Məntiq tənlikləri. İnformatika üzrə Vahid Dövlət İmtahan məsələlərində məntiqi tənliklər sistemləri

Təlimatlar. Klaviaturadan daxil olarkən aşağıdakı konvensiyalardan istifadə edin:

Məntiqi funksiyanın daxil edilməsi qaydaları

1. v (disjunction, OR) simvolu əvəzinə + işarəsindən istifadə edin.
2. Məntiqi funksiyadan əvvəl funksiya təyinatını təyin etməyə ehtiyac yoxdur. Məsələn, F(x,y)=(x|y)=(x^y) əvəzinə sadəcə (x|y)=(x^y) daxil etməlisiniz.
3. Dəyişənlərin maksimum sayı 10-dur.

Kompüter məntiqi sxemlərinin layihələndirilməsi və təhlili riyaziyyatın xüsusi bölməsindən - məntiq cəbrindən istifadə etməklə həyata keçirilir. Məntiq cəbrində üç əsas məntiqi funksiyanı ayırd etmək olar: “NOT” (inkar), “AND” (birləşmə), “OR” (disjunction).
Hər hansı məntiqi qurğu yaratmaq üçün çıxış dəyişənlərinin hər birinin mövcud giriş dəyişənlərindən asılılığını müəyyən etmək lazımdır, bu asılılığa keçid funksiyası və ya məntiqi cəbr funksiyası deyilir.
Məntiqi cəbr funksiyası, onun bütün 2n dəyəri verildiyi təqdirdə tam müəyyən edilmiş adlanır, burada n çıxış dəyişənlərinin sayıdır.
Bütün dəyərlər müəyyən edilməmişdirsə, funksiya qismən müəyyən edilmiş adlanır.
Cihazın vəziyyəti məntiqi cəbr funksiyasından istifadə edərək təsvir edilirsə, məntiqi adlanır.
Məntiqi cəbr funksiyasını təmsil etmək üçün aşağıdakı üsullardan istifadə olunur:
Cəbri formada məntiqi elementlərdən istifadə edərək məntiqi cihazın dövrəsini qura bilərsiniz.


Şəkil 1 - Məntiq cihaz diaqramı

Məntiq cəbrinin bütün əməliyyatları müəyyən edilmişdir həqiqət cədvəlləri dəyərlər. Həqiqət cədvəli əməliyyatın nəticəsini müəyyən edir hər kəs mümkündür x orijinal ifadələrin məntiqi dəyərləri. Əməliyyatların tətbiqinin nəticəsini əks etdirən variantların sayı məntiqi ifadədəki ifadələrin sayından asılı olacaq. Əgər məntiqi ifadədə ifadələrin sayı N olarsa, onda həqiqət cədvəlində 2 N sətir olacaq, çünki mümkün arqument dəyərlərinin 2 N müxtəlif kombinasiyası mövcuddur.

DEYİL əməliyyatı - məntiqi inkar (inversiya)

• ilkin ifadə doğrudursa, onun inkarının nəticəsi yalan olacaq;
• ilkin ifadə yalan olarsa, onun inkarının nəticəsi doğru olacaqdır.

OR əməliyyat - məntiqi əlavə (ayrılma, birləşmə)

AND əməliyyatı - məntiqi vurma (bağlama)

"ƏGƏR-ONDAN" əməliyyatı - məntiqi nəticə (təsir)

“A, əgər və yalnız B olarsa” əməliyyatı (ekvivalentlik, ekvivalentlik)

"Əlavə modulu 2" əməliyyatı (XOR, eksklüziv və ya ciddi disjunksiya)

Məntiqi əməliyyatların prioriteti

• Mötərizədə hərəkətlər
• İnversiya
• Bağlayıcı (&)
• Disjunksiya (V), Eksklüziv OR (XOR), cəmi modulu 2
• Təsir (→)
• Ekvivalentlik (↔)

Mükəmməl disjunktiv normal forma

1. Düsturun hər bir məntiqi termini F(x 1,x 2,...x n) funksiyasına daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva edir.
2. Düsturun bütün məntiqi şərtləri fərqlidir.
3. Heç bir məntiqi termində dəyişən və onun inkarı yoxdur.
4. Düsturda heç bir məntiqi termin eyni dəyişəni iki dəfə ehtiva etmir.

Mükəmməl konyunktiv normal forma

1. Bütün elementar disjunksiyalar F(x 1 ,x 2 ,...x n) funksiyasına daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva edir.
2. Bütün elementar disjunksiyalar fərqlidir.
3. Hər elementar disjunksiya bir dəfə dəyişən ehtiva edir.
4. Heç bir elementar disjunksiya dəyişən və onun inkarını ehtiva etmir.

Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. İnsan qədim zamanlarda tənliklərdən istifadə edirdi və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Riyaziyyatda təklif məntiqi ilə məşğul olan müəyyən problemlər var. Bu cür tənliyi həll etmək üçün müəyyən biliklərə sahib olmaq lazımdır: təklif məntiqi qanunlarını bilmək, 1 və ya 2 dəyişənin məntiqi funksiyalarının həqiqət cədvəllərini bilmək, məntiqi ifadələri çevirmək üsulları. Bundan əlavə, məntiqi əməliyyatların aşağıdakı xüsusiyyətlərini bilməlisiniz: birləşmə, disyunksiya, inversiya, implikasiya və ekvivalentlik.

\dəyişənlərin - \ hər hansı məntiqi funksiyası həqiqət cədvəli ilə müəyyən edilə bilər.

Bir neçə məntiqi tənliyi həll edək:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Həllini \[X1\] ilə başlayaq və bu dəyişənin hansı dəyərləri ala biləcəyini müəyyən edək: 0 və 1. Sonra yuxarıdakı dəyərlərin hər birini nəzərdən keçirəcəyik və \[X2.\] nə ola biləcəyini görəcəyik.

Cədvəldən göründüyü kimi məntiqi tənliyimizin 11 həlli var.

Məntiq tənliyini onlayn harada həll edə bilərəm?

Tənliyi https://site saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici hər hansı bir mürəkkəbliyin onlayn tənliklərini bir neçə saniyə ərzində həll etməyə imkan verəcəkdir. Etməli olduğunuz şey sadəcə məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Siz həmçinin veb saytımızda video təlimatlarına baxa və tənliyi necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz. Hələ suallarınız varsa, onları VKontakte qrupumuzda http://vk.com/pocketteacher soruşa bilərsiniz. Qrupumuza qoşulun, sizə kömək etməkdən hər zaman şad olarıq.

Məntiqi tənliklər sistemlərinin həlli üçün müxtəlif üsullar mövcuddur. Bu, bir tənliyə endirmə, həqiqət cədvəlinin qurulması və parçalanmadır.

Tapşırıq: Məntiqi tənliklər sistemini həll edin:

Gəlin nəzərdən keçirək bir tənliyə endirmə üsulu . Bu üsul məntiqi tənlikləri elə çevirməyi nəzərdə tutur ki, onların sağ tərəfləri həqiqət qiymətinə bərabər olsun (yəni 1). Bunun üçün məntiqi inkar əməliyyatından istifadə edin. Sonra, tənliklər mürəkkəb məntiqi əməliyyatları ehtiva edirsə, biz onları əsaslarla əvəz edirik: "VƏ", "YA YA", "YOX". Növbəti addım “AND” məntiqi əməliyyatından istifadə edərək tənlikləri sistemə ekvivalent olaraq birləşdirməkdir. Bundan sonra, məntiqi cəbr qanunlarına əsaslanaraq yaranan tənliyi çevirməli və sistemin konkret həllini əldə etməlisiniz.

Həll 1: Birinci tənliyin hər iki tərəfinə inversiya tətbiq edin:

Gəlin “OR” və “NOT” əsas əməliyyatları vasitəsilə nəticəni təsəvvür edək:

Tənliklərin sol tərəfləri 1-ə bərabər olduğundan, biz onları “AND” əməliyyatından istifadə edərək orijinal sistemə bərabər olan bir tənliyə birləşdirə bilərik:

Birinci mötərizəni De Morqan qanununa uyğun olaraq açırıq və əldə edilən nəticəni çeviririk:

Alınan tənliyin bir həlli var: A =0, B=0 və C=1.

Növbəti üsuldur həqiqət cədvəllərinin qurulması . Məntiqi kəmiyyətlərin yalnız iki dəyəri olduğundan, sadəcə olaraq bütün variantları nəzərdən keçirə və onların arasında verilmiş tənliklər sisteminin təmin olunduğu variantları tapa bilərsiniz. Yəni, sistemin bütün tənlikləri üçün bir ümumi həqiqət cədvəli qururuq və tələb olunan qiymətlərə malik bir xətt tapırıq.

