Hvordan man finder længden af ​​hypotenusen i en retvinklet trekant. Sådan finder du benene, hvis hypotenusen er kendt

Oversat fra græsk betyder hypotenuse "stram". For en korrekt forståelse skal du forestille dig en buestreng, der forbinder de to ender af en fleksibel pind. Ligeledes i en retvinklet trekant er den længste side hypotenusen, som ligger modsat den rette vinkel. Det fungerer som en forbindelse mellem de to andre sider, kaldet benene. For at finde ud af, hvor lang denne "streng" er, skal du have længden af ​​benene, eller værdien af ​​to spidse vinkler. Ved at kombinere disse data kan du beregne den ønskede værdi ved hjælp af formler.

Sådan finder du hypotenusen ved ben

Den nemmeste måde at beregne, hvis du kender værdien af ​​to ben (lad os betegne det ene A, det andet B). Pythagoras selv og hans verdensberømte teorem kommer til undsætning. Hun fortæller os, at hvis vi kvadrerer længden af ​​benene og adderer de beregnede værdier, så vil vi som et resultat finde ud af værdien af ​​længden af ​​hypotenusen i anden. Fra ovenstående konkluderer vi: for at finde værdien af ​​hypotenusen er det nødvendigt at udtrække kvadratroden af ​​den samlede sum af kvadraterne på benene C \u003d √ (A² + B²). Eksempel: ben A \u003d 10 cm, ben B \u003d 20 cm. Hypotenusen er 22,36 cm. Beregningen er som følger: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d ≈3,50.

Sådan finder du hypotenusen gennem en vinkel

Det er lidt sværere at beregne længden af ​​hypotenusen gennem en given vinkel. Hvis du kender størrelsen på det ene af de to ben (lad os betegne A) og størrelsen af ​​den vinkel (lad os betegne α), der ligger over for det, så findes størrelsen af ​​hypotenusen ved hjælp af trigonometri, og specifikt sinus. Alt du skal gøre er at dividere værdien af ​​det kendte ben med sinus af vinklen. C=A/sin(a). Eksempel: benlængden er A = 30 cm, vinklen modsat er 45°, hypotenusen bliver 42,25 cm. Beregningen er som følger: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

En anden måde er at finde størrelsen af ​​hypotenusen ved hjælp af cosinus. Det bruges, hvis du kender størrelsen på benet (lad os betegne B) og den spidse vinkel (lad os betegne α), der støder op til det. Alt du skal gøre er at dividere benværdien med vinklens sinus. С=В/cos(α). Eksempel: benets længde er B = 30 cm, vinklen modsat er 45 °, hypotenusen vil være 42,25 cm. Beregningen er som følger: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Hvordan finder man hypotenusen af ​​en ligebenet retvinklet trekant

Enhver elev med respekt for sig selv ved, at en trekant er ligebenet, forudsat at to af de tre sider er lig med hinanden. Disse sider kaldes laterale, og den, der er tilbage, er basen. Hvis en af ​​vinklerne er 90°, så har du en ligebenet retvinklet trekant.

At finde hypotenusen i en sådan trekant er enkel, fordi den har flere egenskaber, der vil hjælpe. Vinklerne, der støder op til basen, har samme værdi, den samlede sum af vinklerne er 180°. Det betyder, at den rette vinkel ligger modsat basen, hvilket betyder, at basen er hypotenusen, benene er siderne.

Instruktion

Lignende videoer

Bemærk

Når man beregner siderne af en retvinklet trekant, kan viden om dens funktioner spille:
1) Hvis benet af en ret vinkel ligger modsat en vinkel på 30 grader, så er det lig med halvdelen af ​​hypotenusen;
2) Hypotenusen er altid længere end nogen af ​​benene;
3) Hvis en cirkel er omskrevet omkring en retvinklet trekant, så skal dens centrum ligge i midten af ​​hypotenusen.

Hypotenusen er den side i en retvinklet trekant, der er modsat 90 graders vinkel. For at beregne dens længde er det nok at kende længden af ​​et af benene og værdien af ​​en af ​​trekantens spidse vinkler.

Instruktion

Fortæl os et af benene og vinklen ved siden af ​​det. Lad det for bestemthed være benet |AB| og vinkel α. Så kan vi bruge formlen for det trigonometriske cosinus - cosinus-forhold for det tilstødende ben til. De der. i vores notation cos α = |AB| / |AC|. Herfra får vi længden af ​​hypotenusen |AC| = |AB| / cosα.
Hvis vi kender benet |BC| og vinkel α, så bruger vi formlen til at beregne vinklens sinus - vinklens sinus er lig med forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen: sin α = |BC| / |AC|. Vi får, at længden af ​​hypotenusen findes som |AC| = |BC| / cosα.

