Hvad er yderpunkter for en funktion: kritiske punkter for maksimum og minimum. Funktion ekstremer

Indføring af disse uligheder til grænsen som Δ x→ 0 og under hensyntagen til, at den afledte f "(x 0) eksisterer, og grænsen til venstre afhænger derfor ikke af, hvordan Δ x→ 0, får vi: for Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 og ved Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Siden f" (x 0) definerer et tal, så er disse to uligheder kun kompatible hvis f" (x 0) = 0.

Det beviste teorem siger, at maksimum- og minimumspoint kun kan være blandt de værdier af argumentet, for hvilke den afledte forsvinder.

Vi har overvejet tilfældet, når en funktion har en afledt på alle punkter i et bestemt segment. Hvad sker der, når derivatet ikke eksisterer? Overvej eksempler.

y =|x |.

Funktionen har ikke en afledet i et punkt x=0 (på dette tidspunkt har funktionens graf ikke en bestemt tangent), men på dette tidspunkt har funktionen et minimum, da y(0)=0, og for alle x ≠ 0y > 0.

Ud fra de givne eksempler og den formulerede sætning er det således klart, at funktionen kun kan have et ekstremum i to tilfælde: 1) i de punkter, hvor den afledede eksisterer og er lig med nul; 2) på det punkt, hvor derivatet ikke eksisterer.

Dog hvis på et tidspunkt x 0 det ved vi f"(x 0 ) =0, så kan det ikke sluttes heraf, at på punktet x 0 har funktionen et ekstremum.

For eksempel.

Men point x=0 er ikke et ekstremumpunkt, da funktionsværdierne til venstre for dette punkt er placeret under aksen Okse, og ovenfor til højre.

Værdier af et argument fra en funktions domæne, for hvilket den afledede af funktionen forsvinder eller ikke eksisterer, kaldes kritiske punkter .

Det følger af det foregående, at yderpunkterne for en funktion er blandt de kritiske punkter, og dog er ikke ethvert kritisk punkt et ekstremum. For at finde funktionens ekstremum skal du derfor finde alle funktionens kritiske punkter og derefter undersøge hvert af disse punkter separat for maksimum og minimum. Til dette tjener følgende sætning.

Sætning 2. (En tilstrækkelig betingelse for eksistensen af ​​et ekstremum.) Lad funktionen være kontinuert på et eller andet interval, der indeholder det kritiske punkt x 0 , og er differentierbar på alle punkter i dette interval (undtagen måske selve punktet x 0). Hvis den afledte, når den passerer fra venstre mod højre gennem dette punkt, skifter fortegn fra plus til minus, så i punktet x = x 0 har funktionen et maksimum. Hvis, når man passerer igennem x 0 fra venstre mod højre, den afledede skifter fortegn fra minus til plus, så har funktionen et minimum på dette tidspunkt.

Således, hvis

f"(x)>0 kl x <x 0 og f"(x)< 0 kl x > x 0, så x 0 - maksimalt punkt;

Bevis. Lad os først antage, at når vi passerer igennem x 0 skifter den afledte fortegn fra plus til minus, dvs. for alle x tæt på punktet x 0 f "(x)> 0 for x< x 0 , f"(x)< 0 for x > x 0 . Lad os anvende Lagrange-sætningen på forskellen f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), hvor c ligger imellem x og x 0 .

Lade x< x 0 . Derefter c< x 0 og f "(c)> 0. Derfor f "(c)(x-x 0)< 0 og derfor

f(x) - f(x 0 )< 0, dvs. f(x)< f(x 0 ).

Lade x > x 0 . Derefter c> x 0 og f"(c)< 0. Midler f "(c)(x-x 0)< 0. Derfor f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Altså for alle værdier x tæt nok på x 0 f(x) < f(x 0 ) . Og det betyder, at på det tidspunkt x 0 har funktionen et maksimum.

Den anden del af minimumssætningen bevises på samme måde.

Lad os illustrere betydningen af ​​denne sætning i figuren. Lade f"(x 1 ) =0 og for evt x, tæt nok på x 1 , ulighederne

f"(x)< 0 kl x< x 1 , f "(x)> 0 kl x > x 1 .

