Hvad er volumen af ​​en trekantet pyramide. Sådan finder du volumen af ​​en pyramide

Sætning.

Volumenet af en pyramide er lig med en tredjedel af produktet af bundens areal og højden..

Bevis:

1. Overvej en trekantet pyramideOABCmed volumen V, grundarealS og højde h. Tegn en akse åh (OM2- højde), overvej sektionenA1 B1 C1pyramider med et plan vinkelret på aksenåhog derfor parallelt med basens plan. Betegn medx abscisse punkt M1 skæring af dette plan med x-aksen, og igennemS(x)- Tværsnitsareal. Express S(x) igennem S, h og x. Bemærk at trekanter A1 PÅ1 FRA1 og ABC ligner hinanden. Faktisk A1 PÅ1 II AB, altså trekant OA 1 PÅ 1 ligner trekant OAB. FRA følgelig, MEN1 PÅ1 : MENB= OA 1: OA .

retvinklede trekanter OA 1 PÅ 1 og OAB er også ens (de har en fælles spids vinkel med toppunktet O). Derfor, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. På denne måde MEN 1 PÅ 1 : A B = x: h.På samme måde er det bevistB1 C1:sol = X: h og A1 C1:AC = X: h.Så trekantenA1 B1 C1 og ABCens med lighedskoefficient X: h.Derfor, S(x): S = (x: h)², eller S(x) = S x²/ h².

Lad os nu anvende den grundlæggende formel til at beregne volumen af ​​legemer ved-en= 0, b=h vi får

Således er volumen af ​​den oprindelige pyramide 1/3Sh. Sætningen er blevet bevist.

Følge:

Volumen V af en afkortet pyramide med højden h og basisarealerne S og S1 , beregnes ved formlen

h - højden af ​​pyramiden

Hold op - område af den øvre base

Langsommere - område af den nederste base

Her vil vi analysere eksempler relateret til begrebet volumen. For at løse sådanne opgaver skal du kende formlen for pyramidens volumen:

S

h - højden af ​​pyramiden

Basen kan være en hvilken som helst polygon. Men i de fleste opgaver på eksamen handler betingelsen som udgangspunkt om de rigtige pyramider. Lad mig minde dig om en af ​​dens egenskaber:

Toppen af ​​en regulær pyramide projiceres ind i midten af ​​dens base

Se på projektionen af ​​de regulære trekantede, firkantede og sekskantede pyramider (OPSÆTNING):

Det kan du på bloggen, hvor opgaverne i forbindelse med at finde pyramidens volumen blev behandlet.Overvej opgaverne:

27087. Find rumfanget af en regulær trekantet pyramide, hvis grundsider er lig med 1, og hvis højde er lig med roden af ​​tre.

S- område af bunden af ​​pyramiden

h- pyramidens højde

Find arealet af bunden af ​​pyramiden, dette er en regulær trekant. Vi bruger formlen - arealet af en trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af tilstødende sider ved sinus af vinklen mellem dem, hvilket betyder:

Svar: 0,25

27088. Find højden af ​​en regulær trekantet pyramide med basissider lig med 2 og rumfang lig med roden af ​​tre.

Begreber som højden af ​​pyramiden og egenskaberne ved dens base er relateret til volumenformlen:

S- område af bunden af ​​pyramiden

h- pyramidens højde

Vi kender selve volumen, vi kan finde arealet af basen, da siderne af trekanten, som er basen, er kendte. Ved at kende disse værdier kan vi nemt finde højden.

For at finde arealet af basen bruger vi formlen - arealet af en trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af tilstødende sider ved sinus af vinklen mellem dem, hvilket betyder:

Ved at erstatte disse værdier i volumenformlen kan vi således beregne pyramidens højde:

Højden er tre.

Svar: 3

27109. I en regulær firkantet pyramide er højden 6, sidekanten er 10. Find dens volumen.

Pyramidens volumen beregnes ved formlen:

S- område af bunden af ​​pyramiden

h- pyramidens højde

Vi kender højden. Du skal finde området af basen. Lad mig minde dig om, at toppen af ​​en almindelig pyramide er projiceret ind i midten af ​​dens base. Basen af ​​en regulær firkantet pyramide er en firkant. Vi kan finde dens diagonal. Overvej en retvinklet trekant (fremhævet med blåt):

Segmentet, der forbinder midten af ​​kvadratet med punkt B, er et ben, som er lig med halvdelen af ​​kvadratets diagonal. Vi kan beregne dette ben ved hjælp af Pythagoras sætning:

