Gauss metodunun irəli hərəkətini tamamlamaq üçün üç variant. Gauss metodu online

Gauss metodu asandır! Niyə? Məşhur alman riyaziyyatçısı İohann Karl Fridrix Qauss sağlığında bütün dövrlərin ən böyük riyaziyyatçısı, dahi kimi tanınıb, hətta “Riyaziyyatın Kralı” ləqəbini də alıb. Və bildiyiniz kimi, hər şey sadədir! Yeri gəlmişkən, pula təkcə əmicilər deyil, dahilər də girir - Qaussun portreti 10 Alman markası (avro dövriyyəyə buraxılmamışdan əvvəl) əskinaslarında parlayırdı və Qauss hələ də adi poçt markalarından almanlara müəmmalı şəkildə gülümsəyir.

Gauss metodu sadədir ki, onun inkişafı üçün BEŞİNCİ SİNF UĞURUNUN BİLİYİ KƏFƏDDİR. Əlavə etməyi və çoxaltmağı bacarmalıdır! Təsadüfi deyil ki, naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması metodu çox vaxt məktəb riyazi seçmə fənlərində müəllimlər tərəfindən nəzərdən keçirilir. Bu paradoksdur, lakin tələbələr üçün ən böyük çətinlikləri Gauss metodu yaradır. Təəccüblü heç nə yoxdur - hər şey metodologiyaya aiddir və mən metodun alqoritmi haqqında əlçatan bir formada danışmağa çalışacağam.

Əvvəlcə xətti tənliklər sistemləri haqqında bilikləri bir az sistemləşdiririk. Xətti tənliklər sistemi:

1) Unikal həll yolu var.
2) Sonsuz bir çox həll yolu var.
3) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun uyğunsuz).

Gauss metodu həll tapmaq üçün ən güclü və çox yönlü vasitədir hər hansı xətti tənliklər sistemləri. xatırladığımız kimi Kramer qaydası və matris üsulu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu hər halda bizi cavaba apar! Bu dərsdə biz 1-ci hal (sistemin yeganə həlli) üçün yenidən Qauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik, məqalə 2-3 nömrəli bəndlərin vəziyyətləri üçün ayrılmışdır. Qeyd edim ki, metod alqoritminin özü hər üç halda eyni şəkildə işləyir.

Dərsdən ən sadə sistemə qayıdaq Xətti tənliklər sistemini necə həll etmək olar?
və onu Qauss üsulu ilə həll edin.

İlk addım yazmaqdır genişləndirilmiş matris sistemi:
. Əmsalların hansı prinsiplə qeydə alındığını düşünürəm ki, hamı görə bilər. Matris daxilində şaquli xətt heç bir riyazi məna daşımır - bu, dizaynın asanlığı üçün sadəcə üstü xəttdir.

istinad :xatırlamağı tövsiyə edirəm şərtlər xətti cəbr. Sistem matrisi yalnız naməlumlar üçün əmsallardan ibarət matrisdir, bu misalda sistemin matrisi: . Genişləndirilmiş Sistem Matrisi sistemin eyni matrisi üstəgəl sərbəst şərtlər sütunudur, bu halda: . Matrislərdən hər hansı birini qısalıq üçün sadəcə matris adlandırmaq olar.

Sistemin uzadılmış matrisi yazıldıqdan sonra onunla bəzi hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır ki, bunlara da deyilir. elementar çevrilmələr.

Aşağıdakı elementar çevrilmələr var:

1) Simlər matrislər bacarmaq yenidən təşkil etmək yerlər. Məsələn, nəzərdən keçirilən matrisdə birinci və ikinci sıraları təhlükəsiz şəkildə yenidən təşkil edə bilərsiniz:

2) Əgər matrisdə mütənasib (xüsusi hal kimi - eyni) sətirlər varsa (və ya yaranıbsa), o zaman aşağıdakı kimi olur: silin matrisdən, biri istisna olmaqla, bütün bu sıralar. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək . Bu matrisdə son üç sıra mütənasibdir, ona görə də onlardan yalnız birini tərk etmək kifayətdir: .

3) Dönüştürmələr zamanı matrisdə sıfır cərgə yaranıbsa, o da əmələ gəlir silin. Mən çəkməyəcəyəm, əlbəttə ki, sıfır xətti olan xəttdir yalnız sıfırlar.

4) Matrisin sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) istənilən nömrə üçün sıfırdan fərqli. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək. Burada birinci sətri -3-ə bölmək, ikinci sətri isə 2-yə vurmaq məsləhətdir: . Bu hərəkət çox faydalıdır, çünki matrisin sonrakı çevrilmələrini asanlaşdırır.

5) Bu çevrilmə ən çox çətinliklərə səbəb olur, amma əslində mürəkkəb bir şey də yoxdur. Matrisin sırasına, edə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli. Praktik nümunədən matrisimizi nəzərdən keçirək: . Birincisi, transformasiyanı çox ətraflı təsvir edəcəyəm. Birinci sıranı -2-yə vurun: , və ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edirik: . İndi birinci sətir "geri" -2 ilə bölünə bilər: . Gördüyünüz kimi, ƏLAVƏ edilmiş xətt LI – dəyişməyib. Həmişə sətir dəyişdirilir, ƏLAVƏ OLUNUR UT.

Təcrübədə, əlbəttə ki, bu qədər təfərrüatla rənglənmirlər, lakin daha qısa yazırlar:

Bir daha: ikinci sıraya -2 ilə vurulan birinci sıra əlavə edildi. Xətt adətən şifahi və ya qaralama üzərində vurulur, hesablamaların zehni gedişatı isə belədir:

“Matrisi yenidən yazıram və birinci sətri yenidən yazıram: »

Birinci sütun birinci. Aşağıda sıfır almalıyam. Buna görə də yuxarıdakı vahidi -2: ilə vururam və birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 2 + (-2) = 0. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

“İndi ikinci sütun. -1 dəfədən yuxarı -2: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 1 + 2 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

“Və üçüncü sütun. -5 dəfədən yuxarı -2: . Birinci sətri ikinci sətirə əlavə edirəm: -7 + 10 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

Zəhmət olmasa, bu nümunə üzərində diqqətlə düşünün və ardıcıl hesablama alqoritmini anlayın, əgər bunu başa düşsəniz, Gauss metodu praktiki olaraq "cibinizdədir". Amma təbii ki, biz hələ də bu transformasiya üzərində işləyirik.

Elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir

! DİQQƏT: hesab edilən manipulyasiyalar istifadə edə bilməz, sizə matrislərin "öz-özünə" verildiyi bir tapşırıq təklif olunarsa. Məsələn, "klassik" ilə matrislər heç bir halda matrislərin içərisində bir şeyi yenidən təşkil etməməlisiniz!

Sistemimizə qayıdaq. O, demək olar ki, parçalara bölünüb.

Sistemin artırılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu azaldaq pilləli görünüş:

(1) Birinci sətir ikinci sıraya əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Və yenə: niyə birinci sıranı -2-yə vururuq? Aşağıda sıfır əldə etmək üçün, yəni ikinci sətirdə bir dəyişəndən xilas olmaq deməkdir.

(2) İkinci sıranı 3-ə bölün.

Elementar çevrilmələrin məqsədi – matrisi addım formasına çevirin: . Tapşırığın dizaynında onlar birbaşa sadə qələmlə "nərdivan" çəkirlər, həmçinin "addımlar" üzərində yerləşən nömrələri dairə edirlər. "Pilləli baxış" termininin özü tamamilə nəzəri deyil, elmi və tədris ədəbiyyatında ona tez-tez deyilir. trapezoidal görünüş və ya üçbucaqlı görünüş.

Elementar çevrilmələr nəticəsində əldə etdik ekvivalent orijinal tənliklər sistemi:

İndi sistemin əks istiqamətdə "burulması" lazımdır - aşağıdan yuxarıya, bu proses adlanır əks Gauss üsulu.

Aşağı tənlikdə artıq bitmiş nəticəyə sahibik: .

Sistemin ilk tənliyini nəzərdən keçirin və artıq məlum olan “y” dəyərini ona əvəz edin:

Üç naməlumlu üç xətti tənlik sistemini həll etmək üçün Qauss metodunun tələb olunduğu ən ümumi vəziyyəti nəzərdən keçirək.

Misal 1

Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin:

Sistemin artırılmış matrisini yazaq:

İndi dərhal həll prosesində gələcəyimiz nəticəni çəkəcəyəm:

Yenə deyirəm, məqsədimiz elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisi pilləli formaya gətirməkdir. Tədbirə haradan başlamaq lazımdır?

Əvvəlcə yuxarı sol rəqəmə baxın:

Demək olar ki, həmişə burada olmalıdır vahid. Ümumiyyətlə, -1 (və bəzən başqa nömrələr) də uyğun olacaq, lakin ənənəvi olaraq bir vahidin ümumiyyətlə orada yerləşdirildiyi baş verdi. Bölməni necə təşkil etmək olar? Birinci sütuna baxırıq - bitmiş bir vahidimiz var! Birinci transformasiya: birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin:

İndi birinci sətir həllin sonuna qədər dəyişməz qalacaq. İndi yaxşı.

