Hvad er yderpunkter for en funktion: kritiske punkter for maksimum og minimum.
Hvad er et ekstremum af en funktion, og hvad er den nødvendige betingelse for et ekstremum?
Det yderste af en funktion er maksimum og minimum af funktionen.
Den nødvendige betingelse for funktionens maksimum og minimum (ekstremum) er som følger: hvis funktionen f(x) har et ekstremum i punktet x = a, så er den afledte på dette tidspunkt enten nul eller uendelig, eller gør ikke-eksisterende.
Denne betingelse er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. Den afledte i punktet x = a kan forsvinde, gå til det uendelige eller ikke eksistere uden at funktionen har et ekstremum på dette punkt.
Hvad er den tilstrækkelige betingelse for funktionens ekstremum (maksimum eller minimum)?
Første betingelse:
Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er positiv til venstre for a og negativ til højre for a, så har funktionen f(x) i selve punktet x = a. maksimum
Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er negativ til venstre for a og positiv til højre for a, så har funktionen f(x) i selve punktet x = a. minimum forudsat at funktionen f(x) er kontinuert her.
I stedet kan du bruge den anden tilstrækkelige betingelse for funktionens ekstremum:
Lad i punktet x = og den første afledte f?(x) forsvinder; hvis den anden afledede f??(а) er negativ, så har funktionen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så et minimum.
Hvad er det kritiske punkt ved en funktion, og hvordan finder man det?
Dette er værdien af funktionsargumentet, hvor funktionen har et ekstremum (dvs. maksimum eller minimum). For at finde det, skal du find den afledede funktion f?(x) og ved at ligne den med nul, løse ligningen f?(x) = 0. Rødderne af denne ligning, såvel som de punkter, hvor den afledede af denne funktion ikke eksisterer, er kritiske punkter, dvs. værdierne af argumentet, hvor der kan være et ekstremum . De kan let identificeres ved at kigge på afledt graf: vi er interesserede i de værdier af argumentet, hvor grafen for funktionen skærer abscisse-aksen (Ox-aksen), og dem, hvor grafen lider af brud.
Lad os f.eks. finde ekstremum af parablen.
Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Funktionsafledt: y?(x) = 6x + 2
Vi løser ligningen: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
I dette tilfælde er det kritiske punkt x0=-1/3. Det er for denne værdi af argumentet, funktionen har ekstremum. For at få det finde, erstatter vi det fundne tal i udtrykket med funktionen i stedet for "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Hvordan bestemmer man maksimum og minimum af en funktion, dvs. dens største og mindste værdier?
Hvis fortegnet for den afledede ændres fra "plus" til "minus", når den passerer gennem det kritiske punkt x0, så er x0 maksimum point; hvis fortegnet for den afledede ændres fra minus til plus, så er x0 minimumspunkt; hvis tegnet ikke ændrer sig, så er der i punktet x0 hverken et maksimum eller et minimum.
For det overvejede eksempel:
Vi tager en vilkårlig værdi af argumentet til venstre for det kritiske punkt: x = -1
Når x = -1, vil værdien af den afledede være y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. minustegnet).
Nu tager vi en vilkårlig værdi af argumentet til højre for det kritiske punkt: x = 1
For x = 1 vil værdien af den afledede være y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. plustegnet).
Som du kan se, ændrede den afledte fortegn fra minus til plus, når den passerede det kritiske punkt. Det betyder, at ved den kritiske værdi af x0 har vi et minimumspunkt.
Funktionens største og mindste værdi på intervallet(på segmentet) findes ved samme procedure, kun under hensyntagen til det faktum, at måske ikke alle kritiske punkter vil ligge inden for det angivne interval. De kritiske punkter, der ligger uden for intervallet, skal udelukkes fra overvejelse. Hvis der kun er ét kritisk punkt inde i intervallet, vil det enten have et maksimum eller et minimum. I dette tilfælde, for at bestemme de største og mindste værdier af funktionen, tager vi også højde for funktionens værdier i enderne af intervallet.