Həll 2: Sistem üçün həqiqət cədvəli yaradaq:

Tapşırıq şərtlərinin yerinə yetirildiyi sətir qalın şriftlə vurğulanır. Beləliklə, A=0, B=0 və C=1.

yol parçalanma . İdeya dəyişənlərdən birinin dəyərini təyin etməkdir (onu 0 və ya 1-ə bərabərləşdirmək) və bununla da tənlikləri sadələşdirmək. Sonra ikinci dəyişənin dəyərini düzəldə bilərsiniz və s.

Həll 3: A = 0 olsun, onda:

Birinci tənlikdən B = 0, ikincidən isə C = 1 alırıq. Sistemin həlli: A = 0, B = 0 və C = 1.

İnformatika üzrə Vahid Dövlət İmtahanında çox vaxt məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını özləri tapmadan müəyyən etmək lazımdır; bunun üçün müəyyən üsullar da var. Məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını tapmağın əsas yoludəyişənləri əvəz edir. Əvvəlcə məntiqi cəbr qanunlarına əsaslanaraq tənliklərin hər birini mümkün qədər sadələşdirməli, sonra isə tənliklərin mürəkkəb hissələrini yeni dəyişənlərlə əvəz etməli və yeni sistemin həll yollarının sayını təyin etməlisiniz. Sonra, dəyişdirməyə qayıdın və bunun üçün həllərin sayını təyin edin.

Tapşırıq:(A →B) + (C →D) = 1 tənliyinin neçə həlli var? Burada A, B, C, D məntiqi dəyişənlərdir.

Həll: Yeni dəyişənləri təqdim edək: X = A →B və Y = C →D. Yeni dəyişənləri nəzərə alaraq tənlik belə yazılacaq: X + Y = 1.

Dizyunksiya üç halda doğrudur: (0;1), (1;0) və (1;1), X və Y isə implikasiyadır, yəni üç halda doğru, birində yanlışdır. Buna görə də (0;1) halı parametrlərin üç mümkün kombinasiyasına uyğun olacaq. Hal (1;1) – orijinal tənliyin parametrlərinin doqquz mümkün kombinasiyasına uyğun olacaq. Bu o deməkdir ki, bu tənliyin ümumi mümkün həlli 3+9=15-dir.

Məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını təyin etməyin növbəti yolu ikili ağac. Bir nümunədən istifadə edərək bu üsula baxaq.

Tapşırıq: Məntiqi tənliklər sisteminin neçə müxtəlif həlli var:

Verilmiş tənliklər sistemi tənliyə ekvivalentdir:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(x m -1 → x m) = 1.

Belə iddia edək x 1 – doğrudur, onda birinci tənlikdən bunu alırıq x 2 ikincidən də doğrudur - x 3 =1 və s. qədər x m= 1. Bu o deməkdir ki, m vahiddən ibarət çoxluq (1; 1; …; 1) sistemin həllidir. Qoy indi x 1 =0, onda birinci tənlikdən əldə edirik x 2 =0 və ya x 2 =1.

Nə vaxt x 2 doğrudur, biz əldə edirik ki, qalan dəyişənlər də doğrudur, yəni (0; 1; ...; 1) çoxluğu sistemin həllidir. At x 2 =0 bunu alırıq x 3 =0 və ya x 3 = və s. Son dəyişənə davam edərək, tənliyin həllərinin aşağıdakı dəyişənlər dəstləri olduğunu tapırıq (m +1 həll, hər bir həll dəyişənlərin m dəyərini ehtiva edir):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Bu yanaşma ikili ağacın qurulması ilə yaxşı təsvir edilmişdir. Mümkün həllərin sayı qurulmuş ağacın müxtəlif budaqlarının sayıdır. m +1-ə bərabər olduğunu görmək asandır.

Düşüncədə çətinlik yarandıqda tədqiqat və tikintiilə həll axtara biləcəyiniz həllər istifadə edərək həqiqət cədvəlləri, bir və ya iki tənlik üçün.

Tənliklər sistemini aşağıdakı formada yenidən yazaq:

Və bir tənlik üçün ayrıca həqiqət cədvəli yaradaq:

İki tənlik üçün həqiqət cədvəli yaradaq:

Dərsin mövzusu: Məntiqi tənliklərin həlli

İnkişaf - tələbələrin idrak marağının inkişafı üçün şərait yaratmaq, yaddaşın, diqqətin və məntiqi təfəkkürün inkişafına kömək etmək;

Maarifləndirici : başqalarının fikirlərini dinləmək bacarığını təşviq etmək, son nəticələrə nail olmaq üçün iradə və əzmkarlığı inkişaf etdirmək.

Dərsin növü: birləşdirilmiş dərs

Avadanlıq: kompüter, multimedia proyektoru, təqdimat 6.

