyektordan istifadə edərək şifahi frontal iş (slayd № 28-30)

Qruplarda işləmək: göstərişlər, cavablar, müəllim məsləhəti ilə problemlərin həlli (slayd № 31-33)

VIII. Müstəqil iş 2.

Şagirdlər fərdi kompüterdə işləyirlər (slayd №34-46) və cavablarını cavab blankına daxil edirlər. Lazım gələrsə, müəllimlə məsləhətləşə bilərsiniz, lakin bu halda şagird 0,5 bal itirəcək. Tələbə işi daha tez tamamlayırsa, topludan əlavə tapşırıqların həllini seçə bilər, s. 243-305 (əlavə tapşırıqlar ayrıca qiymətləndirilir).

IX. Həmyaşıd rəyi.

Şagirdlər qiymətləndirmə vərəqlərini mübadilə edir, dostlarının işini yoxlayır və ballar təyin edirlər (slayd №47).

X. Biliyin korreksiyası.

Şagirdlər öz qruplarında yenidən işləyir, həll yollarını müzakirə edir və səhvləri düzəldirlər.

XI. Xülasə.

Hər bir şagird öz ballarını hesablayır və bal vərəqinə qiymət qoyur.

Şagirdlər müəllimə qiymətləndirmə vərəqini və əlavə problemlərin həlli yollarını təqdim edirlər.

Hər bir tələbə bir memo alır (slayd No 53-54).

XII. Refleksiya.

Şagirdlərdən ifadələrdən birini seçməklə biliklərini qiymətləndirmələri xahiş olunur:

• bacardım!!!
• Daha bir neçə misalı həll etməliyik.
• Yaxşı, bu riyaziyyatı kim icad etdi!

XIII. Ev tapşırığı.

Ev tapşırığı üçün tələbələrə topludan, s. 242-334, eləcə də açıq tapşırıqlar bankından tapşırıqlar seçmək tapşırılır.

Təsəvvür edək ki, dağlıq ərazidən keçən düz yol. Yəni yuxarı-aşağı gedir, amma sağa-sola dönmür. Ox yol boyunca üfüqi və şaquli olaraq yönəldilərsə, yol xətti bəzi davamlı funksiyanın qrafikinə çox oxşar olacaq:

Ox müəyyən bir sıfır yüksəklik səviyyəsidir, həyatda biz dəniz səviyyəsindən istifadə edirik.

Belə bir yolda irəlilədikcə biz də yuxarı və ya aşağı hərəkət edirik. Həmçinin deyə bilərik: arqument dəyişdikdə (absis oxu boyunca hərəkət), funksiyanın qiyməti dəyişir (ordinat oxu boyunca hərəkət). İndi yolumuzun "sıldırım"ını necə müəyyənləşdirəcəyimizi düşünək? Bu hansı dəyər ola bilər? Çox sadədir: müəyyən bir məsafədə irəliləyərkən hündürlüyün nə qədər dəyişəcəyi. Həqiqətən, yolun müxtəlif hissələrində, bir kilometr irəli (x oxu boyunca) irəliləyərək, dəniz səviyyəsinə nisbətən (y oxu boyunca) fərqli sayda metr yüksələcəyik və ya enəcəyik.

Tərəqqi işarə edək (“delta x” oxuyun).

Yunan hərfi (delta) riyaziyyatda "dəyişiklik" mənasını verən prefiks kimi istifadə olunur. Yəni - bu kəmiyyət dəyişikliyidir, - dəyişiklik; onda bu nədir? Düzdür, miqyasda dəyişiklik.

Vacibdir: ifadə tək tam, bir dəyişəndir. Heç vaxt “deltanı” “x” və ya başqa hərfdən ayırmayın! Yəni, məsələn, .

Beləliklə, biz üfüqi olaraq irəlilədik. Əgər yolun xəttini funksiyanın qrafiki ilə müqayisə etsək, onda yüksəlişi necə işarə edək? Şübhəsiz ki, . Yəni biz irəlilədikcə daha da yüksəlirik.

Dəyəri hesablamaq asandır: əgər başlanğıcda hündürlükdə idiksə və hərəkət etdikdən sonra özümüzü yüksəklikdə tapdıqsa, o zaman. Son nöqtə başlanğıc nöqtəsindən aşağı olarsa, mənfi olacaq - bu, biz yüksələn deyil, aşağı endiyimiz deməkdir.