Lad os for eksempel finde de største og mindste værdier af funktionen
y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x
med mellemrum:
Så den afledede af funktionen er
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.
Vi finder kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (ikke inkluderet i intervallet)
x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (ikke inkluderet i intervallet)
Vi finder værdierne af funktionen ved kritiske værdier af argumentet:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Det kan ses, at på intervallet [-9; 9] funktionen har den største værdi ved x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
og den mindste - ved x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
På intervallet [-6; -3] har vi kun ét kritisk punkt: x = -4,88. Værdien af funktionen ved x = -4,88 er y = 5,398.
Vi finder værdien af funktionen i enderne af intervallet:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
På intervallet [-6; -3] har vi den største værdi af funktionen
y = 5,398 ved x = -4,88
den mindste værdi er
y = 1,077 ved x = -3
Hvordan finder man bøjningspunkterne for en funktionsgraf og bestemmer siderne af konveksitet og konkavitet?
For at finde alle bøjningspunkterne for linjen y \u003d f (x), skal du finde den anden afledede, sidestille den med nul (løs ligningen) og teste alle de værdier af x, for hvilke den anden afledede er nul , uendelig eller eksisterer ikke. Hvis, når den passerer gennem en af disse værdier, den anden afledede skifter fortegn, så har grafen for funktionen en bøjning på dette punkt. Hvis det ikke ændrer sig, så er der ingen bøjning.
Rødderne af ligningen f ? (x) = 0, samt mulige diskontinuitetspunkter for funktionen og den anden afledede, opdeler funktionens domæne i et antal intervaller. Konveksiteten i hvert af deres intervaller bestemmes af tegnet for den anden afledede. Hvis den anden afledede i et punkt på det undersøgte interval er positiv, så er linjen y = f(x) konkav opad her, og hvis den er negativ, så nedad.
Hvordan finder man ekstrema af en funktion af to variable?
For at finde yderpunkterne af funktionen f(x, y), der kan differentieres i området for dens tildeling, har du brug for:
1) find de kritiske punkter, og løs ligningssystemet til dette
fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0
2) for hvert kritisk punkt P0(a;b), undersøg, om fortegnet for forskel forbliver uændret
for alle punkter (x; y) tilstrækkelig tæt på P0. Hvis forskellen bevarer et positivt fortegn, så har vi ved punktet P0 et minimum, hvis negativt, så et maksimum. Hvis forskellen ikke bevarer sit fortegn, er der ikke noget ekstremum ved punktet Р0.
På samme måde bestemmes yderpunkterne af funktionen for et større antal argumenter.
Hvad er den officielle hjemmeside for sangeren Mika Newton og hendes band
Nyt ukrainsk mirakel - Mika Newton! Dette er en gruppe på 5 personer, der spiller pop-rock, nyder livet, giver drive og ser positivt på dette liv. Fyrene samledes i Kiev, hvor de bor i øjeblikket. Fyrene er ikke enige i standardgrundlaget i musikken og livet, opdager deres nye lyd og bryder alle mulige standarder. Team leder -
Sådan konverteres milliliter til kubikmeter
Den grundlæggende længdeenhed i SI-systemet er måleren. Baseret på dette skal den grundlæggende volumenhed betragtes som en kubikmeter, eller, som det også kaldes, en kubikmeter eller en kubikmeter. Dette er rumfanget af en terning med kanter svarende til en meter. I praksis er det dog ikke altid praktisk at udtrykke volumen i kubikmeter. For eksempel er det praktisk at udtrykke rumfanget i kubikmeter: gange længden af
Hvad er kalorieindholdet i semulje
Kalorie mad, kalorie tabel. Menneskets energibehov måles i kilokalorier (kcal). Ordet "kalorie" kommer fra det latinske sprog og betyder "varme". I fysik måles energi i kalorier. En kilokalorie er mængden af energi
Hvad er udviklingsstadierne for realisme i litteraturen
Realisme (lat. real, real) er en tendens inden for litteratur og kunst, der har til formål trofast at gengive virkeligheden i dens typiske træk. Fællestræk: Kunstnerisk skildring af livet i billeder, svarende til essensen af selve livets fænomener. Virkeligheden er et middel til menneskets viden om sig selv og omverdenen. Skrivning
Hvad er forholdet mellem berkelium og det 117. grundstof i det periodiske system
Berkelium, Berkelium, Bk - det 97. grundstof i det periodiske system. Opdaget i december 1949 af Thompson, Ghiorso og Seaborg ved University of California i Berkeley. Ved at bestråle 241Am med alfapartikler opnåede de Berkelium-isotopen 243Bk. Fordi Bk strukturmæssigt ligner terbium, som tager sit navn fra hr. Ytterby i
Hvad er Yaroslav den Vise berømt for?