Så til venstre for punktet x 1 funktionen er stigende og faldende til højre, derfor når x = x 1 funktion går fra stigende til faldende, det vil sige, den har et maksimum.

På samme måde kan man overveje pointerne x 2 og x 3 .

Skematisk kan alt ovenstående afbildes på billedet:

Reglen for at studere funktionen y=f(x) for et ekstremum

Find omfanget af en funktion f(x).

Find den første afledede af en funktion f"(x) .

Bestem kritiske punkter for dette:

find ligningens reelle rødder f"(x) =0;

finde alle værdier x hvorunder derivatet f"(x) eksisterer ikke.

Bestem fortegnet for den afledede til venstre og højre for det kritiske punkt. Da fortegnet for den afledte forbliver konstant mellem to kritiske punkter, er det tilstrækkeligt at bestemme fortegnet for den afledte på et hvilket som helst punkt til venstre og et punkt til højre for det kritiske punkt.

Beregn værdien af ​​funktionen ved ekstremumpunkterne.

For at bestemme karakteren af ​​en funktion og tale om dens adfærd, er det nødvendigt at finde intervaller for stigning og fald. Denne proces kaldes funktionsudforskning og plotning. Yderpunktspunktet bruges til at finde de største og mindste værdier af funktionen, da de øger eller mindsker funktionen fra intervallet.

Denne artikel afslører definitionerne, vi formulerer et tilstrækkeligt tegn på stigning og fald på intervallet og betingelsen for eksistensen af ​​et ekstremum. Det gælder løsning af eksempler og problemer. Afsnittet om differentiering af funktioner bør gentages, for ved løsning vil det være nødvendigt at bruge at finde den afledede.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Funktionen y = f (x) vil stige i intervallet x, når for enhver x 1 ∈ X og x 2 ∈ X , x 2 > x 1 vil uligheden f (x 2) > f (x 1) være mulig. Med andre ord svarer en større værdi af argumentet til en større værdi af funktionen.

Definition 2

Funktionen y = f (x) anses for at være aftagende på intervallet x, når for enhver x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 betragtes ligheden f (x 2) > f (x 1) gennemførlig. Med andre ord svarer en større funktionsværdi til en mindre argumentværdi. Overvej figuren nedenfor.

Kommentar: Når funktionen er bestemt og kontinuerlig i slutningen af ​​det stigende og faldende interval, altså (a; b) hvor x = a, x = b, er punkterne inkluderet i det stigende og faldende interval. Dette er ikke i modstrid med definitionen, hvilket betyder, at det foregår på intervallet x.

Hovedegenskaberne ved elementære funktioner af typen y = sin x er bestemthed og kontinuitet for argumenternes reelle værdier. Herfra får vi, at stigningen i sinus sker på intervallet - π 2; π 2, så har stigningen på segmentet formen - π 2; π 2.

Punktet x 0 kaldes maksimum point for en funktion y = f (x), når for alle værdier af x er uligheden f (x 0) ≥ f (x) sand. Funktion Maksimum er værdien af ​​funktionen i punktet, og er angivet med y m a x .

Punktet x 0 kaldes minimumspunktet for funktionen y \u003d f (x), når uligheden f (x 0) ≤ f (x) er sand for alle værdier af x. Funktionsminimum er værdien af ​​funktionen i punktet, og har notationen af ​​formen y m i n .

Områderne for punktet x 0 tages i betragtning ekstreme punkter, og værdien af ​​den funktion, der svarer til ekstremumpunkterne. Overvej figuren nedenfor.

Extrema af funktionen med den største og mindste værdi af funktionen. Overvej figuren nedenfor.

Den første figur siger, at det er nødvendigt at finde den største værdi af funktionen fra segmentet [ a ; b]. Den findes ved hjælp af maksimumpunkter og er lig med den maksimale værdi af funktionen, og den anden figur er mere som at finde et maksimumpunkt ved x = b.