"Sikliyə" qayıdaq: bu, bir vahid məsafə irəliləyərkən hündürlüyün nə qədər (sıldırım) artdığını göstərən dəyərdir:

Fərz edək ki, yolun hansısa hissəsində bir kilometr irəli gedəndə yol bir kilometr yuxarı qalxır. Sonra bu yerdəki yamac bərabərdir. Bəs yol m irəliləyərkən km azalıbsa? Sonra yamac bərabərdir.

İndi bir təpənin başına baxaq. Zirvədən yarım kilometr əvvəl hissənin əvvəlini, ondan yarım kilometr sonra sonunu götürsəniz, hündürlüyün demək olar ki, eyni olduğunu görə bilərsiniz.

Yəni bizim məntiqimizə görə, belə çıxır ki, buradakı maillik demək olar ki, sıfıra bərabərdir, bu, açıq-aşkar doğru deyil. Bir neçə kilometr məsafədə çox şey dəyişə bilər. Sıldırımın daha adekvat və dəqiq qiymətləndirilməsi üçün daha kiçik sahələri nəzərə almaq lazımdır. Məsələn, bir metr hərəkət edərkən hündürlüyün dəyişməsini ölçsəniz, nəticə çox daha dəqiq olacaqdır. Amma bu dəqiqlik də bizə çatmaya bilər - axı yolun ortasında dirək varsa, onu sadəcə keçə bilərik. O zaman hansı məsafəni seçməliyik? Santimetr? Millimetr? Daha az daha yaxşıdır!

Real həyatda məsafələri ən yaxın millimetrə qədər ölçmək kifayətdir. Amma riyaziyyatçılar həmişə mükəmməlliyə can atırlar. Buna görə də konsepsiya icad edildi sonsuz kiçik, yəni mütləq qiymət ad verə biləcəyimiz istənilən ədəddən kiçikdir. Məsələn, siz deyirsiniz: trilyonda biri! Nə qədər azdır? Və bu rəqəmi bölünürsən - və daha da az olacaq. Və s. Əgər kəmiyyətin sonsuz kiçik olduğunu yazmaq istəsək, belə yazırıq: (“x sıfıra meyllidir” oxuyuruq). Anlamaq çox vacibdir ki, bu rəqəm sıfır deyil! Amma çox yaxındır. Bu o deməkdir ki, onunla bölmək olar.

Sonsuz kiçikin əksi olan anlayış sonsuz böyükdür (). Yəqin ki, siz bərabərsizliklər üzərində işləyərkən buna artıq rast gəlmisiniz: bu rəqəm ağlınıza gələn istənilən rəqəmdən modul olaraq böyükdür. Mümkün olan ən böyük rəqəmi tapsanız, sadəcə onu ikiyə vurun və daha da böyük rəqəm əldə edəcəksiniz. Sonsuzluq isə baş verənlərdən daha böyükdür. Əslində, sonsuz böyük və sonsuz kiçik bir-birinin tərsidir, yəni at və əksinə: at.

İndi yolumuza qayıdaq. İdeal hesablanmış yamac yolun sonsuz kiçik seqmenti üçün hesablanmış yamacdır, yəni:

Qeyd edim ki, sonsuz kiçik yerdəyişmə ilə hündürlüyün dəyişməsi də sonsuz kiçik olacaqdır. Amma sizə xatırlatmaq istəyirəm ki, sonsuz kiçik sıfıra bərabər demək deyil. Sonsuz kiçik ədədləri bir-birinə bölsəniz, tam adi ədəd əldə edə bilərsiniz, məsələn, . Yəni bir kiçik dəyər digərindən tam dəfələrlə böyük ola bilər.

Bütün bunlar nə üçündür? Yol, sıldırım... Biz avtomobil yürüşünə çıxmırıq, amma riyaziyyatdan dərs deyirik. Riyaziyyatda isə hər şey tam eynidir, yalnız fərqli adlanır.

Törəmə anlayışı

Funksiyanın törəməsi funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbətidir.

Tədricən riyaziyyatda dəyişiklik deyirlər. Arqumentin () ox boyu hərəkət etdikcə dəyişmə dərəcəsi deyilir arqument artımı və təyin edilir.Ox boyunca bir məsafə irəlilədikdə funksiyanın (hündürlüyünün) nə qədər dəyişdiyi deyilir funksiya artımı və təyin edilir.