Så BD = 16. Beregn arealet af kvadratet ved hjælp af den firkantede arealformel:

Følgelig:

Således er pyramidens volumen:

Svar: 256

27178. I en regulær firkantet pyramide er højden 12, rumfanget er 200. Find sidekanten af ​​denne pyramide.

Pyramidens højde og dens volumen er kendt, så vi kan finde arealet af kvadratet, som er basen. Når vi kender arealet af en firkant, kan vi finde dens diagonal. Yderligere, efter at have overvejet en retvinklet trekant, ved hjælp af Pythagoras sætning, beregner vi sidekanten:

Find arealet af kvadratet (bunden af ​​pyramiden):

Beregn firkantens diagonal. Da dens areal er 50, vil siden være lig med roden af ​​halvtreds, og ifølge Pythagoras sætning:

Punktet O deler diagonalen BD i to, så benet i den retvinklede trekant OB = 5.

Således kan vi beregne, hvad sidekanten af ​​pyramiden er lig med:

Svar: 13

245353. Find rumfanget af pyramiden vist på figuren. Dens base er en polygon, hvis tilstødende sider er vinkelrette, og en af ​​sidekanterne er vinkelret på basens plan og er lig med 3.

Som det er blevet sagt gentagne gange - pyramidens volumen beregnes med formlen:

S- område af bunden af ​​pyramiden

h- pyramidens højde

Sidekanten vinkelret på basen er tre, hvilket betyder, at pyramidens højde er tre. Grunden af ​​pyramiden er en polygon, hvis areal er:

På denne måde:

Svar: 27

27086. Pyramidens bund er et rektangel med side 3 og 4. Dens rumfang er 16. Find højden af ​​denne pyramide.

Tilbage frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisningen af ​​dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke det fulde omfang af præsentationen. Hvis du er interesseret i dette arbejde, bedes du downloade den fulde version.

Lektionens mål.

Uddannelsesmæssigt: Udled en formel til at beregne rumfanget af en pyramide

Udvikle: at udvikle elevernes kognitive interesse for akademiske discipliner, evnen til at anvende deres viden i praksis.

Uddannelsesmæssigt: at dyrke opmærksomhed, nøjagtighed, for at udvide elevernes horisont.

Udstyr og materialer: computer, lærred, projektor, præsentation "Pyramidens bind".

1. Frontalundersøgelse. Dias 2, 3

Det der kaldes en pyramide, bunden af ​​pyramiden, ribben, højde, akse, apotem. Hvilken pyramide kaldes en regulær, tetraeder, afkortet pyramide?

Pyramide - et polyeder bestående af en flad polygon, point, ikke ligger i planet af denne polygon og alle segmenter, der forbinder dette punkt med polygonens punkter.

Dette punkt hedder topmøde pyramider, og en flad polygon er bunden af ​​pyramiden. Segmenter, der forbinder toppen af ​​pyramiden med toppen af ​​basen, kaldes ribben . Højde pyramider - vinkelret, sænket fra toppen af ​​pyramiden til bundens plan. Apotem - sidekanthøjde korrekt pyramide. Pyramiden, som ved basen ligger korrekt n-gon, a højde base falder sammen med stiftelsescenter hedder korrekt n-gonal pyramide. akse En regulær pyramide kaldes en lige linje, der indeholder dens højde. En regulær trekantet pyramide kaldes et tetraeder. Hvis pyramiden krydses af et plan parallelt med bundens plan, vil den afskære pyramiden, lignende givet. Resten hedder afkortet pyramide.

2. Afledning af formlen til beregning af pyramidens rumfang V=SH/3 Slides 4, 5, 6

1. Lad SABC være en trekantet pyramide med toppunkt S og base ABC.

2. Komplementer denne pyramide til et trekantet prisme med samme base og højde.

3. Dette prisme er sammensat af tre pyramider:

1) denne pyramide SABC.

2) pyramider SCC1B1.

3) og pyramiderne SCBB1.

4. Den anden og tredje pyramide har lige store baser CC 1 B 1 og B 1 BC og den samlede højde trukket fra toppunktet S til forsiden af ​​parallelogrammet BB 1 C 1 C. Derfor har de lige store volumener.

5. Den første og tredje pyramide har også lige baser SAB og BB 1 S og sammenfaldende højder tegnet fra toppunktet C til forsiden af ​​parallelogrammet ABB 1 S. Derfor har de også lige store volumener.

Det betyder, at alle tre pyramider har samme volumen. Da summen af ​​disse rumfang er lig med prismets rumfang, er pyramidernes rumfang lig med SH/3.

Rumfanget af enhver trekantet pyramide er lig med en tredjedel af grundarealet ganget med højden.

3. Konsolidering af nyt materiale. Løsning af øvelser.

1) Opgave № 33 fra lærebogen A.N. Pogorelov. Slides 7, 8, 9

På siden af ​​basen? og sidekant b find rumfanget af en regulær pyramide, ved hvis basis ligger:

1) trekant,

2) firkant,

3) sekskant.

I en regulær pyramide passerer højden gennem midten af ​​en cirkel, der er afgrænset nær bunden. Derefter: (bilag)

4. Historisk information om pyramiderne. Slides 15, 16, 17

Den første af vore samtidige, der etablerede en række usædvanlige fænomener forbundet med pyramiden, var den franske videnskabsmand Antoine Bovy. Da han udforskede Cheops-pyramiden i 30'erne af det tyvende århundrede, opdagede han, at ligene af små dyr, der ved et uheld kom ind i det kongelige rum, blev mumificeret. Bovi forklarede årsagen til dette for sig selv ved pyramidens form, og som det viste sig, tog han ikke fejl. Hans værker dannede grundlaget for moderne forskning, som et resultat af, at der i løbet af de sidste 20 år er dukket mange bøger og publikationer op, der bekræfter, at pyramidernes energi kan være af praktisk betydning.

Mysteriet om pyramiderne

Nogle forskere hævder, at pyramiden indeholder en enorm mængde information om strukturen af ​​universet, solsystemet og mennesket, kodet i sin geometriske form, eller rettere, i form af et oktaeder, hvoraf halvdelen er pyramiden. Pyramid top up symboliserer livet, top down - døden, den anden verden. Ligesom komponenterne i Davidsstjernen (Magen David), hvor trekanten rettet opad symboliserer opstigningen til det højere sind, symboliserer Gud, og trekanten, sænket med toppen nedad, symboliserer sjælens nedstigning til Jorden, materiel eksistens ...

Den digitale værdi af koden, som information om universet krypteres med i pyramiden, tallet 365, blev ikke valgt tilfældigt. Først og fremmest er dette vores planets årlige livscyklus. Derudover består tallet 365 af tre tal 3, 6 og 5. Hvad betyder de? Hvis Solen i solsystemet passerer ved nummer 1, Merkur - 2, Venus - 3, Jorden - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Uranus - 8, Neptun - 9, Pluto - 10, derefter 3 er Venus, 6 - Jupiter og 5 - Mars. Derfor er Jorden på en særlig måde forbundet med disse planeter. Tilføjes tallene 3, 6 og 5, får vi 14, hvoraf 1 er Solen, og 4 er Jorden.

Tallet 14 har generelt en global betydning: strukturen af ​​de menneskelige hænder, især, er baseret på det, det samlede antal phalanges af fingrene på hver af dem er også 14. Denne kode er også relateret til stjernebilledet Ursa Major, som omfatter vores sol, og hvor det engang var en anden stjerne, der ødelagde Phaeton, en planet, der ligger mellem Mars og Jupiter, hvorefter Pluto dukkede op i solsystemet, og de andre planeters karakteristika ændrede sig.

Mange esoteriske kilder hævder, at jordens menneskehed allerede har oplevet en verdensomspændende katastrofe fire gange. Den tredje lemuriske race kendte universets guddommelige videnskab, så blev denne hemmelige doktrin kun overført til de indviede. I begyndelsen af ​​det sideriske års cyklusser og halve cyklusser byggede de pyramiderne. De var tæt på at opdage livets kode. Civilisationen i Atlantis lykkedes med mange ting, men på et eller andet niveau af viden blev de stoppet af en anden planetarisk katastrofe, ledsaget af et skifte af racer. Sandsynligvis ønskede de indviede at formidle til os, at viden om kosmiske love er indlejret i pyramiderne...

Særlige enheder i form af pyramider neutraliserer negativ elektromagnetisk stråling på en person fra en computer, tv, køleskab og andre husholdningsapparater.

I en af ​​bøgerne beskrives et tilfælde, hvor en pyramide installeret i et bilinteriør reducerede brændstofforbruget og reducerede CO-indholdet i udstødningsgasser.

Frø af haveafgrøder lagret i pyramider havde bedre spiring og udbytte. Publikationerne anbefalede endda at lægge frøene i blød før såning i pyramideformet vand.

Det viste sig, at pyramiderne har en gavnlig effekt på den økologiske situation. Eliminer patogene zoner i lejligheder, kontorer og forstæder, hvilket skaber en positiv aura.

Den hollandske forsker Paul Dickens giver i sin bog eksempler på pyramidernes helbredende egenskaber. Han lagde mærke til, at de kan bruges til at lindre hovedpine, ledsmerter, stoppe blødninger med små sår, og at pyramidernes energi stimulerer stofskiftet og styrker immunforsvaret.

I nogle moderne publikationer bemærkes det, at medicin holdt i pyramiden forkorter behandlingsforløbet, og forbindingsmaterialet, mættet med positiv energi, fremmer sårheling.

Kosmetiske cremer og salver forbedrer deres virkning.

Drikkevarer, inklusive alkohol, forbedrer deres smag, og vandet i 40% vodka bliver helende. Sandt nok, for at oplade en standard 0,5 liters flaske med positiv energi, har du brug for en høj pyramide.

En avisartikel siger, at hvis du opbevarer smykker under en pyramide, renser de sig selv og får en særlig glans, mens ædel- og halvædelsten opsamler positiv bioenergi og derefter gradvist afgiver den.

Ifølge amerikanske videnskabsmænd forbedrer fødevareprodukter, såsom korn, mel, salt, sukker, kaffe, te, deres smag, efter at have været i pyramiden, og billige cigaretter bliver som deres ædle modstykker.

Det er måske ikke relevant for mange, men gamle barberblade er selvslibende i en lille pyramide, og vand fryser ikke i en stor pyramide ved -40 grader celsius.

Ifølge de fleste forskere er alt dette bevis på eksistensen af ​​pyramidernes energi.

I løbet af de 5000 år, det har eksisteret, er pyramiderne blevet en slags symbol, der personificerer menneskets ønske om at nå toppen af ​​viden.

5. Opsummering af lektionen.

Bibliografi.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A. V. Geometry 10-11, forlaget "Oplysning".

3) Encyclopedia "Tree of Knowledge" Marshall K.

For at finde volumen af ​​en pyramide skal du kende flere formler. Lad os overveje dem.

Sådan finder du volumen af ​​en pyramide - 1. vej

Volumenet af en pyramide kan findes ved hjælp af højden og arealet af dens base. V = 1/3*S*h. Så, for eksempel, hvis højden af ​​pyramiden er 10 cm, og arealet af dens base er 25 cm 2, så vil volumen være lig med V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Sådan finder du volumen af ​​en pyramide - 2. metode

Hvis en regulær polygon ligger ved bunden af ​​pyramiden, kan dens volumen findes ved hjælp af følgende formel: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), hvor a er den side af polygonen, der ligger ved base, og n er antallet af dens sider. For eksempel: Grundlaget er en regulær sekskant, det vil sige n = 6. Da den er regulær, er alle dens sider lige store, det vil sige, at alle a er lige store. Lad os sige en \u003d 10 og h - 15. Vi indsætter tallene i formlen, og vi får et omtrentligt svar - 1299 cm 3

Sådan finder du volumen af ​​en pyramide - 3. vej

Hvis en ligesidet trekant ligger ved bunden af ​​pyramiden, kan dens volumen findes ved hjælp af følgende formel: V = ha 2 /4√3, hvor a er siden af ​​den ligesidede trekant. For eksempel: højden af ​​pyramiden er 10 cm, siden af ​​basen er 5 cm. Volumenet vil være lig med V = 10 * 25/4√ 3 = 250/4√ 3. Normalt, hvad der skete i nævneren er ikke beregnet og efterladt i samme form. Du kan også gange både tælleren og nævneren med 4√3 for at få 1000√3/48. Ved at reducere får vi 125√ 3/6 cm 3.

Sådan finder du volumen af ​​en pyramide - 4. vej

Hvis en firkant ligger ved bunden af ​​pyramiden, så kan dens rumfang findes ved følgende formel: V = 1/3*h*a 2, hvor a er siderne af firkanten. For eksempel: højde - 5 cm, siden af ​​firkanten - 3 cm V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Sådan finder du volumen af ​​en pyramide - 5. vej

Hvis pyramiden er et tetraeder, det vil sige, at alle dens flader er ligesidede trekanter, kan du finde pyramidens rumfang ved at bruge følgende formel: V = a 3 √2/12, hvor a er en kant af tetraederet. For eksempel: tetraederkant \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3