Harmoniske vibrationer. Matematisk pendul: periode, acceleration og formler

(lat. amplitude- størrelse) er den største afvigelse af et oscillerende legeme fra dets ligevægtsposition.

For et pendul er dette den maksimale afstand, som bolden bevæger sig væk fra sin ligevægtsposition (figur nedenfor). For svingninger med små amplituder kan en sådan afstand tages som længden af buen 01 eller 02 og længderne af disse segmenter.

Amplituden af svingninger måles i længdeenheder - meter, centimeter osv. På oscillationsgrafen er amplituden defineret som den maksimale (modulo) ordinat af den sinusformede kurve (se figuren nedenfor).

Oscillationsperiode.

Oscillationsperiode- dette er den korteste tidsperiode, hvorigennem et system, der oscillerer, vender tilbage til den samme tilstand, som det var i det indledende tidspunkt, valgt vilkårligt.

Med andre ord, oscillationsperioden ( T) er den tid, hvor en fuldstændig svingning finder sted. For eksempel, i figuren nedenfor, er dette den tid, det tager for pendulbobben at bevæge sig fra punktet længst til højre gennem ligevægtspunktet OM til det yderste venstre punkt og tilbage gennem punktet OM igen yderst til højre.

Over en hel svingningsperiode bevæger kroppen sig således en vej svarende til fire amplituder. Svingningsperioden måles i tidsenheder - sekunder, minutter osv. Svingningsperioden kan bestemmes ud fra en velkendt graf over svingninger (se figuren nedenfor).

Konceptet "oscillationsperiode" er strengt taget kun gyldigt, når værdierne af den oscillerende mængde gentages nøjagtigt efter en vis tidsperiode, dvs. for harmoniske svingninger. Dette begreb gælder dog også i tilfælde af tilnærmelsesvis gentagne mængder, f.eks dæmpede svingninger.

Oscillationsfrekvens.

Oscillationsfrekvens- dette er antallet af svingninger udført pr. tidsenhed, for eksempel på 1 s.

SI-enheden for frekvens er navngivet hertz(Hz) til ære for den tyske fysiker G. Hertz (1857-1894). Hvis oscillationsfrekvensen ( v) er lig med 1 Hz, betyder det, at der hvert sekund er én svingning. Hyppigheden og perioden for oscillationer er relateret af relationerne:

I oscillationsteorien bruger de også begrebet cyklisk, eller cirkulær frekvens ω . Det er relateret til den normale frekvens v og svingningsperiode T forhold:

Cyklisk frekvens er antallet af svingninger udført pr 2π sekunder

Oscillerende bevægelse- periodisk eller næsten periodisk bevægelse af et legeme, hvis koordinater, hastighed og acceleration med lige store tidsintervaller antager omtrent samme værdier.

Mekaniske vibrationer opstår, når der, når en krop fjernes fra en ligevægtsposition, opstår en kraft, der har tendens til at returnere kroppen tilbage.

Forskydning x er kroppens afvigelse fra ligevægtspositionen.

Amplitude A er modulet for den maksimale forskydning af kroppen.

Oscillationsperiode T - tid for en svingning:

Oscillationsfrekvens

Antallet af svingninger udført af et legeme pr. tidsenhed: Under svingninger ændres hastigheden og accelerationen periodisk. I ligevægtspositionen er hastigheden maksimal, og accelerationen er nul. Ved punkterne med maksimal forskydning når accelerationen et maksimum, og hastigheden bliver nul.

HARMONISK VIBRATIONSSKEMA

Harmonisk vibrationer, der opstår i henhold til loven om sinus eller cosinus, kaldes:

hvor x(t) er forskydningen af systemet på tidspunktet t, A er amplituden, ω er den cykliske frekvens af svingninger.

Hvis du plotter kroppens afvigelse fra ligevægtspositionen langs den lodrette akse og tiden langs den vandrette akse, vil du få en graf over oscillationen x = x(t) - afhængigheden af kroppens forskydning af tid. For frie harmoniske svingninger er det en sinusbølge eller cosinusbølge. Figuren viser grafer over afhængigheden af forskydning x, projektioner af hastighed V x og acceleration a x på tid.