Deməli, funksiyanın törəməsi nə vaxta nisbətdir. Törəməni funksiya ilə eyni hərflə, yalnız yuxarı sağda əsas işarə ilə işarə edirik: və ya sadəcə. Beləliklə, bu qeydlərdən istifadə edərək törəmə düsturunu yazaq:

Yolun analoqunda olduğu kimi burada da funksiya artdıqda törəmə müsbət, azaldıqda isə mənfi olur.

Törəmə sıfıra bərabər ola bilərmi? Əlbəttə. Məsələn, düz üfüqi yolda sürürüksə, sıldırım sıfırdır. Və bu doğrudur, hündürlük heç dəyişmir. Törəmə ilə də belədir: sabit funksiyanın törəməsi (sabit) sıfıra bərabərdir:

belə funksiyanın artımı hər hansı bir funksiya üçün sıfıra bərabər olduğundan.

Bir təpənin nümunəsini xatırlayaq. Məlum oldu ki, seqmentin uclarını təpənin əks tərəflərində elə yerləşdirmək mümkün olub ki, uclarındakı hündürlük eyni olsun, yəni seqment oxa paralel olsun:

Lakin böyük seqmentlər qeyri-dəqiq ölçmə əlamətidir. Seqmentimizi özünə paralel yuxarı qaldıracağıq, sonra uzunluğu azalacaq.

Nəhayət, zirvəyə sonsuz yaxın olduğumuz zaman, seqmentin uzunluğu sonsuz kiçik olacaqdır. Ancaq eyni zamanda, oxa paralel olaraq qaldı, yəni uclarında hündürlüklər fərqi sıfıra bərabərdir (meyil etmir, lakin bərabərdir). Beləliklə, törəmə

Bunu belə başa düşmək olar: biz ən zirvədə dayandığımız zaman sola və ya sağa kiçik bir sürüşmə bizim boyumuzu əhəmiyyətsiz dərəcədə dəyişir.

Sırf cəbri izahı da var: təpənin solunda funksiya artır, sağda isə azalır. Daha əvvəl öyrəndiyimiz kimi, funksiya artdıqda törəmə müsbət, azaldıqda isə mənfi olur. Ancaq rəvan, sıçrayış olmadan dəyişir (çünki yol heç bir yerdə yamacını kəskin şəkildə dəyişmir). Buna görə mənfi və müsbət dəyərlər arasında olmalıdır. Bu, funksiyanın nə artdığı, nə də azaldığı yerdə olacaq - təpə nöqtəsində.

Eyni şey nov üçün də keçərlidir (solda funksiyanın azaldığı və sağda artdığı sahə):

Artımlar haqqında bir az daha.

Beləliklə, biz arqumenti böyüklüklə dəyişdiririk. Hansı dəyərdən dəyişirik? Bu (arqument) indi nə oldu? İstənilən nöqtəni seçə bilərik və indi oradan rəqs edəcəyik.

Koordinatı olan bir nöqtəni nəzərdən keçirin. Ondakı funksiyanın dəyəri bərabərdir. Sonra eyni artımı edirik: koordinatı artırırıq. İndi arqument nədir? Çox asan: . İndi funksiyanın dəyəri nədir? Arqument hara gedirsə, funksiya da gedir: . Bəs funksiya artımı? Yeni heç nə yoxdur: bu hələ də funksiyanın dəyişdiyi məbləğdir:

Artımları tapmaq üçün məşq edin:

1. Arqumentin artımının bərabər olduğu nöqtədə funksiyanın artımını tapın.
2. Eyni şey bir nöqtədəki funksiyaya da aiddir.

Həll yolları:

Eyni arqument artımı ilə fərqli nöqtələrdə funksiya artımı fərqli olacaq. Bu o deməkdir ki, hər bir nöqtədə törəmə fərqlidir (bunu əvvəldə müzakirə etdik - müxtəlif nöqtələrdə yolun sıldırımlılığı fərqlidir). Buna görə də, törəmə yazarkən hansı nöqtəni göstərməliyik:

Güc funksiyası.

Güc funksiyası arqumentin müəyyən dərəcədə olduğu funksiyadır (məntiqi, elə deyilmi?).