Tilstrækkelige betingelser for at øge og mindske funktioner

For at finde maksima og minima for en funktion er det nødvendigt at anvende tegnene for et ekstremum i det tilfælde, hvor funktionen opfylder disse betingelser. Den første funktion er den mest brugte.

Den første tilstrækkelige betingelse for et ekstremum

Lad en funktion y = f (x) være givet, som er differentierbar i ε-kvarteret af punktet x 0 , og har kontinuitet i det givne punkt x 0 . Derfor får vi det

• når f "(x) > 0 med x ∈ (x 0 - ε; x 0) og f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• når f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 for x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), så er x 0 minimumspunktet.

Med andre ord får vi deres skilteindstillingsbetingelser:

• når funktionen er kontinuert i punktet x 0, så har den en afledet med et skiftende fortegn, altså fra + til -, hvilket betyder, at punktet kaldes maksimum;
• når funktionen er kontinuert i punktet x 0, så har den en afledet med et skiftende fortegn fra - til +, hvilket betyder at punktet kaldes et minimum.

For korrekt at bestemme maksimum- og minimumpunkterne for funktionen skal du følge algoritmen for at finde dem:

• find definitionsdomænet;
• find den afledede af funktionen på dette område;
• identificere nuller og punkter, hvor funktionen ikke eksisterer;
• bestemmelse af fortegn for den afledte på intervaller;
• vælg de punkter, hvor funktionen skifter fortegn.

Overvej algoritmen på eksemplet med at løse flere eksempler på at finde yderpunkterne af funktionen.

Eksempel 1

Find maksimum- og minimumpunkterne for den givne funktion y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Løsning

Domænet for denne funktion er alle reelle tal undtagen x = 2. Først finder vi den afledede af funktionen og får:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Herfra ser vi, at funktionens nuller er x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, det vil sige, at hver parentes skal sidestilles med nul. Markér på tallinjen og få:

Nu bestemmer vi fortegnene for den afledte fra hvert interval. Det er nødvendigt at vælge et punkt inkluderet i intervallet, erstatte det i udtrykket. For eksempel punkt x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Det forstår vi

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, derfor har intervallet - ∞; - 1 en positiv afledet. På samme måde opnår vi, at

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Da det andet interval viste sig at være mindre end nul, betyder det, at den afledte på segmentet vil være negativ. Den tredje med minus, den fjerde med plus. For at bestemme kontinuitet er det nødvendigt at være opmærksom på tegnet for derivatet, hvis det ændrer sig, er dette et ekstremum punkt.

Vi får, at i punktet x = - 1 vil funktionen være kontinuert, hvilket betyder, at den afledede vil skifte fortegn fra + til -. Ifølge det første tegn har vi, at x = - 1 er maksimumpunktet, hvilket betyder, at vi får

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Punktet x = 5 indikerer, at funktionen er kontinuert, og den afledede vil skifte fortegn fra - til +. Derfor er x=-1 minimumspunktet, og dets fund har formen

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafisk billede

Svar: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

Det er værd at være opmærksom på, at brugen af ​​det første tilstrækkelige tegn på et ekstremum ikke kræver, at funktionen kan differentieres fra punktet x 0 , og det forenkler beregningen.

Eksempel 2

Find maksimum- og minimumpunkterne for funktionen y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Løsning.

En funktions domæne er alle reelle tal. Dette kan skrives som et ligningssystem af formen:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Så skal du finde den afledede:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Punktet x = 0 har ingen afledning, fordi værdierne af de ensidede grænser er forskellige. Vi får det:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Det følger, at funktionen er kontinuert i punktet x = 0, så regner vi

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 år (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Det er nødvendigt at udføre beregninger for at finde værdien af ​​argumentet, når den afledede bliver nul:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Alle opnåede punkter skal markeres på linjen for at bestemme tegnet for hvert interval. Derfor er det nødvendigt at beregne den afledte ved vilkårlige punkter for hvert interval. For eksempel kan vi tage point med værdierne x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Det forstår vi

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Billedet på en lige linje har formen

Så vi kommer til det punkt, at det er nødvendigt at ty til det første tegn på et ekstremum. Vi beregner og får det

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , herfra har de maksimale point værdierne x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Lad os gå videre til at beregne minimumsværdierne:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Lad os beregne funktionens maksima. Det forstår vi

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafisk billede

Svar:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y a x 3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Hvis funktionen f "(x 0) = 0 er givet, så får vi med dens f "" (x 0) > 0, at x 0 er minimumspunktet, hvis f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Eksempel 3

Find maksima og minima for funktionen y = 8 x x + 1 .