Dərslər zamanı

Əsas biliklərin təkrarlanması və yenilənməsi. Ev tapşırığını yoxlamaq (10 dəqiqə)

Əvvəlki dərslərdə məntiqi cəbrin əsas qanunları ilə tanış olduq və məntiqi ifadələri sadələşdirmək üçün bu qanunlardan istifadə etməyi öyrəndik.

Məntiqi ifadələrin sadələşdirilməsi ilə bağlı ev tapşırığını yoxlayaq:

1. Aşağıdakı sözlərdən hansı məntiqi şərti ödəyir:

(ilk hərf samit → ikinci hərf samit)٨ (son hərf saiti → sondan əvvəlki hərf sait)? Bir neçə belə söz varsa, onlardan ən kiçiyini göstərin.

1) ANNA 2) MARİYA 3) OLƏQ 4) STEPAN

Aşağıdakı qeydi təqdim edək:

A – birinci hərf samit

B – ikinci hərf samit

S - son hərf sait

D – sondan əvvəlki sait hərfi

İfadə edək:

Gəlin bir cədvəl hazırlayaq:

2. İfadəyə hansı məntiqi ifadənin ekvivalent olduğunu göstərin

Orijinal ifadənin və təklif olunan variantların qeydini sadələşdirək:

3. F ifadəsinin həqiqət cədvəlinin bir parçası verilmişdir:

Arqumentlərin müəyyən edilmiş dəyərləri üçün bu ifadələrin dəyərlərini təyin edək:

Dərsin mövzusuna giriş, yeni materialın təqdimatı (30 dəqiqə)

Məntiqin əsaslarını öyrənməyə davam edirik və bugünkü dərsimizin mövzusu “Məntiqi tənliklərin həlli”dir. Bu mövzunu öyrəndikdən sonra siz məntiqi tənliklərin həllinin əsas yollarını öyrənəcək, məntiqi cəbrin dilindən istifadə edərək bu tənlikləri həll etmək və doğruluq cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadə qurma bacarığı əldə edəcəksiniz.

1. Məntiqi tənliyi həll edin

(¬K M) → (¬L M N) =0

Cavabınızı dörd simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.

Həll:

İfadəni çevirək(¬K  M) → (¬L  M  N)

Hər iki şərt yalan olduqda ifadə yanlışdır. M =0, N =0, L =1 olduqda ikinci hədd 0-a bərabərdir. Birinci termində K = 0, çünki M = 0 və
.

Cavab: 0100

2. Tənliyin neçə həlli var (cavabınızda yalnız rəqəmi göstərin)?

Həlli: ifadəni çevirin

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 və C +D =1

Metod 2: həqiqət cədvəlinin tərtib edilməsi

Orijinal ifadəni çevirək, bağlayıcıların diszunksiyasını əldə etmək üçün mötərizələri açaq:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Bağlayıcıları tamamlayaq (bütün arqumentlərin məhsulu), mötərizələri açın:

Eyni bağlayıcıları nəzərə alaq:

Nəticədə 9 bağlayıcıdan ibarət SDNF əldə edirik. Buna görə də, bu funksiya üçün həqiqət cədvəli 2 4 =16 dəyişən qiymətlər dəstinin 9 sətirində 1 dəyərinə malikdir.

3. Tənliyin neçə həlli var (cavabınızda yalnız rəqəmi göstərin)?

İfadəsini sadələşdirək:

,

3 yol: SDNF-nin tikintisi

Eyni bağlayıcıları nəzərə alaq:

Nəticədə 5 bağlayıcıdan ibarət SDNF əldə edirik. Buna görə də, bu funksiya üçün həqiqət cədvəli 2 4 =16 dəyişən dəyər dəstinin 5 sətirində 1 dəyərinə malikdir.

Həqiqət cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadənin qurulması:

1-dən ibarət həqiqət cədvəlinin hər sətri üçün arqumentlər hasilini tərtib edirik və 0-a bərabər dəyişənlər inkarla hasildə, 1-ə bərabər dəyişənlər isə inkarsız daxil edilir. İstənilən F ifadəsi alınan məhsulların cəmindən ibarət olacaqdır. Sonra, mümkünsə, bu ifadə sadələşdirilməlidir.

Misal: ifadənin həqiqət cədvəli verilmişdir. Məntiqi ifadə qurun.

3. Ev tapşırığı (5 dəqiqə)

Tənliyi həll edin:

Tənliyin neçə həlli var (cavabınızda yalnız rəqəmi göstərin)?

Verilmiş həqiqət cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadə qurun və

sadələşdirin.