Üstəlik - istənilən dərəcədə: .

Ən sadə hal eksponent olduqda olur:

Bir nöqtədə onun törəməsini tapaq. Törəmə tərifini xatırlayaq:

Beləliklə, arqument -dən dəyişir. Funksiyanın artımı nədir?

Artım budur. Lakin istənilən nöqtədə funksiya öz arqumentinə bərabərdir. Buna görə də:

Törəmə bərabərdir:

törəməsi bərabərdir:

b) İndi kvadrat funksiyanı nəzərdən keçirək (): .

İndi bunu xatırlayaq. Bu o deməkdir ki, artımın dəyəri laqeyd edilə bilər, çünki o, sonsuz kiçikdir və buna görə də digər terminin fonunda əhəmiyyətsizdir:

Beləliklə, başqa bir qayda ilə gəldik:

c) Məntiqi silsiləyə davam edirik: .

Bu ifadə müxtəlif yollarla sadələşdirilə bilər: cəminin kubunun qısaldılmış vurulması düsturundan istifadə edərək birinci mötərizəni açın və ya kubların fərqindən istifadə edərək bütün ifadəni faktorlara ayırın. Təklif olunan üsullardan hər hansı birini istifadə edərək bunu özünüz etməyə çalışın.

Beləliklə, mən aşağıdakıları aldım:

Və bunu bir daha xatırlayaq. Bu o deməkdir ki, biz aşağıdakıları ehtiva edən bütün şərtləri laqeyd edə bilərik:

Alırıq: .

d) Oxşar qaydalar böyük dövlətlər üçün də əldə edilə bilər:

e) Belə çıxır ki, bu qayda hətta tam ədəd deyil, ixtiyari eksponentli dərəcə funksiyası üçün ümumiləşdirilə bilər:

Qayda belə ifadə edilə bilər: "dərəcə əmsal kimi irəli sürülür, sonra isə azaldılır."

Bu qaydanı sonra (demək olar ki, ən sonunda) sübut edəcəyik. İndi bir neçə nümunəyə baxaq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

1. (iki yolla: düsturla və törəmənin tərifindən istifadə etməklə - funksiyanın artımını hesablamaqla);

Triqonometrik funksiyalar.

Burada ali riyaziyyatdan bir faktdan istifadə edəcəyik:

İfadə ilə.

Siz institutun birinci ilində sübutu öyrənəcəksiniz (və oraya çatmaq üçün Vahid Dövlət İmtahanını yaxşı verməlisiniz). İndi onu sadəcə qrafik olaraq göstərəcəyəm:

Görürük ki, funksiya mövcud olmadıqda - qrafikdəki nöqtə kəsilir. Lakin dəyərə nə qədər yaxın olsa, funksiya da bir o qədər yaxındır. “Məqsəd” budur.

Bundan əlavə, kalkulyatordan istifadə edərək bu qaydanı yoxlaya bilərsiniz. Bəli, bəli, utanmayın, kalkulyator götürün, biz hələ Vahid Dövlət İmtahanında deyilik.

Beləliklə, cəhd edək: ;

Kalkulyatorunuzu Radians rejiminə keçirməyi unutmayın!

və s. Görürük ki, nə qədər kiçik olsa, nisbət dəyəri bir o qədər yaxındır.

a) funksiyanı nəzərdən keçirin. Həmişə olduğu kimi, onun artımını tapaq:

Sinusların fərqini məhsula çevirək. Bunun üçün düsturdan istifadə edirik (“” mövzusunu yadda saxla): .

İndi törəmə:

Gəlin bir əvəz edək: . Onda sonsuz kiçik üçün də sonsuz kiçikdir: . ifadəsi formanı alır:

İndi biz bunu ifadə ilə xatırlayırıq. Həm də, əgər cəmində (yəni, at) sonsuz kiçik bir kəmiyyəti laqeyd etmək olarsa nə olacaq.

Beləliklə, aşağıdakı qaydanı alırıq: sinusun törəməsi kosinusa bərabərdir:

Bunlar əsas (“cədvəl”) törəmələrdir. Budur, onlar bir siyahıdadır:

Daha sonra onlara bir neçə daha əlavə edəcəyik, lakin bunlar ən vacibdir, çünki onlar ən çox istifadə olunur.