Løsning

Først finder vi definitionsdomænet. Det forstår vi

D (y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Det er nødvendigt at differentiere funktionen, hvorefter vi får

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Når x = 1, bliver den afledte lig med nul, hvilket betyder, at punktet er et muligt ekstremum. For afklaring er det nødvendigt at finde den anden afledede og beregne værdien ved x \u003d 1. Vi får:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Derfor, ved at bruge 2 tilstrækkelige betingelse for ekstremum, opnår vi, at x = 1 er maksimumpunktet. Ellers er indtastningen y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Grafisk billede

Svar: y m a x = y (1) = 4 ..

Funktionen y = f (x) har sin afledte op til n. orden i ε-kvarteret af det givne punkt x 0 og dens afledede op til n + 1. orden i punktet x 0 . Så f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Det følger heraf, at når n er et lige tal, så betragtes x 0 som et bøjningspunkt, når n er et ulige tal, så er x 0 et ekstremumpunkt, og f (n + 1) (x 0) > 0, så x 0 er et minimumspunkt, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Eksempel 4

Find maksimum- og minimumpunkterne for funktionen y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .

Løsning

Den oprindelige funktion er en hel rationel funktion, derfor følger det, at definitionsdomænet er alle reelle tal. Funktionen skal differentieres. Det forstår vi

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Denne afledte vil gå til nul ved x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Det vil sige, at punkterne kan være punkter i et muligt ekstremum. Det er nødvendigt at anvende den tredje tilstrækkelige ekstremum tilstand. At finde den anden afledede giver dig mulighed for nøjagtigt at bestemme tilstedeværelsen af ​​et maksimum og minimum af en funktion. Den anden afledede beregnes ved punkterne af dens mulige ekstremum. Det forstår vi

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Dette betyder, at x 2 \u003d 5 7 er det maksimale punkt. Ved at anvende 3 tilstrækkelige kriterium får vi det for n = 1 og f (n + 1) 5 7< 0 .

Det er nødvendigt at bestemme karakteren af ​​punkterne x 1 = - 1, x 3 = 3. For at gøre dette skal du finde den tredje afledte, beregne værdierne på disse punkter. Det forstår vi

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Derfor er x 1 = - 1 funktionens bøjningspunkt, da for n = 2 og f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Det er nødvendigt at undersøge punktet x 3 = 3 . For at gøre dette finder vi den 4. afledede og udfører beregninger på dette tidspunkt:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Fra ovenstående konkluderer vi, at x 3 \u003d 3 er minimumspunktet for funktionen.

Grafisk billede

Svar: x 2 \u003d 5 7 er maksimumpunktet, x 3 \u003d 3 - minimumspunktet for den givne funktion.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Dette er et ret interessant afsnit af matematik, som absolut alle kandidatstuderende og studerende står over for. Det er dog ikke alle, der kan lide matan. Nogle forstår ikke selv grundlæggende ting som det tilsyneladende standard funktionsstudie. Denne artikel har til formål at rette op på denne forglemmelse. Vil du vide mere om funktionsanalyse? Vil du gerne vide, hvad ekstremumpunkter er, og hvordan man finder dem? Så er denne artikel noget for dig.

Undersøgelse af grafen for en funktion

Til at begynde med er det værd at forstå, hvorfor det overhovedet er nødvendigt at analysere diagrammet. Der er simple funktioner, som er nemme at tegne. Et slående eksempel på en sådan funktion er parablen. Det er ikke svært at tegne hendes diagram. Det eneste, der skal til, er ved hjælp af en simpel transformation at finde de tal, hvor funktionen tager værdien 0. Og i princippet er det alt, du behøver at vide for at tegne en parabelgraf.