Overvej et eksempel for klarhedens skyld. Lad længden af ​​benet |AB| = 15. Og vinklen α = 60°. Vi får |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Overvej, hvordan du kan kontrollere dit resultat ved hjælp af Pythagoras sætning. For at gøre dette skal vi beregne længden af ​​det andet ben |BC|. Brug af formlen for tangenten til vinklen tg α = |BC| / |AC|, får vi |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Dernæst anvender vi Pythagoras sætning, vi får 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verifikationen er udført.

Nyttige råd

Efter beregning af hypotenusen skal du kontrollere, om den resulterende værdi opfylder Pythagoras sætning.

Kilder:

• Tabel med primtal fra 1 til 10000

Ben Nævn de to korte sider af en retvinklet trekant, der udgør dens toppunkt, hvis værdi er 90°. Den tredje side i en sådan trekant kaldes hypotenusen. Alle disse sider og vinkler af trekanten er forbundet med visse forhold, der giver dig mulighed for at beregne længden af ​​benet, hvis flere andre parametre er kendt.

Instruktion

Brug Pythagoras sætning til benet (A), hvis du kender længden af ​​de to andre sider (B og C) i den retvinklede trekant. Denne sætning siger, at summen af ​​benlængderne i anden kvadrat er lig med kvadratet på hypotenusen. Det følger af dette, at længden af ​​hvert af benene er lig med kvadratroden af ​​længderne af hypotenusen og det andet ben: A=√(C²-B²).

Brug definitionen af ​​den direkte trigonometriske funktion "sinus" for en spids vinkel, hvis du kender værdien af ​​vinklen (α) modsat det beregnede ben, og længden af ​​hypotenusen (C). Dette angiver, at sinus af denne kendte er forholdet mellem længden af ​​det ønskede ben og længden af ​​hypotenusen. Dette er, at længden af ​​det ønskede ben er lig med produktet af længden af ​​hypotenusen og sinus af den kendte vinkel: A=C∗sin(α). For de samme kendte værdier kan du bruge cosecanten og beregne den ønskede længde ved at dividere længden af ​​hypotenusen med cosecanten af ​​den kendte vinkel A=C/cosec(α).

Brug definitionen af ​​den direkte trigonometriske cosinusfunktion, hvis der ud over længden af ​​hypotenusen (C) også kendes værdien af ​​den spidse vinkel (β), der støder op til den nødvendige. Cosinus af denne vinkel er forholdet mellem længderne af det ønskede ben og hypotenusen, og ud fra dette kan vi konkludere, at længden af ​​benet er lig med produktet af længden af ​​hypotenusen og cosinus af den kendte vinkel: A=C∗cos(β). Du kan bruge definitionen af ​​sekantfunktionen og beregne den ønskede værdi ved at dividere længden af ​​hypotenusen med sekanten af ​​den kendte vinkel A=C/sek(β).

Udled den krævede formel fra en lignende definition for den afledede af den trigonometriske funktionstangens, hvis, ud over værdien af ​​den spidse vinkel (α), der ligger modsat det ønskede ben (A), længden af ​​det andet ben (B) er kendt. Tangensen af ​​vinklen modsat det ønskede ben er forholdet mellem længden af ​​dette ben og længden af ​​det andet ben. Det betyder, at den ønskede værdi vil være lig med produktet af længden af ​​det kendte ben og tangenten af ​​den kendte vinkel: A=B∗tg(α). Fra disse samme kendte mængder kan en anden formel udledes ved hjælp af definitionen af ​​cotangensfunktionen. I dette tilfælde, for at beregne længden af ​​benet, vil det være nødvendigt at finde forholdet mellem længden af ​​det kendte ben og cotangensen af ​​den kendte vinkel: A=B/ctg(α).

Lignende videoer

Ordet "katet" kom ind på russisk fra græsk. I nøjagtig oversættelse betyder det en lodlinje, det vil sige vinkelret på jordens overflade. I matematik kaldes ben for sider, der danner en ret vinkel i en retvinklet trekant. Siden modsat denne vinkel kaldes hypotenusen. Udtrykket "ben" bruges også inden for arkitektur og svejseteknologi.

Tegn en retvinklet trekant ACB. Mærk dens ben a og b, og mærk dens hypotenus c. Alle sider og vinkler i en retvinklet trekant er defineret i forhold til hinanden. Forholdet mellem benet modsat en af ​​de spidse vinkler og hypotenusen kaldes denne vinkels sinus. I denne trekant sinCAB=a/c. Cosinus er forholdet til hypotenusen af ​​det tilstødende ben, dvs. cosCAB=b/c. De omvendte forhold kaldes sekant og cosekant.