Təcrübə:

1. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın;
2. Funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

Eksponent və natural loqarifm.

Riyaziyyatda elə funksiya var ki, onun hər hansı bir dəyər üçün törəməsi eyni zamanda funksiyanın özünün qiymətinə bərabərdir. O, "eksponent" adlanır və eksponensial funksiyadır

Bu funksiyanın əsası - sabit - sonsuz onluq kəsrdir, yəni irrasional ədəddir (məsələn). O, "Euler nömrəsi" adlanır, buna görə də hərflə işarələnir.

Beləliklə, qayda:

Yadda saxlamaq çox asandır.

Yaxşı, uzağa getməyək, dərhal tərs funksiyanı nəzərdən keçirək. Hansı funksiya eksponensial funksiyanın tərsidir? Loqarifm:

Bizim vəziyyətimizdə əsas rəqəmdir:

Belə bir loqarifmə (yəni əsası olan loqarifmə) "təbii" deyilir və biz bunun üçün xüsusi qeyddən istifadə edirik: əvəzinə yazırıq.

Nəyə bərabərdir? Əlbəttə, .

Təbii loqarifmin törəməsi də çox sadədir:

Nümunələr:

1. Funksiyanın törəməsini tapın.
2. Funksiyanın törəməsi nədir?

Cavablar: Eksponensial və təbii loqarifm törəmə nöqteyi-nəzərdən bənzərsiz sadə funksiyalardır. İstənilən digər baza ilə eksponensial və loqarifmik funksiyalar fərqli törəmələrə sahib olacaqlar ki, biz diferensiasiya qaydalarından keçdikdən sonra onu daha sonra təhlil edəcəyik.

Fərqləndirmə qaydaları

Nəyin qaydaları? Yenə yeni termin, yenə?!...

Fərqləndirmə törəmənin tapılması prosesidir.

Hamısı budur. Bu prosesi bir sözlə başqa nə adlandırmaq olar? Törəmə deyil... Riyaziyyatçılar diferensialı funksiyanın eyni artımı adlandırırlar. Bu termin Latın diferensiyası - fərqdən gəlir. Burada.

Bütün bu qaydaları çıxararkən iki funksiyadan istifadə edəcəyik, məsələn, və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:

Ümumilikdə 5 qayda var.

Sabit törəmə işarədən çıxarılır.

Əgər - bəzi sabit ədəd (sabit), onda.

Aydındır ki, bu qayda fərq üçün də işləyir: .

Gəlin bunu sübut edək. Qoy olsun, ya da daha sadə.

Nümunələr.

Funksiyaların törəmələrini tapın:

1. bir nöqtədə;
2. bir nöqtədə;
3. bir nöqtədə;
4. nöqtədə.

Həll yolları:

Məhsulun törəməsi

Burada hər şey oxşardır: gəlin yeni funksiya təqdim edək və onun artımını tapaq:

Törəmə:

Nümunələr:

1. və funksiyalarının törəmələrini tapın;
2. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

Eksponensial funksiyanın törəməsi

İndi sizin bilikləriniz sadəcə eksponentləri deyil, hər hansı eksponensial funksiyanın törəməsini necə tapmağı öyrənmək üçün kifayətdir (bunun nə olduğunu hələ unutmusunuz?).

Beləliklə, bir nömrə haradadır.

Biz artıq funksiyanın törəməsini bilirik, ona görə də funksiyamızı yeni bazaya gətirməyə çalışaq:

Bunun üçün sadə qaydadan istifadə edəcəyik: . Sonra:

Yaxşı, işlədi. İndi törəməni tapmağa çalışın və bu funksiyanın mürəkkəb olduğunu unutmayın.

baş verdi?

Budur, özünüzü yoxlayın:

Düstur bir eksponentin törəməsinə çox bənzədi: olduğu kimi, eyni qalır, yalnız bir amil meydana çıxdı, bu sadəcə bir rəqəmdir, lakin dəyişən deyil.