Som det ses af graferne, er hastigheden V for det oscillerende legeme ved maksimal forskydning x nul, accelerationen a, og derfor kraften, der virker på kroppen, er maksimal og rettet modsat forskydningen. I ligevægtspositionen bliver forskydningen og accelerationen nul, og hastigheden er maksimal. Accelerationsprojektionen har altid det modsatte fortegn til forskydningen.

ENERGI AF VIBRATIONSBEVÆGELSE

Den samlede mekaniske energi af et oscillerende legeme er lig med summen af dets kinetiske og potentielle energier og forbliver konstant i fravær af friktion:

I det øjeblik, hvor forskydningen når et maksimum x = A, går hastigheden og dermed den kinetiske energi til nul.

I dette tilfælde er den samlede energi lig med den potentielle energi:

Den samlede mekaniske energi af et oscillerende legeme er proportional med kvadratet på amplituden af dets svingninger.

Når systemet passerer ligevægtspositionen, er forskydningen og den potentielle energi nul: x = 0, E p = 0. Derfor er den samlede energi lig med den kinetiske energi:

Den samlede mekaniske energi af et oscillerende legeme er proportional med kvadratet på dets hastighed i ligevægtspositionen. Derfor:

MATEMATISK PENDUL

1. Matematik pendul er en materialespids ophængt på en vægtløs uudvidelig tråd.

I ligevægtspositionen kompenseres tyngdekraften af trådens spænding. Hvis pendulet afbøjes og udløses, vil kræfterne ophøre med at kompensere hinanden, og en resulterende kraft vil opstå rettet mod ligevægtspositionen. Newtons anden lov:

For små svingninger, når forskydningen x er meget mindre end l, vil materialepunktet bevæge sig næsten langs den vandrette x-akse. Så fra trekanten MAB får vi:

Fordi sin a = x/l, så er projektionen af den resulterende kraft R på x-aksen lig med

Minustegnet viser, at kraften R altid er rettet mod forskydningen x.

2. Så under svingninger af et matematisk pendul, såvel som under svingninger af et fjederpendul, er gendannelseskraften proportional med forskydningen og er rettet i den modsatte retning.

Lad os sammenligne udtrykkene for genoprettelseskraften af matematiske og fjederpenduler:

Det kan ses, at mg/l er en analog til k. Udskiftning af k med mg/l i formlen for perioden for et fjederpendul

vi får formlen for perioden for et matematisk pendul:

Perioden med små svingninger af et matematisk pendul afhænger ikke af amplituden.

Et matematisk pendul bruges til at måle tid og bestemme tyngdeaccelerationen på et givet sted på jordens overflade.

Frie svingninger af et matematisk pendul ved små afbøjningsvinkler er harmoniske. De opstår på grund af den resulterende tyngdekraft og trådens spændingskraft samt belastningens inerti. Resultatet af disse kræfter er den genoprettende kraft.

Eksempel. Bestem tyngdeaccelerationen på en planet, hvor et pendul på 6,25 m har en fri svingningsperiode på 3,14 s.

Svingningsperioden for et matematisk pendul afhænger af længden af tråden og tyngdeaccelerationen:

Ved at kvadrere begge sider af ligheden får vi:

Svar: tyngdeaccelerationen er 25 m/s 2 .

Problemer og test om emnet "Emne 4. "Mekanik. Oscillationer og bølger."

Tværgående og langsgående bølger. Bølgelængde
Lektioner: 3 opgaver: 9 prøver: 1
Lydbølger. Lydhastighed - Mekaniske vibrationer og bølger. Lyd 9. klasse

Matematik pendul

Introduktion

Oscillationsperiode

konklusioner

Litteratur

Introduktion

Nu er det ikke længere muligt at verificere legenden om, hvordan Galileo, der stod i bøn i katedralen, omhyggeligt så på, hvordan bronzelysekroner svingede. Jeg observerede og bestemte den tid, lysekronen brugte på at bevæge sig frem og tilbage. Denne tid blev senere kaldt oscillationsperioden. Galileo havde ikke et ur, og for at sammenligne oscillationsperioden for lysekroner ophængt på kæder af forskellig længde, brugte han frekvensen af sin puls.