Yuxarı solda olan bölmə təşkil olunub. İndi bu yerlərdə sıfırlar əldə etməlisiniz:

Sıfırlar yalnız "çətin" çevrilmənin köməyi ilə əldə edilir. Əvvəlcə ikinci sətirlə məşğul oluruq (2, -1, 3, 13). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün nə etmək lazımdır? Lazımdır ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada ilk sətri -2 ilə çarpırıq: (-2, -4, 2, -18). Və biz ardıcıl olaraq (yenidən zehni və ya qaralama) əlavə edirik, ikinci sətirə artıq -2 ilə vurulmuş birinci sətri əlavə edirik:

Nəticə ikinci sətirdə yazılır:

Eynilə, üçüncü sətirlə məşğul oluruq (3, 2, -5, -1). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün sizə lazımdır üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada ilk sətri -3-ə vururuq: (-3, -6, 3, -27). VƏ üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edirik:

Nəticə üçüncü sətirdə yazılır:

Praktikada bu hərəkətlər adətən şifahi şəkildə həyata keçirilir və bir addımda yazılır:

Hər şeyi bir anda və eyni anda hesablamağa ehtiyac yoxdur. Hesablamaların ardıcıllığı və nəticələrin "daxil edilməsi" ardıcıl və adətən belə olur: əvvəlcə birinci sətri yenidən yazırıq və özümüzü sakitcə ovuşdururuq - ARADDALI və DİQQƏTLİ:

Mən yuxarıda hesablamaların zehni gedişatını artıq nəzərdən keçirdim.

Bu misalda bunu etmək asandır, ikinci sətri -5-ə bölürük (çünki orada bütün ədədlər 5-ə qalıqsız bölünür). Eyni zamanda, üçüncü sətri -2-yə bölürük, çünki nömrə nə qədər kiçik olsa, həlli bir o qədər sadədir:

Elementar çevrilmələrin son mərhələsində burada daha bir sıfır əldə edilməlidir:

Bunun üçün üçüncü sətirə -2 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik:

Bu hərəkəti özünüz təhlil etməyə çalışın - zehni olaraq ikinci sətri -2-yə vurun və əlavə edin.

Sonuncu yerinə yetirilən hərəkət nəticənin saç düzümüdür, üçüncü xətti 3-ə bölün.

Elementar çevrilmələr nəticəsində xətti tənliklərin ekvivalent ilkin sistemi əldə edildi:

Sərin.

İndi Qauss metodunun tərs kursu işə düşür. Tənliklər aşağıdan yuxarıya doğru "açılır".

Üçüncü tənlikdə artıq bitmiş nəticəyə sahibik:

İkinci tənliyə baxaq: . "Z" hərfinin mənası artıq məlumdur, beləliklə:

Və nəhayət, birinci tənlik: . “Y” və “Z” məlumdur, məsələ kiçikdir:

Cavab verin:

Dəfələrlə qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir tənlik sistemi üçün tapılan həlli yoxlamaq mümkündür və lazımdır, xoşbəxtlikdən, bu çətin və sürətli deyil.

Misal 2

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunə, bitirmə nümunəsi və dərsin sonunda cavabdır.

Qeyd etmək lazımdır ki, sizin hərəkət kurs hərəkətlərimlə üst-üstə düşməyə bilər, və bu Gauss metodunun xüsusiyyətidir. Amma cavablar eyni olmalıdır!

Misal 3

Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin

Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu pilləli formaya gətirək:

Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Orada bir vahidimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə heç kim yoxdur, ona görə də sətirləri yenidən yerləşdirməklə heç nə həll edilə bilməz. Belə hallarda vahid elementar çevrilmə ilə təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Mən bunu etdim:
(1) Birinci sətirə -1-ə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci xətti -1-ə vurduq və birinci və ikinci sətirlərin əlavəsini yerinə yetirdik, ikinci sətir dəyişmədi.

İndi yuxarı solda "mənfi bir" bizə mükəmməl uyğun gəlir. +1 almaq istəyən əlavə bir jest edə bilər: birinci sətri -1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin).

(2) 5-ə vurulan birinci cərgə ikinci sıraya, 3-ə vurulan birinci cərgə üçüncü sıraya əlavə edildi.

(3) Birinci sətir -1-ə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü xəttin işarəsi də dəyişdirilərək ikinci yerə köçürüldü, beləliklə, ikinci “addımda istədiyimiz vahid oldu.

(4) 2-yə vurulan ikinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.

(5) Üçüncü sıra 3-ə bölündü.

Hesablama səhvini göstərən pis işarə (daha az tez-tez yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıdakı kimi bir şey əldə etdiksə və müvafiq olaraq, , onda yüksək ehtimal dərəcəsi ilə elementar çevrilmələr zamanı səhvə yol verildiyini iddia etmək olar.

Biz tərs hərəkəti yükləyirik, nümunələrin dizaynında sistemin özü çox vaxt yenidən yazılmır və tənliklər "birbaşa verilmiş matrisdən götürülür". Tərs hərəkət, sizə xatırladıram, aşağıdan yuxarıya doğru işləyir. Bəli, burada bir hədiyyə var:

Cavab verin: .

Misal 4

Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin

Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir, bir qədər daha mürəkkəbdir. Kiminsə çaşqın olması yaxşıdır. Dərsin sonunda tam həll və dizayn nümunəsi. Sizin həlliniz mənimkindən fərqli ola bilər.

Sonuncu hissədə biz Gauss alqoritminin bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçiririk.
Birinci xüsusiyyət ondan ibarətdir ki, bəzən sistemin tənliklərində bəzi dəyişənlər yoxdur, məsələn:

Sistemin artırılmış matrisini necə düzgün yazmaq olar? Artıq dərsdə bu an haqqında danışdım. Kramer qaydası. Matris üsulu. Sistemin genişləndirilmiş matrisində çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyuruq:

Yeri gəlmişkən, bu, kifayət qədər asan bir nümunədir, çünki birinci sütunda artıq bir sıfır var və yerinə yetirmək üçün daha az elementar çevrilmə var.

İkinci xüsusiyyət budur. Nəzərdən keçirilən bütün nümunələrdə “addımlar” üzərinə ya –1, ya da +1 qoyduq. Başqa rəqəmlər ola bilərmi? Bəzi hallarda edə bilərlər. Sistemi nəzərdən keçirin: .

Burada yuxarı sol "addım" biz bir ikili var. Ancaq birinci sütundakı bütün nömrələrin 2-yə qalıqsız bölünməsi faktını görürük - və daha iki və altı. Və yuxarı solda ikili bizə uyğun olacaq! İlk addımda aşağıdakı çevrilmələri yerinə yetirməlisiniz: ikinci sətirə -1 ilə vurulmuş birinci sətri əlavə edin; üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Beləliklə, birinci sütunda istədiyiniz sıfırları alacağıq.

Və ya başqa bir hipotetik nümunə: . Burada ikinci “pillə”dəki üçlük də bizə uyğun gəlir, çünki 12 (sıfır almalı olduğumuz yer) 3-ə qalıqsız bölünür. Aşağıdakı çevrilməni həyata keçirmək lazımdır: üçüncü sətirə -4-ə vurulan ikinci sətri əlavə edin, bunun nəticəsində bizə lazım olan sıfır alınacaq.

Gauss metodu universaldır, lakin bir xüsusiyyəti var. Sistemləri başqa üsullarla (Kramer metodu, matris metodu) hərfi mənada ilk dəfədən inamla həll etməyi öyrənə bilərsiniz - çox sərt bir alqoritm var. Ancaq Gauss metodunda əmin olmaq üçün "əlinizi doldurmalı" və ən azı 5-10 sistemi həll etməlisiniz. Buna görə əvvəlcə çaşqınlıq, hesablamalarda səhvlər ola bilər və bunda qeyri-adi və ya faciəli bir şey yoxdur.

Pəncərədən kənarda yağışlı payız havası .... Buna görə də, hər kəs üçün müstəqil bir həll üçün daha mürəkkəb bir nümunə:

Misal 5

Qauss metodundan istifadə etməklə dörd naməlumlu dörd xətti tənlik sistemini həll edin.

Praktikada belə bir vəzifə o qədər də nadir deyil. Düşünürəm ki, hətta bu səhifəni təfərrüatı ilə öyrənmiş çaynik belə bir sistemin intuitiv şəkildə həllinin alqoritmini başa düşür. Əsasən eyni - daha çox hərəkət.

Sistemin heç bir həlli olmadığı (uyğunsuz) və ya sonsuz çoxlu həllərin olduğu hallar Uyumsuz sistemlər və ümumi həlli olan sistemlər dərsində nəzərdən keçirilir. Orada Gauss metodunun nəzərdən keçirilən alqoritmini düzəldə bilərsiniz.