Nümunələr:
Funksiyaların törəmələrini tapın:

Cavablar:

Loqarifmik funksiyanın törəməsi

Burada da oxşardır: təbii loqarifmin törəməsini artıq bilirsiniz:

Buna görə də, fərqli əsaslı ixtiyari loqarifm tapmaq üçün, məsələn:

Bu loqarifmi bazaya endirməliyik. Loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu formulu xatırlayırsınız:

Yalnız indi əvəzinə yazacağıq:

Məxrəc sadəcə olaraq sabitdir (dəyişənsiz sabit ədəddir). Törəmə çox sadə şəkildə alınır:

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların törəmələri Vahid Dövlət İmtahanında demək olar ki, tapılmır, lakin onları bilmək artıq olmaz.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

"Mürəkkəb funksiya" nədir? Xeyr, bu loqarifm deyil, arktangent deyil. Bu funksiyaları başa düşmək çətin ola bilər (baxmayaraq ki, loqarifmi çətin hesab edirsinizsə, “Loqarifmlər” mövzusunu oxuyun və yaxşı olacaqsınız), lakin riyazi baxımdan “mürəkkəb” sözü “çətin” mənasını vermir.

Kiçik bir konveyer kəmərini təsəvvür edin: iki nəfər oturub bəzi əşyalarla bəzi hərəkətlər edir. Məsələn, birincisi şokolad çubuğunu paketə bükür, ikincisi isə lentlə bağlayır. Nəticə kompozit bir obyektdir: bir şokolad çubuğu bükülmüş və lentlə bağlanmışdır. Şokolad çubuğu yemək üçün tərs ardıcıllıqla tərs addımları yerinə yetirmək lazımdır.

Bənzər bir riyazi boru xətti yaradaq: əvvəlcə ədədin kosinusunu tapacağıq, sonra isə alınan ədədin kvadratını alacağıq. Beləliklə, bizə bir nömrə (şokolad) verilir, mən onun kosinusunu (bağımını) tapıram, sonra mənim aldığımı kvadrat edirsən (lentlə bağla). Nə olub? Funksiya. Bu, mürəkkəb funksiyanın nümunəsidir: onun dəyərini tapmaq üçün ilk hərəkəti birbaşa dəyişənlə, sonra isə birincinin nəticəsi ilə ikinci hərəkəti yerinə yetirdikdə.

Eyni addımları tərs qaydada asanlıqla yerinə yetirə bilərik: əvvəlcə siz onun kvadratını çəkirsiniz, sonra isə çıxan ədədin kosinusunu axtarıram: . Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Mürəkkəb funksiyaların mühüm xüsusiyyəti: hərəkətlərin sırası dəyişdikdə funksiya dəyişir.

Başqa sözlə, mürəkkəb funksiya arqumenti başqa funksiya olan funksiyadır: .

Birinci misal üçün, .

İkinci misal: (eyni şey). .

Ən son etdiyimiz hərəkət çağırılacaq "xarici" funksiya, və ilk həyata keçirilən hərəkət - müvafiq olaraq "daxili" funksiya(bunlar qeyri-rəsmi adlardır, mən onlardan yalnız materialı sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).

Hansı funksiyanın xarici və hansı daxili olduğunu özünüz müəyyənləşdirməyə çalışın:

Cavablar: Daxili və xarici funksiyaları ayırmaq dəyişənləri dəyişməyə çox bənzəyir: məsələn, funksiyada

Dəyişənləri dəyişirik və funksiya alırıq.

Yaxşı, indi şokolad çubuğumuzu çıxaracağıq və törəməni axtaracağıq. Prosedur həmişə tərsinə çevrilir: əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpırıq. Orijinal nümunə ilə əlaqədar olaraq, belə görünür:

Başqa bir misal:

Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydanı formalaşdıraq:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

Sadə görünür, elə deyilmi?

Nümunələrlə yoxlayaq:

TÖRƏVVƏ. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Funksiya törəməsi- funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbəti:

Əsas törəmələr:

Fərqləndirmə qaydaları:

Sabit törəmə işarədən çıxarılır:

Cəmin törəməsi:

Məhsulun törəməsi:

Hissənin törəməsi:

Kompleks funksiyanın törəməsi:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

1. “Daxili” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
2. “Xarici” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
3. Birinci və ikinci nöqtələrin nəticələrini çoxaldırıq.

Yaxşı, mövzu bitdi. Əgər bu sətirləri oxuyursansa, deməli, çox gözəlsən.

Çünki insanların yalnız 5%-i nəyisə təkbaşına mənimsəməyi bacarır. Və sona qədər oxusanız, deməli bu 5%-dəsiniz!