Sekanten af ​​denne vinkel opnås ved at dividere hypotenusen med det tilstødende ben, det vil sige secCAB=c/b. Det viser sig den gensidige af cosinus, det vil sige, den kan udtrykkes med formlen secCAB=1/cosSAB.
Cosecanten er lig med kvotienten for at dividere hypotenusen med det modsatte ben og er den reciproke af sinus. Det kan beregnes ved hjælp af formlen cosecCAB=1/sinCAB

Begge ben er indbyrdes forbundne og cotangente. I dette tilfælde vil tangenten være forholdet mellem side a og side b, det vil sige det modsatte ben til det tilstødende. Dette forhold kan udtrykkes ved formlen tgCAB=a/b. Følgelig vil det omvendte forhold være cotangensen: ctgCAB=b/a.

Forholdet mellem størrelserne af hypotenusen og begge ben blev bestemt af den antikke græske Pythagoras. Sætningen, hans navn, bruger folk stadig. Det siger, at kvadratet af hypotenusen er lig med summen af ​​kvadraterne på benene, det vil sige c2 \u003d a2 + b2. Følgelig vil hvert ben være lig kvadratroden af ​​forskellen mellem kvadraterne af hypotenusen og det andet ben. Denne formel kan skrives som b=√(c2-a2).

Benets længde kan også udtrykkes gennem de relationer, du kender. Ifølge sætningerne for sinus og cosinus er benet lig med produktet af hypotenusen og en af ​​disse funktioner. Du kan udtrykke det og eller cotangens. Benet a kan for eksempel findes ved formlen a \u003d b * tan CAB. På nøjagtig samme måde, afhængigt af den givne tangent eller , bestemmes det andet ben.

I arkitekturen bruges også udtrykket "ben". Det påføres en ionisk hovedstad og lod gennem midten af ​​ryggen. Det vil sige, i dette tilfælde, ved dette udtryk vinkelret på den givne linje.

Inden for svejseteknologi er der et "ben af ​​en filetsvejsning". Som i andre tilfælde er dette den korteste afstand. Her taler vi om mellemrummet mellem en af ​​delene, der skal svejses til kanten af ​​sømmen, der er placeret på overfladen af ​​den anden del.

Lignende videoer

Kilder:

• hvad er benet og hypotenusen i 2019

Der er tre muligheder for at løse dette problem. Den første er, hvis det er givet under problemets betingelser, at benene er lige store (faktisk har vi en retvinklet ligebenet trekant). Den anden - hvis en anden vinkel er givet (bortset fra vinklen på 45%, så har vi den samme ligebenede trekant og vender tilbage til den første mulighed). Og den tredje - når et af benene er kendt. Lad os overveje disse muligheder mere detaljeret.

Sådan finder du lige ben med en kendt hypotenuse

• det første ben (lad os betegne det med bogstavet "a") er lig med det andet ben ((lad os betegne det med bogstavet "b"): a=b;

• størrelsen af ​​benene;

I denne version er løsningen af ​​problemet baseret på brugen af ​​Pythagoras sætning. Det anvendes på retvinklede trekanter, og dets grundlæggende version lyder som: "Kvadratet på hypotenusen er lig med summen af ​​kvadraterne på benene." Da vores ben er lige store, kan vi betegne begge ben med samme karakter: a=b, hvilket betyder - a=a.

1. Vi erstatter vores konventioner med teoremet (under hensyntagen til ovenstående):
   c^2=a^2+a^2,
2. Dernæst forenkler vi formlen så meget som muligt:
   с^2=2*(a^2) - gruppe,
   c \u003d √ 2 * a - vi bringer begge dele af ligningen til kvadratroden,
   a=c/√2 - tag den ønskede ud.
3. Vi erstatter denne værdi af hypotenusen og får løsningen:
   a=x/√2

Sådan finder du benene, med kendt hypotenuse og vinkel

• hypotenusen (angivet med bogstavet "c") er lig med x cm: c=x;
• vinkel β lig med q: β=q;

• størrelsen af ​​benene;

For at løse dette problem er det nødvendigt at bruge trigonometriske funktioner. De mest populære to af dem er:

• sinusfunktion - sinus for den ønskede vinkel er lig med forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen;
• cosinusfunktion - cosinus af den ønskede vinkel er lig med forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen;

Du kan bruge enhver. Jeg vil give et eksempel ved at bruge det første. Lad benene betegnes med symbolerne "a" (ved siden af ​​hjørnet) og "b" (modsat hjørnet). Derfor ligger vores vinkel mellem benet "a" og hypotenusen.

1. Vi erstatter de valgte symboler i formlen:
   sinβ = b/c
2. Vi udleder kateten:
   b=c*sinβ
3. Vi erstatter vores data og har ét ben.
   b=c*sinq

Det andet ben kan findes ved hjælp af den anden trigonometriske funktion, eller gå til den tredje mulighed.