Sizə uğurlar arzulayıram!

Həll və cavablar:

Misal 2: Həll : Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu pilləli formaya gətirək.

Elementar çevrilmələri həyata keçirdi:
(1) Birinci sətir ikinci sıraya əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. Diqqət! Burada üçüncü sətirdən birincini çıxarmaq cazibədar ola bilər, mən çıxarmağı qətiliklə tövsiyə etmirəm - səhv riski çox artır. Sadəcə qatlayırıq!
(2) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). İkinci və üçüncü sətirlər dəyişdirilib. Qeyd ki, "addımlar" da biz yalnız bir ilə deyil, həm də -1 ilə kifayətlənirik, bu daha rahatdır.
(3) Üçüncü sətirə 5-ə vurulan ikinci sətri əlavə edin.
(4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). Üçüncü sətir 14-ə bölündü.

Ters hərəkət:

Cavab verin: .

Misal 4: Həll : Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu pilləli formaya gətirək:

Həyata keçirilən çevrilmələr:
(1) Birinci sətirə ikinci sətir əlavə edildi. Beləliklə, istədiyiniz vahid yuxarı sol "addımda" təşkil edilir.
(2) 7-yə vurulan birinci cərgə ikinci sıraya, 6-ya vurulan birinci cərgə üçüncü sıraya əlavə edildi.

İkinci "addım" ilə hər şey daha pisdir , bunun üçün "namizədlər" 17 və 23 rəqəmləridir və bizə ya bir, ya da -1 lazımdır. Transformasiyalar (3) və (4) istədiyiniz vahidi əldə etməyə yönəldiləcəkdir

(3) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.
(4) -3-ə vurulan üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi.
(3) 4-ə vurulan ikinci sətir üçüncü sətirə, -1-ə vurulan ikinci sətir dördüncü sətirə əlavə edilmişdir.
(4) İkinci sətrin işarəsi dəyişdirildi. Dördüncü sətir 3-ə bölünərək üçüncü sətir əvəzinə qoyulmuşdur.
(5) Üçüncü sətir dördüncü sətirə əlavə edilib, -5-ə vurulub.

Ters hərəkət:

Bu məqalədə metod xətti tənliklər sistemlərinin (SLAE) həlli yolu kimi nəzərdən keçirilir. Metod analitikdir, yəni həll alqoritmini ümumi formada yazmağa və sonra oradakı xüsusi nümunələrdən dəyərləri əvəz etməyə imkan verir. Matris metodundan və ya Kramer düsturlarından fərqli olaraq, Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edərkən, sonsuz sayda həlli olanlarla da işləyə bilərsiniz. Yoxsa onlarda ümumiyyətlə yoxdur.

Gauss nə deməkdir

Əvvəlcə tənliklər sistemimizi yazmalısınız Bu belə görünür. Sistem alınır:

Katsayılar cədvəl şəklində, sağda isə ayrı bir sütunda - sərbəst üzvlər yazılır. Sərbəst üzvləri olan sütun rahatlıq üçün ayrılır.Bu sütunu ehtiva edən matris genişləndirilmiş adlanır.

Bundan əlavə, əmsalları olan əsas matris yuxarı üçbucaq formasına endirilməlidir. Sistemin Gauss üsulu ilə həllinin əsas məqamı budur. Sadəcə olaraq, müəyyən manipulyasiyalardan sonra matris belə görünməlidir ki, onun aşağı sol hissəsində yalnız sıfırlar olsun:

Sonra, yeni matrisi yenidən tənliklər sistemi kimi yazsanız, görəcəksiniz ki, axırıncı cərgədə artıq köklərdən birinin qiyməti var, sonra yuxarıdakı tənliyə əvəzlənir, başqa bir kök tapılır və s.

Bu, Gauss üsulu ilə həllin ən ümumi ifadələrlə təsviridir. Və birdən sistemin həlli yoxdursa nə baş verir? Yoxsa onların sonsuz sayda var? Bu və bir çox digər suallara cavab vermək üçün Gauss üsulu ilə həlldə istifadə olunan bütün elementləri ayrıca nəzərdən keçirmək lazımdır.

Matrislər, onların xassələri

Matrisdə heç bir gizli məna yoxdur. Bu, yalnız sonrakı əməliyyatlar üçün məlumatları qeyd etmək üçün əlverişli bir yoldur. Hətta məktəblilər də onlardan qorxmamalıdır.

Matris həmişə düzbucaqlıdır, çünki daha rahatdır. Hər şeyin üçbucaqlı matrisin qurulmasına qədər qaynadığı Gauss metodunda belə, girişdə düzbucaqlı görünür, yalnız rəqəmlərin olmadığı yerdə sıfırlarla. Sıfırlar buraxıla bilər, lakin onlar nəzərdə tutulur.

Matrisin ölçüsü var. Onun "eni" sətirlərin sayıdır (m), "uzunluğu" sütunların sayıdır (n). Sonra A matrisinin ölçüsü (adətən onların təyini üçün böyük Latın hərfləri istifadə olunur) A m×n kimi işarələnəcəkdir. Əgər m=n olarsa, bu matris kvadratdır, m=n isə onun sırasıdır. Müvafiq olaraq, A matrisinin istənilən elementi onun sətir və sütununun nömrəsi ilə işarələnə bilər: a xy ; x - sətir nömrəsi, dəyişikliklər , y - sütun nömrəsi, dəyişikliklər .

B həllin əsas nöqtəsi deyil. Prinsipcə, bütün əməliyyatlar birbaşa tənliklərin özləri ilə edilə bilər, lakin qeyd daha çətin olacaq və onda çaşqınlıq daha asan olacaq.

Müəyyənedici

Matris də müəyyənediciyə malikdir. Bu çox vacib xüsusiyyətdir. İndi onun mənasını tapmağa dəyməz, sadəcə onun necə hesablandığını göstərə və sonra matrisin hansı xassələrini təyin etdiyini söyləyə bilərsiniz. Determinantı tapmağın ən asan yolu diaqonallardan keçir. Matrisdə xəyali diaqonallar çəkilir; onların hər birində yerləşən elementlər çoxaldılır və sonra nəticədə alınan məhsullar əlavə olunur: sağa yamaclı diaqonallar - "artı" işarəsi ilə, sola bir yamac ilə - "mənfi" işarəsi ilə.

Qeyd etmək son dərəcə vacibdir ki, determinant yalnız kvadrat matris üçün hesablana bilər. Düzbucaqlı matris üçün aşağıdakıları edə bilərsiniz: sıraların və sütunların sayının ən kiçiyini seçin (k olsun) və sonra matrisdə təsadüfi olaraq k sütunu və k sətri qeyd edin. Seçilmiş sütunların və cərgələrin kəsişməsində yerləşən elementlər yeni kvadrat matris təşkil edəcək. Belə bir matrisin təyinedicisi sıfırdan fərqli bir ədəddirsə, o, ilkin düzbucaqlı matrisin əsas minoru adlanır.

Tənliklər sisteminin Gauss üsulu ilə həllinə davam etməzdən əvvəl determinantı hesablamaq zərər vermir. Sıfır olarsa, o zaman dərhal deyə bilərik ki, matrisin ya sonsuz sayda həlli var, ya da heç biri yoxdur. Belə bir kədərli vəziyyətdə, daha da irəli getmək və matrisin dərəcəsini öyrənmək lazımdır.

Sistemin təsnifatı

Matrisin rütbəsi kimi bir şey var. Bu, onun sıfırdan fərqli determinantının maksimum sırasıdır (minor əsasını xatırlayaraq, matrisin dərəcəsinin əsas minorun sırası olduğunu deyə bilərik).

İşlərin dərəcə ilə necə olduğuna görə, SLAE aşağıdakılara bölünə bilər:

Birgə. At birgə sistemlərdə əsas matrisin rütbəsi (yalnız əmsallardan ibarət) genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi ilə (sərbəst üzvlər sütunu ilə) üst-üstə düşür. Bu cür sistemlərin bir həlli var, lakin mütləq bir deyil, buna görə də birgə sistemlər əlavə olaraq bölünür:
- müəyyən- unikal həllin olması. Müəyyən sistemlərdə matrisin dərəcəsi və naməlumların sayı (və ya eyni şey olan sütunların sayı) bərabərdir;
- qeyri-müəyyən - sonsuz sayda həll yolu ilə. Belə sistemlər üçün matrislərin dərəcəsi naməlumların sayından azdır.
Uyğun deyil. At belə sistemlərdə əsas və genişləndirilmiş matrislərin dərəcələri üst-üstə düşmür. Uyğun olmayan sistemlərin həlli yoxdur.

Gauss metodu ona görə yaxşıdır ki, o, ya sistemin uyğunsuzluğunun birmənalı sübutunu (böyük matrislərin determinantlarını hesablamadan) və ya sonsuz sayda həlli olan sistem üçün ümumi həlli əldə etməyə imkan verir.