İndi ən vacib şey.

Bu mövzuda nəzəriyyəni başa düşdünüz. Və təkrar edirəm, bu... bu sadəcə superdir! Siz artıq yaşıdlarınızın böyük əksəriyyətindən daha yaxşısınız.

Problem ondadır ki, bu kifayət deyil...

Nə üçün?

Vahid Dövlət İmtahanını müvəffəqiyyətlə verdiyinə görə, büdcə ilə kollecə daxil olduğun üçün və ən əsası ömürlük.

Sizi heç nəyə inandırmayacağam, sadəcə bir şey deyəcəm...

Yaxşı təhsil almış insanlar, almayanlardan qat-qat çox qazanırlar. Bu statistikadır.

Ancaq bu, əsas məsələ deyil.

Əsas odur ki, onlar DAHA XOŞBƏXTDİR (belə araşdırmalar var). Bəlkə ona görə ki, onların qarşısında daha çox imkanlar açılır və həyat daha parlaq olur? Bilmirəm...

Amma özünüz düşünün...

Vahid Dövlət İmtahanında başqalarından üstün olmaq və nəticədə... daha xoşbəxt olmaq üçün nə lazımdır?

BU MÖVZUDA MƏSƏLƏLƏRİ HƏLL EDƏK ƏLİNİZİ QAZANIN.

İmtahan zamanı sizdən nəzəriyyə tələb olunmayacaq.

Sizə lazım olacaq problemləri zamana qarşı həll edin.

Əgər onları həll etməmisinizsə (ÇOX!), Hardasa mütləq axmaq səhv edəcəksiniz və ya sadəcə vaxtınız olmayacaq.

İdmanda olduğu kimi - əminliklə qalib gəlmək üçün bunu dəfələrlə təkrarlamaq lazımdır.

Kolleksiyanı istədiyiniz yerdə tapın, mütləq həlləri, ətraflı təhlili ilə və qərar verin, qərar verin, qərar verin!

Tapşırıqlarımızdan istifadə edə bilərsiniz (isteğe bağlı) və biz, əlbəttə ki, onları tövsiyə edirik.

Tapşırıqlarımızdan daha yaxşı istifadə etmək üçün siz hazırda oxuduğunuz YouClever dərsliyinin ömrünü uzatmağa kömək etməlisiniz.

Necə? İki seçim var:

1. Bu məqalədəki bütün gizli tapşırıqları açın -
2. Dərsliyin bütün 99 məqaləsindəki bütün gizli tapşırıqlara girişi açın - Dərslik alın - 499 RUR

Bəli, bizim dərsliyimizdə 99 belə məqalə var və bütün tapşırıqlara və onlarda olan bütün gizli mətnlərə giriş dərhal açıla bilər.

Bütün gizli tapşırıqlara giriş saytın BÜTÜN ömrü üçün təmin edilir.

Yekun olaraq...

Tapşırıqlarımızı bəyənmirsinizsə, başqalarını tapın. Sadəcə nəzəriyyədə dayanmayın.

“Anladım” və “Mən həll edə bilərəm” tamamilə fərqli bacarıqlardır. Hər ikisinə ehtiyacınız var.

Problemləri tapın və həll edin!

y=3x+2 düz xətti y=-12x^2+bx-10 funksiyasının qrafikinə tangensdir. Tangens nöqtəsinin absisinin sıfırdan kiçik olduğunu nəzərə alaraq b tapın.

Həll

y=-12x^2+bx-10 funksiyasının qrafikində bu qrafa toxunan nöqtənin keçdiyi nöqtənin absisi x_0 olsun.

X_0 nöqtəsindəki törəmənin qiyməti tangensin yamacına bərabərdir, yəni y"(x_0)=-24x_0+b=3. Digər tərəfdən, toxunma nöqtəsi eyni vaxtda hər iki qrafa aiddir. funksiyası və tangensi, yəni -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Tənliklər sistemi alırıq. \begin(hallar) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(hallar)

Bu sistemi həll edərək x_0^2=1 alırıq, bu da ya x_0=-1, ya da x_0=1 deməkdir. Absissa şərtinə görə toxunan nöqtələr sıfırdan kiçikdir, ona görə də x_0=-1, onda b=3+24x_0=-21.