Men hvad nu hvis den funktion, vi skal tegne, er meget mere kompliceret? Da egenskaberne ved komplekse funktioner er ret ikke-indlysende, er det nødvendigt at udføre en hel analyse. Først da kan funktionen repræsenteres grafisk. Hvordan gør man det? Du kan finde svaret på dette spørgsmål i denne artikel.

Funktionsanalyseplan

Den første ting at gøre er at udføre en overfladisk undersøgelse af funktionen, hvor vi finder definitionsdomænet. Så lad os starte i rækkefølge. Definitionsdomænet er sættet af de værdier, som funktionen er defineret ved. Kort sagt er det de tal, der kan bruges i funktionen i stedet for x. For at bestemme omfanget skal du blot se på posten. For eksempel er det indlysende, at funktionen y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 har et definitionsdomæne - sættet af reelle tal. Nå, med en funktion som (x 2 - 2x) / x, er alt lidt anderledes. Da tallet i nævneren ikke skal være lig med 0, vil denne funktions domæne være alle reelle tal, undtagen nul.

Dernæst skal du finde funktionens såkaldte nuller. Dette er værdierne af argumentet, som hele funktionen tager værdien nul for. For at gøre dette er det nødvendigt at sidestille funktionen til nul, overveje det i detaljer og udføre nogle transformationer. Lad os tage den allerede velkendte funktion y(x) = (x 2 - 2x)/x. Fra skoleforløbet ved vi, at en brøk er 0, når tælleren er nul. Derfor kasserer vi nævneren og begynder at arbejde med tælleren og sætter lighedstegn mellem den og nul. Vi får x 2 - 2x \u003d 0 og tager x ud af parentes. Derfor x (x - 2) \u003d 0. Som et resultat finder vi, at vores funktion er lig med nul, når x er lig med 0 eller 2.

Under undersøgelsen af ​​grafen for en funktion står mange over for et problem i form af ekstremumpunkter. Og det er mærkeligt. Yderligheder er jo et ret simpelt emne. Tror du ikke? Se selv ved at læse denne del af artiklen, hvor vi vil tale om minimums- og maksimumspoint.

Til at begynde med er det værd at forstå, hvad et ekstremum er. Et ekstremum er den grænseværdi, som en funktion når på en graf. Ud fra dette viser det sig, at der er to ekstreme værdier - et maksimum og et minimum. For klarhedens skyld kan du se på billedet ovenfor. På det undersøgte område er punkt -1 maksimum af funktionen y (x) \u003d x 5 - 5x, og punkt 1 er henholdsvis minimum.

Du må heller ikke forveksle begreber med hinanden. En funktions ekstremumpunkter er de argumenter, hvor den givne funktion får ekstreme værdier. Til gengæld er ekstremum værdien af ​​funktionens minima og maksima. Overvej for eksempel figuren ovenfor igen. -1 og 1 er yderpunkterne for funktionen, og 4 og -4 er selve ekstremum.

At finde ekstremum punkter

Men hvordan finder man yderpunkterne for en funktion? Alt er ret simpelt. Den første ting at gøre er at finde den afledede af ligningen. Lad os sige, at vi fik opgaven: "Find yderpunkterne for funktionen y (x), x er argumentet. For klarhedens skyld, lad os tage funktionen y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Lad os differentiere og få følgende ligning: 3x 2 + 4x + 1. Som et resultat fik vi en standard andengradsligning. Det eneste, der skal gøres, er at sidestille den med nul og finde rødderne. Da diskriminanten er større end nul (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), er denne ligning bestemt af to rødder. Vi finder dem og får to værdier: 1/3 og -1. Disse vil være yderpunkterne for funktionen. Men hvordan kan du stadig bestemme hvem er hvem? Hvilket punkt er maksimum, og hvilket er minimum? For at gøre dette skal du tage et nabopunkt og finde ud af dets værdi. Lad os for eksempel tage tallet -2, som er til venstre langs koordinaten linje fra -1. Vi erstatter denne værdi i vores ligning y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Som et resultat fik vi et positivt tal. Det betyder, at på intervallet fra 1/3 til -1 funktion øges, hvilket igen betyder, at på intervallerne fra min fra uendeligt til 1/3 og fra -1 til plus uendeligt, falder funktionen. Således kan vi konkludere, at tallet 1/3 er minimumspunktet for funktionen på det undersøgte interval, og -1 er maksimumpunktet.