Elementar çevrilmələr

Sistemin həllinə birbaşa keçməzdən əvvəl, onu daha az çətinləşdirmək və hesablamalar üçün daha rahat etmək mümkündür. Bu elementar transformasiyalar vasitəsilə əldə edilir - onların həyata keçirilməsi heç bir şəkildə yekun cavabı dəyişdirməsin. Qeyd etmək lazımdır ki, yuxarıda göstərilən elementar çevrilmələrdən bəziləri yalnız mənbəyi məhz SLAE olan matrislər üçün etibarlıdır. Bu çevrilmələrin siyahısı:

Simli permutasiya. Aydındır ki, sistem qeydində tənliklərin sırasını dəyişdirsək, bu, heç bir şəkildə həllə təsir etməyəcək. Nəticə etibarilə, bu sistemin matrisindəki sətirləri dəyişdirmək də mümkündür, təbii ki, sərbəst üzvlər sütununu da unutmaq olmaz.
Sətirin bütün elementlərinin müəyyən faktora vurulması. Çox faydalıdır! Bununla siz matrisdəki böyük rəqəmləri azalda və ya sıfırları silə bilərsiniz. Həlllər dəsti, həmişə olduğu kimi, dəyişməyəcək və sonrakı əməliyyatları yerinə yetirmək daha rahat olacaq. Əsas odur ki, əmsal sıfıra bərabər deyil.
Proporsional əmsalları olan sətirləri silin. Bu, qismən əvvəlki bənddən irəli gəlir. Matrisdəki iki və ya daha çox sətir mütənasib əmsallara malikdirsə, cərgələrdən birini mütənasiblik əmsalı ilə vurarkən / bölərkən iki (və ya yenə də daha çox) tamamilə eyni cərgə əldə edilir və yalnız qalanları buraxaraq əlavələri silə bilərsiniz. bir.
Null xəttinin çıxarılması. Transformasiyalar zamanı bütün elementlərin, o cümlədən sərbəst üzvün sıfır olduğu bir sətir əldə edilirsə, belə bir sətir sıfır adlandırıla bilər və matrisdən atılır.
Bir cərgənin elementlərinə digərinin elementlərinin əlavə edilməsi (müvafiq sütunlarda), müəyyən bir əmsala vurulur. Ən qaranlıq və ən vacib çevrilmə. Bunun üzərində daha ətraflı dayanmağa dəyər.

Bir əmsala vurulan bir sətir əlavə etmək

Anlamaq asanlığı üçün bu prosesi addım-addım sökməyə dəyər. Matrisdən iki cərgə götürülür:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tutaq ki, birincini ikinciyə əlavə etmək lazımdır, "-2" əmsalı ilə vurulur.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Sonra matrisdə ikinci sıra yenisi ilə əvəz olunur və birincisi dəyişməz qalır.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Qeyd etmək lazımdır ki, vurma əmsalı elə seçilə bilər ki, iki sətirin əlavə edilməsi nəticəsində yeni sətirin elementlərindən biri sıfıra bərabər olsun. Buna görə də sistemdə daha az bilinməyən birinin olacağı bir tənlik əldə etmək olar. Və iki belə tənlik əldə etsəniz, əməliyyat yenidən edilə bilər və onsuz da iki az naməlum olan bir tənlik əldə edə bilərsiniz. Hər dəfə orijinaldan aşağı olan bütün sətirlər üçün bir əmsal sıfıra dönsək, addımlar kimi matrisin ən aşağısına enib bir naməlum tənlik əldə edə bilərik. Buna Qauss metodundan istifadə edərək sistemin həlli deyilir.

Ümumiyyətlə

Qoy sistem olsun. Onun m tənliyi və n naməlum kökü var. Bunu belə yaza bilərsiniz:

Əsas matris sistemin əmsallarından tərtib edilir. Sərbəst üzvlər sütunu genişləndirilmiş matrisə əlavə edilir və rahatlıq üçün çubuqla ayrılır.

matrisin birinci cərgəsi k = (-a 21 / a 11) əmsalı ilə vurulur;
matrisin birinci dəyişdirilmiş sırası və ikinci sıra əlavə olunur;
ikinci sətir əvəzinə əvvəlki abzasdan əlavənin nəticəsi matrisə daxil edilir;
indi yeni ikinci cərgədə birinci əmsal 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0-dır.

İndi eyni transformasiya seriyası həyata keçirilir, yalnız birinci və üçüncü sıralar iştirak edir. Müvafiq olaraq, alqoritmin hər addımında a 21 elementi 31 ilə əvəz olunur. Sonra hər şey 41, ... a m1 üçün təkrarlanır. Nəticə sətirlərdəki birinci elementin sıfıra bərabər olduğu bir matrisdir. İndi bir nömrəli sətri unutmaq və ikinci sətirdən başlayaraq eyni alqoritmi yerinə yetirmək lazımdır:

əmsalı k \u003d (-a 32 / a 22);
ikinci dəyişdirilmiş sətir “cari” sətirə əlavə edilir;
üçüncü, dördüncü və s. sətirlərdə əlavənin nəticəsi əvəz edilir, birinci və ikinci isə dəyişməz qalır;
matrisin sətirlərində ilk iki element artıq sıfıra bərabərdir.

Alqoritm k = (-a m,m-1 /a mm) əmsalı görünənə qədər təkrarlanmalıdır. Bu o deməkdir ki, alqoritm sonuncu dəfə yalnız aşağı tənlik üçün işlədilib. İndi matris üçbucağa bənzəyir və ya pilləli formaya malikdir. Aşağı xətt a mn × x n = b m bərabərliyini ehtiva edir. Əmsal və sərbəst termin məlumdur və kök onların vasitəsilə ifadə olunur: x n = b m /a mn. X n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 tapmaq üçün yaranan kök yuxarı cərgədə əvəz olunur. Bənzətmə ilə belə davam edir: hər növbəti sətirdə yeni bir kök var və sistemin "yuxarısına" çatdıqdan sonra bir çox həll yolu tapa bilərsiniz. O, yeganə olacaq.

Həll yolları olmadıqda

Əgər matris sətirlərinin birində sərbəst termindən başqa bütün elementlər sıfıra bərabərdirsə, bu cərgəyə uyğun gələn tənlik 0 = b kimi görünür. Bunun həlli yoxdur. Və belə bir tənlik sistemə daxil olduğundan, bütün sistemin həllər toplusu boşdur, yəni degenerativdir.

Sonsuz sayda həll yolu olduqda

Məlum ola bilər ki, azaldılmış üçbucaqlı matrisdə bir element - tənliyin əmsalı və bir - sərbəst üzv olan cərgələr yoxdur. Yalnız sətirlər var ki, onlar yenidən yazıldığında iki və ya daha çox dəyişəni olan tənliyə bənzəyəcək. Bu o deməkdir ki, sistemin sonsuz sayda həlli var. Bu halda cavab ümumi həll şəklində verilə bilər. Bunu necə etmək olar?

Matrisdəki bütün dəyişənlər əsas və sərbəst bölünür. Əsas - bunlar pilləli matrisdəki sıraların "kənarında" duranlardır. Qalanları pulsuzdur. Ümumi həlldə əsas dəyişənlər sərbəst olanlar baxımından yazılır.

Rahatlıq üçün matris əvvəlcə tənliklər sisteminə yenidən yazılır. Sonra yalnız bir əsas dəyişənin qaldığı sonuncuda bir tərəfdə qalır, qalan hər şey digərinə keçir. Bu, bir əsas dəyişəni olan hər bir tənlik üçün edilir. Sonra qalan tənliklərdə, mümkün olduqda, əsas dəyişən əvəzinə, onun üçün alınan ifadə əvəz olunur. Nəticə yenə yalnız bir əsas dəyişəni ehtiva edən ifadədirsə, hər bir əsas dəyişən sərbəst dəyişənlərlə ifadə kimi yazılana qədər oradan yenidən ifadə edilir və s. Bu, SLAE-nin ümumi həllidir.

Sistemin əsas həllini də tapa bilərsiniz - pulsuz dəyişənlərə istənilən dəyərləri verin və sonra bu xüsusi vəziyyət üçün əsas dəyişənlərin dəyərlərini hesablayın. Sonsuz bir çox xüsusi həllər var.

Xüsusi nümunələrlə həll

Budur tənliklər sistemi.

Rahatlıq üçün dərhal onun matrisini yaratmaq daha yaxşıdır

Məlumdur ki, Qauss üsulu ilə həll edildikdə birinci sıraya uyğun gələn tənlik çevrilmələrin sonunda dəyişməz qalacaq. Buna görə, matrisin yuxarı sol elementi ən kiçikdirsə, daha sərfəli olacaq - əməliyyatlardan sonra qalan cərgələrin ilk elementləri sıfıra çevriləcəkdir. Bu o deməkdir ki, tərtib edilmiş matrisdə birinci sıranın yerinə ikincinin qoyulması sərfəlidir.

ikinci sətir: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

üçüncü sətir: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

İndi çaşqınlıq yaratmamaq üçün çevrilmələrin aralıq nəticələri ilə matrisi yazmaq lazımdır.