Cavab verin

Vəziyyət

Şəkil y=f(x) funksiyasının qrafikini göstərir (üç düz seqmentdən ibarət qırıq xəttdir). Şəkildən istifadə edərək F(9)-F(5) hesablayın, burada F(x) f(x) funksiyasının əks törəmələrindən biridir.

Həll

Nyuton-Leybniz düsturuna görə, F(9)-F(5) fərqi, burada F(x) f(x) funksiyasının antitörəmələrindən biridir, əyrixətti trapezoidin məhdud sahəsinə bərabərdir. y=f(x) funksiyasının qrafiki ilə y=0 , x=9 və x=5 düz xətləri. Qrafikdən müəyyən edirik ki, göstərilən əyri trapesiya əsasları 4 və 3-ə bərabər və hündürlüyü 3 olan trapesiyadır.

Onun sahəsi bərabərdir \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Cavab verin

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.

Vəziyyət

Şəkildə (-4; 10) intervalında müəyyən edilmiş f(x) funksiyasının törəməsi olan y=f"(x) qrafiki göstərilir. Azalan f(x) funksiyasının intervallarını tapın. Cavabınızda, onlardan ən böyüyünün uzunluğunu göstərin.

Həll

Məlum olduğu kimi, f(x) funksiyası hər nöqtəsində f"(x) törəməsi sıfırdan kiçik olan intervallarda azalır. Onlardan ən böyüyünün uzunluğunu tapmaq lazım olduğunu nəzərə alsaq, üç belə interval verilir. rəqəmdən təbii olaraq fərqlənir: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Onlardan ən böyüyünün uzunluğu - (5; 9) 4-dür.

Cavab verin

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.

Vəziyyət

Şəkildə (-8; 7) intervalında müəyyən edilmiş f(x) funksiyasının törəməsi olan y=f"(x) qrafiki göstərilir. f(x) funksiyasının aşağıdakılara aid olan maksimum nöqtələrinin sayını tapın. interval [-6; -2].

Həll

Qrafik göstərir ki, f(x) funksiyasının f"(x) törəməsi [ intervalından düz bir nöqtədə (-5 ilə -4 arasında) işarəni artıdan mənfiyə dəyişir (belə nöqtələrdə maksimum olacaq) -6; -2 ] Buna görə [-6; -2] intervalında tam olaraq bir maksimum nöqtə var.

Cavab verin

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.

Vəziyyət

Şəkildə (-2; 8) intervalında təyin olunmuş y=f(x) funksiyasının qrafiki göstərilir. f(x) funksiyasının törəməsinin 0-a bərabər olduğu nöqtələrin sayını müəyyən edin.

Həll

Törəmənin sıfır nöqtəsində bərabərliyi o deməkdir ki, bu nöqtədə çəkilmiş funksiyanın qrafikinə toxunan Ox oxuna paraleldir. Buna görə də funksiyanın qrafikinə toxunan nöqtənin Ox oxuna paralel olduğu nöqtələri tapırıq. Bu diaqramda belə nöqtələr ekstremal nöqtələrdir (maksimum və ya minimum xallar). Gördüyünüz kimi, 5 ekstremum nöqtəsi var.

Cavab verin

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.

Vəziyyət

y=-3x+4 düz xətti y=-x^2+5x-7 funksiyasının qrafikinin tangensinə paraleldir. Tangens nöqtəsinin absisini tapın.

Həll

İxtiyari x_0 nöqtəsində y=-x^2+5x-7 funksiyasının qrafikinə düz xəttin bucaq əmsalı y"(x_0)-a bərabərdir. Amma y"=-2x+5, yəni y" (x_0)=-2x_0+5.Şərtdə göstərilən y=-3x+4 xəttinin bucaq əmsalı -3-ə bərabərdir.Paralel xətlərin maillik əmsalları eynidir.Ona görə də x_0 qiymətini tapırıq ki, =- 2x_0 +5=-3.

Alırıq: x_0 = 4.

Cavab verin

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.

Vəziyyət

Şəkildə y=f(x) funksiyasının qrafiki göstərilib və absis üzərində -6, -1, 1, 4 nöqtələri qeyd olunub. Bu nöqtələrdən hansında törəmə ən kiçikdir? Zəhmət olmasa cavabınızda bu məqamı qeyd edin.