Hvordan finder man det ene ben, hvis hypotenusen og det andet ben er kendt

• hypotenusen (angivet med bogstavet "c") er lig med x cm: c=x;
• benet (lad os betegne det med bogstavet "b") er lig med y cm: b=y;

• størrelsen af ​​det andet ben (lad os betegne det med bogstavet "a");

I denne variant er løsningen af ​​problemet, som i den første, brugen af ​​Pythagoras sætning.

1. At erstatte vores konventioner med sætningen:
   c^2=a^2+b^2,
2. Vi tager det nødvendige ben ud:
   a^2=c^2-b^2
3. Vi bringer begge sider af ligningen til kvadratroden:
   a=√(c^2-b^2)
4. Vi erstatter disse værdier, og vi har løsningen:
   a=√(x^2-y^2)

"Men de fortæller os, at benet er kortere end hypotenusen..." Disse linjer fra den berømte sang, der lød i spillefilmen "The Adventures of Electronics" er faktisk korrekte i forhold til Euklids geometri. Benene er jo to sider, der danner en vinkel, hvis gradmål er 90 grader. Og hypotenusen er den længste "strakte" side, der forbinder to ben vinkelret på hinanden, og ligger modsat den rette vinkel. Derfor er det muligt kun at finde hypotenusen langs benene i en retvinklet trekant, og hvis benet var længere end hypotenusen, ville en sådan trekant ikke eksistere.

Hvordan finder man hypotenusen ved hjælp af Pythagoras sætning, hvis begge ben er kendt

Sætningen siger, at kvadratet af hypotenusen ikke er andet end summen af ​​kvadraterne af benene: x^2+y^2=z^2, hvor:

• x - det første ben;
• y - andet ben;
• z er hypotenusen.

Men du skal bare finde hypotenusen, ikke dens firkant. For at gøre dette skal du udtrække roden.

Algoritmen til at finde hypotenusen ved to kendte ben:

• Bestem dig selv, hvor benene er, og hvor hypotenusen.
• Firkant det første ben.
• Firkant det andet ben.
• Læg de resulterende værdier sammen.
• Tag roden af ​​tallet opnået i trin 4.

Hvordan finder man hypotenusen gennem sinus, hvis benet og den spidse vinkel, der ligger mod det, er kendt

Forholdet mellem det kendte ben og den spidse vinkel, der ligger over for det, er lig med værdien af ​​hypotenusen: a/sin A = c. Dette er en konsekvens af definitionen af ​​sinus:

Forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen: sin A \u003d a / c, hvor:

• a - det første ben;
• A er en spids vinkel modsat benet;
• c er hypotenusen.

Algoritmen til at finde hypotenusen ved hjælp af sinussætningen:

• Udpeg selv det kendte ben og den modsatte vinkel.
• Del benet til det modsatte hjørne.
• Få hypotenusen.

Hvordan finder man hypotenusen gennem cosinus, hvis benet og den spidse vinkel ved siden af ​​det er kendt

Forholdet mellem det kendte ben og den spidse inkluderede vinkel er lig med værdien af ​​hypotenusen a/cos B = c. Dette er en konsekvens af definitionen af ​​cosinus: forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen: cos B \u003d a / s, hvor:

• a - det andet ben;
• B er en spids vinkel, der støder op til det andet ben;
• c er hypotenusen.

Algoritmen til at finde hypotenusen ved hjælp af cosinussætningen:

• Angiv selv det kendte ben og vinklen ved siden af ​​det.
• Del benet i en tilstødende vinkel.
• Få hypotenusen.

Sådan finder du hypotenusen ved hjælp af den "egyptiske trekant"

Den "egyptiske trekant" er en trio af tal, ved at vide, hvilke du kan spare tid for at finde hypotenusen eller endda et andet ukendt ben. Trekanten har et sådant navn, da nogle tal i Egypten symboliserede guderne og var grundlaget for konstruktionen af ​​pyramiderne og andre forskellige strukturer.

• Første trio af tal: 3-4-5. Benene her er lig med 3 og 4. Så vil hypotenusen nødvendigvis være lig med 5. Tjek: (9 + 16 = 25).
• Den anden tripel af tal: 5-12-13. Også her er benene 5 og 12. Derfor bliver hypotenusen 13. Tjek: (25+144=169).

Sådanne tal hjælper, selv når de divideres eller ganges med et enkelt tal. Hvis benene er 3 og 4, så vil hypotenusen være 5. Hvis du gange disse tal med 2, så vil hypotenusen blive ganget med 2. For eksempel vil trippelen af ​​tallene 6-8-10 også passe til Pythagoras sætning og du kan ikke beregne hypotenusen, hvis du husker disse trillinger af tal.



Der er således 4 måder at finde hypotenusen ved hjælp af kendte ben. Den bedste mulighed er Pythagoras sætning, men det ville heller ikke skade at huske de trillinger af tal, der udgør den "egyptiske trekant", for du kan spare meget tid, hvis du støder på sådanne værdier.