Aydındır ki, belə bir matrisi bəzi əməliyyatların köməyi ilə qavrayış üçün daha əlverişli etmək olar. Məsələn, hər bir elementi "-1"-ə vurmaqla ikinci sətirdən bütün "mənfiləri" silə bilərsiniz.

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, üçüncü cərgədə bütün elementlər üçə çoxluq təşkil edir. Sonra hər bir elementi "-1/3" (mənfi dəyərləri çıxarmaq üçün mənfi - eyni zamanda) vuraraq, bu rəqəmlə sətri azalda bilərsiniz.

Çox daha gözəl görünür. İndi birinci sətri tək buraxıb ikinci və üçüncü ilə işləmək lazımdır. Tapşırıq ikinci sıranı üçüncü sıraya əlavə etməkdir, belə bir əmsala vurulur ki, a 32 elementi sıfıra bərabər olsun.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 kəsrlər və yalnız bundan sonra cavablar alındıqda yuvarlaqlaşdırılıb başqa qeyd formasına tərcümə ediləcəyinə qərar verin)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matris yenidən yeni dəyərlərlə yazılır.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Göründüyü kimi, nəticədə alınan matrisin artıq pilləli forması var. Buna görə də sistemin Qauss üsulu ilə əlavə transformasiyası tələb olunmur. Burada edilə bilən ümumi əmsalı "-1/7" üçüncü sətirdən çıxarmaqdır.

İndi hər şey gözəldir. Nöqtə kiçikdir - matrisi yenidən tənliklər sistemi şəklində yazın və kökləri hesablayın

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

İndi köklərin tapılacağı alqoritmə Gauss metodunda tərs hərəkət deyilir. Tənlik (3) z dəyərini ehtiva edir:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Və birinci tənlik x tapmağa imkan verir:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Belə bir sistemi müştərək, hətta müəyyən, yəni unikal həlli olan adlandırmaq hüququmuz var. Cavab aşağıdakı formada yazılır:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Qeyri-müəyyən sistem nümunəsi

Müəyyən bir sistemin Gauss üsulu ilə həlli variantı təhlil edilmişdir, indi sistemin qeyri-müəyyən olması, yəni onun üçün sonsuz sayda həll yollarının tapılması halına baxmaq lazımdır.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sistemin öz forması artıq narahatedicidir, çünki naməlumların sayı n = 5-dir və sistemin matrisinin dərəcəsi artıq bu rəqəmdən tam olaraq azdır, çünki cərgələrin sayı m = 4-dür, yəni. kvadrat təyinedicinin ən böyük sırası 4. Bu o deməkdir ki, sonsuz sayda həll var və onun ümumi formasını axtarmaq lazımdır. Xətti tənliklər üçün Gauss metodu bunu etməyə imkan verir.

Birincisi, həmişəki kimi, genişlənmiş matris tərtib edilir.

İkinci sətir: əmsal k = (-a 21 / a 11) = -3. Üçüncü sətirdə birinci element çevrilmələrdən əvvəldir, ona görə də heç bir şeyə toxunmaq lazım deyil, onu olduğu kimi tərk etmək lazımdır. Dördüncü sətir: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Birinci cərgənin elementlərini növbə ilə onların əmsallarının hər birinə vuraraq və istədiyiniz cərgələrə əlavə edərək aşağıdakı formanın matrisini alırıq:

Göründüyü kimi, ikinci, üçüncü və dördüncü sıralar bir-birinə mütənasib olan elementlərdən ibarətdir. İkinci və dördüncü ümumiyyətlə eynidır, buna görə də onlardan biri dərhal çıxarıla bilər, qalanları isə "-1" əmsalı ilə vurulur və 3 nömrəli xətt əldə edilir. Və yenə də iki eyni xəttdən birini buraxın.

Belə bir matris çıxdı. Sistem hələ yazılmayıb, burada əsas dəyişənləri müəyyən etmək lazımdır - a 11 \u003d 1 və 22 \u003d 1 əmsallarında dayanaraq, qalanları isə pulsuzdur.

İkinci tənliyin yalnız bir əsas dəyişəni var - x 2 . Deməli, sərbəst olan x 3 , x 4 , x 5 dəyişənləri vasitəsilə yazmaqla oradan ifadə oluna bilər.

Əldə olunan ifadəni birinci tənliyə əvəz edirik.

Yeganə əsas dəyişənin x 1 olduğu bir tənlik ortaya çıxdı. Gəlin bununla da x 2 ilə eyni şeyi edək.

İkisi olan bütün əsas dəyişənlər üç sərbəst olanlar baxımından ifadə edilir, indi cavabı ümumi formada yaza bilərsiniz.

Siz həmçinin sistemin xüsusi həllərindən birini təyin edə bilərsiniz. Belə hallar üçün, bir qayda olaraq, pulsuz dəyişənlər üçün qiymətlər kimi sıfırlar seçilir. Sonra cavab belə olacaq:

16, 23, 0, 0, 0.

Uyğun olmayan sistem nümunəsi

Uyğun olmayan tənlik sistemlərinin Gauss üsulu ilə həlli ən sürətlidir. Mərhələlərdən birində həlli olmayan tənlik əldə edilən kimi bitir. Yəni kifayət qədər uzun və üzücü olan köklərin hesablanması ilə mərhələ aradan qalxır. Aşağıdakı sistem hesab olunur:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Həmişə olduğu kimi, matris tərtib edilir:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Və pilləli formaya endirilir:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Birinci transformasiyadan sonra üçüncü sətir formanın tənliyini ehtiva edir

həlli olmayan. Buna görə də sistem uyğunsuzdur və cavab boş çoxluqdur.

Metodun üstünlükləri və mənfi cəhətləri

SLAE-ni kağız üzərində qələmlə həll etməyin hansı üsulunu seçsəniz, bu məqalədə nəzərdən keçirilən üsul ən cəlbedici görünür. Elementar çevrilmələrdə, determinantı və ya bəzi çətin tərs matrisi əl ilə axtarmaq lazım gələrsə, çaşqınlığa düşmək daha çətindir. Bununla belə, əgər siz bu tip verilənlərlə, məsələn, elektron cədvəllərlə işləmək üçün proqramlardan istifadə edirsinizsə, onda məlum olur ki, belə proqramlarda artıq matrislərin əsas parametrlərinin - determinant, minorlar, tərs və s. hesablanması üçün alqoritmlər var. Və maşının bu dəyərləri özü hesablayacağına və səhv etməyəcəyinə əminsinizsə, matris metodundan və ya Kramer düsturlarından istifadə etmək daha məqsədəuyğundur, çünki onların tətbiqi determinantların və tərs matrislərin hesablanması ilə başlayır və bitir.

Ərizə

Qauss həlli alqoritm, matris isə əslində ikiölçülü massiv olduğundan proqramlaşdırmada ondan istifadə etmək olar. Ancaq məqalə özünü "dummies" üçün bələdçi kimi yerləşdirdiyindən, metodu yerləşdirmək üçün ən asan yerin elektron cədvəllər, məsələn, Excel olduğunu söyləmək lazımdır. Yenə də cədvələ matris şəklində daxil edilmiş hər hansı SLAE Excel tərəfindən iki ölçülü massiv kimi qəbul ediləcək. Onlarla əməliyyatlar üçün isə çoxlu gözəl əmrlər var: toplama (yalnız eyni ölçülü matrisləri əlavə edə bilərsiniz!), ədədə vurma, matrisə vurma (həmçinin müəyyən məhdudiyyətlərlə), tərs və köçürülmüş matrisləri tapmaq və ən əsası , determinantın hesablanması. Bu vaxt aparan tapşırıq tək bir əmrlə əvəz edilərsə, matrisin rütbəsini təyin etmək və deməli, onun uyğunluğunu və ya uyğunsuzluğunu müəyyən etmək daha sürətli olur.

Xətti tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirməyə davam edirik. Bu dərs mövzu üzrə üçüncü dərsdir. Xətti tənliklər sisteminin ümumiyyətlə nə olduğu barədə qeyri-müəyyən bir fikriniz varsa, özünüzü çaydan kimi hiss edirsiniz, onda Növbəti səhifədəki əsaslardan başlamağı məsləhət görürəm, dərsi öyrənmək faydalıdır.

Əvvəlcə xətti tənliklər sistemləri haqqında bilikləri bir az sistemləşdiririk. Xətti tənliklər sistemi:

1) Unikal həll yolu var. 2) Sonsuz bir çox həll yolu var. 3) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun uyğunsuz).

Gauss metodu həll tapmaq üçün ən güclü və çox yönlü vasitədir hər hansı xətti tənliklər sistemləri. xatırladığımız kimi Kramer qaydası və matris üsulu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu hər halda bizi cavaba apar! Bu dərsdə biz 1-ci hal (sistemin yeganə həlli) üçün yenidən Gauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik, məqalə 2-3-cü nöqtələrin vəziyyətləri üçün ayrılmışdır. Qeyd edim ki, metod alqoritminin özü hər üç halda eyni şəkildə işləyir.