Penduler bruges til at justere ures hastighed, da ethvert pendul har en meget specifik oscillationsperiode. Pendulet finder også vigtige anvendelser i geologisk udforskning. Det er kendt, at forskellige steder rundt om på kloden er værdierne g er forskellige. De er forskellige, fordi Jorden ikke er en helt regulær kugle. Hertil kommer, at i områder, hvor der forekommer tætte bjergarter, såsom nogle metalmalme, værdien g unormalt høj. Nøjagtige målinger g ved hjælp af et matematisk pendul er det nogle gange muligt at opdage sådanne aflejringer.

Bevægelsesligning af et matematisk pendul

Et matematisk pendul er et tungt materialepunkt, der bevæger sig enten langs en lodret cirkel (fladt matematisk pendul) eller langs en kugle (sfærisk pendul). Til en første tilnærmelse kan et matematisk pendul betragtes som en lille belastning ophængt på en uudvidelig fleksibel tråd.

Lad os overveje bevægelsen af et fladt matematisk pendul langs en cirkel med radius l centreret i et punkt OM(Fig. 1). Vi bestemmer punktets position M(pendul) afvigelsesvinkel j radius OM fra lodret. Leder en tangent M t mod den positive vinkel j, vil vi sammensætte en naturlig bevægelsesligning. Denne ligning er dannet ud fra bevægelsesligningen

mW=F+N, (1)
Hvor F er den aktive kraft, der virker på punktet, og N- kommunikationsreaktion.

Billede 1

Vi opnåede ligning (1) ifølge Newtons anden lov, som er dynamikkens fundamentale lov og siger, at den tidsafledte af et materielt punkts momentum er lig med den kraft, der virker på det, dvs.

Forudsat at massen er konstant, kan vi repræsentere den foregående ligning i formen

Hvor W er punktets acceleration.

Så ligning (1) i projektion på t-aksen vil give os en af de naturlige ligninger for bevægelsen af et punkt langs en given fast jævn kurve:

I vores tilfælde opnår vi i projektion på t-aksen

,
Hvor m der er en masse af pendulet.

Siden eller , herfra finder vi

.
Reducerer med m og troende

, (3)
vi får endelig:

. (4)
Lad os først overveje tilfældet med små svingninger. Lad i det indledende øjeblik pendulet afbøjes fra lodret med en vinkel j og sænkes uden starthastighed. Så vil de indledende betingelser være:

på t= 0, . (5)
Fra energiintegralet:

, (6)
Hvor V- potentiel energi, og h er integrationskonstanten, følger det, at under disse forhold til enhver tid vinklen jЈj 0 . Konstant værdi h bestemt ud fra de oprindelige data. Lad os antage, at vinklen j 0 er lille (j 0 Ј1); så bliver vinklen j også lille og vi kan cirka sætte sinj»j. I dette tilfælde vil ligning (4) antage formen

. (7)
Ligning (7) er differentialligningen for en simpel harmonisk oscillation. Den generelle løsning på denne ligning er

, (8)
Hvor EN Og B eller -en og e er integrationskonstanter.

Herfra finder vi straks perioden ( T) små svingninger af et matematisk pendul (periode - det tidsrum, hvor punktet vender tilbage til sin tidligere position med samme hastighed)

,
fordi sin har en periode lig med 2p, så w T=2p Yu

(9)

For at finde bevægelsesloven under startbetingelser (5), beregner vi:

. (10)
Ved at erstatte værdierne (5) i ligningerne (8) og (10), får vi:

j 0 = EN 0 = vægt B,

de der. B=0. Følgelig vil bevægelsesloven for små svingninger under betingelser (5) være:

j = j 0 cos wt. (elleve)

Lad os nu finde den nøjagtige løsning på problemet med et fladt matematisk pendul. Lad os først bestemme det første integral af bevægelsesligningen (4). Fordi

,
så kan (4) repræsenteres som

.
Derfor ganges begge sider af ligningen med d j og integration får vi:

. (12)
Lad os her betegne j 0 vinklen for den maksimale afbøjning af pendulet; så for j = j 0 vil vi have, hvorfra C= w 2 cosj 0 . Som et resultat giver integral (12):

, (13)
hvor w er bestemt af lighed (3).