Det er også værd at bemærke, at eksamen ikke kun kræver at finde ekstremum punkter, men også at udføre en form for operation med dem (tillægge, gange osv.). Det er af denne grund, at det er værd at være særlig opmærksom på betingelserne for problemet. På grund af uopmærksomhed kan du trods alt miste point.

Lektion om emnet: "Find yderpunkter for funktioner. Eksempler"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, feedback, forslag! Alt materiale kontrolleres af et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i netbutikken "Integral" til klasse 10 fra 1C
Vi løser problemer inden for geometri. Interaktive byggeopgaver for 7-10 klassetrin
Softwaremiljø "1C: Matematisk konstruktør 6.1"

Hvad skal vi studere:
1. Introduktion.
2. Points med minimum og maksimum.

4. Hvordan beregner man ekstremum?
5. Eksempler.

Introduktion til yderpunkter af funktioner

Gutter, lad os se på grafen for en eller anden funktion:

Bemærk, at adfærden af ​​vores funktion y=f (x) i høj grad bestemmes af de to punkter x1 og x2. Lad os se nærmere på grafen for funktionen ved og omkring disse punkter. Op til punktet x2 stiger funktionen, i punktet x2 er der en bøjning, og umiddelbart efter dette punkt falder funktionen til punktet x1. Ved punktet x1 bøjer funktionen igen, og derefter øges den igen. Punkterne x1 og x2 kaldes foreløbig bøjningspunkter. Lad os tegne tangenter på disse punkter:

Tangenterne i vores punkter er parallelle med x-aksen, hvilket betyder, at tangentens hældning er nul. Det betyder, at den afledede af vores funktion i disse punkter er nul.

Lad os se på grafen for denne funktion:

Tangenter i punkterne x2 og x1 kan ikke tegnes. Derfor eksisterer den afledte på disse punkter ikke. Lad os nu igen se på vores punkter på de to diagrammer. Punktet x2 er det punkt, hvor funktionen når sin maksimale værdi i et eller andet område (nær punktet x2). Punktet x1 er det punkt, hvor funktionen når sin mindste værdi i et eller andet område (nær punktet x1).

Høje og lave punkter

Definition: Punktet x= x0 kaldes minimumspunktet for funktionen y=f(x), hvis der er et naboskab til punktet x0, hvor følgende ulighed er sand: f(x) ≥ f(x0).

Definition: Punktet x=x0 kaldes det maksimale punkt for funktionen y=f(x), hvis der er et naboskab til punktet x0, hvor følgende ulighed er sand: f(x) ≤ f(x0).

Gutter, hvad er kvarteret?

Definition: Et punkts naboskab er et sæt punkter, der indeholder vores punkt og tæt på det.

Vi kan selv definere bydelen. For eksempel, for et punkt x=2, kan vi definere naboskabet som punkt 1 og 3.

Lad os vende tilbage til vores grafer, se på punktet x2, det er større end alle andre punkter fra et kvarter, så er det per definition et maksimumpunkt. Lad os nu se på punktet x1, det er mindre end alle andre punkter fra et kvarter, så er det per definition et minimumspunkt.

Gutter, lad os introducere notationen:

Ymin - minimumspunkt,
ymax - maksimumpunkt.

Vigtig! Gutter, forveksle ikke maksimum og minimum point med den mindste og største værdi af funktionen. De mindste og største værdier søges over hele definitionsdomænet for den givne funktion, og minimums- og maksimumpointene søges i nogle nabolag.

Funktion ekstremer

Der er en fælles betegnelse for minimum og maksimum point - ekstremum point.

Extremum (lat. ekstremum - ekstrem) - den maksimale eller minimale værdi af en funktion på et givet sæt. Det punkt, hvor ekstremum nås, kaldes ekstremumpunktet.

Hvis minimum er nået, kaldes ekstremumpunktet derfor minimumspunktet, og hvis maksimum nås, maksimumpunktet.

Hvordan finder man yderpunkter for en funktion?

Lad os vende tilbage til vores diagrammer. På vores punkter forsvinder den afledte enten (på den første graf) eller eksisterer ikke (på den anden graf).

Så kan vi lave et vigtigt udsagn: Hvis funktionen y= f(x) har et ekstremum i punktet x=x0, så er den afledede af funktionen på dette tidspunkt enten lig med nul eller eksisterer ikke.

De punkter, hvor den afledede er lig nul kaldes stationær.

Punkter, hvor den afledede af en funktion ikke findes, kaldes kritisk.

Hvordan beregner man ekstremer?

Gutter, lad os gå tilbage til den første graf af funktionen:

Ved at analysere denne graf sagde vi: op til punktet x2 øges funktionen, i punktet x2 er der en bøjning, og efter dette punkt falder funktionen til punktet x1. I punktet x1 bøjer funktionen igen, og derefter øges funktionen igen.

Baseret på et sådant ræsonnement kan vi konkludere, at funktionen ved ekstremumpunkterne ændrer arten af ​​monotonicitet, og derfor skifter den afledte funktion fortegn. Husk, at hvis funktionen er faldende, så er den afledte mindre end eller lig med nul, og hvis funktionen er stigende, så er den afledte større end eller lig med nul.

Lad os generalisere den opnåede viden med udsagnet:

Sætning: Tilstrækkelig ekstremum betingelse: Lad funktionen y=f(x) være kontinuert på et eller andet interval X og have et stationært eller kritisk punkt x= x0 inde i intervallet. Derefter:

• Hvis dette punkt har et kvarter, hvor f'(x)>0 er opfyldt for x x0, så er punktet x0 minimumpunktet for funktionen y= f(x).
• Hvis dette punkt har et sådant kvarter, hvor der for x 0 og for x> x0 f'(x) ikke er noget ekstremum.

For at løse problemer skal du huske følgende regler: Hvis tegnene for afledte er defineret, så:

Algoritme til undersøgelse af den kontinuerlige funktion y= f(x) for monotonicitet og ekstrema:

• Find den afledte y'.
• Find stationære (den afledede er nul) og kritiske punkter (den afledte findes ikke).
• Marker de stationære og kritiske punkter på tallinjen og bestem fortegnene for den afledede på de resulterende intervaller.
• Ud fra ovenstående udsagn, drag en konklusion om arten af ​​ekstremumpunkterne.

Eksempler på at finde ekstremumpunkter

1) Find yderpunkterne for funktionen og bestem deres karakter: y= 7+ 12*x - x 3

Løsning: Vores funktion er kontinuerlig, så vil vi bruge vores algoritme:
a) y "= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, ved x= ±2,

Punktet x= -2 er funktionens minimumspunkt, punktet x= 2 er funktionens maksimumpunkt.
Svar: x= -2 - funktionsminimumspunkt, x= 2 - funktionsmaksimumspunkt.

2) Find yderpunkterne for funktionen og bestem deres karakter.

3) Find yderpunkterne for funktionen y= x - 2cos(x) og bestem deres karakter, for -π ≤ x ≤ π.

Løsning: Vores funktion er kontinuerlig, lad os bruge vores algoritme:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) find de værdier, hvor den afledede er lig med nul: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
fordi -π ≤ x ≤ π, så: x= -π/6, -5π/6,
c) marker de stationære punkter på den reelle linje og bestem fortegnene for den afledte: d) se på vores figur, som viser reglerne for bestemmelse af ekstremum.
Punktet x= -5π/6 er det maksimale punkt for funktionen.
Punktet x= -π/6 er minimumspunktet for funktionen.
Svar: x= -5π/6 - maksimumspunkt for funktionen, x= -π/6 - minimumspunkt for funktionen.

4) Find yderpunkterne for funktionen og bestem deres karakter:

Opgaver til selvstændig løsning