Dərsdən ən sadə sistemə qayıdaq Xətti tənliklər sistemini necə həll etmək olar? və onu Qauss üsulu ilə həll edin.

İlk addım yazmaqdır genişləndirilmiş matris sistemi: . Əmsalların hansı prinsiplə qeydə alındığını düşünürəm ki, hamı görə bilər. Matris daxilində şaquli xətt heç bir riyazi məna daşımır - bu, dizaynın asanlığı üçün sadəcə üstü xəttdir.

istinad : xatırlamağı tövsiyə edirəm şərtlər xətti cəbr. Sistem matrisi yalnız naməlumlar üçün əmsallardan ibarət matrisdir, bu misalda sistemin matrisi: . Genişləndirilmiş Sistem Matrisi sistemin eyni matrisi üstəgəl sərbəst üzvlərin sütunudur, bu halda: . Matrislərdən hər hansı birini qısalıq üçün sadəcə matris adlandırmaq olar.

Sistemin uzadılmış matrisi yazıldıqdan sonra onunla bəzi hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır ki, bunlara da deyilir. elementar çevrilmələr.

Aşağıdakı elementar çevrilmələr var:

3) Dönüştürmələr zamanı matrisdə sıfır cərgə yaranıbsa, o da əmələ gəlir silin. Mən çəkməyəcəyəm, əlbəttə ki, sıfır xətti olan xəttdir yalnız sıfırlar.

Təcrübədə, əlbəttə ki, bu qədər təfərrüatla rənglənmirlər, lakin daha qısa yazırlar: Bir daha: ikinci sıraya -2 ilə vurulan birinci sıra əlavə edildi. Xətt adətən şifahi və ya qaralama üzərində vurulur, hesablamaların zehni gedişatı isə belədir:

“Matrisi yenidən yazıram və birinci sətri yenidən yazıram: »

“İndi ikinci sütun. -1 dəfədən yuxarı -2: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 1 + 2 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

“Və üçüncü sütun. -5 dəfədən yuxarı -2: . Birinci sətri ikinci sətirə əlavə edirəm: -7 + 10 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

Elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir

Sistemin artırılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu azaldaq pilləli görünüş:

(2) İkinci sıranı 3-ə bölün.

Elementar çevrilmələr nəticəsində əldə etdik ekvivalent orijinal tənliklər sistemi:

İndi sistemin əks istiqamətdə "burulması" lazımdır - aşağıdan yuxarıya, bu proses adlanır əks Gauss üsulu.

Aşağı tənlikdə artıq bitmiş nəticəyə sahibik: .

Sistemin ilk tənliyini nəzərdən keçirin və artıq məlum olan “y” dəyərini ona əvəz edin:

Üç naməlumlu üç xətti tənlik sistemini həll etmək üçün Qauss metodunun tələb olunduğu ən ümumi vəziyyəti nəzərdən keçirək.

Misal 1

Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin:

Sistemin artırılmış matrisini yazaq:

İndi dərhal həll prosesində gələcəyimiz nəticəni çəkəcəyəm: Yenə deyirəm, məqsədimiz elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisi pilləli formaya gətirməkdir. Tədbirə haradan başlamaq lazımdır?

Əvvəlcə yuxarı sol rəqəmə baxın: Demək olar ki, həmişə burada olmalıdır vahid. Ümumiyyətlə, -1 (və bəzən başqa nömrələr) də uyğun olacaq, lakin ənənəvi olaraq bir vahidin ümumiyyətlə orada yerləşdirildiyi baş verdi. Bölməni necə təşkil etmək olar? Birinci sütuna baxırıq - bitmiş bir vahidimiz var! Birinci transformasiya: birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin:

İndi birinci sətir həllin sonuna qədər dəyişməz qalacaq. İndi yaxşı.

Yuxarı solda olan bölmə təşkil olunub. İndi bu yerlərdə sıfırlar əldə etməlisiniz:

Nəticə ikinci sətirdə yazılır:

Nəticə üçüncü sətirdə yazılır:

Praktikada bu hərəkətlər adətən şifahi şəkildə həyata keçirilir və bir addımda yazılır:

Hər şeyi bir anda və eyni anda hesablamağa ehtiyac yoxdur. Hesablamaların ardıcıllığı və nəticələrin "daxil edilməsi" ardıcıl və adətən belə olur: əvvəlcə birinci sətri yenidən yazırıq və özümüzü sakitcə ovuşdururuq - ARADDALI və DİQQƏTLİ:
Mən yuxarıda hesablamaların zehni gedişatını artıq nəzərdən keçirdim.

Elementar çevrilmələrin son mərhələsində burada daha bir sıfır əldə edilməlidir:

Bunun üçün üçüncü sətirə -2 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik:
Bu hərəkəti özünüz təhlil etməyə çalışın - zehni olaraq ikinci sətri -2-yə vurun və əlavə edin.

Sonuncu yerinə yetirilən hərəkət nəticənin saç düzümüdür, üçüncü xətti 3-ə bölün.

Elementar çevrilmələr nəticəsində xətti tənliklərin ekvivalent ilkin sistemi əldə edildi: Sərin.

İndi Qauss metodunun tərs kursu işə düşür. Tənliklər aşağıdan yuxarıya doğru "açılır".

Üçüncü tənlikdə artıq bitmiş nəticəyə sahibik:

İkinci tənliyə baxaq: . "Z" hərfinin mənası artıq məlumdur, beləliklə:

Və nəhayət, birinci tənlik: . “Y” və “Z” məlumdur, məsələ kiçikdir:

Cavab verin:

Dəfələrlə qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir tənlik sistemi üçün tapılan həlli yoxlamaq mümkündür və lazımdır, xoşbəxtlikdən, bu çətin və sürətli deyil.

Misal 2

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunə, bitirmə nümunəsi və dərsin sonunda cavabdır.

Qeyd etmək lazımdır ki, sizin hərəkət kurs hərəkətlərimlə üst-üstə düşməyə bilər, və bu Gauss metodunun xüsusiyyətidir. Amma cavablar eyni olmalıdır!

Misal 3

Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin

Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Orada bir vahidimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə heç kim yoxdur, ona görə də sətirləri yenidən yerləşdirməklə heç nə həll edilə bilməz. Belə hallarda vahid elementar çevrilmə ilə təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Mən bunu etdim: (1) Birinci sətirə -1-ə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci xətti -1-ə vurduq və birinci və ikinci sətirlərin əlavəsini yerinə yetirdik, ikinci sətir dəyişmədi.

İndi yuxarı solda "mənfi bir" bizə mükəmməl uyğun gəlir. +1 almaq istəyən əlavə bir jest edə bilər: birinci sətri -1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin).

(2) 5-ə vurulan birinci cərgə ikinci sıraya, 3-ə vurulan birinci cərgə üçüncü sıraya əlavə edildi.

(4) 2-yə vurulan ikinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.

(5) Üçüncü sıra 3-ə bölündü.

Cavab verin: .

Misal 4

Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin

Sonuncu hissədə biz Gauss alqoritminin bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçiririk. Birinci xüsusiyyət ondan ibarətdir ki, bəzən sistemin tənliklərində bəzi dəyişənlər yoxdur, məsələn: Sistemin artırılmış matrisini necə düzgün yazmaq olar? Artıq dərsdə bu an haqqında danışdım. Kramer qaydası. Matris üsulu. Sistemin genişləndirilmiş matrisində çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyuruq: Yeri gəlmişkən, bu, kifayət qədər asan bir nümunədir, çünki birinci sütunda artıq bir sıfır var və yerinə yetirmək üçün daha az elementar çevrilmə var.

Gauss metodu universaldır, lakin bir xüsusiyyəti var. Sistemləri başqa üsullarla (Kramer metodu, matris metodu) hərfi mənada ilk dəfədən inamla həll etməyi öyrənə bilərsiniz - çox sərt bir alqoritm var. Ancaq Gauss metoduna arxayın olmaq üçün "əlinizi doldurmalı" və ən azı 5-10 on sistemi həll etməlisiniz. Buna görə əvvəlcə çaşqınlıq, hesablamalarda səhvlər ola bilər və bunda qeyri-adi və ya faciəli bir şey yoxdur.

Pəncərədən kənarda yağışlı payız havası .... Buna görə də, hər kəs üçün müstəqil bir həll üçün daha mürəkkəb bir nümunə:

Misal 5

Qauss metodundan istifadə etməklə dörd naməlumlu 4 xətti tənlik sistemini həll edin.

Dərsdə sistemin həlli olmadığı (uyğunsuz) və ya sonsuz sayda həlli olduğu hallar nəzərdən keçirilir. Uyğun olmayan sistemlər və ümumi həlli olan sistemlər. Orada Gauss metodunun nəzərdən keçirilən alqoritmini düzəldə bilərsiniz.

Sizə uğurlar arzulayıram!