Dette integral er energiintegralet og kan fås direkte fra ligningen

, (14)
hvor arbejdes der med at flytte M 0 M aktiv kraft F, hvis vi tager højde for det i vores tilfælde v 0 = 0, og (se figur).

Fra ligning (13) er det klart, at når pendulet bevæger sig, vil vinkel j ændre sig mellem værdierne +j 0 og -j 0 (|j|Јj 0, da), dvs. pendulet vil udføre en oscillerende bevægelse. Lad os blive enige om at tælle tiden ned t fra det øjeblik pendulet passerer gennem lodret O.A. når den bevæger sig til højre (se figur). Så har vi startbetingelsen:

på t=0, j=0. (15)

Derudover når man bevæger sig fra et punkt EN vilje ; tager vi kvadratroden fra begge sider af lighed (13), får vi:

.
Ved at adskille variablerne her har vi:

. (16)

, ,
At

.
Ved at indsætte dette resultat i ligning (16), opnår vi.

Svingningsperioden for et matematisk pendul afhænger af længden af tråden: når længden af tråden aftager, falder svingningsperioden

For et matematisk pendul er nogle love opfyldt:

1 lov. Hvis vi, mens vi opretholder samme længde af pendulet, suspenderer forskellige belastninger (for eksempel 5 kg og 100 kg), så vil oscillationsperioden være den samme, selvom belastningernes masser er meget forskellige. Perioden for et matematisk pendul afhænger ikke af belastningens masse.

2. lov. Hvis pendulet afbøjes af forskellige, men små vinkler, vil det svinge med samme periode, dog med forskellige amplituder. Så længe pendulets amplitude er lille, vil svingningerne i deres form ligne harmoniske, og så afhænger det matematiske penduls periode ikke af svingningernes amplitude. Denne egenskab kaldes isokronisme.

Lad os udlede formlen for perioden for et matematisk pendul.

Belastningen m af et matematisk pendul påvirkes af tyngdekraften mg og den elastiske kraft af tråden Fynp. Lad os rette 0X-aksen langs tangenten til den opadgående bevægelsesbane. Lad os nedskrive Newtons anden lov for dette tilfælde:

Vi projicerer alt på OX-aksen:

I små vinkler

Efter at have lavet substitutioner og små transformationer får vi, at ligningen ser ud som:

Ved at sammenligne det resulterende udtryk med ligningen for harmoniske vibrationer får vi:

Fra ligningen kan det ses, at fjederpendulets cykliske frekvens vil have formen:

Så vil perioden for det matematiske pendul være lig med:

Perioden for et matematisk pendul afhænger kun af tyngdeaccelerationen g og af længden af pendulet l. Af den resulterende formel følger det, at pendulets periode ikke afhænger af dets masse og amplitude (forudsat at det er lille nok). Vi etablerede også et kvantitativt forhold mellem pendulets periode, dets længde og tyngdeaccelerationen. Perioden for et matematisk pendul er proportional med kvadratroden af forholdet mellem længden af pendulet og tyngdeaccelerationen. Proportionalitetsfaktoren er 2p

Der er også:

Periode af et fjederpendul

Periode af et fysisk pendul

Periode af et torsionspendul

Som et konkret eksempel på en krop, der roterer omkring en akse, kan du overveje pendulernes bevægelse.

Et fysisk pendul er et stift legeme, der har en vandret rotationsakse, omkring hvilken det udfører oscillerende bevægelser under påvirkning af sin vægt (fig. 119).

Pendulets position er fuldstændig bestemt af vinklen for dets afvigelse fra ligevægtspositionen, og derfor er det nok at finde afhængigheden af denne vinkel til tiden for at bestemme pendulets bevægelseslov.

Formens ligning:

kaldes ligningen (loven) for et penduls bevægelse. Det afhænger af startbetingelserne, dvs. af vinklen og vinkelhastigheden.