Yaroslav den Vise (980-1054), storhertug af Kiev (1019). Søn af Vladimir I Svyatoslavovich. Han fordrev Svyatopolk I den Forbandede, kæmpede med sin bror Mstislav, delte staten med ham (1025) og forenede den i 1035 igen. En række sejre sikrede Ruslands sydlige og vestlige grænser. Etablerede dynastiske bånd med mange lande i Ev
Hvordan gik traditionen med at råbe "Bitter!"
For længe siden var der tradition for at råbe under bryllupsfesten: "Bittert!", hvilket tvang de nygifte til at rejse sig fra deres pladser og kysse. I dag gætter mange ikke engang, hvad meningen med denne ceremoni er. I gamle dage, ved bryllupper, råbte de "Bitter!", hvilket gjorde det klart, at vinen i skålene angiveligt er usødet. MEN
Hvad er symptomerne på laryngitis
Laryngitis (fra andet græsk λ?ρυγξ - strubehovedet) er en betændelse i strubehovedet, normalt forbundet med en forkølelse eller infektionssygdomme såsom mæslinger, skarlagensfeber, kighoste. Udviklingen af sygdommen lettes af hypotermi, vejrtrækning gennem munden, støvet
Om køn og deklination er bestemt for navneord, der kun har flertalsform
Tal er en grammatisk kategori, der udtrykker et objekts kvantitative karakteristika. 1. De fleste navneord ændres med tal, dvs. Den har to former - ental og flertal. I entalsformen betegner substantivet et objekt, i flertalsformen flere objekter:
Hvad er nyttig russisk grød
Boghvede grød Boghvede er en speciel kornsort. Fra det viser det sig, måske, et af de mest nyttige korn. Ikke underligt, at vi kalder det den første. Boghvede indeholder fibre, en lang række vitaminer - E, PP, B1, B2, folinsyre og organiske syrer, samt en stor procentdel af stivelse, som bidrager til indtagelsen af den rigtige mængde neo
Et interaktivt kort over byen Arkhangelsk kan ses på følgende steder: Map1 - satellit og standardkort, Map2 - standardkort (1:350.000); Map3 - der er gadenavne, husnumre, søgning efter gade er muligt; Map4 - kort med gadenavne; Map5 - interaktivt kort over byen; Map6 - interaktivt kort over byen.
Funktion ekstremer
Definition 2
Et punkt $x_0$ kaldes et maksimumspunkt for funktionen $f(x)$, hvis der findes et kvarter til dette punkt, således at for alle $x$ fra dette kvarter er uligheden $f(x)\le f(x_0 )$ er tilfreds.
Definition 3
Et punkt $x_0$ kaldes et maksimumspunkt for funktionen $f(x)$, hvis der findes et kvarter til dette punkt, således at for alle $x$ fra dette kvarter er uligheden $f(x)\ge f(x_0 )$ er tilfreds.
Begrebet et ekstremum af en funktion er tæt forbundet med begrebet et kritisk punkt i en funktion. Lad os introducere dens definition.
Definition 4
$x_0$ kaldes et kritisk punkt for funktionen $f(x)$ hvis:
1) $x_0$ - internt punkt i definitionsdomænet;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ eller eksisterer ikke.
Til begrebet et ekstremum kan man formulere sætninger om tilstrækkelige og nødvendige betingelser for dets eksistens.
Sætning 2
Tilstrækkelig ekstremum tilstand
Lad punktet $x_0$ være kritisk for funktionen $y=f(x)$ og ligge i intervallet $(a,b)$. Lad på hvert interval $\left(a,x_0\right)\ og\ (x_0,b)$ den afledede $f"(x)$ eksistere og behold et konstant fortegn. Derefter:
1) Hvis på intervallet $(a,x_0)$ den afledede $f"\left(x\right)>0$, og på intervallet $(x_0,b)$ den afledte $f"\left(x\ ret)
2) Hvis den afledte $f"\left(x\right)0$ er på intervallet $(a,x_0)$, så er punktet $x_0$ minimumpunktet for denne funktion.
3) Hvis både på intervallet $(a,x_0)$ og på intervallet $(x_0,b)$ er den afledte $f"\left(x\right) >0$ eller den afledte $f"\left(x) \ret)
Denne sætning er illustreret i figur 1.
Figur 1. Tilstrækkelig betingelse for eksistensen af ekstrema
Eksempler på ekstremer (fig. 2).
Figur 2. Eksempler på ekstremumpunkter
Reglen for undersøgelse af en funktion for et ekstremum
2) Find den afledte $f"(x)$;
7) Træk konklusioner om tilstedeværelsen af maksima og minima på hvert interval ved hjælp af sætning 2.
Funktion stigende og faldende
Lad os først introducere definitionerne af stigende og faldende funktioner.
Definition 5
En funktion $y=f(x)$ defineret på et interval $X$ kaldes stigende hvis for nogle punkter $x_1,x_2\in X$ for $x_1
Definition 6
En funktion $y=f(x)$ defineret på et interval $X$ kaldes aftagende if for nogle punkter $x_1,x_2\in X$ for $x_1f(x_2)$.
Undersøgelse af en funktion til at øge og formindske
Du kan undersøge funktioner til at øge og formindske ved hjælp af den afledede.
For at undersøge en funktion for intervaller for stigning og fald, skal du gøre følgende:
1) Find domænet for funktionen $f(x)$;
2) Find den afledte $f"(x)$;
3) Find de punkter, hvor ligheden $f"\left(x\right)=0$;
4) Find punkter, hvor $f"(x)$ ikke eksisterer;
5) Marker på koordinatlinjen alle de fundne punkter og domænet for den givne funktion;
6) Bestem tegnet for den afledte $f"(x)$ på hvert resulterende interval;
7) Konkluder: på intervallerne hvor $f"\left(x\right)0$ øges funktionen.
Eksempler på problemer til studiet af funktioner til stigende, faldende og tilstedeværelsen af ekstremumpunkter
Eksempel 1
Undersøg funktionen til at øge og formindske, og tilstedeværelsen af punkter med maksima og minima: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Da de første 6 point er ens, trækker vi dem først.
1) Definitionsdomæne - alle reelle tal;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ eksisterer på alle punkter i definitionsdomænet;
5) Koordinatlinje:
Figur 3
6) Bestem tegnet for den afledede $f"(x)$ på hvert interval:
\\. Som det er kendt, når en sådan funktion sine maksimum- og minimumværdier, enten på segmentets grænse eller inde i det. Hvis den maksimale eller minimale værdi af funktionen er nået ved segmentets indre punkt, så er denne værdi maksimum eller minimum af funktionen, det vil sige, den nås på kritiske punkter.
Således får vi følgende reglen for at finde de største og mindste værdier af en funktion på segmentet [ a, b] :
- Find alle kritiske punkter for en funktion i intervallet ( a, b) og beregn funktionsværdierne på disse punkter.
- Beregn værdierne af funktionen i enderne af segmentet for x=a, x=b.
- Af alle de opnåede værdier skal du vælge den største og mindste.