Həll və cavablar:

Misal 2: Həll : Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu pilləli formaya gətirək.
Elementar çevrilmələri həyata keçirdi: (1) Birinci sətir ikinci sıraya əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. Diqqət! Burada üçüncü sətirdən birincini çıxarmaq cazibədar ola bilər, mən çıxarmağı qətiliklə tövsiyə etmirəm - səhv riski çox artır. Sadəcə qatlayırıq! (2) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). İkinci və üçüncü sətirlər dəyişdirilib. Qeyd ki, "addımlar" da biz yalnız bir ilə deyil, həm də -1 ilə kifayətlənirik, bu daha rahatdır. (3) Üçüncü sətirə 5-ə vurulan ikinci sətri əlavə edin. (4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). Üçüncü sətir 14-ə bölündü.

Ters hərəkət:

Cavab verin : .

Misal 4: Həll : Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu pilləli formaya gətirək:

Həyata keçirilən çevrilmələr: (1) Birinci sətirə ikinci sətir əlavə edildi. Beləliklə, istədiyiniz vahid yuxarı sol "addımda" təşkil edilir. (2) 7-yə vurulan birinci cərgə ikinci sıraya, 6-ya vurulan birinci cərgə üçüncü sıraya əlavə edildi.

İkinci "addım" ilə hər şey daha pisdir , bunun üçün "namizədlər" 17 və 23 rəqəmləridir və bizə ya bir, ya da -1 lazımdır. Transformasiyalar (3) və (4) istədiyiniz vahidi əldə etməyə yönəldiləcəkdir (3) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. (4) -3-ə vurulan üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi. İkinci addımda lazım olan şey alınır . (5) Üçüncü sətirə ikinci əlavə edildi, 6-ya vuruldu. (6) İkinci sıra -1-ə vuruldu, üçüncü sıra -83-ə bölündü.

Ters hərəkət:

Cavab verin :

Misal 5: Həll : Sistemin matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək:

Həyata keçirilən çevrilmələr: (1) Birinci və ikinci sətirlər dəyişdirildi. (2) Birinci sətir ikinci sıraya əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir dördüncü sətirə əlavə edildi, -3 ilə vuruldu. (3) 4-ə vurulan ikinci sətir üçüncü sətirə, -1-ə vurulan ikinci sətir dördüncü sətirə əlavə edilmişdir. (4) İkinci sətrin işarəsi dəyişdirildi. Dördüncü sətir 3-ə bölünərək üçüncü sətir əvəzinə qoyulmuşdur. (5) Üçüncü sətir dördüncü sətirə əlavə edilib, -5-ə vurulub.

Ters hərəkət:

Cavab verin :

Həll edilməli olan xətti cəbri tənliklər sistemi verilsin (sistemin hər tənliyini bərabərliyə çevirən xi naməlumların belə qiymətlərini tapın).

Biz bilirik ki, xətti cəbri tənliklər sistemi:

1) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun uyğunsuz).
2) Sonsuz bir çox həll yolu var.
3) Unikal həll yolu var.

Xatırladığımız kimi, sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda Kramer qaydası və matris üsulu uyğun deyil. Gauss üsulu – istənilən xətti tənliklər sisteminin həlli üçün ən güclü və çox yönlü vasitədir, hansı hər halda bizi cavaba apar! Hər üç halda metodun alqoritmi eyni şəkildə işləyir. Əgər Kramer və matris üsulları determinantlar haqqında bilik tələb edirsə, o zaman Qauss metodunun tətbiqi yalnız arifmetik əməliyyatlar haqqında bilik tələb edir ki, bu da onu hətta ibtidai sinif şagirdləri üçün də əlçatan edir.

Genişləndirilmiş matris çevrilmələri ( bu sistemin matrisidir - yalnız naməlumların əmsallarından ibarət matris, üstəgəl sərbəst şərtlər sütunu) Gauss metodunda xətti cəbri tənliklər sistemləri:

1) ilə troky matrislər bacarmaq yenidən təşkil etmək yerlər.

2) matrisdə mütənasib (xüsusi halda - eyni) sətirlər varsa (və ya varsa), onda aşağıdakı silin matrisdən, biri istisna olmaqla, bütün bu sıralar.

3) çevrilmələr zamanı matrisdə sıfır cərgə yaranıbsa, o da əmələ gəlir silin.

4) matrisin sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) sıfırdan başqa istənilən ədədə.

5) matrisin sırasına, edə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli.

Qauss metodunda elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir.

Gauss metodu iki mərhələdən ibarətdir:

"Birbaşa hərəkət" - elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, xətti cəbri tənliklər sisteminin genişləndirilmiş matrisini "üçbucaqlı" pilləli formaya gətirin: əsas diaqonalın altında yerləşən genişləndirilmiş matrisin elementləri sıfıra bərabərdir (yuxarıdan aşağıya hərəkət ). Məsələn, bu növə:

Bunu etmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirin:

1) Xətti cəbri tənliklər sisteminin birinci tənliyini nəzərdən keçirək və x 1-dəki əmsalı K-yə bərabərdir. İkinci, üçüncü və s. tənlikləri aşağıdakı kimi çeviririk: hər bir tənliyi (naməlumlar üçün əmsallar, o cümlədən sərbəst şərtləri) hər bir tənlikdə olan naməlum x 1 əmsalı ilə bölürük və K ilə vururuq. Bundan sonra ikinci tənlikdən birincini çıxarırıq ( naməlumlar və sərbəst şərtlər üçün əmsallar). İkinci tənlikdə x 1-də 0 əmsalını alırıq. Üçüncü çevrilmiş tənlikdən birinci tənliyi çıxırıq, ona görə də birincidən başqa, naməlum x 1 olan bütün tənliklərin 0 əmsalı olmayacaq.

2) Növbəti tənliyə keçin. Bu, ikinci tənlik olsun və x 2-də əmsalı M-ə bərabər olsun. Bütün "tabe" tənliklərlə yuxarıda təsvir olunduğu kimi davam edirik. Beləliklə, bütün tənliklərdə naməlum x 2-nin "altında" sıfırlar olacaqdır.

3) Son bir naməlum və çevrilmiş sərbəst termin qalana qədər növbəti tənliyə keçirik və s.

Gauss metodunun "əks hərəkəti" xətti cəbri tənliklər sisteminin həllini ("aşağıdan yuxarı" hərəkət) əldə etməkdir. Sonuncu "aşağı" tənlikdən bir birinci həlli alırıq - naməlum x n. Bunun üçün A * x n \u003d B elementar tənliyini həll edirik. Yuxarıdakı misalda x 3 \u003d 4. Tapılan dəyəri növbəti “yuxarı” tənlikdə əvəz edirik və növbəti naməlumla bağlı həll edirik. Məsələn, x 2 - 4 \u003d 1, yəni. x 2 \u003d 5. Bütün naməlumları tapana qədər.

Misal.

Bəzi müəlliflərin tövsiyə etdiyi kimi, Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edirik:

Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu pilləli formaya gətirək:

Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Orada bir vahidimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə heç kim yoxdur, ona görə də sətirləri yenidən yerləşdirməklə heç nə həll edilə bilməz. Belə hallarda vahid elementar çevrilmə ilə təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Gəlin bunu belə edək:
1 addım . Birinci sətirə -1-ə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci xətti -1-ə vurduq və birinci və ikinci sətirlərin əlavəsini yerinə yetirdik, ikinci sətir dəyişmədi.

İndi yuxarı solda "mənfi bir" bizə mükəmməl uyğun gəlir. +1 almaq istəyən əlavə bir hərəkət edə bilər: birinci sətri -1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin).

2 addım . 5-ə vurulan birinci sətir ikinci sətirə, 3-ə vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.

3 addım . Birinci sətir -1 ilə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü xəttin işarəsi də dəyişdirilərək ikinci yerə köçürüldü, beləliklə, ikinci “addımda istədiyimiz vahid oldu.

4 addım . Üçüncü sətirə 2-yə vurulan ikinci sətri əlavə edin.

5 addım . Üçüncü sətir 3-ə bölünür.

Hesablamalarda səhvi göstərən işarə (daha az tez-tez yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıda (0 0 11 | 23) və buna uyğun olaraq 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 kimi bir şey əldə etdiksə, yüksək ehtimalla deyə bilərik ki, elementar təhsil zamanı səhvə yol verilib. çevrilmələr.

Biz tərs hərəkət edirik, nümunələrin dizaynında sistemin özü çox vaxt yenidən yazılmır və tənliklər "birbaşa verilmiş matrisdən götürülür". Tərs hərəkət, sizə xatırladıram, "aşağıdan yuxarı" işləyir. Bu nümunədə hədiyyə çıxdı:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, buna görə də x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Cavab verin:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Təklif olunan alqoritmdən istifadə edərək eyni sistemi həll edək. alırıq

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

İkinci tənliyi 5-ə, üçüncüsü isə 3-ə bölün. Alırıq:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

İkinci və üçüncü tənlikləri 4-ə vursaq, alırıq:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

İkinci və üçüncü tənliklərdən birinci tənliyi çıxarsaq, əldə edirik:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Üçüncü tənliyi 0,64-ə bölün:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Üçüncü tənliyi 0,4-ə vurun

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Üçüncü tənlikdən ikinci tənliyi çıxarsaq, "addımlı" artırılmış matrisi alırıq:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Beləliklə, hesablamalar zamanı bir səhv yığıldığından x 3 \u003d 0.96 və ya təxminən 1 alırıq.

x 2 \u003d 3 və x 1 \u003d -1.

Bu şəkildə həll edərək, hesablamalarda heç vaxt çaşqın olmayacaqsınız və hesablama səhvlərinə baxmayaraq, nəticə əldə edəcəksiniz.

Xətti cəbri tənliklər sisteminin həllinin bu üsulu asanlıqla proqramlaşdırıla bilir və naməlumlar üçün əmsalların spesifik xüsusiyyətlərini nəzərə almır, çünki praktikada (iqtisadi və texniki hesablamalarda) tam olmayan əmsallarla məşğul olmaq lazımdır.

Sizə uğurlar arzulayıram! Sinifdə görüşənədək! Tərbiyəçi.

blog.site, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.

Gauss nə deməkdir

Əvvəlcə tənliklər sistemimizi yazmalısınız Bu belə görünür. Sistem alınır:

Matrislər, onların xassələri

Matrisdə heç bir gizli məna yoxdur. Bu, yalnız sonrakı əməliyyatlar üçün məlumatları qeyd etmək üçün əlverişli bir yoldur. Hətta məktəblilər də onlardan qorxmamalıdır.

B həllin əsas nöqtəsi deyil. Prinsipcə, bütün əməliyyatlar birbaşa tənliklərin özləri ilə edilə bilər, lakin qeyd daha çətin olacaq və onda çaşqınlıq daha asan olacaq.

Müəyyənedici

Sistemin təsnifatı

İşlərin dərəcə ilə necə olduğuna görə, SLAE aşağıdakılara bölünə bilər:

Birgə. At birgə sistemlərdə əsas matrisin rütbəsi (yalnız əmsallardan ibarət) genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi ilə (sərbəst üzvlər sütunu ilə) üst-üstə düşür. Bu cür sistemlərin bir həlli var, lakin mütləq bir deyil, buna görə də birgə sistemlər əlavə olaraq bölünür:
- müəyyən- unikal həllin olması. Müəyyən sistemlərdə matrisin dərəcəsi və naməlumların sayı (və ya eyni şey olan sütunların sayı) bərabərdir;
- qeyri-müəyyən - sonsuz sayda həll yolu ilə. Belə sistemlər üçün matrislərin dərəcəsi naməlumların sayından azdır.
Uyğun deyil. At belə sistemlərdə əsas və genişləndirilmiş matrislərin dərəcələri üst-üstə düşmür. Uyğun olmayan sistemlərin həlli yoxdur.

Elementar çevrilmələr

Simli permutasiya. Aydındır ki, sistem qeydində tənliklərin sırasını dəyişdirsək, bu, heç bir şəkildə həllə təsir etməyəcək. Nəticə etibarilə, bu sistemin matrisindəki sətirləri dəyişdirmək də mümkündür, təbii ki, sərbəst üzvlər sütununu da unutmaq olmaz.
Sətirin bütün elementlərinin müəyyən faktora vurulması. Çox faydalıdır! Bununla siz matrisdəki böyük rəqəmləri azalda və ya sıfırları silə bilərsiniz. Həlllər dəsti, həmişə olduğu kimi, dəyişməyəcək və sonrakı əməliyyatları yerinə yetirmək daha rahat olacaq. Əsas odur ki, əmsal sıfıra bərabər deyil.
Proporsional əmsalları olan sətirləri silin. Bu, qismən əvvəlki bənddən irəli gəlir. Matrisdəki iki və ya daha çox sətir mütənasib əmsallara malikdirsə, cərgələrdən birini mütənasiblik əmsalı ilə vurarkən / bölərkən iki (və ya yenə də daha çox) tamamilə eyni cərgə əldə edilir və yalnız qalanları buraxaraq əlavələri silə bilərsiniz. bir.
Null xəttinin çıxarılması. Transformasiyalar zamanı bütün elementlərin, o cümlədən sərbəst üzvün sıfır olduğu bir sətir əldə edilirsə, belə bir sətir sıfır adlandırıla bilər və matrisdən atılır.
Bir cərgənin elementlərinə digərinin elementlərinin əlavə edilməsi (müvafiq sütunlarda), müəyyən bir əmsala vurulur. Ən qaranlıq və ən vacib çevrilmə. Bunun üzərində daha ətraflı dayanmağa dəyər.

Bir əmsala vurulan bir sətir əlavə etmək

Anlamaq asanlığı üçün bu prosesi addım-addım sökməyə dəyər. Matrisdən iki cərgə götürülür:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tutaq ki, birincini ikinciyə əlavə etmək lazımdır, "-2" əmsalı ilə vurulur.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Sonra matrisdə ikinci sıra yenisi ilə əvəz olunur və birincisi dəyişməz qalır.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Ümumiyyətlə

Qoy sistem olsun. Onun m tənliyi və n naməlum kökü var. Bunu belə yaza bilərsiniz:

Əsas matris sistemin əmsallarından tərtib edilir. Sərbəst üzvlər sütunu genişləndirilmiş matrisə əlavə edilir və rahatlıq üçün çubuqla ayrılır.

matrisin birinci cərgəsi k = (-a 21 / a 11) əmsalı ilə vurulur;
matrisin birinci dəyişdirilmiş sırası və ikinci sıra əlavə olunur;
ikinci sətir əvəzinə əvvəlki abzasdan əlavənin nəticəsi matrisə daxil edilir;
indi yeni ikinci cərgədə birinci əmsal 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0-dır.

əmsalı k \u003d (-a 32 / a 22);
ikinci dəyişdirilmiş sətir “cari” sətirə əlavə edilir;
üçüncü, dördüncü və s. sətirlərdə əlavənin nəticəsi əvəz edilir, birinci və ikinci isə dəyişməz qalır;
matrisin sətirlərində ilk iki element artıq sıfıra bərabərdir.

Həll yolları olmadıqda

Sonsuz sayda həll yolu olduqda

Xüsusi nümunələrlə həll

Budur tənliklər sistemi.

Rahatlıq üçün dərhal onun matrisini yaratmaq daha yaxşıdır

ikinci sətir: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

üçüncü sətir: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

İndi çaşqınlıq yaratmamaq üçün çevrilmələrin aralıq nəticələri ilə matrisi yazmaq lazımdır.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 kəsrlər və yalnız bundan sonra cavablar alındıqda yuvarlaqlaşdırılıb başqa qeyd formasına tərcümə ediləcəyinə qərar verin)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matris yenidən yeni dəyərlərlə yazılır.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

İndi hər şey gözəldir. Nöqtə kiçikdir - matrisi yenidən tənliklər sistemi şəklində yazın və kökləri hesablayın

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

İndi köklərin tapılacağı alqoritmə Gauss metodunda tərs hərəkət deyilir. Tənlik (3) z dəyərini ehtiva edir:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Və birinci tənlik x tapmağa imkan verir:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Belə bir sistemi müştərək, hətta müəyyən, yəni unikal həlli olan adlandırmaq hüququmuz var. Cavab aşağıdakı formada yazılır:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Qeyri-müəyyən sistem nümunəsi

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Birincisi, həmişəki kimi, genişlənmiş matris tərtib edilir.

Birinci cərgənin elementlərini növbə ilə onların əmsallarının hər birinə vuraraq və istədiyiniz cərgələrə əlavə edərək aşağıdakı formanın matrisini alırıq:

Belə bir matris çıxdı. Sistem hələ yazılmayıb, burada əsas dəyişənləri müəyyən etmək lazımdır - a 11 \u003d 1 və 22 \u003d 1 əmsallarında dayanaraq, qalanları isə pulsuzdur.

İkinci tənliyin yalnız bir əsas dəyişəni var - x 2 . Deməli, sərbəst olan x 3 , x 4 , x 5 dəyişənləri vasitəsilə yazmaqla oradan ifadə oluna bilər.

Əldə olunan ifadəni birinci tənliyə əvəz edirik.

Yeganə əsas dəyişənin x 1 olduğu bir tənlik ortaya çıxdı. Gəlin bununla da x 2 ilə eyni şeyi edək.

İkisi olan bütün əsas dəyişənlər üç sərbəst olanlar baxımından ifadə edilir, indi cavabı ümumi formada yaza bilərsiniz.

16, 23, 0, 0, 0.

Uyğun olmayan sistem nümunəsi

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Həmişə olduğu kimi, matris tərtib edilir:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Və pilləli formaya endirilir:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Birinci transformasiyadan sonra üçüncü sətir formanın tənliyini ehtiva edir

həlli olmayan. Buna görə də sistem uyğunsuzdur və cavab boş çoxluqdur.