Det begrænsende tilfælde af et fysisk pendul er et matematisk pendul, som repræsenterer (som tidligere nævnt - kapitel 2, § 3) et materialepunkt forbundet med den vandrette akse, omkring hvilken det roterer med en stiv vægtløs stang (fig. 120). Afstanden af et materialepunkt fra rotationsaksen kaldes længden af et matematisk pendul.

Bevægelsesligninger af fysiske og matematiske penduler

Lad os vælge et system af koordinatakser, så xy-planet passerer gennem tyngdepunktet af kroppen C og falder sammen med pendulets svingplan, som vist på tegningen (fig. 119). Lad os rette aksen vinkelret på tegneplanet mod os. Baseret på resultaterne af det foregående afsnit skriver vi derefter bevægelsesligningen for et fysisk pendul i form:

hvor gennem betegner pendulets inertimoment i forhold til dets rotationsakse og

Derfor kan du skrive:

Den aktive kraft, der virker på pendulet, er dets vægt, hvis moment i forhold til vægtaksen vil være:

hvor er afstanden fra pendulets rotationsakse til dets massecentrum C.

Følgelig når vi frem til følgende ligning for bevægelse af et fysisk pendul:

Da et matematisk pendul er et specialtilfælde af et fysisk, er differentialligningen skrevet ovenfor også gyldig for et matematisk pendul. Hvis længden af et matematisk pendul er lig med og dets vægt, er dets inertimoment i forhold til rotationsaksen lig med

Da afstanden mellem et matematisk penduls tyngdepunkt fra aksen er ens, kan den endelige differentialligning for bevægelse af et matematisk pendul skrives på formen:

Reduceret længde af et fysisk pendul

Ved at sammenligne ligningerne (16.8) og (16.9) kan vi konkludere, at hvis parametrene for de fysiske og matematiske penduler er forbundet med relationen

så er bevægelseslovene for fysiske og matematiske penduler de samme (under de samme begyndelsesbetingelser).

Den sidste relation angiver den længde et matematisk pendul skal have for at bevæge sig på samme måde som det tilsvarende fysiske pendul. Denne længde kaldes den reducerede længde af det fysiske pendul. Betydningen af dette koncept er, at studiet af bevægelsen af et fysisk pendul kan erstattes af studiet af bevægelsen af et matematisk pendul, som er et simpelt mekanisk kredsløb.

Første integral af bevægelsesligningen for et pendul

Bevægelsesligningerne for fysiske og matematiske pendler har samme form, derfor vil ligningen for deres bevægelse være

Da den eneste kraft, der tages i betragtning i denne ligning, er tyngdekraften, der hører til det potentielle kraftfelt, gælder loven om bevarelse af mekanisk energi.

Sidstnævnte kan opnås ved en simpel metode, nemlig at vi multiplicerer ligning (16.10) med derefter

Ved at integrere denne ligning får vi

Bestemmelse af konstanten for integration Cu ud fra startbetingelserne, finder vi

Løsning af den sidste ligning for relativ får vi

Denne relation repræsenterer det første integral af differentialligningen (16.10).

Bestemmelse af støttereaktioner af fysiske og matematiske penduler

Det første integral af bevægelsesligningerne giver os mulighed for at bestemme pendulernes støttereaktioner. Som angivet i det foregående afsnit bestemmes støttereaktionerne ud fra ligning (16.5). I tilfælde af et fysisk pendul vil komponenterne af den aktive kraft langs koordinatakserne og dens momenter i forhold til akserne være:

Koordinaterne for massecentret bestemmes af formlerne:

Så har ligningerne til bestemmelse af støttereaktionerne formen:

Kroppens centrifugale inertimomenter og afstandene mellem understøtninger skal kendes i henhold til problemets forhold. Vinkelacceleration b og vinkelhastighed с bestemmes ud fra ligningerne (16.9) og (16.4) på formen:

Således bestemmer ligningerne (16.12) fuldstændigt komponenterne i støttereaktionerne i et fysisk pendul.

Ligningerne (16.12) forenkles yderligere, hvis vi betragter et matematisk pendul. Faktisk, da det materielle punkt i et matematisk pendul er placeret i planet, så, da et punkt er fast, så bliver ligninger (16.12) derfor til ligninger af formen:

Af ligning (16.13) ved hjælp af ligning (16.9) følger det, at støttereaktionen er rettet langs tråden I (fig. 120). Det sidste er et indlysende resultat. Ved at projicere komponenterne af ligheder (16.13) på trådens retning finder vi følgelig en ligning til bestemmelse af reaktionen af understøtningen af formen (fig. 120):

Vi erstatter værdien her og tager i betragtning, at vi skriver:

Den sidste relation bestemmer den dynamiske respons af et matematisk pendul. Bemærk, at dens statiske reaktion vil være

Kvalitativ undersøgelse af arten af et penduls bevægelse

Det første integral af bevægelsesligningen for et pendul giver os mulighed for at udføre en kvalitativ undersøgelse af arten af dets bevægelse. Vi skriver nemlig dette integral (16.11) i formen:

Under bevægelsen skal det radikale udtryk enten være positivt eller forsvinde på nogle punkter. Lad os antage, at startbetingelserne er sådan

I dette tilfælde forsvinder det radikale udtryk ingen steder. Følgelig vil pendulet, når det bevæger sig, gennemgå alle værdierne af vinklen, og vinkelhastigheden fra pendulet har samme fortegn, som bestemmes af retningen af den indledende vinkelhastighed, eller vinklen vil enten øge alle tid eller fald hele tiden, dvs. pendulet vil rotere i den ene side.

Bevægelsesretningerne vil svare til et eller andet tegn i udtrykket (16.11). En nødvendig betingelse for implementeringen af en sådan bevægelse er tilstedeværelsen af en indledende vinkelhastighed, da det er klart af ulighed (16.14), at det ved enhver indledende afbøjningsvinkel er umuligt at opnå en sådan bevægelse af pendulet.

Lad nu begyndelsesbetingelserne være sådan

I dette tilfælde er der to sådanne vinkelværdier, hvor det radikale udtryk bliver nul. Lad dem svare til vinklerne defineret af ligheden

Desuden vil det være et sted i området fra 0 til . Yderligere er det indlysende, at hvornår

det radikale udtryk (16.11) vil være positivt og ved vilkårlig lille overskridelse vil det være negativt.

Når pendulet bevæger sig, ændres dets vinkel i området:

Når pendulets vinkelhastighed går til nul, og vinklen begynder at falde til værdien. I dette tilfælde vil tegnet for vinkelhastigheden eller tegnet foran radikalet i udtryk (16.11) ændre sig. Når pendulets vinkelhastighed når nul igen, og vinklen igen begynder at stige til værdien

Pendulet vil således lave oscillerende bevægelser

Amplitude af pendulsvingninger

Når pendulet svinger, kaldes den maksimale værdi af dets afvigelse fra lodret oscillationsamplituden. Det er lig med hvilket bestemmes ud fra ligheden

Som det følger af den sidste formel, afhænger oscillationens amplitude af de indledende data for pendulets hovedkarakteristika eller dets reducerede længde.

I det særlige tilfælde, når pendulet afbøjes fra ligevægtspositionen og frigives uden en indledende hastighed, så vil den være lig med , derfor afhænger amplituden ikke af den reducerede længde.

Bevægelsesligning af et pendul i endelig form

Lad pendulets begyndelseshastighed være nul, så vil det første integral af dets bevægelsesligning være:

Ved at integrere denne ligning finder vi

Vi vil tælle tiden fra pendulets position, tilsvarende derefter

Lad os transformere integranden ved hjælp af formlen:

Så får vi:

Det resulterende integral kaldes et elliptisk integral af den første slags. Det kan ikke udtrykkes ved hjælp af et begrænset antal elementære funktioner.

Inversionen af det elliptiske integral (16.15) i forhold til dets øvre grænse repræsenterer pendulets bevægelsesligning:

Dette vil være den velundersøgte Jacobi elliptiske funktion.

Periode med pendul oscillation

Den tid, det tager for en fuldstændig svingning af et pendul, kaldes dets svingningsperiode. Lad os betegne det T. Da tidspunktet for pendulets bevægelse fra position til position er det samme som bevægelsestidspunktet fra da vil T blive bestemt af formlen: